CN103235515A - 一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法 - Google Patents

Abstract

一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，本发明涉及航天器姿态控制技术领域。本发明是要解决由SGCMG框架轴的最小转速引起的力矩输出误差大、控制精度低的问题。步骤一、产生指令力矩T_c所需要的SGCMGs框架轴转速

与零运动的表达式；步骤二、利用奇异值分解方法求取零空间的基底；步骤三、选取优化指标H；步骤四、令H取极小值，求取零空间基底坐标组成的列阵a的单位方向

步骤五、求取基底坐标组成的列阵a的幅值a；步骤六、构造零空间基底坐标组成的列阵a的翻转策略；步骤七、根据已经求出的坐标值a与步骤六构造的a的翻转策略求出SGCMGs的零运动

本发明应用于航天器姿态控制技术领域。

Description

一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法

技术领域

本发明涉及航天器姿态控制技术领域，具体涉及一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群转速死区的方法。

背景技术

卫星姿态的快速机动需要能够提供精确的连续力矩的执行机构，而单框架控制力矩陀螺(SGCMG)凭借其寿命长、产生力矩大、能够提供连续力矩等优点已经成为了快速机动卫星的首选执行机构。SGCMG通过框架轴的转动来改变转子角动量的方向，从而产生控制力矩，通常情况SGCMG框架轴存在最小转速，即当指令框架角速度小于最小转速时，SGCMG框架轴转速为0。由于SGCMG对力矩的放大作用，很小的框架角速度死区会产生很大的控制力矩误差，这部分力矩误差会导致卫星的控制精度急剧下降，因此需要设法消除由于框架轴死区转速带来的影响，由于冗余等问题导致成本高，通常卫星携带的SGCMG数量大于3个，在单框架控制力矩陀螺群(SGCMGs)未陷入奇异时会存在零运动，框架轴的零运动不会影响卫星产生的力矩。

发明内容

本发明是要解决由SGCMG框架轴的最小转速引起的力矩输出误差大、控制精度低的问题，提出一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法。

利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法具体过程如下：

步骤一、产生指令力矩T_c所需要的SGCMGs框架轴转速

与零运动的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}=A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}{T}_c+(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)d\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)d\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，A为SGCMGs的雅克比矩阵，由SGCMGs的安装形式决定，

是由SGCMGs框架角转速组成的n维列阵，n是大于3的整数；

式中，

是n维列阵，代表SGCMGs零运动的大小，

存在与否不影响SGCMGs输出力矩大小，E_n是n维的单位矩阵，d是由任意常值组成的n维列阵，d决定了SGCMGs零运动的大小与方向；

步骤二、利用奇异值分解方法求取零空间的基底；

步骤三、以SGCMGs的零运动远离0为原则，选取优化指标H；

步骤四、令H取极小值，求取零空间基底坐标组成的列阵a的单位方向

步骤五、以

每个元素都大于最小转速

为原则，求取零空间基底坐标组成的列阵a的幅值a；

步骤六、构造零空间基底坐标组成的列阵a的翻转策略；

步骤七、根据已经求出的坐标值a与步骤六构造的a的翻转策略求出SGCMGs的零运动

根据a求取d的值，具体表达式为

$d=V^T\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×1}\\ a\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中，0_3×1为3×1的零矩阵；

根据d与式(1)可以求出

将式(2)带入式(1)可以得到的表达式为

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)V^T\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×1}\\ a\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，V为n×n的矩阵，V是对A进行奇异值分解得到酉矩阵，其各行对应A^TA的特征向量。

本发明效果：

(1)能够通过添加零运动避免SGCMG框架轴转速大于最小转速，从而消除了SGCMGs的力矩误差，提高了姿态控制的精度；对于不同的卫星与不同的SGCMG，力矩误差值与卫星的控制精度不同。如果SGCMG转子角动量为30Nms，转速死区为0.02°/s，则产生的力矩误差约为0.01Nm，这样大小的误差对于主转动惯量为100kg·m²的卫星，控制器带宽为0.1rad/s，则可以产生的姿态误差约为0.6°。而通常的姿态控制要求要小于0.01°。

(2)本发明设计通过添加零运动避免SGCMG转速死区的方法，能够在不添加其他执行机构的基础上提供精确的力矩，节省了卫星的成本，增加了卫星的空间；

(3)本发明设计的零运动形式简单，并具有一定的优化特性，适合实际工程的应用。

附图说明

图1是本发明流程图；

图2为具体实施方式一中添加SGCMGs零运动的SGCMGs各个框架轴转速大小；图中

表示单框架控制力矩陀螺1的转速，图中-----表示单框架控制力矩陀螺2的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺3的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺4的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺5的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺6的转速；

图3为具体实施方式一中添加SGCMGs零运动后SGCMGs产生的力矩与指令力矩的误差；图中表示x轴力矩误差，图中-----表示y轴力矩误差，图中

表示z轴力矩误差。

图4为具体实施方式一中未添加SGCMGs零运动的SGCMGs各个框架轴转速大小；图中表示单框架控制力矩陀螺1的转速，图中-----表示单框架控制力矩陀螺2的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺3的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺4的转速，图中

表示单框架控制力矩陀螺5的转速，图中表示单框架控制力矩陀螺6的转速。

图5为具体实施方式一中未添加SGCMGs零运动后SGCMGs产生的力矩与指令力矩的误差；图中

表示x轴力矩误差，图中-----表示y轴力矩误差，图中

表示z轴力矩误差。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1～5说明本实施方式：利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法具体过程如下：

步骤一、产生指令力矩T_c所需要的SGCMGs框架轴转速与零运动

的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}=A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}{T}_c+(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)d\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)d\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，A为SGCMGs的雅克比矩阵，由SGCMGs的安装形式决定，

是由SGCMGs框架角转速组成的n维列阵，n是大于3的整数；

式中，

是n维列阵，代表SGCMGs零运动的大小，

存在与否不影响SGCMGs输出力矩大小，E_n是n维的单位矩阵，d是由任意常值组成的n维列阵，d决定了SGCMGs零运动的大小与方向；

步骤二、利用奇异值分解方法求取零空间的基底；

步骤三、以SGCMGs的零运动远离0为原则，选取优化指标H；

步骤四、令H取极小值，求取零空间基底坐标组成的列阵a的单位方向

步骤五、以

每个元素都大于最小转速

为原则，求取零空间基底坐标组成的列阵a的幅值a；

步骤六、构造零空间基底坐标组成的列阵a的翻转策略；

步骤七、根据已经求出的坐标值a与步骤六构造的a的翻转策略求出SGCMGs的零运动

根据a求取d的值，具体表达式为

$d=V^T\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×1}\\ a\end{array}\right]---\left(5\right)$

式中，0_3×1为3×1的零矩阵；

根据d与式(1)可以求出

将式(2)带入式(1)可以得到

的表达式为

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)V^T\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×1}\\ a\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中，V为n×n的矩阵，V是对A进行奇异值分解得到酉矩阵，其各行对应A^TA的特征向量。

本实施方式中，以五棱锥构型的SGCMGs为例，SGCMG最小框架角速度为0.1°/s，转子角动量为30Nm·s，取m＝0.1，h＝0.02，取指令力矩T_c＝0.1sin(0.1t)·[1 1 1]Nm，初始框架角为： ${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_0={\left[\begin{array}{cccccc}0.3& 2.8& 4.1& 4.7& 5.3& 5.3\end{array}\right]}^T\mathrm{rad},$ 本例采用Matlab/Simulink软件编制程序，采用ODE4算法，仿真步长0.02s。

本实施方式效果：

(1)能够通过添加零运动避免SGCMG框架轴转速大于最小转速，从而消除了SGCMGs的力矩误差，提高了姿态控制的精度；对于不同的卫星与不同的SGCMG，力矩误差值与卫星的控制精度不同。如果SGCMG转子角动量为30Nms，转速死区为0.02°/s，则产生的力矩误差约为0.01Nm，这样大小的误差对于主转动惯量为100kg·m²的卫星，控制器带宽为0.1rad/s，则可以产生的姿态误差约为0.6°。而通常的姿态控制要求要小于0.01°。

(2)本实施方式设计通过添加零运动避免SGCMG转速死区的方法，能够在不添加其他执行机构的基础上提供精确的力矩，节省了卫星的成本，增加了卫星的空间；

(3)本实施方式设计的零运动形式简单，并具有一定的优化特性，适合实际工程的应用。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤二所述的零空间基底的具体求取过程为：

利用奇异值分解方法将雅克比矩阵A表示成如下形式：

A＝USV    (7)

式中，V为n×n的矩阵，其各行对应A^TA的特征向量，U是3×3的酉矩阵，其各列对应AA^T的特征向量，S为3×n的矩阵，具体表达式如下：

$S=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\σ}}_1^2& 0& 0& \\ 0& {\mathrm{\σ}}_2^2& 0& 0_{3\×(n-3)}\\ 0& 0& {\mathrm{\σ}}_3^2& \end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，σ₁、σ₂、σ₃是矩阵AA^T的三个特征值，且σ₁≥σ₂≥σ₃，0_3×(n-3)是3×(n-3)维的零矩阵；

将A的表达式带入式(1)的表达式中，经过化简得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=V^T\left[\begin{array}{cc}{0}_{3\×3}& 0\\ 0& E_{(n-3)}\end{array}\right]\mathrm{Vd}---\left(9\right)$

式中，E_n-3是n-3维的单位矩阵，将V拆写成 $V={\left[\begin{array}{cccc}{V}_1^T& V_2^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]}^T,$ 其中，V_m为矩阵V的第m行，m为1至n的整数，将V带入式(9)，并且令 $a={\left[\begin{array}{cccc}{V}_4^T& V_5^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]}^{T}d$ 可以得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=\left[\begin{array}{cccc}{V}_4^T& V_5^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]a=\underset{i=4}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i^T{a}_i---\left(10\right)$

式中，

代表SGCMGs零运动

的基，i为4至n的整数，a＝[a₄ a₅ … a_n]^T为由n-3个元素组成的列阵，每个元素代表与其下角标相同的基底的坐标。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤三中选取优化指标H过程为：

以SGCMGs中的每一个SGCMG的零运动都尽量远离0为原则，选取优化指标H，H的表达式为

$H=-{\hat{a}}^T{V}_p{\mathrm{CC}}^T{V}_p^T\hat{a}---\left(11\right)$

由于

为单位矢量，因此有如下约束方程

${\hat{a}}^T\hat{a}=1---\left(12\right)$

式中，C为n×1的常值列阵，列阵中每个元素为1或者-1，C中第i个元素符号与初始时刻V_p中第i列元素和的符号相同， $V_p={\left[\begin{array}{cccc}{V}_4^T& V_5^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]}^T,$ 式(11)的含义是：选取零空间坐标列阵的方向

使得零运动的方向与各个坐标轴夹角和最大。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤四中求取基底坐标组成的列阵a的单位方向

具体过程为：

令

应用拉格朗日乘子法，构造拉格朗日函数

$L=-{\hat{a}}^{T}B\hat{a}+\mathrm{\λ}({\hat{a}}^T\hat{a}-1)---\left(13\right)$

式中，λ为拉格朗日乘子，根据拉格朗日方程的求取方法，得到方程组

$\frac{\∂L}{\∂\hat{a}}=-B\hat{a}+\mathrm{\λ}\hat{a}=0$

    (14)

$\frac{\∂L}{\∂\mathrm{\λ}}={\hat{a}}^T\hat{a}-1=0$

由方程(14)，令L取极值的

是对称矩阵B的单位特征向量，λ为对应的特征值；

提取出使性能指标极小的特征向量，具体过程如下：

B的秩为1，因此B的特征值中有n-4个为0，另一个特征值λ_c不为0，因为矩阵V_a各列不相关，并且C≠0，可以得到V_aC≠0，如果特征根取为0，结合根据式(14)中条件可以得到

为满足

的单位向量，性能指标H＝0，此时的H是所有可能取值的最大值，不满足优化条件，因此，仅仅剩下另一个不为零的特征值λ_c，求出λ_c所对应的单位特征向量即为优化得到的

最后得到令H最小的

的表达式为

$\hat{a}=\mathrm{eigenv}\left(B\right)---\left(15\right)$

式中，eigenv为运算符号，eigenv(B)的含义是求矩阵B的非零特征值对应的特征向量。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：步骤五求取基底坐标组成的列阵a的幅值a的具体过程为：

A、为了SGCMGs的避免转速死区，零运动需要满足的约束条件，具体表达式如下：

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N\right|>{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }+\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|---\left(16\right)$

式中，定义|&|表示对对列阵&中的每个元素取绝对值，定义|x|＞|y|表示列阵x中的元素的绝对值大于y中对应元素的绝对值，

为由n个组成的列阵，

表示未添加零运动时的SGCMGs框架角转速列阵；

式(16)的具体过程如下：每个框架轴的转速绝对值都要大于死区转速

将这个约束写成如下形式

$\left|\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\right|=|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N|>{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }---\left(17\right)$

根据

$|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N|>\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N\right|-\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|---\left(18\right)$

根据式(18)，式(17)可得出只要SGCMGs的零运动需要满足不等式(16)就可以使得每个框架轴的转速都大于死区转速；

B、根据

需要满足的约束条件求取零空间坐标的幅值a，具体过程如下：

将式(10)带入式(16)可以得到表达式

$a\left|\underset{i=4}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i^T{\hat{a}}_i\right|>{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }+\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|---\left(19\right)$

式中，

为了令SGCMGs中的每一个SGCMG的转速都大于死区转速，取a的表达式为

$a=\max \frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }+\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|}{\left|\underset{i=4}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i^T{\hat{a}}_i\right|}---\left(20\right)$

式中，定义max(&)表示取列阵&中的最大值，定义|x|/|y|表示对列阵x中的元素取绝对值并除以y中对应元素的绝对值组成的列阵。其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：步骤七所述的零运动方向调节策略为：

给

中元素幅值设定一个最小值m，如果初始时刻令a＝-a，即翻转零空间基底坐标方向；零空间基底坐标方向每经过一次翻转后，如果满足条件(1)，则需要再次进行翻转，条件(1)的具体内容为：在零空间基底坐标方向翻转后的运动过程中，某一时刻能够满足

并且在这一时刻之后，如果

则再次对零空间基底坐标方向进行翻转，h为适当的正值；

min是一个运算符号，min(x)表示取列阵x中元素的最小值。其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

Claims (6)

1.一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，其特征在于利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法具体过程如下：

步骤一、产生指令力矩T_c所需要的SGCMGs框架轴转速

与零运动

的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}=A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}{T}_c+(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)d\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)d\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，A为SGCMGs的雅克比矩阵，由SGCMGs的安装形式决定，

是由SGCMGs框架角转速组成的n维列阵，n是大于3的整数；

式中，

是n维列阵，代表SGCMGs零运动的大小，

存在与否不影响SGCMGs输出力矩大小，E_n是n维的单位矩阵，d是由任意常值组成的n维列阵，d决定了SGCMGs零运动的大小与方向；

步骤二、利用奇异值分解方法求取零空间的基底；

步骤三、以SGCMGs的零运动远离0为原则，选取优化指标H；

步骤四、令H取极小值，求取零空间基底坐标组成的列阵a的单位方向

步骤五、以

每个元素都大于最小转速

为原则，求取零空间基底坐标组成的列阵a的幅值a；

步骤六、构造零空间基底坐标组成的列阵a的翻转策略；

步骤七、根据已经求出的坐标值a与步骤六构造的a的翻转策略求出SGCMGs的零运动

根据a求取d的值，具体表达式为

$d=V^T\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×1}\\ a\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中，0_3×1为3×1的零矩阵；

根据d与式(1)可以求出

将式(2)带入式(1)可以得到

的表达式为

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=(E_n-A^T{\left({\mathrm{AA}}^T\right)}^{-1}A)V^T\left[\begin{array}{c}{0}_{3\×1}\\ a\end{array}\right]---\left(3\right)$

式中，V为n×n的矩阵，V是对A进行奇异值分解得到酉矩阵，其各行对应A^TA的特征向量。

2.根据权利要求1所述的一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，其特征在于求取步骤二所述的零空间基底的具体求取过程为：

利用奇异值分解方法将雅克比矩阵A表示成如下形式：

A＝USV    (4)

式中，V为n×n的矩阵，其各行对应A^TA的特征向量，U是3×3的酉矩阵，其各列对应AA^T的特征向量，S为3×n的矩阵，具体表达式如下：

$S=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\σ}}_1^2& 0& 0& \\ 0& {\mathrm{\σ}}_2^2& 0& 0_{3\×(n-3)}\\ 0& 0& {\mathrm{\σ}}_3^2& \end{array}\right]---\left(5\right)$

式中，σ₁、σ₂、σ₃是矩阵AA^T的三个特征值，且σ₁≥σ₂≥σ₃，0_3×(n-3)是3×(n-3)维的零矩阵；

将A的表达式带入式(1)

的表达式中，经过化简得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=V^T\left[\begin{array}{cc}{0}_{3\×3}& 0\\ 0& E_{(n-3)}\end{array}\right]\mathrm{Vd}---\left(6\right)$

式中，E_n-3是n-3维的单位矩阵，将V拆写成 $V={\left[\begin{array}{cccc}{V}_1^T& V_2^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]}^T,$ 其中，V_m为矩阵V的第m行，m为1至n的整数，将V带入式(6)，并且令 $a={\left[\begin{array}{cccc}{V}_4^T& V_5^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]}^{T}d$ 可以得到

${\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N=\left[\begin{array}{cccc}{V}_4^T& V_5^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]a=\underset{i=4}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i^T{a}_i---\left(7\right)$

式中，

代表SGCMGs零运动

的基，i为4至n的整数，a＝[a₄ a₅ … a_n]^T为由n-3个元素组成的列阵，每个元素代表与其下角标相同的基底的坐标。

3.根据权利要求1所述的一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，其特征在于步骤三中选取优化指标H过程为：

以SGCMGs中的每一个SGCMG的零运动都尽量远离0为原则，选取优化指标H，H的表达式为

$H=-{\hat{a}}^T{V}_p{\mathrm{CC}}^T{V}_p^T\hat{a}---\left(8\right)$

由于

为单位矢量，因此有如下约束方程

${\hat{a}}^T\hat{a}=1---\left(9\right)$

式中，C为n×1的常值列阵，列阵中每个元素为1或者-1，C中第i个元素符号与初始时刻V_p中第i列元素和的符号相同， $V_p={\left[\begin{array}{cccc}{V}_4^T& V_5^T& \·\·\·& V_n^T\end{array}\right]}^T,$ 式(8)的含义是：选取零空间坐标列阵的方向

使得零运动的方向与各个坐标轴夹角和最大。

4.根据权利要求1所述的一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，其特征在于步骤四中求取基底坐标组成的列阵a的单位方向

具体过程为：

令

应用拉格朗日乘子法，构造拉格朗日函数

$L=-{\hat{a}}^{T}B\hat{a}+\mathrm{\λ}({\hat{a}}^T\hat{a}-1)---\left(10\right)$

式中，λ为拉格朗日乘子，根据拉格朗日方程的求取方法，得到方程组

$\frac{\∂L}{\∂\hat{a}}=-B\hat{a}+\mathrm{\λ}\hat{a}=0$

         (11)

$\frac{\∂L}{\∂\mathrm{\λ}}={\hat{a}}^T\hat{a}-1=0$

由方程(11)，令L取极值的

是对称矩阵B的单位特征向量，λ为对应的特征值；

提取出使性能指标极小的特征向量，具体过程如下：

B的秩为1，因此B的特征值中有n-4个为0，另一个特征值λ_c不为0，因为矩阵V_a各列不相关，并且C≠0，可以得到V_aC≠0，如果特征根取为0，结合根据式(11)中条件可以得到为满足

的单位向量，性能指标H＝0，此时的H是所有可能取值的最大值，不满足优化条件，因此，仅仅剩下另一个不为零的特征值λ_c，求出λ_c所对应的单位特征向量即为优化得到的最后得到令H最小的的表达式为

$\hat{a}=\mathrm{eigenv}\left(B\right)---\left(12\right)$

式中，eigenv为运算符号，eigenv(B)的含义是求矩阵B的非零特征值对应的特征向量。

5.根据权利要求1所述的一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，其特征在于步骤五求取基底坐标组成的列阵a的幅值a的具体过程为：

A、为了SGCMGs的避免转速死区，零运动需要满足的约束条件，具体表达式如下：

$\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N\right|>{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }+\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|---\left(13\right)$

式中，定义|&|表示对对列阵&中的每个元素取绝对值，定义|x|＞|y|表示列阵x中的元素的绝对值大于y中对应元素的绝对值，

为由n个

组成的列阵，

表示未添加零运动时的SGCMGs框架角转速列阵；

式(13)的具体过程如下：每个框架轴的转速绝对值都要大于死区转速

将这个约束写成如下形式

$\left|\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}\right|=|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N|>{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }---\left(14\right)$

根据

$|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T+{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N|>\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_N\right|-\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|---\left(15\right)$

根据式(15)，式(14)可得出只要SGCMGs的零运动需要满足不等式(13)就可以使得每个框架轴的转速都大于死区转速；

B、根据

需要满足的约束条件求取零空间坐标的幅值a，具体过程如下：

将式(7)带入式(13)可以得到表达式

$a\left|\underset{i=4}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i^T{\hat{a}}_i\right|>{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }+\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|---\left(16\right)$

式中，

为了令SGCMGs中的每一个SGCMG的转速都大于死区转速，取a的表达式为

$a=\max \frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_{\min }+\left|{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_T\right|}{\left|\underset{i=4}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i^T{\hat{a}}_i\right|}---\left(17\right)$

式中，定义max(&)表示取列阵&中的最大值，定义|x|/|y|表示对列阵x中的元素取绝对值并除以y中对应元素的绝对值组成的列阵。

6.根据权利要求1所述的一种利用零运动避免单框架控制力矩陀螺群框架轴转速死区的方法，其特征在于步骤六所述的零空间基底坐标组成的列阵a的翻转策略为：

给

中元素幅值设定一个最小值m，如果初始时刻

令a＝-a，即翻转零空间基底坐标方向；零空间基底坐标方向每经过一次翻转后，如果满足条件(1)，则需要再次进行翻转，条件(1)的具体内容为：

在零空间基底坐标方向翻转后的运动过程中，某一时刻能够满足

并且在这一时刻之后，如果

则再次对零空间基底坐标方向进行翻转，h为适当的正值；

min是一个运算符号，min(x)表示取列阵x中元素的最小值。

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