CN103577681A - 基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法 - Google Patents

基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法 Download PDF

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CN103577681A CN201310258341.4A CN201310258341A CN103577681A CN 103577681 A CN103577681 A CN 103577681A CN 201310258341 A CN201310258341 A CN 201310258341A CN 103577681 A CN103577681 A CN 103577681A
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马瑞
陈春容
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Abstract

本发明属于电力系统节能领域，涉及一种基于因子分析锅炉效率影响指标的定量综合评价方法，避免了仅对锅炉效率影响指标做模糊评价的固有模式。该方法首先选取一组影响锅炉效率的指标，然后利用因子分析把影响锅炉效率的多个指标提取成几个具有代表意义的公因子；提取公因子模型，检验公因子数目，并通过特殊因子方差估计值间接判断所提取的锅炉效率公因子分析模型是否出现Heywood现象；最后从所提取的公因子模型中得到与原始变量相对应的因子得分函数。本发明提出考虑因子分析模型中的特殊因子方差估计值和Heywood现象，并结合公因子数目检验，找出影响锅炉效率的主要指标并对所提取的锅炉效率公因子模型优劣程度进行定量评价，所提取的锅炉效率因子分析模型更具准确性和严谨性。

Description

基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法
技术领域
本发明涉及一种基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，利用因子分析的降维功能，提取公因子模型，找出影响锅炉效率的主要指标；并通过公因子数目检验、特殊因子方差估计值和Heywood现象来对所提取的锅炉效率公因子分析模型的优劣性进行定量判断。
背景技术
锅炉效率的高低直接影响整个火电机组的经济性，据科学统计：锅炉效率每提高1%，整个发电机组的效率可提高0.3%~0.4%左右。因而从锅炉运行工况历史数据中挖掘与其效率相关知识，对于锅炉最优参数设定，提高锅炉效率具有重要意义。近年来，因子分析法凭借自身的优点，在电力行业尤其是在电站锅炉中的应用日益广泛，文献《四角切圆煤粉锅炉燃烧工况评判方法研究》利用因子分析法，对锅炉燃烧影响因素进行降维分析，找出几个综合性的指标来反映锅炉燃烧运行所包含的大部分信息；文献《因子分析在循环流化床锅炉效率研究中的应用》中，利用因子分析法对循环流化床的锅炉效率进行分析，得出影响锅炉热效率的主要因素。但，目前在应用因子分析法的过程中，缺少一种对公因子分析模型好坏的定量评价方法，本发明考虑特殊因子方差估计值和Heywood现象，并通过公因子数目检验，找出影响锅炉效率的主要指标并对所提取的锅炉效率公因子模型进行定量判断，更具严谨性。
发明内容
针对因子分析法在锅炉效率应用过程中存在的不足，本发明提出考虑因子分析模型中特殊方差估计值和Heywood现象，并对所提取的公因子数目进行校验等，确保所提取的公因子模型更具准确性和合理性。该方法首先选取一组影响锅炉效率的指标，然后利用因子分析把影响锅炉效率的多个指标提取成几个具有代表意义的公因子；提取公因子模型，并对公因子数目进行检验，同时通过特殊因子方差估计值间接判断所提取的公因子模型是否出现Heywood现象；最后从所提取的公因子模型中得到与原始变量相对应的因子得分函数。本发明提出考虑因子分析模型中的特殊因子方差估计值和Heywood现象，并结合公因子数目检验，找出影响锅炉效率的主要指标并对所提取的锅炉效率公因子模型优劣程度进行定量评价，所提取的锅炉效率因子分析模型更具准确性和严谨性。
为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：
1) 选取一组与锅炉效率密切相关的原始变量，通过统计检验和相关系数矩阵来判断所选取的原始变量是否适合于作因子分析；
2) 建立因子分析模型，观察原始变量公因子方差的值，根据原始变量协方差矩阵或相关系数矩阵特征值的大小和方差贡献率确定公因子的数目； 
3）对所提取公因子数目进行检验，利用主成分分析法求解相应的因子载荷矩阵和特殊方差矩阵；
4) 公因子旋转，使公因子具有可解释性；
5）根据特殊方差估计值的大小，间接判断所提取的公因子模型是否出现Heywood现象；
6）进行因子命名，并计算锅炉效率公因子得分函数，进行结果解释。
其中，步骤1）中相关系数矩阵的求解公式为：
Figure 2013102583414100002DEST_PATH_IMAGE001
上式中，
Figure 2013102583414100002DEST_PATH_IMAGE002
，
Figure 2013102583414100002DEST_PATH_IMAGE003
分别表示样本
Figure DEST_PATH_IMAGE004
 和样本
Figure DEST_PATH_IMAGE005
的平均值。
其中，步骤1）中统计检验只要是选择KMO检验和Bartlett’s球形检验，Bartlett’s球形检验为一假设检验，而KMO的数学表达式为：
上式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE007
和分别为指标
Figure DEST_PATH_IMAGE009
和指标
Figure 494765DEST_PATH_IMAGE010
的简单相关系数和偏相关系数。
 其中，步骤2）中因子模型为：
式中，
Figure 223250DEST_PATH_IMAGE012
为因子载荷矩阵，公因子向量
Figure DEST_PATH_IMAGE013
是不可观测的
Figure 233932DEST_PATH_IMAGE014
维列向量，
Figure DEST_PATH_IMAGE015
为特殊因子向量。且：
①  公因子彼此不相关，且具有单位方差，即
Figure DEST_PATH_IMAGE016
；
②  特殊因子彼此不相关，即；
③  公因子和特殊因子彼此不相关，即。
其中，步骤3）中因子载荷矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE019
和特殊方差矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE020
分别为：
Figure DEST_PATH_IMAGE021
Figure DEST_PATH_IMAGE022
上式，
Figure DEST_PATH_IMAGE023
为原始样本协方差矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE024
的
Figure DEST_PATH_IMAGE025
个特征值，为相应的正交单位特征向量。
其中，步骤4）中公因子旋转选择最大方差旋转法，设
Figure DEST_PATH_IMAGE027
为一正交矩阵，令
Figure DEST_PATH_IMAGE028
则称为旋转后因子载荷阵
Figure DEST_PATH_IMAGE031
的第列元素的平方相对方差，它是度量旋转后因子载荷矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE033
的第
Figure 77254DEST_PATH_IMAGE032
列各元素的平方值之间的差异程度。最大方差旋转法就是旋转正交矩阵，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE035
达到最大。
式
Figure DEST_PATH_IMAGE036
除以共性方差
Figure DEST_PATH_IMAGE037
是为了消除公共因子对各原始变量的方差贡献不同的影响。由的正交性可知：
Figure DEST_PATH_IMAGE039
即说明正交变化不改变共性方差。
其中，步骤5）中特殊方差估计值的大小为：
Figure DEST_PATH_IMAGE040
其中，步骤6）中因子得分函数为：
上式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE042
为得分系数。
本发明的技术效果在于：提出考虑因子分析模型中的特殊因子方差估计值和Heywood现象，并结合公因子数目检验，找出影响锅炉效率的主要指标并对所提取的锅炉效率公因子模型优劣程度进行定量评价，所提取的锅炉效率因子分析模型更具准确性和严谨性。
下面结合附图对本发明做出进一步的说明。
附图说明
图1是基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法流程图。
具体实施方式：
1）选取一组与锅炉效率密切相关的原始变量，通过KMO和Bartlett’s检验及相关系数矩阵来判断所选取的原始变量是否适合作因子分析
设原始变量为
Figure DEST_PATH_IMAGE043
，首先通过KMO和Bartlett’s检验来初步判断其是否适宜做因子分析。Bartlett’s检验的统计量根据样本的相关系数矩阵行列式计算得到，若其统计量对应的伴随概率
Figure DEST_PATH_IMAGE044
值小于给定的显著性水平α(一般设为0.05)，则应拒绝原假设，表明原始变量适合做因子分析。KMO的数学表达式为： 
Figure DEST_PATH_IMAGE045
上式中，
Figure 921189DEST_PATH_IMAGE007
和
Figure 367213DEST_PATH_IMAGE008
分别为指标
Figure 497981DEST_PATH_IMAGE009
和指标
Figure 636838DEST_PATH_IMAGE010
的简单相关系数和偏相关系数。
其次，本实施例中，相关系数矩阵优先采用Pearson相关系数
Figure DEST_PATH_IMAGE046
：
Figure DEST_PATH_IMAGE047
上式中，
Figure 282583DEST_PATH_IMAGE002
，分别表示样本
Figure DEST_PATH_IMAGE048
 和样本
Figure 81354DEST_PATH_IMAGE005
的平均值。
2）建立因子分析模型，观察原始变量公因子方差的值，根据原始变量协方差矩阵或相关系数矩阵特征值的大小和方差贡献率确定公因子的数量；
本实施例中，锅炉效率的因子分析模型为：
Figure DEST_PATH_IMAGE049
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE050
为因子载荷矩阵，公因子向量
Figure 453429DEST_PATH_IMAGE013
是不可观测的
Figure DEST_PATH_IMAGE051
维列向量，
Figure DEST_PATH_IMAGE052
为特殊因子向量，并假定：
①  公因子彼此不相关，且具有单位方差，即；
②  特殊因子彼此不相关，即；
③  公因子和特殊因子彼此不相关，即
Figure DEST_PATH_IMAGE054
。
其次，本实施例中的关键是估计因子载荷矩阵
Figure 268905DEST_PATH_IMAGE019
和特殊方差矩阵
Figure 108685DEST_PATH_IMAGE020
，常用的方法和原则是基于主成分分析法，取协方差矩阵中特征值大于1的公因子。对因子分析模型两边求协方差矩阵，从因子模型的假定，可得：
Figure DEST_PATH_IMAGE055
若
Figure DEST_PATH_IMAGE056
的各分量已经标准化，则
记样本协方差矩阵和样本相关系数矩阵分别为：
Figure DEST_PATH_IMAGE058
其中，为样本均值。将
Figure DEST_PATH_IMAGE061
作为
Figure DEST_PATH_IMAGE062
的估计，
Figure DEST_PATH_IMAGE063
作为
Figure DEST_PATH_IMAGE064
的估计。
从
Figure 776296DEST_PATH_IMAGE061
出发求解主成分，设
Figure DEST_PATH_IMAGE065
为
Figure 632519DEST_PATH_IMAGE024
的
Figure 489616DEST_PATH_IMAGE025
个特征值，为相应的正交单位特征向量。根据矩阵谱分解，
Figure 897781DEST_PATH_IMAGE061
可作如下分解：
Figure DEST_PATH_IMAGE066
当前
Figure DEST_PATH_IMAGE067
个主成分的累计贡献率
Figure DEST_PATH_IMAGE068
达到一个比较高的值（如85%以上）时，可由上式的前
Figure 5414DEST_PATH_IMAGE014
项给出载荷矩阵的估计，由后
Figure DEST_PATH_IMAGE070
项给出特殊方差矩阵的估计值，即：
Figure DEST_PATH_IMAGE071
其中，
Figure 11733DEST_PATH_IMAGE021
，
Figure DEST_PATH_IMAGE072
，即为基于主成分分析求出的因子模型一个主成分解。
最后，本实施例中公因子方差的值和累计方差贡献率的表达式分别为：
Figure DEST_PATH_IMAGE073
Figure DEST_PATH_IMAGE074
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE075
是公因子
Figure DEST_PATH_IMAGE076
的方差贡献且
Figure DEST_PATH_IMAGE077
，反映了该因子对所有原始变量总方差解释的能力。变量
Figure DEST_PATH_IMAGE078
已标准化处理，则
Figure DEST_PATH_IMAGE079
。
3）对所提取公因子数目进行检验
本实施例中为了对因子模型更好地判断，公因子
Figure 785261DEST_PATH_IMAGE051
的数目应满足：
Figure DEST_PATH_IMAGE080
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE081
为样本维数。
 4）公因子旋转，使公因子具有可解释性；
本实施例中选择因子旋转的方法是最大方差旋转法，通过旋转可使得因子载荷阵各列元素的绝对值尽可能两极分化，更易于因子的解释。
设
Figure DEST_PATH_IMAGE082
为一正交矩阵，令：
Figure DEST_PATH_IMAGE083
Figure DEST_PATH_IMAGE084
则称
Figure DEST_PATH_IMAGE085
为旋转后因子载荷阵
Figure 678393DEST_PATH_IMAGE031
的第
Figure 611714DEST_PATH_IMAGE010
列元素的平方相对方差，它度量了的第
Figure 601853DEST_PATH_IMAGE010
列各元素的平方值之间的差异程度。最大方差旋转法就是旋转正交矩阵
Figure 90603DEST_PATH_IMAGE034
，使得
Figure 93194DEST_PATH_IMAGE035
达到最大。
式
Figure DEST_PATH_IMAGE086
除以共性方差
Figure 678896DEST_PATH_IMAGE037
是为了消除公共因子对各原始变量的方差贡献不同的影响。由
Figure 843161DEST_PATH_IMAGE038
的正交性可知：
Figure 147103DEST_PATH_IMAGE039
即说明正交变化不改变共性方差。
5）根据特殊方差估计值的大小，间接判断所提取的公因子模型是否出现Heywood现象
本实施例中，已标准化的各原始变量的共性方差与特殊方差之和满足：
Figure DEST_PATH_IMAGE087
。
当共性方差
Figure DEST_PATH_IMAGE088
的估计等于1或超过1时，则意味着某些特殊因子的方差
Figure DEST_PATH_IMAGE089
等于0或小于0，此时则判定出现Heywood现象或ultra-Heywood现象，出现此种现象的可能原因包括：
①  共性方差本身估计的问题；
②  公因子太多，出现过拟合；
③  公因子太少，拟合不足；
④  原始变量数据太少，不能提供稳定的估计；
⑤  因子模型不适合这些数据。
6）进行因子命名，并计算锅炉效率公因子得分函数，进行结果解释
当所提取的锅炉效率公因子模型没有出现Heywood现象或ultra-Heywood现象，说明所提取的锅炉效率公因子模型拟合情况良好，可进一步对公因子命名，便于解释。由于公因子能反映原始变量的相关关系，用公因子代表原始变量时，更利于描述研究对象的特征，所以常把公因子表示为变量的线性组合，即为因子得分函数。因子得分函数式为：
Figure DEST_PATH_IMAGE090
上式中，
Figure 266236DEST_PATH_IMAGE042
为得分系数，
Figure DEST_PATH_IMAGE091
式中，
Figure DEST_PATH_IMAGE092
，
Figure DEST_PATH_IMAGE093
，
Figure DEST_PATH_IMAGE094
为得分系数矩阵。
利用回归法求解
Figure 706445DEST_PATH_IMAGE042
的步骤如下：
Figure DEST_PATH_IMAGE095
则可得如下方程组：
Figure DEST_PATH_IMAGE096
即：
Figure DEST_PATH_IMAGE097
式中，
Figure 369507DEST_PATH_IMAGE064
为样本相关系数矩阵，
Figure DEST_PATH_IMAGE098
为第 
Figure 895167DEST_PATH_IMAGE010
个因子的得分系数，
Figure DEST_PATH_IMAGE099
为载荷矩阵的第
Figure 803342DEST_PATH_IMAGE010
列。由此可推，求解得到得分系数矩阵为：
从上述分析可以看出，本发明应用因子分析对锅炉效率的影响指标进行定量评价，所提取的锅炉效率因子分析模型通过公因子数目检验，并考虑因子分析法中特殊方差估计值和Heywood现象，找出影响锅炉效率的主要指标并定量地判断所提取锅炉效率公因子模型优劣，所提取的锅炉效率公因子模型更具准确性和严谨性。

Claims (10)

1.基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，包括如下步骤：
1) 选取一组与锅炉效率密切相关的原始变量，通过统计检验和相关系数矩阵来判断所选取的原始变量是否适合于作因子分析；
2) 建立因子分析模型，观察原始变量公因子方差的值，根据原始变量协方差矩阵或相关系数矩阵特征值的大小和方差贡献率确定公因子的数量； 
3）对所提取公因子数目进行检验，利用主成分分析法求解相应的因子载荷矩阵和特殊方差矩阵；
4) 公因子旋转，使公因子具有可解释性；
5）根据特殊方差估计值的大小，间接判断所提取的锅炉效率公因子模型是否出现Heywood现象；
6）进行因子命名，并计算锅炉效率公因子得分函数，进行结果解释。
2.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤1)中的统计检验；因子分析中，一般选择KMO和Bartlett’s球形检验来初步判断原始变量是否适合做因子分析，其中，KMO的数学表达式为： 
Figure 573122DEST_PATH_IMAGE001
上式中，
Figure 386619DEST_PATH_IMAGE002
和
Figure 371893DEST_PATH_IMAGE003
分别为指标和指标
Figure 814692DEST_PATH_IMAGE005
的简单相关系数和偏相关系数；
其次，所述步骤1)中相关系数矩阵
Figure 868099DEST_PATH_IMAGE006
的求解；两两变量之间相关系数
Figure 707879DEST_PATH_IMAGE006
的计算公式如下：
式中，
Figure 543297DEST_PATH_IMAGE008
，分别表示样本和样本
Figure 808559DEST_PATH_IMAGE011
的平均值。
3.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤2)中因子模型的确定；锅炉效率分析因子分析模型为：
式中，
Figure 249085DEST_PATH_IMAGE013
为因子载荷矩阵，公因子向量
Figure 358730DEST_PATH_IMAGE014
是不可观测的
Figure 446772DEST_PATH_IMAGE015
维列向量，
Figure 713805DEST_PATH_IMAGE016
为特殊因子向量，并假定：
①  公因子彼此不相关，且具有单位方差，即
Figure 975022DEST_PATH_IMAGE017
；
②  特殊因子彼此不相关，即
Figure 378321DEST_PATH_IMAGE018
；
③  公因子和特殊因子彼此不相关，即
Figure 637264DEST_PATH_IMAGE019
。
4.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤2)中公因子方差；公因子方差反映的是
Figure 391594DEST_PATH_IMAGE015
个公因子对原始变量
Figure 190922DEST_PATH_IMAGE020
的总方差解释比例，其数学表达式为：
Figure 776625DEST_PATH_IMAGE021
若各原始变量的公因子方差都大于0.8，则说明公因子反映了各原始变量80%以上的信息，因子分析效果较好；
其次，所述步骤2)中方差贡献率，其数学表达式为：
式中，
Figure 182515DEST_PATH_IMAGE023
是公因子
Figure 287000DEST_PATH_IMAGE024
的方差贡献且
Figure 930471DEST_PATH_IMAGE025
，反映了该因子对所有原始变量总方差解释的能力；若变量
Figure 265637DEST_PATH_IMAGE026
已经标准化处理，则。
5.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤3)中公因子数目的检验；所提取的锅炉效率公因子
Figure 135690DEST_PATH_IMAGE015
的数目应满足：
Figure 633667DEST_PATH_IMAGE028
其中，
Figure 139735DEST_PATH_IMAGE029
为原始变量维数。
6.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤3)中因子载荷矩阵和特殊方差矩阵的求解；利用主成分分析法求解出的因子载荷矩阵
Figure 355953DEST_PATH_IMAGE030
和特殊方差矩阵
Figure 300775DEST_PATH_IMAGE031
分别为：
其中，
Figure 96059DEST_PATH_IMAGE034
为样本协方差矩阵
Figure 516676DEST_PATH_IMAGE035
的
Figure 989245DEST_PATH_IMAGE036
个特征值，为相应的正交单位特征向量。
7.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤4)中公因子旋转；公因子旋转的方法主要包括：方差最大正交旋转、四次方最大正交旋转和平均正交旋转法等。
8.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤5)中特殊方差估计值的大小；从因子分析模型知：每个原始变量的方差可分成共性方差和特殊方差两部分，若的各分量已标准化，则需满足：
Figure 553366DEST_PATH_IMAGE038
上式中，
Figure 880442DEST_PATH_IMAGE039
代表共性方差，表示公共因子对变量
Figure 227110DEST_PATH_IMAGE020
的影响，可看成公共因子对变量
Figure 639636DEST_PATH_IMAGE020
的方差贡献；
Figure 402056DEST_PATH_IMAGE040
代表特殊因子
Figure 583639DEST_PATH_IMAGE041
的方差，反映特殊因子对变量
Figure 101208DEST_PATH_IMAGE020
的方差的贡献；和
Figure 567141DEST_PATH_IMAGE040
都是大于0小于1的，且
Figure 665547DEST_PATH_IMAGE039
越接近1、
Figure 291700DEST_PATH_IMAGE040
越接近0越好。
9.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤5)中由权利要求书10中判断是否出现Heywood现象：当共性方差等于或超过1，则会导致某些特殊因子的方差等于0或小于0，则判断因子模型中出现Heywood现象或ultra-Heywood现象，因子模型失效；反之，因子模型有效。
10.根据权利要求l所述的基于因子分析锅炉效率影响指标的定量评价方法，其特征在于：所述步骤6)中公因子命名：因子模型有效后，即可根据旋转后的因子载荷矩阵来对所提取的公因子命名，便于实际意义的解释；
其次，所述步骤6)中锅炉效率因子得分函数的计算；因子得分函数如下：
上式中，
Figure 783042DEST_PATH_IMAGE043
为得分系数；
因子得分函数用来计算每个原始变量的因子得分，它和原始变量的得分相对应，以便于进行变量之间的相互比较。
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