CN103489337A - 一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，本发明针对空中交通流量大规模的特点，根据协同进化的思想先将大问题划分成多个小问题，通过对每个小问题的进化最终完成对大问题的进化，而且在问题的划分过程中采用了动态分组的策略，使关联性强的问题能够分到同一个组中，在每个子问题的进化过程中采用了差分进化的方法，并且引入了浓度调节机制，提高了非支配解的多样性，为了增加对解空间的搜索能力，这里引入了局部搜索策略，而且针对问题大规模的特点改进了传统的局部搜索策略，实验证明能够找到比传统方法更优的解。

Description

一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法

技术领域

本发明提出一种新的局部搜索策略，可以处理多目标大规模组合优化问题，是一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法。 

背景技术

近年来我国的民航运输业取得了突飞猛进的发展，随着空中飞机数量的不断增多，空域拥挤问题变得日益严重，不仅降低了飞行的安全性，而且给民航带来了巨大的经济损失。空中交通流量管理是解决空中交通拥挤最为有效和经济的手段，通过改变飞机的起飞时间、飞行路径达到流量调控的目的，从而降低空中交通拥挤度，提高了空域的利用率。 

早期的空中交通流量调控方法主要是针对局部区域采取措施，尤其是在终端区，这种方法在一开始取得了很好的效果，但是局部调整的缺点是很少考虑各个区域之间的关联性，随着飞机数量的剧增，各部分区域之间的关联性增强，这种方法已经难以取得令人满意的效果。为了解决这个问题，广域空中交通流量调控的方法逐渐引起了人们的注意，这种方法的一个突出特点就是考虑了整个空域中的飞机，因此问题的规模非常大，而且在做问题优化时要同时考虑安全性和经济性，所以这是一个多目标大规模组合优化问题。传统的遗传算法在解决多目标组合优化问题时已经表现出了一定的优势，但是在处理大规模的多目标组合优化问题时搜索能力有限，容易陷入局部最优。 

发明内容

本发明针对空中交通流量大规模的特点，根据协同进化的思想先将大问题划分成多个小问题，通过对每个小问题的进化最终完成对大问题的进化，而且在问题的划分过程中采用了动态分组的策略，使关联性强的问题能够分到同一个组中，在每个子问题的进化过程中采用了差分进化的方法，并且引入了浓度调节机制，提高了非支配解的多样性，为了增加对解空间的搜索能力，这里引入了局部搜索策略，而且针对问题大规模的特点改进了传统的局部搜索策略，实验证明能够找到比传统方法更优的解。 

本发明提供一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，所述方法假设， 

（1）所有的飞机的飞行速度都一样，而且在飞行过程中保持不变； 

（2）所有飞机的起飞时刻都是一个含有有限个元素的集合； 

（3）所有飞机的飞行路径在一定的范围内可选； 

（4）同一个起止点之间的飞机，可选路径集合是一样的； 

基于上述假设，所述空中交通流量调控方法包括如下步骤： 

第一步，根据约束条件确定目标函数： 

第一个是空中交通拥挤度的目标函数，表示为： 

其中，

表示扇区S_k在时间T内的总拥挤度，

表示扇区S_k在时间T内的最大拥挤度，P表示扇区的数量，φ和

是介于0到1之间的权重系数； 

第二个目标函数即起飞时刻延误和额外飞行路径的目标函数，表示为： 

$y_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\δ}{\left(i\right)}^2$

其中，N代表飞机数量；δ(i)表示总的延误； 

第二步，根据合作型协同进化算法对空中交通流量进行调控。 

本发明的优点在于： 

（1）本发明采取协同进化的思想，运用动态分组的策略处理大规模组合优化问题，取得了良好的效果； 

（2）本发明提出了一种新的局部搜索策略，加强了对解空间的搜索能力，同时在进行非支配解集的更新时提出了一种浓度调节机制方法，提高了非支配解的多样性； 

（3）本发明能够解决广域范围内的空中交通流量调控，比传统的遗传算法能够得到更为满意的结果。 

附图说明

图1a和图1b是中国航路网模型与中国空域扇区划分示意图； 

图2为染色体编码结构示意图； 

图3为合作型协同进化算法示意图； 

图4为本发明提供的基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法流程图。 

图5为局部搜索操作示意图。 

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。 

先介绍如下概念与定义： 

1、航路：由国家统一划定的具有一定宽度的空中通道。有较完善的通信、导航设备，宽度通常为20KM。划定航路的目的是维护空中交通秩序，提高空间利用率，保证飞行安全。 

2、航线：飞机飞行的路线称为空中交通线，简称航线。飞机的航线不仅确定了飞机飞行 具体方向、起讫点和经停点，而且还根据空中交通管制的需要，规定了航线的宽度和飞行高度，以维护空中交通秩序，保证飞行安全。 

3、空域：空域就是飞行所占用的空间。通常以明显地标或导航台为标志。空域同领土、领海一样，是国家的主权范围，也是重要的军用及民航资源。 

4、合作型协同进化：利用分而治之的思想将一个高维问题分解为多个低维问题进行求解的优化算法。 

本发明提供一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，所述方法首先作出如下理论假设； 

（1）所有的飞机的飞行速度都一样，而且在飞行过程中保持不变。 

（2）所有飞机的起飞时刻都是一个含有有限个元素的集合。 

（3）所有飞机的飞行路径在一定的范围内可选。 

（4）同一个OD（Origin-Destination起止点）对之间的飞机，可选路径集合是一样的。 

所述方法具体包括如下步骤： 

第一步，根据约束条件确定目标函数： 

图1给出的是中国航路网的现状图和扇区划分情况，包括1706条航段，940个航路点和150个机场。 

所有飞机的起飞时刻都必须考虑旅客的需求情况，在合理的范围内进行选择，每个飞机的飞行路径集合也有一定的限制，对于每个飞机来说，它的最长路径不能超过最短路径长度的1.3倍。空中交通流量调控的思想就是通过改变飞机的起飞时刻或飞行路径，使其提前或延后进入某一扇区，从而达到降低该扇区拥挤度的效果。 

根据上面的描述，每个飞机都包括两个变量(δ_i,r_i)，δ_i表示飞机起飞提前或延后的时间，r_i表示重新选择的飞行路径，δ_i和r_i的可选集合可以分别表示为： 

Δ＝-δ_m,-δ_m+1,...,-1,0,1,...,δ_p-1,δ_p

R＝r₀,r₁,r₂,...,r_max

δ_m,δ_p分别表示飞机可以提前和延后的最大时间，r₀表示最优路径，r_max表示最差路径。 

空中交通流量管理的目标是提高飞行安全性，兼顾社会经济效益，提高安全性就是要降低空中交通拥挤度，兼顾经济性就是要减少飞机延误和飞机额外飞行路径的长度，因此这里有两个目标需要同时优化。 

第一个目标是对空中交通拥挤度的优化，为了描述空域拥挤，我们引入了扇区负荷的概念，用扇区的负荷是否超过了扇区的容量极限来判断该扇区是否拥挤。扇区S_k在t时刻的负荷

主要包括两个部分：监控负荷和协调负荷

可以表示为： 

w,ψ∈[0,1]分别为监视负荷和协调负荷分配的不同权重。 

扇区S_k在t时刻的监视负荷

可以表示为： 

$W_{\mathrm{mo}{S}_k}^t\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{(1+M_{S_k}^t-C_{{\mathrm{mS}}_k}^t)}^2-1& \mathrm{if}{M}_{S_k}^t>C_{m{S}_k}^t\\ 0& \mathrm{else}\end{array}\right.$

其中，

与t时刻通过扇区S_k的飞机数目的平方成正比，

表示t时刻扇区S_k的监视负荷极限。 

扇区S_k在t时刻协调负荷可以表示为： 

$W_{\mathrm{co}{S}_k}^t\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{(1+M_{S_k}^t-C_{{\mathrm{CS}}_k}^t)}^2-1& \mathrm{if}{C}_{S_k}^t>C_{C{S}_k}^t\\ 0& \mathrm{else}\end{array}\right.$

其中，

与t时刻穿越扇区S_k边界的飞机数目的平方成正比，

表示t时刻扇区S_k的协调负荷极限。 

这样，空中交通拥挤度的目标函数可以表示为： 

其中，

表示扇区S_k在时间T内的总拥挤度，

表示扇区S_k在时间T内的最大拥挤度，P表示扇区的数量，φ和

是介于0到1之间的权重系数。 

第二个目标是对起飞时刻延误和额外飞行路径的优化。如果飞机i计划在t_k时刻起飞，而实际上它在t_n时刻起飞，这样飞机的地面延误可以表示为：δ_s(i)＝t_n-t_k，由于中国航路网模型中的飞机可以提前起飞，所以δ_s(i)可能是负数，为了保证δ_s(i)是正数，这里取绝对值，将δ_s(i)表示为：δ_s(i)＝|t_n-t_k|。 

飞机在起飞之后如果选择的不是最优路径，则在飞行过程中会产生额外的飞行时间，相同的时间内，空中飞行的花费是地面延误的3倍，所以飞机的空中延误可以表示为： 

δ_r(i)＝3*(T_r-T₀)， 

T_r表示实际飞行路径需要的时间，T₀表示最短路径需要的时间。所以总的延误δ(i)可以表示为：δ(i)＝δ_s(i)+δ_r(i)。为了保证飞机之间的公平性，这里将线性的目标函数改为平方和的形式，比如同样是两个飞机一共延误20分钟，我们希望每个飞机延误10分钟，而不是一个延误20分钟，一个没有延误，平方和的形式可以把这两种情况区分开来。所以第二个目标函数即起飞时刻延误和额外飞行路径的目标函数可以表示为： 

$y_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\δ}{\left(i\right)}^2$

其中，N代表飞机数量。 

第二步，根据合作型协同进化算法对空中交通流量进行调控，结合附图4，具体为： 

（1）染色体编码； 

每条染色体由所有飞机(也称为航班)的起飞时刻和飞行路径构成，因此染色体长度是航班数量的2倍，图2给出了染色体的编码结构，R_n表示航班n的可选飞行路径集合，Δ_n表示航班n的可选起飞时刻集合，n=1,…,k,…N。 

（2）生成初始种群； 

读入所有航班的可选飞行路径集合数据和起飞时刻的上下限数据，作为可选数据集合；在可选数据集合内随机选择数据，初始化每个航班的飞行路径和起飞时刻。初始化全局变量archive为空集，archive用来存放进化最新找到的非支配解。 

（3）种群协同进化； 

（3.1）这里采用的是合作型协同进化方法，如图3所示，首先将一个大问题(高维问题)分解成多个子问题（即对所有航班进行随机分组得到低维子问题1～n），然后对每个子问题进行差分进化，最终大问题的完整解由这些子问题的部分解共同组成，对完整解进行适应度评估，就得到最终方案。每次差分进化都重新进行相应子问题的分解，这样有利于将关联性强的变量分到同一个子问题中。 

（3.2）对每个子问题进行差分进化，更新外部非支配集合archive中的非支配解，差分进化的具体操作步骤如下： 

（3.2.1）变异。 

$v_i={x_i}_1+F\·({x_i}_2-{x_i}_3)$

其中，，V_i表示变异后的第i个个体，i,i₁,i₂,i₃∈[1,NP]是互不相同的整数，F＞0是一个常系数，用来控制差分变量

NP表示每个子问题包含的个体数目。 

（3.2.2）交叉。 

$u_i\left(j\right)=\left\{\begin{array}{c}{v}_i\left(j\right),\mathrm{if}{U}_j\left(\mathrm{0,1}\right)<\mathrm{CRorj}=j_{\mathrm{rand}}\\ x_i\left(j\right),\mathrm{otherwise}\&CenterDot;\end{array}\right.$

其中，U_j(0,1)是均匀分布在0与1之间的随机数，j_rand是随机选择的索引号，CR∈(0,1)是交叉概率，经常设置为0.9。v_i(j)表示变异后第j个子问题中的第i个个体，x_i(j)表示第j个子问题中的第i个个体，u_i(j)表示交叉后第j个子问题中的第i个个体。 

（3.2.3）选择。 

因为这里有两个目标需要同时优化，所以这里的选择操作与传统的差分进化有所不同： 

$x_i^{\&prime;}=\left\{\begin{array}{c}{u}_i,\mathrm{if}{y}_1\left(u_i\right)<0.9\&times;y_1\left(x_i\right)\mathrm{or}{y}_2\left(u_i\right)<0.9\&times;y_2\left(x_i\right)\mathrm{or}(y_1\left(u_i\right)\&le;y_1\left(x_i\right)\mathrm{and}{y}_2\left(u_i\right)\&le;y_2\left(x_i\right))\\ x_i,\mathrm{otherwise}\&CenterDot;\end{array}\right.$ 其中，x'_i表示第i个个体x_i的子代个体，包含航班选择的飞行路径和起飞时刻，y₁和y₂是问题的两个目标函数。 

（3.3）对外部集合中非支配解的浓度调节机制； 

在种群进行进化的同时这里定义了一个变量archive用来存放找到的非支配解，这里对于非支配解的数量有一定的限制，当找到的非支配解数量太多时就需要去除其中的一些不好的解。根据Pareto解的相关知识，在非支配解数量一定的情况下，非支配解越分散越好，这样的解具有多样性，可以为决策者提供更多的选择，浓度调节机制可以去掉那些分布比较拥挤的解。浓度调节机制的步骤如下： 

(3.3.1).计算外部集合中每个非支配解的浓度； 

假定非支配解集的大小为PS。非支配解i和非支配解j之间的欧式距离是: 

$d_{i,j}=\frac{1}{2}\&CenterDot;\sqrt{{({P_i}^{\mathrm{fit}\left[1\right]}-{P_j}^{\mathrm{fit}\left[1\right]})}^2+{({P_i}^{\mathrm{fit}\left[2\right]}-{P_j}^{\mathrm{fit}\left[2\right]})}^2}\&CenterDot;$

P_i ^fit[1],P_i ^fit[2]分别代表非支配解i对应的第一个目标函数值和第二个目标函数值；P_j ^fit[1],P_j ^fit[2]分别代表非支配解j对应的第一个目标函数值和第二个目标函数值。所有外部集合中的非支配解之间的欧式距离和s为： 

$s=\underset{i=1}{\overset{i=N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{j=N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{2}\&CenterDot;d_{i,j}$

这样，每个非支配解i的浓度d_i可由下式计算得到： 

$d_i=\frac{\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{j=N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&delta;}}_{i,j}}{N}$

其中， ${\mathrm{\&delta;}}_{i,j}=\left\{\begin{array}{ccc}1& \mathrm{if}& d_{i,j}\&le;\frac{s}{25}\\ 0& \mathrm{if}& d_{i,j}>\frac{s}{25}\end{array}\right.\&CenterDot;$

(3.3.2)更新外部集合中的非支配解集合； 

子问题进化过程中产生的解会逐渐更新非支配解集合，新产生的非支配解会取代非支配解集中它所支配的解。当非支配解集合中的解超过集合的容量限度时，会根据浓度调节机制去掉浓度大的个体。非支配解i从非支配解集合中被移除的概率p_i是： 

$p_i=\frac{{d_i}^{\mathrm{\&alpha;}}}{\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d_j}^{\mathrm{\&alpha;}}}$ (α是调节常数，且α>0)。 

从上式中可以看出，非支配解的浓度越大，从外部集合中被移除的概率也就越大，而那些浓度低的非支配解，就越容易在外部集合中存活下来。这样就能保证外部集合中非支配解集的分散性，增加非支配解的多样性，同时也为下一步调节进化种群提供质量更高的个体。(3.3.3)调节进化种群； 

非支配解集合中的非支配解，其浓度越低，代表该非支配解周围的搜索空间搜索的越不充分。这一步调节进化种群的目的是引导整个种群的搜索向搜索不充分的区域进行，这样才 能充分挖掘搜索的潜力，提高种群多样性，避免种群进化陷入早熟。具体做法是，按照一定的概率从非支配解集中选择一定数目的非支配解去替换进化种群中对应的个体。非支配解的浓度越低，其被选择的概率就越大。非支配解i被选定的概率q_i是： 

$q_i=\frac{d_i^{-\mathrm{\&beta;}}}{\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d_j}^{-\mathrm{\&beta;}}}$ (β是常数，且β＞0)。 

这样，非支配解集中分散性越好的非支配解，就会以更高的概率参与到下一步种群进化中，从而以更高的概率产生质量高的子代解。从而最终能够引导进化种群的搜索方向，提高种群多样性，从而产生质量更好的非支配解。 

3.4）局部搜索策略； 

传统的局部搜索策略通常是对部分个体的全部变量进行局部搜索，也就是说如果染色体含有2N个变量，则它对2N个变量都进行局部搜索。由于这里研究的问题维度太大（通常大于3000），也就是说每条染色体中包含的变量特别多，有些变量之间还有一定的关联性，如果对所有的变量都进行局部搜索，得到的解甚至比搜索前还要差，因此这里提出了一种对个体部分变量进行局部搜索的策略。如果研究的问题包括N个航班，则每个染色体包含2N个变量，这里对每条染色体（即每个个体）中的2N×p个变量进行局部搜索，如图5所示，这里p的最优值可以通过实验得到，p大于0小于1。 

Claims (6)

1.一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，其特征在于：假设，

（1）所有的飞机的飞行速度都一样，而且在飞行过程中保持不变；

（2）所有飞机的起飞时刻都是一个含有有限个元素的集合；

（3）所有飞机的飞行路径在一定的范围内可选；

（4）同一个起止点之间的飞机，可选路径集合是一样的；

基于上述假设，所述空中交通流量调控方法包括如下步骤：

第一步，根据约束条件确定目标函数：

第一个是空中交通拥挤度的目标函数，表示为：

其中，

表示扇区S_k在时间T内的总拥挤度，

表示扇区S_k在时间T内的最大拥挤度，P表示扇区的数量，φ和

是介于0到1之间的权重系数；

第二个目标函数即起飞时刻延误和额外飞行路径的目标函数，表示为：

$y_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&delta;}{\left(i\right)}^2$

其中，N代表飞机数量；δ(i)表示总的延误；

第二步，根据合作型协同进化算法对空中交通流量进行调控。

2.根据权利要求1所述的一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，其特征在于：所述的总的延误δ(i)为：δ(i)＝δ_s(i)+δ_r(i)；

其中δ_s(i)＝t_n-t_k，如果飞机i计划在t_k时刻起飞，而实际上它在t_n时刻起飞，这样飞机的地面延误为δ_s(i)；为了保证δ_s(i)是正数，这里取绝对值，将δ_s(i)表示为：δ_s(i)＝|t_n-t_k|；飞机的空中延误δ_r(i)表示为：δ_r(i)＝3*(T_r-T₀)，T_r表示实际飞行路径需要的时间，T₀表示最短路径需要的时间。

3.根据权利要求1所述的一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，其特征在于：所述的第二步具体为：

(1)染色体编码；每条染色体由所有飞机的起飞时刻和飞行路径构成，因此染色体长度是航班数量的2倍；

(2)生成初始种群；读入所有航班的可选飞行路径集合数据和起飞时刻的上下限数据，作为可选数据集合；在可选数据集合内随机选择数据，初始化每个航班的飞行路径和起飞时刻；初始化全局变量archive为空集，archive用来存放进化最新找到的非支配解；

(3)种群协同进化；

(3.1)采用合作型协同进化方法首先将一个大问题分解成多个子问题；

(3.2)对每个子问题进行差分进化，更新外部非支配集合archive中的非支配解；

(3.3)对外部集合中非支配解的浓度调节机制；

(3.4)局部搜索策略：如果研究的问题包括N个航班，则每个染色体包含2N个变量，这里对每条染色体中的2N×p个变量进行局部搜索，p大于0小于1。

4.根据权利要求3所述的一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，其特征在于：所述差分进化的具体操作步骤如下：

(3.2.1)变异；

$v_i={x_i}_1+F\&CenterDot;({x_i}_2-{x_i}_3)$

其中，，V_i表示变异后的第i个个体，i,i₁,i₂,i₃∈[1,NP]是互不相同的整数，F＞0是一个常系数，用来控制差分变量

NP表示每个子问题包含的个体数目；

(3.2.2)交叉；

$u_i\left(j\right)=\left\{\begin{array}{c}{v}_i\left(j\right),\mathrm{if}{U}_j\left(\mathrm{0,1}\right)<\mathrm{CRorj}=j_{\mathrm{rand}}\\ x_i\left(j\right),\mathrm{otherwise}\&CenterDot;\end{array}\right.$

其中，U_j(0,1)是均匀分布在0与1之间的随机数，j_rand是随机选择的索引号，CR∈(0,1)是交叉概率；v_i(j)表示变异后第j个子问题中的第i个个体，x_i(j)表示第j个子问题中的第i个个体，u_i(j)表示交叉后第j个子问题中的第i个个体；

(3.2.3)选择；

$x_i^{\&prime;}=\left\{\begin{array}{c}{u}_i,\mathrm{if}{y}_1\left(u_i\right)<0.9\&times;y_1\left(x_i\right)\mathrm{or}{y}_2\left(u_i\right)<0.9\&times;y_2\left(x_i\right)\mathrm{or}(y_1\left(u_i\right)\&le;y_1\left(x_i\right)\mathrm{and}{y}_2\left(u_i\right)\&le;y_2\left(x_i\right)),\\ x_i,\mathrm{otherwise}\&CenterDot;\end{array}\right.$

其中，x'_i表示第i个个体x_i的子代个体，包含航班选择的飞行路径和起飞时刻，y₁和y₂是问题的两个目标函数。

5.根据权利要求4所述的一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，其特征在于：所述交叉概率设置为0.9。

6.根据权利要求3所述的一种基于改进的局部搜索策略的空中交通流量调控方法，其特征在于：所述浓度调节机制的步骤如下：

(3.3.1)计算外部集合中每个非支配解的浓度；

假定非支配解集的大小为PS，非支配解i和非支配解j之间的欧式距离是：

$d_{i,j}=\frac{1}{2}\&CenterDot;\sqrt{{({P_i}^{\mathrm{fit}\left[1\right]}-{P_j}^{\mathrm{fit}\left[1\right]})}^2+{({P_i}^{\mathrm{fit}\left[2\right]}-{P_j}^{\mathrm{fit}\left[2\right]})}^2},$

P_i ^fit[1],P_i ^fit[2]分别代表非支配解i对应的第一个目标函数值和第二个目标函数值；P_j ^fit[1],P_j ^fit[2]分别代表非支配解j对应的第一个目标函数值和第二个目标函数值，所有外部集合中的非支配解之间的欧式距离和s为：

$s=\underset{i=1}{\overset{i=N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{j=N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{2}\&CenterDot;d_{i,j}$

这样，每个非支配解i的浓度d_i由下式计算得到：

$d_i=\frac{\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{j=N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&delta;}}_{i,j}}{N}$

其中， ${\mathrm{\&delta;}}_{i,j}=\left\{\begin{array}{ccc}1& \mathrm{if}& d_{i,j}\&le;\frac{s}{25}\\ 0& \mathrm{if}& d_{i,j}>\frac{s}{25}\end{array}\right.;$

(3.3.2)更新外部集合中的非支配解集合；

非支配解i从非支配解集合中被移除的概率p_i是：

$p_i=\frac{{d_i}^{\mathrm{\&alpha;}}}{\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d_j}^{\mathrm{\&alpha;}}}$

其中，α是调节常数，且α>0；

(3.3.3)调节进化种群；

具体做法是，按照一定的概率从非支配解集中选择一定数目的非支配解去替换进化种群中对应的个体，非支配解i被选定的概率q_i是：

$q_i=\frac{{d_i}^{-\mathrm{\&beta;}}}{\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d_j}^{-\mathrm{\&beta;}}}$

其中，β是常数，且β＞0。

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