CN103543469A - 一种基于小波变换的小尺度阈值去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于地震勘探资料处理等数字信号处理技术领域，尤其涉及一种基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，为小波变换去噪时如何选取分频数及选取合适小波阈值提供理论依据。首先小尺度地对地震数据进行扫描，得到一个时窗内的相关系数值；其次设置一个阈值，对这个小尺度时窗内的数据进行判断，是以地震信号为主还是以噪声信号为主，然后采用合适的分频数及合适的小波阈值进行去噪。当地震道以地震信号为主时，采用常规小波分解及常规硬阈值或软阈值；当地震道以噪声为主时，地震信号进行小波包分解后，采用最佳熵的原则设定下面的浮动阈值法。最后将去噪后的小波尺度进行小波重构，从而得到去噪后信噪比较高的地震道集。

Description

一种基于小波变换的小尺度阈值去噪方法

技术领域

本发明涉及地震勘探资料处理等数字信号处理技术领域，特别地涉及基于小波变换的小尺度阈值去噪方法。 

背景技术

随机噪声是地震勘探中难以消除的一类噪声。常规去除随机噪声的主要方法有带通滤波、中值滤波、F-X反褶积及常规小波阈值等方法。这些方法对去除随机噪声都有较好的效果，然而它们都存在去除噪声不干净或不同程度地伤害有效波的问题。 

小波变换阈值去噪方法去噪技术由于算法理论较为简单、实现方便及去噪效果好的特点在地震信号处理中应用广泛。在常规小波阈值去噪处理中，通常采用固定的分频数分频，然后在不同的频率尺度上采用某一固定阈值进行滤波，最后对滤波后的数据进行小波重构得到去噪后的地震记录。然而在实际处理中，固定的分频数是有缺陷的，在以信号为主的小尺度区域需要较少的分频数就能将信号与噪声分离；而以噪声为主的小尺度区域则需要较多的分频数才能将信号与噪声分离。 

现有技术中，经典小波变换阈值去噪方法，具体实现步骤是： 

设x(t)是平方可积函数记作（x(t)∈L2(R)）， 

是基本小波或母小波（mother wavelet）的函数。则 

称为x(t)的小波变换。式中a>0是尺度因子，τ是位移因子，其值可正可负。符号<x,y>代表内积，它的含义是（上标*代表共轭） 

<x(t),y(t)>=∫x(t),y^*(t)dt                                 (2) 

是基本小波的位移与尺度伸缩。式（1）中不但t是连续变量，而且a和τ也是连续变量，因此称为连续的小波变换(CWT)。关于式（1），有以下几点应加的补充说明： 

（1）基本小波 

可能是复数信号，特别是解析信号。 

（2）尺度因子a的作用是将基本小波 

作伸缩。 

（3） 

前加的因子 

的目的是使不同a值下 

的能量保持相等。 

（4）式中的内积往往被不严格的解释成卷积。 

下面来讨论小波变换在频域上的特点： 

公式（1）的等效频域表示是： 

${\mathrm{WT}}_x(a,\mathrm{\&tau;})=\frac{\sqrt{a}}{2\mathrm{\&pi;}}\&Integral;X\left(\mathrm{\&omega;}\right){\mathrm{\&psi;}}^{*}\left(\mathrm{a\&omega;}\right)e^{\mathrm{j\&omega;\&tau;}}\mathrm{d\&omega;}---\left(3\right)$

关于式（3），可见： 

（1）如果ψ(ω)是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号X(ω)频域上局部性质的能力。 

（2）采用不同a值作处理时，各ψ(aω)的中心频率和带宽都不一样，但品质因数（即（中心频率）/（带宽））却不变。 

总之，从频域上看，用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波 器对信号进行处理。带通的目的既可能是分解，也可能是检测（此时它相当于一组匹配滤波器）。 

于是，小波分解后，一般认为信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数，可以认为幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值较小的系数在很大程度上是噪声。于是可以找到一个合适的数λ作为阈值，当第j层第k个小波系数w_j,k小于该阈值时，认为这时的w_j,k主要是噪声，可以将系数w_j,k置零；当w_j,k大于该阈值时，认为此时的w_j,k主要是信号，该系数予以保留，从而实现了信噪分离。 

发明内容

现有小波变换去噪技术中，往往采用固定的分频数，和固定的小波阈值去噪。这种做法效率较低，且去噪效果不是非常理想。尤其以噪声为主的小波尺度内，这种做法几乎不能达到去噪的目的，这是因为没有选取合适的小波阈值，而是直接采用了和以信号为主的小波尺度内一样的小波阈值而引起的。 

本发明依据地震数据小尺度范围内判断是否以信号为主，进而决定信号与噪声分离时选用合适的分频数及选取合适的小波阈值。目的是利用小尺度范围内地震信号的相关性，对小波变换的分频数进行量化，同时为选取合适的小波阈值提供理论依据。 

本发明为小波变换去噪时如何选取分频数及选取合适的小波阈值提供了一种方法。 

首先小尺度地对地震数据进行扫描，得到一个时窗内的相关系数值； 

其次设置一个阈值，对这个小尺度时窗内的数据进行判断，是以地震信 号为主还是以噪声信号为主； 

然后采用合适的分频数及合适的小波阈值进行去噪。 

去噪的具体实现步骤为： 

设采集到的含噪地震信号为s_i(t)，N道，M个采样点，采样率为1ms，其中i为道数，t为时间。取一个时间窗，大小为L×M，计算L道中数据的相关系数cor(s_L(t))，假定δ为以信号为主还是以噪声为主的临界相关系数，如式4，则 

以信号为主的地震道采用常规小波去噪时的分频数，在小波阈值选取上采用常规硬阈值或软阈值； 

以噪声为主的地震道采用较多的分频数，具体做法是，常规分频后，由于还是以噪声为主，进而采用小波包进一步分频，在小波阈值的选取上采用最佳熵原则下的浮动阈值。 

步骤一：对地震信号进行小尺度窗内求取相关系数。 

$\mathrm{cor}\left(s_L\left(t\right)\right)=\frac{1}{L-1}*\underset{k=1}{\overset{L-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\underset{i,j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_i\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_i\left(t\right)})(S_j\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_j\left(t\right)})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_i\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_i\left(t\right)})}^2}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_j\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_j\left(t\right)})}^2}}---\left(5\right)$

其中i,j∈L。 

利用公式（5）对整个地震数据块进行迭代计算，得到每道地震数据所对应的相关系数值。固定某道，以此道为中心道，左右各取(L-1)/2道形成长度为L的窗，将中心道与窗内每道进行相关运算，求出相关系数，然后对这L-1个相关系数求平均值，便得到此道的相关系数值。 

步骤二：选取合适的分频数。 

通过步骤一计算得到了每道的相关系数cor(s_L(t))，与设定的δ进行对比，便可确定具体分频数。δ因数据不同而不同。 

若cor(s_L(t))>δ，则地震信号道中以地震信号为主，反之，则以噪声为主。当地震道以地震信号为主时，采用常规分频数，即一般分6-8个频率尺度即可，便能满足地震去噪的需求；若地震道以噪声信号为主时，采用小波包进行进一步分频，在细化后的小波尺度上对噪声进行压制。 

步骤三：选取合适的小波阈值进行去噪。 

小波阈值在小波去噪处理中有非常重要的作用。小波阈值的选取是否合理直接决定着去噪效果。本专利为小波去噪中如何选取合适的小波阈值提供了一种选择依据。 

如式6所示，地震信号经小波变换后，得到不同小波尺度上的小波系数值w_j,k(a,τ)，其中j表示第j个小波尺度，k表示第k个小波系数。 

$w_{j,k}(a,\mathrm{\&tau;})=\frac{\sqrt{a}}{2\mathrm{\&pi;}}\&Integral;S\left(\mathrm{\&omega;}\right){\mathrm{\&Psi;}}^{*}\left(\mathrm{a\&omega;}\right)e^{\mathrm{j\&omega;\&tau;}}\mathrm{d\&omega;}---\left(6\right)$

①地震道以信号为主 

此时采用常规小波去噪的硬阈值或软阈值，由于软阈值具有更强的适应性，故软阈值方法在实际应用中更为广泛，本专利采用软阈值做示范。 

软阈值去噪表达式为： 

${\hat{w}}_{j,k}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sign}\left(w_{j,k}\right)\left(\right|w_{j,k}|-\mathrm{\&lambda;})& \left|w_{j,k}\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;}\\ 0& \left|w_{j,k}\right|<\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中 

为去噪后第j层第k个小波系数，w_j,k为去噪前第j层第k个小波系数，sign(w_j,k)表示取w_j,k的符号， 

为阈值，其中σ为噪声标准 方差，N为信号长度。 

②地震道以噪声为主 

此时常规小波变换阈值去噪方法中采用硬阈值或软阈值的去噪效果很不理想，于是采用最佳熵的原则设定下面的浮动阈值法。熵在信息论中是随机信号序列的概率密度泛函，熵越小随机信号序列的不定性程度越低，从而该序列代表的信息状态也就越稳定。 

步骤二中对地震信号进行小波包分解后，在分频后的子频带上，采用最佳熵原则设定下的浮动阈值去噪，表达式为 

${\hat{w}}_{j,k}=\left\{\begin{array}{cc}{w}_{j,k}& \left|w_{j,k}\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;}\\ 0& \left|w_{j,k}\right|<\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中 

为去噪后第j层第k个小波系数，w_j,k为去噪前第j层第k个小波系数， 

为阈值，其中M为子频带内的小波系数个数，A为子频带范数。将幅值小于λ的小波系数置零，保留大于λ的小波系数。然后由剩余的几个小波系数重构信号，得到去噪后的地震数据。 

本发明的有益效果在于去噪效果明显，具有较强的针对性。 

附图说明

图1是小波变换小尺度阈值去噪流程图 

图2是模拟地震数据小波变换小尺度阈值去噪效果对比图。 

图3是原始地震道集相关系数曲线。 

图4是实际地震数据小波变换小尺度阈值去噪效果对比图。 

具体实施方式

下面结合实施例进一步描述本发明。本发明的范围不受这些实施例的限制，本发明的范围在权利要求书中提出。 

如图1是小波变换小尺度阈值去噪流程图，图中显示了本方法技术的实现流程。具体详细实现步骤： 

去噪的具体实现步骤为： 

设采集到的含噪地震信号为s_i(t)，N道，M个采样点，采样率为1ms，其中i为道数，t为时间。取一个时间窗，大小为L×M，计算L道中数据的相关系数cor(s_L(t))，假定δ为以信号为主还是以噪声为主的临界相关系数，如式4，则 

以信号为主的地震道采用常规小波去噪时的分频数，在小波阈值选取上采用常规硬阈值或软阈值； 

以噪声为主的地震道采用较多的分频数，具体做法是，常规分频后，由于还是以噪声为主，进而采用小波包进一步分频，在小波阈值的选取上采用最佳熵原则下的浮动阈值。 

步骤一：对地震信号进行小尺度窗内求取相关系数。 

$\mathrm{cor}\left(s_L\left(t\right)\right)=\frac{1}{L-1}*\underset{k=1}{\overset{L-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\underset{i,j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_i\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_i\left(t\right)})(S_j\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_j\left(t\right)})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_i\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_i\left(t\right)})}^2}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_j\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_j\left(t\right)})}^2}}---\left(5\right)$

其中i,j∈L。 

利用公式（5）对整个地震数据块进行迭代计算，得到每道地震数据所对应的相关系数值。固定某道，以此道为中心道，左右各取(L-1)/2道形成长度 为L的窗，将中心道与窗内每道进行相关运算，求出相关系数，然后对这L-1个相关系数求平均值，便得到此道的相关系数值。 

步骤二：选取合适的分频数。 

通过步骤一计算得到了每道的相关系数cor(s_L(t))，与设定的δ进行对比，便可确定具体分频数。δ因数据不同而不同。 

若cor(s_L(t))>δ，则地震信号道中以地震信号为主，反之，则以噪声为主。当地震道以地震信号为主时，采用常规分频数，即一般分6-8个频率尺度即可，便能满足地震去噪的需求；若地震道以噪声信号为主时，采用小波包进行进一步分频，在细化后的小波尺度上对噪声进行压制。 

步骤三：选取合适的小波阈值进行去噪。 

小波阈值在小波去噪处理中有非常重要的作用。小波阈值的选取是否合理直接决定着去噪效果。本专利为小波去噪中如何选取合适的小波阈值提供了一种选择依据。 

如式6所示，地震信号经小波变换后，得到不同小波尺度上的小波系数值w_j,k(a,τ)，其中j表示第j个小波尺度，k表示第k个小波系数。 

$w_{j,k}(a,\mathrm{\&tau;})=\frac{\sqrt{a}}{2\mathrm{\&pi;}}\&Integral;S\left(\mathrm{\&omega;}\right){\mathrm{\&Psi;}}^{*}\left(\mathrm{a\&omega;}\right)e^{\mathrm{j\&omega;\&tau;}}\mathrm{d\&omega;}---\left(6\right)$

①地震道以信号为主 

此时采用常规小波去噪的硬阈值或软阈值，由于软阈值具有更强的适应性，故软阈值方法在实际应用中更为广泛，本专利采用软阈值做示范。 

软阈值去噪表达式为： 

${\hat{w}}_{j,k}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sign}\left(w_{j,k}\right)\left(\right|w_{j,k}|-\mathrm{\&lambda;})& \left|w_{j,k}\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;}\\ 0& \left|w_{j,k}\right|<\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中 

为去噪后第j层第k个小波系数，w_j,k为去噪前第j层第k个小波系数，sign(w_j,k)表示取w_j,k的符号， 

为阈值，其中σ为噪声标准方差，N为信号长度。 

②地震道以噪声为主 

此时常规小波变换阈值去噪方法中采用硬阈值或软阈值的去噪效果很不理想，于是采用最佳熵的原则设定下面的浮动阈值法。熵在信息论中是随机信号序列的概率密度泛函，熵越小随机信号序列的不定性程度越低，从而该序列代表的信息状态也就越稳定。 

步骤二中对地震信号进行小波包分解后，在分频后的子频带上，采用最佳熵原则设定下的浮动阈值去噪，表达式为 

${\hat{w}}_{j,k}=\left\{\begin{array}{cc}{w}_{j,k}& \left|w_{j,k}\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;}\\ 0& \left|w_{j,k}\right|<\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中 

为去噪后第j层第k个小波系数，w_j,k为去噪前第j层第k个小波系数， 

为阈值，其中M为子频带内的小波系数个数，A为子频带范数。将幅值小于λ的小波系数置零，保留大于λ的小波系数。然后由剩余的几个小波系数重构信号，得到去噪后的地震数据。 

如图2是模拟地震数据小尺度阈值去噪方法的效果图，图2中的a区域是原始加噪模拟道集，共有3个反射层，1500个样点，161道，在加噪的过程中，为了验证对于不同道之间相关系数对小波分频数及小波阈值的影响，1-100道加入了较少的噪声，101-161加入了较大的噪声，从图2中的a区域 中可以看到，模拟合成的地震资料品质较差，尤其是101-161道几乎完全看不见地震同相轴。图2中的b区域是常规小波去噪后的道集，采用常规小波软阈值去噪，所有道集采用一个阈值，可以看到信噪比得到了很大的改善，但101-161信噪比较低的区域去噪效果不是特别理想。图2中的c区域是小尺度阈值去噪后的道集，首先对地震道集求取小尺度相关系数，得到相关系数曲线（如图3所示），以信号为主的道集相关系数也较大，大于0.009，以噪声为主的道集相关系数较小，小于0.003，取0.003<δ<0.009。当小尺度相关系数大于δ时，采用常规小波去噪，阈值选取常规软阈值，滤波效果如图2中的a区域1-100道所示，效果非常好，几乎不含任何噪声；当小尺度相关系数小于δ时，此时采用小波包分解，在小波尺度上采用最佳熵原则下的浮动阈值，滤波效果如图2中的a区域101-161道所示，虽然也有些残余噪声，但信噪比得到了极大改善。如图2中的d区域为经典中值滤波后的道集，很显然去噪效果不是非常理想，尤其是信噪比较低的区域，有效地震信号依然淹没在噪声中。 

从模拟地震数据去噪效果来看，本专利方法具有明显的去噪优势，也为小波去噪时阈值的选取提供了一定的理论依据。 

采用本专利的方法对实际地震资料进行去噪效果分析，如图4所示。如图4中的a区域为某区实际地震数据道集，从图中可以看到，地震资料的信噪比较低，有效信号被大量噪声淹没。图4中的b区域是常规小波去噪后的道集，可以看到，地震资料的品质有所改善。图4中的c区域是小尺度阈值去噪后的道集，通过地震相关系数的约束，采用最佳熵原则下的浮动阈值进行去噪，很显然去噪后的地震资料信噪比提高了，且有效地震信号保存完整。 图4中的d区域为经典中值滤波后的道集，很显然去噪效果不是非常理想，尤其是信噪比较低的区域，有效信号几乎没出来，从波形变宽来看，它还降低了地震资料的有效频率。 

以上参照附图对本申请的示例性的实施方案进行了描述。本领域技术人 员应该理解，上述实施方案仅仅是为了说明的目的而所举的示例，而不是用来进行限制，凡在本申请的教导和权利要求保护范围下所作的任何修改、等同替换等，均应包含在本申请要求保护的范围内。 

Claims (8)

1.一种基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于,包括以下步骤：

（1）首先小尺度地对地震数据进行扫描，得到一个时窗内的相关系数值；

（2）设置一个阈值，对这个小尺度时窗内的数据进行判断，是以地震信号为主还是以噪声信号为主；

（3）采用设定的分频数及小波阈值进行去噪。

2.根据权利要求1所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法,其特征在于，所述的步骤（3）进一步包括去噪的具体实现步骤为：

（3.1）设采集到的含噪地震信号为s_i(t)，N道，M个采样点，采样率为1ms，其中i为道数，t为时间;

（3.2）取一个时间窗，大小为L×M，计算L道中数据的相关系数cor(S_L(t));

（3.3）假定δ为以信号为主还是以噪声为主的临界相关系数，如下式（A），则

(3.4)以信号为主的地震道采用常规小波去噪时的分频数，在小波阈值选取上采用常规硬阈值或软阈值；

(3.5)以噪声为主的地震道采用较多的分频数，具体做法是，常规分频后，由于还是以噪声为主，进而采用小波包进一步分频，在小波阈值的选取上采用最佳熵原则下的浮动阈值。

3.根据权利要求1所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于，步骤（3.2）进一步包括以下步骤：

步骤一：对地震信号进行小尺度窗内求取相关系数:

$\mathrm{cor}\left(s_L\left(t\right)\right)=\frac{1}{L-1}*\underset{k=1}{\overset{L-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\underset{i,j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}(s_i\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_i\left(t\right)})(S_j\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_j\left(t\right)})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_i\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_i\left(t\right)})}^2}\sqrt{\underset{j=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_j\left(t\right)-\stackrel{\&OverBar;}{s_j\left(t\right)})}^2}}---\left(B\right)$

其中i,j∈L;

利用公式（B）对整个地震数据块进行迭代计算，得到每道地震数据所对应的相关系数值，固定某道，以此道为中心道，左右各取(L-1)/2道形成长度为L的窗，将中心道与窗内每道进行相关运算，求出相关系数，然后对这L-1个相关系数求平均值，便得到此道的相关系数值;

步骤二：选取合适的分频数:

通过步骤一计算得到了每道的相关系数cor(S_L(t))，与设定的δ进行对比，便可确定具体分频数；δ因数据不同而不同。

4.根据权利要求2所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于，步骤二进一步包括：

若cor(S_L(t))>δ，则地震信号道中以地震信号为主，反之，则以噪声为主；

当地震道以地震信号为主时，采用常规分频数分6-8个频率尺度，便能满足地震去噪的需求；

若地震道以噪声信号为主时，采用小波包进行进一步分频，在细化后的小波尺度上对噪声进行压制。

5.根据权利要求3所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于，进一步包括：

步骤三：选取合适的小波阈值进行去噪：

地震信号经小波变换后，得到不同小波尺度上的小波系数值w_j,k(a,τ)，公式(C)如下:

$w_{j,k}(a,\mathrm{\&tau;})=\frac{\sqrt{a}}{2\mathrm{\&pi;}}\&Integral;S\left(\mathrm{\&omega;}\right){\mathrm{\&Psi;}}^{*}\left(\mathrm{a\&omega;}\right)e^{\mathrm{j\&omega;\&tau;}}\mathrm{d\&omega;}---\left(C\right)$

其中j表示第j个小波尺度，k表示第k个小波系数。

6.根据权利要求3所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于，步骤二进一步包含以下步骤：

①当地震道以信号为主时：

采用硬或软阈值去噪；

②当地震道以噪声为主时：

采用最佳熵的原则设定下面的浮动阈值法；熵在信息论中是随机信号序列的概率密度泛函，熵越小随机信号序列的不定性程度越低，从而该序列代表的信息状态也就越稳定。

7.根据权利要求6所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于，①当地震道以信号为主时：采用软阈值去噪表达式为：

${\hat{w}}_{j,k}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{sign}\left(w_{j,k}\right)\left(\right|w_{j,k}|-\mathrm{\&lambda;})& \left|w_{j,k}\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;}\\ 0& \left|w_{j,k}\right|<\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right.---\left(D\right)$

式中

为去噪后第j层第k个小波系数，w_j,k为去噪前第j层第k个小波系数，sign(w_j,k)表示取w_j,k的符号，

为阈值，其中σ为噪声标准方差，N为信号长度。

8.根据权利要求6所述的基于小波变换的小尺度阈值去噪方法，其特征在于，步骤二中对地震信号进行小波包分解后，在分频后的子频带上，采用最佳熵原则设定下面的浮动阈值去噪，表达式为

${\hat{w}}_{j,k}=\left\{\begin{array}{cc}{w}_{j,k}& \left|w_{j,k}\right|\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;}\\ 0& \left|w_{j,k}\right|<\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right.---\left(E\right)$

式中

为去噪后第j层第k个小波系数，w_j,k为去噪前第j层第k个小波系数，

为阈值，其中M为子频带内的小波系数个数，A为子频带范数，将幅值小于λ的小波系数置零，保留大于λ的小波系数，然后由剩余的几个小波系数重构信号，得到去噪后的地震数据。

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