CN103136729B - 一种基于超复数描述的模糊矢量形态学滤波方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于超复数描述的模糊矢量形态学滤波方法，对于彩色图像每个像素进行超复数描述，得到三个代表像素特征的分量，按照所定义的词典编纂顺序，对图像中每个像素依次进行开运算、闭运算之后，得到滤波后图像。本发明利用超复数描述彩色图像，引入了模糊词典编纂顺序，对于受椒盐噪声污染的彩色图像具有较好的复原效果。

Description

一种基于超复数描述的模糊矢量形态学滤波方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，涉及到数学形态学理论和彩色图像滤波，该发明可应用于彩色图像中的脉冲噪声去除，以实现彩色图像增强和复原。

背景技术

随着图像获取设备和其他相关的图像硬件设备的飞速发展、计算机性能的快速提高、以及人眼视觉对色彩信息的敏感性，同时也由于多通道图像(彩色图像、高光谱图像)携带着比灰度图像更多的信息，彩色图像得到了广泛应用。在彩色图像处理中，彩色图像滤波和去噪是非常重要的，它是图像边缘提取、图像分割、目标识别等后续处理步骤的前提，是任何图像处理系统的一个必要组成部分。

目前已经提出了很多种彩色图像滤波方法，其中，应用较为广泛的方法都是基于统计理论和矢量处理技术的非线性矢量滤波方法，以矢量中值滤波方法和矢量形态学滤波方法为代表。常见的矢量中值滤波方法有：VMF(传统的矢量中值滤波器)、BVDF(基本矢量方向滤波器)、DDF(距离方向滤波器)、HDF(混合方向滤波器)和AVMF(自适应矢量中值滤波)，矢量中值滤波方法通过计算模板内各矢量与模板的距离，求出最小距离对应的矢量作为输出矢量，该类方法具有较优的理论模型，因此滤波效果较好，在工程中应用较为广泛。缺陷在于计算量大，在去除噪声的同时模糊了图像的细节边缘。

形态学滤波方法在二值和灰度图像滤波中取得极大的成功，然而，在彩色图像滤波中，现有的矢量形态学滤波方法均有待改善。常用的矢量形态学滤波方法主要可以分为三类：第一类是以词典编纂顺序为基础，通过对不同彩色模型下的三个边缘分量进行等级划分，从而建立适合于彩色像素排序的词典编纂顺序，基于该矢量排序算法构建矢量形态学滤波算子，以VS(基于亮度、饱和度的两层词典编纂顺序)、VSH(基于亮度、饱和度、色调的三层词典编纂顺序)为代表。该类滤波算子的优点在于对彩色图像滤波的同时没有引入任何新的颜色信息，实现了最早的矢量形态学滤波算子。缺点在于滤波效果较差，没有实用性。而近年来新涌现出以词典编纂顺序为基础的矢量形态学滤波方法以QPEPA(基于垂直分量、水平分量的两层词典编纂顺序)为代表，该方法利用超复数构建新的词典编纂顺序，实现了彩色图像滤波，然而作者没有给出词典编纂顺序中最优分量的选择规则以及词典编纂顺序中各分量的等级排序规则，导致不同词典编纂顺序下的矢量排序结果不同、对彩色图像的滤波效果不同，且滤波效果仍低于VMF。

第二类矢量数学形态学滤波方法以矢量距离计算为基础，经典的矢量距离有城市距离、棋盘距离、马氏(Mahalanobis distance)距离和欧式距离(Euclidean distance)。通过构建不同的距离函数将矢量距离变成单变量信息，针对包含三分量的彩色像素建立了完整的网格空间，实现了矢量形态学滤波算子，以DRGB(RGB彩色空间内基于距离的退化顺序)、DLSH(HLS彩色空间内基于距离的退化顺序)、SHVSD(HSV彩色空间内基于距离的退化顺序)为代表。由于矢量距离综合考虑了彩色图像的三个分量，一定程度上对矢量进行了较为客观的排序，因此基于距离的矢量形态学滤波算子具有较高的鲁棒性、且计算复杂性较低，便于实现。缺点在于进行矢量距离计算的同时丢失了部分信息，导致滤波效果较差，且该类滤波算子不满足经典的形态学滤波算子的一些属性：如幂等性、对偶性等。

第三类矢量形态学滤波方法是对词典编纂顺序和矢量距离顺序的综合利用。以α-LEX(基于参数截断的词典编纂顺序)方法为代表，首先定义矢量距离，并将矢量距离作为词典编纂顺序的第一层分量，词典编纂顺序的其余分量在不同彩色空间下选择不同的彩色分量。该类滤波算子由于综合了两种矢量排序规则的优点，因此对彩色图像的滤波效果较好，但同时计算量较大，且滤波效果仍然难以超越VMF。

此外，近年来还出现了很多其他的矢量形态学滤波方法，例如：基于PCA降维的矢量形态学滤波方法、基于深度函数的矢量形态学滤波方法等，这些方法为改善矢量形态学滤波算子提供了新的思路，然而并未取得更优的滤波效果。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种基于超复数描述的模糊矢量形态学滤波方法，通过引入超复数理论和模糊词典编纂排序算法，改善了矢量排序结果，滤波后的图像在有效去除噪声的同时较好的保留了图像的细节边缘，且具有较高的CPSNR(彩色峰值信噪比)和较低的CMSE(彩色最小均方误差)、NCD(归一化色调误差)。

本发明的技术方案是：用超复数描述彩色图像，并根据超复数的分解特性构建模糊词典编纂顺序，利用该矢量顺序构建矢量形态学滤波算子，以得到更好的彩色图像滤波结果。具体实现步骤如下：

(1)初始化：输入尺寸为M×N的待处理彩色图像f，M和N分别表示f的宽度和高度，初始化尺寸为(2i+1)×(2i+1)的方形结构元素B_i，1≤i≤round(min(M，N)/400)，round表示四舍五入后取整数，初始化序列滤波器的循环变量i＝1；

(2)彩色图像的超复数描述：根据超复数的定义得到待处理彩色图像f中任一像素q＝Ф+rx+gy+bz，r、g和b分别表示三个彩色分量，Ф表示q的实部，rx+gy+bz表示超复数的虚部，利用Ф给出q的极坐标表达式q＝ρe^ξθ，ρ表示的是q的模值，ξ表示q的特征轴，θ表示q的角度，然后利用超复数的分解特性得到水平投影分量q^||和垂直投影分量q^⊥，用ρ、||q^⊥||、θ三个特征表示彩色像素q，得到q(ρ，||q^⊥||，θ)；

(3)模糊词典编纂顺序FLO：根据超复数的极坐标表达式和分解结果，确定词典编纂顺序中三个分量的等级顺序为ρ→||q^⊥||→θ，以w＝1/(i+1)为模糊权值系数，定义模糊词典编纂顺序；

(4)矢量开运算：在待处理彩色图像f中以任一彩色像素为中心，取(2i+1)×(2i+1)领域的n个矢量组成集合S_n， $S_n=\{q_1({\mathrm{\ρ}}_1,|\left|q_1^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_1),q_2({\mathrm{\ρ}}_2,|\left|q_2^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_2),...,q_n({\mathrm{\ρ}}_n,|\left|q_n^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_n)\},$ q_ii代表S_n集合中的任一彩色像素的元素，每个彩色像素q_ii均包括ρ_ii、θ_ii三个分量，即q_ii的模值，垂直投影和角度，1≤ii≤n，当ρ_ii、θ_ii三个分量中任一分量在S_n集合中排序变化时，其余两个分量也随之变化，根据步骤(3)中的模糊词典编纂顺序先对待处理彩色图像f执行矢量腐蚀运算：

(a)首先利用彩色分量ρ简化集合S_n：对ρ做升序排序，得到排序后的结果 分别代表按照升序排序后的分量ρ，以ρ的排序结果为依据对S_n进行升序排序后得到新的集合 $S_n^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{s1})\},$ 其中， $q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{\text{s1}})$ 分别代表中按照ρ的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n1}^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_{n1}^{s1}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s1},|\left|q_{n1}^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s1})\},$ n1＝round(w×n)；

(b)：利用彩色分量||q^⊥||进一步简化集合对中的||q^⊥||进行升序排序，得到排序后的结果 $\left|\right|q_1^{\⊥s2}\left|\right|\≤\left|\right|q_2^{\⊥s2}\left|\right|\≤...\≤\left|\right|q_{n1}^{\⊥s2}\left|\right|,$ $\left|\right|q_1^{\⊥s2}\left|\right|,\left|\right|q_2^{\⊥s2}\left|\right|,...,\left|\right|q_{n1}^{\⊥s2}\left|\right|$ 分别代表按照升序排序后的分量||q^⊥||，以||q^⊥||的排序结果为依据对进行升序排序后得到新的集合 $S_{n1}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})\},$ 其中， $q_1^{s2}{({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},{\left|\right|q_1^{\⊥s}\left|\right|}^2,{{\mathrm{\θ}}^s}_1)}^2,$ $q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})$ 分别代表中按照||q^⊥||的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n2}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n2}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s2},|\left|q_{n2}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s2})\},$ n2＝round(w×n1)；

(c)：利用彩色分量θ求出S_n中的极小矢量值min(S_n)：对中的θ进行降序排序，得到排序后的结果 分别代表按照降序排序后的分量θ，根据θ的排序结果，对重新排列后，得到其中， $q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3}),$ $q_2^{s3}({\mathrm{\ρ}}_2^{s3},|\left|q_2^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s3}),...,q_{n2}^{s3}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s3},|\left|q_{n2}^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s3})$ 分别代表按照θ的降序重新排序后的彩色像素，从而得到 $\min \left(S_n\right)=q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3});$

重复步骤(a)到(c)，遍历待处理彩色图像f中每个像素进行矢量腐蚀运算后，进行矢量膨胀运算，矢量膨胀运算步骤与矢量腐蚀运算步骤相同，不同的是对分量ρ、||q^⊥||排序时选用降序规则，而对θ排序时选用升序规则；

(5)矢量闭运算：对步骤(4)的运算结果依次进行矢量膨胀运算和矢量腐蚀运算，在每个像素均经过运算后，得到图像f′；

(6)终止判断：如果i≥round[min(M，N)/400]，则输出f′为滤波后的图像，否则i＝i+1，并返回步骤(4)继续运算。

本发明的有益效果是：

1、利用超复数描述彩色图像，从而得到三个较为独立的彩色分量，有利于词典编纂顺序对矢量排序的客观性。因此矢量排序结果更符合人眼的视觉特性。

2、引入模糊词典编纂顺序，可以解决现有词典编纂顺序的矢量排序结果仅依赖于第一层颜色分量的问题。模糊方法降低了词典编纂顺序中各分量的等级关系，从而能获得较为客观的矢量排序结果。

3、对于受椒盐噪声污染的彩色图像具有较好的复原效果，与现有的矢量形态学滤波算子相比，由于本发明将模糊词典编纂顺序用于矢量腐蚀、膨胀运算，因此经本发明处理后的彩色图像具有更高的CPSNR和较低的CMSE、NCD。

附图说明

图1是本发明实现步骤的流程原理框图。

图2是用超复数描述彩色图像时超复数的分解图原理。

图3是本发明方法与现有的5种矢量形态学滤波方法在对彩色图像滤波时获得的CMSE(彩色均方误差)指标比较。

图4是本发明方法与现有的5种矢量形态学滤波方法在对彩色图像滤波时获得的CPSNR(彩色峰值信噪比)指标比较。

图5是本发明方法与现有的5种矢量形态学滤波方法在对彩色图像滤波时获得的NCD(归一化色彩误差)指标比较。

具体实施方式

本发明的步骤为：

(1)初始化：输入尺寸为M×N的待处理彩色图像f，M和N分别表示f的宽度和高度，初始化尺寸为(2i+1)×(2i+1)的方形结构元素B_i，1≤i≤round(min(M，N)/400)，round表示四舍五入后取整数，初始化序列滤波器的循环变量i＝1；

(2)彩色图像的超复数描述：根据超复数的定义得到待处理彩色图像f中任一像素q＝Ф+rx+gy+bz，r、g和b分别表示三个彩色分量，Φ表示q的实部，rx+gy+bz表示超复数的虚部，利用Ф给出q的极坐标表达式q＝ρe^ξθ，ρ表示的是q的模值，ξ表示q的特征轴，θ表示q的角度，然后利用超复数的分解特性得到水平投影分量q^||和垂直投影分量q^⊥，用ρ、||q^⊥||、θ三个特征表示彩色像素q，得到q(ρ，||q^⊥||，θ)；

(3)模糊词典编纂顺序FLO：根据超复数的极坐标表达式和分解结果，确定词典编纂顺序中三个分量的等级顺序为ρ→||q^⊥||→θ，以w＝1/(i+1)为模糊权值系数，定义模糊词典编纂顺序；

(4)矢量开运算：在待处理彩色图像f中以任一彩色像素为中心，取(2i+1)×(2i+1)领域的n个矢量组成集合S_n， $S_n=\{q_1({\mathrm{\ρ}}_1,|\left|q_1^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_1),q_2({\mathrm{\ρ}}_2,|\left|q_2^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_2),...,q_n({\mathrm{\ρ}}_n,|\left|q_n^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_n)\},$ q_ii代表S_n集合中的任一彩色像素的元素，每个彩色像素q_ii均包括ρ_ii、θ_ii三个分量，即q_ii的模值，垂直投影和角度，1≤ii≤n，当ρ_ii、θ_ii三个分量中任一分量在S_n集合中排序变化时，其余两个分量也随之变化，根据步骤(3)中的模糊词典编纂顺序先对待处理彩色图像f执行矢量腐蚀运算：

(a)首先利用彩色分量ρ简化集合S_n：对ρ做升序排序，得到排序后的结果 分别代表按照升序排序后的分量ρ，以ρ的排序结果为依据对S_n进行升序排序后得到新的集合 $S_n^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{s1})\},$ 其中， $q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{s1})$ 分别代表中按照ρ的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n1}^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_{n1}^{s1}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s1},|\left|q_{n1}^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s1})\},$ n1＝round(w×n)；

(b)：利用彩色分量||q^⊥||进一步简化集合对中的||q^⊥||进行升序排序，得到排序后的结果 $\left|\right|q_1^{\⊥s2}\left|\right|\≤\left|\right|q_2^{\⊥s2}\left|\right|\≤...\≤\left|\right|q_{n1}^{\⊥s2}\left|\right|,$ $\left|\right|q_1^{\⊥s2}\left|\right|,\left|\right|q_2^{\⊥s2}\left|\right|,...,\left|\right|q_{n1}^{\⊥s2}\left|\right|$ 分别代表按照升序排序后的分量||q^⊥||，以||q^⊥||的排序结果为依据对进行升序排序后得到新的集合 $S_{n1}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})\},$ 其中， $q_1^{s2}{({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},{\left|\right|q_1^{\⊥s}\left|\right|}^2{{\mathrm{\θ}}^s}_1)}^2,$ $q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})$ 分别代表中按照||q^⊥||的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n2}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n2}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s2},|\left|q_{n2}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s2})\},$ n2＝round(w×n1)；

(c)：利用彩色分量θ求出S_n中的极小矢量值min(S_n)：对中的θ进行降序排序，得到排序后的结果 分别代表按照降序排序后的分量θ，根据θ的排序结果，对重新排列后，得到 $S_{n2}^{s3}=\{q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3}),q_2^{s3}({\mathrm{\ρ}}_2^{s3},|\left|q_2^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s3}),...,q_{n2}^{s3}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s3},|\left|q_{n2}^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s3})\},$ 其中， $q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3}),$ $q_2^{s3}({\mathrm{\ρ}}_2^{s3},|\left|q_2^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s3}),...,q_{n2}^{s3}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s3},|\left|q_{n2}^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s3})$ 分别代表按照θ的降序重新排序后的彩色像素，从而得到 $\min \left(S_n\right)=q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3});$

重复步骤(a)到(c)，遍历待处理彩色图像f中每个像素进行矢量腐蚀运算后，进行矢量膨胀运算，矢量膨胀运算步骤与矢量腐蚀运算步骤相同，不同的是对各个分量ρ、||q^⊥||排序时选用降序规则，而对θ排序时选用升序规则；

(5)矢量闭运算：对步骤(4)的运算结果依次进行矢量膨胀运算和矢量腐蚀运算，在每个像素均经过运算后，得到图像f′；

(6)终止判断：如果i≥round[min(M，N)/400]，则输出f′为滤波后的图像，否则i＝i+1，并返回步骤(4)继续运算。

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明：

(1)初始化：待处理的彩色图像为f，根据f的尺寸M×N得到最大结构元素尺寸为(2i+1)×(2i+1)，定义初始结构元素尺寸为3×3，即i＝1，定义词典编纂顺序的层数初始值j＝1；

(2)用超复数描述彩色图像：设彩色图像中的任一像素为q，三个彩色分量分别用r、g和b表示，Ф表示q的实部，则q的超复数表达式为：

q＝Φ+rx+gy+bz

为了获得用于词典编纂顺序的超复数分量，必须计算超复数的实部并进行超复数分解，具体过程如下：

(a)计算超复数的实部Ф，计算方法为：

Φ＝(|2r-g-b|+|2g-r-b|+|2b-g-r|)/4

根据Φ可以得到超复数的极坐标表达式为：

q＝ρe^ξθ

其中，

$\mathrm{\ρ}=\sqrt{{\left(\mathrm{\Φ}\right)}^2+r^2+g^2+b^2},$ $\mathrm{\θ}=\arctan \left(\frac{\sqrt{r^2+g^2+b^2}}{\mathrm{\Φ}}\right),$ $\mathrm{\ξ}=\frac{\mathrm{ri}+\mathrm{gj}+\mathrm{bk}}{\sqrt{r^2+g^2+b^2}}$

(b)超复数分解：根据超复数的分解特性，一个超复数可以分解为水平投影分量(q^||)和垂直投影分量(q^⊥)，其分解原理如图2所示；

q＝q^⊥+q^||

在图2中，q^⊥r＝q^⊥-q^||，q^||r＝q^||-q^⊥，q^||r表示水平反射分量，q^⊥r表示垂直反射分量，q^||＝Ф¹(q)+V^||(q)，q^⊥＝V^⊥(q)，V表示超复数的虚平面。对V进行分解，得到：

$V^{\left|\right|}=\frac{1}{3}[(r+g+b)x+(r+g+b)y+(r+g+b)z]$

由于V＝V^⊥+V^||，因此

$V^{\⊥}=\frac{1}{3}[(2r-g-b)x+(2g-r-b)y+(2b-r-g)z]$

(3)模糊词典编纂顺序：

根据超复数的极坐标表达式和分解结果，利用水平和垂直分量模值(||q^||||，||q^⊥||)以及超复数极坐标表达方法中的模值和角度分量(ρ、ξ和θ)对矢量进行排序。通过分析排序结果发现，由于ξ作为单分量排序结果较差，因此词典编纂顺序中的三个分量只能从||q^||||、q^⊥、ρ和θ中选择。由于||q^||||和ρ所表达的意义近似，而ρ在距离意义上优于||q^||||，因此我们选用ρ、||q^⊥||和θ作为词典编纂顺序中需要的三个分量，且等级顺序关系为：ρ→||q^⊥||→θ。以w＝1/(i+1)表示模糊权值系数，则w初始值为1/2，在求矢量极值的时候，采用扩大极值范围的方法代替传统取单个极值的方法，实现彩色像素的客观排序；

(4)矢量开运算：分为矢量腐蚀和矢量膨胀两个步骤

矢量腐蚀：由于矢量腐蚀和矢量膨胀是矢量集合中的最小和最大矢量值，因此矢量排序算法是矢量腐蚀和矢量膨胀运算的核心步骤。设S_n为一组彩色像素， $S_n=\{q_1({\mathrm{\ρ}}_1,|\left|q_1^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_1),q_2({\mathrm{\ρ}}_2,|\left|q_2^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_2),...,q_n({\mathrm{\ρ}}_n,|\left|q_n^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_n)\},$ n表示结构元素中的矢量个数，n＝(2i+1)×(2i+1)，计算矢量腐蚀的具体步骤为：

(a)：首先利用彩色分量ρ简化集合S_n：对ρ做升序排序，得到排序后的结果 分别代表按照升序排序后的分量ρ，以ρ的排序结果为依据对S_n进行升序排序后得到新的集合 $S_n^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{s1})\}.$ 其中， $q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|{q^{\⊥s}}_1\right||,\mathrm{\θ}_s^1),$ $q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1})...q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{s1})$ 分别代表中按照ρ的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n1}^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),...,q_{n1}^{s1}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s1},|\left|q_{n1}^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s1})\},$ n1＝round(w×n)；

(b)：利用彩色分量||q^⊥||进一步简化集合对中的||q^⊥||进行升序排序，得到排序后的结果 $\left|\right|q_1^{\⊥s2}\left|\right|\≤\left|\right|q_2^{\⊥s2}\left|\right|\≤...\≤\left|\right|q_{n1}^{\⊥s2}\left|\right|,$ $\left|\right|q_1^{\⊥s2}\left|\right|,\left|\right|q_2^{\⊥s2}\left|\right|...\left|\right|q_{n1}^{\⊥s2}\left|\right|$ 分别代表按照升序排序后的分量||q^⊥||，以||q^⊥||的排序结果为依据对进行升序排序后得到新的集合 $S_{n1}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})\},$ 其中， $q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),$ $q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})$ 分别代表中按照||q^⊥||的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n2}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),...,q_{n2}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s2},|\left|q_{n2}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s2})\},$ n2＝round(w×n1)；

(c)：利用彩色分量θ求出S_n中的极小矢量值min(S_n)：对中的θ进行降序排序，得到排序后的结果 分别代表按照降序排序后的分量θ，根据θ的排序结果，对重新排列后得到 $S_{n2}^{s3}=\{q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3}),q_2^{s3}({\mathrm{\ρ}}_2^{s3},|\left|q_3^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s3}),...,q_{n2}^{s3},\left({{\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s3},\left|\right|q}_{n2}^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s3})\},$ 其中， $q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3}),$ $q_2^{s3}({\mathrm{\ρ}}_2^{s3},|\left|q_2^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s3})...q_{n2}^{s3}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s3},|\left|q_{n2}^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s3})$ 分别代表按照θ的降序重新排序后的彩色像素，从而得到 $\min \left(S_n\right)=q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3});$

重复步骤(a)到(c)，遍历待处理彩色图像f中每个像素进行矢量腐蚀运算后，再进行矢量膨胀运算，矢量膨胀运算步骤与矢量腐蚀运算步骤相同，不同的是对各个分量ρ、||q^⊥||排序时选用降序规则，而对θ排序时选用升序规则；

(5)矢量闭运算：对步骤(4)的运算结果依次进行矢量膨胀运算和矢量腐蚀运算，运算方法同步骤(4)，不同的是矢量闭运算先进行矢量膨胀运算，然后进行矢量腐蚀运算，得到图像f′；

(6)终止判断：如果i≥round[min(M，N)/400]，则输出f′为滤波后的图像，否则i＝i+1，并返回步骤(4)继续运算。

本发明的效果可以通过以下实验进一步说明。

1实验内容

为了验证本发明方法的效果，将本发明方法与现有的5种矢量形态学滤波方法进行了对比实验，，两种算法分别独立运行30次，采取下面三个指标评价结果的优劣：

如果f，g分别为噪声图像和滤波后的图像，图像尺寸为M×N，则三个评价指标按下式计算：

(1)彩色均方误差：

$\mathrm{CMSE}(f,g)=\frac{1}{3M\×N}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|f(i,j)-g(i,j)\left|\right|}^2$

(2)彩色峰值信噪比：

$\mathrm{CPSNR}(f,g)={10\log }_{10}\frac{3\×M\×N\×{255}^2}{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|f(i,j)-g(i,j)\left|\right|}^2}$

(3)归一化色彩误差：

$\mathrm{NCD}(f,g)=\frac{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|f_{L*a*b*}(i,j)-g_{L*a*b*}(i,j)\left|\right|}^2}{\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|f_{L*a*b*}(i,j)\left|\right|}^2}$

2实验结果分析

利用现有的矢量形态学滤波方法和本发明方法对30幅加入不同等级脉冲噪声后的标准测试图像进行滤波，图3-5给出了滤波结果的性能指标测试数据。从图3-5可以看出，VSH和α-LEX均是在HSV彩色空间内定义的矢量排序方法，三种方法的缺陷在于需要经RGB彩色空间转换到HSV彩色空间，α-LEX的处理结果显然优于VSH，原因在于α-LEX采用了α截断方法(参数α分别选用0.33和0.25)，从而使词典顺序便于进入到下一层，因此处理效果优于VSH。DLSH采用了基于距离变换的矢量排序方法，在LSH彩色空间进行，由于该方法利用了彩色组合距离分量，因此其处理效果得到进一步提升。DRGB直接基于RGB彩色空间中的距离组合进行矢量排序，其处理结果较差，这是由于RGB三个分量之间具有较强的相关性，三个分量的选择不如HSV彩色空间中三个分量更符合人眼对彩色的感知，但其优点在于便于处理。QPEPA采用水平分量和垂直分量构建词典编纂顺序，一定程度是哪个提高了滤波效果，但仍有待提高。与前面5中现有的矢量形态学滤波方法相比，经本发明滤波后的噪声图像具有较低的CMSE、NCD及较高的CPSNR。实验数据表明，本发明方法明显优于传统矢量形态学滤波方法。

由于本发明方法利用超复数的分解特性构造了新的边缘分量，并采用模糊排序算法，从而降低了词典编纂顺序中各分量之间的排序等级关系，使词典编纂顺序中的每一个边缘分量参与到矢量排序中，进而有效改善了彩色图像的滤波效果，并表现出较高的鲁棒性。

Claims (1)

1.一种基于超复数描述的模糊矢量形态学滤波方法，其特征在于包括下述步骤：

(1)初始化：输入尺寸为M×N的待处理彩色图像f，M和N分别表示f的宽度和高度，初始化尺寸为(2i+1)×(2i+1)的方形结构元素B_i，1≤i≤round(min(M,N)/400)，round表示四舍五入后取整数，初始化序列滤波器的循环变量i＝1；

(2)彩色图像的超复数描述：根据超复数的定义得到待处理彩色图像f中任一像素q＝Φ+rx+gy+bz，r、g和b分别表示三个彩色分量，Φ表示q的实部，rx+gy+bz表示超复数的虚部，利用Φ给出q的极坐标表达式q＝ρe^ξθ，ρ表示的是q的模值，ξ表示q的特征轴，θ表示q的角度，然后利用超复数的分解特性得到水平投影分量q^||和垂直投影分量q^⊥，用ρ、||q^⊥||、θ三个特征表示彩色像素q，得到q(ρ,||q^⊥||,θ)；

(3)模糊词典编纂顺序FLO：根据超复数的极坐标表达式和分解结果，确定词典编纂顺序中三个分量的等级顺序为ρ→||q^⊥||→θ，以w＝1/(i+1)为模糊权值系数，定义模糊词典编纂顺序；

(4)矢量开运算：在待处理彩色图像f中以任一彩色像素为中心，取(2i+1)×(2i+1)邻域的n个矢量组成集合S_n， $S_n=\{q_1({\mathrm{\ρ}}_1,|\left|q_1^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_1),q_2({\mathrm{\ρ}}_2,|\left|q_2^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_2),\·\·\·,q_n({\mathrm{\ρ}}_n,|\left|q_n^{\⊥}\right||,{\mathrm{\θ}}_n)\},$ q_ii代表S_n集合中的任一彩色像素的元素，每个彩色像素q_ii均包括ρ_ii、θ_ii三个分量，即q_ii的模值，垂直投影和角度，1≤ii≤n，当ρ_ii、θ_ii三个分量中任一分量在S_n集合中排序变化时，其余两个分量也随之变化，根据步骤(3)中的模糊词典编纂顺序先对待处理彩色图像f执行矢量腐蚀运算：

(a)首先利用彩色分量ρ简化集合S_n：对ρ做升序排序，得到排序后的结果 分别代表按照升序排序后的分量ρ，以ρ的排序结果为依据对S_n进行升序排序后得到新的集合 $S_n^{s1}:$ $S_n^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),\·\·\·,q_n^{s1}({\mathrm{\ρ}}_n^{s1},|\left|q_n^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_n^{s1})\},$ 其中， 分别代表中按照ρ的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n1}^{s1}=\{q_1^{s1}({\mathrm{\ρ}}_1^{s1},|\left|q_1^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s1}),q_2^{s1}({\mathrm{\ρ}}_2^{s1},|\left|q_2^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s1}),\·\·\·,q_{n1}^{s1}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s1},|\left|q_{n1}^{\⊥s1}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s1})\},$ n1＝round(w×n)；

(b)：利用彩色分量||q^⊥||进一步简化集合对中的||q^⊥||进行升序排序，得到排序后的结果 分别代表按照升序排序后的分量||q^⊥||，以||q^⊥||的排序结果为依据对进行升序排序后得到新的集合 ${S_{n1}^{s2}:S}_{n1}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),\·\·\·,q_{n1}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n1}^{s2},|\left|q_{n1}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n1}^{s2})\},$ 其中，分别代表中按照||q^⊥||的升序重新排序后的彩色像素，利用模糊权值系数w获取截短后的矢量集合 $S_{n2}^{s2}=\{q_1^{s2}({\mathrm{\ρ}}_1^{s2},|\left|q_1^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s2}),q_2^{s2}({\mathrm{\ρ}}_2^{s2},|\left|q_2^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s2}),\·\·\·,q_{n2}^{s2}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s2},|\left|q_{n2}^{\⊥s2}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s2})\},$ n2＝round(w×n1)；

(c)：利用彩色分量θ求出S_n中的极小矢量值min(S_n)：对中的θ进行降序排序，得到排序后的结果 分别代表按照降序排序后的分量θ，根据θ的排序结果，对重新排列后，得到 $S_{n2}^{s3}=\{q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3}),q_2^{s3}({\mathrm{\ρ}}_2^{s3},|\left|q_2^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_2^{s3}),\·\·\·,q_{n2}^{s3}({\mathrm{\ρ}}_{n2}^{s3},|\left|q_{n2}^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_{n2}^{s3})\},$ 其中， 分别代表按照θ的降序重新排序后的彩色像素，从而得到 $\min \left(S_n\right)=q_1^{s3}({\mathrm{\ρ}}_1^{s3},|\left|q_1^{\⊥s3}\right||,{\mathrm{\θ}}_1^{s3});$

重复步骤(a)到(c)，遍历待处理彩色图像f中每个像素进行矢量腐蚀运算后，进行矢量膨胀运算，矢量膨胀运算步骤与矢量腐蚀运算步骤相同，不同的是对分量ρ、||q^⊥||排序时选用降序规则，而对θ排序时选用升序规则；

(5)矢量闭运算：对步骤(4)的运算结果依次进行矢量膨胀运算和矢量腐蚀运算，在每个像素均经过运算后，得到图像f'；

(6)终止判断：如果i≥round[min(M,N)/400]，则输出f'为滤波后的图像，否则i＝i+1，并返回步骤(4)继续运算。