CN103426196A - 一种流体环境下的关节动画建模技术 - Google Patents

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CN103426196A CN2013103874192A CN201310387419A CN103426196A CN 103426196 A CN103426196 A CN 103426196A CN 2013103874192 A CN2013103874192 A CN 2013103874192A CN 201310387419 A CN201310387419 A CN 201310387419A CN 103426196 A CN103426196 A CN 103426196A
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Abstract

本发明提供了一种流体环境下基于物理的关节动画建模技术。为了提高关节动画在复杂场力作用下的真实运动效果，减少运算开销，本发明分别对铰链体的驱动、动力学和受力作用进行建模，并形成了一套在流体环境下基于正向动力学的关节动画的计算流程。在数据驱动上，使用一种自主发明的基于计算力矩的控制器，提高了跟踪轨迹的准确性和稳定性。在动力学上，采用拉格朗日动力学进行建模，减少了计算变量的开销，进而提高运算效率。在外力作用上，将流体对铰链体的外力分为法线和切线方向，分别进行求解，以获取更加真实的受力效果。本发明能够有效地实现一种基于物理的具有真实运动效果的关节动画。

Description

一种流体环境下的关节动画建模技术
技术领域
本发明属于虚拟现实技术领域，尤其涉及一种流体环境下的关节动画建模技术方法。
背景技术
关节动画属于角色动画，是一直是虚拟现实技术研究的热点之一。它综合利用计算机科学、艺术、数学、物理学和其它相关学科的知识，在计算机上生成绚丽多彩的、连续的、真实的虚拟画面，给人们提供了一个充分展示个人想象力和艺术才能的新天地。关节动画使用关节骨架来表示人类或者其他骨架动物的身体结构，是动画驱动技术中最主要的思想。虽然计算机动画在许多领域占据着越来越重要的角色，但是许多问题仍未很好解决。
基于物理模型的关节动画技术是八十年代后期发展起来的一种新的计算机动画技术。这种建模技术考虑了物体在真实世界中的属性，如它具有质量、转动惯矩、弹性、摩擦力等，并采用动力学原理来产生物体运动。计算机动画设计者不必关心物体运动过程的细节，只需确定物体运动所需的一些物理属性及一些约束关系，如质量、形状、外力等。经过近几年的发展，它已在图形学中成为一种具有潜在优势的三维造型和运动模拟技术。尽管该技术比传统动画技术的计算复杂度要高得多，但它能逼真地模拟各种自然物理现象，能处理诸如重力、风、碰撞检测等在内的复杂动力学模型，这是基于几何的传统动画生成技术所无法比拟的。
虽然利用现有技术能够实现一定程度上的交互，但是复杂场景作用下的关节动画却少有人研究，这是由于受到本身动力学复杂的模型与计算机软硬件条件的限制。流体环境下的关节动画技术在电影动画，生物游泳力学，视频游戏以及潜水机器人领域等方面都具有重要作用。此外，基于流体环境的关节动画研究也在一定程度上为其他复杂受力场景提供了关节动画的解算依据。
发明内容
为了模拟真实的复杂场力作用下的关节动画，本发明提供了一种流体环境下关节动画建模技术方法。本发明分别对铰链体的驱动、动力学和受力作用进行建模。在数据驱动上，使用一种自主发明的基于计算力矩控制器，提高了跟踪轨迹的准确性和稳定性。在动力学上，采用拉格朗日动力学进行建模，减少了计算变量的开销，进而提高运算效率。在外力作用上，将流体对铰链体的外力分为法线和切线方向，进行分别讨论求解，获取更加真实的受力效果。
本发明一种流体环境下的关节动画建模技术，该方法包括步骤：
步骤1，输入上一时刻计算所得的所有广义位置和广义速度，基于广义坐标系； 
步骤2，计算驱动函数，获得期望的广义位置和广义加速度，基于广义坐标系；
步骤3，通过控制器，获取铰链体的广义驱动力，基于广义坐标系；
步骤4，根据拉格朗日动力学，计算铰链体的广义加速度，基于广义坐标系；
步骤5，使用欧拉法，计算下一时刻广义位置和中间广义速度，基于广义坐标系；
步骤6，计算流体对铰链体产生的外力，包括压力和摩擦力，并从笛卡尔坐标系变换至广义坐标系；
步骤7，计算外力产生的广义加速度，基于广义坐标系；
步骤8，使用欧拉法，更新广义速度；
步骤9，变换坐标系，将铰链体从广义坐标系变换至笛卡尔坐标系，并计算铰链体在笛卡尔坐标系下的位置和方位角；
步骤10，根据铰链体的位置和方位角进行渲染，基于笛卡尔坐标系；
所述的步骤1中输入上一时刻计算所得的所有广义位置和广义速度，其上一时刻的广义位置来源于步骤5中，使用欧拉法计算得到的广义位置。上一时刻的广义速度来源于步骤8中，使用欧拉法更新广义速度。第一时刻的广义位置和广义速度进行初始化设置。这里的广义位置指铰链体关节的可控角，广义速度指该可控角的角速度。
所述的步骤2中计算驱动函数，获得期望的广义坐标和广义加速度。该驱动函数采用周期函数，如公式(1a)和(1b)，针对每个广义位置和广义速度进行设置。
Figure 73861DEST_PATH_IMAGE001
      (1a)
Figure 845508DEST_PATH_IMAGE002
   (1b)
其中， 
Figure 796146DEST_PATH_IMAGE003
、
Figure 678651DEST_PATH_IMAGE004
、
Figure 499977DEST_PATH_IMAGE005
和
Figure 442525DEST_PATH_IMAGE006
分别为振幅、周期、相位和偏移量。
所述的步骤3中计算力矩控制器的计算式如公式(1)所示：
Figure 880460DEST_PATH_IMAGE007
 (1)
其中，
Figure 566656DEST_PATH_IMAGE008
和
Figure 367122DEST_PATH_IMAGE009
分别为下一时刻期望到达的广义坐标和广义加速度，
Figure 480571DEST_PATH_IMAGE010
、
Figure 405802DEST_PATH_IMAGE011
和
Figure 630110DEST_PATH_IMAGE012
分别为当前时刻广义坐标、广义速度和广义加速度；另外，
Figure 957186DEST_PATH_IMAGE013
、
Figure 444799DEST_PATH_IMAGE015
和
Figure 857326DEST_PATH_IMAGE017
为控制系数，并满足
Figure 885325DEST_PATH_IMAGE019
且
Figure 66907DEST_PATH_IMAGE020
与
Figure 115635DEST_PATH_IMAGE022
在同一数量级；此外，根据拉格朗日动力学知，
Figure 749878DEST_PATH_IMAGE023
为下一时刻的质量项，
Figure 315989DEST_PATH_IMAGE024
为当前时刻的科氏力项，使用欧拉法化简
Figure 617657DEST_PATH_IMAGE025
项，如公式(2)和公式(3)所示：
                            (2)
Figure 834192DEST_PATH_IMAGE027
    (3)
其中，
Figure 203994DEST_PATH_IMAGE028
为当前时刻的雅克比矩阵，
Figure 360168DEST_PATH_IMAGE029
为当前时刻雅克比矩阵的转置，
Figure 157223DEST_PATH_IMAGE030
为当前时刻的质量矩阵，包括质量和惯性张量两部分构成，
Figure 359534DEST_PATH_IMAGE031
为角速度
Figure 267447DEST_PATH_IMAGE033
的反对称矩阵；与标准的拉格朗日动力学不同的是，这里使用的是
Figure 278129DEST_PATH_IMAGE034
和
Figure 246085DEST_PATH_IMAGE035
来近似计算下一时刻产生的
Figure 811058DEST_PATH_IMAGE036
项。
该控制器能在欧拉法的作用下，既能表现出稳定性，又能表现出跟踪性。下面将进行论证。
令
Figure 522662DEST_PATH_IMAGE037
和
Figure 387850DEST_PATH_IMAGE038
分别代表部分参数，如公式(a)和公式(b)所示，
 
Figure 526708DEST_PATH_IMAGE039
                          (a)
Figure 110136DEST_PATH_IMAGE040
                             (b)
由于
Figure 218906DEST_PATH_IMAGE041
，则公式(1)变形得，
 (c)
论证：满足
Figure 248359DEST_PATH_IMAGE043
，该控制器在欧拉法中能达到稳定性和跟踪性。
为了计算方便，我们假设
Figure 319083DEST_PATH_IMAGE044
，并代入公式(c)，得
      (d)
上下同时除以
Figure 681111DEST_PATH_IMAGE046
，假设
Figure 161771DEST_PATH_IMAGE047
趋于无穷大，化简得，
Figure 719791DEST_PATH_IMAGE048
               (e)
使用欧拉方法分别求得下一时刻的速度
Figure 311310DEST_PATH_IMAGE049
，下一时刻的位置和下下时刻的位置，可得公式(f) (g) (h)：
Figure 295949DEST_PATH_IMAGE052
 (f)
Figure 691159DEST_PATH_IMAGE053
                             (g)
Figure 505531DEST_PATH_IMAGE054
            (h)
可以看出该控制器在欧拉方法的作用下，若设置
Figure 796835DEST_PATH_IMAGE055
值比值过小，则在下两个时间步后获得的广义坐标几乎与预先设定的运动轨迹一致，即稳定性，若设置的
Figure 262768DEST_PATH_IMAGE057
值与
Figure 931647DEST_PATH_IMAGE047
值在同一数量级中，则可以在下两个时间步后，获得预先设定的运动轨迹与拉格朗日动力学中速度反馈产生的叠加效果，即跟踪性。
所述的步骤4中根据拉格朗日动力学，计算铰链体的广义加速度，基于广义坐标系,具体为： 
步骤4.1，计算铰链体的质量矩阵
Figure 518486DEST_PATH_IMAGE058
，如公式(4)所示。
Figure 272816DEST_PATH_IMAGE059
                              (4)
步骤4.2，计算铰链体的科氏力矩阵
Figure 9827DEST_PATH_IMAGE060
，如公式(3)所示。
步骤4.3，计算铰链体的广义重力，如公式(5)所示。
Figure 963057DEST_PATH_IMAGE062
                               (5)
步骤4.4，计算铰链体的广义加速度
Figure 673524DEST_PATH_IMAGE063
，如公式(6)所示。
Figure 948647DEST_PATH_IMAGE064
        (6)
其中，为当前时刻的内力。 
所述步骤5使用欧拉法，计算下一时刻每个广义位置和中间广义速度，基于广义坐标系，其具体为：
步骤5.1，使用欧拉法计算下一时刻铰链体的位置
Figure 520760DEST_PATH_IMAGE066
，如公式(7)所示：
Figure 249682DEST_PATH_IMAGE067
                             (7)
步骤5.2，使用欧拉法计算下一时刻铰链体的速度
Figure 328496DEST_PATH_IMAGE068
，如公式(8)所示： 
Figure 826474DEST_PATH_IMAGE069
                       (8)。
所述步骤6计算流体对铰链体产生的外力，包括压力和摩擦力，并从笛卡尔坐标系变换至广义坐标系，其具体为：
   步骤6.1，通过内外体素化的方法，确定流体与铰链体的耦合面；
   步骤6.2，根据纳维耶斯托克方程，获得流体对铰链体产生的压力；
   步骤6.3，计算流体对铰链体产生的摩擦力
Figure 598121DEST_PATH_IMAGE070
，包括流体产生的粘性摩擦力和库伦摩擦力，使用如公式(9)所示的摩擦力模型；
   
Figure 17601DEST_PATH_IMAGE071
                (9)
其中，为位置信息向量，包括xyz三个坐标，
Figure 252590DEST_PATH_IMAGE073
为该位置上的粘性摩擦力系数，为
Figure 226548DEST_PATH_IMAGE075
位置上的流体速度，
Figure 647165DEST_PATH_IMAGE076
为
Figure 119735DEST_PATH_IMAGE075
位置上的库伦摩擦力，
Figure 233184DEST_PATH_IMAGE077
为该位置上的切线方向；另外，
Figure 158415DEST_PATH_IMAGE078
函数如公式(10)所示；
Figure 851564DEST_PATH_IMAGE079
                            (10)
步骤6.4，将流体产生的压力和摩擦力从笛卡尔坐标系变换至广义坐标系，并计算流体产生的广义外力
Figure 913061DEST_PATH_IMAGE080
，如公式(11)所示；
Figure 197412DEST_PATH_IMAGE081
                (11)
其中，
Figure 609939DEST_PATH_IMAGE082
为每个体素上的片面微元，
Figure 231413DEST_PATH_IMAGE083
为笛卡尔坐标系和广义坐标系的坐标系变换矩阵(3*m，m代表自由度)。
所述步骤7计算外力产生的广义加速度，基于广义坐标系，具体为：通过牛顿第二定律，计算当前时刻流体外力产生的广义加速度
Figure 412996DEST_PATH_IMAGE084
，如公式(12)所示：
Figure 602669DEST_PATH_IMAGE085
                              (12)。
所述步骤8使用欧拉法，更新广义速度；具体为：根据当前时刻流体外力产生的广义加速度
Figure 502492DEST_PATH_IMAGE086
，更新广义速度
Figure 537444DEST_PATH_IMAGE087
，如公式(13)所示：
Figure 839112DEST_PATH_IMAGE088
                            (13)。
所述步骤9中将铰链体从广义坐标系变换至笛卡尔坐标系，并计算铰链体在笛卡尔坐标系下的位置和方位角；具体为：位置的变换如公式(14)所示，方位角的变换如公式(15)所示：
Figure 793162DEST_PATH_IMAGE089
                          (14)
其中，
Figure 180281DEST_PATH_IMAGE090
为当前铰链在笛卡尔坐标系下的位置向量，
Figure 550082DEST_PATH_IMAGE091
为该铰链所连接的父链在笛卡尔坐标系下的位置向量，
Figure 440678DEST_PATH_IMAGE092
为当前铰链基于父链的旋转矩阵，
Figure 706574DEST_PATH_IMAGE093
为当前铰链的关节可控角的集合，
Figure 315410DEST_PATH_IMAGE094
为该铰链相对于父链的位置向量；
Figure 488902DEST_PATH_IMAGE095
              (15)
其中，
Figure 499583DEST_PATH_IMAGE096
为当前铰链基于笛卡尔坐标系的旋转矩阵，
Figure 61015DEST_PATH_IMAGE097
分别为所有铰链的关节可控角的集合，n代表当前铰链，n-1代表当前铰链相连的父链，依次类推。
本发明的有益效果是：在数据驱动方面，使用基于计算力矩控制器，用以获取铰链体的驱动力，这种控制器除了具有调整每个关节沿着预先设定的轨迹运动的作用之外，还加入了上一时刻铰链体的内力对当前时刻惯性的影响及期望的加速度影响，很好地达到了控制器的跟踪作用，并且配合欧拉方法使用时能达到稳定性（见附加论证）。在动力学方面，采用拉格朗日动力学进行建模，这种广义坐标系的建模方式比起牛顿欧拉动力学来说，它通过添加了内部的约束条件，减少了未知变量，提高了计算速度。在外力作用方面，该发明将外力分为法线和切线方向进行讨论，法向为流体对铰链体的压力，切向为流体对铰链体的摩擦力，并根据纳维耶斯托克方程求解外力，这种方法可以获取更加真实的受力效果。
附图说明
图1 示出了本发明的流程图；
图2 示出了该算法搭建的框架；
图3 示出了外部配置文件需要保存的信息；
图4 示出了本实施实例所使用的铰链连接系统；
图5 示出了本实施实例中铰链的形状和信息；
图6 示出了本实施实例使用的体素化。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明优先实施方式进一步说明：
实施例：
图1所示的流程图给出了本发明整个实施的具体过程：
根据算法的流程，本实施搭建了如图2所示框架进行解算。其中分别建立了数据驱动器、铰链体解算器、拉格朗日解算器、计算力矩控制器、欧拉解算器、外力解算器和外力作用解算器，并将这些解算模块通过一个可以实现上传和下载的数据管理器进行连接，实现数据传输并达到松耦合的效果。在下述步骤1-8中将分别对这些模块进行说明。
在算法实施之前，本实施例中需要使用外部配置文件(如.xml)分别保存铰链、驱动函数和模型的信息作为运算的初始信息，如图3所示。这部分文件信息通过xml文件加载器从外部.xml文件中获得，并通过数据管理器的中转，分配到不同的模块中作为初始信息。此外，模型使用.obj文件。
本实施需要预先设置时间步长度
Figure 157147DEST_PATH_IMAGE098
、控制器的可控参数
Figure 868751DEST_PATH_IMAGE099
、
Figure 733939DEST_PATH_IMAGE101
和，且设置条件需满足
Figure 925066DEST_PATH_IMAGE105
且
Figure 174781DEST_PATH_IMAGE106
与
Figure 160055DEST_PATH_IMAGE108
在同一数量级。
本实施实例解算的是一个具有人体形状的铰链体，自由度为28，其中腰部为根节点（自由度为6），如图4所示，可看作树形结构。
步骤 1，从数据管理器中取出上一帧计算所得的广义位置和广义速度，作为输入条件。需注意，第一帧的初始条件来自.xml配置文件的信息。
步骤 2，数据驱动器从数据管理中获得驱动函数的信息，计算出下一时刻期望的位置和加速度，并上传至数据管理器。本实施实例使用基本的周期函数作为数据驱动函数，如公式(16a)和(16b)所示：
Figure 63289DEST_PATH_IMAGE109
              (16a)
           
Figure 134013DEST_PATH_IMAGE110
             (16b)
其中， 
Figure 187420DEST_PATH_IMAGE003
、、
Figure 507860DEST_PATH_IMAGE005
和
Figure 269142DEST_PATH_IMAGE006
分别为振幅、周期、相位和偏移量。
步骤 3，通过铰链体解算器、拉格朗日解算器和计算力矩控制器计算广义驱动力。进一步包括：
步骤 3.1，铰链体解算器从数据驱动器中下载当前时刻的位置和速度信息，并计算每根铰链的雅克比矩阵和铰链的信息（如惯性张量和质量等）。具体做法是，从铰链体的根节点开始，按树的宽度遍历依次解算每个铰链体的局部雅克比矩阵和铰链的信息。
步骤 3.1.1，计算每根铰链的局部雅克比矩阵,包括基于速度的雅克比矩阵、基于角速度的雅克比矩阵和求基于时间的一阶导的雅克比矩阵。
首先，考虑单个铰链在笛卡尔坐标系下产生的速度，将其分解为线速度
Figure 126240DEST_PATH_IMAGE111
和角速度
Figure 820526DEST_PATH_IMAGE112
，均为3*1的列向量。假设
Figure 65563DEST_PATH_IMAGE113
和
Figure 110879DEST_PATH_IMAGE114
分别为质心的位置（3*1向量）和关节体的旋转矩阵（3*3矩阵）。线速度可以表示为公式(17)，
Figure 54882DEST_PATH_IMAGE116
                               (17)
    其中，
Figure 611765DEST_PATH_IMAGE117
和
Figure 878798DEST_PATH_IMAGE118
为n*1的列向量，n为整个链上的自由度，其中
Figure 77698DEST_PATH_IMAGE119
，
Figure 480998DEST_PATH_IMAGE120
为3*n的矩阵。该实施实例中的n即为22。此外，角速度可以表示为公式(18)，
Figure 333416DEST_PATH_IMAGE121
                   (18)
由于
Figure 87745DEST_PATH_IMAGE122
恒为反对称矩阵，可以被表示为
Figure 824757DEST_PATH_IMAGE123
（的反对称形式，
Figure 246828DEST_PATH_IMAGE125
相当于雅克比矩阵
Figure 222875DEST_PATH_IMAGE126
的第j列），所以角速度
Figure 763577DEST_PATH_IMAGE127
可以用雅克比矩阵表示为公式(19)，
Figure 407048DEST_PATH_IMAGE128
                                   (19)
根据公式(17)和公式(19)可知，每根铰链基于笛卡尔坐标系和广义坐标系转换的雅克比矩阵可以表示为公式(20)中的
Figure 335690DEST_PATH_IMAGE129
，
Figure 64612DEST_PATH_IMAGE130
为6*n的矩阵。该实施实例中
Figure 143426DEST_PATH_IMAGE131
为6*22的矩阵；
Figure 641404DEST_PATH_IMAGE132
                             (20)
本实施实例除了需要解算出每个铰链当前时间步的
Figure 616313DEST_PATH_IMAGE133
之外，还需解得
Figure 832531DEST_PATH_IMAGE134
和下一时刻的
Figure 715036DEST_PATH_IMAGE135
。由于下一时刻的信息未知，本实施实例采用欧拉方法，如公式(21)所示，近似求得下一时刻的
Figure 67520DEST_PATH_IMAGE136
；
Figure 10068DEST_PATH_IMAGE137
                          (21)
因此针对每个关节的每个广义坐标，求解雅克比分量（3*1的列向量），并上载至数据管理器。其中，每个关节的自由度小于等于3。根据每个关节的旋转信息，可以将每个关节分解成基于父链坐标的局部的绕x、绕y和绕z轴的分量，则局部旋转矩阵的基本形式是可知的，如公式(22a) (22b) (22c)所示。
Figure 41478DEST_PATH_IMAGE138
                            (22a)
                            (22b)
Figure 934665DEST_PATH_IMAGE140
                            (22c)
雅克比分量的具体求解方法：首先，计算局部雅克比线速度分量
Figure 782535DEST_PATH_IMAGE141
，如公式(23a) (23b) (23c)所示。其中，
Figure 176607DEST_PATH_IMAGE142
为父链总的旋转矩阵（3*3的矩阵）,
Figure 400915DEST_PATH_IMAGE143
为质心基于父链的局部坐标位置（3*1的列向量），为基于广义位置
Figure 12342DEST_PATH_IMAGE145
的旋转矩阵，
Figure 424869DEST_PATH_IMAGE146
为旋转矩阵基于广义位置
Figure 780764DEST_PATH_IMAGE145
的一阶导数（根据公式(22a) (22b) (22c)易求得）。除此以外，还需计算一组基于整个链长度的线性速度分量，用于填充拉格朗日动力学中雅克比矩阵的线速度分量，方法同上。
Figure 962346DEST_PATH_IMAGE147
    (23a)
Figure 417599DEST_PATH_IMAGE148
    (23b)
Figure 786263DEST_PATH_IMAGE149
  (23c)
其次，计算局部雅克比角速度的分量
Figure 352374DEST_PATH_IMAGE150
。首先将分别初始化为：
Figure 608091DEST_PATH_IMAGE152
，
Figure 995210DEST_PATH_IMAGE153
和
Figure 99433DEST_PATH_IMAGE154
，则某个广义位置
Figure DEST_PATH_IMAGE155
的初始化向量记为，具体向量与广义坐标的信息有关。其次，分三种情况讨论：
1）假设每个关节可用自由度为1（即只存在
Figure 521504DEST_PATH_IMAGE157
），则的值就等于初始化的值，如公式(24a)所示。
2）假设每个关节可用自由度为2（即存在
Figure 303832DEST_PATH_IMAGE158
和
Figure 314513DEST_PATH_IMAGE159
），则
Figure 875945DEST_PATH_IMAGE160
的值如公式(24a)和公式(24b)所示。
3）假设每个关节可用自由度为3（即存在
Figure 972077DEST_PATH_IMAGE161
、
Figure 418102DEST_PATH_IMAGE162
和
Figure 548869DEST_PATH_IMAGE163
），则
Figure 687726DEST_PATH_IMAGE164
的值如公式(24a)、公式(24b)和公式(24c)所示。雅克比角速度分量则为父链的旋转矩阵乘以
Figure 739996DEST_PATH_IMAGE165
；
  (24a)
Figure 974985DEST_PATH_IMAGE167
   (24b)
Figure 878219DEST_PATH_IMAGE168
 (24c)
再次，需要计算雅克比线速度的分量的导数
Figure 948943DEST_PATH_IMAGE169
（基于时间），如公式(25a) (25b) (25c)所示，其中
Figure 2350DEST_PATH_IMAGE170
是对父链总的旋转矩阵进行求导运算，该项在宽度遍历时，依次累加求解可得；
Figure 842130DEST_PATH_IMAGE171
 (25a)
Figure 791631DEST_PATH_IMAGE172
 (25b)
Figure DEST_PATH_IMAGE173
 (25c)
最后，需要计算雅克比角速度的分量的导数
Figure 208706DEST_PATH_IMAGE174
（基于时间），将
Figure DEST_PATH_IMAGE175
依然初始化为：
Figure 65804DEST_PATH_IMAGE176
，和
Figure 353565DEST_PATH_IMAGE178
，则某个广义位置的初始化向量记为
Figure 5127DEST_PATH_IMAGE180
，具体向量与广义位置的信息有关。依次分三种情况讨论：
1）假设每个关节可用自由度为1（即只存在
Figure 519285DEST_PATH_IMAGE181
），则
Figure 914494DEST_PATH_IMAGE182
的值
Figure 463287DEST_PATH_IMAGE183
，如公式(26a)所示。
2）假设每个关节可用自由度为2（即存在
Figure 144804DEST_PATH_IMAGE181
和
Figure 411837DEST_PATH_IMAGE184
），则
Figure 345158DEST_PATH_IMAGE185
的值如公式(26a)和公式(26b)所示。
3）假设每个关节可用自由度为3（即存在
Figure 14037DEST_PATH_IMAGE181
、 
Figure 741821DEST_PATH_IMAGE184
和），则
Figure DEST_PATH_IMAGE187
的值如公式(26a)、公式(26b)和公式(26c)所示；
Figure 233163DEST_PATH_IMAGE188
  (26a)
 (26b)
Figure 350023DEST_PATH_IMAGE190
 (26c)
因为
Figure DEST_PATH_IMAGE191
为标准的旋转矩阵形式，所以可以预先设定其基于广义位置的一阶导数
Figure 514288DEST_PATH_IMAGE192
和二阶导数
Figure DEST_PATH_IMAGE193
的计算式。
需要注意，这里除了需要求出当前时刻全部的雅克比分量，还应求得下一时刻的雅克比分量用于计算
Figure 224755DEST_PATH_IMAGE194
，下一时刻的位置和速度使用欧拉法近似求得。
步骤 3.1.2，计算铰链的惯性张量和质量。假设本实施实例中使用的铰链为椭球体，如图4所示。根据平行轴定理知，每个铰链体绕其头部旋转时的惯性张量可表示为公式(27)；
Figure DEST_PATH_IMAGE195
   (27)
其中，m为椭球体的质量（计算公式为公式(28)所示），a、b和c分别为椭球体的长、宽和高，x、y和z为椭球体质心相对于旋转基轴的笛卡尔坐标；
Figure 765458DEST_PATH_IMAGE196
                            (28)
        步骤 3.2，拉格朗日解算器从数据驱动器中下载当前时刻的位置和速度信息、雅克比矩阵以及铰链的信息，并计算质量项和科氏力项，完成后上传至数据驱动器。
步骤 3.2.1，计算每个铰链的质量项
Figure DEST_PATH_IMAGE197
，其中
Figure 736825DEST_PATH_IMAGE198
为编号1至n的铰链中的某个铰链。将每个铰链信息中的质量和惯性张量排列为一个6*6的方阵，如公式(29)所示。该实施实例中，n为22；
Figure DEST_PATH_IMAGE199
                               (29)
 其中，
Figure 337571DEST_PATH_IMAGE200
为3*3的单位矩阵。将
Figure DEST_PATH_IMAGE201
和
Figure 800913DEST_PATH_IMAGE202
按公式(20)的排列方式进行上下排列，则根据公式(4)可得到每个铰链的质量项。
Figure 614148DEST_PATH_IMAGE059
                              (4)
    步骤 3.2.2，计算每个铰链的科氏力项。将
Figure DEST_PATH_IMAGE203
、
Figure 112126DEST_PATH_IMAGE204
、
Figure DEST_PATH_IMAGE205
和
Figure 211669DEST_PATH_IMAGE206
依然按照公式(20)的排列方式进行排列获得
Figure DEST_PATH_IMAGE207
和
Figure 427887DEST_PATH_IMAGE208
，则根据公式(3)可得每个铰链的科氏力项。
Figure DEST_PATH_IMAGE209
       (3)
    步骤 3.3，计算力矩控制器从数据驱动器中获取质量项、科氏力项、当前时刻的位置、当前时刻的速度、下一时刻期望的位置和下一时刻期望的加速度，并根据公式(1)计算每个铰链的驱动力，并上传数据管理器。
 (1)
步骤 4，拉格朗日解算器从数据驱动器中下载每个铰链广义驱动力，然后通过拉格朗日动力学公式，解得当前时刻的加速度，并上传至数据管理器。具体实施如下：
步骤 4.1，计算铰链体的质量矩阵
Figure DEST_PATH_IMAGE211
。这里的
Figure 131717DEST_PATH_IMAGE212
为整个铰链体的质量矩阵，规格是n*n（n为自由度）的方阵，是步骤 3.2.1的所有铰链的质量项排列的总和。公式(4)中，
Figure DEST_PATH_IMAGE213
为6k*6k的方阵，将每个铰链的质量项排列成如公式(30)所示的形式，k是铰链体关节的总数。为6k*n的矩阵，如公式(31)所示，其中n为自由度。
Figure DEST_PATH_IMAGE215
和
Figure 840096DEST_PATH_IMAGE126
分别为3k*n矩阵， 
Figure 526293DEST_PATH_IMAGE216
的排列形式如公式(32)所示。
Figure 202125DEST_PATH_IMAGE202
的矩阵排列与
Figure DEST_PATH_IMAGE217
相同。该实施实例中的n为22，k为10；
Figure 315574DEST_PATH_IMAGE218
                    (30)
Figure DEST_PATH_IMAGE219
                              (31)
Figure 240805DEST_PATH_IMAGE220
                      (32)
步骤4.2，计算铰链体的科氏力矩阵，如公式(3)所示。这里的
Figure 58588DEST_PATH_IMAGE222
为整个铰链体的科氏力矩阵，规格是n*n的方阵，是步骤 3.2.2的所有铰链的科氏力项排列的总和。其中
Figure DEST_PATH_IMAGE223
矩阵为6k*n的矩阵，参考公式(31)的排列方式。
Figure 385664DEST_PATH_IMAGE224
为角速度的反对称矩阵，规格为6k*6k的方阵，如公式(33)所示。令角速度
Figure 138857DEST_PATH_IMAGE226
的三个分量为
Figure DEST_PATH_IMAGE227
、和
Figure DEST_PATH_IMAGE229
，则
Figure 907278DEST_PATH_IMAGE230
写为公式(34)。分别依次排列所有矩阵的分量，根据公式(3)可以解得
Figure DEST_PATH_IMAGE231
。该实施实例中的n为22，k为10。
Figure 88861DEST_PATH_IMAGE232
            (33)
          (34)
步骤 4.3，计算铰链体的广义重力
Figure 12955DEST_PATH_IMAGE234
，如公式(5)所示。其中
Figure DEST_PATH_IMAGE235
是3*n的雅克比矩阵，如公式(35)所示。
Figure 912777DEST_PATH_IMAGE236
是3*1的列向量，表示重力，该实施实例中的n为22；
Figure 72363DEST_PATH_IMAGE062
                               (5)
Figure DEST_PATH_IMAGE237
                          (35)
步骤4.4，计算铰链体的广义加速度，如公式(6)所示。拉格朗日动力学方程，相当于一个求解具有n个未知数的方程组，n为自由度。使用LU分解和回代的方法，可解得线性方程组的值。该实施实例中的n为22。
Figure 734606DEST_PATH_IMAGE064
    (6)
步骤5，欧拉解算器从数据管理器中下载当前时刻的位置、速度和加速度，并计算下一时刻的位置和中间速度，并上传至数据管理器，计算如公式(7)和公式(8)所示。
Figure 324987DEST_PATH_IMAGE067
                              (7)
Figure 694789DEST_PATH_IMAGE069
                              (8)
步骤 6，外力解算器从数据管理器上下载当前时刻每根铰链的雅克比矩阵信息，然后计算流体对铰链体产生的外力，包括压力和摩擦力，并从笛卡尔坐标变换至广义坐标系，最后将计算的广义外力上传至计算数据管理器。进一步包括：  
步骤 6.1，通过“内外体素化”的方法，确定流体与铰链体的耦合面，作为铰链体的受力面。本实施实例在GPU运算下进行，使用矩阵投影把输入的.obj模型的三角形网状结构，在目的3D纹理结构的每一个切片里渲染一次，如图6所示（左为模型，右为渲染切片）。当绘制几何体时，使用模板缓存(与切片的维数相同)，并将模板缓存初始化为0。结果是网状结构内部的所有体素得到了一个非零的模板值。然后，做一次最终遍历，把模板值复制到障碍物的纹理结构中去。这样就能区分三种类型的单元：内部单元（非零模板值）、外部单元（模板值为0）和紧贴边界的内部单元（取离非零模板值最近的0值）。
步骤 6.2，根据纳维耶斯托克方程，获得流体对铰链体产生的压力。具体实施步骤如下：
步骤 6.2.1，本实施实例的流体模拟在GPU下进行，采用MAC网格进行模拟。由于压力值和位置信息存储在3D纹理中，根据耦合面的体素信息，可提取该部分压力信息
Figure DEST_PATH_IMAGE239
和对应的位置信息
Figure 850964DEST_PATH_IMAGE240
。
步骤6.2.2，铰链体外设包围盒，用以检测压力作用在铰链的位置。具体方法是检测提取的压力所对应的位置是否在包围盒内，如果在某根铰链所属的包围盒内，则该压力值作用于此铰链，如果不在该包围盒之内，则判定为不会作用于此铰链。
步骤6.2.3，因铰链采用标准的椭球体模型，根据对应压力所在铰链体的位置，易求出铰链体当前位置的法向量，得到压力的作用分量
Figure 253212DEST_PATH_IMAGE242
。
步骤 6.3，计算流体对铰链体产生的摩擦力，其中包括流体产生的粘性摩擦力和库伦摩擦力，我们如公式(9)所示的摩擦力模型。其具体实施步骤如下。
                (9)
步骤 6.3.1，在步骤6.2.1的基础上提取该部分的速度信息
Figure DEST_PATH_IMAGE243
，并参考6.2.2的步骤检测速度作用在铰链上的位置。
步骤6.3.2，根据对应速度所在铰链体的位置，求出铰链体当前位置的切向量
Figure 238803DEST_PATH_IMAGE244
，根据公式(7)，可得到摩擦力的作用分量
Figure DEST_PATH_IMAGE245
。
步骤 6.4，计算广义外力并上传至数据管理器，具体步骤如下：
步骤6.4.1，计算雅克比矩阵。铰链体使用的是标准的椭球体模型，因此易求得法向量和切向量。这里的雅克比矩阵
Figure 249484DEST_PATH_IMAGE246
形式为公式(35)所示。
步骤6.4.2，进行数值积分。采用龙贝格求积公式，根据公式(11)所示，针对每个广义外力进行数值积分，积分的范围是从0至整个铰链体的面积，逐次分半的细分粒度为体素的面积。若为了提高效率可减少逐次分半的次数，近似求解。
Figure 217440DEST_PATH_IMAGE081
                (11)
步骤 7，外力作用解算器从数据管理器上下载每个广义位置的驱动力和质量信息，并计算广义加速度，如公式(12)所示。这里的
Figure DEST_PATH_IMAGE247
即为当前广义位置所在铰链的惯性张量。
Figure 907048DEST_PATH_IMAGE085
                              (12)
步骤 8，外力作用解算器使用欧拉法，更新广义速度，并上传至数据管理器，作为下一时刻输入的条件，如公式(13)所示。
                            (13)
步骤 9，变换坐标系，将铰链体从根节点开始，按广度进行遍历，分别求出基于父链的旋转矩阵和位置，并代入公式(14)和公式(15)求解。其中，位置信息为3*1的向量，方位角信息为3*3方阵。
                          (14)
Figure DEST_PATH_IMAGE249
              (15)
步骤10，将铰链体的位置和方位角改写为齐次矩阵，并进行渲染。

Claims (9)

1.一种流体环境下的关节动画建模技术，其特征在于，该方法包括步骤：
步骤1，输入上一时刻计算所得的所有广义位置和广义速度，基于广义坐标系； 
步骤2，计算驱动函数，获得期望的广义位置和广义加速度，基于广义坐标系；
步骤3，通过计算力矩控制器获取铰链体的广义驱动力，基于广义坐标系；
步骤4，根据拉格朗日动力学，计算铰链体的广义加速度，基于广义坐标系；
步骤5，使用欧拉法，计算下一时刻每个广义位置和中间广义速度，基于广义坐标系；
步骤6，计算流体对铰链体产生的外力，包括压力和摩擦力，并从笛卡尔坐标系变换至广义坐标系；
步骤7，计算外力产生的广义加速度，基于广义坐标系；
步骤8，使用欧拉法，更新广义速度；
步骤9，变换坐标系，将铰链体从广义坐标系变换至笛卡尔坐标系，并计算铰链体在笛卡尔坐标系下的位置和方位角；
步骤10，根据铰链体的位置和方位角进行渲染，基于笛卡尔坐标系。
2.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤2中的驱动函数采用周期函数，如公式(1a)和(1b)所示，针对每个广义位置和广义速度进行设置：
Figure 998766DEST_PATH_IMAGE001
                        (1a)
Figure 631873DEST_PATH_IMAGE002
                                (1b)
其中， 
Figure 873498DEST_PATH_IMAGE003
、
Figure 414201DEST_PATH_IMAGE004
、
Figure 792093DEST_PATH_IMAGE005
和
Figure 986313DEST_PATH_IMAGE006
分别为振幅、周期、相位和偏移量。
3.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤3中计算力矩控制器的计算式如公式(1)所示：
Figure 449656DEST_PATH_IMAGE007
 (1)
其中，
Figure 794050DEST_PATH_IMAGE008
和
Figure 292027DEST_PATH_IMAGE009
分别为下一时刻期望到达的广义坐标和广义加速度，
Figure 798095DEST_PATH_IMAGE010
、
Figure 483154DEST_PATH_IMAGE011
和
Figure 365659DEST_PATH_IMAGE012
分别为当前时刻广义坐标、广义速度和广义加速度；另外，
Figure 718143DEST_PATH_IMAGE013
、
Figure 395112DEST_PATH_IMAGE014
和
Figure 426522DEST_PATH_IMAGE015
为控制系数，并满足
Figure 112718DEST_PATH_IMAGE016
且
Figure 319709DEST_PATH_IMAGE017
与
Figure 433158DEST_PATH_IMAGE014
在同一数量级；此外，根据拉格朗日动力学知，
Figure 358389DEST_PATH_IMAGE018
为下一时刻的质量项，为当前时刻的科氏力项，使用欧拉法化简
Figure 378615DEST_PATH_IMAGE020
项，如公式(2)和公式(3)所示：
Figure 662965DEST_PATH_IMAGE021
                            (2)
                (3)
其中，
Figure 431387DEST_PATH_IMAGE023
为当前时刻的雅克比矩阵，
Figure 612970DEST_PATH_IMAGE024
为当前时刻雅克比矩阵的转置，
Figure 68222DEST_PATH_IMAGE025
为当前时刻的质量矩阵，包括质量和惯性张量两部分构成，
Figure 968045DEST_PATH_IMAGE026
为角速度
Figure 534155DEST_PATH_IMAGE027
的反对称矩阵；与标准的拉格朗日动力学不同的是，这里使用的是
Figure 39086DEST_PATH_IMAGE028
和
Figure 665239DEST_PATH_IMAGE029
来近似计算下一时刻产生的
Figure 786779DEST_PATH_IMAGE020
项。
4.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤4中根据拉格朗日动力学，计算铰链体的广义加速度，基于广义坐标系，具体为：
步骤4.1，计算铰链体的质量矩阵，如公式(4)所示：
Figure 906231DEST_PATH_IMAGE031
                              (4)
步骤4.2，计算铰链体的科氏力矩阵，如公式(3)所示：
步骤4.3，计算铰链体的广义重力
Figure 312121DEST_PATH_IMAGE033
，如公式(5)所示：
                               (5)
步骤4.4，计算铰链体的广义加速度
Figure 699557DEST_PATH_IMAGE035
，如公式(6)所示：
Figure 667513DEST_PATH_IMAGE036
 (6)
其中，
Figure 763645DEST_PATH_IMAGE037
为当前时刻的内力。
5.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤5使用欧拉法，计算下一时刻每个广义位置和中间广义速度，基于广义坐标系，其具体为：
步骤5.1，使用欧拉法计算下一时刻铰链体的位置，如公式(7)所示：
                             (7)
步骤5.2，使用欧拉法计算下一时刻铰链体的速度
Figure 338349DEST_PATH_IMAGE040
，如公式(8)所示： 
Figure 656198DEST_PATH_IMAGE041
 (8)。
6.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤6计算流体对铰链体产生的外力，包括压力和摩擦力，并从笛卡尔坐标系变换至广义坐标系，其具体为：
       步骤6.1，通过内外体素化的方法，确定流体与铰链体的耦合面；
       步骤6.2，根据纳维耶斯托克方程，获得流体对铰链体产生的压力；
       步骤6.3，计算流体对铰链体产生的摩擦力
Figure 640335DEST_PATH_IMAGE042
，包括流体产生的粘性摩擦力和库伦摩擦力，使用如公式(9)所示的摩擦力模型；
      
Figure 625608DEST_PATH_IMAGE043
 (9)
其中，
Figure 935367DEST_PATH_IMAGE044
为位置信息向量，包括xyz三个坐标，
Figure 740512DEST_PATH_IMAGE045
为该位置上的粘性摩擦力系数，
Figure 793918DEST_PATH_IMAGE046
为
Figure 227174DEST_PATH_IMAGE047
位置上的流体速度，
Figure 707834DEST_PATH_IMAGE048
为
Figure 265854DEST_PATH_IMAGE047
位置上的库伦摩擦力，
Figure 857372DEST_PATH_IMAGE049
为该位置上的切线方向；另外，
Figure 817238DEST_PATH_IMAGE050
函数如公式(10)所示；
Figure 937641DEST_PATH_IMAGE051
                            (10)
       步骤6.4，将流体产生的压力和摩擦力从笛卡尔坐标系变换至广义坐标系，并计算流体产生的广义外力
Figure 717378DEST_PATH_IMAGE052
，如公式(11)所示；
Figure 706063DEST_PATH_IMAGE053
                (11)
其中，为每个体素上的片面微元，
Figure 342897DEST_PATH_IMAGE055
为笛卡尔坐标系和广义坐标系的坐标系变换矩阵(3*m，m代表自由度)。
7.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤7计算外力产生的广义加速度，基于广义坐标系，具体为：通过牛顿第二定律，计算当前时刻流体外力产生的广义加速度
Figure 609931DEST_PATH_IMAGE056
，如公式(12)所示：
Figure 277672DEST_PATH_IMAGE057
   (12)。
8.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤8使用欧拉法，更新广义速度；具体为：根据当前时刻流体外力产生的广义加速度
Figure 946551DEST_PATH_IMAGE056
，更新广义速度
Figure 939915DEST_PATH_IMAGE058
，如公式(13)所示：
Figure 694244DEST_PATH_IMAGE059
  (13)。
9.根据权利要求1所述的流体环境下的关节动画建模技术方法，其特征在于，所述的步骤9中将铰链体从广义坐标系变换至笛卡尔坐标系，并计算铰链体在笛卡尔坐标系下的位置和方位角；具体为：位置的变换如公式(14)所示，方位角的变换如公式(15)所示：
      (14)
其中，
Figure 813696DEST_PATH_IMAGE061
为当前铰链在笛卡尔坐标系下的位置向量，
Figure 977961DEST_PATH_IMAGE062
为该铰链所连接的父链在笛卡尔坐标系下的位置向量，为当前铰链基于父链的旋转矩阵，
Figure 760289DEST_PATH_IMAGE064
为当前铰链的关节可控角的集合，
Figure 607022DEST_PATH_IMAGE065
为该铰链相对于父链的位置向量；
Figure 207768DEST_PATH_IMAGE066
(15)
其中，
Figure 671110DEST_PATH_IMAGE067
为当前铰链基于笛卡尔坐标系的旋转矩阵，
Figure 15504DEST_PATH_IMAGE068
分别为所有铰链的关节可控角的集合，n代表当前铰链，n-1代表当前铰链相连的父链，依次类推。
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