CN103488875A - 一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法 - Google Patents

Abstract

一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法，包括如下步骤1)采用集总参数构建气动阀门动力学模型；2)根据小扰动分析法将气动阀门动力学模型线性化，获取各参变量的线性齐次方程组；3)根据线性齐次方程组的有解条件，推导出气动阀门的动力学稳定性行列式|A|＝0；4)求解行列式|A|＝0，获取气动阀门稳定性行列式的特征根；5)根据特征根进行气动阀门动力学稳定性的判别：若所有特征根的实部均为负数，则阀门是稳定的；若特征根中存在非负实部，则阀门将是不稳定的，且特征根中正实部越大，则阀门越不稳定，特征根中负实部越小，则阀门越稳定。本发明用于气动阀门的稳定性定量判别及阀门产品的稳定性裕度设计，提升气动阀门的工作可靠性。

Description

一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法

技术领域

本发明涉及一种气动阀门动力学稳定性的判别方法，可用于对气动阀门的稳定性进行量化分析及阀门产品的稳定性裕度设计。

背景技术

作为运载火箭的重要单机，气动阀门在生产验收、靶场测试、飞行过程中可能会与管路系统发生气固耦合自激振动，引发阀门呜叫、管路颤振等问题，严重时发生阀门及管路元件的疲劳破坏，造成气动阀门工作失效。目前，对于气动阀门的稳定性通常采用试验验证的方法进行定性判断，缺少定量的判别方法，无法有效的对气动阀门的稳定性裕度进行预测。随着型号研制要求的不断提高，研制任务的日益繁忙，传统依靠试验验证的阀门稳定性判别方法周期长、成本高的特点日益显露，因此研究一种能有效分析气动阀门的稳定性的判别方法成为迫切的需要。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法，用于气动阀门的稳定性定量判别及阀门产品的稳定性裕度设计，提升气动阀门的工作可靠性。

本发明的技术方案是：一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法，步骤如下：

1)采用集总参数构建气动阀门动力学模型；

2)根据小扰动分析法将气动阀门动力学模型线性化，获取各参变量的线性齐次方程组；

3)根据步骤2)获得的线性齐次方程组及其有解条件，获得气动阀门的动力学稳定性行列式|A|=0；

4)求解气动阀门的动力学稳定性行列式|A|=0，获取气动阀门稳定性行列式的特征根；

5)根据步骤4)得到的气动阀门稳定性行列式的特征根，进行气动阀门动力学稳定性的判别：若所有特征根的实部均为负数，则阀门是稳定的；若特征根中存在非负实部，则阀门将是不稳定的，且特征根中正实部越大，则阀门越不稳定，特征根中负实部越小，则阀门越稳定。

所述步骤1)中采用集总参数法构建阀门的动力学模型的具体建模方法如下：

11)设阀芯为单自由度运动，每一个阀芯i的运动方程为：

$m_i\frac{d^2{z}_i}{{\mathrm{dt}}^2}=F_{\mathrm{pi}}-c_i\frac{{\mathrm{dz}}_i}{\mathrm{dt}}-k_{\mathrm{si}}(z_i+z_{i0})$

式中：t为时间；z_i为阀芯i运动位移；m_i为阀芯i质量；c_i为阀芯i阻尼系数；F_pi为阀芯i压差作用力；k_si为阀芯i弹簧刚度；z_i0为阀芯i的弹簧预压缩量；

12)对于每一个阀腔，根据热力学状态第一定律及理想气体状态方程，容腔内的压力变化方程为：

$\frac{{\mathrm{dp}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{\frac{R_g{T}_{j1}}{V_j}\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-\frac{R_g{T}_j}{V_j}\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}}-\frac{m_j{R}_g{T}_j}{{V_j}^2}\frac{{\mathrm{dV}}_j}{\mathrm{dt}}}{1-\frac{R_g}{c_p}}$

温度变化方程为：

$\frac{{\mathrm{dT}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{c_p{T}_{j1}\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-c_p{T}_j\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-p_j\frac{{\mathrm{dV}}_j}{\mathrm{dt}}+R_g{T}_j(\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}})}{m_j{c}_p-m_j{R}_g}$

式中：p_j为阀腔j压力；T_j为阀腔j温度；T_j1为阀腔j入口介质温度；V_j为阀腔j体积；R_g为气体常数；c_p为定压比热；dm_j1/dt为阀腔j入口质量流量；dm_j2/dt为阀腔j出口质量流量；

13)根据孔板流量公式，通过阀腔j的入口和出口质量流量方程为：

通过阀腔j的入口流量：

$\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}=A_{j1}{C}_{\mathrm{jq}1}{C}_{\mathrm{jm}1}\frac{P_{j1}}{\sqrt{T_{j1}}}$ ；其中C_jm1的取值为：

式中，p_j1为阀腔j入口介质压力；C_jq1为阀腔j入口流量系数，A_j1为阀腔j入口通流面积；k为比热比；p_cr为临界压比；

通过阀腔j的出口流量：

$\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}}=A_{j2}{C}_{\mathrm{jq}2}{C}_{\mathrm{jm}2}\frac{p_j}{\sqrt{T_j}}$ ；其中C_jm2的取值为：

式中，C_jq2为出口流量系数，A_j2为出口通流面积；p_j2为阀腔j出口介质压力；

14)根据步骤11)-步骤13)获得的阀芯的运动方程，阀腔的压力、温度变化方程，阀腔的入口出口流量方程，建立气动阀门的(2i+2j)阶动力学微分方程组：

$\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{du}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{dp}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{dT}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

……

$\frac{{\mathrm{dz}}_i}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{du}}_i}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{dp}}_j}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{dT}}_j}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

式中，u_i为第i个阀芯的运动速度。

本发明与现有技术相比具有如下有益效果：

(1)本发明通过构建气动阀门的动力学模型，应用小扰动分析方法对动力学模型进行线性化，并根据线性齐次方程组有解的条件，得到阀门的动力学稳定性分析模型，其特征根将反映气动阀门的动力学稳定特性：若所有特征根的实部均为负数，阀门是稳定的；若特征根中存在非负实部，阀门将是不稳定的，且可根据实部的数值进行稳定性裕度的量化判断，正实部越大，阀门越不稳定，负实部越小，阀门越稳定。本发明分析方法解决了目前运载火箭与武器型号气动阀门的动力学稳定性的判别问题，为气动阀门的稳定性定量判别、稳定性裕度优化设计及试验提供指导与验证；

(2)本发明分析方法已广泛运用于多个运载与武器型号气动阀门的动力学稳定性判别中，直观且量化的反映了不同压力、流量条件下及不同管路系统条件下气动阀门的动力学稳定特性，为气动阀门的优化设计提供了有效指导，其分析方法有效，预示结果正确合理。

附图说明

图1为本发明方法流程图。

具体实施方式

气动阀门动力学稳定性判别方法的主要流程为：

1)根据气动阀门原理进行阀腔划分，并采用集总参数法构建阀门的动力学模型，具体建模方法如下：

11)设阀芯为单自由度运动，每一个阀芯i的运动方程为：

$m_i\frac{d^2{z}_i}{{\mathrm{dt}}^2}=F_{\mathrm{pi}}-c_i\frac{{\mathrm{dz}}_i}{\mathrm{dt}}-k_{\mathrm{si}}(z_i+z_{i0})$

式中：t为时间；z_i为阀芯i运动位移；m_i为阀芯i质量；c_i为阀芯i阻尼系数；F_pi为阀芯i压差作用力；k_si为阀芯i弹簧刚度；z_i0为阀芯i的弹簧预压缩量；

12)对于每一个阀腔，根据热力学状态第一定律及理想气体状态方程，容腔内的压力变化方程为：

$\frac{{\mathrm{dp}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{\frac{R_g{T}_{j1}}{V_j}\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-\frac{R_g{T}_j}{V_j}\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}}-\frac{m_j{R}_g{T}_j}{{V_j}^2}\frac{{\mathrm{dV}}_j}{\mathrm{dt}}}{1-\frac{R_g}{c_p}}$

温度变化方程为：

$\frac{{\mathrm{dT}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{c_p{T}_{j1}\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-c_p{T}_j\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-p_j\frac{{\mathrm{dV}}_j}{\mathrm{dt}}+R_g{T}_j(\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}})}{m_j{c}_p-m_j{R}_g}$

式中：p_j为阀腔j压力；T_j为阀腔j温度；T_j1为阀腔j入口介质温度；V_j为阀腔j体积；R_g为气体常数；c_p为定压比热；dm_j1／dt为阀腔j入口质量流量；dm_j2／dt为阀腔j出口质量流量；

13)根据孔板流量公式，通过阀腔j的入口和出口质量流量方程为：

通过阀腔j的入口流量：

$\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}=A_{j1}{C}_{\mathrm{jq}1}{C}_{\mathrm{jm}1}\frac{P_{j1}}{\sqrt{T_{j1}}};$ 其中C_jm1的取值为：

式中，p_j1为阀腔j入口介质压力；C_jq1为阀腔j入口流量系数，A_j1为阀腔j入口通流面积；k为比热比；p_cr为临界压比；

通过阀腔j的出口流量：

$\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}}=A_{j2}{C}_{\mathrm{jq}2}{C}_{\mathrm{jm}2}\frac{p_j}{\sqrt{T_j}};$ 其中C_jm2的取值为：

式中，C_jq2为出口流量系数，A_j2为出口通流面积；p_j2为阀腔j出口介质压力；

14)根据步骤11)-步骤13)获得的阀芯的运动方程，阀腔的压力、温度变化方程，阀腔的入口出口流量方程，建立气动阀门的(2i+2j)阶动力学微分方程组：

$\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{du}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{dp}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{dT}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T_j)$

……

$\frac{{\mathrm{dz}}_i}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{du}}_i}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{dp}}_j}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{dT}}_j}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,\·\·\·,z_i,u_i,p_1,T_1,\·\·\·,p_j,T)$

式中，u_i为第i个阀芯的运动速度。

2)采用小扰动分析方法，将气动阀门的动力学微分方程组通过Taylor级数展开并进行线性化，获取关于各参变量的线性齐次方程组；

扰动前，气动阀门处于稳定状态。扰动发生后，对任一变量ξ均可写成：

ξ=ξ₀+δξ·e^st

式中：s=b+iω，i是虚数单位，i=(-1)^1/2，w是角频率，δξ·e^b是扰动量的振幅，且有δξ＜＜ξ₀，则

(z₁，u₁，...，z_i，u_i，p₁，T₁，...，p_j，T_j)^T=(z₁₀，u₁₀，...，z_i0，u_i0，p₁₀，T₁₀，...，p_j0，T_j0)^T+(δz，δu，...，δz_i，δu_i，δp，δT，...，δp_j，δT_j)^T·e^st

将上式代入气动阀门的动力学微分方程组，采用泰勒级数展开，忽略二阶小量，可得关于(δz，δu，...，δz_i，δu_i，δp，δT，...，δp_j，δT_j)的(2i+2j)阶线性齐次方程组：

a₁₁·δz₁+a₁₂·δu₁+...+a_1(2i-1)·δz_i+a_1(2i)·δu_i+a_1(2i+1)·δp_i+1+a_1(2i+2)δT_i+1+...+a_1(2i+2j-1)·δp_i+j+a_1(2i+2j)δT_i+j=0

a₂₁·δz₁+a₂₂·δu₁+...+a_2(2i-1)·δz_i+a_2(2i)·δu_i+a_2(2i+1)·δp_i+1+a_2(2i+2)δT_i+1+...+a_2(2i+2j-1)·δp_i+j+a_2(2i+2j)δT_i+j=0

......

a_(2i-1)1·δz₁+a_(2i-1)2·δu₁+...+a_(2i-1)(2i-1)·δz_i+a_(2i-1)(2i)·δu_i+a_(2i-1)(2i+1)·δp_i+1+a_(2i-1)(2i+2)δT_i+1+...+a_{(2i-1)(2i+2j-1)}·δp_i+j+a_{(2i-1)(2i+2j)}δT_i+j=0

a_(2i)1·δz₁+a_(2i)2·δu₁+...+a_(2i)(2i-1)·δz_i+a_(2i)(2i)·δu_i+a_(2i)(2i+1)·δp_i+1+a_(2i)(2i+2)δT_i+1+...+a_{(2i)(2i+2j-1)}·δp_i+j+a_(2i)1(2i+2j)δT_i+j=0

......

a_(2i+2j-1)1·δz₁+a_(2i+2j-1)2·δu₁+...+a_{(2i+2j-1)(2i-1)}·δz_i+a_{(2i+2j-1)(2i)}·δu_i+a_{(2i+2j-1)(2i+1)}·δp_i+1+a_{(2i+2j-1)(2i+2)}δT_i+1+...+a_{(2i+2j-1)(2i+2j-1)}·δp_i+j+a_{(2i+2j-1)(2i+2j)}δT_i+j=0

a_(2i+2j)1·δz₁+a_(2i+2j)2·δu₁+...+a_{(2i+2j)(2i-1)}·δz_i+a_(2i+2j)(2i)·δu_i+a_{(2i+2j)(2i+1)}·δp_i+1+a_{(2i+2j)(2i+2)}δT_i+1+...+a_{(2i+2j)(2i+2j-1)}·δp_i+j+a_{(2i+2j)1(2i+2j)}δT_i+j=0

(3)根据线性齐次方程组有解的条件：其系数矩阵A的行列式为零，即|A|=0，可得到气动阀门的动力学稳定性模型：

$\left|\begin{array}{cccccccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1(2i-1)}& a_{1\left(2i\right)}& ...& a_{1(2i+2j-1)}& a_{1(2i+2j)}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2(2i-1)}& a_{2\left(2i\right)}& ...& a_{2(2i+2j-1)}& a_{2(2i+2j)}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{(2i-1)1}& a_{(2i-1)2}& {...}_{}& {a_{(2i-1)(2i-1)}}_{}& a_{(2i-1)\left(2i\right)}& ...& a_{(2i-1)(2i+2j-1)}& a_{(2i-1)(2i+2j)}\\ a_{\left(2i\right)1}& a_{\left(2i\right)2}& ...& a_{\left(2i\right)(2i-1)}& a_{\left(2i\right)\left(2i\right)}& ...& a_{\left(2i\right)(2i+2j-1)}& a_{\left(2i\right)(2i+2j)}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{(2i+2j-1)1}& a_{(2i+2j-1)2}& ...& a_{(2i+2j-1)(2i-1)}& a_{(2i+2j-1)\left(2i\right)}& ...& a_{(2i+2j-1)(2i+2j-1)}& a_{(2i+2j-1)(2i+2j)}\\ a_{(2i+2j)1}& a_{(2i+2j)2}& ...& a_{(2i+2j)(2i-1)}& a_{(2i+2j)\left(2i\right)}& ...& a_{(2i+2j)(2i+2j-1)}& a_{(2i+2j)(2i+2j)}\end{array}\right|=0$

(4)气动阀门的动力学稳定性将依赖于行列式|A|=0的(2i+2j)个复系数根，若所有根的实部均为负数，则在扰动项(δz，δu，...，δz_i，δu_i，δp，δT，...，δp_j，δT_j)^T·e^st中将出现衰减的时间函数，阀门是稳定的；若一个或多个根有正实部，则扰动项中将包含一个或多个按指数规律增加的时间函数，阀门将是不稳定的；且可根据实部的数值进行稳定性裕度的量化判断，正实部越大，气动阀门越不稳定，负实部越小，气动阀门越稳定。

本发明说明书中未作详细描述的内容属本领域技术人员的公知技术。

Claims (2)

1.一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法，其特征在于步骤如下：

1)采用集总参数构建气动阀门动力学模型；

2)根据小扰动分析法将气动阀门动力学模型线性化，获取各参变量的线性齐次方程组；

3)根据步骤2)获得的线性齐次方程组及其有解条件，获得气动阀门的动力学稳定性行列式|A|=0；

4)求解气动阀门的动力学稳定性行列式|A|=0，获取气动阀门稳定性行列式的特征根；

5)根据步骤4)得到的气动阀门稳定性行列式的特征根，进行气动阀门动力学稳定性的判别：若所有特征根的实部均为负数，则阀门是稳定的；若特征根中存在非负实部，则阀门将是不稳定的，且特征根中正实部越大，则阀门越不稳定，特征根中负实部越小，则阀门越稳定。

2.根据权利要求1所述的一种可量化的气动阀门动力学稳定性判别方法，其特征在于：所述步骤1)中采用集总参数法构建阀门的动力学模型的具体建模方法如下：

11)设阀芯为单自由度运动，每一个阀芯i的运动方程为：

$m_i\frac{d^2{z}_i}{{\mathrm{dt}}^2}=F_{\mathrm{pi}}-c_i\frac{{\mathrm{dz}}_i}{\mathrm{dt}}-k_{\mathrm{si}}(z_i+z_{i0})$

式中：t为时间；z_i为阀芯i运动位移；m_i为阀芯i质量；c_i为阀芯i阻尼系数；F_pi为阀芯i压差作用力；k_si为阀芯i弹簧刚度；z_i0为阀芯i的弹簧预压缩量；

12)对于每一个阀腔，根据热力学状态第一定律及理想气体状态方程，容腔内的压力变化方程为：

$\frac{d{p}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{\frac{R_g{T}_{j1}}{V_j}\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-\frac{R_g{T}_j}{V_j}\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}}-\frac{m_j{R}_g{T}_j}{V_j^2}\frac{{\mathrm{dV}}_j}{\mathrm{dt}}}{1-\frac{R_g}{c_p}}$

温度变化方程为：

$\frac{{\mathrm{dT}}_j}{\mathrm{dt}}=\frac{c_p{T}_{j1}\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-c_p{T}_j\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-p_j\frac{{\mathrm{dV}}_j}{\mathrm{dt}}+R_g{T}_j(\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}-\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}})}{m_j{c}_p-m_j{R}_g}$

式中：p_j为阀腔j压力；T_j为阀腔j温度；T_j1为阀腔j入口介质温度；V_j为阀腔j体积；R_g为气体常数；c_p为定压比热；dm_j1／dt为阀腔j入口质量流量；dm_j2／dt为阀腔j出口质量流量；

13)根据孔板流量公式，通过阀腔j的入口和出口质量流量方程为：

通过阀腔j的入口流量：

$\frac{{\mathrm{dm}}_{j1}}{\mathrm{dt}}=A_{j1}{C}_{\mathrm{jq}1}{C}_{\mathrm{jm}1}\frac{P_{j1}}{\sqrt{T_{j1}}};$ 其中C_jm1的取值为：

式中，p_j1为阀腔j入口介质压力；C_jq1为阀腔j入口流量系数，A_j1为阀腔j入口通流面积；k为比热比；p_cr为临界压比；

通过阀腔j的出口流量：

$\frac{{\mathrm{dm}}_{j2}}{\mathrm{dt}}=A_{j2}{C}_{\mathrm{jq}2}{C}_{\mathrm{jm}2}\frac{p_j}{\sqrt{T_j}};$ 其中C_jm2的取值为：

式中，C_jq2为出口流量系数，A_j2为出口通流面积；p_j2为阀腔j出口介质压力；

14)根据步骤11)-步骤13)获得的阀芯的运动方程，阀腔的压力、温度变化方程，阀腔的入口出口流量方程，建立气动阀门的(2i+2j)阶动力学微分方程组：

$\frac{{\mathrm{dz}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{du}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{dp}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

$\frac{{\mathrm{dT}}_1}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T_j)$

……

$\frac{{\mathrm{dz}}_i}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{du}}_i}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{dp}}_j}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T)$

$\frac{{\mathrm{dT}}_j}{\mathrm{dt}}=f_1(z_1,u_1,...,z_i,u_i,p_1,T_1,...,p_j,T)$

式中，u_i为第i个阀芯的运动速度。

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