CN103647496A - 交通驱动用单边直线感应电机稳动态特性等效电路 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种交通驱动用单边直线感应电机单相稳态分析等效电路及方法。本发明基于电机一维模型，建立气隙磁通密度方程，结合初级电流和边界条件，求解气隙和导板中各场量及复功率，进而利用场路复量功率相等原理，推导次级电阻和励磁电抗，从而建立单相等效电路，其采用五个校正参数分别校正纵向边端效应、横向边缘效应和半填充槽对次级电阻和互感的影响。基于功率守恒坐标变换原理，本发明进一步构建得到两相动态等效电路。本发明采用校正系数，有效修正直线感应电机纵向边端效应、横向边缘效应、半填充槽和气隙磁路饱和对电机互感、次级电阻、气隙等效磁势和等效气隙长度的影响，更准确地表征了直线感应电机的稳态和动态驱动特性，极大简化了直线感应电机的稳态和动态特性分析难度。

Description

交通驱动用单边直线感应电机稳动态特性等效电路

技术领域

本发明涉及直线感应电机电磁场分析技术领域，特别涉及一种用于交通驱动系统中的单边直线感应电机的单相稳态和两相动态等效电路及分析方法。

背景技术

目前城市交通牵引系统（如地铁和轻轨）多采用旋转感应电机(RotaryInduction Machine,简称RIM)，它需齿轮箱等中间转换装置把旋转运动转化为直线运动，靠轮轨间黏着特性来传递牵引力。直线感应电机(LinearInduction Machine,简称LIM)牵引列车不需要转换装置，靠初次级的水平电磁推力直接牵引，不受黏着力的影响，它具有加减速度快，爬坡能力强，散热条件好，转弯半径小，选线灵活等优点。近年来，LIM牵引系统在大中型城市轨道交通领域广受关注，通常采用单边型短初级长次级的结构，具有很大的发展潜力。

但是，作为驱动系统的心脏，交通牵引LIM因为受初级磁路两端开断、初次级横向宽度不一致、次级涡流的因素影响，具有三相磁路非对称（端部半填充槽影响）、纵向边端效应（次级导体板感应涡流，导致电机互感随速度、滑差等因素而变化）、横向边缘效应（次级电阻导电率受电机滑差和初次级宽度不等等结构参数的影响）等缺点，给LIM的稳态和动态电磁和控制特性研究带来了很大的困难。因此，十分有必要深入研究如何建立合理的等效电路模型，以分析电机参数与电机力矩、功率因数、效率之间的制约关系，准确研究LIM在一定工况下的稳态特性和不同工况下的动态特性，进而对LIM进行合理的电磁优化设计，不断提高LIM的稳态和动态驱动性能。

当前LIM等效模型和驱动特性分析方法，主要包括电磁场计算法（场）和等值电路法（路）。电磁场计算法包括解析法和有限元法,它们从电磁场分布出发，综合考虑LIM的结构特殊性和非线性饱和等因素，对电机特性进行细致分析。然而，牵引LIM因涡流反应、宽速度范围和较长行程等特点，需要很大的网格剖分区域，或需采用特殊动态网格剖分技术，其电磁场计算耗时很大，数据处理十分繁琐。在不同工况下，边界条件设定和网格剖分均有讲究；若设置不合理，很难得到合理解（J.F.Gieras,LinearInduction Drives,Oxford:Clarendon press,1994.）。等值电路法，一般基于LIM的稳态模型，暂不考虑LIM特殊结构，首先沿用RIM的分析方法，选取一对极为求解区域，把绕组等效成正弦电流层，计算出理想化的电机模型；然后对LIM的特殊性质逐一进行校正。等效电路的建模思路清晰，简单易行，当前有3种模型得到广泛使用，其优缺点如下：

(1)f(q)模型：仅考虑LIM纵向边端效应，假设次级导体板涡流从初级入端到出端呈指数衰减，采用f(q)函数（仅与初级长度和电机运行速度相关）校正电机互感的变化（J.Duncan,“Linear induction motor-equivalent-circuit model,”Proc.Inst.Elect.Eng.,vol.130,no.1,pt.B,pp.51-57,Jan.1983.）。该模型可快速分析LIM稳态和动态特性，但因考虑因数太少，理论分析结果与实际值存在较大误差，同时不能用于电磁设计。

(2)Pole-by-Pole模型：从LIM初级绕组分布入手，计算出气隙磁通密度表达式，进一步利用场量关系求解出互感、次级电阻等参数，建立起每对极下的LIM等效数学模型（C.A.Lu,A New Coupled-Circuit Model ofA Linear Induction Motor and Its Application to Steady-State,Transient,Dynamic and Control Studies(PhD Thesis),Canada：QueenUniversity，1993.）。该模型能同时分析电机稳态和动态驱动特性，也能用于电磁设计中，但缺点是计算精度受电机极数的影响较大，难以得到广泛应用。

发明内容

本发明的技术目的在于提供一种单边LIM单相稳态分析等效电路、两相动态分析等效电路及方法，采用相关校正系数，有效修正LIM纵向边端效应、横向边缘效应、半填充槽和气隙磁路饱和对电机互感、次级电阻、气隙等效磁势和等效气隙长度的影响，更准确地表征了LIM稳动态特性，极大简化了LIM稳动态特性分析难度。

一种交通驱动用单边直线感应电机单相稳态分析等效电路，包括单相第一支路、单相第二支路和单相第三支路，单相第二支路和单相第三支路并联后再与单相第一支路串联形成回路；

单相第一支路由电机初级单相电阻R_s和初级单相漏感L_ls串联而成，单相第二支路由电机次级单相漏感L_lr和次级单相校正电阻

串联而成，单相第三支路由电机初级单相等效铁损电阻R_Fe和单相校正励磁电感串联而成；

所述次级单相校正电阻的阻值为

所述单相校正励磁电感

的电感值为

其中，R_r为电机次级单相等效电阻，s为电机滑差，L_m1为电机单相励磁电感，C_r为次级电阻横向边缘效应校正系数，K_r为励磁电抗横向边缘效应校正系数，C_x为次级电阻纵向边端效应校正系数，K_x为励磁电抗纵向边端效应校正系数；

所述电机次级单相等效电阻R_r由电机次级的导体板电阻R_2Sheet和背铁电阻R_2Back并联而成；

所述励磁电抗的横向边缘效应校正系数

所述励磁电抗的纵向边端效应校正系数

所述次级电阻横向边缘效应校正系数

所述次级电阻纵向边端效应校正系数

式中，

$\begin{array}{c}{D}_1=\mathrm{p\τ}{\sin \mathrm{\δ}}_s-N_L[{\mathrm{\α}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{P\τ}/{\mathrm{\α}}_1}\sin ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β}+S_L\mathrm{p\τ})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\τ}/{\mathrm{\α}}_1}\cos ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β}+S_L\mathrm{p\τ})-{\mathrm{\α}}_1^{-1}\sin ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β})-S_L\mathrm{cso}({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β})]\end{array},$

$\begin{array}{c}{D}_2=\mathrm{p\τ}{\sin \mathrm{\δ}}_s-N_L[{-\mathrm{\α}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{p\τ}/{\mathrm{\α}}_1}\cos ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β}+S_L\mathrm{p\τ})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\τ}/{\mathrm{\α}}_1}\sin ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β}+S_L\mathrm{p\τ})-{\mathrm{\α}}_1^{-1}\cos ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β})-S_L\sin ({\mathrm{\δ}}_s-\mathrm{\β})]\end{array},$

s为电机滑差，G为品质因数，p为初级实际极数，τ为电机每极长度；

${\mathrm{\δ}}_s=\mathrm{ta}{n}^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right),S_L=k-\frac{\mathrm{\π}}{{\mathrm{\τ}}_e},{\mathrm{\τ}}_e=\frac{2\mathrm{\π}}{Y},$ k＝π/τ，

μ₀为空气磁导率，σ_e为次级导体的表面电导率，v₂为电机运动速度沿电机运行方向的分量，g_e为等效电磁气隙，ω_e为初级电角速度， $N_L=\frac{{\mathrm{\α}}_1\mathrm{\π}{\mathrm{\τ}}_e}{M_L\mathrm{\τ}\sqrt{{\mathrm{\τ}}_e^2+{\left({\mathrm{\π\α}}_1\right)}^2}},M_L={\left({\mathrm{\α}}_1^{-1}\right)}^2+S_L^2,{\mathrm{\α}}_1=\frac{{\mathrm{\τg}}_e}{g_{e}X-{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\σ}}_e{v}_2},$ $X=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\σ}}_e{v}_2}{g_e}\sqrt{\frac{\sqrt{1+{({4\mathrm{\ω}}_e{g}_e/{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\σ}}_e{v_2}^2)}^2}+1}{2}},{\mathrm{\δ}}_s={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right),\mathrm{\β}={\tan }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{\π\α}}_1}{{\mathrm{\τ}}_e}\right);$

$T=j[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\λ}}{a_1\mathrm{\α}}\tanh a_1\mathrm{\α}],$ j为复数的虚部符号， $R^2=\frac{1}{1+\mathrm{jsG}},$ ${\mathrm{\α}}^2=k^2+j\frac{{\mathrm{\ω}}_e{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\σ}}_e}{g_e}s,\mathrm{\λ}=\frac{1}{1+\frac{1}{R}\tanh \left(a_1\mathrm{\α}\right)\tanh k(c_2-a_1)},$ c₂为次级导体板宽度的一半,Re表示实部,Im表示虚部。

进一步地，采用磁密饱和系数K_μ对交通驱动用单边直线感应电机的电磁等效气隙进行校正，即所述等效电磁气隙g_e＝K_μK_δ(g_m+d)，K_δ为气隙系数，K_μ为磁密饱和系数，g_m为机械气隙长度，d为次级导体板厚度。

进一步地，考虑初级端部半填充槽对电机气隙等效磁动势产生削弱，对电机实际极数p进行校正，其校正结果表示为

其中q为电机每极每相槽数，ε为短距系数，m₁为电机相数。

交通驱动用单边直线感应电机两相动态分析等效电路，包括d轴等效电路和q轴等效电路；

所述d轴等效电路包括d轴第一支路、d轴第二支路和d轴第三支路，d轴第二支路与d轴第三支路并联后再与d轴第一支路串联形成回路；所述其d轴第一支路由电机初级单相电阻R_s、初级q轴感应电势U_d1的负极、初级q轴感应电势U_d1的正极和初级单相漏感L_ls依次串联而成；所述d轴第二支路由电机次级单相漏感L_lr、次级q轴滑差感应电势U_d2的正极、次级q轴滑差感应电势U_d2的负极和次级两相校正电阻

依次串联而成；d轴第三支路由电机两相校正励磁电感

构成；

所述q轴等效电路包括q轴第一支路、q轴第二支路和q轴第三支路，q轴第二支路与q轴第三支路并联后再与q轴第一支路串联形成回路；所述q轴第一支路由电机初级单相电阻R_s、初级d轴感应电势U_q1的正极、初级d轴感应电势U_q1的负极和初级单相漏感L_ls依次串联而成；q轴第二支路由电机次级单相漏感L_lr、次级d轴滑差感应电势U_q2的负极、次级d轴滑差感应电势U_q2的正极和次级两相校正电阻

串联而成；q轴第三支路由电机两相校正励磁电感

构成；

所述次级两相校正电阻

的阻值为

所述两相校正励磁电感的电感值为其中，L_m为电机两相励磁电感，R_r为电机次级单相等效电阻；C_r为次级电阻横向边缘效应校正系数，K_r为励磁电抗横向边缘效应校正系数，C_x为次级电阻纵向边端效应校正系数，K_x为励磁电抗纵向边端效应校正系数；

将所述交通驱动用单边直线感应电机单相稳态分析等效电路用于交通驱动用单边直线感应电机单相稳态特性分析。

将所述交通驱动用单边直线感应电机两相动态特性分析等效电路用于交通驱动用单边直线感应电机两相动态特性分析。

本发明的有益效果体现在：

由于LIM特殊结构，其三相对称条件不再存在，因此不能直接采用旋转电机T型等效电路来计算驱动特性，因此，本发明采用相关校正系数对LIM纵向边端效应和横向边缘效应加以修正，具体为：

由LIM一维物理模型，将电机初级电流等效成行波电流层，从电磁场基本方程出发，建立场量满足的拉氏方程或泊松方程。根据边界条件求解方程，得出气隙及导体板中各场量包含端部效应影响的解析表达式，然后求出由行波电流层传至次级和气隙中的复功率。利用“场路复量功率相等”的关系推导出虚拟的初级对称相电势、次级电流、次级电阻、次级漏抗、励磁电抗的求解公式。在这些公式中，用纵向边端效应系数Kr，Kx，横向边缘效应系数Cr，Cx来分别校正相关端部效应对互感和次级电阻的影响，更准确地表征了LIM稳态特性，极大简化了LIM稳动态特性分析难度。

2、在求取单相稳态等效电路的等效互感时，本发明用气隙饱和系数修正磁通回路中的磁饱和度对等效气隙长度的影响。在计算次级等效电阻时，本发明考虑次级背铁的影响，认为次级电阻由次级导体板电阻和背铁电阻并联而成，提高了计算的精度。

3、由于牵引LIM运行过程中频繁启动和制动，其气隙磁密存在一定饱和度，进而影响电磁等效气隙g_e的大小。本发明采用磁密饱和系数K_μ校正局部磁路饱和对不通工况下电机等效气隙g_e的干扰，提高了分析的准确度。

4、本发明从初级等效电流密度方程出发，推算出半填充槽作用下的气隙等效磁势，它在一定程度上减小了气隙等效磁通和磁动势，可类似于等效极数也相应减小。本发明采用等效极数pe对半填充槽的影响进行修正，进一步提高了计算的精度。

5、在LIM单相稳态等效电路的建立过程中，本发明完全遵循RIM的形式，采用相应校正系数修正LIM特殊结构对互感和次级电阻的影响，可直接借鉴传统RIM的分析方法，概念清楚明了。

6、基于单相稳态等效电路，本发明利用功率守恒坐标变换原理，参照传统RIM的相关形式，得到LIM在两相坐标系下的磁链方程、电压方程，并进一步获得两相等值电路。结果表明，LIM的两相等值电路形式和传统RIM完全一致，其特殊性质（如互感和次级等效电阻在不同工况下的变化）可用四个校正系数Kr，Kx，Cr，Cx来具体修正。直线感应电机在动态运行中的特殊性质，具体体现在4个校正系数的变化中，更准确地表征了LIM动态特性，极大简化了LIM动态驱动特性的分析难度。

附图说明

图1为LIM一维物理结构模型,其中,图1（a）为纵向结构示意图，图1（b）为横向结构示意图；

图2为LIM的T型电路模型结构图；

图3为感应电机定转子绕组坐标变换示意图；

图4为直线感应电机dq-轴新型等效电路结构图，其中，图4(a)为d轴等效电路结构图，图4(b)为q轴等效电路结构图。

图5为直线感应电机不同运行速度下的推力变化图；

图6为直线感应电机动态速度变化图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

以下结合附图，对本发明的具体分析和实施方案进行相关说明。

1、一维简化模型的建立

为简化LIM的分析过程，本发明采用一维分析模型，其纵向和横向物理结构如图1所示（x轴为电机运行方向，即纵向；z轴为横向）。图1（a）中，初级为区域1，次级导板为区域2，气隙为区域3，出端为区域4，入端为区域5。图1（b）中，2a₁（或l_δ）为初级横向宽度，2c为初次级横向宽度差，d为次级导板厚，g_m为机械气隙长度。分析方便，先作如下假设：

(1)用表面电流层代替初级电流产生的磁势，并只考虑其基波分量。

(2)用气隙系数考虑齿、槽影响。

(3)气隙磁场只有y分量，且与y无关。

(4)电流沿坐标z向流动。

(5)各种场量均随时间按正弦规律变化。

(6)初级铁心的磁导率为无穷大。

(7)区域2和区域3中z>a₁或z<-a₁的磁通密度为零。

在LIM等效模型推导过程中，先分别考虑纵向边端效应和横向边缘效应的影响，然后利用叠加原理，得出最后等效电路。

2、纵向边端效应系数的推导

LIM的基本电磁场方程式如下：

$\&dtri;\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{H}=\stackrel{\&RightArrow;}{J}---\left(1\right)$

$\&dtri;\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{E}=-\frac{\&PartialD;\stackrel{\&RightArrow;}{B}}{\&PartialD;t}---\left(2\right)$

$\&dtri;\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{B}=0---\left(3\right)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{B}=\mathrm{\&mu;}\stackrel{\&RightArrow;}{H}---\left(4\right)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{J}=\mathrm{\&sigma;}(\stackrel{\&RightArrow;}{E}+\stackrel{\&RightArrow;}{V}\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{B})---\left(5\right)$

其中，▽为电磁场旋度和散度计算符号，

为磁场强度矢量；

为电流密度矢量；

为磁感应强度矢量；为电场强度矢量；为电机运动速度矢量；μ为磁导率；σ为次级板电导率。

这里引入矢量磁位

得到另外两个等式：

$\stackrel{\&RightArrow;}{B}=\&dtri;\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{A}---\left(6\right)$

$\stackrel{\&RightArrow;}{E}=-\frac{\&PartialD;\stackrel{\&RightArrow;}{A}}{\&PartialD;t}---\left(7\right)$

初级电流层为，

${\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_1=J_1\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right],(0<x<\mathrm{p\&tau;})---\left(8\right)$

式中，

为初级行波电流层的复量形式（下文中上端带点符号的变量均为复量形式）；J₁为初级行波电流层的幅值；k＝π/τ；ω_e为初级电角速度；p为初级实际极数。

沿图1(a)的矩形环路径，由式（1）得，

$\frac{g_e}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{3y}}{\&PartialD;x}={\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_1{+\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_2---\left(9\right)$

式中，为区域2中导体的等效行波电流层复量形式；

为区域3中的磁通密度在坐标y上的分量；g_e为等效电磁气隙。

因为电流只有z分量，故矢量磁位也只有z分量，由式（6）（7）得，

${\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{3y}=-\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}}{\&PartialD;x}---\left(10\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_{3z}=-\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}}{\&PartialD;t}---\left(11\right)$

将（10）和（11）带入（5）得，

${\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_2=-{\mathrm{\&sigma;}}_e(\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}}{\&PartialD;t}+v_2\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}}{\&PartialD;x})---\left(12\right)$

式中，σ_e为次级导体的表面电导率。v₂为电机运动速度沿x轴的分量。

因为初级电流随时间函数exp(jω_et)变化，假设矢量磁位为，

${\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}=A_{3z}(x,t)=A_z\left(x\right)\exp \left({\mathrm{j\&omega;}}_{e}t\right)---\left(13\right)$

由式（8）（9）（10）（12）（13）得，

$\frac{g_e}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\frac{d^2{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}}{{\mathrm{dx}}^2}-{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2\frac{d{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}}{\mathrm{dx}}-j{\mathrm{\&omega;}}_e{\mathrm{\&sigma;}}_e{\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}=-J_1\exp (-\mathrm{jkx})---\left(14\right)$

式（14）的全解为，

${\stackrel{\&CenterDot;}{A}}_{3z}=c_s\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right]+{\mathrm{cc}}_1\exp [\frac{-x}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}+j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e}x)]+{\mathrm{cc}}_2\exp [\frac{x}{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t+\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e}x)]---\left(15\right)$

式(15)与正常磁密行波，入端磁密行波和出端磁密行波（因衰减很快而被忽略）相关，对应系数由边界条件求解如下：

$c_s=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{J}_1}{k^2{g}_e(1+\mathrm{jsG})};$

${\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{{\mathrm{\&tau;g}}_e}{g_{e}X-{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2};$

${\mathrm{\&alpha;}}_2=\frac{{\mathrm{\&tau;g}}_e}{g_{e}X-{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2};$

${\mathrm{\&tau;}}_e=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{Y};$

$X=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2}{g_e}\sqrt{\frac{\sqrt{1+{({4\mathrm{\&omega;}}_e{g}_e/{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v_2}^2)}^2}+1}{2}};$

$Y=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2}{g_e}\sqrt{\frac{\sqrt{1+{({4\mathrm{\&omega;}}_e{g}_e/{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v_2}^2)}^2}+1}{2}};$

${\mathrm{cc}}_1=\frac{-{\mathrm{jkc}}_s}{(\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}+j\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e})}.$

上式中，s为滑差，G为品质因数，μ₀为空气磁导率。

G＝2μ₀σ_efτ²/πg_e  （16）

上式中，f为初级励磁频率。

将式（15）带入（10）（11）得到，

${\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{3y}=B_m\left\{\exp \right[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx}+{\mathrm{\&delta;}}_s)]-\exp [\frac{-x}{{\mathrm{\&alpha;}}_1}+j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e}x)\left]\right\}---\left(17\right)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_{3z}={\mathrm{\&omega;}}_e{B}_m\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right]\{\frac{-1}{k}\cos {\mathrm{\&delta;}}_s+[\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&tau;}}_e\exp \left({-x/\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&tau;}}_e^2+{\left({\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1\right)}^2}}\left]\cos \right[(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}+{\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})+(k-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e})x\left]\right\}\\ +{\mathrm{j\&omega;}}_e{B}_m\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right]\left\{\begin{array}{c}\frac{-1}{k}\sin {\mathrm{\&delta;}}_s+\\ \left[\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1{\mathrm{\&tau;}}_e\exp \left({-x/\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}{\sqrt{{\mathrm{\&tau;}}_e^2{\left({\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1\right)}^2}}\right]\sin [(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}+{\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})+(k-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e})x]\end{array}\right\}\end{array}---\left(18\right)$

式中， $B_m=\frac{{\mathrm{GJ}}_1}{{\mathrm{\&sigma;}}_e{V}_s\sqrt{1+{\left(\mathrm{sG}\right)}^2}};{\mathrm{\&delta;}}_s={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right);\mathrm{\&beta;}={\tan }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1}{{\mathrm{\&tau;}}_e}\right).$

从初级（区域1）传到次级（区域2）和气隙（区域3）的总复量功率为，

$\begin{array}{c}{S}_{23}={2a}_1{\&Integral;}_0^{\mathrm{p\&tau;}}0.5[-j_1^{*}{E}_{3z}]\mathrm{dx}\\ =J_1{B}_m{a}_1{V}_s\{\mathrm{p\&tau;}\cos {\mathrm{\&delta;}}_s-N_L\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\exp (-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1)\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})+\\ S_L\exp (-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1)\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-\\ {\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})\end{array}\right]\}\\ +j{J}_1{B}_m{a}_1{V}_s\{{\mathrm{p\&pi;}\sin \mathrm{\&delta;}}_s-N_L\left[\begin{array}{c}{-\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\exp (-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1)\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})+\\ S_L\exp \left({-\mathrm{p\&tau;}/\mathrm{\&alpha;}}_1\right)\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-\\ {\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})\end{array}\right]\}\\ =P_2+j{Q}_3\end{array}$

式中， $S_L=k-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e};M_L={\left({\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\right)}^2+S_L^2;N_L=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&tau;}}_e}{M_L\mathrm{\&tau;}\sqrt{{\mathrm{\&tau;}}_e^2+{\left({\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1\right)}^2}};$ P₂为传到次级中的有功功率；Q₃为传到气隙中的无功功率。

初级相电流有效值为，

$I_s=\frac{{\mathrm{p\&tau;J}}_1}{2\sqrt{2}{m}_1{W}_1{k}_{w1}}---\left(20\right)$

式中，m₁为相数；W₁为初级绕组每相串联匝数；k_w1为初级绕组系数。

设初级气隙电动势为

根据复量功率相等关系得，

${-m}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_s{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)=P_s+{\mathrm{jQ}}_3---\left(21\right)$

将（19）（20）带入到（21）求出

进一步推算出考虑纵向端部效应时，归算到初级单相次级导体板电阻和励磁电抗，

$R_{2\mathrm{Sheet}}=\frac{m_1{\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)\right|}^2}{P_2}=\frac{{8a}_1{m}_1{\left(W_1{k}_{w1}\right)}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_e\mathrm{p\&tau;s}}\frac{\mathrm{sG}}{\mathrm{p\&tau;}\sqrt{1+{\left(\mathrm{sG}\right)}^2}}\frac{D_1^2+D_2^2}{D_1}---\left(22\right)$

$X_m=\frac{m_1{\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)\right|}^2}{Q_3}=\frac{{16a}_1{m}_1{\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{f\&tau;}{\left(W_1{k}_{w1}\right)}^2}{g_e\mathrm{p\&pi;}}\frac{1}{\mathrm{p\&tau;}\sqrt{1+{\left(\mathrm{sG}\right)}^2}}\frac{D_1^2+D_2^2}{D_2}---\left(23\right)$

式中的系数表达为，

$\begin{array}{c}{D}_1=\mathrm{p\&tau;}{\cos \mathrm{\&delta;}}_s-N_L[{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{P\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\mathrm{cso}({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{D}_2=\mathrm{p\&tau;}{\sin \mathrm{\&delta;}}_s-N_L[-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})]\end{array}$

传统旋转感应电机每相的次级导体板电阻和励磁电抗表达式为，

$R_{2\mathrm{Sheet}}=\frac{{8a}_1{m}_1{\left(W_1{k}_{w1}\right)}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_e\mathrm{p\&tau;}}---\left(24\right)$

$X_m=\frac{{16a}_1{m}_1{\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{f\&pi;}{\left(W_1{k}_{w1}\right)}^2}{g_e\mathrm{p\&pi;}}---\left(25\right)$

对比式（22）、（23）和式（24）、（25），可知LIM的单相次级导体板电阻和励磁电抗受纵向边端效应影响而变化，可用校正系数K_r和K_x来修正。

$K_r=\frac{\mathrm{sG}}{\mathrm{p\&tau;}\sqrt{1+{\left(\mathrm{sG}\right)}^2}}\frac{D_1^2+D_2^2}{D_1}---\left(26\right)$

$K_x=\frac{1}{\mathrm{p\&tau;}\sqrt{1+{\left(\mathrm{sG}\right)}^2}}\frac{D_1^2+D_2^2}{D_2}---\left(27\right)$

3、横向边缘效应系数的推导

沿图1(b)的矩形环路径，由式（1）得，

$\frac{g_e}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}}{\&PartialD;z}=-{\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_{1x}---\left(28\right)$

在纵向截面上有，

$\frac{g_e}{{\mathrm{\&mu;}}_0}\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}}{\&PartialD;x}={\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_{1z}-{\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_1---\left(29\right)$

式中，

为区域1中次级导体线电流密度的x和z分量;

为气隙磁密的y分量。对式（5）取旋度并化简得，

$\frac{{\&PartialD;}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}}{{\&PartialD;x}^2}+\frac{{\&PartialD;}^2{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}}{{\&PartialD;z}^2}-\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2}{g_e}\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}}{\&PartialD;x}-\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e}{g_e}\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}}{\&PartialD;t}=-\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e}{g_e}\frac{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{J}}_1}{\&PartialD;x}---\left(30\right)$

假设 ${\stackrel{\&CenterDot;}{B}}_{1y}=B_{1y}(x,z,t)=B\left(z\right)\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right],$ 代入（30）得到全解为，

$B_{1y}(x,z,t)=(B_T\cosh \mathrm{\&alpha;z}-j\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{{\mathrm{kg}}_e}{J}_1{R}^2)\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right]---\left(31\right)$

式中，

B_T为待定常数，可根据边界条件和电流连续性定理得，

$B_T=-{\mathrm{jJ}}_1\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{{\mathrm{kg}}_e}\frac{1-R^2}{\cosh a_1\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{\&lambda;}---\left(32\right)$

式中， $\mathrm{\&lambda;}=\frac{1}{1+\frac{1}{R}\tanh \left(a_1\mathrm{\&alpha;}\right)\tanh k(c_2-a_1)}---\left(33\right)$

根据（31）和（32）得，

$B_{1y}(x,z,t)=-j\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{{\mathrm{kg}}_e}{J}_1{R}^2(1+\frac{1-R^2}{R^2}\mathrm{\&lambda;}\frac{\cosh \mathrm{\&alpha;z}}{\cosh \mathrm{\&alpha;}{a}_1})\exp \left[j({\mathrm{\&omega;}}_{e}t-\mathrm{kx})\right]---\left(34\right)$

设每极磁通为φ(t)，表达为，

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}={\&Integral;}_0^{\mathrm{\&tau;}}{\&Integral;}_{-a_1}^{a_1}{B}_{1y}(x,z,t)\mathrm{dzdx}=-\frac{{4\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{\&tau;}}{{\mathrm{\&pi;g}}_e}{J}_1{R}^2(a_1+\frac{1-R^2}{R^2}\frac{\mathrm{\&lambda;}}{\mathrm{\&alpha;}}\tanh \mathrm{\&alpha;}{a}_1)\exp \left(j{\mathrm{\&omega;}}_{e}t\right)---\left(35\right)$

初级每相励磁电势瞬时值为，

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_m={\&Integral;}_0^{\mathrm{\&tau;}}{\&Integral;}_{{-a}_1}^{a_1}{B}_{1y}(x,z,t)\mathrm{dzdx}=-W_1{k}_{w1}\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}\right]=-\sqrt{2}{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)\exp \left({\mathrm{j\&omega;}}_{e}t\right)---\left(36\right)$

式中，

$-{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)=\frac{4\sqrt{2}{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{fW}}_1{k}_{w1}{a}_1{\mathrm{\&tau;}}^2}{{\mathrm{\&pi;g}}_e}{J}_1\left\{j\right[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\&lambda;}}{a_1\mathrm{\&alpha;}}\tanh a_1\mathrm{\&alpha;}\left]\right\}---\left(37\right)$

由初级传到气隙和次级的功率为，

$\begin{array}{c}{-m}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{I}}_s{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)=P_2+{\mathrm{jQ}}_3=\frac{{2\mathrm{\&mu;}}_0{a}_1{\mathrm{fp\&tau;}}^3}{{\mathrm{\&pi;g}}_e}{J}_1\\ \{\mathrm{Re}\left(j\right[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\&lambda;}}{a_1\mathrm{\&alpha;}}\tanh a_1\mathrm{\&alpha;}\left]\right)+\mathrm{jIm}\left(j\right[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\&lambda;}}{a_1\mathrm{\&alpha;}}\tanh a_1\mathrm{\&alpha;}\left]\right)\}\end{array}---\left(38\right)$

根据复量功率相等的关系，可求出归算到初级单相次级导体板电阻和励磁电抗，

$R_{2\mathrm{Sheet}}=\frac{m_1{\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)\right|}^2}{P_2}=\frac{8a_1{m}_1{\left(W_1{k}_{w1}\right)}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_e\mathrm{p\&tau;s}}\frac{\mathrm{sG}\left\{{\mathrm{Re}}^2\right[T]+{\mathrm{Im}}^2[T\left]\right\}}{\mathrm{Re}\left[T\right]}---\left(39\right)$

$X_m=\frac{m_1{\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_m\left(s\right)\right|}^2}{Q_3}=\frac{{16a}_1{m}_1{\mathrm{\&mu;}}_0\mathrm{f\&tau;}{\left(W_1{k}_{w1}\right)}^2}{g_e\mathrm{p\&pi;}}\frac{\left\{{\mathrm{Re}}^2\right[T]+{\mathrm{Im}}^2[T\left]\right\}}{\mathrm{Im}\left[T\right]}---\left(40\right)$

设C_r和C_x为次级电阻和励磁电抗的横向边缘效应校正系数，表达为，

$C_r=\frac{\mathrm{sG}\left\{{\mathrm{Re}}^2\right[T]+{\mathrm{Im}}^2[T]}{\mathrm{Re}\left[T\right]}---\left(41\right)$

$C_x=\frac{\left\{{\mathrm{Re}}^2\right[T\left]{\mathrm{Im}}^2\right[T]}{\mathrm{Im}\left[T\right]}---\left(42\right)$

式中， $T=j[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\&lambda;}}{a_1\mathrm{\&alpha;}}\tanh a_1\mathrm{\&alpha;}].$

4、单相稳态等效电路的建立

根据传统电机学理论，不考虑纵向边端和横向边缘效应的影响，本发明先直接根据电机结构参数求得LIM的初级单相电阻R_s、初级单相漏感L_ls、单相励磁电感L_m1。然后，针对LIM的特殊结构，本发明另考虑如下三点：

（1）次级等效电阻

因为牵引LIM的次级由导体板和背铁构成，其次级单相等效电阻R_r由次级单相导体板电阻R_2sheet和次级单相背铁电阻R_2Back并联而成。其中R_2Back的计算公式为ρ_Fe为次级背铁电导率，W₁为初级绕组毎相匝数，K_W1为初级绕组系数，l_δ为初级叠片横向宽度，d_Fe为次级背铁在y轴的高度。

（2）气隙磁密饱和系数

由于牵引LIM运行过程中频繁启动和制动，其气隙磁密存在一定饱和度，进而影响电磁等效气隙g_e的大小。本发明采用磁密饱和系数K_μ进行校正，它是闭合磁路总磁动势和气隙磁动势的比值，对g_e产生如下影响，

g_e＝K_μK_δ(g_m+d)(43)

其中K_δ为气隙系数。LIM的K_μ在不同运行速度下其大小一般在[1,1.4]间变化，通常直线电机的(g_m+d)值为15mm左右，即气隙饱和效应导致g_e在6mm左右的范围内变化。因此，很有必要在特性分析时考虑气隙磁密饱和系数的影响。

（3）半填充槽影响

因为LIM纵向磁路开断，初级端部存在半填充槽，即端部绕组（跨距范围内）电流密度仅为其他满槽的一半。本发明从初级等效电流密度方程出发，推算出半填充槽作用下的气隙等效磁势，它在一定程度上减小了气隙磁动势和磁通，可类似于等效极数也相应减小。本发明采用等效极数pe对半填充槽的影响进行修正，其表达式为

$p_e=\frac{{(2p-1)}^2}{4p-3+\mathrm{\&epsiv;}/\left(m_{1}q\right)}---\left(44\right)$

其中p为实际极数，q为每极每相槽数，ε为短距系数。

综上所述，本发明得到LIM单相新型等效电路，如图2所示，其实质为T型等效电路，包括单相第一支路、单相第二支路和单相第三支路，单相第二支路和单相第三支路并联后再与单相第一支路串联形成回路；单相第一支路由电机初级单相电阻R_s和初级单相漏感L_ls串联而成，单相第二支路由电机次级单相漏感L_lr和次级单相校正电阻串联而成，单相第三支路由电机初级单相等效铁损电阻R_Fe和单相校正励磁电感

串联而成；

所述次级单相校正电阻

的阻值为

所述单相校正励磁电感

的电感值为

所述电机次级单相等效电阻R_r由电机次级的导体板电阻R_2Sheet和背铁电阻R_2Back并联而成。

5、两相动态电路的建立

经过相关校正系数修正后的LIM单相T型等效电路，其性质和传统RIM单相电路类似。为了分析LIM在不同工况下的动态特性，本发明根据功率守恒坐标变换原理，进一步推导LIM在dq轴（αβ轴类似）下的等效方程，具体如下。

图3为LIM定转子三相绕组到dq轴坐标变换原理图，其中ABC轴为定子三相静止坐标轴，abc轴为转子三相坐标轴，转子坐标轴相对定子坐标轴以速度ω_r逆时针旋转，相对角度为θ。d轴相对定子A轴的角度为θ₁，相对转子a轴角度为θ₂，有关系式θ＝θ₁-θ₂。根据三相静止/两相旋转坐标变换矩阵C_3s/2r，

$C_{3s/2r}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&theta;}& \cos (\mathrm{\&theta;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{3})& \cos (\mathrm{\&theta;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{3})\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& -\sin (\mathrm{\&theta;}-\frac{2\mathrm{\&pi;}}{3})& -\sin (\mathrm{\&theta;}+\frac{2\mathrm{\&pi;}}{3})\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]---\left(45\right)$

本发明推导出dq坐标下，LIM的磁链矩阵为

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&psi;}}_{d1}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q1}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{d2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{K}_x{C}_x{L}_m+L_{l1}& 0& K_x{C}_x{L}_m& 0\\ 0& K_x{C}_x{L}_m+L_{l1}& 0& K_x{C}_x{L}_m\\ K_x{C}_x{L}_m& 0& K_x{C}_x{L}_m+L_{l2}& 0\\ 0& K_x{C}_x{L}_m& 0& K_x{C}_x{L}_m+L_{l2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{d1}\\ i_{q1}\\ i_{d2}\\ i_{q2}\end{array}\right]---\left(46\right)$

其中ψ_d1，ψ_q1，ψ_d2，ψ_q2为初次级在dq轴下的磁链，i_d1，i_q1，i_d2，i_q2为初次级在dq轴下的电流。L_m为dq两相坐标下的电机两相励磁电感，它的大小为单相电路中互感L_m1的1.5倍。假设L_mc＝K_xC_xL_m，L_s＝K_xC_xL_m+L_l1，L_r＝K_xC_xL_m+L_l2，磁链的矩阵表达式转化为方程的形式为，

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&psi;}}_{d1}=(K_x{C}_x{L}_m+L_{\mathrm{ls}})i_{d1}+K_x{C}_x{L}_m{i}_{d2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q1}=(K_x{C}_x{L}_m+L_{\mathrm{ls}})i_{q1}+K_x{C}_x{L}_m{i}_{q2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{d2}=K_x{C}_x{L}_m{i}_{d1}+(K_x{C}_x{L}_m+L_{\mathrm{lr}})i_{d2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q2}=K_x{C}_x{L}_m{i}_{q1}+(K_x{C}_x{L}_m+L_{\mathrm{lr}})i_{q2}\end{array}\right.\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&psi;}}_{d1}=L_s{i}_{d1}+L_{\mathrm{mc}}{i}_{d2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q1}=L_s{i}_{q1}+L_{\mathrm{mc}}{i}_{q2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{d2}=L_{\mathrm{mc}}{i}_{d1}+L_r{i}_{d2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q2}=L_{\mathrm{mc}}{i}_{q1}+L_r{i}_{q2}\end{array}\right.---\left(47\right)$

由此可见，LIM的磁链表达式的整体形式和RIM表达式形式相同，只是电感的具体大小有所不同。RIM的互感在电机运行过程中不发生变化，而LIM中的互感受边端效应的影响，随着电机的滑差频率、速度的改变而改变，并且与电机的结构参数相关，具体影响因数表现在校正系数K_x和C_x的求取中。

LIM在dq轴下的电压矩阵方程为

$\left[\begin{array}{c}{u}_{d1}\\ u_{q1}\\ u_{d2}\\ u_{q2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_1+L_{s}p& -{\mathrm{\&omega;}}_{11}{L}_s& K_x{C}_x{L}_{m}p& -{\mathrm{\&omega;}}_{11}{K}_x{C}_x{L}_m\\ {\mathrm{\&omega;}}_{11}{L}_s& r_1+L_{s}p& {\mathrm{\&omega;}}_{11}{K}_x{C}_x{L}_m& K_x{C}_x{L}_{m}p\\ K_x{C}_x{L}_{m}p& -{\mathrm{\&omega;}}_{12}{K}_x{C}_x{L}_m& K_r{C}_r{r}_2+L_{r}p& -{\mathrm{\&omega;}}_{12}{L}_r\\ {\mathrm{\&omega;}}_{12}{K}_x{C}_x{L}_m& K_x{C}_x{L}_{m}p& {\mathrm{\&omega;}}_{12}{L}_r& K_r{C}_r{r}_2+L_{r}p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{d1}\\ i_{q1}\\ i_{d2}\\ i_{q2}\end{array}\right]---\left(48\right)$

其中ω₁₁为dq坐标相对初级的旋转角速度；ω₁₂为dq坐标相对次级的旋转角速度。把式（48）进一步化简为

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{u}_{d1}\\ u_{q1}\\ u_{d2}\\ u_{q2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_1& 0& 0& 0\\ 0& r_1& 0& 0\\ 0& 0& K_r{C}_r{r}_2& 0\\ 0& 0& 0& K_r{C}_r{r}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{d1}\\ i_{q1}\\ i_{d2}\\ i_{q2}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{L}_{\mathrm{sp}}& 0& K_x{C}_x{L}_{m}p& 0\\ 0& L_{s}p& 0& K_x{C}_x{L}_{m}p\\ K_x{C}_x{L}_{m}p& 0& L_{r}p& 0\\ 0& K_x{C}_x{L}_{m}p& 0& L_{r}p\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{d1}\\ i_{q1}\\ i_{d2}\\ i_{q2}\end{array}\right]\\ +\left[\begin{array}{cccc}0& -{\mathrm{\&omega;}}_{11}& 0& 0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{11}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -{\mathrm{\&omega;}}_{12}\\ 0& 0& {\mathrm{\&omega;}}_{12}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&psi;}}_{d1}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q1}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{d2}\\ {\mathrm{\&psi;}}_{q2}\end{array}\right]\end{array}---\left(49\right)$

其中电阻项表示电阻压降；Lp项为电感压降即感生电势；ω项为旋转电势即动生电势。根据式(49)的响应方程,本发明建立dq轴下的LIM新型等效电路，如图6所示。

所述d轴等效电路包括d轴第一支路、d轴第二支路和d轴第三支路，d轴第二支路与d轴第三支路并联后再与d轴第一支路串联形成回路；所述其d轴第一支路由电机初级单相电阻R_s、初级q轴感应电势U_d1＝ω₁₁ψ_qs的负极、初级q轴感应电势U_d1＝ω₁₁ψ_qs的正极和初级单相漏感L_ls依次串联而成；所述d轴第二支路由电机次级单相漏感L_lr、次级q轴滑差感应电势U_d2＝ω₁₂ψ_qr的正极、次级q轴滑差感应电势U_d2＝ω₁₂ψ_qr的负极和次级两相校正电阻

依次串联而成；d轴第一支路由电机两相校正励磁电感

构成；

所述q轴等效电路包括q轴第一支路、q轴第二支路和q轴第三支路，q轴第二支路与q轴第三支路并联后再与q轴第一支路串联形成回路；所述q轴第一支路由电机初级单相电阻R_s、初级d轴感应电势U_q1＝ω₁₁ψ_ds的正极、初级d轴感应电势U_q1＝ω₁₁ψ_ds的负极和初级单相漏感L_ls依次串联而成；q轴第二支路由电机次级单相漏感L_lr、次级d轴滑差感应电势U_q2＝ω₁₂ψ_dr的负极、次级d轴滑差感应电势U_q2＝ω₁₂ψ_dr的正极和次级两相校正电阻

串联而成；q轴第三支路由电机两相校正励磁电感

构成。

所述次级两相校正电阻的阻值为所述两相校正励磁电感

的电感值为其中，L_m为电机两相励磁电感，R_r为电机次级单相等效电阻；C_r为次级电阻横向边缘效应校正系数，K_r为励磁电抗横向边缘效应校正系数，C_x为次级电阻纵向边端效应校正系数，K_x为励磁电抗纵向边端效应校正系数。

6、稳态和动态驱动特性分析

根据新型LIM单相和两相模型，本发明可对LIM在不同稳态工况（例如恒压恒频、恒流恒频、变压变频、变流变频等）和动态工况（包括速度、负载等动态过渡过程）下的电机互感、次级等效电阻、力矩、功率因数、效率等电气参数和力能指标进行准确研究。具体分析思路和方法，完全和传统RIM类似，唯一不同在于，求解过程中，LIM的互感必须用Kx,Cx进行修正，而次级等效电阻须采用Kr，Cr修正。

LIM在稳态和动态过程中，其纵向边端效应、横向边缘效应对电机互感和次级等效电阻的影响，具体体现在4个校正系数的变化中。新型单相和两相模型，从场和路的角度出发，充分考虑了LIM的结构参数和状态变量（如滑差、频率、运行速度等）对电机互感、次级电阻、力矩、效率、功率因数的影响，计算过程简单直观，运算速度快捷。新型单相模型可以应用于LIM的电磁优化设计和驱动特性分析中，新型两相模型可以应用于高级控制策略中（例如空间矢量控制、直接转矩控制等），有助于获得准确合理的电机稳态和动态电气参数。图5为某直线感应电机在不同运行速度下的推力变化图。可以看出，计算值和测量值基本吻合，最大误差为7.4%,最小误差为2.3%,平均误差为4.85%。图6为实际运行中的直线感应电机动态速度变化图。由于实际空气阻力等影响，电机实际运行速度稍小于仿真分析值，但是在整个动态变化过程中，理论值和实测值误差均在3.2%以内，基本满足工程要求。由此可见，本发明提出的新型等效电路，可以较合理的分析直线感应电机稳态和动态特性。

当校正系数Kx=Cx=Kr=Cr=1时，即不考虑纵向边端效应和横向边缘效应时，新型单相和两相等效电路与传统的RIM等效电路完全一致，这和实际情况相符。通过4个校正系数，新型LIM电路和传统RIM电路得到有机的统一，即LIM的驱动特性是RIM的特殊情况，相关的参数和特性分析方法也能得到有机的统一。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种交通驱动用单边直线感应电机单相稳态分析等效电路，其特征在于，包括单相第一支路、单相第二支路和单相第三支路，单相第二支路和单相第三支路并联后再与单相第一支路串联形成回路；

单相第一支路由电机初级单相电阻R_s和初级单相漏感L_ls串联而成，单相第二支路由电机次级单相漏感L_lr和次级单相校正电阻

串联而成，单相第三支路由电机初级单相等效铁损电阻R_Fe和单相校正励磁电感

串联而成；

所述次级单相校正电阻

的阻值为

所述单相校正励磁电感

的电感值为其中，R_r为电机次级单相等效电阻，s为电机滑差，L_m1为电机单相励磁电感，C_r为次级电阻横向边缘效应校正系数，K_r为励磁电抗横向边缘效应校正系数，C_x为次级电阻纵向边端效应校正系数，K_x为励磁电抗纵向边端效应校正系数；

所述电机次级单相等效电阻R_r由电机次级的导体板电阻R_2Sheet和背铁电阻R_2Back并联而成；

所述励磁电抗的横向边缘效应校正系数

所述励磁电抗的纵向边端效应校正系数

所述次级电阻横向边缘效应校正系数

所述次级电阻纵向边端效应校正系数

式中，

$\begin{array}{c}{D}_1=\mathrm{p\&tau;}{\cos \mathrm{\&delta;}}_s-N_L[{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{P\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})]\end{array},$

$\begin{array}{c}{D}_2=\mathrm{p\&tau;}{\sin \mathrm{\&delta;}}_s-N_L[-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})]\end{array},$

s为电机滑差，G为品质因数，p为初级实际极数，τ为电机每极长度；

${\mathrm{\&delta;}}_s=\mathrm{ta}{n}^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right),S_L=k-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e},{\mathrm{\&tau;}}_e=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{Y},$ k＝π/τ，

μ₀为空气磁导率，σ_e为次级导体的表面电导率，v₂为电机运动速度沿电机运行方向的分量，g_e为等效电磁气隙，ω_e为初级电角速度， $N_L=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&tau;}}_e}{M_L\mathrm{\&tau;}\sqrt{{\mathrm{\&tau;}}_e^2+{\left({\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1\right)}^2}},M_L={\left({\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\right)}^2+S_L^2,{\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{{\mathrm{\&tau;g}}_e}{g_{e}X-{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2},$ $X=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2}{g_e}\sqrt{\frac{\sqrt{1+{({4\mathrm{\&omega;}}_e{g}_e/{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v_2}^2)}^2}+1}{2}},{\mathrm{\&delta;}}_s={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right),\mathrm{\&beta;}={\tan }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1}{{\mathrm{\&tau;}}_e}\right);$

$T=j[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\&lambda;}}{a_1\mathrm{\&alpha;}}\tanh a_1\mathrm{\&alpha;}],$ j为复数的虚部符号， $R^2=\frac{1}{1+\mathrm{jsG}},$ ${\mathrm{\&alpha;}}^2=k^2+j\frac{{\mathrm{\&omega;}}_e{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e}{g_e},\mathrm{\&lambda;}=\frac{1}{1+\frac{1}{R}\tanh \left(a_1\mathrm{\&alpha;}\right)\tanh k(c_2-a_1)},$ c₂为次级导体板宽度的一半,Re表示实部,Im表示虚部。

2.如权利要求1所述的单相稳态分析等效电路，其特征在于，采用磁密饱和系数K_μ对交通驱动用单边直线感应电机的电磁等效气隙进行校正，即所述等效电磁气隙g_e＝K_μK_δ(g_m+d)，K_δ为气隙系数，K_μ为磁密饱和系数，g_m为机械气隙长度，d为次级导体板厚度。

3.如权利要求1或2所述的单相稳态分析等效电路，其特征在于，考虑初级端部半填充槽对电机气隙等效磁动势产生削弱，对电机实际极数p进行校正，其校正结果表示为

其中q为电机每极每相槽数，ε为短距系数，m₁为电机相数。

4.交通驱动用单边直线感应电机两相动态分析等效电路，其特征在于，包括d轴等效电路和q轴等效电路；

所述d轴等效电路包括d轴第一支路、d轴第二支路和d轴第三支路，d轴第二支路与d轴第三支路并联后再与d轴第一支路串联形成回路；所述其d轴第一支路由电机初级单相电阻R_s、初级q轴感应电势U_d1的负极、初级q轴感应电势U_d1的正极和初级单相漏感L_ls依次串联而成；所述d轴第二支路由电机次级单相漏感L_lr、次级q轴滑差感应电势U_d2的正极、次级q轴滑差感应电势U_d2的负极和次级两相校正电阻

依次串联而成；d轴第三支路由电机两相校正励磁电感

构成；

所述q轴等效电路包括q轴第一支路、q轴第二支路和q轴第三支路，q轴第二支路与q轴第三支路并联后再与q轴第一支路串联形成回路；所述q轴第一支路由电机初级单相电阻R_s、初级d轴感应电势U_q1的正极、初级d轴感应电势U_q1的负极和初级单相漏感L_ls依次串联而成；q轴第二支路由电机次级单相漏感L_lr、次级d轴滑差感应电势U_q2的负极、次级d轴滑差感应电势U_q2的正极和次级两相校正电阻

串联而成；q轴第三支路由电机两相校正励磁电感

构成；

所述次级两相校正电阻

的阻值为

所述两相校正励磁电感

的电感值为

其中，L_m为电机两相励磁电感，R_r为电机次级单相等效电阻；C_r为次级电阻横向边缘效应校正系数，K_r为励磁电抗横向边缘效应校正系数，C_x为次级电阻纵向边端效应校正系数，K_x为励磁电抗纵向边端效应校正系数；

所述电机次级单相等效电阻R_r由电机次级的导体板电阻R_2Sheet和背铁电阻R_2Back并联而成；

所述励磁电抗的横向边缘效应校正系数

所述励磁电抗的纵向边端效应校正系数

所述次级电阻横向边缘效应校正系数

所述次级电阻纵向边端效应校正系数

式中，

$\begin{array}{c}{D}_1=\mathrm{p\&tau;}{\cos \mathrm{\&delta;}}_s-N_L[{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{P\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})]\end{array},$

$\begin{array}{c}{D}_2=\mathrm{p\&tau;}{\sin \mathrm{\&delta;}}_s-N_L[{-\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})\\ +S_L{e}^{-\mathrm{p\&tau;}/{\mathrm{\&alpha;}}_1}\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;}+S_L\mathrm{p\&tau;})-{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\cos ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})-S_L\sin ({\mathrm{\&delta;}}_s-\mathrm{\&beta;})]\end{array},$

s为电机滑差，G为品质因数，p为初级实际极数，τ为电机每极长度；

${\mathrm{\&delta;}}_s=\mathrm{ta}{n}^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right),S_L=k-\frac{\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&tau;}}_e},{\mathrm{\&tau;}}_e=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{Y},$ k＝π/τ，

μ₀为空气磁导率，σ_e为次级导体的表面电导率，v₂为电机运动速度沿电机运行方向的分量，g_e为等效电磁气隙，ω_e为初级电角速度， $N_L=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}_1\mathrm{\&pi;}{\mathrm{\&tau;}}_e}{M_L\mathrm{\&tau;}\sqrt{{\mathrm{\&tau;}}_e^2+{\left({\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1\right)}^2}},M_L={\left({\mathrm{\&alpha;}}_1^{-1}\right)}^2+S_L^2,{\mathrm{\&alpha;}}_1=\frac{{\mathrm{\&tau;g}}_e}{g_{e}X-{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2},$ $X=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v}_2}{g_e}\sqrt{\frac{\sqrt{1+{({4\mathrm{\&omega;}}_e{g}_e/{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e{v_2}^2)}^2}+1}{2}},{\mathrm{\&delta;}}_s={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{sG}}\right),\mathrm{\&beta;}={\tan }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_1}{{\mathrm{\&tau;}}_e}\right);$

$T=j[R^2+(1-R^2)\frac{\mathrm{\&lambda;}}{a_1\mathrm{\&alpha;}}\tanh a_1\mathrm{\&alpha;}],$ j为复数的虚部符号， $R^2=\frac{1}{1+\mathrm{jsG}},$ ${\mathrm{\&alpha;}}^2=k^2+j\frac{{\mathrm{\&omega;}}_e{\mathrm{\&mu;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_e}{g_e}s,\mathrm{\&lambda;}=\frac{1}{1+\frac{1}{R}\tanh \left(a_1\mathrm{\&alpha;}\right)\tanh k(c_2-a_1)},$ c₂为次级导体板宽度的一半,Re表示实部,Im表示虚部。

5.如权利要求4所述的两相动态分析等效电路，其特征在于，采用磁密饱和系数K_μ对交通驱动用单边直线感应电机的电磁等效气隙进行校正，即所述等效电磁气隙g_e＝K_μK_δ(g_m+d)，K_δ为气隙系数，K_μ为磁密饱和系数，g_m为机械气隙长度，d为次级导体板厚度。

6.如权利要求4或5所述的两相动态分析等效电路，其特征在于，所述考虑初级端部半填充槽对电机气隙等效磁动势产生削弱，对电机实际极数p进行校正，其校正结果表示为

其中q为电机每极每相槽数，ε为短距系数，m₁为电机相数。

7.交通驱动用单边直线感应电机单相稳态特性分析方法，其特征在于，将权利要求1～3任意一项所述等效电路用于交通驱动用单边直线感应电机单相稳态特性分析。

8.交通驱动用单边直线感应电机两相动态特性分析方法，其特征在于，将权利要求4～6任意一项所述等效电路用于交通驱动用单边直线感应电机两相动态特性分析。

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