CN103471703A - 一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，包括以下步骤：第一、利用叶端定时信号采集系统获取欠采样的叶端振动信号；第二、确定高速叶片振动特性的频带范围；第三、基于香农采样定理第一次重构叶端振动信号；第四、确定合适的小波包分解层数，使得上述指定频带范围与小波包分解后的某一频带一致；第五、利用小波包从第一次重构信号

中再次重构出指定频带范围的信号；第六，将除第R个小波包之外的其它小波包系数全部置零，在利用传统的小波包重构算法就可以重构出[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号。本发明计算过程简单、易于实现；重构信号是无偏差、无混叠的；可以提供真实、可靠的高速叶片振动信号。

Description

一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法

技术领域

本发明涉及高速叶片振动信号在线监测领域，具体涉及一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法。

背景技术

燃气轮机、航空发动机等叶片工作时在高温高压等恶劣环境下高速旋转，这使得叶片的振动测量是一个相当复杂的技术问题。传统的接触式叶片振动测量方法，如应变片测量法，必须把传感器安装到待测叶片上，费时费力且很难监测所有叶片振动情况；另外，接触传感器的工作寿命较短，自身荷重和体积会直接影响待测件的空气动力学和机械特性，从而制约了该类技术的实际应用。为此，自20世纪60年代开始，人们将研究重点转向了非接触式叶片振动在线测量方法，其中叶端定时测量法就是研究热点之一。

基于叶端定时的非接触式叶片振动在线检测基本原理是将叶端定时传感器沿圆周方向嵌入安装到旋转叶片径向相对静止的壳体上，当旋转叶片经过叶端定时传感器时会产生一个脉冲信号，通过对脉冲信号进行计数可以获得每个叶片叶端到达叶端定时传感器的时间。理论上当旋转叶片不产生振动时，每个叶片叶端通过叶端定时传感器的到达时间是固定的，而实际情况下当旋转叶片出现不对中、剥落、裂纹等潜在故障时会产生振动，此时叶片通过叶端定时传感器的时间会比理论到达时间提前或滞后，产生一个时间差，对该时间差信号序列进行处理就可以得到旋转叶片叶端的振动位移序列，从而可以估计出高速叶片的振动特性。

基于叶端定时法在线测量高速叶片振动不同于一般的振动信号采集，它的采样频率与转速和传感器数目成正比。而实际中由于安装代价和空间等因素的约束，叶端定时传感器数目一般较少，使得其采样频率较低，一般小于高速叶片的固有频率。因此，该采样过程并不满足奈奎斯特采样定理，使得采集的叶端振动信号是典型的欠采样信号，不能真实反映叶片的振动行为，必须进行重构。已有研究将欠采样叶端振动信号看成是带通信号，提出了一种基于香农采样定理的重构方法。但是，实际的欠采样叶端振动信号并不是带通信号，这使得重构信号存在严重的频率混叠现象。因此，迫切需要一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，提高高速叶片振动分析与状态监控的准确性。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，提供真实、可靠的高速叶片在线振动信号。叶端定时传感器可以是光纤式或者电容式传感器。

为了解决上述技术问题，本发明采用下述的技术方案：

一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，其特征在于包括以下步骤：

第一、利用叶端定时信号采集系统获取欠采样的叶端振动信号

叶端定时信号采集系统包括叶端定时传感器、转速同步参考传感器、叶盘、高速脉冲采集电路、采集卡和计算机，叶端定时传感器均匀安装在圆周型壳体上，叶盘上的每个叶片通过每个叶端定时传感器以及同步参考传感器时会产生一个脉冲，利用脉冲计数法可以计算得到每个叶片通过每个叶端定时传感器的时间；记叶端定时传感器的数目为M，叶片数目为Q，叶片每分钟的转数为N，则旋转一周每个叶片会产生M个实际通过时间，根据这些实际通过时间可以得到该叶片叶端的M个振动位移，其表达式为

$y_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{\πNR}}{30}(t_{\mathrm{ij}}-t_{0j}),i=1,...,M,j=1,...,Q---\left(1\right)$

其中,y_ij表示第j个叶片的第i个振动位移，t_ij表示第j个叶片第i个振动位移的实际通过时间，t_0j表示第j个叶片第i个振动位移的理论通过时间，R表示叶片叶端到旋转中心轴的距离；进一步，旋转P圈后就可以采集得到每个叶片叶端振动信号时间序列，其长度为P×M，该时间序列就是要重构的欠采样叶端振动信号，且其采样频率为f_BTT=M×N/60；

第二、确定高速叶片振动特性的频带范围

高速叶片的振动特性主要是固有频率及其振型，故需要准确估计出其固有频率；记f_N为指定的高速叶片固有频率，因此仅需要关注中心频率为f₀、带宽为B₀的叶片振动信号，使得f_N∈[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]，则可以定义频带为[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]的实带通信号z(t)，实际中f₀的初值可以通过动力学模型、有限元模型或者模态实验测试三种方式之一进行事先估计来确定，B₀的选择满足f_BTT>4.26B₀；

第三、基于香农采样定理第一次重构叶端振动信号

根据香农采样定理：对中心频率为0、带宽为B_w的低通信号x(t)，只要采样频率f_s>B_w，就可以利用公式（2）进行重构

$\hat{x}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{x}\left(\frac{k}{f_s}\right)\sin c(f_{s}t-k)\]---\left(2\right)$

其中，是x(t)的解析信号；

为此，首先将z(t)在频域偏移-f₀，即

$s\left(t\right)=z\left(t\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{0}t}---\left(3\right)$

于是s(t)就成为了一个中心频率为0、带宽为B₀的低通信号；当f_BTT>4.26B₀时,根据公式（2）就可以重构s(t)，即

$\hat{s}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{s}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)\sin c(f_{\mathrm{BTT}}t-k)\]---\left(4\right)$

其中，

是s(t)的解析信号；

进一步，带通信号z(t)的重构公式如公式(5)所示。

$\hat{z}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)\sin c(f_{\mathrm{BTT}}t-k)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0(t-k/f_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(5\right)$

其中，

是z(t)的解析信号，sinc是函数名，且sinc(t)=sinπt/πt；

记K(t)为重构核函数，则公式（5）转化为公式（6）。

$\hat{z}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)K(f_{\mathrm{BTT}}t-k)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0(t-k/f_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(6\right)$

记

的重采样频率为

定义为

$f_{\tilde{z}}=L\×f_{\mathrm{BTT}}---\left(\text{7}\right)$

其中L为正整数，则可以得到离散化的重构信号

$\hat{z}\[n\]=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\[k\]K{(n/L-k)e}^{j2\mathrm{\π}{f}_0(n-\mathrm{Lk})/L{f}_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(8\right)$

其中，为了满足Nyquist采样定理，L的取值必须满足

；

第四、确定合适的小波包分解层数，使得上述指定频带范围与小波包分解后的某一频带一致：

实际的欠采样叶端振动信号并不是理想的带通信号z(t)，因此只有位于[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带内的重构信号才是真实的，而第一次重构信号中其它频带内的信号均是虚假信号；为此，利用小波包分解来提取重构信号

中[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带内的信号；对于n层小波包分解，将产生2ⁿ个频带，且第i个频带范围为[i/2ⁿ,(i+1)/2ⁿ](0≤i≤2ⁿ-1)；然后根据指定的频带范围确定n₀和i₀，使得

和[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]基本一致；

第五、利用小波包从第一次重构信号

中再次重构出指定频带范围的信号

为了从

中再次重构[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号，需要找到对应第i₀个频带的小波包，传统小波包分解生成的小波包顺序和自然频带顺序是不一致的，存在频带混乱现象；为此，通过下述两个步骤来确定第i₀个频带对应的小波包序号：

步骤一：对于i₀,它的二进制码可以写成k=(k_n-1k_n-2…k₀)，则它的灰色码可以定义为

g(k)=(g_n-1g_n-2…g₀)       （9）

其中， $g_i=k_i\⊗k_{i+1},i=0,...,n-2,g_{n-1}=k_{n-1},$ ‘’表示异或运算；

步骤二：对于i₀，根据公式（8）计算i₀-1的灰色码g(r-1)，然后将g(r-1)直接转化为十进制数R，最终第i₀频带对应第R个小波包；

第六，将除第R个小波包之外的其它小波包系数全部置零，再利用传统的小波包重构算法就可以重构出[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号。

本发明的高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法具有下述优点：

一是计算过程简单、易于实现；二是重构信号是无偏差、无混叠的；三是提供真实、可靠的高速叶片振动信号。

附图说明

图1是基于3个光纤传感器的叶端定时信号采集系统示意图。

图2是本发明方法的流程示意图。

图3是图1中光纤传感器输出的四路高速脉冲信号。

图4是仅利用香农采样定理重构后的叶端振动信号功率谱。

图5是利用本发明方法重构后的叶端振动信号功率谱。

本发明目的的实现、功能特点及优点将结合实施例，参照附图做进一步说明。

具体实施方式

应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

下面根据图2所示的本发明方法流程图来实现无混叠重构。

一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，其特征在于包括以下步骤：

第一、利用叶端定时信号采集系统获取欠采样的叶端振动信号

叶端定时信号采集系统包括叶端定时传感器、转速同步参考传感器、叶盘、高速脉冲采集电路、采集卡和计算机，叶端定时传感器均匀安装在圆周型壳体上，叶盘上的每个叶片通过每个叶端定时传感器以及同步参考传感器时会产生一个脉冲，利用脉冲计数法可以计算得到每个叶片通过每个叶端定时传感器的时间；记叶端定时传感器的数目为M，叶片数目为Q，叶片每分钟的转数为N，则旋转一周每个叶片会产生M个实际通过时间，根据这些实际通过时间可以得到该叶片叶端的M个振动位移，其表达式为

$y_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{\πNR}}{30}(t_{\mathrm{ij}}-t_{0j}),i=1,...,M,j=1,...,Q---\left(1\right)$

其中,y_ij表示第j个叶片的第i个振动位移，t_ij表示第j个叶片第i个振动位移的实际通过时间，t_0j表示第j个叶片第i个振动位移的理论通过时间，R表示叶片叶端到旋转中心轴的距离；进一步，旋转P圈后就可以采集得到每个叶片叶端振动信号时间序列，其长度为P×M，该时间序列就是要重构的欠采样叶端振动信号，且其采样频率为f_BTT=M×N/60；

第二、确定高速叶片振动特性的频带范围

高速叶片的振动特性主要是固有频率及其振型，故需要准确估计出其固有频率；记f_N为指定的高速叶片固有频率，因此仅需要关注中心频率为f₀、带宽为B₀的叶片振动信号，使得f_N∈[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]，则可以定义频带为[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]的实带通信号z(t)，实际中f₀的初值可以通过动力学模型、有限元模型或者模态实验测试三种方式之一进行事先估计来确定，B₀的选择满足f_BTT>4.26B₀；

第三、基于香农采样定理第一次重构叶端振动信号

根据香农采样定理：对中心频率为0、带宽为B_w的低通信号x(t)，只要采样频率f_s>B_w，就可以利用公式（2）进行重构

$\hat{x}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{x}\left(\frac{k}{f_s}\right)\sin c(f_{s}t-k)\]---\left(2\right)$

其中，

是x(t)的解析信号；

为此，首先将z(t)在频域偏移-f₀，即

$s\left(t\right)=z\left(t\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{0}t}---\left(3\right)$

于是s(t)就成为了一个中心频率为0、带宽为B₀的低通信号；当f_BTT>4.26B₀时,根据公式（2）就可以重构s(t)，即

$\hat{s}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{s}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)\sin c(f_{\mathrm{BTT}}t-k)\]---\left(4\right)$

其中，

是s(t)的解析信号；

进一步，带通信号z(t)的重构公式如公式(5)所示。

$\hat{z}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)\sin c(f_{\mathrm{BTT}}t-k)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0(t-k/f_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(5\right)$

其中，

是z(t)的解析信号，sinc是函数名，且sinc(t)=sinπt/πt；

记K(t)为重构核函数，则公式（5）转化为公式（6）。

$\hat{z}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)K(f_{\mathrm{BTT}}t-k)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0(t-k/f_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(6\right)$

记

的重采样频率为

定义为

$f_{\tilde{z}}=L\×f_{\mathrm{BTT}}---\left(\text{7}\right)$

其中L为正整数，则可以得到离散化的重构信号

$\hat{z}\[n\]=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\[k\]K{(n/L-k)e}^{j2\mathrm{\π}{f}_0(n-\mathrm{Lk})/L{f}_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(8\right)$

其中，为了满足Nyquist采样定理，L的取值必须满足

第四、确定合适的小波包分解层数，使得上述指定频带范围与小波包分解后的某一频带一致：

实际的欠采样叶端振动信号并不是理想的带通信号z(t)，因此只有位于[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带内的重构信号才是真实的，而第一次重构信号中其它频带内的信号均是虚假信号；为此，利用小波包分解来提取重构信号

中[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带内的信号；对于n层小波包分解，将产生2ⁿ个频带，且第i个频带范围为[i/2ⁿ,(i+1)/2ⁿ](0≤i≤2ⁿ-1)；然后根据指定的频带范围确定n₀和i₀，使得

和[f₀-B₀/2,f₀+_B0/2]基本一致；

第五、利用小波包从第一次重构信号

中再次重构出指定频带范围的信号

为了从

中再次重构[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号，需要找到对应第i₀个频带的小波包，传统小波包分解生成的小波包顺序和自然频带顺序是不一致的，存在频带混乱现象；为此，通过下述两个步骤来确定第i₀个频带对应的小波包序号：

步骤一：对于i₀,它的二进制码可以写成k=(k_n-1k_n-2…k₀)，则它的灰色码可以定义为

g(k)=(g_n-1g_n-2…g₀)       （9）

其中， $g_i=k_i\⊗k_{i+1},i=0,...,n-2,g_{n-1}=k_{n-1},$ ‘’表示异或运算；

步骤二：对于i₀，根据公式（8）计算i₀-1的灰色码g(r-1)，然后将g(r-1)直接转化为十进制数R，最终第i₀频带对应第R个小波包；

第六，将除第R个小波包之外的其它小波包系数全部置零，再利用传统的小波包重构算法就可以重构出[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号。

下面结合具体实施例阐述本发明一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，

第一、利用叶端定时信号采集系统获取欠采样的叶端振动信号

如图1所示，本实施例中的叶端定时信号采集系统是一个基于3个光纤传感器的叶端定时信号采集系统，该系统由3个光纤叶端定时传感器、转速同步参考传感器21、含16叶片的叶盘31、高速脉冲采集电路41、采集卡51和计算机61等部分组成，3个光纤叶端定时传感器分别为1#光纤叶端定时传感器11,2#光纤叶端定时传感器12,3#光纤叶端定时传感器13，16个叶片编号依次为1到16，3个光纤叶端定时传感器均匀嵌入在环形支架71中。转速同步参考传感器和3个光纤叶端定时传感器这四个传感器分别与高速脉冲采集电路41、采集卡51、计算机61依次电连接。叶盘31的结构参数如表1所示，转速为每分钟5000转，叶盘旋转工作时利用公式（1）可以得到每个叶片的欠采样叶端振动信号，且叶端定时采样频率为f_BTT=3×5000/60=250Hz。

表1叶盘结构参数

参数	属性
		叶盘结构材料	45号钢
叶片数目	16
		叶片长度	45mm
叶片宽度	20mm
		叶片厚度	2mm
叶端到旋转中心距离	95mm

第二、确定高速叶片振动特性的频带范围

根据公式（3），首先需要确定固有频率的大致位置f₀。为此，采用有限元建模和仿真方法，得到每个叶片一阶固有频率的估计值大约为849.8Hz，故公式（3）中的中心频率取为f₀=840Hz；进一步，选择B₀=20Hz使得满足f_BTT>4.26B₀。于是，待重构信号的频带范围为[820,860]Hz。

第三、基于香农采样定理第一次重构叶端振动信号

记采集的欠采样叶端振动信号时间序列为z[n]，再计算z[n]的解析信号公式（7）中的L值取10，然后根据公式（8）对采集的叶端振动信号进行重构，其中重构核函数K(t)选择6阶B样条函数。

第四、确定合适的小波包分解层数，使得上述指定频带范围与小波包分解后的某一频带一致：

根据[820,860]Hz频带范围，选用‘db10’小波对上述重构信号进行5层分解，共得到2⁵=32个频带，其中第21个频带范围为 $\[21/\mathrm{32,22}/32\]\×f_{\tilde{z}}/2=\[\mathrm{820.313,859.375}\]\mathrm{Hz},$ 故确定n₀=5,i₀=21。

第五、利用小波包从第一次重构信号

中再次重构出指定频带范围的信号

接下来，需要找到第21个频带对应的小波包，在传统小波包分解结果中它并不是第21个小波包。根据本发明第五步中的步骤一，21的二进制码为(10101)，其灰色码为g(21)=(11111)，再根据本发明第五步中的步骤二，将(11111)直接转化成十进制数为31，从而5层小波包分解中第21个频带对应第31个小波包。

第六、将除第31个小波包外的所有小波包系数置零，再利用传统小波包重构算法对上述重构信号进行第二次重构，即可得到无混叠的叶端振动信号。

本发明效果可通过以下对比实验加以说明。

叶端定时数据采集系统输出的四路高速脉冲信号如图3所示，根据叶端定时原理可以得到欠采样的叶端振动信号。以图1中第1个叶片为对象，仅利用香农采样定理重构后的叶端振动信号功率谱如图4所示，而采用本发明方法重构后的叶端振动信号功率谱如图5所示。比较图4和图5可以看出：图4中在750Hz附近存在明显的虚假频率分量，导致重构信号失真，而在图5中这种频率混叠失真几乎没有，从而说明了本发明方法的可行性和优越性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种高速叶片欠采样叶端振动信号的无混叠重构方法，其特征在于包括以下步骤：

第一、利用叶端定时信号采集系统获取欠采样的叶端振动信号

叶端定时信号采集系统包括叶端定时传感器、转速同步参考传感器、叶盘、高速脉冲采集电路、采集卡和计算机，叶端定时传感器均匀安装在圆周型壳体上，叶盘上的每个叶片通过每个叶端定时传感器以及同步参考传感器时会产生一个脉冲，利用脉冲计数法可以计算得到每个叶片通过每个叶端定时传感器的时间；记叶端定时传感器的数目为M，叶片数目为Q，叶片每分钟的转数为N，则旋转一周每个叶片会产生M个实际通过时间，根据这些实际通过时间可以得到该叶片叶端的M个振动位移，其表达式为

$y_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{\πNR}}{30}(t_{\mathrm{ij}}-t_{0j}),i=1,...,M,j=1,...,Q---\left(1\right)$

其中,y_ij表示第j个叶片的第i个振动位移，t_ij表示第j个叶片第i个振动位移的实际通过时间，t_0j表示第j个叶片第i个振动位移的理论通过时间，R表示叶片叶端到旋转中心轴的距离；进一步，旋转P圈后就可以采集得到每个叶片叶端振动信号时间序列，其长度为P×M，该时间序列就是要重构的欠采样叶端振动信号，且其采样频率为f_BTT=M×N/60；

第二、确定高速叶片振动特性的频带范围

高速叶片的振动特性主要是固有频率及其振型，故需要准确估计出其固有频率；记f_N为指定的高速叶片固有频率，因此仅需要关注中心频率为f₀、带宽为B₀的叶片振动信号，使得f_N∈[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]，则可以定义频带为[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]的实带通信号z(t)，实际中f₀的初值可以通过动力学模型、有限元模型或者模态实验测试三种方式之一进行事先估计来确定，B₀的选择满足f_BTT>4.26B₀；

第三、基于香农采样定理第一次重构叶端振动信号

根据香农采样定理：对中心频率为0、带宽为B_w的低通信号x(t)，只要采样频率f_s>B_w，就可以利用公式（2）进行重构

$\hat{x}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{x}\left(\frac{k}{f_s}\right)\sin c(f_{s}t-k)\]---\left(2\right)$

其中，是x(t)的解析信号；

为此，首先将z(t)在频域偏移-f₀，即

$s\left(t\right)=z\left(t\right)e^{-j2\mathrm{\π}{f}_{0}t}---\left(3\right)$

于是s(t)就成为了一个中心频率为0、带宽为B₀的低通信号；当f_BTT>4.26B₀时,根据公式（2）就可以重构s(t)，即

$\hat{s}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{s}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)\sin c(f_{\mathrm{BTT}}t-k)\]---\left(4\right)$

其中，

是s(t)的解析信号；

进一步，带通信号z(t)的重构公式如公式(5)所示。

$\hat{z}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)\sin c(f_{\mathrm{BTT}}t-k)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0(t-k/f_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(5\right)$

其中，

是z(t)的解析信号，sinc是函数名，且sinc(t)=sinπt/πt；

记K(t)为重构核函数，则公式（5）转化为公式（6）。

$\hat{z}\left(t\right)=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\left(\frac{k}{f_{\mathrm{BTT}}}\right)K(f_{\mathrm{BTT}}t-k)e^{j2\mathrm{\π}{f}_0(t-k/f_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(6\right)$

记的重采样频率为

定义为

$f_{\tilde{z}}=L\×f_{\mathrm{BTT}}---\left(\text{7}\right)$

其中L为正整数，则可以得到离散化的重构信号

$\hat{z}\[n\]=\mathrm{Re}\[\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{z}\[k\]K{(n/L-k)e}^{j2\mathrm{\π}{f}_0(n-\mathrm{Lk})/L{f}_{\mathrm{BTT}})}\]---\left(8\right)$

其中，为了满足Nyquist采样定理，L的取值必须满足；

第四、确定合适的小波包分解层数，使得上述指定频带范围与小波包分解后的某一频带一致：

实际的欠采样叶端振动信号并不是理想的带通信号z(t)，因此只有位于[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带内的重构信号才是真实的，而第一次重构信号中其它频带内的信号均是虚假信号；为此，利用小波包分解来提取重构信号中[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带内的信号；对于n层小波包分解，将产生2ⁿ个频带，且第i个频带范围为[i/2ⁿ,(i+1)/2ⁿ](0≤i≤2ⁿ-1)；然后根据指定的频带范围确定n₀和i₀，使得

和[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]基本一致；

第五、利用小波包从第一次重构信号中再次重构出指定频带范围的信号

为了从

中再次重构[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号，需要找到对应第i₀个频带的小波包，传统小波包分解生成的小波包顺序和自然频带顺序是不一致的，存在频带混乱现象；为此，通过下述两个步骤来确定第i₀个频带对应的小波包序号：

步骤一：对于i₀,它的二进制码可以写成k=(k_n-1k_n-2…k₀)，则它的灰色码可以定义为

g(k)=(g_n-1g_n-2…g₀)       （9）

其中， $g_i=k_i\⊗k_{i+1},i=0,...,n-2,g_{n-1}=k_{n-1},$ ‘

’表示异或运算；

步骤二：对于i₀，根据公式（8）计算i₀-1的灰色码g(r-1)，然后将g(r-1)直接转化为十进制数R，最终第i₀频带对应第R个小波包；

第六，将除第R个小波包之外的其它小波包系数全部置零，再利用传统的小波包重构算法就可以重构出[f₀-B₀/2,f₀+B₀/2]频带范围内的信号。

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