CN103234556B - 基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法及卫星姿态确定方法 - Google Patents

Abstract

基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法及卫星姿态确定方法，它涉及在轨标定星敏感器透镜畸变的方法及卫星姿态确定方法，本发明要解决现有的标定方法无法标定温度畸变项，以及现有的卫星姿态确定方法存在精度不高的问题。在轨标定星敏感器透镜畸变的方法：由目标恒星成像点坐标及星敏感器透镜畸变公式计算得到恒星入射光与透镜光轴的夹角，由入射光与透镜光轴的夹角得到目标恒星的光矢量方向，再根据多颗目标恒星的光矢量方向夹角固定的原理在轨标定星敏感器透镜畸变。姿态确定方法：由目标恒星成像点坐标及标定得到的星敏感器透镜畸变公式计算得到目标恒星的星光矢量，再由星图匹配确定卫星姿态。本发明用于卫星姿态确定技术领域。

Description

基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法及卫星姿态确定方法

技术领域

本发明涉及卫星姿态确定技术领域，具体涉及基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法及卫星姿态确定方法。

背景技术

在多种卫星姿态敏感器中，星敏感器的姿态确定精度最高，随着人类对太空的进一步探索，对卫星的姿态确定与控制精度提出更高的要求，因此，星敏感器在卫星姿态确定系统中的使用越来越多。星敏感器透镜在恶劣的太空工作环境下长时间工作后会产生较严重的透镜畸变，另外，太空剧烈变化的环境温度会使星敏感器透镜的畸变程度发生实时的变化。但是现有的星敏感器透镜畸变标定方法无法标定星敏感器透镜的温度畸变项，精度普遍不高，所以对星敏感器温度透镜畸变进行实时的在轨标定在实际工程中有较大的应用价值，研究如何消除包括星敏感器透镜温度畸变在内的透镜畸变对于星敏感器成像造成的不利影响对于提高卫星姿态确定及控制的精度是很有意义的。

发明内容

本发明为了解决现有的星敏感器透镜畸变标定方法无法标定星敏感器透镜的温度畸变项，以及现有的卫星姿态确定方法存在精度不高的问题，而提出基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法及卫星姿态确定方法。

本发明中的基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法按以下步骤进行：

步骤一、计算第i颗目标恒星与第j颗目标恒星的测量星角距对透镜畸变系数的导数，具体表达式如下，其中a为透镜畸变系数，x_i、x_j、y_i、y_j分别为第i颗目标恒星与第j颗目标恒星成像点的x,y方向坐标，α_i、α_j分别为第i颗目标恒星与第j颗目标恒星入射光与透镜光轴的夹角，

步骤二、计算n颗目标恒星相互之间的星角距及其对透镜畸变系数的导数，得到矩阵H如下所示：

$H=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂}{\∂a_1}{W_1}^T{W}_2& ...& \frac{\∂}{\∂a_7}{W_1}^T{W}_2\\ .& & .\\ .& ...& .\\ .& & .\\ \frac{\∂}{\∂a_1}{W_{\mathrm{num}-1}}^T{W}_{\mathrm{num}}& ...& \frac{\∂}{\∂a_7}{W_{\mathrm{num}-1}}^T{W}_{\mathrm{num}}\end{array}\right];$

步骤三、根据星敏感器的元器件性能及应用经验给出在轨标定过程的系统噪声方差阵Q^w、量测噪声方差阵Q^v、初始的估计误差方差矩阵P(0)及真实的透镜畸变系数a_i与估计的畸变系数之间差值的初始值根据如下公式对估计误差方差矩阵P进行迭代更新：

$\begin{array}{c}N\left(k\right)=P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))*{[H(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))+Q^v]}^{-1}\\ P(k+1)=P\left(k\right)+Q^w-N\left(k\right)[Q^v+H(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))]N^T\left(k\right)\end{array};$

其中N、P为中间计算矩阵，无实际意义；k或k+1表示第k次迭代后的值；ξ(k)为第k次迭代后真实的透镜畸变系数与估计的透镜畸变系数之间差值所组成的矩阵，其具体表示如下，其中△a为相邻两次迭代所得透镜畸变系数间的差值，

$\mathrm{\ξ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{a}_1\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δ}{a}_7\end{array}\right];$

利用矩阵N迭代计算真实透镜畸变系数与原始畸变系数之间的差值ξ(k)，然后便得到最终的星敏感器透镜畸变系数，其计算公式如下所示：

$\widehat{\mathrm{\ξ}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right)+N\left(k\right)[y\left(k\right)-H\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right)],$

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ .\\ .\\ .\\ a_7\end{array}\right]=\mathrm{\ξ}(k+1)+\left[\begin{array}{c}\widehat{a_1}\\ .\\ .\\ .\\ \widehat{a_7}\end{array}\right];$

得到真实的星敏感器透镜畸变系数即意味着通过上述步骤完成了对星敏感器透镜畸变的在轨标定。

本发明中的基于星敏感器透镜畸变的卫星姿态确定方法按以下步骤进行：

步骤一、星敏感器对目标恒星成像得到星敏感器坐标系下的成像点坐标(x,y,f)，其中x,y分别为成像点在x,y方向的坐标大小，f为星敏感器透镜的焦距；由成像点坐标得到透镜出射光与透镜光轴的夹角β，其具体计算公式为：

$\mathrm{\β}=\arccos \frac{f}{\sqrt{x^2+y^2+f^2}};$

步骤二、根据透镜畸变校正公式，由透镜出射光与透镜光轴的夹角β计算得到透镜入射光与透镜光轴的夹角α，透镜畸变校正公式为：

α＝a₁β³+a₂β²+a₃β+a₄t³+a₅t²+a₆t+a₇；

上式中a₁至a₇为透镜畸变系数，t为温度，其初始大小由地面标定得到，反映了星敏感器透镜畸变的程度，通过算法估计透镜畸变系数的大小来标定星敏感器透镜畸变；

步骤三、根据星敏感器对目标恒星成像得到像点坐标(x,y,f)及透镜入射光与透镜光轴的夹角α，计算得到目标恒星在星敏感器坐标系下的单位方向矢量W，其具体表达式为

$W=\left[\begin{array}{c}-x\sin \mathrm{\α}\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}}\\ -y\sin \mathrm{\α}\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}}\\ -\cos \mathrm{\α}\end{array}\right];$

步骤四、将成像所获得的星图与星载计算机存储的星图进行匹配识别目标恒星，得到目标恒星的赤经γ_i与赤纬δ_i，目标恒星在惯性系下的单位方向矢量为V，V由如下公式计算得到：

$V=\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\γ}}_i\cos {\mathrm{\δ}}_i\\ \sin {\mathrm{\γ}}_i\cos {\mathrm{\δ}}_i\\ \sin {\mathrm{\δ}}_i\end{array}\right];$

步骤五、星敏感器一次成像得到n颗目标恒星的成像数据，计算它们在星敏感器坐标系下的单位方向矢量和在惯性系下的单位方向矢量，令第i颗目标恒星在星敏感器坐标系下的单位方向矢量为W_i，其在惯性系下的单位方向矢量为V_i，计算矩阵K如下所示：

$K=\left[\begin{array}{cc}S-\mathrm{\σI}& Z\\ Z^T& \mathrm{\σ}\end{array}\right];$

其中I为单位矩阵，标量σ、矩阵S与矩阵Z为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\σ}=\mathrm{tr}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}{W}_i{V_i}^T\right),\\ S=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}(W_i{V_i}^T+V_i{W_i}^T),\\ Z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}(W_i\×V_i)\end{array}$

其中tr为求矩阵的迹的运算符号，n为目标恒星的数量，Z矩阵中W_i和V_i之间的运算符号为叉乘，矩阵K最大特征值对应的特征向量即为卫星的姿态四元数。

本发明包括以下优点：

1、本发明所提出的基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法实现了对星敏感器透镜温度畸变项的标定；

2、基于星敏感器透镜畸变的卫星姿态确定方法有效消除了由星敏感器透镜畸变所带来的卫星姿态确定误差，成像精度大由现有的0.5角秒～1角秒提高到0.2角秒。

附图说明

图1为本发明的基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变流程图；图2为本发明的双高斯透镜结构数据图；图3为仿真实验实验中在轨标定星敏感器透镜畸变后卫星的姿态确定误差；图4为仿真实验实验中在轨标定星敏感器透镜畸变后卫星的偏航角估计误差；图5为仿真实验实验中在轨标定星敏感器透镜畸变后卫星的俯仰角估计误差；图6为仿真实验实验中在轨标定星敏感器透镜畸变后卫星的滚动角估计误差；图7为仿真实验实验中所标定的星敏感器透镜温度畸变引起的卫星姿态确定误差。

具体实施方式

具体实施方式一：本发明利用星角距相等原理校正了包含温度畸变系数在内的多个星敏感器透镜畸变量，基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法按以下步骤进行：

步骤一、计算第i颗目标恒星与第j颗目标恒星的测量星角距对透镜畸变系数的导数，具体表达式如下，其中a为透镜畸变系数，x_i、x_j、y_i、y_j分别为第i颗目标恒星与第j颗目标恒星成像点的x,y方向坐标，α_i、α_j分别为第i颗目标恒星与第j颗目标恒星入射光与透镜光轴的夹角，

步骤二、计算n颗目标恒星相互之间的星角距及其对透镜畸变系数的导数，得到矩阵H如下所示：

$H=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂}{\∂a_1}{W_1}^T{W}_2& ...& \frac{\∂}{\∂a_7}{W_1}^T{W}_2\\ .& & .\\ .& ...& .\\ .& & .\\ \frac{\∂}{\∂a_1}{W_{\mathrm{num}-1}}^T{W}_{\mathrm{num}}& ...& \frac{\∂}{\∂a_7}{W_{\mathrm{num}-1}}^T{W}_{\mathrm{num}}\end{array}\right];$

步骤三、根据星敏感器的元器件性能及应用经验给出在轨标定过程的系统噪声方差阵Q^w、量测噪声方差阵Q^v、初始的估计误差方差矩阵P(0)及真实的透镜畸变系数a_i与估计的畸变系数之间差值的初始值根据如下公式对估计误差方差矩阵P进行迭代更新：

$\begin{array}{c}N\left(k\right)=P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))*{[H(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))+Q^v]}^{-1}\\ P(k+1)=P\left(k\right)+Q^w-N\left(k\right)[Q^v+H(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))]N^T\left(k\right)\end{array};$

其中N、P为中间计算矩阵，无实际意义；k或k+1表示第k次迭代后的值；ξ(k)为第k次迭代后真实的透镜畸变系数与估计的透镜畸变系数之间差值所组成的矩阵，其具体表示如下，其中△a为相邻两次迭代所得透镜畸变系数间的差值，

$\mathrm{\ξ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{a}_1\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δ}{a}_7\end{array}\right];$

利用矩阵N迭代计算真实透镜畸变系数与原始畸变系数之间的差值ξ(k)，然后便得到最终的星敏感器透镜畸变系数，其计算公式如下所示：

$\widehat{\mathrm{\ξ}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right)+N\left(k\right)[y\left(k\right)-H\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right)],$

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ .\\ .\\ .\\ a_7\end{array}\right]=\mathrm{\ξ}(k+1)+\left[\begin{array}{c}\widehat{a_1}\\ .\\ .\\ .\\ \widehat{a_7}\end{array}\right];$

得到真实的星敏感器透镜畸变系数即意味着通过上述步骤完成了对星敏感器透镜畸变的在轨标定。

本发明所提出的基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法实现了对星敏感器透镜温度畸变项的标定。

具体实施方式二：本发明由星敏感器成像点坐标确定目标恒星星光矢量的过程中引入了透镜畸变模型，其流程见附图1，基于星敏感器透镜畸变的卫星姿态确定方法按以下步骤进行：

步骤一、星敏感器对目标恒星成像得到星敏感器坐标系下的成像点坐标(x,y,f)，其中x,y分别为成像点在x,y方向的坐标大小，f为星敏感器透镜的焦距；由成像点坐标得到透镜出射光与透镜光轴的夹角β，其具体计算公式为：

$\mathrm{\β}=\arccos \frac{f}{\sqrt{x^2+y^2+f^2}};$

步骤二、根据透镜畸变校正公式，由透镜出射光与透镜光轴的夹角β计算得到透镜入射光与透镜光轴的夹角α，透镜畸变校正公式为：

α＝a₁β³+a₂β²+a₃β+a₄t³+a₅t²+a₆t+a₇；

上式中a₁至a₇为透镜畸变系数，t为温度，其初始大小由地面标定得到，反映了星敏感器透镜畸变的程度，通过算法估计透镜畸变系数的大小来标定星敏感器透镜畸变；

步骤三、根据星敏感器对目标恒星成像得到像点坐标(x,y,f)及透镜入射光与透镜光轴的夹角α，计算得到目标恒星在星敏感器坐标系下的单位方向矢量W，其具体表达式为：

$W=\left[\begin{array}{c}-x\sin \mathrm{\α}\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}}\\ -y\sin \mathrm{\α}\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}}\\ -\cos \mathrm{\α}\end{array}\right];$

步骤四、将成像所获得的星图与星载计算机存储的星图进行匹配识别目标恒星，得到目标恒星的赤经γ_i与赤纬δ_i，目标恒星在惯性系下的单位方向矢量为V，V由如下公式计算得到：

$V=\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\γ}}_i\cos {\mathrm{\δ}}_i\\ \sin {\mathrm{\γ}}_i\cos {\mathrm{\δ}}_i\\ \sin {\mathrm{\δ}}_i\end{array}\right];$

步骤五、星敏感器一次成像得到n颗目标恒星的成像数据，计算它们在星敏感器坐标系下的单位方向矢量和在惯性系下的单位方向矢量，令第i颗目标恒星在星敏感器坐标系下的单位方向矢量为W_i，其在惯性系下的单位方向矢量为V_i，计算矩阵K如下所示：

$K=\left[\begin{array}{cc}S-\mathrm{\σI}& Z\\ Z^T& \mathrm{\σ}\end{array}\right];$

其中I为单位矩阵，标量σ、矩阵S与矩阵Z为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\σ}=\mathrm{tr}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}{W}_i{V_i}^T\right),\\ S=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}(W_i{V_i}^T+V_i{W_i}^T),\\ Z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}(W_i\×V_i)\end{array}$

其中tr为求矩阵的迹的运算符号，n为目标恒星的数量，Z矩阵中W_i和V_i之间的运算符号为叉乘，矩阵K最大特征值对应的特征向量即为卫星的姿态四元数。

基于星敏感器透镜畸变的卫星姿态确定方法有效消除了由星敏感器透镜畸变所带来的卫星姿态确定误差，成像精度大由现有的0.5角秒～1角秒提高到0.2角秒。

为验证本发明的有益效果，进行了以下仿真实验实验：

本仿真实验实验采用的透镜为双高斯透镜组，其具体结构参数见图2。

仿真实验中将目标恒星的半视场角变化范围设置为3°至9°，星敏感器工作环境温度变化范围为0℃至-50℃。

假设卫星为对地定向的同步轨道卫星，卫星的姿态角速率为：

使用同一目标恒星入射光矢量相对星敏感器光轴矢量匀速变化的方法来模拟卫星姿态的变化，目标恒星入射光矢量在星敏感器坐标系下变化的角速率为w。

假设星敏感器的星体捕获时间△t为0.5s，星敏感器相邻两组成像数据的入射光矢量角偏差为：

△α＝w*△t≈0.002°；

采用ZEMAX软件仿真实验得到星敏感器透镜成像数据，利用这些成像数据对星敏感器透镜畸变进行在轨标定，采用MATLAB软件对星敏感器透镜畸变在轨标定进行仿真实验，仿真实验结果见图3至图7。图3的x轴为星敏感器透镜的半视场角，y轴为相应半视场角对应的星敏感器姿态确定偏差；图4-6的x轴为标定过程的迭代次数，y轴为对应的星敏感器姿态确定偏差角度；图7的x轴为星敏感器实际工作环境温度偏离星敏感器设计工作环境温度的温差，y轴为相应的由温差引起的星敏感器姿态确定误差。由图7可以看出，温度变化引起的透镜畸变对星敏感器成像精度的影响较大，由图4-6可以看出，该标定方法可以迅速对透镜畸变进行标定，而由图3可以看出，本发明提出的透镜畸变标定方法有效消除了透镜畸变对星敏感器消除的不利影响。

由仿真实验结果可以看出：本发明有效消除了星敏感器透镜畸变所造成的不利影响，目前国内的星敏感器成像精度大致为0.5角秒至1角秒左右，而该透镜畸变标定方法成功将星敏感器成像精度提高到了0.2角秒，明显提高了卫星姿态确定的精度。

Claims (2)

1.基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法，其特征在于基于星光矢量校正的在轨标定星敏感器透镜畸变的方法按以下步骤进行：

步骤一、计算第i颗目标恒星与第j颗目标恒星的测量星角距对透镜畸变系数的导数，具体表达式如下，其中a为透镜畸变系数，x_i、x_j、y_i、y_j分别为第i颗目标恒星与第j颗目标恒星成像点的x,y方向坐标，α_i、α_j分别为第i颗目标恒星与第j颗目标恒星入射光与透镜光轴的夹角，

步骤二、计算n颗目标恒星相互之间的星角距及其对透镜畸变系数的导数，得到矩阵H如下所示：

$H=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\∂}{\∂a_1}{W}_1^T{W}_2& ...& \frac{\∂}{\∂a_7}{W}_1^T{W}_2\\ .& & .\\ .& ...& .\\ .& & .\\ \frac{\∂}{\∂a_1}{W_{\mathrm{num}-1}}^T{W}_{\mathrm{num}}& ...& \frac{\∂}{\∂a_7}{W_{\mathrm{num}-1}}^T{W}_{\mathrm{num}}\end{array}\right];$

步骤三、根据星敏感器的元器件性能及应用经验给出在轨标定过程的系统噪声方差阵Q^w、量测噪声方差阵Q^v、初始的估计误差方差矩阵P(0)及真实的透镜畸变系数a_i与估计的畸变系数之间差值的初始值根据如下公式对估计误差方差矩阵P进行迭代更新：

$\begin{array}{c}N\left(k\right)=P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))*[H(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))+Q^v{]}^{-1}\\ P(k+1)=P\left(k\right)+Q^w-N\left(k\right)[Q^v+H(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))P\left(k\right)H^T(k,\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right))]N^T\left(k\right)\end{array};$

其中N、P为中间计算矩阵，无实际意义；k或k+1表示第k次迭代后的值；ξ(k)为第k次迭代后真实的透镜畸变系数与估计的透镜畸变系数之间差值所组成的矩阵，其具体表示如下，其中△a为相邻两次迭代所得透镜畸变系数间的差值，

$\mathrm{\ξ}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{a}_1\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δ}{a}_7\end{array}\right];$

利用矩阵N迭代计算真实透镜畸变系数与原始畸变系数之间的差值ξ(k)，然后便得到最终的星敏感器透镜畸变系数，其计算公式如下所示：

$\widehat{\mathrm{\ξ}}(k+1)=\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right)+N\left(k\right)[y\left(k\right)-H\widehat{\mathrm{\ξ}}\left(k\right)],$

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ .\\ .\\ .\\ a_7\end{array}\right]=\mathrm{\ξ}(k+1)+\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_1\\ .\\ .\\ .\\ {\hat{a}}_7\end{array}\right];$

得到真实的星敏感器透镜畸变系数即意味着通过上述步骤完成了对星敏感器透镜畸变的在轨标定。

2.基于星敏感器透镜畸变的卫星姿态确定方法，其特征在于：所述卫星姿态确定方法按以下步骤进行：

步骤一、星敏感器对目标恒星成像得到星敏感器坐标系下的成像点坐标(x,y,f)，其中x,y分别为成像点在x,y方向的坐标大小，f为星敏感器透镜的焦距；由成像点坐标得到透镜出射光与透镜光轴的夹角β，其具体计算公式为：

$\mathrm{\β}=\arccos \frac{f}{\sqrt{x^2+y^2+f^2}};$

步骤二、根据透镜畸变校正公式，由透镜出射光与透镜光轴的夹角β计算得到透镜入射光与透镜光轴的夹角α，透镜畸变校正公式为：

α＝a₁β³+a₂β²+a₃β+a₄t³+a₅t²+a₆t+a₇；

上式中a₁至a₇为透镜畸变系数，t为温度，其初始大小由地面标定得到，反映了星敏感器透镜畸变的程度，通过算法估计透镜畸变系数的大小来标定星敏感器透镜畸变；

步骤三、根据星敏感器对目标恒星成像得到像点坐标(x,y,f)及透镜入射光与透镜光轴的夹角α，计算得到目标恒星在星敏感器坐标系下的单位方向矢量W，其具体表达式为

$W=\left[\begin{array}{c}-x\sin \mathrm{\α}\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}}\\ -y\sin \mathrm{\α}\sqrt{\frac{1}{x^2+y^2}}\\ -\cos \mathrm{\α}\end{array}\right];$

步骤四、将成像所获得的星图与星载计算机存储的星图进行匹配识别目标恒星，得到目标恒星的赤经γ_i与赤纬δ_i，目标恒星在惯性系下的单位方向矢量为V，V由如下公式计算得到：

$V=\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\γ}}_i\cos {\mathrm{\δ}}_i\\ \sin {\mathrm{\γ}}_i\cos {\mathrm{\δ}}_i\\ \sin {\mathrm{\δ}}_i\end{array}\right];$

步骤五、星敏感器一次成像得到n颗目标恒星的成像数据，计算它们在星敏感器坐标系下的单位方向矢量和在惯性系下的单位方向矢量，令第i颗目标恒星在星敏感器坐标系下的单位方向矢量为W_i，其在惯性系下的单位方向矢量为V_i，计算矩阵K如下所示：

$K=\left[\begin{array}{cc}S-\mathrm{\σI}& Z\\ Z^T& \mathrm{\σ}\end{array}\right];$

其中I为单位矩阵，标量σ、矩阵S与矩阵Z为：

$\mathrm{\σ}=\mathrm{tr}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}{W}_i{V}_i^T\right),$

$S=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}(W_i{V}_i^T+V_i{W}_i^T),$

$Z=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n}(W_i\×V_i)$

其中tr为求矩阵的迹的运算符号，n为目标恒星的数量，Z矩阵中W_i和V_i之间的运算符号为叉乘，矩阵K最大特征值对应的特征向量即为卫星的姿态四元数。