CN103411546A - 钢结构三维精度的检验方法 - Google Patents

Abstract

一种钢结构三维精度的检验方法，采用以下步骤：一：在钢结构主要节点上标记测量点，并采集各个节点的三维坐标，以形成测量点集；二：在计算机中调入钢结构的理论模型，得到与测量点相对应的理论点坐标，以形成理论点集；三：选择不在同一平面的任意4个测量点和相对应的4个理论点来计算坐标变换的初始参数；四：运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数；五：根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，并形成新点集；六：分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出钢结构各个点偏差值。本发明能够准确地分析出钢结构各个测量点的三维偏差，方便钢结构的尺寸调整，大大地提高了工作效率。

Description

钢结构三维精度的检验方法

技术领域

本发明涉及钢结构的方法，尤其涉及一种钢结构三维精度的检验方法。

背景技术

目前，传统的反映海洋钢结构尺寸偏差都是基于海洋钢结构长度尺寸的基础上，通过对比理论尺寸与实测尺寸来判断结构是否满足要求。但这种方法存在以下问题：

(1)由于其只能判断简单的结构尺寸误差，对于复杂结构或者立体结构，其很难反映各个测量点的偏差；

(2)通过尺寸反应的误差不利于施工部门进行尺寸调整；

(3)只能反映局部尺寸，不能从整体宏观上分析钢结构误差。

为了准确检测各种形状钢结构重要节点的三维精度，很有必要找到一种钢结构三维精度的检验方法。

发明内容

本发明的主要目的在于克服现有技术存在的上述缺点，而提供一种钢结构三维精度的检验方法，其不仅能够准确地分析出钢结构各个测量点的三维偏差，而且，方便钢结构的尺寸调整，大大地提高了工作效率。

本发明的目的是由以下技术方案实现的：

一种钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：采用以下具体步骤：

第一步：在钢结构周围选择数个转站点，以供全站仪能够测量所有需要测量的节点；在钢结构的主要节点上标记测量点，并用全站仪测量采集各个节点的三维坐标，且在各个节点的三维坐标上进行编号，以形成测量点集(x_i，y_i，z_i)；

第二步：在计算机绘图软件中，调入钢结构的理论模型，并在计算机绘图软件中，得到与测量点相对应的理论点坐标，以形成理论点集(x_0i，y_0i，z_0i)；

第三步：选择不在同一平面的任意4个测量点和与其相对应的4个理论点来计算坐标变换的初始参数；

第四步：运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数；

第五步：根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，并形成新点集(x_i′，y_i′，z_i′)；

第六步：分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出钢结构各个点偏差值。

所述坐标转换的基本原理为：设实测模型首先绕Z轴旋转α角，然后，绕X轴旋转β角，再绕Y轴旋转γ角，最后，平移[p，q，r]到理论位置，通过这样的变换后，实测点集的坐标与理论点集坐标的偏差为：(v_x，v_y，v_z)，假设理论坐标为：(x_0i，y_0i，z_0i)实测坐标为：(x_i，y_i，z_i)，则坐标变换的矩阵形式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}& 0& \sin \mathrm{\γ}\\ 0& 1& 0\\ -\sin \mathrm{\γ}& 0& \cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]$

即：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\α}+\sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\α}+\sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\β}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\\ -\sin \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\α}+\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\α}+\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]$

设cosγ＝a，sinγ＝b，cosβ＝c，sinβ＝d，cosα＝e，sinα＝f形式变化为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]---\left(a\right)$

所述第一步中，当全站仪移动到不同地点进行测量时，所有的测量点都处在同一坐标系中。

所述第三步中，计算坐标变换的初始参数的具体步骤为：

为计算初始值：(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)，省去误差项，将(a)式简化为如下矩阵形式，为计算方便，引入(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)12个临时参数；

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0& -a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0& b_0{c}_0\\ c_0{f}_0& c_0{e}_0& {-d}_0\\ -b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0& b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0& a_0{c}_0\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\\ r_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}G& H& I\\ J& K& L\\ M& N& O\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\end{array}\right]---\left(b\right)$

由上式可知，至少需要4组数据才可以计算12个临时参数(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)，由于是三维空间变换，对4组数据进行选择时，要求4个测量点不能在同一平面内；设此4个点编号分别为(c1，c2，c3，c4)把(b)式做如下变换：

由此，可得下式：

至此，12个临时参数已经计算完毕，根据(b)式可列如下方程组：

计算方程组，可得两组初始值，结果如下：

至此，旋转平移参数的初值(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)已经计算完毕。在以下平差过程中，选择上面两组初始值中的任意一组都可以。

所述第四步中，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的计算步骤如下：

由(a)式可知：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0i}=p+(\mathrm{ae}+\mathrm{bdf})x_i+(-\mathrm{af}+\mathrm{bde})y_i+{\mathrm{bcz}}_i-v_{\mathrm{xi}}\\ y_{0i}=q+{\mathrm{cfx}}_i+{\mathrm{cey}}_i-{\mathrm{dz}}_i-v_{\mathrm{yi}}\\ z_{0i}=r+(-\mathrm{be}+\mathrm{adf})x_i+(\mathrm{bf}+\mathrm{ade})y_i+{\mathrm{acz}}_i-v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.---\left(c\right)$

(c)式的第一个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{xi}}=p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_i+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_i+b_0{c}_0{z}_i-x_{0i}+\hat{p}+(e_0{x}_i-f_0{y}_i)\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+$

$c_0{z}_i)\hat{b}+b_0{z}_i\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_i+b_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(a_0{x}_i+b_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_i-a_0{y}_i)\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₁＝[v_x1 v_x2…v_xn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$l_1=\left\{\begin{array}{c}{x}_{01}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_1-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_1-b_0{c}_0{z}_1\\ x_{02}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_2-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_2-b_0{c}_0{z}_2\\ \·\·\·\·\·\·\\ x_{0n}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_n-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_n-b_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}$

(2)(c)式的第二个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{yi}}=q_0+c_0{f}_0{x}_i+c_0{e}_0{y}_i-d_0{z}_i-y_{0i}+\hat{q}+(f_0{x}_i+e_0{y}_i)\hat{c}-z_i\hat{d}+c_0{y}_i\hat{e}+c_0{x}_i\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₂＝[v_y1 v_y2…v_yn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$B_2=\left\{\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_1+e_0{y}_1& -z_1& c_0{y}_1& c_0{x}_1\\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_2+e_0{y}_2& {-z}_2& c_0{y}_2& c_0{x}_2\\ .& .& .& .& .& .& & & \\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_n+e_0{y}_n& -z_n& c_0{y}_n& c_0{x}_n\end{array}\right\}$

$l_2=\left\{\begin{array}{c}{y}_{01}-q_0-c_0{f}_0{x}_1-c_0{e}_0{y}_1+d_0{z}_1\\ y_{02}-q_0-c_0{f}_0{x}_2-c_0{e}_0{y}_2+d_0{z}_2\\ ......\\ y_{0n}-q_0-c_0{f}_0{x}_n-c_0{e}_0{y}_n+d_0{z}_n\end{array}\right\}$

(3)(c)式的第三个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{zi}}=r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_i+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_i+a_0{c}_0{z}_i-z_{0i}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+c_0{z}_i)\hat{a}$

$+({-e}_0{x}_i+f_0{y}_i)\hat{b}+a_0{z}_i\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_i+a_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(-b_0{x}_i+a_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_i+b_0{y}_i)\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₃＝[v_z1 v_z2…v_zn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$L_3=\left\{\begin{array}{c}{z}_{01}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ z_{02}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ \·\·\·\·\·\·\\ z_{0n}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_n-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_n-a_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}.$

所述第四步中，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的误差形式分为两种：一种是所有点都参与计算的最小二乘法；另一种是：其中一点没有参与计算，其他所有点都参与计算的最小二乘法，即，将其中某点作为参考点，没有偏差，而其他点则在最小二乘的原则下参与计算过程；

两种算法的步骤如下：

①我们所用参数a，b，c，d，e，f，并不是独立的参数，其中有3组约束关系，即：

a²+b²＝1，c²+d²＝1，e²+f²＝1

分别用泰勒公式展开

$\left\{\begin{array}{c}{2a}_0\hat{a}+2b_0\hat{b}+a_0^2+b_0^2-1=0\\ {2c}_0\hat{c}+2d_0\hat{d}+c_0^2+d_0^2-1=0\\ {2e}_0\hat{e}+2f_0\hat{f}+e_0^2+f_0^2-1=0\end{array}\right.$

约束条件的函数模型为

令

$C=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 2a_0& {2b}_0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {2c}_0& {2d}_0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& {2e}_0& {2f}_0\end{array}\right]$

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\end{array}\right]$

②在钢结构误差分析时，有时，需要以某一点作为参考值，那么就要强制要求某个节点的误差为零，也就是说，经过坐标变换后，该节点的实测坐标正好等于理论坐标。设该点编号为C0，则：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0c0}\\ y_{0c0}\\ z_{0c0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_{c0}\\ y_{c0}\\ z_{c0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0c0}=p+(\mathrm{ae}+\mathrm{bdf})x_{c0}+(-\mathrm{af}+\mathrm{bde})y_{c0}+{\mathrm{bcz}}_{c0}\\ y_{0c0}=q+{\mathrm{cfx}}_{c0}+{\mathrm{cey}}_{c0}-{\mathrm{dz}}_{c0}\\ z_{0c0}=r+(-\mathrm{be}+\mathrm{adf})x_{c0}+(\mathrm{bf}+\mathrm{ade})y_{c0}+{\mathrm{acz}}_{c0}\end{array}\right.$

用泰勒公式分别展开：

$\left\{\begin{array}{c}{p}_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}-x_{0c0}+\hat{p}+(e_0{x}_{c0}-f_0{y}_{c0})\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+\\ c_0{z}_{c0})\hat{b}+b_0{z}_{c0}\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_{c0}+b_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(a_0{x}_{c0}+b_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_{c0}-a_0{y}_{c0})\hat{f}=0\\ q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}-y_{0c0}+\hat{q}+(f_0{x}_{c0}+e_0{y}_{c0})\hat{c}-z_{c0}\hat{d}+c_0{y}_{c0}\hat{e}+c_0{x}_{c0}\hat{f}=0\\ r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}-z_{0c0}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+c_0{z}_{c0})\hat{a}+\\ (-e_0{x}_{c0}+f_0{y}_{c0})\hat{b}+a_0{z}_{c0}\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_{c0}+a_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(-b_0{x}_{c0}+a_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_{c0}+b_0{y}_{c0})\hat{f}=0\end{array}\right.$

联立①的三个约束条件，这样就变为6个约束条件了，根据

$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\\ {-x}_{0c0}+p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+({-a}_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}\\ -y_{0c0}+q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}\\ {-z}_{0c0}+r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}\end{array}\right]$

(5)平差基本误差模型为

为使变换后的实测坐标集最逼近理论坐标集，应使

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(v_{\mathrm{xi}}^2+v_{\mathrm{yi}}^2+v_{\mathrm{zi}}^2)=\min$

也就是

$V_1^T{V}_1+V_2^T{V}_2+V_3^T{V}_3=\min$

由于我们所求的9个参数中有3个或者6个约束关系，它们之间并不是独立的参数，故利用带有限制条件的间接平差计算。才能计算出唯一的评差值；

按求条件极值法组成函数： $\mathrm{\φ}=V_1^T{V}_1+V_2^T{V}_2+V_3^T{V}_3+2K_s^T(C\hat{x}+W_x)$ 其中K_s是对应于限制条件方程联系数向量。为求φ的极小值将其对

取偏导数并令其为零，则：

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂\hat{x}}={2V}_1^T\frac{\∂V_1}{\∂\hat{x}}+{2V}_2^T\frac{{\∂V}_2}{\∂\hat{x}}+{2V}_3^T\frac{{\∂V}_3}{\∂\hat{x}}+2K_s^{T}C=2(V_1^T{B}_1+V_2^T{B}_2+V_3^T{B}_2)+2K_s^{T}C=0$

转置后，即得：

$B_1^T{V}_1+B_2^T{V}_2+B_3^T{V}_3+C^T{K}_S=0$

将式 $V_1=B_1\hat{x}-l_1,$ $V_2=B_2\hat{x}-l_2,$ $V_3=B_3\hat{x}-l_3$ 带入上式

$B_1^T{B}_1\hat{x}-B_1^T{l}_1+B_2^T{B}_2\hat{x}-B_2^T{l}_2+B_3^T{B}_3\hat{x}-B_3^T{l}_3+C^T{K}_S=0$

令 $N_{\mathrm{bb}}=B_1^T{B}_1+B_2^T{B}_2+B_3^T{B}_3$ $W=B_1^T{l}_1+B_2^T{l}_2+B_3^T{l}_3$

则： $N_{\mathrm{bb}}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0---\left(e\right)$

联立(d)和(e)两式组成如下法方程

$\left\{\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{bb}}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0\\ C\hat{x}+W_x=0\end{array}\right.$

令： $N_{\mathrm{cc}}={\mathrm{CN}}_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T$

解法方程得：

$\hat{x}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]}^T=(N_{\mathrm{bb}}^{-1}-N_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T{N}_{\mathrm{CC}}^{-1}{\mathrm{CN}}_{\mathrm{bb}}^{-1})W-N_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T{N}_{\mathrm{CC}}^{-1}{W}_x$

最佳参数为修正值与初始参数的和：

$\left\{\begin{array}{c}a=a_0+\hat{a}\\ b=b_0+\hat{b}\\ c=c_0+\hat{c}\\ d=d_0+\hat{d}\\ e=e_0+\hat{e}\\ f=f_0+\hat{f}\\ p=p_0+\hat{p}\\ q=q_0+\hat{q}\\ r=r_0+\hat{r}\end{array}\right.$

(6)将计算的最佳参数继续作为初始参数进行迭代循环，循环3次即可得到最佳参数。

所述第五步中，根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移所采用的计算公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\′}\\ y_i^{\′}\\ z_i^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

所述第六步中，分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标所采用的计算公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{ri}}\\ y_{\mathrm{ri}}\\ z_{\mathrm{ri}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\′}\\ y_i^{\′}\\ z_i^{\′}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{oi}}\\ y_{\mathrm{oi}}\\ z_{\mathrm{oi}}\end{array}\right]$

本发明的有益效果：本发明由于采用上述技术方案，其不仅能够准确地分析出钢结构各个测量点的三维偏差，而且，方便钢结构的尺寸调整，大大地提高了工作效率。

附图说明：

图1为本发明钢结构在CAD中的理论模型示意图。

图2为本发明钢结构的实测模型示意图。

图3为本发明钢结构实测点集绕Z轴旋转α角到一新位置示意图。

图4为本发明钢结构实测点集绕X轴旋转β角到一新位置示意图。

图5为本发明为钢结构实测点集绕Y轴旋转γ角到一新位置示意图。

图6为本发明钢结构实测点集平移(p，q，r)后到一新位置示意图。

图7为本发明钢结构实测点集旋转平移后，与理论点集的偏差值误差分析的一种形式示意图。

图8为本发明钢结构实测点集旋转平移后，与理论点集的偏差值误差分析的另一种形式示意图。

具体实施方式

本发明以下具体步骤：

第一步：如图1，图2所示，在钢结构周围选择数个转站点，以供全站仪能够测量所有需要测量的节点；在钢结构的主要节点上标记测量点，并用全站仪测量采集各个节点的三维坐标，且在各个节点的三维坐标上进行编号，以形成测量点集(x_i，y_i，z_i)；

第二步：在计算机绘图软件(AUTOCAD)中，调入钢结构的理论模型，并在计算机绘图软件(CAD)中，得到与测量点相对应的理论点坐标，以形成理论点集(x_0i，y_0i，z_0i)；

第三步：选择不在同一平面的任意4个测量点和与其相对应的4个理论点来计算坐标变换的初始参数：

第四步：运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数；

第五步：如图3-图6所示，根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，并形成新点集(x_i′，y_i′，z_i′)；

第六步：分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出钢结构各个点偏差值；

上述第一至六步的坐标转换的基本原理为：

设实测模型首先绕Z轴旋转α角，然后，绕X轴旋转β角，再绕Y轴旋转γ角，最后，平移[p，q，r]到理论位置，通过这样的变换后，实测点集的坐标与理论点集坐标的偏差为：(v_x，v_y，v_z)，假设理论坐标为：(x_0i，y_0i，z_0i)实测坐标为：(x_i，y_i，z_i)，则坐标变换的矩阵形式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}& 0& \sin \mathrm{\γ}\\ 0& 1& 0\\ -\sin \mathrm{\γ}& 0& \cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]$

即：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\α}+\sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\α}+\sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\β}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\\ -\sin \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\α}+\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\α}+\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]$

设cosγ＝a，sinγ＝b，cosβ＝c，sinβ＝d，cosα＝e，sinα＝f形式变化为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]---\left(a\right)$

上述第一步中，在钢结构周围选择若干个转站点，这些转站点的作用是：当全站仪移动到不同地点进行测量时，使所有的测量点都处在同一坐标系中。

上述第三步，选择不在同一平面的任意四个测量点和与其相对应的四个理论点来计算坐标变换的初始参数的具体步骤为：

为计算初始值：(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)，需变换(a)式，省去误差项，将其简化为如下矩阵形式，为计算方便，引入(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)12个临时参数。

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0& -a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0& b_0{c}_0\\ c_0{f}_0& c_0{e}_0& {-d}_0\\ -b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0& b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0& a_0{c}_0\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\\ r_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}G& H& I\\ J& K& L\\ M& N& O\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\end{array}\right]---\left(b\right)$

由上式可知，至少需要4组数据才可以计算12个临时参数(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)，由于是三维空间变换，对4组数据进行选择时，要求4个测量点不能在同一平面内；设此4个点的编号分别为(c1，c2，c3，c4)把(b)式做如下变换：

由此，可得下式：

至此，12个临时参数已经计算完毕，根据(b)式可列如下方程组：

计算方程组，可得两组初始值，结果如下：

至此，旋转平移参数的初值(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)已经计算完毕。在以下平差过程中，选择上面两组初始值中的任意一组都可以。

上述第四步，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的计算步骤如下：

(1)由(a)式可知：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0i}=p+(\mathrm{ae}+\mathrm{bdf})x_i+(-\mathrm{af}+\mathrm{bde})y_i+{\mathrm{bcz}}_i-v_{\mathrm{xi}}\\ y_{0i}=q+{\mathrm{cfx}}_i+{\mathrm{cey}}_i-{\mathrm{dz}}_i-v_{\mathrm{yi}}\\ z_{0i}=r+(-\mathrm{be}+\mathrm{adf})x_i+(\mathrm{bf}+\mathrm{ade})y_i+{\mathrm{acz}}_i-v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.---\left(c\right)$

(c)式的第一个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{xi}}=p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_i+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_i+b_0{c}_0{z}_i-x_{0i}+\hat{p}+(e_0{x}_i-f_0{y}_i)\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+$

$c_0{z}_i)\hat{b}+b_0{z}_i\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_i+b_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(a_0{x}_i+b_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_i-a_0{y}_i)\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₁＝[v_x1 v_x2…v_xn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$l_1=\left\{\begin{array}{c}{x}_{01}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_1-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_1-b_0{c}_0{z}_1\\ x_{02}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_2-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_2-b_0{c}_0{z}_2\\ \·\·\·\·\·\·\\ x_{0n}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_n-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_n-b_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}$

(2)(c)式的第二个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{yi}}=q_0+c_0{f}_0{x}_i+c_0{e}_0{y}_i-d_0{z}_i-y_{0i}+\hat{q}+(f_0{x}_i+e_0{y}_i)\hat{c}-z_i\hat{d}+c_0{y}_i\hat{e}+c_0{x}_i\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₂＝[v_y1 v_y2…v_yn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$B_2=\left\{\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_1+e_0{y}_1& -z_1& c_0{y}_1& c_0{x}_1\\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_2+e_0{y}_2& {-z}_2& c_0{y}_2& c_0{x}_2\\ .& .& .& .& .& .& & & \\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_n+e_0{y}_n& -z_n& c_0{y}_n& c_0{x}_n\end{array}\right\}$

$l_2=\left\{\begin{array}{c}{y}_{01}-q_0-c_0{f}_0{x}_1-c_0{e}_0{y}_1+d_0{z}_1\\ y_{02}-q_0-c_0{f}_0{x}_2-c_0{e}_0{y}_2+d_0{z}_2\\ ......\\ y_{0n}-q_0-c_0{f}_0{x}_n-c_0{e}_0{y}_n+d_0{z}_n\end{array}\right\}$

(3)(c)式的第三个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{zi}}=r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_i+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_i+a_0{c}_0{z}_i-z_{0i}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+c_0{z}_i)\hat{a}$

$+({-e}_0{x}_i+f_0{y}_i)\hat{b}+a_0{z}_i\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_i+a_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(-b_0{x}_i+a_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_i+b_0{y}_i)\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₃＝[v_z1 v_z2…v_zn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$L_3=\left\{\begin{array}{c}{z}_{01}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ z_{02}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ \·\·\·\·\·\·\\ z_{0n}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_n-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_n-a_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}.$

(4)如图7-图8所示，根据实际工作需要，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的误差形式分为两种：

一种是所有点都参与计算的最小二乘法，；另一种是：其中一点没有参与计算，其他所有点都参与计算的最小二乘法，即，将其中某点作为参考点，没有坐标偏差，而其他点则在最小二乘的原则下参与计算过程。下面分别讨论两种算法：

①我们所用参数a，b，c，d，e，f，并不是独立的参数，其中有3组约束关系，即：

a²+b²＝1，c²+d²＝1，e²+f²＝1

分别用泰勒公式展开

$\left\{\begin{array}{c}{2a}_0\hat{a}+2b_0\hat{b}+a_0^2+b_0^2-1=0\\ {2c}_0\hat{c}+2d_0\hat{d}+c_0^2+d_0^2-1=0\\ {2e}_0\hat{e}+2f_0\hat{f}+e_0^2+f_0^2-1=0\end{array}\right.$

约束条件的函数模型为

令

$C=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 2a_0& {2b}_0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {2c}_0& {2d}_0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& {2e}_0& {2f}_0\end{array}\right]$

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\end{array}\right]$

②在钢结构误差分析时，有时，需要以某一点作为参考值，那么就要强制要求某个节点的误差为零，也就是说，经过坐标变换后，该节点的实测坐标正好等于理论坐标。设该点编号为C0，则：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0c0}\\ y_{0c0}\\ z_{0c0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_{c0}\\ y_{c0}\\ z_{c0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0c0}=p+(\mathrm{ae}+\mathrm{bdf})x_{c0}+(-\mathrm{af}+\mathrm{bde})y_{c0}+{\mathrm{bcz}}_{c0}\\ y_{0c0}=q+{\mathrm{cfx}}_{c0}+{\mathrm{cey}}_{c0}-{\mathrm{dz}}_{c0}\\ z_{0c0}=r+(-\mathrm{be}+\mathrm{adf})x_{c0}+(\mathrm{bf}+\mathrm{ade})y_{c0}+{\mathrm{acz}}_{c0}\end{array}\right.$

用泰勒公式分别展开：

$\left\{\begin{array}{c}{p}_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}-x_{0c0}+\hat{p}+(e_0{x}_{c0}-f_0{y}_{c0})\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+\\ c_0{z}_{c0})\hat{b}+b_0{z}_{c0}\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_{c0}+b_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(a_0{x}_{c0}+b_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_{c0}-a_0{y}_{c0})\hat{f}=0\\ q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}-y_{0c0}+\hat{q}+(f_0{x}_{c0}+e_0{y}_{c0})\hat{c}-z_{c0}\hat{d}+c_0{y}_{c0}\hat{e}+c_0{x}_{c0}\hat{f}=0\\ r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}-z_{0c0}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+c_0{z}_{c0})\hat{a}+\\ (-e_0{x}_{c0}+f_0{y}_{c0})\hat{b}+a_0{z}_{c0}\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_{c0}+a_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(-b_0{x}_{c0}+a_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_{c0}+b_0{y}_{c0})\hat{f}=0\end{array}\right.$

联立①的三个约束条件，这样就变为6个约束条件了，根据

$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\\ {-x}_{0c0}+p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+({-a}_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}\\ -y_{0c0}+q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}\\ {-z}_{0c0}+r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}\end{array}\right]$

(5)平差基本误差模型为

为使变换后的实测坐标集最逼近理论坐标集，应使

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(v_{\mathrm{xi}}^2+v_{\mathrm{yi}}^2+v_{\mathrm{zi}}^2)=\min$

也就是

$V_1^T{V}_1+V_2^T{V}_2+V_3^T{V}_3=\min$

由于我们所求的9个参数中有3个或者6个约束关系，它们之间并不是独立的参数，故利用带有限制条件的间接平差计算。才能计算出唯一的平差值。

按求条件极值法组成函数： $\mathrm{\φ}=V_1^T{V}_1+V_2^T{V}_2+V_3^T{V}_3+2K_s^T(C\hat{x}+W_x)$ 其中K_s是对应于限制条件方程联系数向量。为求φ的极小值将其对

取偏导数并令其为零，则：

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂\hat{x}}={2V}_1^T\frac{\∂V_1}{\∂\hat{x}}+{2V}_2^T\frac{{\∂V}_2}{\∂\hat{x}}+{2V}_3^T\frac{{\∂V}_3}{\∂\hat{x}}+2K_s^{T}C=2(V_1^T{B}_1+V_2^T{B}_2+V_3^T{B}_2)+2K_s^{T}C=0$

转置后，即得：

$B_1^T{V}_1+B_2^T{V}_2+B_3^T{V}_3+C^T{K}_S=0$

将式 $V_1=B_1\hat{x}-l_1,$ $V_2=B_2\hat{x}-l_2,$ $V_3=B_3\hat{x}-l_3$ 带入上式

$B_1^T{B}_1\hat{x}-B_1^T{l}_1+B_2^T{B}_2\hat{x}-B_2^T{l}_2+B_3^T{B}_3\hat{x}-B_3^T{l}_3+C^T{K}_S=0$

令 $N_{\mathrm{bb}}=B_1^T{B}_1+B_2^T{B}_2+B_3^T{B}_3$ $W=B_1^T{l}_1+B_2^T{l}_2+B_3^T{l}_3$

则： $N_{\mathrm{bb}}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0---\left(e\right)$

联立(d)和(e)两式组成如下法方程

$\left\{\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{bb}}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0\\ C\hat{x}+W_x=0\end{array}\right.$

令： $N_{\mathrm{cc}}={\mathrm{CN}}_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T$

解法方程得：

$\hat{x}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]}^T=(N_{\mathrm{bb}}^{-1}-N_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T{N}_{\mathrm{CC}}^{-1}{\mathrm{CN}}_{\mathrm{bb}}^{-1})W-N_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T{N}_{\mathrm{CC}}^{-1}{W}_x$

最佳参数为修正值与初始参数的和：

$\left\{\begin{array}{c}a=a_0+\hat{a}\\ b=b_0+\hat{b}\\ c=c_0+\hat{c}\\ d=d_0+\hat{d}\\ e=e_0+\hat{e}\\ f=f_0+\hat{f}\\ p=p_0+\hat{p}\\ q=q_0+\hat{q}\\ r=r_0+\hat{r}\end{array}\right.$

(6)将计算的最佳参数继续作为初始参数进行迭代循环，循环3次即可得到最佳参数；

上述第五步，根据最佳参数，对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，形成新点集(x_i′，y_i′，z_i′)。其采用的计算公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\′}\\ y_i^{\′}\\ z_i^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

上述第六步，分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出各个点偏差值(x_ri，y_ri，z_ri)，其采用的计算公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{ri}}\\ y_{\mathrm{ri}}\\ z_{\mathrm{ri}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\′}\\ y_i^{\′}\\ z_i^{\′}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{oi}}\\ y_{\mathrm{oi}}\\ z_{\mathrm{oi}}\end{array}\right]$

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (8)

1.一种钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：采用以下具体步骤：

第一步：在钢结构周围选择数个转站点，以供全站仪能够测量所有需要测量的节点；在钢结构的主要节点上标记测量点，并用全站仪测量采集各个节点的三维坐标，且在各个节点的三维坐标上进行编号，以形成测量点集(x_i，y_i，z_i)；

第二步：在计算机绘图软件中，调入钢结构的理论模型，并在计算机绘图软件中，得到与测量点相对应的理论点坐标，以形成理论点集(x_0i，y_0i，z_0i)；

第三步：选择不在同一平面的任意4个测量点和与其相对应的4个理论点来计算坐标变换的初始参数；

第四步：运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数；

第五步：根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移计算，使实测点集转换到理论点集附近，并形成新点集(x_i′，y_i′，z_i′)；

第六步：分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标，得出钢结构各个点偏差值。

2.根据权利要求1所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述坐标转换的基本原理为：设实测模型首先绕Z轴旋转α角，然后，绕X轴旋转β角，再绕Y轴旋转γ角，最后，平移[p，q，r]到理论位置，通过这样的变换后，实测点集的坐标与理论点集坐标的偏差为：(vx_，v_y，v_z)，假设理论坐标为：(x_0i，y_0i，z_0i)实测坐标为：(x_i，y_i，z_i)，则坐标变换的矩阵形式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}& 0& \sin \mathrm{\γ}\\ 0& 1& 0\\ -\sin \mathrm{\γ}& 0& \cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]$

即：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\α}+\sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& -\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\α}+\sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\β}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\β}\\ -\sin \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\α}+\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\α}+\cos \mathrm{\γ}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\γ}\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]$

设cosγ＝a，sinγ＝b，cosβ＝c，sinβ＝d，cosα＝e，sinα＝f形式变化为：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{v}_{\mathrm{xi}}\\ v_{\mathrm{yi}}\\ v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right]---\left(a\right).$

3.根据权利要求1所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述第一步中，当全站仪移动到不同地点进行测量时，所有的测量点都处在同一坐标系中。

4.根据权利要求1或2所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述第三步中，计算坐标变换的初始参数的具体步骤为：

为计算初始值：(a₀，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)，省去误差项，将(a)式简化为如下矩阵形式，为计算方便，引入(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)12个临时参数；

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0i}\\ y_{0i}\\ z_{0i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0& -a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0& b_0{c}_0\\ c_0{f}_0& c_0{e}_0& {-d}_0\\ -b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0& b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0& a_0{c}_0\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{p}_0\\ q_0\\ r_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}G& H& I\\ J& K& L\\ M& N& O\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\end{array}\right]---\left(b\right)$

由上式可知，至少需要4组数据才可以计算12个临时参数(G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R)，由于是三维空间变换，对4组数据进行选择时，要求4个测量点不能在同一平面内；设此4个点编号分别为(c1，c2，c3，c4)把(b)式做如下变换：

由此，可得下式：

至此，12个临时参数已经计算完毕，根据(b)式可列如下方程组：

计算方程组，可得两组初始值，结果如下：

至此，旋转平移参数的初值(a0_，b₀，c₀，d₀，e₀，f₀，p₀，q₀，r₀)已经计算完毕。在以下平差过程中，选择上面两组初始值中的任意一组都可以。

5.根据权利要求1所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述第四步中，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的计算步骤如下：

(1)由(a)式可知：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0i}=p+(\mathrm{ae}+\mathrm{bdf})x_i+(-\mathrm{af}+\mathrm{bde})y_i+{\mathrm{bcz}}_i-v_{\mathrm{xi}}\\ y_{0i}=q+{\mathrm{cfx}}_i+{\mathrm{cey}}_i-{\mathrm{dz}}_i-v_{\mathrm{yi}}\\ z_{0i}=r+(-\mathrm{be}+\mathrm{adf})x_i+(\mathrm{bf}+\mathrm{ade})y_i+{\mathrm{acz}}_i-v_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.---\left(c\right)$

(c)式的第一个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{xi}}=p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_i+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_i+b_0{c}_0{z}_i-x_{0i}+\hat{p}+(e_0{x}_i-f_0{y}_i)\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+$

$c_0{z}_i)\hat{b}+b_0{z}_i\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_i+b_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(a_0{x}_i+b_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_i-a_0{y}_i)\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₁＝[v_x1 v_x2…v_xn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$l_1=\left\{\begin{array}{c}{x}_{01}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_1-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_1-b_0{c}_0{z}_1\\ x_{02}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_2-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_2-b_0{c}_0{z}_2\\ \·\·\·\·\·\·\\ x_{0n}-p_0-(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_n-(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_n-b_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}$

(2)(c)式的第二个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{yi}}=q_0+c_0{f}_0{x}_i+c_0{e}_0{y}_i-d_0{z}_i-y_{0i}+\hat{q}+(f_0{x}_i+e_0{y}_i)\hat{c}-z_i\hat{d}+c_0{y}_i\hat{e}+c_0{x}_i\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V₂＝[v_y1 v_y2…v_yn]^T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$B_2=\left\{\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_1+e_0{y}_1& -z_1& c_0{y}_1& c_0{x}_1\\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_2+e_0{y}_2& {-z}_2& c_0{y}_2& c_0{x}_2\\ .& .& .& .& .& .& & & \\ 0& 1& 0& 0& 0& f_0{x}_n+e_0{y}_n& -z_n& c_0{y}_n& c_0{x}_n\end{array}\right\}$

$l_2=\left\{\begin{array}{c}{y}_{01}-q_0-c_0{f}_0{x}_1-c_0{e}_0{y}_1+d_0{z}_1\\ y_{02}-q_0-c_0{f}_0{x}_2-c_0{e}_0{y}_2+d_0{z}_2\\ ......\\ y_{0n}-q_0-c_0{f}_0{x}_n-c_0{e}_0{y}_n+d_0{z}_n\end{array}\right\}$

(3)(c)式的第三个方程用泰勒公式展开得如下误差方程：

$v_{\mathrm{zi}}=r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_i+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_i+a_0{c}_0{z}_i-z_{0i}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_i+d_0{e}_0{y}_i+c_0{z}_i)\hat{a}$

$+({-e}_0{x}_i+f_0{y}_i)\hat{b}+a_0{z}_i\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_i+a_0{e}_0{y}_i)\hat{d}+(-b_0{x}_i+a_0{d}_0{y}_i)\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_i+b_0{y}_i)\hat{f}$

平差方程的矩阵形式函数模型为

令V3＝[vz1 vz2…vzn]T

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$L_3=\left\{\begin{array}{c}{z}_{01}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ z_{02}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_1-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_1-a_0{c}_0{z}_1\\ \·\·\·\·\·\·\\ z_{0n}-r_0-(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_n-(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_n-a_0{c}_0{z}_n\end{array}\right\}.$

6.根据权利要求1或5所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述第四步中，运用带约束条件的最小二乘法计算坐标变换的最佳参数的误差形式分为两种：一种是所有点都参与计算的最小二乘法；另一种是：其中一点没有参与计算，其他所有点都参与计算的最小二乘法，即，将其中某点作为参考点，没有偏差，而其他点则在最小二乘的原则下参与计算过程；

两种算法的步骤如下：

①我们所用参数a，b，c，d，e，f，并不是独立的参数，其中有3组约束关系，即：

a²+b²＝1，c²+d²＝1，e²+f²＝1

分别用泰勒公式展开

$\left\{\begin{array}{c}{2a}_0\hat{a}+2b_0\hat{b}+a_0^2+b_0^2-1=0\\ {2c}_0\hat{c}+2d_0\hat{d}+c_0^2+d_0^2-1=0\\ {2e}_0\hat{e}+2f_0\hat{f}+e_0^2+f_0^2-1=0\end{array}\right.$

约束条件的函数模型为

令

$C=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 2a_0& {2b}_0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {2c}_0& {2d}_0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& {2e}_0& {2f}_0\end{array}\right]$

$\hat{x}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]$

$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\end{array}\right]$

②在钢结构误差分析时，有时，需要以某一点作为参考值，那么就要强制要求某个节点的误差为零，也就是说，经过坐标变换后，该节点的实测坐标正好等于理论坐标。设该点编号为C0，则：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{0c0}\\ y_{0c0}\\ z_{0c0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_{c0}\\ y_{c0}\\ z_{c0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right]$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{0c0}=p+(\mathrm{ae}+\mathrm{bdf})x_{c0}+(-\mathrm{af}+\mathrm{bde})y_{c0}+{\mathrm{bcz}}_{c0}\\ y_{0c0}=q+{\mathrm{cfx}}_{c0}+{\mathrm{cey}}_{c0}-{\mathrm{dz}}_{c0}\\ z_{0c0}=r+(-\mathrm{be}+\mathrm{adf})x_{c0}+(\mathrm{bf}+\mathrm{ade})y_{c0}+{\mathrm{acz}}_{c0}\end{array}\right.$

用泰勒公式分别展开：

$\left\{\begin{array}{c}{p}_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(-a_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}-x_{0c0}+\hat{p}+(e_0{x}_{c0}-f_0{y}_{c0})\hat{a}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+\\ c_0{z}_{c0})\hat{b}+b_0{z}_{c0}\hat{c}+(b_0{f}_0{x}_{c0}+b_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(a_0{x}_{c0}+b_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(b_0{d}_0{x}_{c0}-a_0{y}_{c0})\hat{f}=0\\ q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}-y_{0c0}+\hat{q}+(f_0{x}_{c0}+e_0{y}_{c0})\hat{c}-z_{c0}\hat{d}+c_0{y}_{c0}\hat{e}+c_0{x}_{c0}\hat{f}=0\\ r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}-z_{0c0}+\hat{r}+(d_0{f}_0{x}_{c0}+d_0{e}_0{y}_{c0}+c_0{z}_{c0})\hat{a}+\\ (-e_0{x}_{c0}+f_0{y}_{c0})\hat{b}+a_0{z}_{c0}\hat{c}+(a_0{f}_0{x}_{c0}+a_0{e}_0{y}_{c0})\hat{d}+(-b_0{x}_{c0}+a_0{d}_0{y}_{c0})\hat{e}+(a_0{d}_0{x}_{c0}+b_0{y}_{c0})\hat{f}=0\end{array}\right.$

联立④的三个约束条件，这样就变为6个约束条件了，根据

$W_x=\left[\begin{array}{c}{a}_0^2+b_0^2-1\\ c_0^2+d_0^2-1\\ e_0^2+f_0^2-1\\ {-x}_{0c0}+p_0+(a_0{e}_0+b_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+({-a}_0{f}_0+b_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+b_0{c}_0{z}_{c0}\\ -y_{0c0}+q_0+c_0{f}_0{x}_{c0}+c_0{e}_0{y}_{c0}-d_0{z}_{c0}\\ {-z}_{0c0}+r_0+(-b_0{e}_0+a_0{d}_0{f}_0)x_{c0}+(b_0{f}_0+a_0{d}_0{e}_0)y_{c0}+a_0{c}_0{z}_{c0}\end{array}\right]$

上述平差基本误差模型为

为使变换后的实测坐标集最逼近理论坐标集，应使

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(v_{\mathrm{xi}}^2+v_{\mathrm{yi}}^2+v_{\mathrm{zi}}^2)=\min$

也就是

$V_1^T{V}_1+V_2^T{V}_2+V_3^T{V}_3=\min$

由于我们所求的9个参数中有3个或者6个约束关系，它们之间并不是独立的参数，故利用带有限制条件的间接平差计算。才能计算出唯一的评差值；

按求条件极值法组成函数： $\mathrm{\φ}=V_1^T{V}_1+V_2^T{V}_2+V_3^T{V}_3+2K_s^T(C\hat{x}+W_x)$ 其中K_s是对应于限制条件方程联系数向量。为求φ的极小值将其对

取偏导数并令其为零，则：

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂\hat{x}}={2V}_1^T\frac{\∂V_1}{\∂\hat{x}}+{2V}_2^T\frac{{\∂V}_2}{\∂\hat{x}}+{2V}_3^T\frac{{\∂V}_3}{\∂\hat{x}}+2K_s^{T}C=2(V_1^T{B}_1+V_2^T{B}_2+V_3^T{B}_2)+2K_s^{T}C=0$

转置后，即得：

$B_1^T{V}_1+B_2^T{V}_2+B_3^T{V}_3+C^T{K}_S=0$

将式 $V_1=B_1\hat{x}-l_1,$ $V_2=B_2\hat{x}-l_2,$ $V_3=B_3\hat{x}-l_3$ 带入上式

$B_1^T{B}_1\hat{x}-B_1^T{l}_1+B_2^T{B}_2\hat{x}-B_2^T{l}_2+B_3^T{B}_3\hat{x}-B_3^T{l}_3+C^T{K}_S=0$

令 $N_{\mathrm{bb}}=B_1^T{B}_1+B_2^T{B}_2+B_3^T{B}_3$ $W=B_1^T{l}_1+B_2^T{l}_2+B_3^T{l}_3$

则： $N_{\mathrm{bb}}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0---\left(e\right)$

联立(d)和(e)两式组成如下法方程

$\left\{\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{bb}}\hat{x}+C^T{K}_s-W=0\\ C\hat{x}+W_x=0\end{array}\right.$

令： $N_{\mathrm{cc}}={\mathrm{CN}}_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T$

解法方程得：

$\hat{x}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\hat{p}& \hat{q}& \hat{r}& \hat{a}& \hat{b}& \hat{c}& \hat{d}& \hat{e}& \hat{f}\end{array}\right]}^T=(N_{\mathrm{bb}}^{-1}-N_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T{N}_{\mathrm{CC}}^{-1}{\mathrm{CN}}_{\mathrm{bb}}^{-1})W-N_{\mathrm{bb}}^{-1}{C}^T{N}_{\mathrm{CC}}^{-1}{W}_x$

最佳参数为修正值与初始参数的和：

$\left\{\begin{array}{c}a=a_0+\hat{a}\\ b=b_0+\hat{b}\\ c=c_0+\hat{c}\\ d=d_0+\hat{d}\\ e=e_0+\hat{e}\\ f=f_0+\hat{f}\\ p=p_0+\hat{p}\\ q=q_0+\hat{q}\\ r=r_0+\hat{r}\end{array}\right.$

将计算的最佳参数继续作为初始参数进行迭代循环，循环3次即可得到最佳参数。

7.根据权利要求1所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述第五步中，根据最佳参数对实测点集进行三次坐标旋转和一次平移所采用的计算公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\′}\\ y_i^{\′}\\ z_i^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{ae}+\mathrm{bdf}& -\mathrm{af}+\mathrm{bde}& \mathrm{bc}\\ \mathrm{cf}& \mathrm{ce}& -d\\ -\mathrm{be}+\mathrm{adf}& \mathrm{bf}+\mathrm{ade}& \mathrm{ac}\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\\ z_i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right].$

8.根据权利要求1所述的钢结构三维精度的检验方法，其特征在于：所述第六步中，分析对比转换后的实测点集和理论点集坐标所采用的计算公式如下：

$\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{ri}}\\ y_{\mathrm{ri}}\\ z_{\mathrm{ri}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_i^{\′}\\ y_i^{\′}\\ z_i^{\′}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{oi}}\\ y_{\mathrm{oi}}\\ z_{\mathrm{oi}}\end{array}\right].$

Images