CN103399992B - 一种基于可靠寿命的结构耐久性优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种以可靠寿命为目标/约束的结构耐久性优化设计方法，通过优化设计，能够确定结构可靠寿命最长或满足耐久性要求的最佳设计方案。该方法主要包括5个步骤：确定目标函数、约束函数、设计变量、随机变量，构建结构耐久性优化设计数学模型；利用功能度量法计算可靠寿命；基于可靠寿命灵敏度筛选设计变量；利用序列近似规划法将可靠寿命目标/约束函数等效转换为确定性函数；利用混合循环功能度量法求解结构耐久性优化模型。

Description

一种基于可靠寿命的结构耐久性优化设计方法

技术领域

本发明提供一种以结构可靠寿命为目标/约束进行结构优化设计的方法，属于结构耐久性、可靠性设计领域。

背景技术

飞机、车辆、机床、建筑等结构设计时均有耐久性要求，如国外飞机起落架要求8万次起落，从节能减排等方面要求机械产品的重量、体积大幅减小，成本降低，而性能、耐久性等要求却在不断提高，如何在满足性能要求、降低重量体积的前提下，保证甚至提高产品耐久性，已成为产品设计的关键。工程实际中存在的各种不确定因素，如载荷、材料属性、结构尺寸、环境和工况等，其随机波动往往会导致产品的寿命离散性较大。对于同一批机械产品，寿命可能相差数倍，甚至数十倍，因此结构耐久性设计时应以可靠寿命为主参数。现有的结构耐久性优化设计主要侧重于结构常规寿命(即确定性寿命、中值寿命)或基于可靠度分析的结构优化，未实现以可靠寿命作为目标或约束的结构优化，不能在优化过程中直接给出结构的可靠寿命。

若结构的寿命用函数N(x，d)表示，x为随机变量向量，d为设计变量向量；给定可靠度R时，可靠寿命N_R满足P{N(x，d)≥N_R}＝R，P{·}为概率函数。由此，可靠寿命函数表示为N_R(x，d)。

以可靠寿命最大化为目标，体积、重量、性能、费用等为约束的结构耐久性优化模型的一般形式为

$\left\{\begin{array}{cc}\max & N_R(x,d)\\ s.t.& \begin{array}{c}{h}_j\left(d\right)\≤0,(j=1,\mathrm{...},N_h)\\ d_k^l\≤d_k\≤d_k^u,(k=1,\mathrm{...},N_d)\end{array}\end{array}\right.$

以体积、重量、费用等最小化为目标，可靠寿命、性能等为约束的结构耐久性优化模型的一般形式为

$\left\{\begin{array}{cc}\min & f\left(d\right)\\ s.t.& \begin{array}{c}{N}_R(x,d)\≥N_g\\ d_j\left(d\right)\≤0,(j=1,\mathrm{...},N_h)\\ d_k^l\≤d_k\≤d_k^u,(k=1,\mathrm{...},N_d)\end{array}\end{array}\right.$

以上两个模型中均含有可靠寿命函数N(x，d)，目前可靠寿命的求解主要有抽样法、插值法，计算量均比较大，而且不容易等效转换成确定性函数，使得耐久性优化问题的求解较为困难。本发明考虑设计变量为确定性量、随机变量，利用功能度量法和优化算法，提供一种以可靠寿命为目标/约束的结构优化设计方法，可用于结构耐久性设计。

发明内容

本发明的目的是提供一种在结构设计阶段进行耐久性优化设计的方法，通过优化设计，能够确定结构可靠寿命最长或满足耐久性要求的最佳设计方案，主要包括5个步骤：

1、确定目标函数、约束函数、设计变量、随机变量，构建结构耐久性优化设计数学模型；以结构可靠寿命为目标或约束建立结构耐久性优化模型。该模型考虑因素的随机性，以可靠寿命作为结构耐久性参数，通过优化设计，能够确定结构可靠寿命最长或满足耐久性要求的最佳设计方案；

2、利用功能度量法计算结构可靠寿命，先将寿命函数N(x，d)变换到标准正态空间的函数Nu(u，d)，u为各随机变量变换到标准正态空间组成的向量。根据功能度量法的原理，令R＝φ(β)，可靠寿命N_R即为给定概率下寿命函数的度量值，N_R的计算转换为满足给定可靠度值的最小寿命点的数学优化问题求解，即

$\begin{array}{cc}\min & Nu(u,d)\\ s.t.& \left|\right|u\left|\right|=\mathrm{\β}\end{array};$

3、基于可靠寿命灵敏度筛选设计变量，确定影响可靠寿命的关键设计变量，可以在一定程度上简化结构耐久性优化模型，提高优化设计的效率和收敛性。本发明提供了可靠寿命对确定性设计变量、随机变量均值的灵敏度计算方法，通过可靠寿命灵敏度值大小筛选设计变量；

4、利用序列近似规划法将可靠寿命目标/约束函数等效转换为确定性函数，在耐久性优化迭代过程中，利用线性近似展开，将可靠寿命函数在优化迭代点dk-1展开为设计变量的线性函数，即

$Nu(u,d)\≈Nu\left(d^{k-1}\right)+{\▿}_{d}Nu{\left(d^{k-1}\right)}^T(d-d^{k-1})$

式中，Nu(d^k-1)、分别为寿命函数及其梯度在点d^k-1的值。

5、利用混合循环功能度量法求解结构耐久性优化模型。充分利用单循环方法的高效率和双循环方法的高精度，提出了混合循环功能度量法，基本思路为：先采用单循环功能度量法，随着优化迭代，离收敛条件较近时，改为双循环功能度量法。混合循环功能度量法保证了优化结果的精度，并提高了计算效率。

本发明的特点是：能够考虑因素的随机性，在优化过程中直接给出结构的可靠寿命，方法可行，具有较强的实用价值。

附图说明

图1是本发明的流程图

图2是混合循环功能度量法求解耐久性优化的流程

图3是应用实例简支梁结构示意图

图4是混合循环度量法求解以可靠寿命为目标的优化过程示意图

具体实施方式

本发明的流程图如图1所示，包括以下步骤：

1确定目标函数、约束函数、设计变量、随机变量，构建结构耐久性优化设计数学模型。

针对工程问题，应用相关的各学科方法，依次确定优化设计模型的目标、约束、变量三要素。

(1)目标函数。以结构可靠寿命为目标，可靠寿命需要调用仿真工具计算应力、应变等量，然后再利用寿命模型计算；或者是为性能、费用、重量、体积等的计算函数。

(2)随机变量。随机变量是造成产品寿命随机波动的主要原因，如机械产品承受的力矩、转速、压力等，在可靠寿命分析和优化过程中要重点考虑其对可靠寿命的影响。

(3)设计变量。设计变量是设计中可调整的参数，如箱体的结构尺寸，或者随机变量的统计参数，如均值、标准差等。设计变量在可靠性分析过程中作为确定量考虑，在优化过程中则根据优化目标对设计变量进行优化。设计变量一般有上限、下限要求。

(4)常规约束。常规约束不包含随机变量，可以是设计变量的上下限，或设计变量的函数。

(5)可靠寿命约束。与可靠寿命目标相似，利用结构耐久性分析方法和仿真工具共同构建约束函数，增加寿命指标的界限。

有一些情况，目标函数或约束函数无法直接用数学表达式给出，例如复杂结构可靠寿命分析时，需要使用有限元软件计算结构应力应变，然后再利用高周疲劳、低周疲劳、断裂力学、损伤力学方法计算寿命；其中使用有限元软件计算结构应力应变无法给出具体数学式，工程中往往用响应面模型、Kriging模型等代理模型，以表示结构应力应变与设计变量、随机变量之间的关系，这时需要利用参数化仿真、试验设计、响应面模型拟合等方法。

2功能度量法计算可靠寿命。

根据可靠寿命N_R的条件，可靠度以寿命分布函数表示

$R=P\{N(x,d)\≥N_R)=1-{\∫}_{N(x,d)\≤N_R}f\left(x\right)dx=1-F_N(N_R,d)$

式中，f(x)为寿命函数N(x，d)的概率密度分布函数，F_N(·)则为寿命的累积分布函数。则可靠寿命可通过寿命分布逆函数表示，即

N_R＝F_N ^-1(R，d)

借鉴近似可靠度求解思路，将寿命函数变换到标准正态空间，其表达形式为Nu(u，d)，u为各随机变量变换到标准正态空间组成的随机向量。根据功能度量法的原理，可靠寿命N_R即为给定概率下寿命函数的度量值，令R＝Φ(β)，计算问题转换如下的数学优化问题

minNu(u，d)

s.t.||u||＝β

最优解u^*是半径为β的球面上的点，且在球面上的所有点中该点的寿命函数值最小，其物理意义是满足给定可靠度的最小寿命点。利用改进均值法，该优化问题可通过迭代公式计算

$u_{k+1}=-\mathrm{\β}\frac{\▿Nu(u_k,d)}{\left|\right|\▿Nu(u_k,d)\left|\right|}$

为寿命函数对随机向量的梯度，当||u_k+1||-||u_k||小于容许误差时收敛，此时求得的即为设计点u^*＝u_k+1，将u^*代入寿命函数，得可靠寿命N_R＝Nu(u^*，d)。

3基于可靠寿命灵敏度筛选设计变量

确定影响可靠寿命的关键设计变量，可以在一定程度上简化结构耐久性优化模型，提高优化设计的效率和收敛性。设计变量一般分两种：确定性设计变量，或随机变量的均值。

1)当设计变量为确定性量时

在u^*点，将u^*代入寿命函数，利用差分方法，给设计变量d_i赋微小的步长Δd_i，即可求得可靠寿命对确定性设计变量的灵敏度

$\frac{\∂N_R}{\∂d_i}\≈\frac{Nu(u^{*},d+\[0,\mathrm{...},{\mathrm{\Δd}}_i,\mathrm{...},0\])-Nu(u^{*},d)}{{\mathrm{\Δd}}_i}$

2)当设计变量为随机变量均值时

可靠寿命N_R对随机变量x_i均值μ_i灵敏度通过偏导数计算

$\frac{\∂N_R}{\∂{\mathrm{\μ}}_i}={\[\▿Nu(u,d)\]}^T\frac{\∂u}{\∂{\mathrm{\μ}}_i}$

式中u为原随机向量x通过Nataf变换到标准正态空间的标准正态向量，即为寿命函数对随机向量在u^*点的梯度向量，改进均值法中每一次迭代过程都计算该向量值。

通过可靠寿命灵敏度分析能够得到可靠寿命对各设计变量的灵敏度，灵敏度值正负可以判断随机变量均值和确定性量对可靠寿命的影响趋势，而灵敏度值大小则反应了各设计变量对可靠寿命的影响程度，剔除较小者，保留灵敏度值较大者作为设计变量。

4利用序列近似规划法将可靠寿命目标/约束函数等效转换为确定性函数。

由第2步内容可知可靠寿命的求解也是一个寻优迭代过程，在进行耐久性优化迭代前，应将可靠寿命转换为近似函数，在此利用线性近似展开，将可靠寿命函数在耐久性优化迭代点d^k-1展开为设计变量的线性函数(省去u)，即

$Nu(u,d)\≈Nu\left(d^{k-1}\right)+{\▿}_{d}Nu{\left(d^{k-1}\right)}^T(d-d^{k-1})$

式中，Nu(d^k-1)、分别为寿命函数及其梯度在点d^k-1的值，求解需要利用功能度量方法的计算结果。因此，以可靠寿命为目标、约束的结构耐久性优化模型分别转换为

$\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{cc}\max & Nu\left(d^{k-1}\right)+{\▿}_{d}Nu{\left(d^{k-1}\right)}^T(d-d^{k-1})\\ s.t.& \begin{array}{c}{h}_j\left(d\right)\≤0,(j=1,\mathrm{...},N_h)\\ d_k^l\≤d_k\≤d_k^u,(k=1,\mathrm{...},N_d)\end{array}\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{cc}\min & f\left(d\right)\\ s.t.& \begin{array}{c}Nu\left(d^{k-1}\right)+{\▿}_{d}Nu{\left(d^{k-1}\right)}^T(d-d^{k-1})\≥N_g\\ h_j\left(d\right)\≤0,(j=1,\mathrm{...},N_h)\\ d_k^l\≤d_k\≤d_k^u,(k=1,\mathrm{...},N_d)\end{array}\end{array}\right.\end{array}$

从而在每一步优化迭代过程中，以可靠寿命为目标/约束的结构耐久性优化问题转换为一个常规的优化问题。

5利用混合循环功能度量法求解结构耐久性优化模型。

经过前一步对可靠寿命函数等效转换为确定性函数后，融入序列二次规划、可行方向法、遗传算法等常规优化算法，即可求解耐久性优化模型。

对于以可靠寿命N_R为目标/约束的耐久性优化模型，可靠寿命的求解实质上是一个优化过程，需要反复迭代，从而耐久性优化模型最直截了当的求解表现为一个双循环优化问题，外部循环为设计变量的优化，内部循环为可靠寿命的计算，利用这种思路求解基于可靠寿命的耐久性优化问题，称之为双循环功能度量法。

另外，还有另一种单层次的优化方式，即单循环功能度量法，其基本原理为：通过近似功能度量分析，每次进行确定性优化前将所有可靠寿命约束近似转换为线性约束。单循环功能度量法与双循环功能度量法的主要区别是：后者采用功能度量方法进行完整的可靠寿命分析，而前者采用改进均值法的迭代公式只进行一次近似的可靠寿命分析。

对比应用两种方法求解以可靠寿命为目标的优化问题时，发现单循环功能度量法获得的可靠寿命最优值，精度比双循环功能度量法的结果差，但双循环功能度量法的计算效率不如单循环功能度量法。避开二者的短处，充分利用单循环方法的高效率和双循环方法的高精度，由此提出了混合循环功能度量法，其流程如图2所示。基本思路为：先采用单循环功能度量法，随着优化迭代，离收敛条件较近时，改为双循环功能度量法。

如序列二次规划算法以||u^k+1-uⁱ||≤ε为优化收敛条件，那么，图2中的精确条件可以选择λ为收敛系数，取值范围为(0，1)。λ值越大，单循环功能度量迭代次数占总的优化迭代次数越多。

下面举1个本发明的应用实例。

如图3所示简支梁，材料为42CrMo，承受反复的P作用，其中L、B、H为设计参数，各设计参数、随机变量如表1所示，随机变量服从正态分布。分别以可靠度为0.999的寿命最大化，以及可靠度为0.999的寿命不低于5×10⁶作为约束，进行结构优化，以便减重。

表1

(1)基于可靠寿命的简支梁结构耐久性优化建模

由材料力学知，简支梁最大应力为

${\mathrm{\σ}}_{max}=\frac{M_{\max }\·H/2}{I}=\frac{Pa(L-a)H/2}{{\mathrm{LBH}}^3/12}=\frac{6Pa(L-a)}{{\mathrm{LBH}}^2}$

式中，M_max为最大弯矩，I为集中力作用点断面的惯性矩。将各参数的均值代入上式，得最大应力为437.3MPa。

简支梁的重量为

W＝ρBHL

式中，ρ为材料密度，7800kg/m³。将各参数的均值代入上式，得简支梁重量为82.55kg。

简支梁承受P的反复作用，为脉冲循环，将发生疲劳断裂。载荷循环的幅值σ_a和均值σ_m均为σ_max/2，在均值点为218.7MPa。对照材料SN曲线，为高周疲劳。等效应力幅值S＝σ_a+0.4σ_m＝0.7σ_max，则简支梁的寿命为

$lgN=\frac{4\left(lg\right(0.7{\mathrm{\σ}}_{\max })-{\mathrm{lgS}}_3)}{{\mathrm{lgS}}_7-{\lg }_3}+3=\frac{4}{{\mathrm{lgS}}_7-{\mathrm{lgS}}_3}(\lg \frac{4.2Pa(L-a)}{{\mathrm{LBH}}^2}-{\mathrm{lgS}}_3)+3$

1)可靠寿命为目标的结构耐久性优化模型

以可靠度为0.999的结构寿命最大化为目标，重量不超过优化前的重量，即82kg，其优化模型为

$\left\{\begin{array}{cc}max& N_{0.999}(L,B,H,P,a)\\ s.t.& W(L,B,H)\≤82\end{array}\right.$

2)可靠寿命为约束的结构耐久性优化模型

以可靠度为0.999的结构寿命不低于5×10⁶作为约束，优化目标为重量最小，其优化模型为

$\left\{\begin{array}{cc}max& W(L,B,H)\\ s.t.& N_{0.999}(L,B,H,P,a)\≤5\×{10}^6\end{array}\right.$

(2)优化结果

将本发明的优化方法编制程序，分别求解上述两个结构耐久性优化模型。利用混合循环功能度量法求解以可靠寿命为目标的结构耐久性优化模型的迭代过程如图4所示，随着优化迭代的进行，可靠寿命不断逐渐增加，重量还有所减轻。

为对比基于常规寿命的结构耐久性优化设计方法，增加以常规寿命为目标和约束的优化模型，通过优化求解，结果列入表2。对比结果可以看出本发明有如下优点：

1)能够直接给出结构的可靠寿命。

2)能够在减重的过程中，保证结构寿命的可靠性。而以常规寿命为目标/约束的优化结果，无法保证寿命的可靠性，如以常规寿命为约束的优化结果中，可靠寿命远未达到可靠寿命5×10⁶要求。

3)能够同时提高结构可靠寿命和减重。

表2

Claims (1)

1.一种基于可靠寿命的结构耐久性优化设计方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：以结构可靠寿命为目标或约束建立结构耐久性优化模型，该模型考虑因素的随机性，以可靠寿命作为结构耐久性参数，通过优化设计，能够确定结构可靠寿命最长或满足耐久性要求的最佳设计方案；

步骤2：利用功能度量法计算结构可靠寿命；先将寿命函数N(x，d)变换到标准正态空间的函数Nu(u，d)，u为各随机变量变换到标准正态空间组成的向量，d为设计变量向量；根据功能度量法的原理，令R＝φ(β)，可靠寿命N_R即为给定概率下寿命函数的度量值，N_R的计算转换为满足给定可靠度值的最小寿命点的数学优化问题求解，即：

minNu(u，d)

s.t.||u||＝β

最优解u^*是半径为β的球面上的点，且在球面上的所有点中该点的寿命函数值最小，其物理意义是满足给定可靠度的最小寿命点；利用改进均值法，该优化问题可通过迭代公式计算：

$u_{k+1}=-\mathrm{\β}\frac{\▿Nu(u_k,d)}{\left|\right|\▿Nu(u_k,d)\left|\right|}$

为寿命函数对随机向量的梯度，当||u_k+1||-||u_k||小于容许误差时收敛，此时求得的即为设计点u^*＝u_k+1，将u^*代入寿命函数，得可靠寿命N_R＝Nu(u^*，d)；

步骤3：基于可靠寿命灵敏度筛选设计变量，确定影响可靠寿命的关键设计变量，可以在一定程度上简化结构耐久性优化模型，提高优化设计的效率和收敛性；可靠寿命对确定性设计变量的灵敏度计算方法：在u^＊点，将u^＊代入寿命函数，利用差分方法，给设计变量d_i赋微小的步长Δd_i，即可求得可靠寿命对确定性设计变量的灵敏度：

$\frac{\∂N_R}{\∂d_i}\≈\frac{Nu(u^{*},d+\[0,...,{\mathrm{\Δd}}_i,...,0\])-Nu(u^{*},d)}{{\mathrm{\Δd}}_i}$

可靠寿命对随机变量均值的灵敏度计算方法：可靠寿命N_R对随机变量x_i均值μ_i灵敏度通过偏导数计算：

$\frac{\∂N_R}{\∂{\mathrm{\μ}}_i}={\[\▿Nu(u,d)\]}^T\frac{\∂u}{\∂{\mathrm{\μ}}_i}$

式中u为原随机向量x通过Nataf变换到标准正态空间的标准正态向量，即为寿命函数对随机向量在u^*点的梯度向量，改进均值法中每一次迭代过程都计算该向量值；

通过可靠寿命灵敏度分析能够得到可靠寿命对各设计变量的灵敏度，灵敏度值正负可以判断随机变量均值和确定性量对可靠寿命的影响趋势，而灵敏度值大小则反应了各设计变量对可靠寿命的影响程度，剔除较小者，保留灵敏度值较大者作为设计变量；

步骤4：利用序列近似规划法将可靠寿命目标/约束函数等效转换为确定性函数；在耐久性优化迭代过程中，利用线性近似展开，将可靠寿命函数在优化迭代点d^k-1展开为设计变量的线性函数，即：

$Nu(u,d)\≈Nu\left(d^{k-1}\right)+{\▿}_{d}Nu{\left(d^{k-1}\right)}^T(d-d^{k-1})$

式中，Nu(d^k-1)、分别为寿命函数及其梯度在点d^k-1的值；

步骤5：利用混合循环功能度量法求解结构耐久性优化模型；充分利用单循环方法的高效率和双循环方法的高精度，提出了混合循环功能度量法，基本思路为：先采用单循环功能度量法，随着优化迭代，离收敛条件较近时，改为双循环功能度量法；混合循环功能度量法保证了优化结果的精度，并提高了计算效率。