CN103558655B - 基于超材料的全平面结构圆锥曲面反射器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于超材料的全平面结构圆锥曲面反射器的设计方法，该方法包括步骤a）获取满足边界条件的空间映射；b）选取能实现所需空间映射的坐标变换函数；c）利用变换电磁学原理计算出平面反射器的两层超材料介质的材料参数。本发明设计出的平面结构反射器包含一个平面反射面和两个超材料介质层；该反射器具有平面结构，其反射特性等效于一个圆锥曲面反射器。

Description

基于超材料的全平面结构圆锥曲面反射器的设计方法

技术领域

本发明属于电磁/光学器件设计领域。涉及一种全平面结构的圆锥曲面反射器的理论设计方法。所设计反射器适用于微波、毫米波、太赫兹及光学频段的各种反射器系统。

背景技术

由几何光学可知，圆锥曲面反射器（包括抛物球面、椭球面和双曲球面）与平面反射器的光学特性有显著差别。

圆锥曲面的反射特性表现为：

（1）抛物线。过抛物线焦点的光线被抛物线反射后将沿平行于主轴的方向传播；

（2）双曲线。从双曲线的一个焦点发射出的光线经过靠近这个焦点的曲线反射以后，反射光线的反向延长线会聚于另一个焦点，就好像光线从另一个焦点处发射出来一样；

（3）椭圆。从椭圆的一个焦点发射出的光线经过椭圆反射后，会聚于另一个焦点。

平面的反射特性为：

点光源发出的光线经过平面镜反射后其反射光线如同从镜面背后的虚像点发射出来的一样。

圆锥曲面反射器在微波、光学等工程领域有广泛的应用。比如反射器天线、空间功率合成等。但是这类反射器的曲面几何结构往往使得它们在运输、安装和使用等方面存在诸多不便。然而从传统光学技术的角度来看，目前尚没有找到一种有效的设计方法能设计出既具有全平面的几何结构又具备圆锥曲面的反射特性。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足而提供的一种基于超材料的全平面结构圆锥曲面反射器的设计方法。该方法运用变换电磁学原理设计出平面结构超材料介质层，由此改变入射波及反射波的传播路径，从而使得平面反射器表现出与预期的圆锥曲面反射器完全等效的反射特性。

本发明的目的是这样实现的：

一种基于超材料的全平面结构圆锥曲面反射器的设计方法，它包括以下具体步骤：

第一步：获取满足边界条件的空间映射；

第二步：选取能实现所需空间映射的坐标变换函数；

第三步：利用变换电磁学原理计算出平面反射器的两层超材料介质的材料参数；

其中，空间映射涉及原始空间[由s(x,y,z)表示]和变换空间[由s'(x',y',z')表示]；根据变换电磁学原理，圆锥曲面（图中由EOF表示）通过空间变换映射到平面（图中由EF表示）。如图采取沿x轴的坐标变换，一般性地可表示为

x'=f(x),y'=y,z'=z   (1)

上式中f(x)为坐标变换函数。不失一般性，以z=0平面内的圆锥曲线绕x轴旋转所得圆锥曲面为例进行阐述。参考附图1，图中x_l，x_r分别表示平面反射器左、右侧边界的横坐标。对于曲面的右侧空间，式（1）所需满足的边界条件为

$x_2=f\left(x\right){|}_{x=x_1},x_3=f\left(x\right){|}_{x=x_3}---\left(2\right)$

具体地，对于旋转抛物面2px=(y²+z²)有

x₁=(y'²+z'²)/(2p),x₂=x₀,x₃=x_r   (3)

上式中p为原标准抛物线方程参数暨抛物线焦准距。

对于旋转椭球面x²/a²+(y²+z²)/b²=1有

$x_1=-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-(y^{\′2}+z^{\′2})},x_2=x_0,x_3=x_r---\left(4\right)$

上式中a，b为原标准椭圆方程参数暨椭圆长轴、短轴的半轴长。

对于旋转双曲面x²/a²-(y²+z²)/b²=1有

$x_1=\frac{a}{b}\sqrt{b^2+(y^{\′2}+z^{\′2})},x_2=x_0,x_3=x_r---\left(5\right)$

上式中a，b为原标准双曲线方程参数暨双曲线实轴、虚轴的半轴长。

对于曲面的左侧空间变换，将式（3）-式（5）中的边界参数x_r替换为x_l即可；

其中，能实现所需空间映射的坐标变换函数f(x)可以有多种选择，比如简单的一阶线性函数，或者较复杂的各类非线性函数。

其中，用于计算左、右侧超材料介质层材料参数(相对介电常数和相对磁导率)的公式为

ε'=AεA^T/det(A),μ'=AμA^T/det(A)   (6)

式中A为雅克比变换矩阵。

由以上方法设计出的平面结构反射器（图中由ABCD表示）包含一个平面反射面（图中由EF表示）和两个超材料介质层（图中由BEFC和AEFD表示）。该反射器具有平面结构，其反射特性等效于一个圆锥曲面反射器（图中由虚曲线EOF表示）。

本发明的技术效果在于：当两层超材料介质之间不插入平面反射面（EF）时，两层介质层对入射波/光线是“透明”的。即从外部来看，两层介质的总体等效效果并不会改变入射波/光线的传播路径。但光线在这两层介质内的传播路径会发生弯折。当两层超材料介质之间插入反射面（EF）后，光线进入介质层后发生弯折，然后经过EF反射，反射波/光线穿出介质层后表现出的反射特性等效于对应的圆锥曲面反射器（EOF）。

以一个位于焦点处的点源照射一个等效于抛物面的平面反射器为例来说明。当两层介质中没有插入反射面时如图2所示，入射光线进入介质后发生弯折，在第二层介质中再次弯折，介质中的传播路径如图中灰色带箭头实线所示；光线从介质穿出时又回到原来的传播路径上如图中黑色带箭头实线所示。因此，从外部来看介质层并未改变光线的传播路径。光线在介质中传播的等效路径如图中黑色虚线所示。

当两层介质中插入反射面时如图3所示，入射光线进入介质后发生弯折，经过反射面反射后沿着平行于主光轴的方向穿出介质层。整个反射器表现出的反射特性等效于点源照在抛物面反射器上（如图中虚线所示）的情况。

附图说明

图1为平面结构圆锥曲面反射器的空间映射示意图；

图2为超材料介质层中未插入反射面时光线的传播路径示意图；

图3为超材料介质层中插入反射面后光线的入射及反射路径示意图；

图4为未插入反射面时平面波照射两层超材料介质时的场分布图；

图5为插入反射面后平面波照射平面反射器时的场分布图；

图6为入射波照射抛物面反射器时的场分布图。

具体实施方式

下面结合附图给出本发明的一个实施例。

以一个具体的平面结构抛物面反射器设计为例。

空间映射由式（1）-式（3）给出。

坐标变换函数f(x)在本实例中选为一阶线性函数

$f\left(x\right)=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}\left({x-x}_1\right)+x_2---\left(7\right)$

运用式（6）可计算出超材料介质层2的材料参数为

${{\mathrm{\ϵ}}^{\′}}_{\mathrm{xx}}={{\mathrm{\μ}}^{\′}}_{\mathrm{xx}}=\frac{2(y^{\′2}+z^{\′2})({x_r}^2+x^{\′2})-4x_r{x}^{\′}(y^{\′2}+z^{\′2})+{(x_r-x_0)}^2}{(2x_r{p}^2-p(y^{\′2}+z^{\′2}))(x_r-x_0)}---\left(8\right)$

${{\mathrm{\ϵ}}^{\′}}_{\mathrm{xy}}={{\mathrm{\μ}}^{\′}}_{\mathrm{xy}}=-\frac{y^{\′}(x_r-x^{\′})}{p(x_r-x_0)}---\left(9\right)$

${{\mathrm{\ϵ}}^{\′}}_{\mathrm{xz}}={{\mathrm{\μ}}^{\′}}_{\mathrm{xz}}=-\frac{z^{\′}(x_r-x^{\′})}{p(x_r-x_0)}---\left(10\right)$

${{\mathrm{\ϵ}}^{\′}}_{\mathrm{yy}}={{\mathrm{\μ}}^{\′}}_{\mathrm{yy}}=\frac{2{\mathrm{px}}_r-(y^{\′2}+z^{\′2})}{2p(x_r-x_0)}---\left(11\right)$

ε'_yz=μ'_yz=0   (12)

${{\mathrm{\ϵ}}^{\′}}_{\mathrm{zz}}={{\mathrm{\μ}}^{\′}}_{\mathrm{zz}}=\frac{2p{x}_r-(y^{\′2}+z^{\′2})}{2p(x_r-x_0)}---\left(13\right)$

将上式中的参数x_r替换为x_l即为超材料介质层1的材料参数。

下面再给一个具体的平面反射器的仿真验证。反射器设计参数为：p=0.6，x_r=0.25m，x_l=-0.05m，x₀=0.1m。频率f=2GHz的平面横电波从右向左照射。两层超材料介质中未插入平面反射面时的仿真结果（xy平面和xz平面的电场分布）如图4所示，图中可见电磁波在介质中发生扭曲，但在穿出介质后有恢复到原来的平面波传播特性。两层超材料介质中插入平面反射面后仿真结果（xy平面电场分布）如图5所示。为了直观地验证其反射特性（应当等效于抛物面反射器），图6给出了一个常规抛物面反射器的仿真结果（xy平面电场分布）。通过对比可以发现，本实施例中所设计的平面反射器具有与常规的抛物面反射器一致的反射特性。以上设计实施例及数值实验证明了设计方法和设计结果的正确性。

Claims (1)

1.一种基于超材料的全平面结构圆锥曲面反射器的设计方法，其特征在于该方法包括以下具体步骤：

第一步：获取满足边界条件的空间映射；

第二步：选取能实现所需空间映射的坐标变换函数；

第三步：利用变换电磁学原理计算出平面反射器的两层超材料介质的材料参数；

其中，空间映射涉及由s(x,y,z)表示的原始空间和由s'(x',y',z')表示的变换空间，根据变换电磁学原理，圆锥曲面通过空间变换映射到平面；采取沿x轴的坐标变换，表示为

x'＝f(x),y'＝y,z'＝z       (1)

式(1)中f(x)为坐标变换函数；若x_l，x_r分别表示平面反射器左、右侧边界的横坐标；对于曲面的右侧空间，式(1)所需满足的边界条件为

$x_2=f\left(x\right){|}_{x=x_1},x_3=f\left(x\right){|}_{x=x_3}---\left(2\right)$

具体地，对于旋转抛物面2px＝(y²+z²)有

x₁＝(y'²+z'²)/(2p),x₂＝x₀,x₃＝x_r       (3)

式(3)中p为原标准抛物线方程参数暨抛物线焦准距；

对于旋转椭球面x²/a²+(y²+z²)/b²＝1有

$x_1=-\frac{a}{b}\sqrt{b^2-(y^{\′2}+z^{\′2})},x_2=x_0,x_3=x_r---\left(4\right)$

式(4)中a，b为原标准椭圆方程参数暨椭圆长轴、短轴的半轴长；

对于旋转双曲面x²/a²-(y²+z²)/b²＝1有

$x_1=\frac{a}{b}\sqrt{b^2+(y^{\′2}+z^{\′2})},x_2=x_0,x_3=x_r---\left(5\right)$

式(5)中a，b为原标准双曲线方程参数暨双曲线实轴、虚轴的半轴长；

对于曲面的左侧空间变换，将式(3)—式(5)中的边界参数x_r替换为x_l即可；

其中，选取能实现所需空间映射的坐标变换函数f(x)为一阶线性函数或者非线性函数；

其中，用于计算平面反射器的两层超材料介质的材料参数暨相对介电常数和相对磁导率的公式为

ε'＝AεA^T/det(A),μ'＝AμA^T/det(A)         (6)

式中A为雅克比变换矩阵；

设计得到的平面结构反射器包含一个平面反射面和两个超材料介质层；该反射器具有平面结构，其反射特性等效于一个圆锥曲面反射器。