CN103163404B - 一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法，针对电学层析成像中具有N个电极的传感器的相邻激励测量模式，通过计算阻抗矩阵、电流密度矩阵等参数，由所推导出的公式，唯一的计算出电流-电压矩阵，构造出基于相邻激励测量模式的电流-电压映射。本发明给出了基于相邻激励测量模式的电流-电压映射的直接构造方法，可应用于电学层析成像领域的直接重建算法中，它给出了电流-电压映射直接的物理意义，该方法不涉及矩阵求逆、简单易行。

Description

一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法

技术领域

本发明涉及电学层析成像领域，尤其涉及一种新的基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法。

背景技术

电学层析成像（Electrical Tomography，简称ET）技术是层析成像技术的一种。其通过对被测物体施加激励，并检测其边界值的变化，利用特定的重建算法重建被测对象内部电特性参数的分布，从而得到物体内部的分布情况。与其他层析成像技术相比，电学层析成像具有无辐射、响应速度快、价格低廉等优势。

电学层析成像中重建算法一般可分为两类：基于灵敏度矩阵的重建算法和直接重建算法。使用前者通常需要解病态线性方程，这就意味着必须同时重建测量区域的所有像素值。后者通过计算电流-电压映射或者电压-电流映射来实现，每个像素点的灰度值可以直接、独立的计算。电流-电压映射的构造方法是电学层析成像直接重建算法的重要组成部分。

对于有N个电极的传感器，可以应用内积法或者根据电压-电流映射来构造电流-电压映射。然而这两种方法都不能给出电流-电压映射的直接物理意义，且计算复杂。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法，它能够给出电流-电压映射的直接物理意义。所述方法结构简单，计算速度快，且具有较强的鲁棒性。

本发明的技术方案是：

步骤一、对于具有N个电极的传感器，若采用相邻激励测量模式，即单位电流从第i(1≤i≤N)个电极流入被测场域，第i+1个电极流出，则第k(1≤k≤N)个电极的电势和第k+1个电极的电势之间的差满足：

$U_{i,i+1}^{k+1}-U_{i,i+1}^k=R_{i,i+1}^{k,k+1}---\left(1\right)$

是单位电流从第i个电极流入被测场域，第i+1个电极流出时，第i和i+1个电极与第k和k+1个电极之间的互阻抗，进而有：

$\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(U_{i,i+1}^1-\underset{m=0}{\overset{N-k}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{i,i+1}^{k+m,k+m+1})=0---\left(2\right)$

采用相邻激励测量模式，根据互易定理，可以获得N(N-1)/2个独立的阻抗测量数据 $R_{i,i+1}^{k,k+1}(1\≤k\≤N,1\≤i\≤N),$ 且 $R_{i,i+1}^{k,k+1}=R_{k,k+1}^{i,i+1}.$

步骤二、选择合适的接地方式，满足即所有电极电势之和为0，可推导出：

$U_{i,i+1}^1=\frac{1}{2}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{kR}}_{i,i+1}^{k,k+1}---\left(3\right)$

$\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{i,i+1}^{k,k+1}=0---\left(4\right)$

的一般形式为：

$U_{i,i+1}^k=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nR}}_{i,i+1}^{n+k,n+k+1}---\left(5\right)$

且有每个电极电压的一般形式：

进而可获得矩阵的简记形式，如

步骤三、相邻激励测量模式中，激励电流矩阵为如下形式：

根据电流-电压映射的定义，可以用一个维数为N×N的矩阵来近似电导率分布为σ(x，y，z)时的映射，它满足：

$U=\mathrm{BR}=R_{\mathrm{\σ}}^{N\×N}\left(I_{\mathrm{adj}}\right)---\left(11\right)$

而：

B^T的上标T表示对矩阵的转置，B^TI_adj的前n-1个特征值均为-1，而第n个特征值为0。通过计算B^TI_adj的特征值和特征向量，它可以写为：

B^TI_adj＝P{diag([-1 -1 … -1 0])_N×N}P^T        (13)diag(·)_NN表示维数为N×N的对角矩阵，P^TP＝I,P＝[p₁ p₂ … P_N-1 P_N]。定义特征向量p_i是P的第i(1≤i≤n-1)列，p_N是特征值0对应的特征向量，B^TI_adjp_N＝(0)p_N。方程(12)中每一行的平均值都为0，故 $p_N=\frac{1}{\sqrt{N}}{\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& ...& 1& 1\end{array}\right]}^T.$

所以B^TI_adj可以写为：

B^TI_adj＝-I_N×N+p_Np_N ^T             (14)

I_N×N是维数为N×N的单位矩阵。

类似的，通过计算特征值和特征向量，R的秩为N-1，可以写为如下形式：

R＝Q_RQ^T＝Q{diag([λ₁ λ₂ … λ_N-1 0])_N×N}Q^T       (15)

∑_R=diag([λ₁ λ₂… λ_N-1 0]_N×N)是由R的n个特征值组成的对角矩阵，Q是由相对应的特征向量组成的矩阵。Q^TQ＝I，Q＝[q₁ q₂… q_N-1 q_N]，特征向量q_i是Q的第i列(1≤i≤n-1),R_qi＝λ_iq_i,q_N是特征值0对应的特征向量，R_N＝(0q)_N，

$q_N=\frac{1}{\sqrt{N}}{{\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& ...& 1& 1\end{array}\right]}_{1\×N}}^T.$

因此:

Q^TB^TI_cQ＝Q^TI_N×N+p_Np_N ^TQ

＝-I_N×N+Q^Tq_Nq_N ^TQ         (16)

＝diag([-1 1 … -1 0])_N×N

根据方程(11)到(15)，有：

${\mathrm{\Σ}}_R=Q^T{B}^{-1}{R}_{\mathrm{\σ}}^{N\×N}{B}^{-T}Q\left(\right\{\mathrm{diag}{\left(\left[\begin{array}{ccccc}-1& -1& ...& -1& 0\end{array}\right]\right)}_{N\×N}\left\}\right)---\left(17\right)$

∑_R是一个对角矩阵，那么：

$Q^T{B}^{-1}{R}_{\mathrm{\σ}}^{N\×N}{B}^{-T}Q={-\mathrm{\Σ}}_R---\left(18\right)$

用σx，y,z表示电导率分布，电流-电压映射的离散近似，例如可以写为：

$R_{\mathrm{\σ}}^{N\×N}=-{\mathrm{BRB}}^T---\left(19\right)$

由此公式，电流-电压映射矩阵可以唯一的确定。

进一步的，参照本方法，激励测量模式的任何正交集合都可以用于计算电流-电压映射。

附图说明

图1是实施流程图。

图2是具体实施方式等效图。

具体实施方式

参见图1，一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法算法框图。以图2所示16个首尾相连的环形电阻网络为例，说明本方法的具体实施方式。

所述方法包括以下步骤：

步骤一、对于如图2所示16个环形电阻网络，若采用相邻激励测量模式，即单位电流从第i(1≤i≤16)个节点流入被测场域，第i+1个节点流出，则第k个节点(1≤k≤16)的电势和第k+1个节点的电势之间的差满足：

$U_{i,i+1}^{k+1}-U_{i,i+1}^k=R_{i,i+1}^{k,k+1}---\left(20\right)$

是单位电流从第i个节点流入被测场域，第i+1个节点流出时，第i和i+1个节点与第k和k+1个节点之间的互阻抗，进而有：

$\underset{k=1}{\overset{16}{\mathrm{\Σ}}}(U_{i,i+1}^1-\underset{m=0}{\overset{16-k}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{i,i+1}^{k+m,k+m+1})=0---\left(21\right)$

采用相邻激励测量模式，根据互易定理，可以获得120个独立的阻抗测量数据 $R_{i,i+1}^{k,k+1}(1\≤k\≤\mathrm{16,1}\≤i\≤16),$ 且 $R_{i,i+1}^{k,k+1}=R_{k,k+1}^{i,i+1}.$

步骤二、选择合适的接地方式，满足即所有电极电势之和为0，可推导出：

$U_{i,i+1}^1=\frac{1}{16}\underset{k=1}{\overset{16}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{kR}}_{i,i+1}^{k,k+1}---\left(22\right)$

$\underset{k=1}{\overset{16}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{i,i+1}^{k,k+1}=0---\left(23\right)$

的一般形式为：

$U_{i,i+1}^k=\frac{1}{16}\underset{n=1}{\overset{15}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{nR}}_{i,i+1}^{n+k,n+k+1}---\left(24\right)$

且有每个节点电压的一般形式：

进而可获得矩阵的简记形式：

步骤三、相邻激励测量模式中，激励电流矩阵为如下形式：

则电流-电压映射对应的矩阵可以写为：

由此可唯一的确定电流-电压映射矩阵

为证明所述结论，做如下验证：用所求得映射矩阵计算出节点电势矩阵，

以激励节点1和节点2为例，单位电流从节点流入被测场域，节点2流出，易算出

$U_{\mathrm{1,2}}^2-U_{\mathrm{1,2}}^1=-\frac{15}{16}$

推广到整个矩阵，结论可证。

所述的一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法，给出了电流-电压映射的直接物理意义和一种新的计算方法，该方法不涉及矩阵求逆、具有明确的物理意义、简单易行。参照本方法，激励测量模式的任何正交集合都可以用于计算电流-电压映射。

以上对本发明及其实施方式的描述，并不局限于此，附图中所示仅是本发明的实施方式之一。在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造地设计出与该技术方案类似的结构或实施例，均属本发明保护范围。

Claims (1)

1.一种基于相邻激励测量模式的电流-电压映射构造方法，用于实现电学层析成像直接图像重建方法，其特征在于，该方法包括下述步骤：

步骤一、对于具有N个电极的传感器，采用传统的相邻激励测量模式，即单位电流从第i个电极流入被测场域，第i+1个电极流出，其中1≤i≤N，则第k个电极的电势和第k+1个电极的电势之间的差满足方程：

$U_{i,i+1}^{k+1}-U_{i,i+1}^k=R_{i,i+1}^{k,k+1}---\left(1\right)$

其中1≤k≤N，是单位电流从第i个电极流入被测场域，第i+1个电极流出时，第i和i+1个电极与第k和k+1个电极之间的互阻抗，进而有：

$\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(U_{i,i+1}^1-\underset{m=0}{\overset{N-k}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{i,i+1}^{k+m,k+m+1})=0---\left(2\right)$

采用相邻激励测量模式，根据互易定理，获得N(N-1)/2个独立的阻抗测量数据其中1≤k≤N，1≤i≤N，且 $R_{i,i+1}^{k,k+1}=R_{k,k+1}^{i,i+1};$

步骤二、选择合适的接地方式，满足即所有电极电势之和为0，可推导出：

$U_{i,i+1}^1=\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}k{R}_{i,i+1}^{k,k+1}---\left(3\right)$

$\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{R}_{i,i+1}^{k,k+1}=0---\left(4\right)$

的一般形式为：

$U_{i,i+1}^k=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}n{R}_{i,i+1}^{n+k,n+k+1}---\left(5\right)$

且有每个电极电压的一般形式：

进而可获得矩阵的简记形式：

其中，B为参数矩阵，R为互阻抗矩阵，U为电极电压矩阵；

步骤三、相邻激励测量模式中，激励电流矩阵I_adj为如下形式：

则将电流-电压映射对应的矩阵写为：

$R_{\mathrm{\σ}}^{N\×N}=-{\mathrm{BRB}}^T---\left(11\right)$

由此公式，将电流-电压映射矩阵唯一的确定。