CN103454914A - 一种多指标约束的分数阶PIλDμ控制器整定方法 - Google Patents

Abstract

一种多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其包括以下步骤：给定一个分数阶PI^λD^μ控制器以及被控对象的期望指标，所述被控对象的期望指标包括：稳定性指标、扰动衰减H_∞指标、灵敏度指标以及控制代价指标；根据被选择的期望指标的优先级顺序，分别求出符合各期望指标的待整定参数解集；综合各期望指标的参数解集，得到该分数阶PI^λD^μ控制器的待整定参数(k_p,k_i)的解集。本发明有效解决了当控制对象需要同时满足多个性能指标时，分数阶控制器的参数整定问题，且能够平衡各个具有竞争关系的性能指标，求出满足多个性能指标的尽量大的控制器参数解集，使分数阶控制器取得更好的控制效果及更好的动态性能。

Description

一种多指标约束的分数阶PIλDμ控制器整定方法

技术领域

本发明涉及一种分数阶PI^λD^μ控制器的参数整定方法，尤其涉及一种同时满足多个期望指标的满意分数阶控制器的参数整定方法。

背景技术

PI^λD^μ控制器是一种新型控制器，相比于传统的PID控制器，它多了两个可调参数λ，μ，使得控制器设计及参数整定的难度加大，但同时却也使控制器参数调节更为灵活，控制效果也更加优越。对于分数阶系统和某些整数阶系统，PI^λD^μ控制器的控制效果是明显优于传统PID控制器的，由此可见分数阶PI^λD^μ控制器有很大的发展潜力。

当前，PI^λD^μ控制器的设计研究多集中于稳定域的分析或针对单一指标的参数整定。1978年，Serdar首次提出了一种确定稳定域的解决方法，该方法根据D分割原理，由求得的实根边界(RRB)、复根边界(CRB)与无穷根边界(IRB)来确定稳定域的范围，然后通过改变给定的阶次λ，μ值，得到最大稳定域。

但在实际的工业应用中，对于控制器的设计常常需要满足多个性能指标，而各个性能指标之间又往往是矛盾的。那么平衡各个具有竞争关系的性能指标，求出满足多个性能指标的尽量大的控制器参数解集就成为了一个亟待解决的问题。

发明内容

本发明提供了一种多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,包括以下步骤：

给定一个分数阶PI^λD^μ控制器以及被控对象的期望指标，所述被控对象的期望指标包括：稳定性指标、扰动衰减H_∞指标、灵敏度指标以及控制代价指标；

根据被选择的期望指标的优先级顺序，分别求出符合各期望指标的待整定参数解集；

综合各期望指标的参数解集，得到该分数阶PI^λD^μ控制器的待整定参数(k_p,k_i)的解集。

较佳地，最终得到的分数阶PI^λD^μ控制器的待整定参数的解集为符合所述各期望指标的待整定参数解集的并集。

较佳地，符合所述稳定性指标的待整定参数解集K_p,K_i通过D分割原理求得。

较佳地，所述扰动衰减H_∞指标表示为：

$J_v={\left|\right|\frac{1}{S^{\mathrm{\λ}}}{G}_{\mathrm{yv}}\left(s\right)\left|\right|}_{\∞}=\underset{\mathrm{\ω}\∈R}{\sup }\left|\frac{1}{{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^{\mathrm{\λ}}}{G}_{\mathrm{yv}}\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|$

其中为由v(t)到y(t)的扰动传递函数为，

定义满意PI^λD^μ控制期望的扰动衰减H_∞指标为：

J_v≤γ_v,γ_v>0

其中，γ_v为期望的扰动抑制水平。

较佳地，灵敏度指标定义如下：

$M_T={\left|\right|T\left(s\right)\left|\right|}_{\∞}=\underset{\mathrm{\ω}\∈R}{\sup }\left|T\left(\mathrm{j\ω}\right)\right|$

M_t≤γ_T,γ_T≥1

式中

为误差传递函数，γ_T为期望的灵敏度。

较佳地，定义控制代价约束指标如下：

$G_{\mathrm{ur}}\left(s\right)=\frac{U\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{C\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)}$

$J_u={\left|\right|G_{\mathrm{ur}}\left(s\right)\left|\right|}_{\∞}=\underset{\mathrm{\ω}\∈R}{\sup }\left|G_{\mathrm{ur}}\left(\mathrm{jw}\right)\right|\≤{\mathrm{\γ}}_u,{\mathrm{\γ}}_u>0$

其中，γ_u为期望的控制代价。

较佳地，满足所述稳定性指标、扰动衰减H_∞指标、灵敏度指标以及控制代价指标的待整定参数稳定域是基于以下引理得到的：

设F(s)=N_F(s)/D_F(s)为一稳定正则实（或复）有理函数，且D_F(s)的阶数为β，定义：

则对任一给定的γ>0，当且仅当同时满足下面两个条件时，||F(s)||_∞<γ。

1）|n_β|<γ|d_β|；

2）

稳定，

其中n_β和d_β分别为N_F(s)和D_F(s)的s的β次幂系数。

本发明有效解决了当控制对象需要同时满足多个性能指标时，分数阶控制器的参数整定问题，且能够平衡各个具有竞争关系的性能指标，求出满足多个性能指标的尽量大的控制器参数解集，使分数阶控制器取得更好的控制效果及更好的动态性能。

当然，实施本发明的任一产品并不一定需要同时达到以上所述的所有优点。

附图说明

图1为本发明实施例提供的闭环控制系统结构图；

图2为本发明实施例的PI^λD控制器在λ不同时稳定域；

图3为本发明实施例提供的PI^λD控制器稳定域；

图4为本发明实施例满足扰动衰减H_∞指标的参数解集；

图5为本发明实施例满足期望指标集的参数解集；

图6为现有整数阶PID控制器参数解集。

具体实施例

实施例一

本发明提供了一种多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,包括以下步骤：

给定一个分数阶PI^λD^μ控制器以及被控对象的期望指标，所述被控对象的期望指标包括：稳定性指标、扰动衰减H_∞指标、灵敏度指标以及控制代价指标；

根据被选择的期望指标的优先级顺序，分别求出符合各期望指标的待整定参数解集；

综合各期望指标的参数解集，得到该分数阶PI^λD^μ控制器的待整定参数(k_p,k_i)的解集。

具体步骤如下：

首先求取参数稳定域，PI^λD^μ控制器的参数稳定域的求解过程为：

根据图1所示的系统，闭环系统的特征多项式写作：

$\mathrm{\&Psi;}\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&mu;}+\mathrm{\&lambda;}})N\left(s\right)e^{-\mathrm{Ls}}$

$=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}[a_r{s}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&lambda;}}+e^{-\mathrm{Ls}}{b}_r{s}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\&times;(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&mu;}+\mathrm{\&lambda;}})]---\left(1\right)$

对于一组参数(k_p,k_i,k_d,λ,μ)，若它使特征方程式Ψ(s)=0的根都有负实部，则该子系统是输入输出稳定的。所有使该子系统稳定的参数组的集合记为控制器的参数稳定域Φ(C(s)G(s))∈S，其中

S={(k_p,k_i,k_d,λ,_μ)|k_p∈[0,∞),k_i∈[0,∞),k_d∈[0,∞),λ∈[0,2),_μ∈[0,2)}   (2)

根据D分割原理^[5]，可以将(k_p,k_i,k_d,λ,μ)所构成的参数空间Φ分割成以RRB、CRB与IRB为边界围成的区域D，则区域D中包含所有使各个子系统稳定的点，D分割原理的边界定义如下：

$\&PartialD;D\&equiv;{\&PartialD;D}_0\&cup;{\&PartialD;D}_{\&infin;}\&cup;{\&PartialD;D}_{\mathrm{jw}}---\left(3\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\&PartialD;D}_0\&equiv;\{(k_p,k_i,k_d,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})\&Element;\mathrm{\&Phi;}|\mathrm{\&Psi;}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=0,\mathrm{\&omega;}=0\}\\ {\&PartialD;D}_{\&infin;}\&equiv;\{(k_p,k_i.{,k}_d,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})\&Element;\mathrm{\&Phi;}|\mathrm{\&Psi;}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=0,\mathrm{\&omega;}=\&infin;\}\\ {\&PartialD;D}_{\mathrm{j\&omega;}}\&equiv;\{(k_p,k_i,k_d,\mathrm{\&lambda;},\mathrm{\&mu;})\&Element;\mathrm{\&Phi;}|\mathrm{\&Psi;}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=0,\&ForAll;\mathrm{\&omega;}\&Element;(0,\&infin;)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，和分别表示实根边界(RRB)、无穷根边界(IRB)与复根边界(CRB)。

将s=jω代入特征多项式(1)，可得到特征方程式如下：

$\mathrm{\&Psi;}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}[a_r{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}^{a_r}+e^{-\mathrm{Lj\&omega;}}{b}_r\&times;(k_p{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}+k_i{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}+k_d{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}^{{\mathrm{\&beta;}}_r+\mathrm{\&mu;}})]=0---\left(5\right)$

根据式(4)的第一个子式，可以得到实根边界RRB为：k_i=0。

无穷根边界IRB由下式表示：

$k_d=\left\{\begin{array}{cc}0,& {\mathrm{\&alpha;}}_n<{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \&PlusMinus;a_n/b_n,& {\mathrm{\&alpha;}}_n={\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \mathrm{none},& {\mathrm{\&alpha;}}_n>{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(6\right)$

根据

和欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，可将特征方程式(5)表示为：

$\mathrm{\&Psi;}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{a_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\right[\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)+j\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)]+b_r[\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)-j\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)]\&times;(P+\mathrm{jQ})\}=0---\left(7\right)$

其中，

$\left\{\begin{array}{c}P=k_p{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)+k_i{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\cos \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]+k_d{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}\cos \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_t)\right]\\ Q=k_p{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)+k_i{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\sin \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]+k_d{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}\sin \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)\right]\end{array}\right.$

由式(18)的实部和虚部分别都等于零，可以得到如下的方程组：

A(ω)k_p+B(ω)k_i=k_dC(ω)+X(ω)  (8)

D(ω)k_p+E(ω)k_i=k_dF(ω)+Y(ω)

其中，

$\left\{\begin{array}{c}A\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)+\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)\\ B\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\cos \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]+\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\sin \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]\\ C\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\left\{\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}\cos \right[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)]+\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}\sin [\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)\left]\right\}\\ D\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)-\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r}\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&beta;}}_r\right)\\ E\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\sin \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]-\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\cos \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&beta;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]\\ F\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\left\{\cos \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}\sin \right[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)]-\sin \left(\mathrm{L\&omega;}\right)\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_r{\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r}\cos [\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}(\mathrm{\&mu;}+{\mathrm{\&beta;}}_r)\left]\right\}\\ X\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{a_r}\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)\\ Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{a_r}\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

则由式(19)可得到PI^λD^μ控制器参数k_p,k_i的表达式：

$k_p=\frac{[C\left(\mathrm{\&omega;}\right)E\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)F\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)E\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)]}{E\left(\mathrm{\&omega;}\right)A\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(10\right)$

$k_i=\frac{[C\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A\left(\mathrm{\&omega;}\right)F\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)]}{B\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-E\left(\mathrm{\&omega;}\right)A\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(11\right)$

上式(10)(11)中，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞时，可以在(k_p,k_i)平面得到复根边界CRB。

同时绘制实根边界(RRB)、无穷根边界(IRB)与复根边界(CRB)，所围成的区域即为PI^λD^μ控制器稳定域Φ。

扰动衰减H_∞指标约束下的PI^λD^μ控制器参数解集的求解过程为：

由v(t)到y(t)的扰动传递函数为：

$G_{\mathrm{yv}}=\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{V\left(s\right)}=\frac{G\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)}---\left(12\right)$

扰动衰减H_∞指标表示为：

$J_v={\left|\right|\frac{1}{s^{\mathrm{\&lambda;}}}{G}_{\mathrm{yv}}\left(s\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{\sup }\left|\frac{1}{{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&lambda;}}}{G}_{\mathrm{yv}}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)\right||---\left(13\right)$

综上所述，定义满意PI^λD^μ控制期望的扰动衰减H_∞指标为：

J_v≤γ_v,γ_v>0   (14)

其中，γ_v为期望的扰动抑制水平。

先给出如下引理：

引理1^[13]设F(s)=N_F(s)/D_F(s)为一稳定正则实（或复）有理函数，且D_F(s)的阶数为β，定义：

则对任一给定的γ>0，当且仅当同时满足下面两个条件时，||F(s)||_∞<γ。

1)|n_β|<γ|d_β|；

2)

Hurwitz稳定，

其中n_β和d_β分别为N_F(s)和D_F(s)的s的β次幂系数。

根据引理1及扰动衰减H_∞指标定义，则对于满足扰动衰减H_∞指标的PI^λD^μ控制器参数解集的求取可转化为对特征多项式为下式的系统的稳定域的求取。

${\mathrm{\&Psi;}}_v\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&mu;}+\mathrm{\&lambda;}})N\left(s\right)e^{-\mathrm{Ls}}+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_v}{e}^{{\mathrm{j\&theta;}}_v}N\left(s\right)e^{-\mathrm{Ls}}---\left(16\right)$

参照步骤详解一PI^λD^μ控制器参数稳定域的求取策略，可求得：

a）实根边界(RRB)

：①当N(s)存在常数项，即β₀=0且b₀≠0时

$k_i=\left\{\begin{array}{cc}-1/{\mathrm{\&gamma;}}_v,& {\mathrm{\&theta;}}_v=0\\ 1/{\mathrm{\&gamma;}}_v,& {\mathrm{\&theta;}}_v=\mathrm{\&pi;}\end{array}\right.---\left(17\right)$

②当N(s)不存在常数项，即β₀=0且b₀=0时，边界不存在。

b）无穷根边界(IRB)

：

$k_d=\left\{\begin{array}{cc}0,& {\mathrm{\&alpha;}}_n<{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \&PlusMinus;a_n/b_n,& {\mathrm{\&alpha;}}_n={\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \mathrm{none},& {\mathrm{\&alpha;}}_n>{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(18\right)$

c）与复根边界(CRB)

：

由Ψ_v(jω)的实部和虚部分别都等于零，可以得到如下的方程组：

A(ω)k_p+B(ω)k_i=k_dC(ω)+X(ω)+V(ω)  (19)

D(ω)k_p+E(ω)k_i=k_dF(ω)+Y(ω)+W(ω)

其中，A(ω),B(ω),C(ω),D(ω),E(ω),F(ω),X(ω),Y(ω)同式(9)，V(ω),W(ω)如下：

$V(\mathrm{\&omega;},{\mathrm{\&theta;}}_v)=-\{\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_v}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{v}B\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_v}\sin {\mathrm{\&theta;}}_{v}E\left(\mathrm{\&omega;}\right)\},$ $W(\mathrm{\&omega;},{\mathrm{\&theta;}}_v)=-\{\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_v}\sin {\mathrm{\&theta;}}_{v}B\left(\mathrm{\&omega;}\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_v}\cos {\mathrm{\&theta;}}_{v}E\left(\mathrm{\&omega;}\right)\}$

则由式(19)可得到参数k_p,k_i的表达式：

$k_p=\frac{[C\left(\mathrm{\&omega;}\right)E\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)F\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)+V\left(\mathrm{\&omega;}\right)]E\left(\mathrm{\&omega;}\right)-[Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)+W\left(\mathrm{\&omega;}\right)]B\left(\mathrm{\&omega;}\right)}{E\left(\mathrm{\&omega;}\right)A\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(20\right)$

$k_i=\frac{[C\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A\left(\mathrm{\&omega;}\right)F\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)+V\left(\mathrm{\&omega;}\right)]D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-[Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)+W\left(\mathrm{\&omega;}\right)]A\left(\mathrm{\&omega;}\right)}{B\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-E\left(\mathrm{\&omega;}\right)A\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(21\right)$

上式(20)(21)中，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞时，可以在(k_p,k_i)平面得到复根边界CRB。

由此可得满足引理1中条件2）的参数域为：

可以求得满足引理1中条件1）的参数集如下：

$Q_{v_{\mathrm{\&beta;}}}=\left\{\begin{array}{cc}{R}^3,& {\mathrm{\&alpha;}}_n\&NotEqual;{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \left\{q\right|k_d\&NotEqual;-1/b_n\},& {\mathrm{\&alpha;}}_n={\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(22\right)$

综上所述，对于给定的参数k_d,λ,μ，满足扰动衰减H_∞指标的PI^λD^μ控制器参数解集为： $Q_v=Q_{v_{\mathrm{\&theta;}}}\&cap;Q_{v_{\mathrm{\&beta;}}}$ 。

灵敏度指标约束下的PI^λD^μ控制器参数解集的求解过程为：

误差传递函数如下：

$T\left(s\right)=G_{\mathrm{er}}\left(s\right)=\frac{E\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{1}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)}---\left(23\right)$

则最大灵敏度定义如下：

$M_T={\left|\right|T\left(s\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{\sup }\left|T\left(\mathrm{j\&omega;}\right)\right|---\left(24\right)$

M_t≤γ_T,γ_T≥1(25)

其中，γ_T为期望的灵敏度。

根据引理1及灵敏度指标定义，则对于满足灵敏度指标的PI^λD^μ控制器参数解集的求取可转化为对特征多项式为下式的系统的稳定域的求取。

${\mathrm{\&Psi;}}_T\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&mu;}+\mathrm{\&lambda;}})N\left(s\right)e^{-\mathrm{Ls}}+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}{e}^{{\mathrm{j\&theta;}}_T}{s}^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)$

                                                    (26)

参照步骤详解一PI^λD^μ控制器参数稳定域的求取策略，可求得：

a）实根边界(RRB)

：①当N(s)存在常数项，即β₀=0且b₀≠0时，k_i=0。

                   ②当N(s)不存在常数项，即β₀=0且b₀=0时，边界不存在。

b）无穷根边界(IRB)：

c）与复根边界(CRB)

由Ψ_T(jω)的实部和虚部分别都等于零，可以得到如下的方程组：

A(ω)k_p+B(ω)k_i=k_dC(ω)+X_T(ω)   (28)

D(ω)k_p+E(ω)k_i=k_dF(ω)+Y_T(ω)

其中， $X_T(\mathrm{\&omega;},{\mathrm{\&theta;}}_T)=(1+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}\cos {\mathrm{\&theta;}}_T)X\left(\mathrm{\&omega;}\right)-\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}\sin {\mathrm{\&theta;}}_{T}Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)$

$Y_T(\mathrm{\&omega;},{\mathrm{\&theta;}}_T)=(1+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}\cos {\mathrm{\&theta;}}_T)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_T}\sin {\mathrm{\&theta;}}_{T}X\left(\mathrm{\&omega;}\right)$

A(ω),B(ω),C(ω),D(ω),E(ω),F(ω),X(ω),Y(ω)同式(9)。

则由式(28)可得到参数k_p,k_i的表达式：

$k_p=\frac{[C\left(\mathrm{\&omega;}\right)E\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)F\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)E\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)]}{E\left(\mathrm{\&omega;}\right)A\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(29\right)$

$k_i=\frac{[C\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A\left(\mathrm{\&omega;}\right)F\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)]}{B\left(\mathrm{\&omega;}\right)D\left(\mathrm{\&omega;}\right)-E\left(\mathrm{\&omega;}\right)A\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(30\right)$

上式(29)(30)中，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞时，可以在(k_p,k_i)平面得到复根边界CRB。

由此可得满足引理1中条件2）的参数域为：

可以求得满足引理1中条件1）的参数集如下：

综上所述，对于给定的参数k_d,λ,μ，满足灵敏度指标的PI^λD^μ控制器参数解集为： $Q_T=Q_{T_{\mathrm{\&theta;}}}\&cap;Q_{T_{\mathrm{\&beta;}}}.$

控制代价指标约束下的PI^λD^μ控制器参数解集的求解过程为：

定义控制代价约束指标如下：

$G_{\mathrm{ur}}\left(s\right)=\frac{U\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{C\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)}---\left(32\right)$

$J_u={\left|\right|G_{\mathrm{ur}}\left(s\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{\sup }\left|G_{\mathrm{ur}}\left(\mathrm{jw}\right)\right|\&le;{\mathrm{\&gamma;}}_u,{\mathrm{\&gamma;}}_u>0---\left(33\right)$

其中，γ_u为期望的控制代价。

根据引理1及控制代价指标定义，则对于满足控制代价指标的PI^λD^μ控制器参数解集的求取可转化为对特征多项式为下式的系统的稳定域的求取。

${\mathrm{\&Psi;}}_u\left(s\right)=s^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right)+(k_p{s}^{\mathrm{\&lambda;}}+k_i+k_d{s}^{\mathrm{\&mu;}+\mathrm{\&lambda;}})(N\left(s\right)e^{-\mathrm{Ls}}+\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}{e}^{{\mathrm{j\&theta;}}_u}{s}^{\mathrm{\&lambda;}}D\left(s\right))---\left(34\right)$

参照步骤详解一PI^λD^μ控制器参数稳定域的求取策略，可求得：

a）实根边界(RRB)

①当N(s)和D(s)都存在常数项，且

时，k_i=0。

②当N(s)或D(s)存在常数项，k_i=0。

③当N(s)和D(s)都不存在常数项，边界不存在。

b）无穷根边界(IRB)：

c）与复根边界(CRB)

由Ψ_u(jω)的实部和虚部分别都等于零，可以得到如下的方程组：

A_u(ω)k_p+B_u(ω)k_i=k_dC_u(ω)+X(ω)   (36)

D_u(ω)k_p+E_u(ω)k_i=k_dF_u(ω)+Y(ω)

其中，A_u(ω)=A(ω)+I(ω)，B_u(ω)=B(ω)+J(ω)，C_u(ω)=C(ω)+K(ω)，

D_u(ω)=D(ω)+L(ω)，E_u(ω)=E(ω)+M(ω)，F_u(ω)=F(ω)+N(ω)

$I\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\cos {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)-\frac{\sin {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)$

$J\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\cos {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\cos \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]-\frac{\sin {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\sin \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]$

$K\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\left\{\frac{\cos {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;}}\cos \right[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;})]-\frac{\sin {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;}}\sin [\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;})\left]\right\}$

$L\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\cos {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\sin \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)+\frac{\sin {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r}\cos \left(\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_r\right)$

$M\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\cos {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\sin \left[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;})\right]+\frac{\sin {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;}}\cos [\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r-\mathrm{\&lambda;})]$

$N\left(\mathrm{\&omega;}\right)=-\left\{\frac{\cos {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;}}\sin \right[\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;})]+\frac{\sin {\mathrm{\&theta;}}_u}{{\mathrm{\&gamma;}}_u}\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_r{\mathrm{\&omega;}}^{{\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;}}\cos [\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}({\mathrm{\&alpha;}}_r+\mathrm{\&mu;})\left]\right\}$

A(ω),B(ω),C(ω),D(ω),E(ω),F(ω),X(ω),Y(ω)同式(9)。

则由式(36)可得到参数k_p,k_i的表达式：

$k_p=\frac{[C_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)E_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)F_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)E_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)]}{E_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)A_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)-B_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)D_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(37\right)$

$k_i=\frac{[C_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)D_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)F_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)]\&times;k_d+[X\left(\mathrm{\&omega;}\right)D_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)-A_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)Y\left(\mathrm{\&omega;}\right)]}{B_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)D_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)-E_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)A_u\left(\mathrm{\&omega;}\right)}---\left(38\right)$

上式(37)(38)中，对于给定的参数k_d,λ,μ，当ω从0到∞时，可以在(k_p,k_i)平面得到复根边界CRB。

由此可得满足引理1中条件2）的参数域为：

可以求得满足引理1中条件1）的参数集如下：

$Q_{u_{\mathrm{\&beta;}}}=\left\{\begin{array}{cc}\left\{q\right|\left|k_p{a}_n\right|<{\mathrm{\&gamma;}}_u\left|k_d{b}_n\right|\},& {\mathrm{\&alpha;}}_n<{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \left\{q\right|\left|k_p{a}_n\right|<{\mathrm{\&gamma;}}_u|a_n+k_d{b}_n|\},& {\mathrm{\&alpha;}}_n={\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\\ \left\{q\right|\left|k_p\right|<{\mathrm{\&gamma;}}_u\},& {\mathrm{\&alpha;}}_n>{\mathrm{\&beta;}}_n+\mathrm{\&mu;}\end{array}\right.---\left(39\right)$

综上所述，对于给定的参数k_d,λ,μ，满足控制代价指标的PI^λD^μ控制器参数解集为： $Q_u=Q_{u_{\mathrm{\&theta;}}}\&cap;Q_{u_{\mathrm{\&beta;}}}.$

综上所述，PI^λD^μ控制器的满意参数解集为：Q∈Φ∩Q_v∩Q_T∩Q_u。

实施例二

本发明针对的系统，其闭环系统框图如图1所示。

取一时滞系统作为被控对象，如下式所示：

$G\left(s\right)=\frac{1}{{(s+1)}^3}{e}^{-0.5s}---\left(40\right)$

设计PI^λD控制器，满足以下期望性能指标：

1)扰动衰减H_∞指标：J_v≤γ_v,γ_v=3.5；

2)灵敏度指标：M_t≤γ_T,γ_T=1.7；

3)控制代价指标：J_u≤γ_u,γ_u=2；

首先确定λ，μ，k_d的值。取μ=k_d=1和不同的λ计算稳定域，如图2所示，当λ=0.2时稳定域最大。同理可确定，当μ=0.3，k_d=1稳定域最大。故取λ=0.2，μ=0.3，k_d=1。

根据步骤详解一的求解策略，首先求出稳定域Φ，如图3所示，图中

和

为k_p-k_i平面上的D分割边界。然后在Φ内求得

显然

同样的，根据步骤详解二求取满足期望指标a)的参数解集Q_v，如图4所示，则可求得在a)约束下 $M_T^{\min }(-\mathrm{0.4969,0.0548})=1.1589,$ 显然 ${\mathrm{\&gamma;}}_T\&Element;[M_T^{\min },\&infin;);$ 最后，则根据步骤详解三求取满足期望指标b)的参数解集Q_T，则可求得在a)和b)约束下 $J_u^{\min }(k_{p_u},k_{i_u})=\min J_u(k_p,k_i),$ 显然 ${\mathrm{\&gamma;}}_u\&Element;[J_u^{\min },\&infin;),$ 则可根据步骤详解四求取满足期望指标c)的参数解集Q_u。由此可判定期望指标是相容的，肯定存在同时满足期望指标a)、b)和c)的PI^λD^μ控制器。

综上所述，则满足期望指标a)、b)和c)PI^λD^μ的控制器参数解集为：Q∈Φ∩Q_v∩Q_T∩Q_u，如图5所示。在Q中随机抽取五个点，其控制器参数及其对应的性能指标如表1所示。由表1可知，所设计的PI^λD^μ控制器满足期望指标要求。

表1PI^λD^μ控制器参数及闭环系统性能

Table 1 Parameters and close-loop performance of PI^λD^μcontroller

针对式(40)所示的被控对象设计整数阶PID控制器以作对比，即取λ=1，μ=1，k_d=1。求出满足期望指标集的参数解集，如图6所示。比较图5和图6可见，相比于整数阶PID控制器，PI^λD^μ控制器满足期望指标集的参数解集域要偏大的多，因此能满足期望性能指标的参数组更多，更能使被控对象达到所期望的性能要求。

以上公开的本发明优选实施例只是用于帮助阐述本发明。优选实施例并没有详尽叙述所有的细节，也不限制该发明仅为所述的具体实施方式。显然，根据本说明书的内容，可作很多的修改和变化。本说明书选取并具体描述这些实施例，是为了更好地解释本发明的原理和实际应用，从而使所属技术领域技术人员能很好地理解和利用本发明。本发明仅受权利要求书及其全部范围和等效物的限制。

Claims (7)

1.一种多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,包括以下步骤：

给定一个分数阶PI^λD^μ控制器以及被控对象的期望指标，所述被控对象的期望指标包括：稳定性指标、扰动衰减H_∞指标、灵敏度指标以及控制代价指标；

根据被选择的期望指标的优先级顺序，分别求出符合各期望指标的待整定参数解集；

综合各期望指标的参数解集，得到该分数阶PI^λD^μ控制器的待整定参数(k_p,k_i)的解集。

2.如权利要求1所述的多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,最终得到的分数阶PI^λD^μ控制器的待整定参数的解集为符合所述各期望指标的待整定参数解集的并集。

3.如权利要求1所述的多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,符合所述稳定性指标的待整定参数解集K_p,K_i通过D分割原理求得。

4.如权利要求1所述的多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于，所述扰动衰减H_∞指标表示为：

$J_v={\left|\right|\frac{1}{S^{\mathrm{\&lambda;}}}{G}_{\mathrm{yv}}\left(s\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{\sup }\left|\frac{1}{{\left(\mathrm{j\&omega;}\right)}^{\mathrm{\&lambda;}}}{G}_{\mathrm{yv}}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)\right|,$

其中

为由v(t)到y(t)的扰动传递函数，

定义满意PI^λD^μ控制期望的扰动衰减H_∞指标为：

J_v≤γ_v,γ_v>0,

其中，γ_v为期望的扰动抑制水平。

5.如权利要求1所述的多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,灵敏度指标定义如下：

$M_T={\left|\right|T\left(S\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{\sup }\left|T\left(\mathrm{j\&omega;}\right)\right|,$

M_t≤γ_T,γ_T≥1,

式中

为误差传递函数，γ_T为期望的灵敏度。

6.如权利要求1所述的多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,定义控制代价约束指标如下：

$G_{\mathrm{ur}}\left(s\right)=\frac{U\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{C\left(s\right)}{1+C\left(s\right)G\left(s\right)},$

$J_u={\left|\right|G_{\mathrm{ur}}\left(s\right)\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{\mathrm{\&omega;}\&Element;R}{\sup }\left|G_{\mathrm{ur}}\left(\mathrm{jw}\right)\right|\&le;{\mathrm{\&gamma;}}_u,{\mathrm{\&gamma;}}_u>0,$

其中，γ_u为期望的控制代价。

7.如权利要求1-6任一项所述的多指标约束的分数阶PI^λD^μ控制器整定方法，其特征在于,满足所述稳定性指标、扰动衰减H_∞指标、灵敏度指标以及控制代价指标的待整定参数稳定域是基于以下引理得到的：

设F(s)=N_F(s)/D_F(s)为一稳定正则实（或复）有理函数，且D_F(s)的阶数为β，定义：

则对任一给定的γ>0，当且仅当同时满足下面两个条件时，||F(s)||_∞<γ；

1)|n_β|<γ|d_β|；

2)

Hurwitz稳定，

其中n_β和d_β分别为N_F(s)和D_F(s)的s的β次幂系数。

Images