CN103412571A - 一种基于反馈线性化技术的航天器相对姿态控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于反馈线性化技术的航天器相对姿态控制方法，首先建立两个航天器的相对姿态动力学模型，然后基于反馈线性化技术进行相对姿态控制器设计。本发明直接采用非线性相对姿态模型进行控制器设计，并采用反馈线性化技术设计相对姿态控制器。在保证模型精度和控制精度的同时，所设计的控制器简便实用，对星载计算机没有特殊要求，特别适用于需要实时解算且计算能力有限的空间任务。

Description

一种基于反馈线性化技术的航天器相对姿态控制方法

技术领域

本发明涉及一种航天器相对姿态控制方法。

背景技术

随着空间技术的发展，航天器姿态控制问题越来越引起国内外众多学者的关注。航天器姿态控制是指航天器在规定或预先确定的参考方向(惯性的或者转动的)上定向的过程。航天器的姿态控制目的是对航天器绕其质心施加力矩，以保持或按需要改变其在空间定向的技术。就卫星而言，其作用是在星箭分离后，控制卫星进行速率阻尼，地球捕获，太阳帆板展开等一系列过程，最终将卫星以一定的精度和稳定度保持在一个期望的姿态上，当卫星由于某种原因偏离期望状态时，卫星姿控系统应能够控制卫星重新恢复到稳定状态。它在卫星的实际运行和控制过程中扮演了十分重要的角色，确保卫星飞行过程中姿态的确定和调整，从而顺利完成既定的飞行任务。

目前从姿态调节问题、姿态跟踪问题到姿态大角度机动问题，都有很多的解决方案产生。传统的航天器姿态控制方法都是基于航天器线性化模型，很多学者都是先将非线性航天器动力学和运动学模型在某个平衡点处采用泰勒展开等数学方法进行线性化处理，转化为线性模型后，然后再用线性系统理论中常用的方法来解决其姿态控制的各种问题。

然而，航天器的姿态控制系统实际上是一个复杂的非线性控制系统，对相对姿态模型进行线性化处理会损失模型精度，进而影响到相对姿态控制的精度。总的来说，对于姿态控制精度要求很高的在轨操作任务而言，当前还未能基于非线性模型提出一种有效简便，易于工程实施的相对姿态控制方法。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种相对姿态控制方法，使服务星的姿态在控制器作用下，最终与目标星姿态趋于一致。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

步骤一、建立两个航天器的相对姿态动力学模型

追踪航天器和目标航天器的姿态动力学方程为：

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_c+{\mathrm{\ω}}_c\×J_c{\mathrm{\ω}}_c=T_{\mathrm{cb}}+T_{\mathrm{cd}}---\left(1\right)$

$J_t{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_t+{\mathrm{\ω}}_t\×J_t{\mathrm{\ω}}_t=T_{\mathrm{td}}---\left(2\right)$

式中，J_c、J_t分别为追踪航天器和目标航天器的转动惯量，ω_c、ω_t分别为追踪航天器本体系和目标航天器本体系相对于惯性系的旋转角速度，T_cd、T_td分别为追踪航天器和目标航天器受到的姿态干扰力矩，T_cb为追踪航天器施加的姿态控制力矩；

使用四元数来描述航天器的姿态运动，则追踪航天器和目标航天器的姿态以及两个航天器的相对姿态q_e可表示为 $q_c={\left[\begin{array}{cc}{q}_{c0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T\end{array}\right]}^T,q_t={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,q_e={\left[\begin{array}{cc}{q}_{e0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_e}^T\end{array}\right]}^T;$ 其中，q_c0，q_t0和q_e0为四元数的标量部分，

和

为四元数的矢量部分；定义

为向量

的反对称矩阵，则两个航天器的相对姿态四元数q_e为

式中，

为q_t的共轭四元数， $q_t^{*}={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& -{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,$ I₃为三阶单位矩阵；

定义

和分别为追踪航天器本体系和目标航天器本体系相对惯性系的转换矩阵，

则目标航天器本体系s_tb到追踪航天器本体系s_cb的转换矩阵

为

$C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}=C_{\mathrm{cb}}^i{\left(C_{\mathrm{tb}}^i\right)}^T---\left(4\right)$

$C_{\mathrm{cb}}^i=(q_{c0}^2-{{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T{\stackrel{\‾}{q}}_c)I_3+2{\stackrel{\‾}{q}}_c{{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T-2q_{c0}S\left({\stackrel{\‾}{q}}_c\right)---\left(5\right)$

$C_{\mathrm{tb}}^i=(q_{t0}^2-{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T{\stackrel{\‾}{q}}_t)I_3+2{\stackrel{\‾}{q}}_t{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T-2q_{t0}S\left({\stackrel{\‾}{q}}_t\right)---\left(6\right)$

其中，I₃为三阶单位矩阵，

为向量 $q_c={\left[\begin{array}{cc}{q}_{c0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T\end{array}\right]}^T,q_t={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,q_e={\left[\begin{array}{cc}{q}_{e0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_e}^T\end{array}\right]}^T;$ 的反对称矩阵；

定义ω_e为追踪航天器相对目标航天器的角速度，则在追踪航天器体坐标系s_cb中可表示为

${\mathrm{\ω}}_e={\mathrm{\ω}}_c-C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t---\left(7\right)$

对进行求导后，两端同左乘矩阵J_c可得

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_c-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_t-J_c{\mathrm{\ω}}_e\×({\mathrm{\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_c)---\left(8\right)$

将(1)，(2)，(7)代入上式，经整理，可以得到

$\begin{array}{c}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e+({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\×J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)-J_c{\mathrm{\ω}}_e\×C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\\ -J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}({\mathrm{\ω}}_t\×J_t{\mathrm{\ω}}_t)=T_{\mathrm{cb}}+T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}\left(T_{\mathrm{td}}\right)\end{array}---\left(9\right)$

将上式展开，则有

$\begin{array}{c}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e-S\left[J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\right]{\mathrm{\ω}}_e+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c{\mathrm{\ω}}_e+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right){\mathrm{\ω}}_e\\ -J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}S\left({\mathrm{\ω}}_t\right)J_t{\mathrm{\ω}}_t+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)=T_{\mathrm{cb}}+(T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}{T}_{\mathrm{td}})\end{array}---\left(10\right)$

将相对姿态动力学方程化为如下级联形式：

${\stackrel{\·}{q}}_e=\frac{1}{2}\mathrm{\Ω}\left(q_e\right)e_{\mathrm{\ω}}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-q_{e1}& -q_{e2}& -q_{e3}\\ q_{e0}& -q_{e3}& q_{e2}\\ q_{e3}& q_{e0}& -q_{e1}\\ -q_{e2}& q_{e1}& q_{e0}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_e---\left(11\right)$

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-C{\mathrm{\ω}}_e-N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+T_c+T_d---\left(12\right)$

上式当中各项的具体表达如下，其中 $\mathrm{\Ω}\left(q_e\right)=\left[\begin{array}{ccc}-q_{e1}& -q_{e2}& -q_{e3}\\ q_{e0}& -q_{e3}& q_{e2}\\ q_{e3}& q_{e0}& -q_{e1}\\ -q_{e2}& q_{e1}& q_{e0}\end{array}\right],$ T_c=T_cb，

$T_d=T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}{T}_{\mathrm{td}},N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)=S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}S\left({\mathrm{\ω}}_t\right)J_t{\mathrm{\ω}}_t,$

$C=-S\left[J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\right]+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right);$ 由于

为反对称矩阵，且 $S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)=-{[S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)]}^T,$ 因此矩阵C为反对称矩阵；

步骤二、控制律U=T_c，设计控制律

其中，e_ω＝ω_e-ω_d，e_q＝q_e-q_d，定义q_d和ω_d分别为理想相对四元数，理想相对角速度，k_p为比例系数，k_d为微分系数，则有

将(13)代入式 $J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-C{\mathrm{\ω}}_e-N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+T_c+T_d,$ 可以得到

本发明的有益效果是：为保证在轨操作任务的安全顺利进行，航天器相对姿态控制精度要求较高。若采用线性化方法将非线性相对姿态模型简化为线性模型再进行控制器设计，则会损失模型精度，进而影响控制精度。本发明直接采用非线性相对姿态模型进行控制器设计，并采用反馈线性化技术设计相对姿态控制器。在保证模型精度和控制精度的同时，所设计的控制器简便实用，对星载计算机没有特殊要求，特别适用于需要实时解算且计算能力有限的空间任务。

附图说明

图1是相对姿态四元数曲线示意图；

图2是追踪航天器本体系下相对姿态角速度曲线示意图；

图3是姿态控制力矩曲线示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。

一种基于反馈线性化技术的航天器相对姿态控制方法，其具体步骤包括：

步骤一、建立两个航天器的相对姿态动力学模型

追踪航天器和目标航天器的姿态动力学方程为：

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_c+{\mathrm{\ω}}_c\×J_c{\mathrm{\ω}}_c=T_{\mathrm{cb}}+T_{\mathrm{cd}}---\left(1\right)$

$J_t{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_t+{\mathrm{\ω}}_t\×J_t{\mathrm{\ω}}_t=T_{\mathrm{td}}---\left(2\right)$

式中，J_c、J_t分别为追踪航天器和目标航天器的转动惯量，ω_c、ω_t分别为追踪航天器本体系和目标航天器本体系相对于惯性系的旋转角速度，T_cd、T_td分别为追踪航天器和目标航天器受到的姿态干扰力矩，T_cb为追踪航天器施加的姿态控制力矩；

使用四元数来描述航天器的姿态运动，则追踪航天器和目标航天器的姿态以及两个航天器的相对姿态q_e可表示为 $q_c={\left[\begin{array}{cc}{q}_{c0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T\end{array}\right]}^T,q_t={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,q_e={\left[\begin{array}{cc}{q}_{e0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_e}^T\end{array}\right]}^T.$ 其中，q_c0，q_t0和q_e0为四元数的标量部分，

和

为四元数的矢量部分；定义

为向量

的反对称矩阵，则两个航天器的相对姿态四元数q_e为

式中，‘о’为四元数乘积运算符号；

为q_t的共轭四元数， $q_t^{*}={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& -{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,$ I₃为三阶单位矩阵。

定义

和

分别为追踪航天器本体系和目标航天器本体系相对惯性系的转换矩阵，由于转换矩阵的对称性，可以得到

则目标航天器本体系s_tb到追踪航天器本体系s_cb的转换矩阵

为

$C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}=C_{\mathrm{cb}}^i{\left(C_{\mathrm{tb}}^i\right)}^T---\left(4\right)$

$C_{\mathrm{cb}}^i=(q_{c0}^2-{{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T{\stackrel{\‾}{q}}_c)I_3+2{\stackrel{\‾}{q}}_c{{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T-{2q}_{c0}S\left({\stackrel{\‾}{q}}_c\right)---\left(5\right)$

$C_{\mathrm{tb}}^i=(q_{t0}^2-{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T{\stackrel{\‾}{q}}_t)I_3+2{\stackrel{\‾}{q}}_t{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T-2q_{t0}S\left({\stackrel{\‾}{q}}_t\right)---\left(6\right)$

其中，I₃为三阶单位矩阵，

为向量的反对称矩阵，以下同。

定义ω_e为追踪航天器相对目标航天器的角速度，则在追踪航天器体坐标系s_cb中可表示为

${\mathrm{\ω}}_e={\mathrm{\ω}}_c-C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t---\left(7\right)$

对

进行求导后，两端同时左乘矩阵J_c可得

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_c-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_t-J_c{\mathrm{\ω}}_e\×({\mathrm{\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_c)---\left(8\right)$

将(1)，(2)，(7)代入上式，经整理，可以得到

$\begin{array}{c}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e+({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\×J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)-J_c{\mathrm{\ω}}_e\×C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\\ -J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}({\mathrm{\ω}}_t\×J_t{\mathrm{\ω}}_t)=T_{\mathrm{cb}}+T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}\left(T_{\mathrm{td}}\right)\end{array}---\left(9\right)$

将上式展开，则有

$\begin{array}{c}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e-S\left[J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\right]{\mathrm{\ω}}_e+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c{\mathrm{\ω}}_e+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right){\mathrm{\ω}}_e\\ -J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}S\left({\mathrm{\ω}}_t\right)J_t{\mathrm{\ω}}_t+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)=T_{\mathrm{cb}}+(T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}{T}_{\mathrm{td}})\end{array}---\left(10\right)$

为描述方便，经推导，将相对姿态动力学方程化为如下级联形式：

${\stackrel{\·}{q}}_e=\frac{1}{2}\mathrm{\Ω}\left(q_e\right)e_{\mathrm{\ω}}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-q_{e1}& -q_{e2}& -q_{e3}\\ q_{e0}& -q_{e3}& q_{e2}\\ q_{e3}& q_{e0}& -q_{e1}\\ -q_{e2}& q_{e1}& q_{e0}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_e---\left(11\right)$

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-C{\mathrm{\ω}}_e-N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+T_c+T_d---\left(12\right)$

上式当中各项的具体表达如下，其中 $\mathrm{\Ω}\left(q_e\right)=\left[\begin{array}{ccc}-q_{e1}& -q_{e2}& -q_{e3}\\ q_{e0}& -q_{e3}& q_{e2}\\ q_{e3}& q_{e0}& -q_{e1}\\ -q_{e2}& q_{e1}& q_{e0}\end{array}\right],$ T_c=T_cb，

$T_d=T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}{T}_{\mathrm{td}},N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)=S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}S\left({\mathrm{\ω}}_t\right)J_t{\mathrm{\ω}}_t,$

$C=-S\left[J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\right]+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right).$ 由于

为反对称矩阵，且

$S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)=-{[S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)]}^T,$ 因此矩阵C为反对称矩阵。

步骤二、基于反馈线性化技术进行相对姿态控制器设计

控制律U=T_c，设计控制律

其中，e_ω＝ω_e-ω_d，e_q＝q_e-q_d。定义q_d和ω_d分别为理想相对四元数，理想相对角速度，k_p为比例系数，k_d为微分系数，则有

将(13)代入式 $J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-C{\mathrm{\ω}}_e-N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+T_c+T_d,$ 可以得到

本发明方法的实例验证：

1）选取参数k_p＝2.3，k_d＝25；

2）相对姿态四元数和相对姿态角速度q_e＝[0.7,0.4,0.1,0.5831]^T，ω_e＝[-0.02 -0.01 0.03]^Trad/s；

3）姿态控制力矩的输出范围为±2.5N·m；

4）服务航天器转动惯量J_c＝diag{417,538,380}kg·m²；

5）仿真时间为300s，积分步长0.1s。

图1是两航天器相对姿态四元数变化曲线，图2是相对姿态角速度曲线示意图。初始时刻两航天器存在姿态偏差且目标航天器以一定角速度旋转，服务航天器在前100s以较大的角速度进行姿态机动，消除偏差并追踪目标航天器的姿态变化；第100s-300s时，服务航天器的姿态以很小角速度进行微调，以使q_e→[1,0,0,0]^T，相对姿态趋于一致同时相对角速度减小到零，表明服务航天器已跟踪上目标航天器的姿态，两航天器的对接口指向精确对准。

图3是姿态控制力矩示意图。前50s时，由于初始时刻相对位置和相对姿态均存在较大偏差，执行机构施加的姿态控制力矩较大。50s-100s时，姿态控制力矩逐渐减小。整个控制过程中，控制量曲线光滑，姿态控制力矩较小且都在执行机构的正常输出范围内。

Claims (1)

1.一种基于反馈线性化技术的航天器相对姿态控制方法，其特征在于包括下述步骤：

步骤一、建立两个航天器的相对姿态动力学模型

追踪航天器和目标航天器的姿态动力学方程为：

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_c+{\mathrm{\ω}}_c\×J_c{\mathrm{\ω}}_c=T_{\mathrm{cb}}+T_{\mathrm{cd}}---\left(1\right)$

$J_t{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_t+{\mathrm{\ω}}_t\×J_t{\mathrm{\ω}}_t=T_{\mathrm{td}}---\left(2\right)$

式中，J_c、J_t分别为追踪航天器和目标航天器的转动惯量，ω_c、ω_t分别为追踪航天器本体系和目标航天器本体系相对于惯性系的旋转角速度，T_cd、T_td分别为追踪航天器和目标航天器受到的姿态干扰力矩，T_cb为追踪航天器施加的姿态控制力矩；

使用四元数来描述航天器的姿态运动，则追踪航天器和目标航天器的姿态以及两个航天器的相对姿态q_e可表示为 $q_c={\left[\begin{array}{cc}{q}_{c0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T\end{array}\right]}^T,q_t={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,q_e={\left[\begin{array}{cc}{q}_{e0}& {{\stackrel{\‾}{q}}_e}^T\end{array}\right]}^T;$ 其中，q_c0，q_t0和q_e0为四元数的标量部分，

和

为四元数的矢量部分；定义

为向量

的反对称矩阵，则两个航天器的相对姿态四元数q_e为

式中，

为q_t的共轭四元数， $q_t^{*}={\left[\begin{array}{cc}{q}_{t0}& -{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T\end{array}\right]}^T,$ I₃为三阶单位矩阵；

定义

和分别为追踪航天器本体系和目标航天器本体系相对惯性系的转换矩阵，

则目标航天器本体系s_tb到追踪航天器本体系s_cb的转换矩阵

为

$C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}=C_{\mathrm{cb}}^i{\left(C_{\mathrm{tb}}^i\right)}^T---\left(4\right)$

$C_{\mathrm{cb}}^i=(q_{c0}^2-{{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T{\stackrel{\‾}{q}}_c)I_3+2{\stackrel{\‾}{q}}_c{{\stackrel{\‾}{q}}_c}^T-2q_{c0}S\left({\stackrel{\‾}{q}}_c\right)---\left(5\right)$

$C_{\mathrm{tb}}^i=(q_{t0}^2-{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T{\stackrel{\‾}{q}}_t)I_3+2{\stackrel{\‾}{q}}_t{{{\stackrel{\‾}{q}}_t}^T-2q}_{t0}S\left({\stackrel{\‾}{q}}_t\right)---\left(6\right)$

其中，I₃为三阶单位矩阵，

为向量的反对称矩阵；

定义ω_e为追踪航天器相对目标航天器的角速度，则在追踪航天器体坐标系s_cb中可表示为

${\mathrm{\ω}}_e={\mathrm{\ω}}_c-C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t---\left(7\right)$

对

进行求导后，两端同左乘矩阵J_c可得

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_c-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_t-J_c{\mathrm{\ω}}_e\×({\mathrm{\ω}}_e-{\mathrm{\ω}}_c)---\left(8\right)$

将(1)，(2)，(7)代入上式，经整理，可以得到

$\begin{array}{c}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e+({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\×J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)-J_c{\mathrm{\ω}}_e\×C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\\ -J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}({\mathrm{\ω}}_t\×J_t{\mathrm{\ω}}_t)=T_{\mathrm{cb}}+T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}\left(T_{\mathrm{td}}\right)\end{array}---\left(9\right)$

将上式展开，则有

$\begin{array}{c}{J}_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e-S\left[J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\right]{\mathrm{\ω}}_e+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c{\mathrm{\ω}}_e+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right){\mathrm{\ω}}_e\\ -J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}S\left({\mathrm{\ω}}_t\right)J_t{\mathrm{\ω}}_t+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)=T_{\mathrm{cb}}+(T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}{T}_{\mathrm{td}})\end{array}---\left(10\right)$

将相对姿态动力学方程化为如下级联形式：

${\stackrel{\·}{q}}_e=\frac{1}{2}\mathrm{\Ω}\left(q_e\right)e_{\mathrm{\ω}}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-q_{e1}& -q_{e2}& -q_{e3}\\ q_{e0}& -q_{e3}& q_{e2}\\ q_{e3}& q_{e0}& -q_{e1}\\ -q_{e2}& q_{e1}& q_{e0}\end{array}\right]{\mathrm{\ω}}_e---\left(11\right)$

$J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-C{\mathrm{\ω}}_e-N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+T_c+T_d---\left(12\right)$

上式当中各项的具体表达如下，其中 $\mathrm{\Ω}\left(q_e\right)=\left[\begin{array}{ccc}-q_{e1}& -q_{e2}& -q_{e3}\\ q_{e0}& -q_{e3}& q_{e2}\\ q_{e3}& q_{e0}& -q_{e1}\\ -q_{e2}& q_{e1}& q_{e0}\end{array}\right],$ T_c=T_cb，

$T_d=T_{\mathrm{cd}}-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}{T}_{\mathrm{td}},N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)=S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)-J_c{C}_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{J_t}^{-1}S\left({\mathrm{\ω}}_t\right)J_t{\mathrm{\ω}}_t,$

$C=-S\left[J_c({\mathrm{\ω}}_e+C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t)\right]+S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right);$ 由于为反对称矩阵，且

$S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)=-{[S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)J_c+J_{c}S\left(C_{\mathrm{cb}}^{\mathrm{tb}}{\mathrm{\ω}}_t\right)]}^T,$ 因此矩阵C为反对称矩阵；

步骤二、控制律U=T_c，设计控制律

其中，e_ω＝ω_e-ω_d，e_q＝q_e-q_d，定义q_d和ω_d分别为理想相对四元数，理想相对角速度，k_p为比例系数，k_d为微分系数，则有将(13)代入式 $J_c{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=-C{\mathrm{\ω}}_e-N\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+T_c+T_d,$ 可以得到

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