CN104268303B - 载人飞船非线性复压定步长改进欧拉法离散仿真稳态偏移的克服方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了载人舱船非线性复压定步长改进欧拉离散仿真稳态偏移的克服方法。其特征在于包括：得到仿真系统的本质为一阶流量模型；求得对应离散系统的不动点；判别该离散系统不动点的类型，从而找到平衡点偏移的根本原因；提出了载人舱船非线性复压定步长改进欧拉离散仿真稳态偏移的克服方法。
Description
技术领域
本发明涉及采用欧拉离散法对载人飞船舱船对接复压过程的仿真领域，具体涉及一种新的仿真方法，运用改进欧拉法对载人飞船舱船系统进行仿真。
背景技术
对于实际的载人飞船舱船对接复压，当舱船之间压力差很小时，宇航员会手动将复压阀门关闭，但是系统仿真过程中舱船之间稳态压力差为零，系统稳态流量也最终为零。实际舱船对接复压运用的是非线性复压组件，对于该复压组件进行了仔细的研究，得到了其模型的本质为一阶流量变化模型。但是由于非线性复压组件工作较为复杂，在工作即将结束时，即流量很小的情况下：1、为了保证稳定性，一般采用变步长，仿真时间过长；2、为了保证仿真的实时性，需要采用定步长方法，如果采用常用的欧拉方法或者三阶龙格库塔方法，系统就会出现振荡，如果采用改进欧拉法或者四阶龙格库塔方法，系统会出现稳态误差。因此，基于定步长改进欧拉仿真方法的非线性复压组件会出现稳态偏移的原因进行了仔细的研究，发现系统最终出现的稳态偏移是不可避免的。所以，选择根据系统初值设定的位置不同而采取不同的仿真方法，这样仿真过程与实际相接近，舱船之间压力差和流量最终为零，并且始终保证系统的实时性和稳定性。
发明内容
本发明提供了运用定步长进行仿真方法，从而保证了仿真的实时性。由于采用定步长的欧拉法或三阶龙格库塔法，系统会出现振荡，采用改进欧拉法或四阶龙格库塔法，系统会出现稳态误差，所以提出运用定步长改进欧拉离散仿真方法仿真，提出了载人舱船非线性复压定步长改进欧拉离散仿真稳态偏移的克服方法，同时保证了系统的实时性和稳定性。
根据本发明的一个方面，提供了一种载人舱船非线性复压定步长改进欧拉离散仿真方法，其特征在于包括：
把载人舱船非线性复压模型看作一阶系统，其中，所述载人舱船包括进行对接的核心舱和飞船，
找到一阶系统的载人舱船非线性复压模型的不动点，
判断所述不动点是吸引不动点还是排斥不动点，其中：
当初值在两排斥不动点之间时，采用线性复压组件，
当初值在其它范围时，先采用非线性复压组件，直到流量变化接近于0时，改用线性复压件。
附图说明
图1舱船对接模型示意图。
图2(a)至2(d)显示了初值设定在不同位置时对应的平衡点偏离情况。
图3(a)至3(d)显示了初值设定在不同区域对应平衡点偏离情况。
图4线性复压组件流量变化情况。
图5显示了根据本发明的改进方法的流量变化情况。
图6本发明的仿真方法实施过程。
具体实施方案
实际舱船对接复压运用的是非线性复压组件，本发明人对于该复压组件进行了仔细的研究，得到了其模型的本质为一阶流量变化模型。
经过仿真可以看出，系统流量最终稳定的位置与本身连续系统计算出来的平衡点有一定的偏离。因此本发明人仔细研究了该现象产生的原因，从而发现，该连续系统经过改进欧拉法的离散化之后，系统的不动点增加为三个，其中两个为吸引不动点，一个为排斥不动点，而这一个排斥不动点对应的就是连续系统的平衡点，系统最终只会平衡在两个吸引不动点上，不会靠近排斥不动点。所以运用改进欧拉法不会最终稳定在平衡点上。
针对这样的现象，本发明人对于仿真方法进行了调整，提出了根据本发明的方案，即根据初值设定的位置不同，采取不同的方法进行仿真。由于一个排斥不动点是在两个吸引不动点之间的。所以，当系统的初值设定在两个吸引不动点之间，则直接采用线性复压组件；若是系统初值设定在其它范围内，则先使用非线性复压组件，当压力变化量近似为零时转换为线性复压组件。运用这两种方法，都能使系统最终稳定在连续系统的平衡点上。
以下具体说明根据本发明的实施例的技术方案。
在复压起始阶段飞船的压力是大于核心舱的压力的，所以会有从飞船向核心舱的物质流流动，如图1。实际运用的非线性复压组件的流量/压力变化模型遵循(1)式：
其中
下标1代表核心舱，上标2代表飞船。
P表示压力，单位是Pa，P1表示核心舱压力，P2表示飞船压力；
w表示流量，单位是kg/s；
R表示摩擦阻力，单位是Pa/(kg/s)2。
载人舱船对接时，认为两密闭空间内的空气为理想气体，则各自压力变化为：
P1V1＝m1RgT1 (2a)
P2V2＝m2RgT2 (2b)
其中：
m表示空气总质量，单位是kg；m1表示核心舱的空气总质量，m2表示飞船的空气总质量；
T表示温度，单位是K，T1表示核心舱的温度，T2表示飞船的温度；
V表示体积，单位是m2，V1表示核心舱的体积，V2表示飞船的体积；
Rg表示气体常数，单位是J/(kg·K)，Rg＝296.8J/(kg·K)。
假设复压过程T1、T2不发生改变，根据(1)、(2a)、(2b)可得舱船内空气质量的变化：
则由(1)、(2a)、(2b)、(3a)、(3b)式得到：
其中
c表示舱容，
单位是kg/Pa，c1表示核心舱压力，c2表示飞船压力；
t表示时间，单位是秒(s)。
将式(4a)和(4b)联立代入到(1)中，则得到
其中
P10表示核心舱初始压力，单位是Pa；
P20表示飞船初始压力，单位是Pa。
w(0)表示系统流量的初值，单位是kg/s，可以计算出
令w2＝v
其中
v表示流量w的平方，单位是(kg/s)2,v0表示v的初始值，可以算出
式(5)表明，运用非线性复压组件进行的舱船对接的模型是一阶非线性微分方程，根据该一阶流量方程进行仿真，如图6(601)。
对于上述连续动力系统而言，能够计算该系统只有一个平衡点a2，令
可计算得到
a2＝0
在本发明运用的改进欧拉法中，对应的公式为
其中
tn表示自变量；
yn表示因变量；
h表示步长，单位是s；
f(tn，yn)表示R×R→R的映射。
将公式(5)写成标准形式，得
其中
将公式(7)代入到公式(6)中，得
定义1：设s是Rn空间的有界闭集，映射f：s→s是压缩映射，则在s中存在唯一点x0，满足f(x0)＝x0，则x0称为映射f(x)的不动点。
根据定义1，令yn+1＝yn，可以求出三个不动点，得
a1,3＝±B2
a2＝0
所以，系统存在三个不动点，并且其中一个不动点与对应的连续动力系统的平衡点相等。
对公式(7)，即对非线性系统求特征值，得
其中
λ表示系统的特征值。
定义2：设p是映射f：Rn→Rn的不动点，
①如果系统的雅可比矩阵Df(p)的所有特征值的模都小于1，则称p为系统的渊或吸引不动点。
②如果系统的雅可比矩阵Df(p)的所有特征值的模都大于1，则称p为系统的源或排斥不动点。
③如果系统的雅可比矩阵Df(p)的特征值的模中有一些大于1，而其余的小于1，则称p为系统的鞍点。
分别将上节求出的三个不动点的值a1、a2、a3代入公式(9)中，可以求出
λ(a2)→∞
由于本仿真系统采用定步长仿真，所以设定h＝0.1s，分别代入λ(a1)、λ(a2)、λ(a3)，得到|λ(a1)|<1、|λ(a2)|>1、|λ(a3)|<1，根据定义2，说明yn＝a1、yn＝a3为吸引不动点；yn＝a2为排斥不动点，，这也就解释了无论如何运用改进欧拉法，系统最终会有平衡点的偏离。对于设定的不同初值，结果分别为图2(a)-(d)，当初值设定在yn<a1时，系统最终趋近于a1点，如图2(a)；当初值设定在a1<yn<a2时，系统最终趋近于a1点，如图2(b)；当初值设定在a2<yn<a3时，系统最终趋近于a3点，如图2(c)；当初值设定在yn>a3时，系统最终趋近于a3点，如图2(d)。总之，系统最终只能趋近于a1、a3，偏离于a2。上述四种情况的仿真结果分别如图3(a)-(d)；其中，图3(a)显示了初值设定在yn<a1时对应平衡点偏离的仿真结果，图3(b)显示了初值设定在a1<yn<a2时对应平衡点偏离的仿真结果，图3(c)显示了初值设定在a2<yn<a3时对应平衡点偏离的仿真结果，图3(d)显示了初值设定在yn>a3时对应平衡点偏离的仿真结果。
从以上的分析可以发现，该系统运用改进欧拉法进行仿真，根据公式(5)建立模型，如图6的步骤(601)，最终都会导致平衡点的偏离，而其中的主要原因就是因为对应于连续系统平衡点的不动点是排斥不动点，因此在仿真过程中系统会远离该不动点y2＝a2,，如图3。判断初值所在位置，如图6的步骤(602)，解决方案就应该分为两种情况。
(1)、当初值在(a1，a3)时，采用线性复压组件，P2-P1＝Rw，如图6的步骤(604)；
(2)、当初值在其它范围时，先采用非线性复压组件，
如图6的步骤(605)，直到流量变化接近于0时，如图6的步骤(603)，也就是流量变化值小于1e-6时，改用线性复压件，如图6的步骤(604)，P2-P1＝Rw。
这种方法能够保证系统最终趋近于连续系统的平衡点，使基于定步长改进欧拉法的离散仿真保证仿真的实时性与稳定性。对参数进行设定，其中c1＝c2＝0.001，R＝1e4，v0＝1对应以上两种情况，即初值设定为0.1，选择方案(1)，所得到的仿真结果为图4，初值设定为5，选择方案(2)，所得到的仿真结果如图5所示。
Claims (2)
1.载人舱船非线性复压定步长改进欧拉离散仿真方法，其特征在于包括：
把载人舱船非线性复压模型看作一阶系统，其中，所述载人舱船包括进行对接的核心舱和飞船，
找到一阶系统的载人舱船非线性复压模型的不动点，
判断所述不动点是吸引不动点还是排斥不动点，其中：
当初值在两吸引不动点之间时，采用线性复压组件，
当初值在其它范围时，先采用非线性复压组件，直到流量变化小于1e-6时，改用线性复压件，
其中：
由于在复压起始阶段飞船的压力是大于核心舱的压力的，所以会有从飞船向核心舱的物质流流动，而载人飞船非线性复压组件的压力流量变化遵循公式：
其中
P表示压力，单位是Pa，P1表示核心舱压力，P2表示飞船压力；
w表示流量，单位是kg/s；
R表示摩阻，单位是Pa/(kg/s)2；
根据热力学公式可以推导出该非线性复压组件的公式为
其中
t表示时间，单位是s；
舱容的定义式为
单位是kg/Pa；c1表示核心舱的舱容，c2表示飞船的舱容；
v表示流量w的平方，单位是(kg/s)2,v0表示v的初始值，可以算出
P10表示核心舱初始压力，单位是Pa；
P20表示飞船初始压力，单位是Pa；
式(2)表明，运用非线性复压组件进行的舱船对接的模型是一阶非线性微分方程，
作为一阶系统的载人舱船非线性复压模型，确定其平衡点a2，即令
得到
a2＝0
而采用的改进欧拉法，对应的离散公式为
其中
tn表示自变量；
yn表示因变量；
h表示步长，单位是s；
f(tn,yn)表示R×R→R的映射；
将公式(2)写成标准形式，得
其中
将公式(4)代入到公式(3)中，得
令yn+1＝yn，可以求出三个不动点a1<a2<a3，即得到：
a1,3＝±B2
a2＝0
且其中一个不动点与对应的连续动力系统的平衡点相等。
2.根据权利要求1的方法，其特征在于进一步包括：
对公式(5)，即对基于改进欧拉法的非线性系统求特征值，得
其中，λ表示系统的特征值，
分别将a1、a2、a3的值代入公式(6)中，得
λ(a2)→∞
得到|λ(a1)|<1、|λ(a2)|>1、|λ(a3)|<1，并确定a1、a3为系统的吸引不动点，a2为系统的排斥不动点。
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