CN101498572A - 凸轮二维曲线测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种能够精确测量凸轮二维曲线的凸轮二维曲线测量方法，涉及测绘和检验凸轮二维曲线技术领域。该方法包括将凸轮二维曲线抛物线化；采用等距测量法测量抛物线化后的凸轮二维曲线。采用本发明凸轮二维曲线测量方法的技术方案测量精度高。

Description

凸轮二维曲线测量方法

技术领域

本发明涉及测绘和检验凸轮二维曲线技术领域；尤其适用于烟草机械中如凸轮及二维曲线系列零部件的精密测量及逆向工程，同时也适用于模具制造业、机械制造业等领域中的二维曲线在测量机上的快速测绘、检验及反求工程等。

背景技术

凸轮等二维曲线的检验少部分可用万能工具显微镜，由于要人工测量和记录数据，因此，效率低，数据处理较复杂，由于其量程范围一般为100×200mm，故测量工件小，仅能完成简单的平面凸轮，并且难于做逆向工程；也有部分用专业凸轮测量仪器完成，但一般用于检验加工误差，不做逆向工程，仪器价格也昂贵，对槽形曲线也难于检验。在三坐标测量曲线面的计量检定中，由于测针半径补偿等原因，故凸轮二维曲线的测绘和检验往往也较难。

目前，在一般测量机中，测量凸轮二维曲线系列的测量程序很少，有的如意大利的TFSCAN，但其只给出扫描数据文件，其测量数据为通过数学理论运算做测针半径补偿得来，数据没有规律，针对的也是平面凸轮曲线，并且能使用测针的位置也很少，所以，其应用范围小，用其作反求设计和质量检验带来很多不便。

实际上，现在还没有能够满足任何要求的测量二维曲线软件，因此，用户常常要根据自己测试水平和需要研发这类测量软件。在三坐标测量技术中，可以取消测针半径作二维曲线测量，使测试技术要求可以降低，但要提高数据处理水平或CAD/CAM应用能力才能完成等距曲线生成，一般测试人员很难达到这样的理论水平和应用能力，因为关键的测针半径补偿在测量过程中没有完成；若启动测针半径补偿，其测量理论要求测针沿着所测点的法向矢量趋近测量，否则将产生测量误差。

由上述可知，现有技术很难达到精确地测量凸轮二维曲线。

发明内容

本发明要解决的问题是提供一种能够精确测量凸轮二维曲线的凸轮二维曲线测量方法。

为了解决上述问题，本发明凸轮二维曲线测量方法的技术方案包括：

将凸轮二维曲线抛物线化；

采用等距测量法测量抛物线化后的凸轮二维曲线。

所述步骤将凸轮二维曲线抛物线化进一步包括下述步骤：

1)在每个给定测量方向上设定凸轮二维曲线的测量范围；

2)在每个测量范围内采集n个测量点。

所述步骤采用等距测量法测量抛物线化后的凸轮二维曲线进一步包括下述步骤：

3)在每个测量范围内设变量I从1至n，I初始为1，执行下述操作：

4)判断I是否等于N，若相等则结束；

5)关闭测针半径补偿，以第I测量点为目标点，通过测量机测量第I测量点、第I+1测量点和第I+2测量点的实际坐标值；

6)根据第I测量点和第I+2测量点的实际坐标值，计算第I测量点和第I+2测量点的连线向量；

7)计算出与所述连线向量垂直的法线矢量的单位向量；

8)打开测针半径补偿，以所述第I+1测量点为目标点并以所述法线矢量为补偿矢量，所述测量机的测针沿所述法线矢量测量以获得轮廓上第I测量点的精确坐标值；

9)将I+1的值赋给I，执行步骤3)。

所述步骤在每个给定测量方向上设定凸轮二维曲线的测量范围进一步包括步骤：

11)沿矢量V1(1，0，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

12)沿矢量V2(-1，0，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

13)沿矢量V3(0，1，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

14)沿矢量V4(0，-1，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围。

与现有技术相比，本发明凸轮二维曲线测量方法的有益效果为：

首先，由于是先将凸轮二维曲线抛物线化，即将凸轮二维曲线细分为抛物线段，这在理论上是没有误差的，测量精度取决于细分情况，例如，等距值为0.25mm时，在标准球上实验56个测量点，测量平均误差为0.0007mm，标准偏差为0.0010mm，因此，本发明凸轮二维曲线测量方法的测量精度高。

其次，由于本发明凸轮二维曲线测量方法将二维曲线“抛物线”化，用等距测量法完成测量，它启动了测针半径补偿，因此获取了轮廓的数据文件，省弃通过其它方法生成等距曲线，因此利于在CAD/CAM中快速完成逆向工程；由于是轮廓数据文件，也有利于研究该二维曲线的规律；由于测量机测量范围大，空间测针位置多，因此，可以针对大型凸轮二维曲线的测量，能测量工件上很多特殊位置的二维曲线，所以，可以完成其它计量仪器难于完成的二维曲线测量。

然后，由于测量精度高，因此，该方法可以用于二维曲线的计量检定，由于采用了等距离测量法，因此，利于实施快速量化检验或机械加工中的质量控制。

再者，本发明的技术方案还可用于机床、航空航天及汽车行业常使用的凸轮曲轴的测量等等。

附图说明

图1是本发明凸轮二维曲线测量方法的流程图；

图2是图1测量G点产生的测针补偿误差分析的示意图；

图3是拉格朗日中值定理确定抛物线切点的示意图；

图4是采用等距测量法测量曲线的示意图；

图5是采用本发明凸轮二维曲线测量方法所编制的测量程序的标准球实验图；

图6是采用本发明凸轮二维曲线测量方法测量平面槽型凸轮二维曲线的示意图；

图7是用轮廓轨迹文件生成的该凸轮原始曲线图；

图8是用轮廓轨迹文件生成的该凸轮极坐标系原始图；

图9是图1的步骤的进一步分解示意图。

具体实施方式

如图1所示，本发明凸轮二维曲线测量方法包括：

将凸轮二维曲线抛物线化；

采用等距测量法测量已抛物线化的凸轮二维曲线。

如图9所示，所述步骤将凸轮二维曲线抛物线化进一步包括步骤：

1)在给定的测量方向上设定凸轮二维曲线的测量范围；

2)在每个测量范围内采集n个测量点。

如图9所示，所述步骤采用等距测量法测量已抛物线化的凸轮二维曲线下述步骤：

3)在每个测量范围内设变量I从1至n，I初始为1，执行下述操作：

4)判断I是否等于N，若相等则结束；

5)关闭测针半径补偿，以第I测量点为目标点，通过测量机测量第I测量点、第I+1测量点和第I+2测量点的实际坐标值；

6)根据第I测量点和第I+2测量点的实际坐标值，计算第I测量点和第I+2测量点的连线向量；

7)计算出与所述连线向量垂直的法线矢量的单位向量；

8)打开测针半径补偿，以所述第I+1测量点为目标点并以所述法线矢量为补偿矢量，所述测量机的测针沿所述法线矢量测量以获得轮廓上第I测量点的精确坐标值；

9)将I+1的值赋给I，执行步骤3)。

其中，步骤1)可进一步包括步骤：

11)沿矢量V1(1，0，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

12)沿矢量V2(-1，0，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

13)沿矢量V3(0，1，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

14)沿矢量V4(0，-1，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围。

由上述可知，本发明凸轮二维曲线测量方法所应用的原理如下：

测量机测量原理：由于在三坐标测量技术中，精密测量任何几何元素，都必须作测针半径补偿，除非测量机制造商在测量软件上已经完成过，测针必须沿着所测量点的法线无障碍地趋近测量点测量，并在该法线矢量上做测针半径补偿，否则，将产生误差。如图2所示，为测量曲线L上的点G示意图，P为G点切线，N1为G点法线，除沿N1的矢量PV1以外的任何矢量测量G点，如PV2、PV3，都将产生测针半径补偿误差，该误差是系统误差。

数学理论应用：用中值定理确定测量二维曲线切点。如果二维函数曲线y＝f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，则在(a，b)内至少有一点ξ，使得 $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f\′\left(\mathrm{\ξ}\right),$ 这就是拉格朗日中值定理。

二维曲线的抛物线化：设抛物线的通用方程为：y＝px²+qx+r，在抛物线上任意取两点A1和B1，其x坐标分别为a和b，由拉格朗日中值定理得：

$\frac{({\mathrm{pb}}^2+\mathrm{qb}+r)-({\mathrm{pa}}^2+\mathrm{qa}+r)}{b-a}=2\mathrm{p\ξ}+q$

即：

$\mathrm{\ξ}=\frac{b+a}{2}$

其表明在抛物线上任意两点中，有且只有一个取值ξ点，过该点的切线P1平行于线段A1B1，并且，ξ点在x坐标轴方向上点A1和B1的正中间，且ξ点的取值与抛物线属性无关，即与抛物线方程的系数无关，只与a和b的取值有关，该理论在三坐标测量技术中能确定曲线的切点和法线，解决测针半径的空间补偿问题。如图3所示，若抛物线上点A1“无限趋近于”点B1，A1和B1两点之间的抛物线段可以看为任何二维曲线，换句话说，就是二维曲线当A1“无限趋近于”点B1时，A1和B1两点之间的曲线段可以看为抛物线，这个条件就是b-a的大小取值如何，在等距测量法中，就是等距值d的大小如何，对机械制造或对测量机而言，一般1-2mm可以实现二维曲线抛物线化。

用等距测量法实现二维曲线的测量：在二维曲线上任意取两点C1和D1，其在x轴上的坐标差值长度为s值，在s值范围内做K点测量，若C1和D1点计算在内，则其均分的距离为： $d=\frac{s}{K-1},$ 这样，测针球中心产生的K点轨迹的曲线连线，也是二维曲线，并且是所测量二维曲线的等距曲线。如图4所示，XOY截面位置，在X轴上做等距测量，间隔距离设定为d值，关闭测针半径补偿，按方向余弦(0，-1，0)的矢量Vy测量二维曲线上各测量点，计算第j+1和j+3点连线向量的垂直向量Vc1，启动测针半径补偿，以第j+2点为目标点，使用该矢量Vc1作为测量趋近矢量和补偿方向，则可以精确测量二维曲线上的坐标点。

下面为计算向量理论：

非补偿测量时，设第一点的坐标为M₁(x_j+1，y_j+1，z_j+1)，第二点为M₂(x_j+2，y_j+2，z_j+2)，第三点为M₃(x_j+3，y_j+3，z_j+3)，下面计算M₁和M₃的连线向量

$\left\{\begin{array}{c}{a}_x=x_{j+3}-x_{j+1}\\ a_y=y_{j+3}-y_{j+1}\\ a_z=z_{j+3}-z_{j+1}\end{array}\right.$

由两向量的数量积公式： $\stackrel{\→}{a}\·\stackrel{\→}{b}=\left|a\right|\left|b\right|\cos \mathrm{\θ}$ 推导，向量

与向量 ${\stackrel{\→}{V}}_b(b_x,b_y,b_z)$ 垂直的条件应满足：

a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z＝0

由于在YOZ平面内测量，a_x＝0，b_x＝0，a_xb_x＝0。于是得：

a_yb_y+a_zb_z＝0。即

$b_z=-\frac{a_y}{a_z}{b}_y.$

参见图5，空间坐标系中：在YOZ平面内，

和

相互垂直，按上公式，

的向量公式可为：

${\stackrel{\→}{V}}_b(0,b_y,\→\frac{a_y}{a_z}{b}_y),$ 其单位向量为：

${\stackrel{\→}{V}}_b(0,\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{a_y}{a_z}\right)}^2}},-\frac{\frac{a_y}{a_z}}{\sqrt{1+{\left(\frac{a_y}{a_z}\right)}^2}}).$

的方向应遵循“右手规则”。使用向量

为测量方向和补偿方向，以M₂(x_j+2，y_j+2，z_j+2)为测量目标点，启动测针半径补偿，则可测量该点的精确坐标值。

下面分析向量

情况，当a_z→0：即a_z＝a_j+3-a_j+1→0，此时，求极限：

$b_y=\underset{a_z\→0}{\mathrm{limt}}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{a_y}{a_z}\right)}^2}}=0$

$b_z=\underset{a_z\→0}{\mathrm{limt}}-\frac{\frac{a_y}{a_z}}{\sqrt{1+{\left(\frac{a_y}{a_z}\right)}^2}}=-1$

即当a_z→0，向量 ${\stackrel{\→}{V}}_b=(\mathrm{0,0},-1).$ 这时，测针正以向量

测量抛物面顶点，M₁(x_j+1，y_j+1，z_j+1)和M₃(x_j+3，y_j+3，z_j+3)点在理论上处在以坐标z轴为对称轴的两边。当a_z＝0时，上述

公式中分母为0，用此公式将出现的致命错误需要考虑。

如图6所示，是一个平面槽型凸轮曲线的示意图，其二维曲线为N和M，现对二维曲线N进行测量如下：

首先确定曲线N的测量范围，获得N曲线4个测量点三维坐标，该坐标在技术上不需精确，分别为：A(x＝ax，y＝ay，z＝az)、D(x＝dx，y＝dy，z＝dz)、F(x＝fx，y＝fy，z＝fz)及H(x＝hx，y＝hy，z＝hz)，其表达的相应尺寸范围如图6所示。如果用实际测量点表示，例如图6中N曲线的实测坐标点可为：A(x＝-55.16，y＝-199.00，z＝-3.2)，D(x＝-35.32，y＝199.4，z＝-3.25)，F(x＝126.66，y＝210.7，z＝-3.21)及H(x＝122.32，y＝-213.08，z＝-3.15)。

根据测量的x和y坐标值确定测量范围如图6中的尺寸表示，Z坐标值为负表示在端面下的位置测量，测针处于如图6截面位置开始测量曲线，其坐标位置设定为z＝-3。此外，测针是测量机的触发测杆，其联接TP200和测座，用于记录所测量的三维坐标位置。

如果使测针沿矢量V1(1，0，0)及V2(-1，0，0)方向测量N曲线，那么，y坐标值的变化量为等距离，例如等距离变化量为2mm，其y的变化值由采集的第一点坐标位置和等距离变化量确定；同样地，如果使测针沿矢量V3(0，1，0)及V4(0，-1，0)方向测量N曲线，x坐标值的变化量也为等距离。

如图6所示，例如：使用矢量V2(-1，0，0)测量N曲线，由A点到D点，y坐标测量范围为：始点y1＝ay，终点y2＝dy，按上述实测坐标点则为：y1＝-199.00，y2＝199.4；使用矢量V3(0，1，0)测量N曲线，由D点到F点，x坐标测量范围为：x1＝dx，x2＝fx，按上述实测坐标点则为：x1＝-35.32，x2＝126.66；使用矢量V1(1，0，0)矢量测量N曲线，由F点到H点，y坐标测量范围为：y1＝fy，y2＝hy，按上述实测坐标点则为：y1＝210.7，y2＝-213.08；使用矢量V4(0，-1，0)测量N曲线，由H点到A点，x坐标测量范围为：x1＝hx，x2＝ax，按上述实测坐标点则为：x1＝122.32，x2＝-55.16。

对于矢量V2(-1，0，0)的测量方向上测量N曲线，首先确定第一测量点的坐标位置为目标点，即(x＝ax，y＝ay，z＝-3)，按上述实测数据可设定为点(x＝-55.16，y＝-199.00，z＝-3)，关闭测针半径补偿命令，在DEAPPL语言中，命令为“tip_compens off”，然后用测量机自动测量该点坐标后，获得该点实际坐标，它是测针中心的坐标值，例如为：(x＝-55.2126，y＝-199.0067，z＝-2.9995)，由于采用了等距法，y坐标值等距离变化，如设距离d＝2mm，则第二测量点的y坐标值为第一测量点的y坐标值加d值，即，y＝ay+2mm＝-199.0067+2＝-197.0067mm，同样z＝-3mm；对x坐标值设定为：x2＝x1＝-55.2126，x1为上一个实际测量点的x坐标，这只是暂时设定的目标点x坐标，其精确值由测量机确定，实际上它的赋值误差大小不影响测量精度，只要它的实际误差不大于“测量趋近距离”如6mm则可，这样就不会出现碰针而中断运行，可以测量第二测量点，例如实测坐标为：(x＝-57.4365，y＝-197.0088，z＝-2.9998)；用同样的方法测得第三测量点为：(x＝-59.5823，y＝-195.0059，z＝-2.9979)，这三个测量点的坐标都是测针中心坐标，未使用测针半径补偿。

第三测量点测量完毕后，得到了这三个测量点的实际坐标，计算第一测量点(x＝-55.2126，y＝-199.0067，z＝-2.9995)和第三测量点(x＝-59.5823，y＝-195.0059，z＝-2.9979)的连线向量，例如计算为矢量(4.3697，4，0)，并计算出与该向量垂直的法线矢量的单位向量，例如计算为矢量V(-0.6752，0.7376，0)，它正是测量补偿矢量，此时，应用测针半径补偿，在DEAPPL语言中，命令为“tip_compens on”，根据拉格朗日中值定理研究抛物线的结论，确定测量二维曲线切点，则以第二测量点(x＝-57.4365，y＝-197.0088，z＝-2.9998)为目标点，以计算的该法线矢量V(-0.6752，0.7376，0)为补偿矢量，测针沿该法线矢量V测量，则可以实施该N曲线的精密测量，这样就获得了该N曲线上的第一测量点的精确坐标值，例如为：(x＝-58.1241，y＝-197.733，z＝-3.0022)。

然后，重复执行上述步骤计算出第四测量点实际坐标，再计算出第二测量点和第四测量点的连线向量及其法线矢量，以第二测量点为目标点，就获得了该N曲线上的第二测量点的精确坐标值。然后，依此类推，一直测量到y＝dy时完毕，这样就完成了N曲线中由A点到D点的曲线段测量。

将矢量V3(0，1，0)作为测量方向测量N曲线，顺时针方向，由D点到F点，x坐标测量等距离变化范围为：x1＝dx，x2＝fx；将矢量V1(1，0，0)作为测量方向测量N曲线，顺时针方向，由F点到H点，y坐标测量等距离变化范围为：y1＝fy，y2＝hy；将矢量V4(0，-1，0)作为测量方向测量N曲线，顺时针方向，由H点到A点，x坐标等距离变化测量范围为：x1＝hx，x2＝ax。重复执行测量由A点到D点的过程，即可完成N曲线的全部测量。M曲线的测量与其类似。

全部曲线测量完毕，用其数据文件可以在CAD/CAM中快速生成图7，用该图可以完成在CAD/CAM的建模和制造。此外，用其数据文件可以在AutoCAD中生成图8，它采用极坐标系，α表示极角，s表示极半径，用该图可以分析曲线规律等。

测量的准确度分析：

应用中值定理确定抛物曲线上的测量点，应用其法线矢量做补偿测量，在理论上没有误差，选择较小的d值，能用于机械制造中精密的二维曲线扫描。不同的测量机有不同的测量精度和性能，但采用本发明“凸轮二维曲线测量方法”可以在测量机用标准球试验出符合该方法的最佳d值。以下通过标准球实验来验证。

可按六个测量方向(矢量V1(1，0，0)、V2(-1，0，0)、V3(0，1，0，)、V4(0，-1，0)、V5(0，0，-1)和V6(0，0，1))设计6个程序，分别作标准球实验。该标准球参数为直径偏差：约0.00015mm，直径D＝15.87515mm，半径r＝7.93758mm，如图5为球面轮廓扫描示意图。在球上建立测量坐标系，扫描等距值d＝1mm，测量范围为14mm。测量矢量V的方向余弦分别使用：在XOY截面内V1(1，0，0)、V2(-1，0，0)、V3(0，1，0，)及V4(0，-1，0)，在XOZ及YOZ内V5(0，0，-1)。表1为5个测量方向的精度分析：

表1：轮廓截面标准球实验分析结果

由于测量机出厂精度为：1.9+3L/1000μm(L以mm计)，使用已10年，因此，得到这样的扫描精度是很高的。实验表明：由于“圆曲线段”不是“抛物曲线段”，因此，对二维曲线测量，可以将该曲线细分为“抛物曲线段”，即将所测曲线“抛物线”化，虽然在理论上产生误差，但选择“足够小”的d值，该误差能降低到忽略。

应用上述理论，其测量的精度取决于d值的选择，d值较小，测量精度就高。以下通过标准球实验分析d值变化对测量精度的影响。应用V5(0，0，-1)在YOZ内截面内作实验，x＝0，如图5(b)。实验结果如表2，表中除d＝0.02mm时，-7mm<y<-3mm外，其余-7mm<y<-7mm。由于标准球直径小，随d逐步增大，评价点数逐步减少。

表2：不同等距值d的实验分析

实验表明：小的d值有高的测量精度，随d值的变大，测量的不确定度也变大，如d>3mm，测量的误差和标准偏差变大。实际上d的选择根据具体使用确定，因为d值小，虽测量精度高，测量点密集，但测量效率低。一般测量中，0.5mm<d<2mm时，能完成很多二维曲线的精密测量。

不同的测量机有不同的精度和性能，对高精度和高性能的测量机，理论上能得到比表1和表2更好的精度指标。

综上所述，本发明凸轮二维曲线测量方法具有下列优点：

首先，由于是先将凸轮二维曲线抛物线化，即将凸轮二维曲线细分为抛物线段，这在理论上是没有误差的，测量精度取决于细分情况，例如，等距值为0.25mm时，在标准球上实验56个测量点，测量平均误差为0.0007mm，标准偏差为0.0010mm，因此，本发明凸轮二维曲线测量方法的测量精度高。

其次，由于本发明凸轮二维曲线测量方法将二维曲线“抛物线”化，用等距测量法完成测量，它启动了测针半径补偿，因此获取了轮廓的数据文件，省弃通过其它方法生成等距曲线，因此利于在CAD/CAM中快速完成逆向工程；由于是轮廓数据文件，也有利于研究该二维曲线的规律；由于测量机测量范围大，空间测针位置多，因此，可以针对大型凸轮二维曲线的测量，能测量工件上很多特殊位置的二维曲线，所以，可以完成其它计量仪器难于完成的二维曲线测量。

然后，由于测量精度高，因此，该方法可以用于二维曲线的计量检定，由于采用了等距离测量法，因此，利于实施快速量化检验或机械加工中的质量控制。

再者，本发明的技术方案还可用于机床、航空航天及汽车行业常使用的凸轮曲轴的测量等等。

Claims (4)

1、一种凸轮二维曲线测量方法，其特征在于，包括下述步骤：

将凸轮二维曲线抛物线化；

采用等距测量法测量抛物线化后的凸轮二维曲线。

2、如权利要求1所述的凸轮二维曲线测量方法，其特征在于，所述步骤将凸轮二维曲线抛物线化进一步包括下述步骤：

1)在每个给定测量方向上设定凸轮二维曲线的测量范围；

2)在每个测量范围内采集n个测量点。

3、如权利要求2所述的凸轮二维曲线测量方法，其特征在于，所述步骤采用等距测量法测量抛物线化后的凸轮二维曲线进一步包括下述步骤：

3)在每个测量范围内设变量I从1至n，I初始为1，执行下述操作：

4)判断I是否等于N，若相等则结束；

5)关闭测针半径补偿，以第I测量点为目标点，通过测量机测量第I测量点、第I+1测量点和第I+2测量点的实际坐标值；

6)根据第I测量点和第I+2测量点的实际坐标值，计算第I测量点和第I+2测量点的连线向量；

7)计算出与所述连线向量垂直的法线矢量的单位向量；

8)打开测针半径补偿，以所述第I+1测量点为目标点并以所述法线矢量为补偿矢量，所述测量机的测针沿所述法线矢量测量以获得轮廓上第I测量点的精确坐标值；

9)将I+1的值赋给I，执行步骤3)。

4、如权利要求1至3所述的任一种凸轮二维曲线测量方法，其特征在于，所述步骤在每个给定测量方向上设定凸轮二维曲线的测量范围进一步包括步骤：

11)沿矢量V1(1，0，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

12)沿矢量V2(-1，0，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

13)沿矢量V3(0，1，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围；

14)沿矢量V4(0，-1，0)为测量方向确定凸轮二维曲线的测量范围。

Images