CN103646178A - 一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，其算法将记忆性策略引入万有引力搜索算法，使粒子不仅将群体信息共享，也实现了上下代之间信息的共享，从而平衡粒子的全局与局部搜索能力，克服早熟收敛问题。在此基础上，该算法引入多样性增强机制，即在每次迭代中对粒子的速度和位置加以控制，以减缓多样性的流失，提高粒子的多样性，从而增强非支配解集的多样性与分布性，因此，基于改进引力搜索算法的多目标优化方法能够有效避免多目标优化陷入局部极值，显著改善引力搜索算法运用到多目标优化领域时非支配解的收敛性、多样性与分布性。

Description

一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法

技术领域

本发明涉及一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法。

背景技术

多目标优化问题在科学研究与工程应用中都处于非常重要的地位。与单目标优化问题的本质区别在于，它的解并不是唯一的，而是存在一组由众多Pareto最优解组成的最优解集合，集合中的各个元素称为Pareto最优解或非支配解。

由于在多目标优化算法中，全局最优粒子的计算与搜索（引导粒子的选取），对多目标优化中解的收敛性与分布性具有重要影响，具备突出的全局寻优能力的进化算法被应用到多目标优化领域中。目前发展比较成熟的多目标进化算法主要包括基于遗传算法GA的多目标优化和基于粒子群算法PSO的多目标优化。在遗传算法方面，主要有非支配排序遗传算法NSGA及其改进算法NSGA-II、小生境非劣解排序遗传算法NPGA，以及加强型非劣解排序遗传算法SPEA2等，其中尤以NSGA-II搜索寻优效果和收敛速度最为突出。而在粒子群方面，主要就是基于外部存档的粒子群多目标优化算法。由于粒子群算法具备两个特殊的性质：（1）记忆性——用来存储全局最优粒子与个体历史最优值；（2）信息交流性——粒子之间依据记忆特性相互分享最优位置的信息，使得粒子群在多目标优化领域表现出一定的实用性。

作为一种新型进化算法，引力搜索算法已经成功应用到单目标优化领域，并在多目标优化领域取得了一定的效果。其根本思想是基于牛顿的万有引力定律：“在宇宙间，每一个粒子由于万有引力的作用而彼此相互吸引，引力的大小与粒子的质量成正比，与他们之间的距离成反比”。所以，通过粒子间的相互吸引，引力搜索算法保证了所有粒子向着质量最大的粒子移动。

但是，当引力搜索算法运用到多目标优化时，其自身的一些缺点导致该算法中全局最优粒子的质量较低，多目标优化的效果还有待提高。首先，在引力搜索算法中，只有当前的位置信息在迭代更新过程中起作用，即该算法是一种缺乏记忆性的算法，这就导致种群上下代之间没有信息交流，容易陷入早熟收敛。另一方面，由于引力搜索算法中粒子速度较大，全部都向质量较大的粒子移动，收敛非常迅速，所以种群的多样性降低快速，即多样性迅速流失，不能保证非支配解的多样性与分布性。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，它能够有效避免多目标优化陷入局部极值，显著改善引力搜索算法运用到多目标优化领域时非支配解的收敛性、多样性与分布性。

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：包括以下步骤：

1）明确要解决的多目标优化问题MOP：该问题的目标函数，整个问题的搜索空间维度n，空间上下限范围ub、lb，以及目标个数m；

2）种群初始化：设定引力场中粒子数目N，最大迭代次数M；随机初始化种群中各个粒子的位置X、速度V、速度的上下界范围从Vmax到Vmin之间；每个粒子个体历史最优位置pbest_i赋值：将初始每个X_i的位置赋予对应pbest_i；设置权重系数w的范围；初始化协调因子：变系数c₁,c₂；

3）初始化外部档案NP与全局最优值gbest：分别计算初始X中每个粒子在各个目标下的函数值f1,f2…fm，根据支配关系将初始X划分为两个子种群A和B，分别存储非支配子集A,支配子集B，NP=A，从NP中随机选取一个粒子作为gbest；

4）根据目标问题，计算每个粒子的适应值：首先计算每个粒子在每个目标的函数值，然后按照线性权重的方式，将多个目标的适应度值，规划为一个适应度值：

fitness＝f1*(1-t/M)+f2*t/M

其中，f1与f2表示两个目标问题的目标函数值，t表示当前迭代次数，M表示最大迭代次数；

5）计算引力加速度：根据引力搜索算法的介绍，加速度的计算公式为：

$a_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=\frac{F_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)}{M_i\left(t\right)},$

其中，

是两个粒子在d维度上的相互作用力：

$F_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=G\left(t\right)\frac{M_i\left(t\right)\×M_j\left(t\right)}{R_{\mathrm{ij}}\left(t\right)+\mathrm{\ϵ}}(x_j^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right)),$

M_i(t)是粒子i的质量：

$M_i\left(t\right)=\frac{m_i\left(t\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^N{m}_j\left(t\right)},$

而粒子质量m的计算，是根据适应度值，通过归一化实现的：

$m_i\left(t\right)=\frac{{\mathrm{fit}}_i\left(t\right)-\mathrm{worst}\left(t\right)}{\mathrm{best}\left(t\right)-\mathrm{worst}\left(t\right)},$

对于不同的多目标问题，best与worst的标准不同，若求最小值，则：

若求最大值，则：

$\mathrm{best}\left(t\right)=\underset{j\∈\{1,...,N\}}{\max }{\mathrm{fit}}_j\left(t\right),$

$\mathrm{best}\left(t\right)=\underset{j\∈\{1,...,N\}}{\max }{\mathrm{fit}}_j\left(t\right),$

6）更新粒子的速度与位置：在这个更新过程中，粒子个体最优和全局最优被引入，修正了粒子的速度更新公式，这样粒子的移动就被三种粒子产生的作用影响：一是粒子种群的历史最优值，二是每个粒子个体历史最优值，三是种群内其它所有粒子的合力，同时，引入协调因子与权重系数的概念，用于调整所记忆的历史信息在优化过程中的影响比例，以控制粒子的全局与局部搜索的平衡，所以粒子i在t时刻的速度和位置的进化公式为：

$v_i^d(t+1)=w\·v_i^d\left(t\right)+c_1\·r_1\left(t\right)\·({\mathrm{pbest}}_i^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))+c_2\·r_2\left(t\right)\·({\mathrm{gbest}}_i^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))+a_i^d\left(\text{t}\right)$

$x_i^d(t+1)=x_i^d\left(t\right)+v_i^d(t+1)$

其中，r₁,r₂是从0到1间均匀分布的相互独立的随机数序列，c₁,c₂作为协调因子，设定为数值不断变化的系数，w是变权重系数；

在粒子速度与位置更新过程中，若出现速度或位置超出搜索限制的情况，需要加入多样性增强机制来控制粒子的速度与位置；

7）更新外部存档：由于外部存档用来存放非支配解子集，所以需要将每一代种群产生的新的粒子与NP内的粒子进行比较，保留非支配解，删除支配解；另外，在每一次更新过程中，都根据密度评估技术、分散度技术等删除最劣解，其中解的密度越低，分散度越好，表明解越占优；

8）更新全局最优与个体最优粒子：全局最优gbest，是从外部存档NP中随机选择的，而每个粒子的个体最优pbest是通过判断新的粒子与个体历史最优pbest的支配关系来更新的，如果新的粒子被pbest支配，则pbest的值不变；如果新的粒子支配pbest，则pbest被替换；

9）不断搜索迭代，直至达到迭代次数或满足要求精度为止。

作为优选，在步骤6中，引入记忆性的万有引力搜索策略：将种群的历史最优值和粒子的个体历史最优值引入引力搜索算法，所以，粒子的移动受三种粒子产生的作用影响：一是种群的历史最优值，二是每个粒子个体历史最优值，三是种群内其它所有粒子的合力。

作为优选，在步骤6中，更新速度与位置的同时，要加入控制机制来确保粒子的速度与位置不超出限制；对粒子速度而言，在搜索开始之前：设定粒子的最大最小速度为Vmax和Vmin，并将粒子的初始速度初始化在搜索空间的1/2范围内，即：Vmax=-Vmin=0.5*（ub-lb）；在搜索过程中：当粒子的速度超出规定范围时，将其规划到临界速度，对粒子位置而言：当粒子的位置超出搜索空间，给定一种随机方法，若满足随机条件，将粒子规划到临界位置，并将对应粒子的速度方向调整整为原速度的反方向，速度大小不变；若不满足随机条件，将粒子的位置随机初始化到搜索空间，并将速度重新初始化。

本发明的基于改进引力搜索算法的多目标优化方法的有益效果：该方法利用加入记忆性搜索策略改进后的引力搜索算法对多目标问题进行优化，充分利用粒子记忆性中，上下代信息及群体信息共享的特性，对粒子的速度更新方式进行修正，从而使粒子的速度信息更新不仅取决于整个系统中其他粒子的共同作用，还受到自身最优与全局最优粒子的影响，这种作用有效平衡了粒子的全局与局部搜索性能、避免早熟收敛的发生；此外，多样性增强策略的引入，通过控制更新过程中粒子的速度与位置，有效减缓了引力搜索算法中多样性的流失，所以，引力搜索算法在应用到多目标优化领域时，能够得到具备非常好的收敛性、多样性与分布性的最优非支配解集。

附图说明

图1为本发明粒子记忆性改进策略的示意图；

图2为本发明多样性增强机制示意图；

图3为本发明方法改进后的多目标优化流程图；

图4为本发明加入记忆搜索策略粒子移动示意图；

图5本发明中的基于改进引力搜索算法的多目标优化结果的示意图；

图6本发明实施例中多目标优化函数示意图。

具体实施方式

下面通过一个具体实施例来验证本发明所提出的基于改进引力搜索算法的多目标优化方法的性能。实验环境为3.2Ghz，4G内存，MATLAB7.8版本。

本实施例中，参照图1至图6图所示，一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，具体包括以下步骤：

1）明确要解决的多目标优化问题MOP：该问题的目标函数，整个问题的搜索空间维度n，空间上下限范围ub、lb，以及目标个数m如图6所示：

2）种群初始化：设定引力场中粒子数目N，最大迭代次数M；随机初始化种群中各个粒子的位置X、速度V、速度的上下界范围[Vmax,Vmin]；每个粒子个体历史最优位置pbest_i赋值：将初始每个X_i的位置赋予对应pbest_i；设置权重系数w的范围；初始化协调因子：变系数c₁,c₂；

3）初始化外部档案NP与全局最优值gbest：分别计算初始X中每个粒子在各个目标下的函数值f1,f2，根据支配关系将初始X划分为两个子种群A和B，分别存储非支配子集A,支配子集B，NP=A。从NP中随机选取一个粒子作为gbest；

4）根据目标问题，计算每个粒子的适应值：首先计算每个粒子在每个目标的函数值，然后按照线性权重的方式，将多个目标的适应度值，规划为一个适应度值：

fitness＝f1*(1-t/M)+f2*t/M

其中，f1与f2表示两个目标问题的目标函数值，t表示当前迭代次数，M表示最大迭代次数。

5）计算引力加速度：根据引力搜索算法的介绍，加速度的计算公式为：

$a_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=\frac{F_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)}{M_i\left(t\right)},$

其中，是两个粒子在d维度上的相互作用力：

$F_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=G\left(t\right)\frac{M_i\left(t\right)\×M_j\left(t\right)}{R_{\mathrm{ij}}\left(t\right)+\mathrm{\ϵ}}(x_j^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right)),$

M_i(t)是粒子i的质量：

$M_i\left(t\right)=\frac{m_i\left(t\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^N{m}_j\left(t\right)},$

而粒子质量m的计算，是根据适应度值，通过归一化实现的：

$m_i\left(t\right)=\frac{{\mathrm{fit}}_i\left(t\right)-\mathrm{worst}\left(t\right)}{\mathrm{best}\left(t\right)-\mathrm{worst}\left(t\right)},$

对于不同的多目标问题，best与worst的标准不同，若求最小值，则：

$\mathrm{best}\left(t\right)=\underset{j\∈\{1,...,N\}}{\min }{\mathrm{fit}}_j\left(t\right),$

若求最大值，则：

$\mathrm{best}\left(t\right)=\underset{j\∈\{1,...,N\}}{\max }{\mathrm{fit}}_j\left(t\right),$

6）更新粒子的速度与位置：在这个更新过程中，粒子个体最优和全局最优被引入，修正了粒子的速度更新公式。这样粒子的移动就被三种粒子产生的作用影响：一是粒子种群的历史最优值，二是每个粒子个体历史最优值，三是种群内其它所有粒子的合力。如图4a和图4b分别表示了加入记忆搜索策略前后粒子移动的示意图。同时，引入协调因子与权重系数的概念，用于调整所记忆的历史信息在优化过程中的影响比例，以控制粒子的全局与局部搜索的平衡。所以粒子i在t时刻的速度和位置的进化公式为：

$v_i^d(t+1)=w\·v_i^d\left(t\right)+c_1\·r_1\left(t\right)\·({\mathrm{pbest}}_i^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))+c_2\·r_2\left(t\right)\·({\mathrm{gbest}}_i^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))+a_i^d\left(\text{t}\right)$

$x_i^d(t+1)=x_i^d\left(t\right)+v_i^d(t+1)$

该实施例中w为在[0.4,0.9]间线性减小的变化权重，r1与r2为[0,1]间的随机数，c1=c2为[1,2]间线性减小的变化协调因子。

在粒子速度与位置更新过程中，若出现速度或位置超出搜索限制的情况，需要加入多样性增强机制来控制粒子的速度与位置。

7）更新外部存档：由于外部存档用来存放非支配解子集，所以需要将每一代种群产生的新的粒子与NP内的粒子进行比较，保留非支配解，删除支配解。另外，在每一次更新过程中，都根据密度评估技术、分散度技术等删除最劣解（解的密度越低，分散度越好，表明解越占优）；

8）更新全局最优与个体最优粒子：全局最优gbest，是从外部存档NP中随机选择的，而每个粒子的个体最优pbest是通过判断新的粒子与个体历史最优pbest的支配关系来更新的，如果新的粒子被pbest支配，则pbest的值不变；如果新的粒子支配pbest，则pbest被替换；

9）不断搜索迭代，直至达到迭代次数或满足要求精度为止；

优化实施例中的多目标问题，最终得到的Pareto最优前端如图5中黑线粗线所示，与白色细线表示的真值有非常好的吻合。

在所述步骤6中，引入记忆性的万有引力搜索策略：将种群的历史最优值和粒子的个体历史最优值引入引力搜索算法，所以，粒子的移动受三种粒子产生的作用影响：一是种群的历史最优值，二是每个粒子个体历史最优值，三是种群内其它所有粒子的合力。

在所述步骤6中，更新速度与位置的同时，要加入控制机制来确保粒子的速度与位置不超出限制。对粒子速度而言，在搜索开始之前：设定粒子的最大最小速度（Vmax,Vmin），并将粒子的初始速度初始化在搜索空间的1/2范围内，即：Vmax=-Vmin=0.5*（ub-lb）。在搜索过程中：当粒子的速度超出规定范围时，将其规划到临界速度，对粒子位置而言：当粒子的位置超出搜索空间，给定一种随机方法，若满足随机条件，将粒子规划到临界位置，并将对应粒子的速度方向调整整为原速度的反方向，速度大小不变；若不满足随机条件，将粒子的位置随机初始化到搜索空间，并将速度重新初始化。

本发明的基于改进引力搜索算法的多目标优化方法的有益效果：

本发明提出的基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，利用加入记忆性搜索策略改进后的引力搜索算法对多目标问题进行优化，充分利用粒子记忆性中上下代信息及群体信息共享的特性，对粒子的速度更新方式进行修正，从而使粒子的速度信息更新不仅取决于整个系统中其他粒子的共同作用，还受到自身最优与全局最优粒子的影响，这种作用有效平衡了粒子的全局与局部搜索性能，有效避免早熟收敛的发生。此外，多样性增强策略的引入，通过控制更新过程中粒子的速度与位置，有效减缓了引力搜索算法中多样性的流失。所以，引力搜索算法在应用到多目标优化领域时，能够得到具备非常好的收敛性、多样性与分布性的最优非劣解集。

上述实施例，只是本发明的一个实例，并不是用来限制本发明的实施与权利范围，凡与本发明权利要求所述内容相同或等同的技术方案，均应包括在本发明保护范围内。

Claims (3)

1.一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，其特征在于：包括以下步骤：

1）明确要解决的多目标优化问题MOP：该问题的目标函数，整个问题的搜索空间维度n，空间上下限范围ub、lb，以及目标个数m；

2）种群初始化：设定引力场中粒子数目N，最大迭代次数M；随机初始化种群中各个粒子的位置X、速度V、速度的上下界范围从Vmax到Vmin之间；每个粒子个体历史最优位置pbest_i赋值：将初始每个X_i的位置赋予对应pbest_i；设置权重系数w的范围；初始化协调因子：变系数c₁,c₂；

3）初始化外部档案NP与全局最优值gbest：分别计算初始X中每个粒子在各个目标下的函数值f1,f2…fm，根据支配关系将初始X划分为两个子种群A和B，分别存储非支配子集A,支配子集B，NP=A，从NP中随机选取一个粒子作为gbest；

4）根据目标问题，计算每个粒子的适应值：首先计算每个粒子在每个目标的函数值，然后按照线性权重的方式，将多个目标的适应度值，规划为一个适应度值：

fitness＝f1*(1-t/M)+f2*t/M

其中，f1与f2表示两个目标问题的目标函数值，t表示当前迭代次数，M表示最大迭代次数；

5）计算引力加速度：根据引力搜索算法的介绍，加速度的计算公式为：

$a_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=\frac{F_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)}{M_i\left(t\right)},$

其中，是两个粒子在d维度上的相互作用力：

$F_{\mathrm{ij}}^d\left(t\right)=G\left(t\right)\frac{M_i\left(t\right)\×M_j\left(t\right)}{R_{\mathrm{ij}}\left(t\right)+\mathrm{\ϵ}}(x_j^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right)),$

M_i(t)是粒子i的质量：

$M_i\left(t\right)=\frac{m_i\left(t\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^N{m}_j\left(t\right)},$

而粒子质量m的计算，是根据适应度值，通过归一化实现的：

$m_i\left(t\right)=\frac{{\mathrm{fit}}_i\left(t\right)-\mathrm{worst}\left(t\right)}{\mathrm{best}\left(t\right)-\mathrm{worst}\left(t\right)},$

对于不同的多目标问题，best与worst的标准不同，若求最小值，则：

$\mathrm{best}\left(t\right)=\underset{j\∈\{1,...,N\}}{\min }{\mathrm{fit}}_j\left(t\right),$

若求最大值，则：

$\mathrm{best}\left(t\right)=\underset{j\∈\{1,...,N\}}{\max }{\mathrm{fit}}_j\left(t\right),$

6）更新粒子的速度与位置：在这个更新过程中，粒子个体最优和全局最优被引入，修正了粒子的速度更新公式；同时，引入协调因子与权重系数的概念，用于调整所记忆的历史信息在优化过程中的影响比例，以控制粒子的全局与局部搜索的平衡，所以粒子i在t时刻的速度和位置的进化公式为：

$v_i^d(t+1)=w\·v_i^d\left(t\right)+c_1\·r_1\left(t\right)\·({\mathrm{pbest}}_i^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))+c_2\·r_2\left(t\right)\·({\mathrm{gbest}}_i^d\left(t\right)-x_i^d\left(t\right))+a_i^d\left(\text{t}\right)$

$x_i^d(t+1)=x_i^d\left(t\right)+v_i^d(t+1)$

其中，r₁,r₂是从0到1间均匀分布的相互独立的随机数序列，c₁,c₂作为协调因子，设定为数值不断变化的系数，w是变权重系数；

在粒子速度与位置更新过程中，若出现速度或位置超出搜索限制的情况，需要加入多样性增强机制来控制粒子的速度与位置；

7）更新外部存档：由于外部存档用来存放非支配解子集，所以需要将每一代种群产生的新的粒子与NP内的粒子进行比较，保留非支配解，删除支配解；另外，在每一次更新过程中，都根据密度评估技术、分散度技术等删除最劣解，其中解的密度越低，分散度越好，表明解越占优；

8）更新全局最优与个体最优粒子：全局最优gbest，是从外部存档NP中随机选择的，而每个粒子的个体最优pbest是通过判断新的粒子与个体历史最优pbest的支配关系来更新的，如果新的粒子被pbest支配，则pbest的值不变；如果新的粒子支配pbest，则pbest被替换；

9）不断搜索迭代，直至达到迭代次数或满足要求精度为止。

2.根据权利要求1所述的一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，其特征在于：在步骤6中，引入记忆性的万有引力搜索策略：将种群的历史最优值和粒子的个体历史最优值引入引力搜索算法，所以，粒子的移动受三种粒子产生的作用影响：一是种群的历史最优值，二是每个粒子个体历史最优值，三是种群内其它所有粒子的合力。

3.根据权利要求1所述的一种基于改进引力搜索算法的多目标优化方法，其特征在于：在步骤6中，更新速度与位置的同时，要加入控制机制来确保粒子的速度与位置不超出限制；对粒子速度而言，在搜索开始之前：设定粒子的最大最小速度为Vmax和Vmin，并将粒子的初始速度初始化在搜索空间的1/2范围内，即：Vmax=-Vmin=0.5*（ub-lb）；在搜索过程中：当粒子的速度超出规定范围时，将其规划到临界速度，对粒子位置而言：当粒子的位置超出搜索空间，给定一种随机方法，若满足随机条件，将粒子规划到临界位置，并将对应粒子的速度方向调整整为原速度的反方向，速度大小不变；若不满足随机条件，将粒子的位置随机初始化到搜索空间，并将速度重新初始化。

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