CN103426073A - 一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，属于物流管理技术领域。该方法首先利用威布尔过程对设备的寿命进行建模，并通过历史数据来求解寿命模型中的参数，从而可以较准确地预测设备的寿命；然后在库存管理策略中，考虑设备投入使用的时间、设备数量以及故障类型对设备故障率的影响，从而准确地预测备件的需求量，得到合理的库存管理方案；同时，该方法通过在每次到货之后根据当前状态调整订货点和订货量，使得该方法的库存管理方案更符合实际需求，是一种适用于客服系统设备备件库存管理的方法。

Description

一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法

技术领域

本发明涉及一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，属于物流管理技术领域。

背景技术

库存管理主要是对备件的库存量进行科学的管理，以求用最少的库存量满足设备对备件的需求。

备件是保障设备正常运行的重要因素，当设备发生故障的时候，需要更换一定量的备件以修复设备。随着科学技术的发展，设备复杂性越来越高，需要采购多少备件，保持什么样的库存水平已经成为了困扰企业的一个难题。一方面，如果库存不够，在设备发生故障的时候很有可能无法修复设备，导致生产无法继续，有可能引发更为严重的后果；另一方面，储备大量的备件又会占用企业过多的流动资金，限制企业的发展。因此，研究备件库存管理技术是十分重要的。

备件库存管理的主要目标是以最少的成本保证设备的正常运行，主要解决三个问题：（1）确定库存检查的周期，即何时对库存进行检查；（2）确定每次的订货量，即每次订货的数量；（3）确定每次的订货点，即每次订货的时间或者库存量的临界值。订货点法是一种常见的库存管理策略，其基本思路为：对库存进行连续的检查，当库存量下降到最低安全限度R的时候，发出订货请求，每次订货的数量均为Q，其中R被称为订货点，订货点R的选取需要保证下一批备件到达仓库之前，备件数量是足够的，Q被称为订货量，订货量Q的选取需要使得库存成本和运输成本等各种成本之和最小。

为了计算订货点R和订货量Q，传统的订货点法假定了备件的年消耗量是不变的。该假设存在有以下问题：

1、设备随着使用年限的增加，其故障率也会增加，仅仅考虑这一点，备件的年消耗量应该是缓慢上升的。

2、客服系统可能会新增或者更换一些设备，新增设备会使得备件的年消耗量上升，而更换旧的设备则使得备件的年消耗量下降。

3、传统的订货点法在计算年消耗量的时候，关注的是所有故障类型下备件的年消耗量，但实际上一些类型的故障可能会很少发生，这些故障类型对备件的年消耗量估计会带来很大的影响，通过对不同的故障类型进行分析，可以得到更为准确的备件年消耗量。

综上所述，订货点法存在有一定的缺陷，它没有考虑设备投入使用的时间的影响、设备数量变化的影响以及故障类型的影响。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，在进行备件库存管理的时候，利用已经积累的客服系统的运维报表数据对客服系统设备进行寿命预测，估计备件的年需求量，从而得到更加合理的库存管理方案。

本发明提出的一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法包括以下步骤：

（1）设客服系统设备因某种故障类型导致的失效过程服从威布尔过程：

若随机过程{N(t),t≥0}满足以下条件，则该随机过程为非时齐泊松过程：

（1-1）N(0)＝0；

(1-2){N(t),t≥0}是独立增量过程，即任取0＜t₁＜…＜t_r，N(t₁),N(t₂)-N(t₁),…,N(t_r)-N(t_r-1)互相独立；

（1-3）对任意0≤t＜s，N(t)-N(s)服从泊松分布，即：

$P\{N\left(s\right)-N\left(t\right)=j\}=\frac{{\mathrm{\Φ}(t,s)}^j{e}^{-\mathrm{\Φ}(t,s)}}{j!},\mathrm{\Φ}(t,s)={\∫}_t^{s}u\left(b\right)\mathrm{db}$

上式中，u(b)为强度函数，若u(b)＝λβb^β-1，则该随机过程为威布尔过程，用W(λ,β)表示，其中β为形状参数，λ为尺度参数，N(t)为第0天到第t天内的故障数量，s,t,t₁,…,t_r为故障发生时间，N(s)-N(t)表示第t天到第s天内的故障次数，P{N(s)-N(t)＝j}表示第t天到第s天内故障次数等于j的概率，e表示自然常数；

（2）设设备故障的类型有ftype₁,…,ftype_n，其中故障的类型为ftype_i的设备共有num_i台，从客服系统的运维报表中获取第k天发生故障类型为ftype_i的故障发生次数x_i,k；

（3）根据客服系统设备因故障导致的失效过程服从威布尔过程，因故障ftype_i而导致的失效过程服从威布尔过程W(λ_i,β_i)，求解如下方程组，

${\mathrm{\λ}}_i=\frac{\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}}{\mathrm{nu}{m}_i{r_i}^{{\mathrm{\β}}_i}}$

$\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{x_{i,k}[{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}\ln (k+1)-k^{{\mathrm{\β}}_i}\ln k]}{{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i}}=\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}\ln r_i$

得到参数λ_i,β_i的估计值，其中，r_i表示对设备进行的寿命实验的持续天数；

用N_i(t)表示一台设备在第0天到第t天内发生故障ftype_i的次数，{N_i(t),t≥0}服从威布尔过程W(λ_i,β_i)，则该设备在第t天到第s天内发生故障ftype_i次数的期望值为：

$\mathrm{FNU}{M}_i(t,s)=E\{N_i\left(s\right)-N_i\left(t\right)\}={\mathrm{\λ}}_i(s^{{\mathrm{\β}}_i}-t^{{\mathrm{\β}}_i});$

（4）设所有故障中有m种故障使用备件A进行修复，则备件A在时间[s,t]内的需求量为f(A,t,s)：

$f(A,t,s)=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}m\_\mathrm{num}({\mathrm{ftype}}_{z_g},A)\underset{k=1}{\overset{{\mathrm{num}}_{z_g}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{z_g}\{{(s-a_{z_g,k})}^{{\mathrm{\β}}_{z_g}}-{(t-a_{z_g,k})}^{{\mathrm{\β}}_{z_g}}\}$

其中，

表示m种故障，z_g为故障类型的下标，1≤g≤m，发生故障

的设备有

台，第k台设备投入使用的时间为表示修复故障

需要的备件A的数量；

（5）当备件库存量达到订货点R时，客服系统发起订货，假设在一个订货周期（两次到货之间的间隔）内，设备的数量num_i保持不变，则订货点R为：

R＝f(A,y₁,y₁+T)，

其中，T表示供货周期，T＝T₁+T₂+T₃+T₄，其中T₁为客服系统流程审批时间，T₂为供应商合同签订时间，T₃为货物运输时间，T₄为报关时间，y₁表示本次订货的订货时间，通过求解方程Q_p＝f(A,y,y₁)+f(A,y₁,y₁+T)＝f(A,y,y₁+T)，得到y₁，其中y为备件A的上一次订货的到货时间，Q_p为上一次订货的订货量；

（6）客服发起订货时的订货量为Q：

$Q=\sqrt{\frac{{2\mathrm{DC}}_2}{C_3}}$

其中，D为年需求量，D＝f(A,y₁,y₁+365)，C₂为一次客服系统订货的业务成本，C₃为客服系统的单位产品年存储成本；

本发明提出的基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，在进行备件的年消耗量预测的时候考虑设备使用时间、设备数量以及故障类型对备件需求的影响，动态地进行备件需求预测，每次订货之后，将根据实际情况调整下一次的库存策略，最终得到一个可行的库存管理方案。其优点是：

1、本发明提出的基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法可以对订货点R和订货量Q进行估计，能够给出一种合理的库存管理方法。

2、本发明在估计备件的年消耗量时，考虑了设备投入使用的时间、设备的数量以及故障类型对备件的年消耗量的影响，从而能对备件的年消耗量进行更准确的预测。

附图说明

图1是本发明方法的流程框图。

图2是本发明方法的一个实施例中寿命预测示意图。

图3是本发明方法的一个实施例中库存量变化示意图。

具体实施方式

本发明所述的一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，其流程框图如图1所示，包括以下步骤：

（1）设客服系统设备因某种故障导致的失效过程服从威布尔过程：

若随机过程{N(t),t≥0}满足以下条件，则该随机过程为非时齐泊松过程：

（1-1）N(0)＝0；

(1-2){N(t),t≥0}是独立增量过程，即任取0＜t₁＜…＜t_r，N(t₁),N(t₂)-N(t₁),…,N(t_r)-N(t_r-1)互相独立；

（1-3）对任意0≤t＜s，N(t)-N(s)服从泊松分布，即：

$P\{N\left(s\right)-N\left(t\right)=j\}=\frac{{\mathrm{\Φ}(t,s)}^j{e}^{-\mathrm{\Φ}(t,s)}}{j!},\mathrm{\Φ}(t,s)={\∫}_t^{s}u\left(b\right)\mathrm{db}$

上式中，u(b)为强度函数，若u(b)＝λβb^β-1，则该随机过程为威布尔过程，用W(λ,β)表示，其中β为形状参数，λ为尺度参数，N(t)为第0天到第t天内的故障数量，s,t,t₁,…,t_r为故障发生时间，N(s)-N(t)表示第t天到第s天内的故障次数，P{N(s)-N(t)＝j}表示第t天到第s天内故障次数等于j的概率，e表示自然常数；

（2）设设备故障的类型有ftype₁,…,ftype_n，其中故障的类型为ftype_i的设备共有num_i台，从客服系统的运维报表中获取第k天发生故障类型为ftype_i的故障发生次数x_i,k，这些数据可以认为来自以下寿命实验：设num_i台设备同时开始运行，当某台设备发生故障ftype_i时，修复该设备并重新投入实验，第k天凌晨记录前一天发生的故障总数x_i,k，即x_i,k表示在[k,k+1)天内发生的故障总数，一共持续r_i天；

（3）设客服系统一台设备因故障ftype_i而导致的失效过程服从威布尔过程W(λ_i,β_i)，则num_i台设备由于故障ftype_i而导致故障的失效过程服从威布尔过程W(num_i×λ_i,β_i)，即可以认为

是来自威布尔过程W(num_iλ_i,β_i)的样本；

威布尔过程W(num_iλ_i,β_i)第k天发生故障数量为x_i,k的概率为：

$P\{N(k+1)-N\left(k\right)=x_{i,k}\}=\frac{{\left[{\mathrm{num}}_i{\mathrm{\λ}}_i({(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i})\right]}^{x_{i,k}}{e}^{-{\mathrm{num}}_i{\mathrm{\λ}}_i[{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i}]}}{x_{i,k}!}$

由于威布尔过程也是独立增量过程，则样本

出现的概率为：

$L=\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Π}}}P\{N(k+1)-N\left(k\right)=x_{i,k}\}={\left(\mathrm{nu}{m}_i{\mathrm{\λ}}_i\right)}^{\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}}{e}^{-{\mathrm{num}}_i{\mathrm{\λ}}_i{r}^{{\mathrm{\β}}_i}}\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Π}}}\frac{{[{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i}]}^{x_{i,k}}}{x_{i,k}!}$

从而有 $\ln L=\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}[\ln \left({\mathrm{num}}_i{\mathrm{\λ}}_i\right)+\ln ({(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i})]-{\mathrm{num}}_i{\mathrm{\λ}}_i{r_i}^{{\mathrm{\β}}_i}-\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}\ln (x_{i,k}!)$

为了使得样本x_i,0,x_i,1,…,x_i,r-1出现的概率最大，令

可以得到：

${\mathrm{\λ}}_i=\frac{\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}}{\mathrm{nu}{m}_i{r_i}^{{\mathrm{\β}}_i}}$

$\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{x_{i,k}[{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}\ln (k+1)-k^{{\mathrm{\β}}_i}\ln k]}{{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i}}=\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}\ln r_i$

求解以上方程组即可得到参数λ_i,β_i的估计值；

用N_i(t)表示一台设备在第0天到第t天内发生故障ftype_i的次数，{N_i(t),t≥0}服从威布尔过程W(λ_i,β_i)，则该设备在第t天到第s天内发生故障ftype_i次数的期望值为：

$\mathrm{FNU}{M}_i(t,s)=E\{N_i\left(s\right)-N_i\left(t\right)\}={\mathrm{\λ}}_i(s^{{\mathrm{\β}}_i}-t^{{\mathrm{\β}}_i});$

（4）设所有故障中有m种故障使用备件A进行修复，则备件A在时间[s,t]内的需求量为f(A,t,s)：

$f(A,t,s)=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}m\_\mathrm{num}({\mathrm{ftype}}_{z_g},A)\underset{k=1}{\overset{{\mathrm{num}}_{z_g}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{z_g}\{{(s-a_{z_g,k})}^{{\mathrm{\β}}_{z_g}}-{(t-a_{z_g,k})}^{{\mathrm{\β}}_{z_g}}\}$

其中，

表示m种故障，z_g为故障类型的下标，1≤g≤m，发生故障

的设备有

台，第k台投入使用的时间为表示修复故障

需要的备件A的数量；

（5）当备件库存量达到订货点R时，客服系统发起订货；假设在一个订货周期（两次到货之间的间隔）内，设备的数量num_i保持不变，则订货点R需要保证在发起订货到收到货物之间，库存不会告罄，因此订货点R为：

R＝f(A,y₁,y₁+T)，

其中，T表示供货周期，T＝T₁+T₂+T₃+T₄，其中T₁为客服系统流程审批时间，T₂为供应商合同签订时间，T₃为货物运输时间，T₄为报关时间，y₁表示本次订货的订货时间；

用Q_p表示备件A的上一次订货的订货量，y表示上一次订货的订货时间，则下式成立：

Q_p＝f(A,y,y₁)+f(A,y₁,y₁+T)＝f(A,y,y₁+T)，

通过求解上式可得到y₁，从而可以得到订货点R；

（6）客服发起订货时的订货量为Q：

$Q=\sqrt{\frac{{2\mathrm{DC}}_2}{C_3}}$

其中，D为年需求量，D＝f(A,y₁,y₁+365)，C₂为一次客服系统订货的业务成本，C₃为客服系统的单位产品年存储成本；

上式是这样得到的：定义年总成本TRC如下：

$\mathrm{TRC}={\mathrm{DC}}_1+\frac{{\mathrm{DC}}_2}{Q}+\frac{{\mathrm{QC}}_3}{2}+{\mathrm{DC}}_4+{\mathrm{DC}}_5$

其中C₁为单位产品价格，C₂为一次订货的业务成本，C₃为单位产品年存储成本，C₄为单位产品运输成本，C₅为单位产品报关成本。为了使得TRC最小，令

可以得到：

$Q=\sqrt{\frac{{2\mathrm{DC}}_2}{C_3}}$

以下结合附图介绍本发明方法的一个应用实例：

本实例通过客服系统设备在实际运行中的数据以及仿真数据说明基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法的优越性。在本实例中，对比了本发明所述备件管理方法和传统的备件管理方法。结合附图对测试过程说明如下：

寿命预测模型的建立

针对实际的客服系统设备，基于实际运维报表数据，可以建立确定寿命实验的类型、求解参数并建立寿命预测模型。以上海南站闸机设备的闸机门故障为例，利用前300天的数据来确定参数，利用后50天的数据来验证寿命预测模型的有效性。利用前300天的数据，可得λ＝0.0052,β＝1.50。

以时间t为横坐标，平均故障次数EN(t)为纵坐标，得到的结果如图2所示。图中折线表示实际数据，曲线表示得到的寿命预测模型的结果，竖直线左边表示前300天的数据，用于进行参数估计，竖直线的右边表示后50天的数据，用于验证寿命预测模型的有效性。

从图2可以看到，使用威布尔过程来建立寿命预测模型，不管是拟合现有数据还是预测未来的数据，准确度都比较高，因此用寿命预测模型来进行备件的预测是可靠的。

动态库存管理方案：

假定只有一种备件，两种设备故障，即m＝2，每种设备故障发生后需要的备件数量如下表所示：

表1修复故障需要的备件数量

设备	数量
		ftype1	1
ftype2	1

假定故障ftype₁的寿命预测模型服从W₁(0.002,1.2)，故障ftype₂的寿命预测模型服从W₂(0.01,1.5)，假设在y＝3的时刻收到上一次的订货，Q_p＝10，目前可能发生故障ftype₁的设备数量和可能发生故障ftype₂的设备各有一台，其中可能发生故障ftype₁的设备起始工作时间为a₁₁＝1，可能发生故障ftype₂的设备起始工作时间为a₂₁＝0，备件的订货业务成本和单位年存储成本均为1，即C₂＝C₃＝1，订货周期T＝20，本实施例将展示如何利用这些数据确定订货点和订货量。

显然，有 $f(A,t,s)=1\×{\mathrm{\λ}}_1({(s-a_{11})}^{{\mathrm{\β}}_1}-{(t-a_{11})}^{{\mathrm{\β}}_1})+1\×{\mathrm{\λ}}_2({(s-a_{21})}^{{\mathrm{\β}}_2}-{(t-a_{21})}^{{\mathrm{\β}}_2}),$ 为了得到订货点，需要求解方程R＝Q_p-f(A,y,y₁)＝f(A,y₁,y₁+T)，通过二分法，可以解得y₁＝77，从而R＝3，也就是说当库存量为3的时候需要开始订货，预计的订货时间为第77天。

根据D＝f(A,y₁,y₁+365)，可以预测得到年需求量为：

$D=1\×{\mathrm{\λ}}_1({(y_1+365-a_{11})}^{{\mathrm{\β}}_1}-{(y_1-a_{11})}^{{\mathrm{\β}}_1})+1\×{\mathrm{\λ}}_2({(y_1+365-a_{21})}^{{\mathrm{\β}}_2}-{(y_1-a_{21})}^{{\mathrm{\β}}_2})=89$

于是可以得到下次订货量为：

$Q=\sqrt{\frac{{2\mathrm{DC}}_2}{C_3}}=14$

假定实际情况与预估的一致，那么在第97天，将收到货物，此时y＝97,Q_p＝14，假定此时增加了一台可能发生故障ftype₁的设备，其起始工作时间为a₁₂＝97，此时有： $f(A,t,s)=1\×{\mathrm{\λ}}_1({(s-a_{11})}^{{\mathrm{\β}}_1}-{(t-a_{11})}^{{\mathrm{\β}}_1})+1\×{\mathrm{\λ}}_1({(s-a_{12})}^{{\mathrm{\β}}_1}-{(t-a_{12})}^{{\mathrm{\β}}_1})+1\×{\mathrm{\λ}}_2({(s-a_{21})}^{{\mathrm{\β}}_2}-{(t-a_{21})}^{{\mathrm{\β}}_2})$

于是求解方程R＝Q_p-f(A,y,y₁)＝f(A,y₁,y₁+T)可以得到：

y₁＝153,R＝4

也就是说当库存为4的时候开始订货，预计的订货时间为第153天。

根据D＝f(A,y₁,y₁+365)，可以预测得到年需求量为D＝104，于是可以得到下次的订货量为：

$Q=\sqrt{\frac{2D{C}_2}{C_3}}=15$

这两个订货周期内，库存量的变化如图3所示，图3中横坐标表示时间，纵坐标表示库存量。

应当看到，本发明的方法是优于传统的订货点法的。首先，传统的订货点法不会考虑新增设备的影响，因此，在订货量和订货点一旦确定之后不会再改变，因此在第二次确定订货点和订货量的时候，会选择R＝3,Q＝12，显然，由于R选择过小，会导致备件储备不足，无法满足设备对备件的需求，同时由于Q并非最优值，这会导致库存成本较高；其次，就算考虑新增设备的问题，由于传统的方法不会考虑设备起始工作时间不同对故障率的影响，因此传统的方法会选择订货点为R＝3+3*0.5＝5，实际上由于新设备的故障率会明显小于老旧的设备，所以传统方法选择的订货点会比较靠前，对设备年需求量的估计也会有一定偏差。

以上应用实例说明，本发明提出的基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法的优越性：首先是寿命模型的准确性，从实验结果可知，利用威布尔过程来对客服系统设备的寿命进行建模是合理的，从图2可以看出，不管是拟合还是预测，威布尔过程均能得到较好的结果。因此，威布尔模型能很好地描述客服系统设备的失效过程，从而也能基于此对备件的需求进行较为准确的预测。其次是动态库存管理方案的优越性，从实施例可以看到，由于考虑了设备投入使用的时间、设备数量以及故障类型对备件年消耗量的影响，本发明提出的动态库存管理方案得到的结果比传统的订货点法更合理。同时，由于在每次到货之后，动态库存管理方案可以根据实际情况动态地调整库存管理方案。因此该方法优于传统的订货点法。

综上所述，本发明的基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法优于传统的库存管理算法。本发明的基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，首先利用威布尔过程对设备寿命进行建模，并通过历史数据来求解寿命预测模型中的参数，从而可以较准确地预测备件的年消耗量。接下来在库存管理策略中，本发明考虑了设备投入使用的时间、设备数量以及故障类型对设备故障率的影响，并在每次到货之后重新计算订货量和订货点，得到的库存管理方案要优于传统的库存管理方案。因此，本发明的方法是一种适用于客服系统设备备件库存管理的方法。

Claims (1)

1.一种基于设备寿命预测的客服系统备件库存管理方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

（1）设客服系统设备因故障导致的失效过程服从威布尔过程：

若随机过程{N(t),t≥0}满足以下条件，则该随机过程为非时齐泊松过程：

（1-1）N(0)＝0；

(1-2){N(t),t≥0}是独立增量过程，即任取0＜t₁＜…＜t_r，N(t₁),N(t₂)-N(t₁),…,N(t_r)-N(t_r-1)互相独立；

（1-3）对任意0≤t＜s，N(t)-N(s)服从泊松分布，即：

$P\{N\left(s\right)-N\left(t\right)=j\}=\frac{{\mathrm{\Φ}(t,s)}^j{e}^{-\mathrm{\Φ}(t,s)}}{j!},\mathrm{\Φ}(t,s)={\∫}_t^{s}u\left(b\right)\mathrm{db}$

上式中，u(b)为强度函数，若u(b)＝λβb^β-1，则该随机过程为威布尔过程，用W(λ,β)表示，其中β为形状参数，λ为尺度参数，N(t)为第0天到第t天内的故障数量，s,t,t₁,…,t_r为故障发生时间，N(s)-N(t)表示第t天到第s天内的故障次数，P{N(s)-N(t)＝j}表示第t天到第s天内故障次数等于j的概率，e表示自然常数；

（2）设设备故障的类型有ftype₁,…,ftype_n种，其中故障的类型为ftype_i的设备共有num_i台，从客服系统的运维报表中获取第k天发生类型为ftype_i的故障发生次数x_i,k；

（3）根据步骤（1）设定的客服系统设备因故障导致的失效过程服从威布尔过程，则因故障ftype_i而导致的失效过程服从威布尔过程W(λ_i,β_i)，求解如下方程组，

${\mathrm{\λ}}_i=\frac{\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}}{\mathrm{nu}{m}_i{r_i}^{{\mathrm{\β}}_i}}$

$\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{x_{i,k}[{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}\ln (k+1)-k^{{\mathrm{\β}}_i}\ln k]}{{(k+1)}^{{\mathrm{\β}}_i}-k^{{\mathrm{\β}}_i}}=\underset{k=0}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{i,k}\ln r_i$

得到参数λ_i,β_i的估计值，其中，r_i表示对设备进行的寿命实验的持续天数；

用N_i(t)表示一台设备在第0天到第t天内发生故障ftype_i的次数，{N_i(t),t≥0}服从威布尔过程W(λ_i,β_i)，则该设备在第t天到第s天内发生故障ftype_i次数的期望值为：

$\mathrm{FNU}{M}_i(t,s)=E\{N_i\left(s\right)-N_i\left(t\right)\}={\mathrm{\λ}}_i(s^{{\mathrm{\β}}_i}-t^{{\mathrm{\β}}_i});$

（4）设所有故障中有m种故障使用备件A进行修复，则备件A在时间[s,t]内的需求量为f(A,t,s)：

$f(A,t,s)=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}m\_\mathrm{num}({\mathrm{ftype}}_{z_g},A)\underset{k=1}{\overset{{\mathrm{num}}_{z_g}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{z_g}\{{(s-a_{z_g,k})}^{{\mathrm{\β}}_{z_g}}-{(t-a_{z_g,k})}^{{\mathrm{\β}}_{z_g}}\}$

其中，

表示m种故障，z_g为故障类型的下标，1≤g≤m，表示发生故障

的设备台数，表示第k台设备投入使用的时间，

表示修复故障

需要的备件A的数量；

（5）当备件库存量达到订货点R时，客服系统发起订货，设在两次到货之间的间隔即供货周期T内，设备的数量num_i保持不变，则订货点R为：

R＝f(A,y₁,y₁+T)，

其中，T表示供货周期，T＝T₁+T₂+T₃+T₄，其中T₁为客服系统流程审批时间，T₂为供应商合同签订时间，T₃为货物运输时间，T₄为报关时间，y₁表示本次订货的订货时间，通过求解方程Q_p＝f(A,y,y₁)+f(A,y₁,y₁+T)＝f(A,y,y₁+T)，得到y₁，其中y为备件A的上一次订货的到货时间，Q_p为上一次订货的订货量；

（6）客服发起订货时的订货量为Q：

$Q=\sqrt{\frac{{2\mathrm{DC}}_2}{C_3}}$

其中，D为设备的年需求量，D＝f(A,y₁,y₁+365)，C₂为客服系统一次订货的业务成本，C₃为客服系统的单位产品年存储成本。

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