CN103273378A - 一种重型龙门机床超跨距横梁载荷误差辨识方法 - Google Patents

Abstract

一种重型龙门机床超跨距横梁载荷误差辨识方法，更具体地涉及到对此类机床横梁因力载荷而引起的误差的辨识方法。本发明主要解决了如何描述及计算大跨距横梁载荷误差，其关键在于将横梁载荷误差定义为溜板坐标系与横梁坐标系的坐标变换，并通过几何向量运算较精确地计算出各项误差。本发明计算出的各项误差可直接应用于目前应用广泛的机床整机精度模型，同时可以为企业加工技术人员对横梁进行起拱预变形刮研提供数据基础和依据，以提高机床的加工精度。

Description

一种重型龙门机床超跨距横梁载荷误差辨识方法

技术领域

本发明涉及到一种针对重型龙门铣床受载时的误差辩识方法，更具体地涉及到对此类机床横梁因力载荷而引起的误差的辨识方法。 

背景技术

重型数控龙门铣床（如图1）主要由横梁、立柱、溜板、滑枕、铣头等关键功能部件组成，是现代大型工件加工装备中比较经济的一种机床，具有加工跨距大、加工效率高等特点，通常能够实现轮廓铣削、曲面加工并可获得较高加工精度。其中，横梁是整个机床中很重要的支撑部件，由于其自身重量大，跨度大，其上安装有溜板，滑枕，铣头等大质量部件加工中还要承受切削载荷，故其受载强度高，挠度变形大。如图1所示机床横梁跨度达11m的横梁其铣头z向因横梁自重变形产生的位移通常可达到250μm。这将直接影响到铣头的定位精度，从而产生加工误差，因此计算因横梁变形而产生的误差意义重大。但是如何定义并辩识横梁的载荷误差，仍是一个亟待解决的问题。 

目前国内对重载龙门机床大跨距横梁载荷影响下的机床误差研究还较少。一些学者针对大跨距横梁的载荷误差辩识方法主要以横梁变形时机床铣头的偏移量来作为载荷误差量，但严格的说这并不能准确辩识出横梁载荷误差，因为铣头并不是直接安装在横梁之上，两者之间是通过溜板与滑枕连接的，由于这些部件都会产生变形，显然铣头的位移量并不能直接准确地描述载荷误差。且对于此类机床误差的研究，最终一定要有助于机床整机加工精度模型之精度的提高。那么误差辩识的意义才能体现出来。 

在目前机床精度建模研究中，多体动力学理论是目前较成熟且应用较广泛的精度建模方法，具体方法是在机床每一个运动部件上固结一个体坐标系，当某一运动部件产生运动和误差时部件体坐标系相对于其相邻体坐标系产生位移和旋转这些运动量可以用坐标变换来表示。本专利辩识出的各载荷误差 项即可应用于此建模方法。 

因此本专利依据多体理论建模方法提出在横梁及与横梁接触的部件溜板上分别固结一个坐标系，并以这两个坐标系之间的位置变换来辩识并描述载荷误差，即提出一种基于坐标系变换的受载横梁误差辩识方法。 

如图2所示为溜板与横梁的接触情形，在横梁上有三个导轨面，分别由上导轨x向导轨面及下导轨x、z向两个导轨面组成。溜板在这三个导轨面和横梁接触并沿着这三个导轨面左右移动以完成Y向进给。由于溜板在某一位置时与横梁每一导轨面均有左、右两个接触面（如图3（a）），因此溜板在每一工作位置会产生六个变形值。图3（b）为各导轨接触面受力方向。由于横梁结构复杂，各导轨接触面变形值可通过有限元软件计算获得。 

发明内容

本发明内容的目的是针对重型龙门铣床（图1）大跨距横梁因力载荷而引起的误差而提出的一种辨识方法。可为此类机床加工精度建模与分析提供误差数据。 

本发明的特征在于，将横梁的载荷变形误差表示为溜板坐标系与横梁坐标系的相对线位移量与角位移量，从而可以准确辩识并描述载荷误差。得到的误差数据可直接代入机床精度模型以提高模型精度。 

超宽距重载横梁-溜板载荷误差建模方法 

为辩识横梁的载荷误差，在横梁与溜板上分别固结一个坐标系，称为体坐标系。当横梁受载变形时，溜板的体坐标系相对于横梁体坐标系（也称为溜板的体参考坐标系）产生误差运动，可用坐标原点间的线位移及绕x，y，z轴的角位移表示，这些量定义为横梁载荷误差，分别以δ_x，δ_y，δ_z，ε_x，ε_y，ε_z表示，这些误差将分别于横梁xoz及yoz面内进行辩识。 

如图4(a)(b)所示，设溜板的体坐标系o’固定于溜板前部下边缘中央(此位置与铣头轴线共面)，起始状态时y方向指向溜板行程方向，z方向竖直向上，且与横梁体坐标系o（即溜板体参考坐标系）重合。溜板在横梁上滑动时由于自身重量及切削力作用，横梁在各导轨接触面产生变形。在xoz平面内溜板体坐标系o’相对于其体参考坐标系o产生偏移，即产生分别沿x轴和z轴的 直线度误差及绕y轴转角误差。同时由于溜板在z向与横梁下导轨有左右两个接触面，且两接触面位置跨度较大故左右接触面上的变形不同，因而会产生溜板在yoz面内体坐标系原点o’相对于体参考坐标系o沿z轴和y轴的线误差及绕x轴的转动误差，这里应注意最终z向线误差是在两个平面内z向线误差的线性叠加。这样便可以得到溜板在横梁坐标系的全部误差。在推导误差模型时，有如下假设，将溜板与横梁接触面作为弹性体，且仅沿压力方向变形，溜板视为刚体。对于此类机床溜板沿z向转角误差较其它误差项小十个数量级以上，因此可忽略，故最终辨识的误差为5项。分别为δ_x，δ_y，δ_z，ε_x，ε_y。 

载荷误差具体计算方法如下： 

步骤一：溜板在xoz面上的误差计算 

在xoz面内的误差由溜板与横梁上下导轨接触面在x向变形引起，但由于在每个导轨面上分左右两个接触面（图2（a）），故取两接触面之间中间位置为xoz面内的等效接触位置，变形值的均值作为xoz面内的等效变形值。 

如图4（a）所示，设溜板为刚体。图中xoz面内两等效接触面位于a点和b点两处。设溜板的体参考坐标系（横梁体坐标系）为o(0,0)，变形前溜板的体坐标系原点为o′(0,0)且与o(0,0)重合，l₁，l₂分别为下接触点a到坐标原点的x向及z向距离，l₃，l₄分别为上接触点b到坐标原点的x向及z向距离，变形后a点变为a′点,b点变为b′点，产生的等效变形量分别为Δ₁和Δ₂。o′坐标系点移至

点，则各点坐标可如下表示a(-l₁,l₂)，b(-l₃,l₄)，a′(-l₁-Δ₁,l₂)，b′(-l₃+Δ₂,l₄) 

xoz面 

其中k₁为过a，b两点的直线L_ab斜率，k₂为过a′，b′两点做直线L_a′b′斜率，

为 

由a点指向o点的向量，为ao向量的模，k_ao为直线L_ao斜率，θ₁为直线L_ao到直线L_ab的角。

为由a′点指向o″点的向量，k_a′o″为直线L_a′o″的斜率，θ₂为直线L_a′o″到直线L_a′b′的角，

为a′o″向量的模。 

由于溜板为刚体则有 

θ₁=θ₂    （2） 

$\left|\stackrel{\→}{\mathrm{ao}}\right|=\left|\stackrel{\→}{a^{\′}{o}^{\′\′}}\right|---\left(3\right)$

将横梁的在每一位置的静变形值及所有参数代入（1）（2）（3）. 

则x向、z向部分线误差与y向角误差为: 

$\stackrel{\→}{\mathrm{\δ}}=\stackrel{\→}{a^{\′}}{o}^{\′\′}-\stackrel{\→}{\mathrm{ao}}-\stackrel{\→}{{\mathrm{\Δ}}_1}=({\mathrm{\δ}}_x,{\mathrm{\δ}}_z^{\′})=(x_0^{\′},z_0^{\′}),$ ${\mathrm{\ϵ}}_y={\mathrm{\θ}}_{k_1{k}_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}---\left(4\right)$

其中δ_x为x向线误差，

为xoz面内的z向线误差，ε_y为y轴角误差 

步骤二：溜板在yoz面上的误差计算 

如图4（b）所示，设溜板为刚体,图中yoz面内两接触面位于c点和d点处。设溜板的体参考坐标系为o(0,0)，l₅，l₆分别为左右接触面到坐标原点的y向距离，l₇为左右接触面到坐标原点的z向距离，变形前溜板的体坐标系原点为o′(0,0)且与o(0,0)重合，变形后c点变为c′点,d点变为d′点，产生的变形量分别为Δ₃和Δ₄。o′坐标系原点移至

点。 

则各点坐标可如下表示如下 

c(-l₆,l₇)，d(l₅,l₇)，c′(-l₆,l₇-Δ₁)，d′(l₅,l₇-Δ₂)，

设e为c，d中点，e点坐标为e(0,l₇) 

设变形后e点移至e′，其坐标为

$\left\{\begin{array}{c}{l}_5=l_6\\ \stackrel{\→}{\mathrm{eo}}=(0,l_7)\\ \left|\stackrel{\→}{\mathrm{eo}}\right|=l_7\\ \stackrel{\→}{e^{\′}}{o}^{\′\′\′}=(y_0^{\′},z_0^{\′\′}-l_7+\frac{{\mathrm{\Δ}}_3{\mathrm{\Δ}}_4}{2})\\ \left|e^{\′}{o}^{\′\′\′}\right|=\sqrt{y_0^{\′\′2}+{(z_0^{\′\′}-l_7+\frac{{\mathrm{\Δ}}_3{\mathrm{\Δ}}_4}{2})}^2}\\ k_1^{\′}=0\\ k_2^{\′}=\frac{{\mathrm{\Δ}}_3-{\mathrm{\Δ}}_4}{{2l}_5}\\ k_3=\frac{{2z}_0^{\′\′}-{2l}_7+{\mathrm{\Δ}}_3+{\mathrm{\Δ}}_4}{2y_0^{\′}}\end{array}\right.$

（5）其中

为由e点指向o点的向量，为

向量的模，

为由e′点指向o″′点的向量，|e′o″′|为向量的模，

为直线L_cd的斜率，

为直线L_c′d′的斜率，k₃为直线L_e′o″′的斜率。 

由于溜板为刚体则有，直线L_c′d′垂直于直线L_e′o″′，即 

$k_2^{\′}\·k_3=-1---\left(6\right)$

且 

eo=|e′o″′|    （7） 

将横梁的在每一位置的静变形值及所有参数代入（5），（6），（7）. 

则y向、z向部分线误差与x向角误差为  $\stackrel{\→}{\mathrm{\δ}}=\stackrel{\→}{e^{\′}}{o}^{\′\′\′}-\stackrel{\→}{\mathrm{eo}}-\stackrel{\→}{{\mathrm{\Δ}}_1}=({\mathrm{\δ}}_y,{\mathrm{\δ}}_z^{\′\′})=(y_0^{\′},z_0^{\′\′}),$ ${\mathrm{\ϵ}}_x={\mathrm{\θ}}_{k_1^{\′}{k}_2^{\′}}=k_2^{\′}-k_1^{\′}=k_2^{\′}---\left(8\right)$

其中δ_y为x向线误差，

为yoz面内的z向线误差，ε_x为x轴角误差 

步骤三：最终溜板在横梁坐标系中的各项误差计算 

根据步骤一与步骤二辩识出的误差，其中z向误差为xoz面z向与yoz面z相误差的线性叠加。其余误差项与各面辩识出的一一对应。 

${\mathrm{\δ}}_x=x_{0,}^{\′}$ ${\mathrm{\δ}}_y=y_0^{\′},$ ${\mathrm{\δ}}_z={\mathrm{\δ}}_z^{\′}+{\mathrm{\δ}}_z^{\′\′}=z_0^{\′}+z_0^{\′\′},$ ${\mathrm{\ϵ}}_x=k_2^{\′},$ ${\mathrm{\ϵ}}_y=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}---\left(9\right)$

如果按照多体理论表示方法，将（9）中各误差项代入坐标变换矩阵，则最终从溜板到横梁的误差变换矩阵可表示为 

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\ϵ}}_y& {\mathrm{\δ}}_x\\ 0& 1& -{\mathrm{\ϵ}}_x& {\mathrm{\δ}}_y\\ -{\mathrm{\ϵ}}_y& {\mathrm{\ϵ}}_x& 1& {\mathrm{\δ}}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(10\right)$

利用公式（10）中辨识得到的载荷误差，一方面可以基于多体系统理论，对机床的加工精度进行预测与分析，另一方面可以为企业加工技术人员提供对横梁进行预变形起拱的数据支持。图6是对经过预变形起拱处理的横梁进行下沉测试的方案图，图7是部分测试点的位移响应信号图。从图7中可以看出，经过预变形起拱处理的横梁，在启停加速度0.05m/s^2下达到稳定的情况下，最大的位移变形量为11.72um，满足了企业对横梁下沉量及精度的要求。 

附图说明

图1重型龙门铣床整机结构示意图； 

其中，1-滑座  2-立柱  3-横梁  4-溜板  5-滑枕  6-铣头； 

图2a横梁导轨面示意图； 

其中，7-上导轨x向接触面  8-下导轨z向接触面  9-下导轨x向接触面 

图2b上导轨x向接触面放大图 

图3a溜板-横梁导轨接触示意图 

图3b横梁导轨接触面受力图 

图4a xoz面内横梁-溜板载荷误差的计算图示； 

图4b yoz面内横梁-溜板载荷误差的计算图示； 

图5a x向载荷线误差δ_x

图5b y向载荷线误差δ_y

图5c z向载荷线误差δ_z

图5d x向（A向）载荷角误差ε_x

图5e y向（B向）载荷角误差ε_y

图6预变形起拱处理横梁下沉测试方案图； 

图7部分测试点下沉位移响应曲线图。 

具体实施方式

本专利以某型号重型龙门铣床（如图1）大跨距横梁为算例，对其载荷误差进行辨识。 

本发明的具体实施步骤如下： 

将横梁的约束条件定义为两端固定约束，根据各部件自重及切削力大小利用力学平衡条件可以得到F1=154506N，F2=218652N，P1=138700N。根据溜板与横梁在相应接触区域接触面积的大小，可以得到这三个力对应的平均面力大小分别为2.785MPa、1.567MPa和1.646MPa。采用有限元分析软件ANSYS通过仿真计算得到横梁的静态变形量。 

该型号机床横梁总跨距为14.350m，我们在横梁上等距离的选择了25个溜板工作位置，共得到25组变形数据。同时，由于溜板在每一位置时与横梁各导轨面均有左、右两个接触面（如图2（b）），将溜板在每一位置时的上下导轨x向接触面左右两个变形值取平均作为xoz面内的等效变形值。 

利用上步得到的横梁变形值及之前介绍的载荷误差计算方法，利用数值计算软件matlab实现以上计算过程，便可以得到溜板在这25个位置时的载荷误差，最后通过曲线拟合便可得到梁在整个行程上的误差辨识结果（如图5）。 

附录 

辨识方法可通过matlab具体实现，以下附代码 

%xoz面内误差辨识方法 

dataD1=load(′盘符:\上导轨x向铣头的位移数据.txt′)%加载数据Δ₁（括号内为数据路径）加载的数据为从承载曲线中读出的x向上导轨铣头的位移数据 

dataD2=load(′盘符:\下导轨x向铣头的位移数据.txt′)%加载数据Δ₂（括号内为数据路径）加载的数据为从承载曲线中读出的x向下导轨铣头的位移数据 

L1=x1,L2=x2,L3=x3,L4=x4;x=[a:n:b]%此处应给L1,L2,L3,L4赋值即代入与上节计算方法中溜板对应的几何参数,x中a，b为行程始终点坐标，n为根据工作情况设定的溜板每两个工作位置间隔 

for i=1:m%为溜板在横梁上工作位置个数其中m=(b-a)/n: 

D1=-dataD1(i),D2=dataD2(i); 

k1=(L4-L2)/(L1-L3),k2=(L4-L2)/(L1-L3+D1+D2); 

Kao=-L2/L1; 

Kao2=((1+k1*k2)*Kao+k2-k1)/((k1-k2)*Kao+k1*k2+1); 

X0=sqrt((L1^2+L2^2)/(1+Kao2^2))-L1-D1; 

Z01=Kao2*(X0+L1+D1)+L2; 

DX(i)=X0,DZ1(i)=Z01 

DsitaY(i)=(k2-k1)/(1+k1*k2) 

end 

figure(1) 

plot(x,DX,′*′) 

xlabel(′y向位置（mm）′);ylabel(′x向载荷误差（mm）′);Title(′溜板横梁空间载荷误差′); 

grid on 

hold on 

cx=polyfit(x,DX,4); 

y1=polyval(cx,x) 

plot(x,y1,′k′)%绘制x向载荷误差（mm） 

%yoz面内误差辨识 

dataD1=load(′盘符:\下导轨z向左接触面变形.txt′)%加载数据Δ₁（括号内为数据路径）从承载曲线中读出加载的下导轨z向左接触面变形数据 

dataD2=load(′盘符:\下导轨z向右接触面变形.txt′)%加载数据Δ₂（括号内为数据路径）从承载曲线中读出加载的下导轨z向右接触面变形数据 

L1=x1,L2=x2,L3=x3;%代入与上节计算方法中溜板对应的几何参数,此处应给L1，L2，L3赋值 

for i=1:m%为溜板在横梁上工作位置个数其中m=(b-a)/n: 

D1=-dataD1(i),D2=-dataD2(i) 

temp=(2*L1)/(D2-D1); 

if D1>D2 

Y0=L3*sqrt(1/(1+temp^2)); 

else 

Y0=-L3*sqrt(1/(1+temp^2)); 

end 

Z02=temp*Y0-(D2+D1)/2+L3 

DY(i)=Y0 

DZ2(i)=Z02 

DsitaX(i)=(D1-D2)/(L1+L2) 

end 

DZ=DZ1+DZ2 

figure(2) 

plot(x,DY,′*′) 

xlabel(′y向位置（mm）′);ylabel(′y向载荷误差（mm）′);Title(′溜板横梁空间载荷误差′); 

grid on 

hold on 

cy=polyfit(x,DY,7); 

y2=polyval(cy,x) 

plot(x,y2,′k′)%绘制ｙ向载荷线误差（mm） 

figure(3) 

plot(x,DZ,′*′) 

xlabel(′y向位置（mm）′);ylabel(′z向载荷误差（mm）′);Title(′溜板横梁空间载荷误差′); 

grid on 

hold on 

cz=polyfit(x,DZ,4); 

y3=polyval(cz,x) 

plot(x,y3,′k′)%绘制ｚ向载荷误差（mm） 

figure(4) 

plot(x,DsitaX,′*′) 

xlabel(′y向位置（mm）′);ylabel(′A向载荷误差（rad）′);Title(′溜板横梁空间载荷误差′); 

grid on 

hold on 

ca=polyfit(x,DsitaX,7); 

y4=polyval(ca,x) 

plot(x,y4,′k′)%绘制Ａ向载荷误差（rad） 

figure(5) 

plot(x,DsitaY,′*′) 

xlabel(′y向位置（mm）′);ylabel(′B向载荷误差（rad）′);Title(′溜板横梁空间载荷误差′); 

grid on 

hold on 

cb=polyfit(x,DsitaY,6); 

y=polyval(cb,x) 

plot(x,y5,′k′)%绘制Ｂ向载荷误差（rad）。 

Claims (1)

1.一种重型龙门铣床超跨距横梁载荷误差辨识方法，其特征在于：

在横梁与溜板上分别固结一个坐标系，称为体坐标系；当横梁受载变形时，溜板的体坐标系相对于横梁体坐标系产生误差运动，横梁体坐标系也称为溜板的体参考坐标系用坐标原点间的线位移及绕x，y，z轴的角位移表示，这些量定义为横梁载荷误差，分别以δ_x，δ_y，δ_z，ε_x，ε_y，ε_z表示，这些误差将分别于横梁xoz及yoz面内进行辩识；

设溜板的体坐标系o’固定于溜板前部下边缘中央，此位置与铣头轴线共面，起始状态时y方向指向溜板行程方向，z方向竖直向上，且与横梁体坐标系o重合；溜板在横梁上滑动时由于自身重量及切削力作用，横梁在各导轨接触面产生变形；在xoz平面内溜板体坐标系o’相对于其体参考坐标系o产生偏移，即产生分别沿x轴和z轴的直线度误差及绕y轴转角误差；同时由于溜板在z向与横梁下导轨有左右两个接触面，且两接触面位置跨度较大故左右接触面上的变形不同，因而会产生溜板在yoz面内体坐标系原点o’相对于体参考坐标系o沿z轴和y轴的线误差及绕x轴的转动误差，这里应注意最终z向线误差是在两个平面内z向线误差的线性叠加；这样便得到溜板在横梁坐标系的全部误差；在推导误差模型时，有如下假设，将溜板与横梁接触面作为弹性体，且仅沿压力方向变形，溜板视为刚体；对于此类机床溜板沿z向转角误差较其它误差项小十个数量级以上，可忽略，故最终辨识的误差为5项；分别为δ_x，δ_y，δ_z，ε_x，ε_y；

载荷误差具体计算方法如下：

步骤一：溜板在xoz面上的误差计算

在xoz面内的误差由溜板与横梁上下导轨接触面在x向变形引起，但由于在每个导轨面上分左右两个接触面，故取两接触面之间中间位置为xoz面内的等效接触位置，变形值的均值作为xoz面内的等效变形值且沿受力方向；

设溜板为刚体；xoz面内两等效接触面位于a点和b点两处；设溜板的体参考坐标系为o(0,0)，变形前溜板的体坐标系原点为o′(0,0)且与o(0,0)重合，变形后a点变为a′点,b点变为b′点，产生的等效变形量分别为Δ₁和Δ₂；o′坐标系点移至

点；

设a(-l₁,l₂)，a′(-l₁-Δ₁,l₂)，b(-l₃,l₄)，b′(-l₃+Δ₂,l₄)直线 $L_{\mathrm{ab}}:k_1=\frac{l_4-l_2}{l_1-l_3},$ 直线 $L_{a^{\′}{b}^{\′}}:k_2=\frac{l_4-l_2}{l_1-l_3+{\mathrm{\Δ}}_1+{\mathrm{\Δ}}_2},$ $\stackrel{\→}{\mathrm{ao}}=(l_1,-l_2),$ $k_{\mathrm{ao}}=-\frac{l_2}{l_1}$ 直线L_ao到直线L_ab的角为 ${\mathrm{\θ}}_1=\frac{k_1-k_{\mathrm{ao}}}{1+k_1{k}_{\mathrm{ao}}},$ $k_{\mathrm{ao}}=-\frac{l_2}{l_1},$ ao向量的模为 $\left|\stackrel{\→}{\mathrm{ao}}\right|=\sqrt{l_1^2+l_2^2}$ 变形后o′在xoz平面内移动到

$\stackrel{\→}{a^{\′}}{o}^{\′\′}=(x_0^{\′}+l_1+{\mathrm{\Δ}}_1,z_0^{\′}-l_2),$ $k_{a^{\′}{o}^{\′\′}}=-\frac{z_0^{\′}-l_2}{x_0^{\′}+l_1+{\mathrm{\Δ}}_1},$ 直线L_a′o″到直线L_a′b′的角为 ${\mathrm{\θ}}_2=\frac{k_2-k_{a^{\′}{o}^{\′\′}}}{1+k_2{k}_{a^{\′}{o}^{\′\′}}},$ $\left|\stackrel{\→}{a^{\′}{o}^{\′\′}}\right|=\sqrt{{(x_0^{\′}+l_1+{\mathrm{\Δ}}_1)}^2+{(z_0^{\′}-l_2)}^2}$

由于溜板为刚体则有

θ₁=θ₂    (1)

$\left|\stackrel{\→}{\mathrm{ao}}\right|=\left|\stackrel{\→}{a^{\′}{o}^{\′\′}}\right|---\left(2\right)$

将横梁的在每一位置的静变形值及所有参数代入(1)和(2).

则x向、z向部分线误差与y向角误差为:

$\stackrel{\→}{\mathrm{\δ}}=\stackrel{\→}{a^{\′}}{o}^{\′\′}-\stackrel{\→}{\mathrm{ao}}-\stackrel{\→}{{\mathrm{\Δ}}_1}=({\mathrm{\δ}}_x,{\mathrm{\δ}}_z^{\′})=(x_0^{\′},z_0^{\′}),$ ${\mathrm{\ϵ}}_y={\mathrm{\θ}}_{k_1{k}_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}---\left(3\right)$

步骤二：溜板在yoz面上的误差计算

设溜板为刚体,yoz面内两接触面位于a点和b点处；设溜板的体参考坐标系为o(0,0)，变形前溜板的体坐标系原点为o′(0,0)且与o(0,0)重合，变形后a点变为a′点,b点变为b′点，产生的变形量分别为Δ₁和Δ₂；

o′坐标系原点移至

点；

设a(-l₂,l₃)，a′(-l₂,l₃-Δ₁)，b(l₁,l₃)，b′(l₁,l₃-Δ₂)，

设c为ab直线中点，有l₁=l₂则c点坐标为c(0,l₃)，

设直线L_ab的斜率为

直线L_a′b′的斜率为

$\left(\stackrel{\→}{\mathrm{co}}\right)=(0,-l_3),$

$c^{\′}{o}^{\′\′}(y_0^{\′},z_0^{\′\′}-l_3+\frac{{\mathrm{\Δ}}_1+{\mathrm{\Δ}}_2}{2}),$ $\left|\stackrel{\→}{\mathrm{co}}\right|=l_3\left|c^{\′}{o}^{\′\′}\right|=\sqrt{{y_0^{\′\′}}^2+{(z_0^{\′\′}-l_3+\frac{{\mathrm{\Δ}}_1+{\mathrm{\Δ}}_2}{2})}^2}$

设直线L_c′o″的斜率为

$k_3=\frac{2z_0^{\′\′}-2l_3+{\mathrm{\Δ}}_1+{\mathrm{\Δ}}_2}{2y_0^{\′}}$

由于溜板为刚体则有，直线L_a′b′垂直于直线L_c′o″，即

$k_2^{\′}\·k_3=-1---\left(4\right)$

且

co＝|c′o″|    (5)

将横梁的在每一位置的静变形值及所有参数代入(4)和(5).

则y向、z向部分线误差与x向角误差为

$\stackrel{\→}{\mathrm{\δ}}=\stackrel{\→}{c^{\′}}{o}^{\′\′}-\stackrel{\→}{\mathrm{co}}-\stackrel{\→}{{\mathrm{\Δ}}_1}=({\mathrm{\δ}}_y,{\mathrm{\δ}}_z^{\′\′})=(y_0^{\′},z_0^{\′\′}),$ ${\mathrm{\ϵ}}_x={\mathrm{\θ}}_{k_1^{\′}{k}_2^{\′}}=k_2^{\′}-k_1^{\′}=k_2^{\′}---\left(6\right)$ 步骤三：最终溜板在横梁坐标系中的各项误差计算

根据步骤一与步骤二辩识出的误差，其中z向误差为xoz面z向与yoz面z相的线性叠加；其余误差项与各面辩识出的一一对应；

${\mathrm{\δ}}_x=x_0^{\′},$ ${\mathrm{\δ}}_y=y_0^{\′},$ ${\mathrm{\δ}}_z={\mathrm{\δ}}_z^{\′}+{\mathrm{\δ}}_z^{\′\′}=z_0^{\′}+z_0^{\′\′},$ ${\mathrm{\ϵ}}_x=k_2^{\′},$ ${\mathrm{\ϵ}}_y=\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}---\left(7\right)$

如果按照多体理论表示方法，将（7）中各误差项代入坐标变换矩阵，则最终从溜板到横梁的误差变换矩阵表示为

$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& {\mathrm{\ϵ}}_y& {\mathrm{\δ}}_x\\ 0& 1& {-\mathrm{\ϵ}}_x& {\mathrm{\δ}}_y\\ -{\mathrm{\ϵ}}_y& {\mathrm{\ϵ}}_x& 1& {\mathrm{\δ}}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(8\right).$

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