CN103197551A - 一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法，利用飞行器控制系统中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路四个控制回路的仿射非线性方程来设计每个回路的单向滑模控制器，利用这四个单向滑模控制器来实现对单选翼无人飞行器的控制，该方法在确保控制器中滑模趋近律当且仅当系统状态位于原点处为0的基础上，解决滑模控制方法中的抖振问题，并且控制器具有良好的鲁棒性和控制性能。

Description

一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法

技术领域

本发明属于飞行控制技术领域，具体地说是一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法。

背景技术

滑模控制方法是一类特殊的变结构控制(Variable Structure Control,VSC)方法，其根源可以追溯到20世纪50年代前苏联学者Emelyanov等提出变结构控制思想。这种控制思想的主要内容是：系统包含一系列不同的控制器结构，且各个结构按照某种特定的规则进行切换，从而得到其中任意单个控制器所不能达到的系统性能。由于变结构控制系统通过对许多单个控制器进行组合，使得系统能保持一种高于一般固定结构控制所能达到的性能。基于这一点，变结构控制系统能够突破经典控制系统的品质限制，可较好地解决控制系统动态与静态性能指标之间的矛盾，具有广阔的应用前景。

然而传统滑模的优势建立在滑模趋近律中出现不连续切换的基础之上。随着滑模控制方法的进一步发展，传统滑模中存在抖振问题也被揭示出来。理论上讲，无论不连续的变结构系统，还是连续化后的系统，都不存在抖振，然而这需要控制器的切换频率为无限大，并且系统没有时滞。当系统中存在时滞时，趋近律中的切换函数将呈现非理想的开关特性，从引起高频振荡，进而激发激发系统中未建模部分动力学的强迫振动。在工程上讲，这种高频抖振对于大部分实际系统是有害的：如在刀具切削时，高频抖振将引起切削面的不光滑，造成次品；在机电系统中，高频抖振会导致系统元件的磨损，增大能耗。针对这些问题，国内外学者提出了许多消除或削弱的先进滑模控制方法，以满足实际工程领域的要求。

第一类方法是通过消除趋近律中不连续函数来达到去抖振的目的。这一类方法中最简便易行的当属“边界层”方法：利用饱和函数代替符号函数等方法使控制输入连续，即在边界层外采用正常的滑模控制，在边界层内为连续状态反馈控制，从而有效地削弱了抖振，为滑模控制的工程应用开辟了道路。然而采用边界层的滑模控制仅能保证系统的状态收敛到以滑模面为中心的边界层内，失去了不变性。高阶滑模控制算法虽然能够在保证不变性的前提下，实现趋近律的连续性。但是其中需要获得一定阶次的微分信息，在实际工程应用中微分器有可能放大系统状态中的扰动，从而降低控制器的性能。

第二类方法是通过降低趋近律切换频率的方法以降低系统中的抖振。如双滑模变结构控制方法，通过两个滑模面的交替使用，使得系统状态在两个滑模面上来回运动，从而降低趋近律切换的频率，但是本质上趋近律还是不连续的。滑动扇形区方法也是一种有效的降低切换频率的方法，利用滑动扇形区域，将状态空间分为扇形区域内部和外部两个部分，以此来降低控制器切换的频率。但是，该方法需要找出零输入条件下稳定的扇形域，在实际工程应用中存在一定的困难。

第三类方法是不改变切换频率，而是通过减小趋近律中符号函数的增益来降低系统的抖振。我国学者高为炳教授提出了几种趋近律的设计，在尽量保证控制精度的前提下，优化不连续函数增益以减小抖振。目前常用的趋近律有：等速趋近律、指数趋近律、幂次趋近律和快速终端趋近律等等。然而在实际工程应用中寻找恰当的符号函数增益具有一定的难度。

发明内容

本发明解决的技术问题是提供一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法，使得小型无人飞行器在没有抖振的前提下，具有更高的鲁棒性和控制性能。

为解决上述技术问题，本发明一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法，该方法基于飞行器控制系统中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路四个控制回路组成的控制系统实现，具体包括以下步骤：

步骤一、将飞行器中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路分别转换为式（1）的仿射非线性方程

$\stackrel{\·}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u---\left(1\right)$

其中，x∈Rⁿ、u∈Rⁿ分别是子系统状态向量和控制向量，f(x)∈Rⁿ、g(x)∈R^n×n是状态x的平滑函数；

根据角速率回路、欧拉角回路、速度回路、位置回路各自的状态向量与控制向量，结合式（1）确定该四个回路具体的仿射非线性系统方程为：

A、位置回路的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\·}{\mathrm{\Σ}}}_e=f_p\left({\mathrm{\Σ}}_e\right)+g_p\left({\mathrm{\Σ}}_e\right){\mathrm{\σ}}_C$

式中，Σ_e=[x_e,y_e,z_e]^T为位置回路的状态误差，x_e,y_e,z_e为地面坐标轴系下X、Y、Z方向无人飞行器的位置误差信号，f_p（Σ_e）∈Rⁿ、g_p（Σ_e）∈R^n×n是状态Σ_e的平滑函数且f_p（Σ_e）与位置回路的指令信号有关、g_p（Σ_e）与姿态角有关;σ_C为速度回路的指令信号；

B、速度回路的仿射非线性系统方程：

${\stackrel{\·}{u}}_e=f_u\left(u_e\right)+g_u\left(u_e\right){\mathrm{\θ}}_s$

${\stackrel{\·}{v}}_e=f_v\left(v_e\right)+g_v\left(v_e\right){\mathrm{\φ}}_s$

${\stackrel{\·}{w}}_e=f_w\left(w_e\right)+g_w\left(w_e\right){\mathrm{\δ}}_{\mathrm{col}}$

式中，u_e、v_e、w_e分别为机体坐标轴系下X、Y、Z方向的速度误差，f_u（u_e）∈Rⁿ、g_u（u_e）∈R^n×n是状态u_e的平滑函数且f_u（u_e）与角速率、速度、翼动角、速度指令信号和气动参数有关；g_u（u_e）与重力加速度有关，θ_s=sinθ_c，θ_c为俯仰角指令信号；

f_v（v_e）∈Rⁿ、g_v（v_e）∈R^n×n是状态v_e的平滑函数，且f_v（v_e）与角速率、速度、翼动角、速度指令信号和气动参数有关；g_v（v_e）与重力加速度、欧拉角有关，φ_s=sinφ_c，φ_c为滚转角指令信号；

f_w（w_e）∈Rⁿ、g_w（w_e）∈R^n×n是状态w_e的平滑函数，且f_w（w_e）与角速率、速度、翼动角、速度指令信号和气动参数有关；g_w（w_e）与气动参数有关；δ_col为主转子控制输入；

C、欧拉角回路系统方程的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}}_e=f_E\left({\mathrm{\Ω}}_e\right)+g_E\left({\mathrm{\Ω}}_e\right){\mathrm{\ω}}_c$

式中Ω_e=[φ_e,θ_e,ψ_e]^T为欧拉角回路的状态误差，φ_e,θ_e,ψ_e为滚转角、俯仰角和偏航角的误差，f_E（Ω_e）∈Rⁿ、g_E（Ω_e）∈R^n×n是状态Ω_e的平滑函数，且f_E（Ω_e）与欧拉角指令信号有关，g_E（Ω_e）与滚转角和俯仰角有关；ω_c为角速率指令信号；

D、角速率回路系统方程的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_e=f_a\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+g_a\left({\mathrm{\ω}}_e\right)M_C$

式中ω_e=[p_e,q_e,r_e]^T为角速率回路的状态误差，p_e,q_e,r_e分别为滚转角速率、俯仰角速率和偏航角速率的误差，f_a（ω_e）∈Rⁿ、g_a（ω_e）∈R^n×n是状态ω_e的平滑函数，且f_a（ω_e）与角速率指令信号、气动参数有关；g_a（ω_e）与气动参数有关，M_C为控制力矩；

步骤二、分别设计角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路的单向滑模控制器，具体为：

(2-1)根据式（1）的仿射非线性方程确定该系统的单向滑模控制器如下：

u=g(x)^-1(-f(x)+Ω₁ ^-1·N-Ω₁ ^-1·Ω₂·x)     (2)

式中，Ω₁、Ω₂为单向辅助面的设计参数，N为单向滑模的去抖振趋近率；

(2-2)结合式（2）和四个回路的状态向量与控制向量确定该四个回路的具体的单向滑膜控制器为：

位置回路的单向滑模控制器为：σ_c=g_p(Σ_e)^-1(-f_p(Σ_e)+Ω_p1 ^-1·N_p-Ω_p1 ^-1·Ω_p2·Σ_e)；

式中，Ω_p1、Ω_p2为位置回路单向辅助面的设计参数，N_p为位置回路单向滑模的去抖振趋近率；

速度回路的单向滑模控制器为：

${\mathrm{\θ}}_c=\arcsin \left(g_u{\left(u_e\right)}^{-1}(-f_u\left(u_e\right)+{{\mathrm{\Ω}}_{u1}}^{-1}\·N_u-{{\mathrm{\Ω}}_{u1}}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{u2}\·u_e)\right)$

${\mathrm{\φ}}_c=\arcsin \left(g_v{\left(v_e\right)}^{-1}(-f_v\left(v_e\right)+{{\mathrm{\Ω}}_{v1}}^{-1}\·N_v-{{\mathrm{\Ω}}_{v1}}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{v2}\·v_e)\right)$

${\mathrm{\δ}}_{\mathrm{col}}=g_w{\left(w_e\right)}^{-1}(-f_w\left(w_e\right)+{{\mathrm{\Ω}}_{w1}}^{-1}\·N_w-{{\mathrm{\Ω}}_{w1}}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{w2}\·w_e)$

式中，Ω_u1、Ω_u2为针对速度回路误差状态u_e的单向辅助面设计参数；Ω_v1、Ω_v2为速度回路误差状态v_e的单向辅助面设计参数；Ω_w1、Ω_w2为速度回路误差状态w_e的单向辅助面设计参数；N_u、N_v、N_w分别为速度回路中针对误差状态u_e，v_e，w_e设计的单向滑模去抖振趋近率；

欧拉角回路的单向滑模控制器为：

${\mathrm{\ω}}_c=g_E{\left({\mathrm{\Ω}}_e\right)}^{-1}(-f_E\left({\mathrm{\Ω}}_e\right)+{{\mathrm{\Ω}}_{E1}}^{-1}\·N_E-{{\mathrm{\Ω}}_{E1}}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{E2}\·{\mathrm{\Ω}}_e)$

式中，Ω_E1、Ω_E2为欧拉角回路单向辅助面的设计参数；N_E为欧拉角回路单向滑模的去抖振趋近率；

角速率回路的单向滑模控制器为：

$M_c=g_a{\left({\mathrm{\ω}}_e\right)}^{-1}(-f_a\left({\mathrm{\ω}}_e\right)+{{\mathrm{\Ω}}_{a1}}^{-1}\·N_a-{{\mathrm{\Ω}}_{a1}}^{-1}\·{\mathrm{\Ω}}_{a2}\·{\mathrm{\ω}}_e)$

式中，Ω_a1、Ω_a2为角速率回路单向辅助面的设计参数；N_a为角速率回路单向滑模的去抖振趋近率；

步骤三、利用步骤二中四个回路的单向滑模控制器实现对无人飞行器的控制，具体为；

（3-1）获取无人飞行器的位置误差信号并将该位置误差信号输入到位置回路的单向滑模控制器中输出速度回路的指令信号；其中，无人飞行器的位置误差信号通过地面坐标轴系中无人飞行器当前位置信号减去预先设定的轨迹指令信号获得；

（3-2）将当前速度信号减去速度回路的指令信号得到速度误差，并将该误差发送到速度回路的单向滑模控制器中输出机体坐标轴系下的滚转角指令信号、俯仰角指令信号和主轴转子指令信号；分别将当前滚转角、俯仰角、偏航角减去滚转角指令信号、俯仰角指令信号以及预先设计的偏航角指令信号，得到滚转角误差信号、俯仰角误差信号和偏航角误差信号，并将这三个误差信号发送到欧拉角回路的单向滑模控制器中输出角速率指令信号，将主轴转子指令信号发送至无人飞行器指令接收器；

（3-3）将当前角速率信号减去角速率指令信号得到角速率误差信号，并将该误差发送到角速率回路的单向滑模控制器中输出翼动角指令信号和尾转子指令信号，将上述指令信号发送至无人飞行器指令接收器，实现无人飞行器对轨迹指令和欧拉角的跟踪。

进一步地优选方案，本发明单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法中，所述步骤（2-1）中利用式（1）的仿射非线性方程确定该系统的无抖振单向滑模控制器的方法，具体为

（2-1-1）、选取如式(3)所示稳定的切换面：

$s_1\left(x\right)=x+{\mathrm{\ξ}}_1\∫x=0$

$s_2\left(x\right)=x+{\mathrm{\ξ}}_2\∫x=0---\left(3\right)$

ξ₁和ξ₂是系数矩阵，ξ₁=diag{ξ₁₁,…,ξ_1n},ξ₂=diag{ξ₂₁,…,ξ_2n},s₁(x)=[s₁₁,…,s_1n]^T,s₂(x)=[s₂₁,…,s_2n]^T,ξ_1i>ξ_2i>0,i∈{1,…,n}，为简便起见，使用∫x代表x(τ)dτ；

（2-1-2）、基于切换面s_1i,s_2i整个状态空间被划分为编号0_i～3_i的4个子空间，在切换面s_1i,s_2i上任意取四个点P_s1i+,P_s1i-,P_s2i+,P_s2i-，使得原点包含在凸集P_s1i+P_s2i+P_s1i-P_s2i-内部，由此可知：

$s_{1i}\left(P_{s1i+}\right)=0;s_{1i}\left(P_{s1i-}\right)=0$

$s_{2i}\left(P_{s2i+}\right)=0;s_{2i}\left(P_{s2i-}\right)=0---\left(4\right)$

直线P_s1i-P_s2i-,P_s1i+P_s2i-,P_s1i-P_s2i+,P_s1i+P_s2i+被称为单向辅助面h_0i,h_1i,h_2i,h_3i，其直线方程表示形式为：

$h_{\mathrm{ki}}={\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ki}1}{x}_i+{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ki}2}\∫x_i+m_i---\left(5\right)$

其中,k表示单向辅助面所在子空间的编号且k∈{0,1,2,3},i表示系统状态的编号且i∈{1,…,n},ω_ki1，ω_ki2，m_i为设计系数，且ω_ki1≠0的实数，m_i为正数，ω_ki2为实数；单向辅助面所构成的集合Q_i={(x_i,∫x_i)|h_ki≥0,k=0,1,2,3}可以被证明为正不变集；在设计过程中使式(5)中的系数满足去抖振条件ω_1i1<0,ω_2i1>0和简化条件ω_0i1=-ω_3i1，ω_0i2=-ω_3i2，ω_1i1=-ω_2i1，ω_1i2=-ω_2i2；

（2-1-3）将式(5)写成如下表示形式：

$h_i={\mathrm{\&omega;}}_{i1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i2}\&Integral;x_i+m_i,i=1,...,n---\left(6\right)$

其中

${\mathrm{\&omega;}}_{i1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i1}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i1}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.,$ ${\mathrm{\&omega;}}_{i2}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i2}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i2}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

可以将式(6)中的单向辅助面写成一个紧凑的形式：

$h={\mathrm{\&Omega;}}_{1}x+{\mathrm{\&Omega;}}_2\&Integral;x+m---\left(7\right)$

其中h=[h₁,…,h_n]^T,Ω₁=diag{ω₁₁,…,ω_n1}，Ω₂=diag{ω₁₂,…,ω_n2},m=[m₁,…,m_n]^T

（2-1-4）根据所述步骤（2-1-2）中的去抖振条件和简化条件将单向滑模的去抖振趋近律N_i，i=1,…,n设计为如下形式：

$N_i={\mathrm{\&omega;}}_{i2}\&CenterDot;x_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i1}\{{\mathrm{\&epsiv;}}_i(a_i\&CenterDot;x_i-k_i\&CenterDot;s_{2i})+(1-{\mathrm{\&epsiv;}}_i)[1/2\&CenterDot;(a_i+b_i)x_i\left]\right\}---\left(8\right)$

其中k_i为设计参数，k_i>0且为实数,a_i=-ω_0i2/ω_0i1=-ω_3i2/ω_3i1,b_i=-ω_1i2/ω_1i1=-ω_2i2/ω_2i1

${\mathrm{\&epsiv;}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{1i}|+|s_{2i}\left|\right)& s_{1i}{s}_{2i}\&le;0,s_{1i}\&NotEqual;0\\ \left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{2i}|+|x_i\left|\right)& s_{2i}{x}_i\&le;0,x_i\&NotEqual;0\\ 1& s_{1i}{x}_i\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

（2-1-5）单向滑模控制器u(t)可由解式(9)得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{h}={\mathrm{\&Omega;}}_1\&CenterDot;(f\left(x\right)+g\left(x\right)u)+{\mathrm{\&Omega;}}_2\&CenterDot;x=N---\left(9\right)$

其中N是单向滑模趋近律，N=[N₁,…,N_n]^T，N_i≥0，则单向滑模控制器u(t)的表示形式如式(10)所示：

$u=g{\left(x\right)}^{-1}(-f\left(x\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_1}^{-1}\&CenterDot;N-{{\mathrm{\&Omega;}}_1}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_2\&CenterDot;x)---\left(10\right)$

本发明与现有技术相比具有以下显著的进步：(1)本发明在确保控制器中滑模趋近律当且仅当系统状态位于原点处为0的基础上，解决滑模控制方法中的抖振问题，并且控制器具有良好的鲁棒性和控制性能；(2)本发明中采用单向辅助面设计控制器，且对单向辅助面的稳定性没有要求，设计的自由度更大；(3)本发明中单向辅助面所构成的集合可以被证明为正不变集，因此在状态受限方面具有一定的应用前景。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的描述；

附图说明

图1为本发明中的系统状态子空间设计图。

图2为本发明中的单向辅助面设计图。

图3为单向滑模趋近结构原理图。

图4为传统滑模趋近结构原理图。

图5为单向辅助面的区域分布图。

图6为区域Beyond2中的单向辅助面分布图。

图7为区域Beyond3中的单向辅助面分布图。

图8为区域Area1中的单向辅助面分布图。

图9为无抖振趋近律在各子空间中的设计图。

图10为子空间中的点坐标变化示意图。

图11为Lyapunov函数切换示意图。

图12为Trex-250小型无人直升机的控制原理图。

图13为Trex-250飞行器在x方向的位移。

图14为Trex-250飞行器在y方向的位移。

图15为Trex-250飞行器在z方向的位移。

图16为飞行过程中欧拉角ψ的变化情况。

具体实施方式

如图12所示，本发明一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法，该方法基于飞行器控制系统中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路四个控制回路组成的控制系统实现，具体包括以下步骤：

步骤一、将飞行器中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路分别转换为式（1）的仿射非线性方程

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u---\left(1\right)$

其中，x∈Rⁿ、u∈Rⁿ分别是子系统状态向量和控制向量，f(x)∈Rⁿ、g(x)∈R^n×n是状态x的平滑函数；

根据角速率回路、欧拉角回路、速度回路、位置回路各自的状态向量与控制向量，结合式（1）确定该四个回路具体的仿射非线性系统方程为：

A、位置回路的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Sigma;}}}_e=f_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)+g_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right){\mathrm{\&sigma;}}_C$

式中，Σ_e为无人飞行器的位置误差信号，f_p（Σ_e）∈Rⁿ、g_p（Σ_e）∈R^n×n是状态Σ_e的平滑函数且f_p（Σ_e）与位置回路的指令信号有关、g_p（Σ_e）与姿态角有关;σ_C为速度回路的指令信号；

B、速度回路的仿射非线性系统方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_e=f_u\left(u_e\right)+g_u\left(u_e\right){\mathrm{\&theta;}}_s$

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_e=f_v\left(v_e\right)+g_v\left(v_e\right){\mathrm{\&phi;}}_s$

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_e=f_w\left(w_e\right)+g_w\left(w_e\right){\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}$

式中，u_e、v_e、w_e分别为机体坐标轴系下X、Y、Z方向的速度误差，f_u（u_e）∈Rⁿ、g_u（u_e）∈R^n×n是状态u_e的平滑函数且f_u（u_e）与角速率、速度、翼动角、速度指令信号和气动参数有关；g_u（u_e）与重力加速度有关，θ_s=sinθ_c，θ_c为俯仰角指令信号；

f_v（v_e）∈Rⁿ、g_v（v_e）∈R^n×n是状态v_e的平滑函数，且f_v（v_e）与角速率、速度、翼动角、速度指令信号和气动参数有关；g_v（v_e）与重力加速度、欧拉角有关，φ_s=sinφ_c，φ_c为滚转角指令信号；

f_w（w_e）∈Rⁿ、g_w（w_e）∈R^n×n是状态w_e的平滑函数，且f_w（w_e）与角速率、速度、翼动角、速度指令信号和气动参数有关；g_w（w_e）与气动参数有关；δ_col为主转子控制输入；

C、欧拉角回路系统方程的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}}_e=f_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right)+g_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right){\mathrm{\&omega;}}_c$

Ω_e=[φ_e,θ_e,ψ_e]^T为欧拉角回路的状态误差，φ_e,θ_e,ψ_e为滚转角、俯仰角和偏航角的误差，f_E（Ω_e）∈Rⁿ、g_E（Ω_e）∈R^n×n是状态Ω_e的平滑函数，且f_E（Ω_e）与欧拉角指令信号有关，g_E（Ω_e）与滚转角和俯仰角有关；ω_c为角速率指令信号；

D、角速率回路系统方程的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e=f_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)+g_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)M_C$

ω_e=[p_e,q_e,r_e]^T为角速率回路的状态误差，p_e,q_e,r_e分别为滚转角速率、俯仰角速率和偏航角速率的误差，f_a（ω_e）∈Rⁿ、g_a（ω_e）∈R^n×n是状态ω_e的平滑函数，且f_a（ω_e）与角速率指令信号、气动参数有关；g_a（ω_e）与气动参数有关，M_C为控制力矩；

步骤二、分别设计角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路的单向滑模控制器，具体为：

(2-1)根据式（1）的仿射非线性方程确定该系统的单向滑模控制器，具体为：

如下：

（2-1-1）、选取如式(2)所示稳定的切换面：

$s_1\left(x\right)=x+{\mathrm{\&xi;}}_1\&Integral;x=0$

$s_2\left(x\right)=x+{\mathrm{\&xi;}}_2\&Integral;x=0---\left(2\right)$

ξ₁和ξ₂是系数矩阵，ξ₁=diag{ξ₁₁,…,ξ_1n},ξ₂=diag{ξ₂₁,…,ξ_2n},s₁(x)=[s₁₁,…,s_1n]^T,s₂(x)=[s₂₁,…,s_2n]^T,ξ_1i>ξ_2i>0,i∈{1,…,n}，为简便起见，使用∫x代表

（2-1-2）、基于切换面s_1i,s_2i整个状态空间被划分为编号0_i～3_i的4个子空间，在切换面s_1i,s_2i上取四个点P_s1i+,P_s1i-,P_s2i+,P_s2i-，使得原点包含在凸集P_s1i+P_s2i+P_s1i-P_s2i-内部，由此可知：

$s_{1i}\left(P_{s1i+}\right)=0;s_{1i}\left(P_{s1i-}\right)=0$

$s_{2i}\left(P_{s2i+}\right)=0;s_{2i}\left(P_{s2i-}\right)=0---\left(3\right)$

直线P_s1i-P_s2i-,P_s1i+P_s2i-,P_s1i-P_s2i+,P_s1i+P_s2i+被称为单向辅助面h_0i,h_1i,h_2i,h_3i，其直线方程表示形式为：

$h_{\mathrm{ki}}={\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ki}1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ki}2}\&Integral;x_i+m_i---\left(4\right)$

其中,k表示单向辅助面所在子空间的编号且k∈{0,1,2,3},i表示系统状态的编号且i∈{1,…,n},ω_ki1，ω_ki2，m_i为需要设计的系数，且ω_ki1≠0的实数，m_i为正数，ω_ki2为实数；在设计过程中使式(4)中的系数满足去抖振条件ω_1i1<0,ω_2i1>0和简化条件ω_0i1=-ω_3i1，ω_0i2=-ω_3i2，ω_1i1=-ω_2i1，ω_1i2=-ω_2i2；

（2-1-3）将式(4)写成如下表示形式：

$h_i={\mathrm{\&omega;}}_{i1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i2}\&Integral;x_i+m_i,i=1,...,n---\left(5\right)$

其中

${\mathrm{\&omega;}}_{i1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i1}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i1}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.,$ ${\mathrm{\&omega;}}_{i2}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i2}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i2}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

可以将式(5)中的单向辅助面写成一个紧凑的形式：

$h={\mathrm{\&Omega;}}_{1}x+{\mathrm{\&Omega;}}_2\&Integral;x+m---\left(6\right)$

其中h=[h₁,…,h_n]^T,Ω₁=diag{ω₁₁,…,ω_n1}，Ω₂=diag{ω₁₂,…,ω_n2},m=[m₁,…,m_n]^T

（2-1-4）根据所述步骤（2-1-2）中的去抖振条件和简化条件将单向滑模的去抖振趋近律N_i，i=1,…,n设计为如下形式：

$N_i={\mathrm{\&omega;}}_{i2}\&CenterDot;x_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i1}\{{\mathrm{\&epsiv;}}_i(a_i\&CenterDot;x_i-k_i\&CenterDot;s_{2i})+(1-{\mathrm{\&epsiv;}}_i)[1/2\&CenterDot;(a_i+b_i)x_i\left]\right\}---\left(7\right)$

其中k_i为需要设计的参数，k_i>0,a_i=-ω_0i2/ω_0i1=-ω_3i2/ω_3i1,b_i=-ω_1i2/ω_1i1=-ω_2i2/ω_2i1

${\mathrm{\&epsiv;}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{1i}|+|s_{2i}\left|\right)& s_{1i}{s}_{2i}\&le;0,s_{1i}\&NotEqual;0\\ \left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{2i}|+|x_i\left|\right)& s_{2i}{x}_i\&le;0,x_i\&NotEqual;0\\ 1& s_{1i}{x}_i\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

（2-1-5）单向滑模控制器u(t)可由解式(8)得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{h}={\mathrm{\&Omega;}}_1\&CenterDot;(f\left(x\right)+g\left(x\right)u)+{\mathrm{\&Omega;}}_2\&CenterDot;x=N---\left(8\right)$

其中N是单向滑模趋近律，N=[N₁,…,N_n]^T，N_i≥0，则单向滑模控制器u(t)的表示形式如式(9)所示：

$u=g{\left(x\right)}^{-1}(-f\left(x\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_1}^{-1}\&CenterDot;N-{{\mathrm{\&Omega;}}_1}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_2\&CenterDot;x)---\left(9\right)$

式中，Ω₁、Ω₂为单向辅助面的设计参数，N为单向滑模的去抖振趋近率；

（2-2）结合式（2）和四个回路的状态向量与控制向量确定该四个回路的具体的单向滑膜控制器为：

位置回路的单向滑模控制器为：σ_c=g_p(Σ_e)^-1(-f_p(Σ_e)+Ω_p1 ^-1·N_p-Ω_p1 ^-1·Ω_p2·Σ_e)；

式中，Ω_p1、Ω_p2为位置回路单向辅助面的设计参数，N_p为位置回路单向滑模的去抖振趋近率；

速度回路的单向滑模控制器为：

${\mathrm{\&theta;}}_c=\arcsin \left(g_u{\left(u_e\right)}^{-1}(-f_u\left(u_e\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_{u1}}^{-1}\&CenterDot;N_u-{{\mathrm{\&Omega;}}_{u1}}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_{u2}\&CenterDot;u_e)\right)$

${\mathrm{\&phi;}}_c=\arcsin \left(g_v{\left(v_e\right)}^{-1}(-f_v\left(v_e\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_{v1}}^{-1}\&CenterDot;N_v-{{\mathrm{\&Omega;}}_{v1}}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_{v2}\&CenterDot;v_e)\right)$

${\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}=g_w{\left(w_e\right)}^{-1}(-f_w\left(w_e\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_{w1}}^{-1}\&CenterDot;N_w-{{\mathrm{\&Omega;}}_{w1}}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_{w2}\&CenterDot;w_e)$

式中，Ω_u1、Ω_u2为针对速度回路误差状态u_e的单向辅助面设计参数；Ω_v1、Ω_v2为速度回路误差状态v_e的单向辅助面设计参数；Ω_w1、Ω_w2为速度回路误差状态w_e的单向辅助面设计参数；N_u、N_v、N_w分别为速度回路中针对误差状态u_e，v_e，w_e设计的单向滑模去抖振趋近率；

欧拉角回路的单向滑模控制器为：

${\mathrm{\&omega;}}_c=g_E{\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right)}^{-1}(-f_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_{E1}}^{-1}\&CenterDot;N_E-{{\mathrm{\&Omega;}}_{E1}}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_{E2}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_e)$

式中，Ω_E1、Ω_E2为欧拉角回路单向辅助面的设计参数；N_E为欧拉角回路单向滑模的去抖振趋近率；

角速率回路的单向滑模控制器为：

$M_c=g_a{\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)}^{-1}(-f_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_{a1}}^{-1}\&CenterDot;N_a-{{\mathrm{\&Omega;}}_{a1}}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_{a2}\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_e)$

式中，Ω_a1、Ω_a2为角速率回路单向辅助面的设计参数；N_a为角速率回路单向滑模的去抖振趋近率；

步骤三、利用步骤二中四个回路的单向滑模控制器实现对无人飞行器的控制，具体为；

（3-1）获取无人飞行器的位置误差信号并将该位置误差信号输入到位置回路的单向滑模控制器中输出速度回路的指令信号；其中，无人飞行器的位置误差信号通过地面坐标轴系中无人飞行器当前位置信号减去预先设定的轨迹指令信号获得；

（3-2）将当前速度信号减去速度回路的指令信号得到速度误差，并将该误差发送到速度回路的单向滑模控制器中输出机体坐标轴系下的滚转角指令信号、俯仰角指令信号和主轴转子指令信号；分别将当前滚转角、俯仰角、偏航角减去滚转角指令信号、俯仰角指令信号以及预先设计的偏航角指令信号，得到滚转角误差信号、俯仰角误差信号和偏航角误差信号，并将这三个误差信号发送到欧拉角回路的单向滑模控制器中输出角速率指令信号，将主轴转子指令信号发送至无人飞行器指令接收器；

（3-3）将当前角速率信号减去角速率指令信号得到角速率误差信号，并将该误差发送到角速率回路的单向滑模控制器中输出翼动角指令信号和尾转子指令信号，将上述指令信号发送至无人飞行器指令接收器，实现无人飞行器对轨迹指令和欧拉角的跟踪。

针对位置回路仿射非线性方程

设计该回路的单向滑模控制器，具体为：

（2-1-1）、选取如下所示稳定的切换面：

$s_{p1}\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_e+{\mathrm{\&xi;}}_{p1}\&Integral;{\mathrm{\&Sigma;}}_e=0$

$s_{p2}\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)={\mathrm{\&Sigma;}}_e+{\mathrm{\&xi;}}_{p2}\&Integral;{\mathrm{\&Sigma;}}_e=0$

ξ_p1和ξ_p2是系数矩阵，ξ_p1=diag{ξ_1x,ξ_1y,ξ_1z},ξ_p2=diag{ξ_2x,ξ_2y,ξ_2z},s_p1(x)=[s_1x,s_1y,s_1z]^T,s_p2(x)=[s_2x,s_2y,s_2z]^T,ξ_1i>ξ_2i>0,i∈{x,y,z}；

（2-1-2）、基于切换面s_1i,s_2i整个状态空间被划分为编号0_i～3_i的4个子空间，在切换面s_1i,s_2i上取四个点P_s1i+,P_s1i-,P_s2i+,P_s2i-，使得原点包含在凸集P_s1i+P_s2i+P_s1i-P_s2i-内部，由此可知：

$s_{1i}\left(P_{s1i+}\right)=0;s_{1i}\left(P_{s1i-}\right)=0$

$s_{2i}\left(P_{s2i+}\right)=0;s_{2i}\left(P_{s2i-}\right)=0$

直线P_s1i-P_s2i-,P_s1i+P_s2i-,P_s1i-P_s2i+,P_s1i+P_s2i+被称为单向辅助面h_0i,h_1i,h_2i,h_3i，其直线方程表示形式为：

$h_{\mathrm{ki}}={\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ki}1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ki}2}\&Integral;x_i+m_i---\left(A\right)$

其中,k表示单向辅助面所在子空间的编号且k∈{0,1,2,3},i表示某一系统状态且i∈{x,y,z},ω_ki1，ω_ki2，m_i为需要设计的系数，且ω_ki1≠0的实数，m_i为正数，ω_ki2为实数；在设计过程中使式(A)中的系数满足去抖振条件ω_1i1<0,ω_2i1>0和简化条件ω_0i1=-ω_3i1，ω_0i2=-ω_3i2，ω_1i1=-ω_2i1，ω_1i2=-ω_2i2；

（2-1-3）将式(A)写成如下表示形式：

$h_i={\mathrm{\&omega;}}_{i1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i2}\&Integral;x_i+m_i,i=1,...,n---\left(B\right)$

其中

${\mathrm{\&omega;}}_{i1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i1}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i1}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.,$ ${\mathrm{\&omega;}}_{i2}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i2}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i2}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

可以将式(B)中的单向辅助面写成一个紧凑的形式：

h_p=Ω_p1x+Ω_p2∫x+m_p

其中h_p=[h_x,h_y,h_z]^T,Ω_p1=diag{ω_x1,ω_y1,ω_z1}，Ω_p2=diag{ω_x2,ω_y2,ω_z2},m_p=[m_x,m_y,m_z]^T

（2-1-4）根据所述步骤（2-1-2）中的去抖振条件和简化条件将单向滑模的去抖振趋近律N_i，i∈{x,y,z}设计为如下形式：

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}

其中k_i为需要设计的参数，k_i>0,a_i=-ω_0i2/ω_0i1=-ω_3i2/ω_3i1,b_i=-ω_1i2/ω_1i1=-ω_2i2/ω_2i1

${\mathrm{\&epsiv;}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{1i}|+|s_{2i}\left|\right)& s_{1i}{s}_{2i}\&le;0,s_{1i}\&NotEqual;0\\ \left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{2i}|+|x_i\left|\right)& s_{2i}{x}_i\&le;0,x_i\&NotEqual;0\\ 1& s_{1i}{x}_i\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

（2-1-5）单向滑模控制器σ_c可由如下公式得到 ${\stackrel{\&CenterDot;}{h}}_p={\mathrm{\&Omega;}}_{p1}\&CenterDot;(f_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)+g_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right){\mathrm{\&sigma;}}_c)+{\mathrm{\&Omega;}}_{p2}\&CenterDot;{\mathrm{\&Sigma;}}_e=N_p$

其中N_p是单向滑模趋近律，N_p=[N_x,N_y,N_z]^T，N_i≥0，则单向滑模控制器σ_c的表示形式如下式所示：

σ_c=g_p(Σ_e)^-1(-f_p(Σ_e)+Ω_p1 ^-1·N_p-Ω_p1 ^-1·Ω_p2·Σ_e)

由此可知，利用上述方法可以设计角速率回路、欧拉角回路、速度回路的单向滑模控制器。

在传统滑模的趋近结构中，当系统状态进入切换面(滑模面)时，可以看作同时受到控制器所给予的两个大小相等方向相反的力的作用，如图4所示。这两个力使得系统状态停留在切换面上，并且当切换面本身具有趋向于原点的性质时，系统状态能够沿着切换面最终趋向原点。然而，在实际工程应用中，由于系统惯性、控制时滞和未建模动态等原因，系统状态会在切换面上来回穿越、产生震荡。这种高频震荡在实际工程中被称为滑模控制中的“抖振现象”。

单向滑模的趋近结构，由两个切换面s_1i,s_2i和四个单向辅助滑模面h_0i,h_1i,h_2i,h_3i构成。如图3中所示，当系统状态在切换面上运动时，可以看作同时受到两个存在一定夹角的力作用。换句话说，这两个力之间可以存在着一个趋向于原点的合力。当该合力的方向平行于切换面时，系统状态可以在两个切换面和四个单向辅助滑模面共同作用下，直接趋向于原点，且不会在切换面上产生高频震荡。由于合力的存在，使得系统在没有抖振的前提下，能够使切换面上的滑模趋近律不为0。

本发明中单向滑模控制器u(t)去抖振性能的证明过程：

引理1如式(5)中所示，当状态运动至编号0_i和1_i子空间时，对应的当前单向辅助面可写为：

$h_i=\left\{\begin{array}{cc}{h}_{0i}={\mathrm{\&omega;}}_{0i1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{0i2}\&Integral;x_i+m_i& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ h_{3i}={\mathrm{\&omega;}}_{3i1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{3i2}\&Integral;x_i+m_i& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array},i=1,...,n,m_i>0---\left(10\right)\right.$

若切换面s_1i,s_2i满足ξ_1i>ξ_2i>0，则有

ω_0i1>0,ω_0i2>0,ω_3i1<0,ω_3i2<0

证明：

因为有切换面s_1i,s_2i满足ξ_1i>ξ_2i>0，所以可知切换面s_1i,s_2i位于第2和第4象限。如图2中所示，单向辅助面h_0i是由分别位于第2和第4象限的点P_s1i-与点P_s2i-确定的，则在单向辅助面h_0i上有点A=(a,0)和点B=(0,b)，其中a<0,b<0。因为点A和点B满足

h_0i(A)=ω_0i1·a+ω_0i2·0+m_i=0

h_0i(B)=ω_0i1·0+ω_0i2·b+m_i=0,m_i>0           (11)

由式(11)可知系数ω_0i1和ω_0i2可表示为：

ω_0i1=-m_i/a，ω_0i2=-m_i/b           (12)

又因为a<0,b<0,m_i>0，则可知ω_0i1>0,ω_0i2>0。同样可证ω_3i1<0,ω_3i2<0。引理证毕。

引理2如果式(4)中的系数ω_1i1,ω_2i1满足条件ω_1i1<0，ω_2i1>0，则有下列结论成立

ω_0i1 ^-1·ω_0i2-ω_1i1 ^-1·ω_1i2>0，ω_2i1 ^-1·ω_2i2-ω_3i1 ^-1·ω_3i2<0

证明

如图5中所示，单向辅助面h_1i只可能位于区域Area1,Beyond2与Beyond3中的一个里面。因此，引理2的证明部分将围绕这3个区域分别讨论。由式(4)可知，单向辅助面h_1i的公式为

h_1i=ω_1i1x_i+ω_1i2∫x_i+m_i              (13)

对于位于区域Beyond2中的单向辅助面h_1i,如图6所示，如果单向辅助面h_1i位于区域Beyond2中，则h_1i上存在点E=(x_i,∫x_i)=(e,0),e<0。将E点的坐标代入式(13),则有ω_1i1=-m_i/e>0。然而根据去抖振条件ω_1i1<0，ω_2i1>0，这里滑模控制不产生抖振的条件ω_1i1<0在区域Beyond2中不存在。因此在区域Beyond2中的单向辅助面h_1i这里不予考虑。

对于位于区域Beyond3中的单向辅助面h_1i，如图7所示，如果单向辅助面h_1i位于区域Beyond3中，则h_1i上存在点F=(0,f)，f<0。将F点的坐标代入式(13)，则有ω_1i2=-m_i/f>0。由此知ω_1i2>0。考虑去抖振条件ω_1i1<0，ω_2i1>0和引理1的结论ω_0i1>0,ω_0i2>0，所以有以下结论：ω_0i1>0,ω_0i2>0,ω_1i1<0,ω_1i2>0。据此可得

ω_0i1 ^-1·ω_0i2-ω_1i1 ^-1·ω_1i2>0           (14)

对于位于区域Area1中的单向辅助面h_1i，由引理1可知ω_0i1>0,ω_0i2>0。又由式(4)可知公式h_0i=0和h_1i=0可以转换为斜率表示形式：

∫x_i=-(ω_0i1/ω_0i2)x_i–m_i/ω_0i2;∫x_i=-(ω_1i1/ω_1i2)x_i–m_i/ω_1i2

因此，h_0i=0的斜率表示为-ω_0i1/ω_0i2；h_1i=0的斜率表示为-ω_1i1/ω_1i2。由图8中可知，单向辅助面h_0i=0位于区域Area1的下方。这意味着区域Area1中的单向辅助面h_1i=0的斜率要比单向辅助面h_0i=0的斜率更小。因此有

-ω_1i1/ω_1i2<-ω_0i1/ω_0i2<0             (15)

对式(15)取倒数可知

0>-ω_1i1 ^-1·ω_1i2>-ω_0i1 ^-1·ω_0i2            (16)

因此有

ω_0i1 ^-1·ω_0i2-ω_1i1 ^-1·ω_1i2>0              (17)

综合单向滑模面h_1i分别位于区域Area1,Beyond2和Beyond3时的讨论，可知，若系数ω_1i1,ω_2i1满足条件ω_1i1<0，ω_2i1>0，则有ω_0i1 ^-1·ω_0i2-ω_1i1 ^-1·ω_1i2>0。类似的，若系数ω_1i1,ω_2i1满足条件ω_1i1<0，ω_2i1>0，则有ω_2i1 ^-1·ω_2i2-ω_3i1 ^-1·ω_3i2<0。引理证毕。

定理1当ω_0i1=-ω_3i1,ω_0i2=-ω_3i2,ω_1i1=-ω_2i1,ω_1i2=-ω_2i2时式(7)中的趋近律N_i能够保证单向滑模控制器(9)无抖振,N_i≥0,当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

证明

首先证明式(7)中的趋近律N_i能够保证单向滑模控制器(9)无抖振。

对式(7)中的函数ε_i进行讨论，注意到:当s_1i=0时有|s_2i|/(|s_1i|+|s_2i|)=1；当s_2i=0时有|s_2i|/(|s_2i|+|x_i|)=0

以及|s_2i|/(|s_1i|+|s_2i|)=0；当x_i=0时有|s_2i|/(|s_2i|+|x_i|)=1。因此，可知式(7)中的函数ε_i是连续的。

将式(7)代入-ω_i1 ^-1ω_i2·x_i+ω_i1 ^-1N_i可知:

-ω_i1 ^-1ω_i2·x_i+ω_i1 ^-1N_i=ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]    (18)

由于式(18)中ε_i，(a_i·x_i-k_i·s_2i)，[1/2·(a_i+b_i)x_i]都是连续的，因此-ω_i1 ^-1ω_i2·x_i+ω_i1 ^-1N_i的连续性得到保证。考虑到

-Ω₁ ^-1Ω₂·x+Ω₁ ^-1·N=[-ω₁₁ ^-1ω₁₂·x₁+ω₁₁ ^-1N₁,…,-ω_n1 ^-1ω_n2·x_n+ω_n1 ^-1N_n]^T

可知向量-Ω₁ ^-1Ω₂·x+Ω₁ ^-1·N中的各个元素都是连续的。又因为f(x)和g(x)中的元素连续，所以控制器(9)为连续控制输入。因此，式(7)中的趋近律N_i能够保证单向滑模控制器(9)无抖振。

其次，证明N_i≥0,当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。如图9中所示，将状态空间分别按照s_1i·s_2i≤0;s_2i·x_i≤0;s_1i·x_i≥0划分为3个子空间。下面将讨论当(x_i,∫x_i)分别位于这3个子空间时，趋近律(7)的大小情况。

(1)当(x_i,∫x_i)位于满足s_1i·s_2i≤0的子空间内部时：

若(x_i,∫x_i)满足s_1i≥0,s_2i≤0，由图1可知(x_i,∫x_i)位于No.2_i子空间。此时，由式(5)可知ω_i1=ω_2i1,ω_i2=ω_2i2。考虑到去抖振条件ω_1i1<0,ω_2i1>0和式(7)，可知当(x_i,∫x_i)满足s_1i≥0,s_2i≤0时有ω_2i1>0,x_i≤0,s_2i≤0,k_i>0,a_i=-ω_0i2/ω_0i1,b_i=-ω_2i2/ω_2i1。由引理2可知ω_0i1 ^-1·ω_0i2-ω_1i1 ^-1·ω_1i2>0且ω_1i1=-ω_2i1,ω_1i2=-ω_2i2，所以有a_i<b_i。因为a_i<b_i,x_i≤0,s_2i≤0,k_i>0，可以得到结论a_i·x_i-k_i·s_2i≥b_i·x_i和1/2·(a_i+b_i)x_i≥b_i·x_i。由式(7)中函数ε_i的定义可知0≤ε_i≤1。因此可知ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]≥b_i·x_i。将其代入式(7)可知：

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}≥ω_2i2·x_i+ω_2i1·b_i·x_i=0    (19)

当N_i=0时，由式(19)可知ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]=b_i·x_i。考虑到a_i·x_i-k_i·s_2i≥b_i·x_i，1/2·(a_i+b_i)x_i≥b_i·x_i和0≤ε_i≤1，则有a_i·x_i-k_i·s_2i=b_i·x_i，1/2·(a_i+b_i)x_i=b_i·x_i。由此可以推出(x_i,∫x_i)=(0,0)。

因此，可知当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

类似地，若(x_i,∫x_i)满足s_1i≤0,s_2i≥0，则

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}≥ω_1i2·x_i+ω_1i1·b_i·x_i=0    (20)

当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

(2)当(x_i,∫x_i)位于满足s_2i·x_i≤0的子空间内部时：

若(x_i,∫x_i)满足x_i≤0,s_2i≥0，由图1可知(x_i,∫x_i)位于No.3_i子空间。此时，由式(5)可知ω_i1=ω_3i1,ω_i2=ω_3i2。由引理1和式(7)可知ω_3i1<0,ω_3i2<0,x_i≤0,s_2i≥0,k_i>0和a_i=-ω_3i2/ω_3i1。由前面的结论可知a_i<b_i。根据a_i<b_i,x_i≤0,s_2i≥0,k_i>0，可以得到结论a_i·x_i-k_i·s_2i≤a_i·x_i和1/2·(a_i+b_i)x_i≤a_i·x_i。由式(7)中函数ε_i的定义可知0≤ε_i≤1。因此可知ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]≤a_i·x_i。将其代入式(7)可知：

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}≥ω_3i2·x_i+ω_3i1·a_i·x_i=0    (21)

当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

类似地，若(x_i,∫x_i)满足x_i≥0,s_2i≤0，则

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}≥ω_0i2·x_i+ω_0i1·a_i·x_i=0    (22)

当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

(3)当(x_i,∫x_i)位于满足s_1i·x_i≥0的子空间内部时：

若(x_i,∫x_i)满足x_i≥0,s_1i≥0，由图1可知(x_i,∫x_i)位于No.3_i子空间。此时，由式(5)可知ω_i1=ω_3i1,ω_i2=ω_3i2。由引理1和式(7)可知ω_3i1<0,ω_3i2<0,x_i≥0,s_1i≥0,k_i>0和a_i=-ω_3i2/ω_3i1。根据x_i≥0,s_1i≥0,k_i>0，可以得到结论a_i·x_i-k_i·s_2i≤a_i·x_i。由式(7)中函数ε_i的定义可知此时ε_i=1。因此可知ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]=(a_i·x_i-k_i·s_2i)≤a_i·x_i。将其代入式(7)可知：

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}≥ω_3i2·x_i+ω_3i1·a_i·x_i=0    (23)

当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

类似地，若(x_i,∫x_i)满足x_i≤0,s_1i≤0，则

N_i=ω_i2·x_i+ω_i1{ε_i(a_i·x_i-k_i·s_2i)+(1-ε_i)[1/2·(a_i+b_i)x_i]}≥ω_0i2·x_i+ω_0i1·a_i·x_i=0    (24)

当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。

综上所述，当ω_0i1=-ω_3i1,ω_0i2=-ω_3i2,ω_1i1=-ω_2i1,ω_1i2=-ω_2i2时式(7)中的趋近律N_i能够保证单向滑模控制器(9)无抖振，且由式(19)～(24)可知N_i≥0,当且仅当(x_i,∫x_i)=(0,0)时N_i=0。定理证毕。

本发明中单向滑模控制器u(t)的稳定性的证明过程：

定义1对于步骤（1）中的仿射非线性系统，初始状态x_i(t₀)∈Q_i。若存在控制u使得x_i(t)∈Q_i，t>t₀,则称集合Q_i是x_i的正不变集。

易知本文中集合Q_i是凸集，其中：Q_i={(x_i,∫x_i)|h_ki≥0,k=0,1,2,3}，i=1,…,n。若点

时，且P(t)位于编号k_i,i∈{1,…,n}子空间，则h_ki(P(t))<0。

引理3考虑位于第k_i(k∈{0,1,2,3}，i∈{1,…,n})子空间的点P=(x,y)=(x_i,∫x_i)，如图10中所示。点P_s1i±,P_s2i±∈{P_s1i+,P_s1i-,P_s2i+,P_s2i-}构成编号k_i子空间的单向辅助面

h_ki=ω_ki1x_i+ω_ki2∫x_i+m_i，m_i>0    (25)

则对于点P有m_i-h_ki(P)≥0,并且当h_ki(P)=m_i时，有P=(0,0)。

证明因为点P_s1i±=(x₁,y₁),P_s2i±=(x₂,y₂)构成单向辅助面h_ki，所以点P_s1i±,P_s2i±在单向辅助面h_ki上。因此有

h_ki(P_s1i±)=ω_ki1x₁+ω_ki2y₁+m_i=0

h_ki(P_s2i±)=ω_ki1x₂+ω_ki2y₂+m_i=0    (26)

由于点P位于第k_i子空间，由图10可知

$\stackrel{\&RightArrow;}{0P}=k_1{\stackrel{\&RightArrow;}{0P}}_{S1i\&PlusMinus;}+k_2{\stackrel{\&RightArrow;}{0P}}_{S2i\&PlusMinus;},k_1\&GreaterEqual;0,k_2\&GreaterEqual;0$

由此，点P的坐标可变换为

P=(x,y)=(k₁·x₁+k₂·x₂,k₁·y₁+k₂·y₂)

将其代入式(25)，可得

h_ki(P)=k₁(ω_ki1x₁+ω_ki2y₁+m_i)+k₂(ω_ki1x₂+ω_ki2y₂+m_i)-(k₁+k₂)m_i+m_i    (27)

将式(26)代入式(27)，得

m_i-h_ki(P)=(k₁+k₂)m_i

又因为k₁≥0,k₂≥0,m_i>0,所以有

m_i-h_ki(P)≥0

当h_ki(P)=m_i时，由(k₁+k₂)m_i=m_i-h_ki(P)，k₁≥0,k₂≥0,m_i>0可知必有k₁=0，k₂=0。

又因为

P=(x,y)=(k₁·x₁+k₂·x₂,k₁·y₁+k₂·y₂)

所以有P=(0,0),即P为坐标原点，引理证毕。

定理2考虑步骤（1）中的仿射非线性系统，切换面s_1i，s_2i是稳定的并且趋近律N_i≥0,则式(9)所示的控制器能够保证闭环系统的稳定。且如果

则对于所有t≥t₀，有

即Q_i={(x_i,∫x_i)|h_ki≥0,k=0,1,2,3}，i=1,…,n构成正不变集。

证明首先证明仿射非线性系统，取Lyapunov函数为

$V=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_i---\left(28\right)$

其中V_i=1/2[(m_i-h_i)/m_i]²，且h_i,m_i与式(5)中一致。当点(x_i,∫x_i)位于任一编号k_i,k=0,…,3,i=1,…,n子空间时，由式(4)与式(5)可知h_i=h_ki,所以V_i=1/2[(m_i-h_ki)/m_i]²。由式(28)可知，V_i≥0，并且当V_i=0，可得h_ki(x_i,∫x_i)=m_i。又由引理3可知，当h_ki(x_i,∫x_i)=m_i时有x_i=0,∫x_i=0，所以有x=[0,…,0]^T∈Rⁿ。因此可知V≥0，且当V=0时x=[0,…,0]^T。

再证明当x=[x₁,…,x_n]^T≠0时有

对于式(28)求导可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_i---\left(29\right)$

其中

由引理3可知点(x_i,∫x_i)位于编号k_i子空间时，有m_i-h_ki≥0。又因为引理3中当h_ki=m_i时，有(x_i,∫x_i)=(0,0)，所以当x_i≠0时有m_i-h_ki>0。由式(8)可知

当x_i≠0时，N_i>0。当点(x_i,∫x_i)位于编号k_i子空间时，h_i=h_ki，因此有当

由上可知且当x_i≠0时有因为当x≠0时，必有至少一个x_i≠0。并且由式(28)可知函数

是函数

的累加，因此当x≠0时有

当状态x_i在切换面s_1i,s_2i上运动时，因为在切换面上的滑动模态是稳定的，所以状态x_i可以沿着切换面收敛至原点。同时因为状态x_i在整个运动过程中需要满足

所以此时状态x_i在切换面上运动的同时也需要满足

由此可见，系统渐进稳定。

为了证明Lyapunov函数V是各个子空间的公共Lyapunov函数，现证明该函数是连续函数。考虑函数V_i=1/2[(m_i-h_i)/m_i]²。如图11中所示，点P是状态x_i在编号k_i和编号j_i，j,k∈{0,1,2,3}，j≠k子空间之间切换的切换点。

当状态x_i在编号k_i子空间时有V_i=V_ki=1/2[(m_i-h_ki)/m_i]²。

当状态x_i在编号j_i子空间时有V_i=V_ji=1/2[(m_i-h_ji)/m_i]²。

如图11中所示，点P位于射线

所以有

$\stackrel{\&RightArrow;}{0P}=\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;{\stackrel{\&RightArrow;}{0P}}_{S1i+,}\mathrm{\&lambda;}>0---\left(30\right)$

假设P_s1i+的坐标为P_s1i+=(x_i,y_i),则点P的坐标为P=(λ·x_i,λ·y_i)。因为点P_s1i+位于单向辅助面h_ki(x_i)与h_ji(x_i)上，所以由式(4)可知

h_ki(P_s1i+)=ω_ki1x_i+ω_ki2y_i+m_i=0

h_ji(P_s1i+)=ω_ji1x_i+ω_ji2y_i+m_i=0          (31)

将点P的坐标代入h_ki与h_ji可知

h_ki(P)=λ(ω_ki1x_i+ω_ki2y_i+m_i)-λ·m_i+m_i

h_ji(P)=λ(ω_ji1x_i+ω_ji2y_i+m_i)-λ·m_i+m_i        (32)

将式(31)代入式(32)可知h_ki(P)=h_ji(P)，因此有V_ki=V_ji。所以函数V_i在图11中编号k_i和编号j_i子空间之间切换时是连续的。同理，在其他子空间切换时，函数V_i也是连续的。由此可知函数V_i是连续的，进而可知Lyapunov函数V是连续的。

其次，证明集合Q_i={(x_i,∫x_i)|h_ki≥0,k=0,1,2,3}构成正不变集。运用反证法进行证明。假设存在连续轨迹P(t)=(x_i(t),∫x_i)，当t=t₀时有点P(t₀)∈Q_i，当t=t₁>t₀时有

。

因为点P(t₀)∈Q_i={(x_i,∫x_i)h_ki≥0,k=0,1,2,3}，所以当状态x_i位于编号k_i子空间时有V_i(P(t₀))=1/2[(m_i-h_i)/m_i]²=1/2[(m_i-h_ki)/m_i]²。由引理3可知h_ki(P)≤m_i。因此对于P(t₀)∈Q_i有0≤h_ki(P(t₀))≤m_i。所以可得

V_i(P(t₀))=1/2[(m_i-h_i)/m_i]²=1/2[(m_i-h_ki)/m_i]²≤1/2       (33)

设点P(t₁)所在的子空间编号为j_i，由定义1可知h_ji(P(t₁))<0，因此有

V_i(P(t₁))=1/2[(m_i-h_i)/m_i]²=1/2[(m_i-h_ji)/m_i]²>1/2         (34)

由式(33)与式(34)可知V_i(P(t₀))<V_i(P(t₁))，t₀<t₁。又因为函数V_i是连续的，则存在

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_i\left(P\left(t_2\right)\right)>0,t_0\&le;t_2\&le;t_1$

与稳定性证明中得出的

相矛盾，所以假设不成立。因此如果

$P\left(t_0\right)=(x_i\left(t_0\right),{\&Integral;}_0^{t_0}{x}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;})\&Element;Q_i$ 则对于所有t≥t₀，有 $P\left(t\right)=(x_i\left(t\right),{\&Integral;}_0^t{x}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;})\&Element;Q_i.$

由定义1可知，集合Q_i={(x_i,∫x_i)|h_ki≥0,k=0,1,2,3}，i=1,…,n构成正不变集。由此定理2证毕。

实施例

本实验使用英国拉夫堡大学基于Vicon动作捕捉系统开发的室内无人机飞行平台Trex-250小型无人直升机的控制原理图见图12。该平台通过Vicon动作捕捉系统获得无人机各状态变量，经过计算机处理后，通过信号发射器将控制信号传送至无人机的接收端，从而对无人机进行控制。信号发射器的工作频率为100Hz，Trex-250小型无人机的控制频率为50Hz。

1）利用Trex-250小型无人直升机已建立的六自由度十二状态方程，（文献C.Liu,W.-H.Chen,and J.Andrews,Model predictive control for autonomous helicopters with computationaldelay in consideration,in UKACC2010)作为被控对象模型，将方程中涉及到的三个位置量(x,y,z)、三个速度量(u,v,w)、三个姿态角(φ,θ,ψ)、三个绕机体轴角速度(p,q,r)方程写成如下误差子系统形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_e=\left(\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&psi;}\right)u_c+(\sin \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&psi;}-\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&psi;})v_c+(\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&psi;}+\sin \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&psi;})w_c-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_e=\left(\cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&psi;}\right)u_c+(\sin \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&psi;}+\cos \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&psi;})v_c+(\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&psi;}-\sin \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&psi;})w_c-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_c---\left(35\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_e=-\left(\sin \mathrm{\&theta;}\right)u_c+\left(\sin \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&theta;}\right)v_c+\left(\cos \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&theta;}\right)w_c-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_e=\mathrm{vr}-\mathrm{wq}-g\sin {\mathrm{\&theta;}}_c+X_{u}u-9.8\&CenterDot;a-{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_e=\mathrm{wp}-\mathrm{ur}+g\cos {\mathrm{\&theta;}}_c\&CenterDot;\sin {\mathrm{\&phi;}}_c+Y_{v}v+9.8\&CenterDot;b-{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_c---\left(36\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_e=\mathrm{uq}-\mathrm{vp}+g\cos {\mathrm{\&theta;}}_c\&CenterDot;\cos {\mathrm{\&phi;}}_c+T/m-{\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}_e=p_c+\left(\sin \mathrm{\&phi;}\tan \mathrm{\&theta;}\right)\&CenterDot;q_c+\left(\cos \mathrm{\&phi;}\tan \mathrm{\&theta;}\right)\&CenterDot;r_c-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_e=\left(\cos \mathrm{\&phi;}\right)\&CenterDot;q_c-\left(\sin \mathrm{\&phi;}\right)\&CenterDot;r_c-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_c---\left(37\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_e=(\sin \mathrm{\&phi;}/\cos \mathrm{\&theta;})\&CenterDot;q_c+(\cos \mathrm{\&phi;}/\cos \mathrm{\&theta;})\&CenterDot;r_c-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_e=L_a\&CenterDot;a+L_b\&CenterDot;b-{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_c$

${\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_e=M_a\&CenterDot;a+M_b\&CenterDot;b-{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_c---\left(38\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_e=N_r\&CenterDot;r+N_{\mathrm{col}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}+N_{\mathrm{ped}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{ped}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_c$

$T/m=Z_{w}w+Z_{\mathrm{col}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}-g---\left(39\right)$

其中x,y,z为Trex-250在地面坐标系中的位置，u,v,w为机体坐标轴系中的速度，φ,θ,ψ为欧拉角，p,q,r为绕机体轴的角速度，控制输入为翼动角a,b和尾转子δ_ped、主转子δ_col。式(35)为位置回路误差方程，式(36)为速度回路误差方程，式(37)为姿态角回路误差方程，式(38)为角速度回路误差方程，x_c,y_c,z_c,u_c,v_c,w_c,φ_c,θ_c,ψ_c,p_c,q_c,r_c为各子系统的状态指令，x_e,y_e,z_e,u_e,v_e,w_e,φ_e,θ_e,ψ_e,p_e,q_e,r_e为各子系统的状态误差，状态误差=状态真实值-状态指令。将位置回路、欧拉角回路、角速度回路写成仿射非线性系统形式，表达式如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Sigma;}}}_e=f_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)+g_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right){\mathrm{\&sigma;}}_C---\left(40\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Omega;}}}_e=f_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right)+g_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right){\mathrm{\&omega;}}_c---\left(41\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}}_e=f_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)+g_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)M_C---\left(42\right)$

其中：

Σ_e=[x_e,y_e,z_e]^T，Ω_e=[φ_e,θ_e,ψ_e]^T，ω_e=[p_e,q_e,r_e]^T，

σ_C=[u_c,v_c,w_c]^T，ω_c=[p_c,q_c,r_c]^T，M_C=[a,b,δ_ped]^T，

$f_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)={[-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_c,-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_c,-{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_c]}^T,$

$g_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&psi;}& \sin \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&psi;}-\cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&psi;}& \cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\cos \mathrm{\&psi;}+\sin \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&psi;}\\ \cos \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&psi;}& \sin \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&psi;}+\cos \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&psi;}& \cos \mathrm{\&phi;}\sin \mathrm{\&theta;}\sin \mathrm{\&psi;}-\sin \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&psi;}\\ -\sin \mathrm{\&theta;}& \sin \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&phi;}\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]$

$f_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right)=[-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}_c,-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_c,-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_c{]}^T$

$g_E\left({\mathrm{\&Omega;}}_e\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& \sin \mathrm{\&phi;}\tan \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&phi;}\tan \mathrm{\&theta;}\\ 0& \cos \mathrm{\&phi;}& -\sin \mathrm{\&phi;}\\ 0& \sin \mathrm{\&phi;}/\cos \mathrm{\&theta;}& \cos \mathrm{\&phi;}/\cos \mathrm{\&theta;}\end{array}\right]$

$f_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)=[-{\stackrel{\&CenterDot;}{p}}_c,-{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_c,N_r\&CenterDot;r+N_{\mathrm{col}}{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_c{]}^T$

$g_a\left({\mathrm{\&omega;}}_e\right)=\left[\begin{array}{ccc}{L}_a& L_b& 0\\ M_a& M_b& 0\\ 0& 0& N_{\mathrm{ped}}\end{array}\right]$

式(43)所示的速度回路误差方程虽然不能够直接变换成仿射非线性方程，但是其中有关速度误差u_e的方程却可以变换成如下仿射非线性方程形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_e=f_u\left(u_e\right)+g_u\left(u_e\right){\mathrm{\&theta;}}_s---\left(43\right)$

其中 $f_u\left(u_e\right)=\mathrm{vr}-\mathrm{wq}+X_{u}u-9.8\&CenterDot;a-{\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_c,g_u\left(u_e\right)=-g,{\mathrm{\&theta;}}_s=\sin {\mathrm{\&theta;}}_c.$

针对式(43)中的仿射非线性方程，利用单向滑模控制方法计算可以得到控制输入θ_c，将θ_c作为已知量代入式(36)中有关速度误差v_e的方程可以得到如下仿射非线性方程形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_e=f_v\left(v_e\right)+g_v\left(v_e\right){\mathrm{\&phi;}}_s---\left(44\right)$

其中 $f_v\left(v_e\right)=\mathrm{wp}-\mathrm{ur}+Y_{v}v+9.8\&CenterDot;b-{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_c,g_v\left(v_e\right)=g\cos {\mathrm{\&theta;}}_c,{\mathrm{\&phi;}}_s=\sin {\mathrm{\&phi;}}_c.$

针对式(44)中的仿射非线性方程，利用单向滑模控制方法计算可以得到控制输入φ_c，将θ_c、φ_c作为已知量，并将式(39)代入式(36)中有关速度误差w_e的方程可以得到如下仿射非线性方程形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_e=f_w\left(w_e\right)+g_w\left(w_e\right){\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}---\left(45\right)$

其中

2）针对位置回路、速度回路、欧拉角回路、角速率回路的仿射非线性方程(40)～(45)，根据单向滑模控制方法可以设计如下控制率：

位置回路：

σ_c=g_p(Σ_e)^-1(-f_p(Σ_e)+Ω_p1 ^-1·N_p-Ω_p1 ^-1·Ω_p2·Σ_e)

速度回路：

θ_c=arcsin(g_u(u_e)^-1(-f_u(u_e)+Ω_u1 ^-1·N_u-Ω_u1 ^-1·Ω_u2·u_e))

φ_c=arcsin(g_v(v_e)^-1(-f_v(v_e)+Ω_v1 ^-1·N_v-Ω_v1 ^-1·Ω_v2·v_e))

δ_col=g_w(w_e)^-1(-f_w(w_e)+Ω_w1 ^-1·N_w-Ω_w1 ^-1·Ω_w2·w_e)

欧拉角回路：

ω_c=g_E(Ω_e)^-1(-f_E(Ω_e)+Ω_E1 ^-1·N_E-Ω_E1 ^-1·Ω_E2·Ω_e)

角速率回路：

M_c=g_a(ω_e)^-1(-f_a(ω_e)+Ω_a1 ^-1·N_a-Ω_a1 ^-1·Ω_a2·ω_e)

公式中的其他设计参数，（来源文献C.Liu,W.-H.Chen,and J.Andrews,Model predictivecontrol for autonomous helicopters with computational delay in consideration,in UKACC2010)

变量名	参数值	变量名	参数值
				Xu	-0.233	Yv	-0.329
Zw	-0.878	La	83.98
				Lb	745.67	Ma	555.52
Mb	11.03	Nr	-23.98
				Zcol	-5.71	Ncol	8.89
Nped	113.65	g	9.8

通过采用单向滑模控制方法设计各个回路的控制器，可以得到如图13、14所示的实际飞行试验结果。在该实验中，通过使飞行器作360度定点转弯，比较了基于边界层的传统滑模和单向滑模控制方法在实际工程中的应用情况。图13～15为飞行过程中Trex-250飞行器在x,y,z方向的位移，其中a表示地面和安装角效应,b表示起飞,c表示开始旋转，图16为飞行过程中欧拉角ψ的变化情况。可以看出在飞行器旋转转弯过程中，传统滑模在x,y方向上的位移幅度为0.2m，而单向滑模在x,y方向上的位移幅度为0.1m，因此单向滑模控制方法具有更高的鲁棒性，且并没有出现抖振现象。注意到图13、图14中，当飞行器起飞过程中，传统滑模与单向滑模都出现了较大的位移。这是由于直升机起飞时独特的地面效应和安装角所造成的，因此不应计入比较范畴。可以得出结论，本发明提出的单向滑模控制方法能够在确保系统鲁棒性的基础上，去除滑模中的抖振现象，并具有良好的鲁棒性和实用价值。

Claims (2)

1.一种单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法，该方法基于飞行器控制系统中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路四个控制回路组成的控制系统实现，其特征在于，具体包括以下步骤：

步骤一、将飞行器中角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路分别转换为式（1）的仿射非线性方程

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u---\left(1\right)$

其中，x∈Rⁿ、u∈Rⁿ分别是子系统状态向量和控制向量，f(x)∈Rⁿ、g(x)∈R^n×n是状态x的平滑函数；

根据角速率回路、欧拉角回路、速度回路、位置回路各自的状态向量与控制向量，结合式（1）确定该四个回路具体的仿射非线性系统方程为：

A、位置回路的仿射非线性系统方程： ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Sigma;}}}_e=f_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right)+g_p\left({\mathrm{\&Sigma;}}_e\right){\mathrm{\&sigma;}}_C$

式中，Σ_e=[x_e,y_e,z_e]^T为位置回路的状态误差，x_e,y_e,z_e为地面坐标轴系下X、Y、Z方向无人飞行器的位置误差信号，f_p（Σ_e）∈Rⁿ、g_p（Σ_e）∈R^n×n是状态Σ_e的平滑函数；σ_C为速度回路的指令信号；

B、速度回路的仿射非线性系统方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{u}}_e=f_u\left(u_e\right)+g_u\left(u_e\right){\mathrm{\&theta;}}_s$ ${\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_e=f_v\left(v_e\right)+g_v\left(v_e\right){\mathrm{\&phi;}}_s$

${\stackrel{\&CenterDot;}{w}}_e=f_w\left(w_e\right)+g_w\left(w_e\right){\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{col}}$

式中，u_e、v_e、w_e分别为机体坐标轴系下X、Y、Z方向的速度误差，f_u（u_e）∈Rⁿ、g_u（u_e）∈R^n×n是状态u_e的平滑函数，θ_s=sinθ_c，θ_c为俯仰角指令信号；

f_v（v_e）∈Rⁿ、g_v（v_e）∈R^n×n是状态v_e的平滑函数；φ_s=sinφ_c，φ_c为滚转角指令信号；

f_w（w_e）∈Rⁿ、g_w（w_e）∈R^n×n是状态w_e的平滑函数；δ_col为主转子控制输入；

C、欧拉角回路的仿射非线性系统方程：

Ω_e=[φ_e,θ_e,ψ_e]^T为欧拉角回路的状态误差，φ_e,θ_e,ψ_e为滚转角、俯仰角和偏航角的误差，f_E（Ω_e）∈Rⁿ、g_E（Ω_e）∈R^n×n是状态Ω_e的平滑函数；ω_c为角速率指令信号；

D、角速率回路的仿射非线性系统方程：

ω_e=[p_e,q_e,r_e]^T为角速率回路的状态误差，p_e,q_e,r_e分别为滚转角速率、俯仰角速率和偏航角速率的误差，f_a（ω_e）∈Rⁿ、g_a（ω_e）∈R^n×n是状态ω_e的平滑函数，M_C为控制力矩；

步骤二、分别设计角速率回路、欧拉角回路、速度回路和位置回路的单向滑模控制器，具体为：

(2-1)根据式（1）的仿射非线性方程确定该系统的单向滑模控制器如下：

$u=g{\left(x\right)}^{-1}(-f\left(x\right)+{{\mathrm{\&Omega;}}_1}^{-1}\&CenterDot;N-{{\mathrm{\&Omega;}}_1}^{-1}\&CenterDot;{\mathrm{\&Omega;}}_2\&CenterDot;x)---\left(2\right)$

式中，Ω₁、Ω₂为单向辅助面的设计参数，N为单向滑模的去抖振趋近率；

（2-2）结合式（2）和四个回路的状态向量与控制向量确定该四个回路的具体的单向滑膜控制器为：

位置回路的单向滑模控制器为：σ_c=g_p(Σ_e)^-1(-f_p(Σ_e)+Ω_p1 ^-1·N_p-Ω_p1 ^-1·Ω_p2·Σ_e)；

式中，Ω_p1、Ω_p2为位置回路单向辅助面的设计参数，N_p为位置回路单向滑模的去抖振趋近率；

速度回路的单向滑模控制器为：

θ_c=arcsin(g_u(u_e)^-1(-f_u(u_e)+Ω_u1 ^-1·N_u-Ω_u1 ^-1·Ω_u2·u_e))

φ_c=arcsin(g_v(v_e)^-1(-f_v(v_e)+Ω_v1 ^-1·N_v-Ω_v1 ^-1·Ω_v2·v_e))

δ_col=g_w(w_e)^-1(-f_w(w_e)+Ω_w1 ^-1·N_w-Ω_w1 ^-1·Ω_w2·w_e)

式中，Ω_u1、Ω_u2为针对速度回路误差状态u_e的单向辅助面设计参数；Ω_v1、Ω_v2为速度回路误差状态v_e的单向辅助面设计参数；Ω_w1、Ω_w2为速度回路误差状态w_e的单向辅助面设计参数；N_u、N_v、N_w分别为速度回路中针对误差状态u_e，v_e，w_e设计的单向滑模去抖振趋近率；

欧拉角回路的单向滑模控制器为：

ω_c=g_E(Ω_e)^-1(-f_E(Ω_e)+Ω_E1 ^-1·N_E-Ω_E1 ^-1·Ω_E2·Ω_e)

式中，Ω_E1、Ω_E2为欧拉角回路单向辅助面的设计参数；N_E为欧拉角回路单向滑模的去抖振趋近率；

角速率回路的单向滑模控制器为：

M_c=g_a(ω_e)^-1(-f_a(ω_e)+Ω_a1 ^-1·N_a-Ω_a1 ^-1·Ω_a2·ω_e)

式中，Ω_a1、Ω_a2为角速率回路单向辅助面的设计参数；N_a为角速率回路单向滑模的去抖振趋近率；

步骤三、利用步骤二中四个回路的单向滑模控制器实现对无人飞行器的控制，具体为；

（3-1）获取无人飞行器的位置误差信号并将该位置误差信号输入到位置回路的单向滑模控制器中输出速度回路的指令信号；其中，无人飞行器的位置误差信号通过地面坐标轴系中无人飞行器当前位置信号减去预先设定的轨迹指令信号获得；

（3-2）将当前速度信号减去速度回路的指令信号得到速度误差，并将该误差发送到速度回路的单向滑模控制器中输出机体坐标轴系下的滚转角指令信号、俯仰角指令信号和主轴转子指令信号；分别将当前滚转角、俯仰角、偏航角减去滚转角指令信号、俯仰角指令信号以及预先设计的偏航角指令信号，得到滚转角误差信号、俯仰角误差信号和偏航角误差信号，并将这三个误差信号发送到欧拉角回路的单向滑模控制器中输出角速率指令信号，将主轴转子指令信号发送至无人飞行器指令接收器；

（3-3）将当前角速率信号减去角速率指令信号得到角速率误差信号，并将该误差发送到角速率回路的单向滑模控制器中输出翼动角指令信号和尾转子指令信号，将上述指令信号发送至无人飞行器指令接收器，实现无人飞行器对轨迹指令和欧拉角的跟踪。

2.根据权利要求1所述的单旋翼无人飞行器的单向滑模控制方法，其特征在于：所述步骤（2-1）中利用式（1）的仿射非线性方程确定该系统的单向滑模控制器的方法，具体为

（2-1-1）、选取如式(3)所示稳定的切换面：

$\begin{array}{c}{s}_1\left(x\right)=x+{\mathrm{\&xi;}}_1{\&Integral;}_0^{t}x\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}=0\\ s_2\left(x\right)=x+{\mathrm{\&xi;}}_2{\&Integral;}_0^{t}x\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}=0\end{array}---\left(3\right)$

ξ₁和ξ₂是系数矩阵，ξ₁=diag{ξ₁₁,…,ξ_1n},ξ₂=diag{ξ₂₁,…,ξ_2n},s₁(x)=[s₁₁,…,s_1n]^T,s₂(x)=[s₂₁,…,s_2n]^T,ξ_1i>ξ_2i>0,i∈{1,…,n}；

（2-1-2）、基于切换面s_1i,s_2i整个状态空间被划分为编号0_i～3_i的4个子空间，在切换面s_1i,s_2i上取任取四个点P_s1i+,P_s1i-,P_s2i+,P_s2i-，使得原点包含在凸集P_s1i+P_s2i+P_s1i-P_s2i-内部，由此可知：

$s_{1i}\left(P_{s1i+}\right)=0;s_{1i}\left(P_{s1i-}\right)=0$

$s_{2i}\left(P_{s2i+}\right)=0;s_{2i}\left(P_{s2i-}\right)=0---\left(4\right)$

直线P_s1i-P_s2i-,P_s1i+P_s2i-,P_s1i-P_s2i+,P_s1i+P_s2i+被称为单向辅助面h_0i,h_1i,h_2i,h_3i，其直线方程表示形式为：

$h_{\mathrm{ki}}={\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ki}1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ki}2}{\&Integral;}_0^t{x}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}+m_i---\left(5\right)$

其中,k表示单向辅助面所在子空间的编号且k∈{0,1,2,3},i表示系统状态的编号且i∈{1,…,n},ω_ki1，ω_ki2，m_i为设计系数且ω_ki1≠0的实数，m_i为正数，ω_ki2为实数；在设计过程中使式(5)中的系数满足去抖振条件ω_1i1<0,ω_2i1>0和简化条件ω_0i1=-ω_3i1，ω_0i2=-ω_3i2，ω_1i1=-ω_2i1，ω_1i2=-ω_2i2；

（2-1-3）将式(5)写成如下表示形式：

$h_i={\mathrm{\&omega;}}_{i1}{x}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i2}{\&Integral;}_0^t{x}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}+m_i,i=1,...,n---\left(6\right)$

其中

${\mathrm{\&omega;}}_{i1}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i1}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i1}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i1}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.,$ ${\mathrm{\&omega;}}_{i2}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&omega;}}_{0i2}& s_{1i}<0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{1i2}& s_{1i}<0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{2i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}<0\\ {\mathrm{\&omega;}}_{3i2}& s_{1i}\&GreaterEqual;0,s_{2i}\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

可以将式(6)中的单向辅助面写成一个紧凑的形式：

$h={\mathrm{\&Omega;}}_{1}x+{\mathrm{\&Omega;}}_2{\&Integral;}_0^{t}x\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}+m---\left(7\right)$

其中h=[h₁,…,h_n]T,Ω₁=diag{ω₁₁,…,ω_n1}，Ω₂=diag{ω₁₂,…,ω_n2},m=[m₁,…,m_n]^T

（2-1-4）根据所述步骤（2-1-2）中的去抖振条件和简化条件将单向滑模的去抖振趋近律N_i，i=1,…,n设计为如下形式：

$N_i={\mathrm{\&omega;}}_{i2}\&CenterDot;x_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i1}\{{\mathrm{\&epsiv;}}_i(a_i\&CenterDot;x_i-k_i\&CenterDot;s_{2i})+(1-{\mathrm{\&epsiv;}}_i)[1/2\&CenterDot;(a_i+b_i)x_i\left]\right\}---\left(8\right)$

其中k_i为设计参数且k_i>0,a_i=-ω_0i2/ω_0i1=-ω_3i2/ω_3i1,b_i=-ω_1i2/ω_1i1=-ω_2i2/ω_2i1

${\mathrm{\&epsiv;}}_i=\left\{\begin{array}{cc}\left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{1i}|+|s_{2i}\left|\right)& s_{1i}{s}_{2i}\&le;0,s_{1i}\&NotEqual;0\\ \left|s_{2i}\right|/\left(\right|s_{2i}|+|x_i\left|\right)& s_{2i}{x}_i\&le;0,x_i\&NotEqual;0\\ 1& s_{1i}{x}_i\&GreaterEqual;0\end{array}\right.$

（2-1-5）单向滑模控制器u(t)可由解式(9)得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{h}={\mathrm{\&Omega;}}_1\&CenterDot;(f\left(x\right)+g\left(x\right)u)+{\mathrm{\&Omega;}}_2\&CenterDot;x=N---\left(9\right)$

其中N是单向滑模趋近律，N=[N₁,…,N_n]^T，N_i≥0，则单向滑模控制器u(t)的表示形式如式(10)所示：

u=g(x)^-1(-f(x)+Ω₁ ^-1·N-Ω₁ ^-1·Ω₂·x)        (10)。

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