CN103616819B - 镇定单输入单输出多时滞系统的pid控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

镇定单输入单输出多时滞系统的比例积分微分PID控制器设计方法，步骤如下：1）利用工控系统对以输送到流浆箱中的低浓纸浆为输入，以制造出的成品纸厚度为输出的造纸生产过程进行辨识，给出被控系统的多时滞模型；2）采用单位反馈控制结构，结合改进的Nyquist稳定判据和推广的Hermite定理，基于被控对象模型参数计算出能够保证闭环系统稳定的所有PID控制器的稳定集合，首先选取足够大的频率上界ω^*，计算出比例增益k_p的最大允许稳定范围；接着对k_p的最大允许稳定范围进行遍历，对每个遍历点k_p，根据多时滞系统稳定的充分必要条件给出(k_d,k_i)的稳定域，从而获得(k_p,k_i,k_d)的稳定集合。只要在所求取的PID控制器稳定集合中选取控制参数，并执行PID控制程序，均能使被控对象运行在稳定状态，实现系统的稳定控制。

Description

镇定单输入单输出多时滞系统的PID控制器设计方法

技术领域

本发明涉及一种用于过程控制技术领域的方法，具体是用于造纸生产过程控制系统的比例-积分-微分（PID）控制器设计方法。

背景技术

造纸过程是一个复杂的传质传热过程，表现为不确定性，状态的不完整性、参数间的强耦合性、纯滞后和非线性特性等，是一个复杂的多变量控制对象。在造纸过程中，除常规的热工参数需要检测控制外，还有一些特殊的、重要的参数需要检测和控制。如水分是造纸过程中的重要参数：纸页水分太高或太低，水分的波动幅度较大，会降低纸页的伸张力和拉力而造成断纸。并且影响这个参数的因素有三十余个，如打浆度，湿重、浓度和流量，白水的浓度和流量，填料的浓度和流量，蒸汽的过热度、压力和真空度，压榨部的线压力等等，都会影响成纸的水分。在众多因素中，通常选择纸浆流量作为整机控制的控制变量。对于网前部、铜网部、压榨部和烘干部等的局部控制，被控变量与控制变量的选择因不同的纸机而异。

从工程实践的角度来看，水分是造纸生产过程中最基本的质量指标之一，对其进行在线控制是保证和提高纸张质量的关键。而纸机流程被控对象的非线性、时变性、干扰因素的多样性和不确定性、纸浆传送网的车速不均匀、热蒸汽的压力变化、湿纸页在烘干部的热传递情况和成纸定量水分的耦合等诸多不利因素使得辨识出的系统模型存在多时滞现象。多时滞的存在不但增加了实现纸张水分自动控制的难度，且往往可以使系统的性能指标下降，甚至使系统失去稳定性，即：产出纸浆质量不符合工艺标准。从理论分析的角度来看，在连续域中，时滞系统是一个无穷维的系统，特征方程是超越方程，有无穷多个特征根，而在离散域中，时滞系统的维数随时滞的增加按几何规律增大的，这给系统的稳定性分析和控制器的设计带来了很大的困难。虽然对于具有单时滞模型的被控系统，已提出很多控制方法，但对于具有多时滞的系统的控制，无论在理论方面还是在工程实践方面都具有极大的挑战性。

常用的控制方法，如Smith预估控制、广义预测控制方法，虽然对纸张质量的提高起了一定的作用，但纸张水分的波动幅值较大，鲁棒性和抗干扰性不够好，且这些控制方法复杂，实现难度大。PID控制器因其仅有具有三个可调参数、易实现等优点在工业过程中广泛应用。但近几十年来，对于控制器的研究存在以下一些不足：

1.对于线性时滞系统，利用这些方法所得到的最优控制器均为有理结构，而且往往阶次较高，一般与被控对象的阶次相同，甚至更高，故控制器的实现成本很高，很难在造纸工业现场使用；

2.传统控制方式是基于描述实际控制对象的数学模型，但是这些模型一般是使用一些近似法或简化法得到，所以不可避免的会产生与相应的实际系统之间的误差。参数不确定会使所得模型不准确，从而可能会得到较差的性能；

3.对于时滞系统的低阶控制器镇定性分析，大多数方法都是采用有理传递函数来逼近时滞项。但是，由于时滞项逼近误差的存在，采用此类低阶控制器设计方法可能会导致闭环系统不稳定，尤其是对于大时滞系统，逼近误差会更大；

4.虽然有一些方法直接针对时滞系统可以确定PID控制器的稳定集合，如NorbertH.提出的基于奇异频率的稳定域求解方法（AllstabilizingPIDcontrollersfortimedelaysystems,Automatica,2009,45(11):2678-2684），但到目前为止还仅局限于具有单个时滞的被控对象，无法应用于具有多时滞的复杂被控对象。

在造纸生产过程控制中，通常存在一种由串联、并联等关系作用下的具有多时滞的被控对象，而且这些时滞也不尽相同。因此多时滞被控对象的稳定性分析和设计非常困难。一般在进行模型辨识时，将这类复杂被控对象辨识为具有单时滞的线性模型，从而产生较大的模型误差。如何在反馈控制系统中设计简单的PID控制器以保证复杂的多时滞被控系统稳定是一个尚未解决且对工业控制起着重要作用的研究问题。

发明内容

本发明的目的在于：针对现有造纸系统控制方法研究中，仅局限于将被控对象辨识为简单的单时滞模型并进行PID控制器设计的不足，提出一种镇定单输入单输出多时滞系统的PID控制器设计方法。首先利用改进的Nyquist稳定判据确定具有PID控制器的多时滞系统稳定的充分必要条件，然后基于推广的Hermite定理确定能够保证多时滞系统稳定的所有PID控制器集合，完成PID控制器的参数化。只要在所获得的PID控制器稳定集合中选取参数的值，都能够保证多时滞系统稳定，从而更准确地镇定造纸生产系统。该方法是一种通用的解析设计方法，对于任意给定的单输入单输出线性多时滞模型，都能够快速、有效和准确地给出PID控制参数稳定集，从而可通过在该稳定集中进行参数的选取和调节实现良好的控制效果，让用户最简单化地完成控制器设计。

本发明是通过以下技术方案实现的：先利用工控系统辨识出被控对象的多时滞线性模型，然后在现有的鲁棒控制器设计方法以及控制系统稳定性分析结果的基础上，采用单位反馈控制结构，结合改进的Nyquist稳定判据和推广的Hermite定理，基于被控对象模型参数计算出PID控制器C(s)=k_p+k_i/s+k_ds中控制参数的稳定域，其中k_p，k_i，k_d分别为比例，积分，微分增益；接着将提出的多时滞系统PID控制方法算法集成在工业控制系统的监控模块中，通过在算法获得的稳定集合中进行控制参数选取和调节，选取能够满足用户要求的PID控制参数并得到控制信号，实现对多时滞被控对象的控制，同时用户还可通过在线调节控制器参数来调节控制效果。具体步骤如下：

(1)先利用工控系统对以输送到流浆箱中的低浓纸浆为输入，以制造出的成品纸厚度为输出的造纸生产过程进行辨识，给出具有如下形式的多时滞模型G(s)：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\β}}_v{s}^v+\underset{i=0}{\overset{v-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{f_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{ij}}{s}^i{e}^{-s{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}}}{s^u+\underset{i=0}{\overset{u-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{h_i}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}{s}^i{e}^{-s{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ij}}}}---\left(1\right)$

令G(s)的分子和分母分别为V(s)和U(s)。式(1)中，u和v分别表示U(s)和V(s)中s项的最高阶次，u>v，τ_ij和α_ij是U(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，h_i是U(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，θ_ij和β_ij是V(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，f_i是V(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，β_v为V(s)的最高阶次项的系数。然后，将辨识出的模型参数送到主机的存储单元RAM中。

(2)建立图2所示的单位反馈系统，图中，G(s)为被控对象的多时滞模型，C(s)为具有以下形式的PID控制器：

$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s---\left(2\right)$

其中，k_p、k_i和k_d分别为控制器的比例、积分和微分增益。

(3)确定系统的闭环特征函数δ(s)为

δ(s)=sU(s)+V(s)(k_ds²+k_ps+k_i)(3)

令ω为频率，U_r(ω)和U_i(ω)为U(jω)的实部和虚部，V_r(ω)和V_i(ω)为V(jω)的实部和虚部，将闭环特征函数乘以V(-s)且令s=jω，得到

δ'(jω)=p(ω,k_i,k_d)+jq(ω,k_p)

其中,

p(ω,k_i,k_d)=p₁(ω)+(k_i-ω²k_d)[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]+jq(ω,k_p)(4)

q(ω,k_p)=ω{q₁(ω)+k_p[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]}(5)

p(ω,k_i,k_d)和q(ω,k_p)中的p₁(ω)和q₁(ω)分别为：

p₁(ω)=ω[U_r(ω)V_i(ω)-U_i(ω)V_r(ω)](6)

q₁(ω)=U_r(ω)V_r(ω)+U_i(ω)V_i(ω)(7)

(4)选取一个足够大的频率值ω^*；

(5)令Re[V(jω)]和Im[V(jω)]分别为V(jω)的实部与虚部，根据下式计算ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围

这里，当v为偶数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Im[V(jω)]在[0,ω^*)的零点；反之当v为奇数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Re[V(jω)]在[0,ω^*)的零点,e+1表示零点的个数。

(6)确定k_p的最大可允许稳定范围：

令Q表示f₁(ω)=k_p与f₂(ω)=-q₁(ω)/[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]在(0,ω^*)上的交点数，给出满足下式的k_p范围，即为k_p的最大可允许稳定范围。

其中，j(V)表示V(s)在正虚轴上的零点数，为ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围。

(7)令k_p的最大可允许稳定范围为[k_pmin,k_pmax]，将k_p值在该范围内进行等间隔的遍历，即每个遍历点为其中F为遍历点之间的间隔，Q=0,1,…,F。

(8)对于其中一个遍历点根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳定域：

(a)计算方程q(ω,k_p)=0在区间[0,ω^*)内的实零点，将这些实零点按照从小到大的顺序表示为ω₀,ω₁,ω₂,…,ω_c-1，其中，c为实零点的个数；

(b)令t=0,1,2,…,c-1，选择整数it的值：

(i)如果V(-jω_t)=0，那么i_t=0；

(ii)如果V(-s)在原点处存在零点，那么

$i_0=\{\mathrm{sgn}\left(\frac{d}{\mathrm{d\&omega;}}\right\{\mathrm{\&omega;}\&lsqb;U_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)V_i\left(\mathrm{\&omega;}\right)-U_i\left(\mathrm{\&omega;}\right)V_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;\}{|}_{\mathrm{\&omega;}=0})$

(iii)若不满足(i)和(ii)，i_t=1或-1，其准确值需根据下述稳定性条件而定；

(iv)令I={i₀,i₁,…}，确定能够满足下述等式的所有I：

$\frac{u+1}{2}-\underset{s=\mathrm{j\&omega;},\mathrm{\&omega;}\&Element;(0,{\mathrm{\&omega;}}^{*})}{\mathrm{\&Delta;}\arg \&lsqb;V\left(s\right)\&rsqb;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\mathrm{\&gamma;}\left(I\right)---\left(10\right)$

γ(I)由下式给出：

其中，这里ε是一足够小的正实数；

(c)对于遍历点(k_d,k_i)二维稳定域由下式决定:

[k_i-A(ω_t)k_d+B(ω_t)]i_t>0(12)其中，ω_t为式(5)在区间[0,ω^*)内的实零点，t=0,1,…,c-1，以及B(ω_t)=p₁(ω_t)/[V_r ²(ω_t)+V_i ²(ω_t)]。通过求取所有ω_t所对应的由式(12)所决定的不等式组的交集，即可确定具有凸多边形特性的(k_d,k_i)二维稳定域；

(9)对于步骤(7)中所给出的k_p的每个遍历点，都重复步骤(8)，确定能使闭环系统稳定的所有PID控制器集合；

(10)通过工控系统将辨识出的模型参数输送到PID控制器参数的计算单元，由步骤(2)-(9)计算出PID控制器的稳定集合，根据需要在控制器的稳定集合中选取控制参数，然后由监控模块执行事先编制好的PID控制程序：经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n)的值，与前一时刻的控制信号u(n-1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数。Δu(n)计算公式如下：

Δu(n)=b₁e(n)+b₂e(n-1)+b₃e(n-2)(13)

其中，b₁=(k_pR+k_d+R²k_i)/R，b₂=-(k_pR+2k_d)/R，b₃=k_d/R，R为系统采样周期，Δu(n)为当前采样步数为n时控制器输出信号增量，e(n)为当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n-1)为采样步数为n-1时的跟踪误差，e(n-2)为采样步数为n-2时的跟踪误差。输出控制信号u(n)由D/A转换后经模拟量输出通道送到调节造纸过程中的烘缸的进气蒸汽压力的进气蒸汽阀，通过控制蒸汽压力来调节纸张的水分，使得系统在达到稳态时，纸张中的水分能够稳定在水分的设定值，以稳定成纸纤维分布的均匀度，提高纸张质量，实现在线控制。

在造纸工业控制现场采用本发明提出的能够保证多时滞控制系统稳定的PID控制器设计方法，最大的特点就是：对于任意给定的多时滞被控对象，采用解析方法直接给出了多时滞被控系统的PID控制器稳定集合求取方法，只要在该稳定集合中选取控制参数，均能保证闭环系统的稳定，避免了模型辨识误差和时滞项近似所造成的不良后果，在现有的工控系统中可以直接实施，用户操作起来简便直观，从而显著地克服了传统方法的主要缺点，也避免了盲目地控制参数调节。此外，本发明还可用于具有分布时滞的被控对象的输出反馈控制中，能够快而准地确定能够保证系统稳定的控制参数值。

附图说明

图1为采用本发明方法的工作流程图。

图2为本发明采用的闭环控制结构图。其中C(s)为控制器，G(s)为被控对象的多时滞模型，r和y分别为闭环系统的输入和输出。

图3为造纸机控制简易模型原理图

图4为本发明实施例中的f₂的曲线图。

图5为本发明实施例中的q(ω,k_p)的曲线图。

图6为本发明实施例中当k_p=-1时，(k_d,k_i)的稳定集合。

图7为本发明实施例中(k_p,k_d,k_i)的稳定集合。

图8为本发明实施例中选取在稳定域内的控制参数(k_p,k_i,k_d)分别为(-2,-10,-0.2),(-1,-5,-0.2),(-3,-15,-0.1)时的单位阶跃响应曲线。

图9为本发明实施例中选取在稳定域边界上的控制参数(k_p,k_i,k_d)=(-5,-2.1,-20)时的单位阶跃响应曲线。

图10为本发明实施例中选取在稳定域外控制参数(k_p,k_i,k_d)=(-5,-2.15,-20)时的单位阶跃响应曲线，对比图8、图9以及图10可以表明所给出(k_p,k_d,k_i)的稳定集的有效性

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步描述。

如图3所示造纸工艺的简易模型，通过典型的长网纸机进行继电反馈辨识，得到水分控制回路中的造纸机动态连续多时滞模型，然后工控系统将辨识出的模型参数输送到PID控制器参数的计算单元，由PID控制器的稳定集合的求解算法给出能够保证多时滞被控对象稳定的PID控制器稳定集合，接着根据需要在控制器的稳定集合中选取控制参数，并顺序执行PID控制过程：首先对采样信号进行检测变送和A/D转换等输入预处理得到数字量输入信号，然后依据确定好的控制参数和PID控制规律得到控制信号。该输出信号经过限幅和A/D转换后得到输出数字量信号，将水分的设定值和测量值的数字量信号之间的偏差作为PID控制器的输入量，PID控制器的输出信号由D/A转换后经模拟量输出通道送到调节造纸过程中的烘缸的进气蒸汽压力的进气蒸汽阀，通过控制蒸汽压力来调节纸张的水分，使得系统在达到稳态时，纸张中的水分能够稳定在水分的设定值，以稳定成纸纤维分布的均匀度，提高纸张质量，实现在线控制。工控系统的主机部分采用研华工控机，实现控制器功能。执行器是调节蒸汽压力的型号为KP-10的蒸汽阀，传感器型号为SFY-20A的水分测量仪。由RTU-88组态硬件实现A/D，D/A转换。

实施例：

(1)先利用工控系统对以输送到流浆箱中的低浓纸浆为输入，以制造出的成品纸厚度为输出的造纸生产过程进行辨识，得到被控对象的传递函数为

$G\left(s\right)=-\frac{0.35}{35.125s^2+10.452s+1}{e}^{-3.14s}-\frac{0.65}{45.724s^2+17.168s+1}{e}^{-2.345s}$

(2)建立图2所示的单位反馈系统，图中，G(s)为步骤(1)中所获得的多时滞模型，C(s)为PID控制器：

$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s$

(3)确定系统的闭环特征函数δ(s)为

δ(s)=sU(s)+V(s)(k_ds²+k_ps+k_i)

其中，

U(s)=(35.125s²+10.452s+1)(45.724s²+17.168s+1)(14)

V(s)=-0.35(35.125s²+10.452s+1)e^-3.14s-0.65(45.724s²+17.168s+1)e^-2.345s(15)

由式(4)-(7)得：

p(ω,k_i,k_d)=p₁(ω)+(k_i-ω²k_d)[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]+jq(ω,k_p)

q(ω,k_p)=ω{q₁(ω)+k_p[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]}

其中，

p₁(ω)=ω[U_r(ω)V_i(ω)-U_i(ω)V_r(ω)]

q₁(ω)=U_r(ω)V_r(ω)+U_i(ω)V_i(ω)

这里，U_r(ω)和U_i(ω)为式(14)中U(jω)的实部和虚部，V_r(ω)和V_i(ω)为式(15)中V(jω)的实部和虚部。

(4)选取频率值ω^*为10；

(5)从主机的存储单元RAM中读取辨识出模型参数，计算幅角

首先，计算Re[V(jω)]的实零点可得如下结果:

w₀=0，w₁=1.0601，w₂=2.3231，w₃=4.1512，

w₄=5.6268，w₅=6.8265，w₆=8.0063，w₇=9.1869

则sgn[V(0)]=-1，对应的sgn(Im[V(jw_t)])的值为(1,-1,1,-1,1,-1,1)，其中，t=1,2,…,7。因此，由式(8)可得

$\underset{s=\mathrm{j\&omega;},\mathrm{\&omega;}\&Element;(0,{\mathrm{\&omega;}}^{*})}{\mathrm{\&Delta;}\arg \left[V\left(s\right)\right]}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\mathrm{sgn}\left[V\left(0\right)\right]\&CenterDot;\left\{2\mathrm{sgn}\right[\mathrm{Im}\left(V\left(j{w}_0\right)\right)]+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{(-1)}^{e}2\mathrm{sgn}\left[\mathrm{Im}\left(V\left(j{w}_e\right)\right)\right]\}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\&CenterDot;(-1)\&CenterDot;2\&CenterDot;7=-7\mathrm{\&pi;}$

(6)确定k_p的最大可允许稳定范围：绘出f₂(ω)=-q₁(ω)/[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]在ω位于区间(0,10)中的变化轨迹，如图(4)所示。由式(9)可知，f₁(ω)=k_p与f₂(ω)的交点必须大于等于9，因此可得k_p最大允许的可稳定的范围为(-9.3,1)。

(7)令k_p的最大可允许稳定范围(-9.3,1)为[k_pmin,k_pmax]，将k_p值在该范围内进行等间隔的遍历，即每个遍历点为其中F=0.1为遍历点之间的间隔。

(8)选取一遍历点从主机的存储单元RAM中读取辨识出模型参数并在计算单元中根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳定域：

(a)计算q(ω,k_p)=0在区间[0,10)上的不同的非负实零点。由图5可给出满足要求的非负实零点为

ω₀=0，ω₁=0.1619，ω₂=0.7394，ω₃=1.8445，ω₄=3.0714，ω₅=5.0508，ω₆=6.2722，ω₇=7.4512，ω₈=8.6247，ω₉=9.8100

(b)确定i_t的值:

由式 $i_0=\mathrm{sgn}\left(\frac{d}{\mathrm{d\&omega;}}\right[V_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)U_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)+V_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)U_i\left(\mathrm{\&omega;}\right)\left]{|}_{\mathrm{\&omega;}=0}\right)$ 可知：i₀=-1。

先求γ(I)：因为u+v=6为偶数，则有

$\mathrm{\&gamma;}\left(I\right)=\{i_0-{2i}_1+{2i}_2-{2i}_3+{2i}_4-{2i}_5+{2i}_6-{2i}_7+{2i}_8-{2i}_9\}\&CenterDot;\left\{{(-1)}^9\mathrm{sgn}\right\{\mathrm{Im}\left[q({\mathrm{\&omega;}}_9^{+},k_p)\right]\left\}\right\}$

由图4可知： ${(-1)}^9\mathrm{sgn}\left\{\mathrm{Im}\right[q({\mathrm{\&omega;}}_9^{+},k_p)]=-1$

从而由式(11)可以得到：

γ(I)={-i₀+2i₁-2i₂+2i₃-2i₄+2i₅-2i₆+2i₇-2i₈+2i₉}。

系统稳定的充分必要条件为：

$\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\mathrm{\&gamma;}\left(I\right)=\frac{u+1}{2}\mathrm{\&pi;}-\underset{s=\mathrm{j\&omega;},\mathrm{\&omega;}\&Element;(0,+\&infin;)}{\mathrm{\&Delta;}\arg \left[V\left(s\right)\right]}=\frac{19}{2}\mathrm{\&pi;}$

因此，可得

$\begin{array}{c}\frac{u}{2}\mathrm{\&pi;}-\underset{s=\mathrm{j\&omega;},\mathrm{\&omega;}\&Element;(0,\&infin;)}{\mathrm{\&Delta;}\arg \left[V\left(s\right)\right]}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\{-i_0+{2i}_1-{2i}_2+{2i}_3-{2i}_4+{2i}_5-{2i}_6+{2i}_7-{2i}_8+{2i}_9\}\\ \&DoubleRightArrow;\{i_0,i_1,i_2,i_3,i_4,i_5,i_6,i_7,i_8,i_9\}=\{-\mathrm{1,1},-\mathrm{1,1},-\mathrm{1,1},-\mathrm{1,1},-\mathrm{1,1}\}\end{array}$

(c)确定PID控制器对应k_p=-1的不等式集合。

k_i<0，k_i>0.0262k_d-0.3304k_i<0.5467k_d+18.7718

k_i>3.4022k_d-354.9863k_i<9.4332k_d+3254.0919k_i>25.5104k_d-11644.7685，

k_i<398.3401k_d+12646k_i>55.5208k_d-17375k_i<74.3854k_d+27673，

k_i>96.2370k_d-53239

(d)依据以上不等式集得到，当k_p=-1时的，(k_d,k_i)的稳定集合。如图6所示。

(e)对于k_p的每一个遍历点，重复步骤(a)-(d)，得到(k_p,k_i,k_d)的稳定集合。如图7所示。

(9)执行事先编制好的PID控制程序：首先对系统输出采样滤波，经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n)的值，与前一时刻的控制信号u(n-1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数。令采样周期R=0.1s，计算Δu(n)的算式为

Δu(n)=9.504e(n)-19.5e(n-1)+10e(n-2)

其中，e(n)为当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n-1)为采样步数为n-1时的跟踪误差，e(n-2)为采样步数为n-2时的跟踪误差。输出控制信号u(n)由D/A转换后经模拟量输出通道送到调节造纸过程中的烘缸的进气蒸汽压力的进气蒸汽阀，通过控制蒸汽压力来调节纸张的水分，使得系统在达到稳态时，纸张中的水分能够稳定在水分的设定值，以稳定成纸纤维分布的均匀度，提高纸张质量，实现在线控制。在PID控制器的稳定集合内选取(k_p,k_i,k_d)分别为(-2,-10,-0.2),(-1,-5,-0.2),(-3,-15,-0.1)时的系统的输出曲线如图8所示，以验证该稳定方法确实能够使得造纸控制系统能够实现稳定运行。又分别在稳定域边界处与稳定域外各取一点，分别为(k_p,k_i,k_d)=(-5,-2.1,-20)和(k_p,k_i,k_d)=(-5,-2.15,-20)，系统的输出曲线如图9和图10所示。从而，只要在所获得PID控制器稳定集中选取控制参数均能保证系统的稳定性。

Claims (1)

1.镇定单输入单输出多时滞系统的PID控制器设计方法，其特征在于所述控制方法包括以下步骤：

(1)先利用工控系统对以输送到流浆箱中的低浓纸浆为输入，以制造出的成品纸厚度为输出的造纸生产过程进行辨识，给出具有如下形式的多时滞模型G(s)：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&beta;}}_v{s}^v+\underset{i=0}{\overset{v-1}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{f_i}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&beta;}}_{ij}{s}^i{e}^{-{\mathrm{s\&theta;}}_{ij}}}{s^u+\underset{i=0}{\overset{u-1}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{h_i}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&alpha;}}_{ij}{s}^i{e}^{-{\mathrm{s\&tau;}}_{ij}}}---\left(1\right)$

令G(s)的分子和分母分别为V(s)和U(s)；式(1)中，u和v分别表示U(s)和V(s)中s项的最高阶次，u>v，τ_ij和α_ij是U(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，h_i是U(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，θ_ij和β_ij是V(s)中sⁱ项所对应的时滞和系数，f_i是V(s)中sⁱ项所对应的时滞块的个数，β_v为V(s)的最高阶次项的系数；然后，将辨识出的模型参数送到主机的存储单元RAM中；

(2)建立前馈回路中具有PID控制器C(s)和多时滞被控模型G(s)的单位反馈系统，其中，C(s)为具有以下形式的PID控制器：

$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s---\left(2\right)$

这里，k_p、k_i和k_d分别为控制器的比例、积分和微分增益；

(3)确定系统的闭环特征函数δ(s)为

δ(s)＝sU(s)+V(s)(k_ds²+k_ps+k_i)(3)

令ω为频率，U_r(ω)和U_i(ω)为U(jω)的实部和虚部，V_r(ω)和V_i(ω)为V(jω)的实部和虚部，将闭环特征函数乘以V(-s)且令s＝jω，得到

δ'(jω)＝p(ω,k_i,k_d)+jq(ω,k_p)

其中,

p(ω,k_i,k_d)＝p₁(ω)+(k_i-ω²k_d)[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]+jq(ω,k_p)(4)

q(ω,k_p)＝ω{q₁(ω)+k_p[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]}(5)

p(ω,k_i,k_d)和q(ω,k_p)中的p₁(ω)和q₁(ω)分别为：

p₁(ω)＝ω[U_r(ω)V_i(ω)-U_i(ω)V_r(ω)](6)

q₁(ω)＝U_r(ω)V_r(ω)+U_i(ω)V_i(ω)(7)

(4)选取频率值ω^*＝10；

(5)令Re[V(jω)]和Im[V(jω)]分别为V(jω)的实部与虚部，根据下式计算ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围

这里，当v为偶数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Im[V(jω)]在[0,ω^*)的零点；反之当v为奇数时，w₀<w₁<w₂<…<w_e是Re[V(jω)]在[0,ω^*)的零点,e+1表示零点的个数；

(6)确定k_p的最大可允许稳定范围：

令Q表示f₁(ω)＝k_p与f₂(ω)＝-q₁(ω)/[V_r ²(ω)+V_i ²(ω)]在(0,ω^*)上的交点数，给出满足下式的k_p范围，即为k_p的最大可允许稳定范围，

其中，j(V)表示V(s)在正虚轴上的零点数，为ω由0变化到ω^*时所对应的V(jω)的幅角变化范围；

(7)令k_p的最大可允许稳定范围为[k_pmin,k_pmax]，将k_p值在该范围内进行等间隔的遍历，即每个遍历点为其中F为遍历点之间的间隔，Q＝0,1,…,F；

(8)对于其中一个遍历点根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳定域：

(a)计算方程q(ω,k_p)＝0在区间[0,ω^*)内的实零点，将这些实零点按照从小到大的顺序表示为ω₀,ω₁,ω₂,…,ω_c-1，其中，c为实零点的个数；

(b)令t＝0,1,2,…,c-1，选择整数i_t的值：

(i).如果V(-jω_t)＝0，那么i_t＝0；

(ii).如果V(-s)在原点处存在零点，那么

$i_0=\{sgn\left(\frac{d}{d\mathrm{\&omega;}}\right\{\mathrm{\&omega;}\&lsqb;U_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)V_i\left(\mathrm{\&omega;}\right)-U_i\left(\mathrm{\&omega;}\right)V_r\left(\mathrm{\&omega;}\right)\&rsqb;\}{|}_{\mathrm{\&omega;}=0})$

(iii).若不满足(i)和(ii)，i_t＝1或-1，其准确值需根据下述(iv)的稳定性条件而定；

(iv).令I＝{i₀,i₁,…}，确定能够满足下述等式的所有I：

$\frac{u+1}{2}\underset{s=j\mathrm{\&omega;},\mathrm{\&omega;}\&Element;(0,\mathrm{\&omega;}*)}{-\mathrm{\&Delta;}\arg \&lsqb;V\left(s\right)\&rsqb;}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}\mathrm{\&gamma;}\left(I\right)---\left(10\right)$

γ(I)由下式给出：

其中，这里ε是一足够小的正实数；

(c)对于遍历点(k_d,k_i)二维稳定域由下式决定:

[k_i-A(ω_t)k_d+B(ω_t)]i_t>0(12)

其中，ω_t为式(5)＝0在区间[0,ω^*)内的实零点，t＝0,1,…,c-1，以及通过求取所有ω_t所对应的由式(12)所决定的不等式组的交集，即可确定具有凸多边形特性的(k_d,k_i)二维稳定域；

(9)对于步骤(7)中所给出的k_p的每个遍历点，都重复步骤(8)，确定能使闭环系统稳定的所有PID控制器集合；

(10)通过工控系统将辨识出的模型参数输送到PID控制器参数的计算单元，由步骤(2)-(9)计算出PID控制器的稳定集合，根据需要在控制器的稳定集合中选取控制参数，然后由监控模块执行事先编制好的PID控制程序；经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n)的值，与前一时刻的控制信号u(n-1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数；Δu(n)计算公式如下：

Δu(n)＝b₁e(n)+b₂e(n-1)+b₃e(n-2)(13)

其中，b₁＝(k_pR+k_d+R²k_i)/R，b₂＝-(k_pR+2k_d)/R，b₃＝k_d/R，R为系统采样周期，Δu(n)为当前采样步数为n时控制器输出信号增量，e(n)为当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n-1)为采样步数为n-1时的跟踪误差，e(n-2)为采样步数为n-2时的跟踪误差；输出控制信号u(n)由D/A转换后经模拟量输出通道送到调节造纸过程中的烘缸的进气蒸汽压力的进气蒸汽阀，通过控制蒸汽压力来调节纸张的水分，使得系统在达到稳态时，纸张中的水分能够稳定在水分的设定值，以稳定成纸纤维分布的均匀度，提高纸张质量，实现在线控制。