CN103115620B - 一种四自由度微机械陀螺阵列 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于四自由度微机械陀螺的阵列结构。本发明由四自由度微机械陀螺排列组成，驱动模态设置在四自由度微机械陀螺的结构内部，敏感模态设置在四自由度微机械陀螺的外围，敏感质量块设置在所有陀螺单元的外部。四自由度微机械陀螺共用一个敏感质量块。通过这种新型的陀螺阵列的形式，将若干4-DOF陀螺单元有效地组合在一起，使得陀螺阵列不仅拥有良好的系统稳定性，而且可以有效地提高陀螺阵列的灵敏度。

Description

一种四自由度微机械陀螺阵列

技术领域

本发明涉及一种基于四自由度微机械陀螺的阵列结构。

背景技术

微机械陀螺的研究开始于上世纪80年代末，是一种新型的微小型惯性导航元器件。与传统的机械陀螺和光学陀螺相比，其优点是体积小、重量轻、耗电量小、寿命长、成本低、易集成、可靠性高，能大量生产，是未来新型惯性导航技术领域的核心元器件之一。目前，微机械陀螺的研究主要分为单自由度和多自由度两大类：单自由度微机械陀螺采用的是1-DOF驱动结构和1-DOF敏感结构，通过驱动模态和敏感模态的自然频率匹配来实现驱动模态和敏感模态同时达到共振，从而提高陀螺的灵敏度；多自由度陀螺主要是将2-DOF结构(动态吸振器结构，DVA或完全的2-DOF振动结构)应用到微机械陀螺的驱动模态或敏感模态，通过2-DOF振动结构的频率响应中两个峰值之间的平坦区域来提高陀螺的3dB带宽，从而提高微机械陀螺的稳定性。

在多自由度微机械陀螺结构中，动态吸振器结构(DVA)或完全的2-DOF振动结构在实现驱动模态和敏感模态解耦的同时，可以提高系统的带宽，从而提升系统的稳定性，增强抗干扰能力。然而在目前公开发表的多自由度微机械陀螺的结构中，2-DOF振动结构模态的增益相对比较低，这样会导致系统整体的灵敏度降低，影响实际应用中陀螺的测量精度。尤其是驱动模态和敏感模态都采用2-DOF振动结构时，两个模态的增益同时降低，严重影响陀螺的整体灵敏度，限制了陀螺的实际应用范围。

发明内容

本发明的目的在于提供一种提升系统稳定性和灵敏度的四自由度微机械陀螺阵列。

本发明的目的是这样实现的：

本发明由四自由度微机械陀螺排列组成，四自由度微机械陀螺包括驱动质量块、驱动静梳齿、驱动动梳齿、解耦框架、监测质量块、敏感质量块、敏感静梳齿和敏感动梳齿，驱动静梳齿和驱动动梳齿构成电容梳齿式驱动单元，所述驱动单元设置在驱动质量块上，驱动质量块和四个锚点Ⅰ通过两个工形梁相连，驱动质量块和解耦框架通过四个折叠梁Ⅰ相连，解耦框架和四个锚点Ⅱ通过两个工形梁Ⅱ连接，构成驱动模态；检测质量块和解耦框架通过四个折叠梁Ⅱ相连，检测质量块和敏感质量块通过四个折叠梁Ⅲ相连，敏感质量块和四个锚点Ⅲ通过两个工形梁Ⅲ相连，敏感静梳齿和敏感动梳齿构成电容梳齿式敏感单元，所述敏感单元设置在敏感质量块上，构成敏感模态；通过检测敏感单元的电容变化来计算外部输入的角速度，所述的驱动模态设置在四自由度微机械陀螺的结构内部，敏感模态设置在四自由度微机械陀螺的外围，敏感质量块设置在所有陀螺单元的外部。

四自由度微机械陀螺共用一个敏感质量块，各个陀螺单元的驱动单元和检测质量块相互独立。

本发明的有益效果在于：通过这种新型的陀螺阵列的形式，将若干4-DOF陀螺单元有效地组合在一起，使得陀螺阵列不仅拥有良好的系统稳定性，而且可以有效地提高陀螺阵列的灵敏度。

附图说明

图1是本发明的陀螺单元的结构框架图；

图2是本发明的陀螺单元的简化模型；

图3是本发明的阵列结构框架图；

图4是本发明的阵列结构简化模型；

图5是本发明的驱动模态的幅频响应；

图6是本发明的敏感模态的幅频响应。

具体实施方式

该微机械陀螺阵列结构将若干个新型4-DOF微机械陀螺单元以一定的方式组合在一起。新型的4-DOF微机械陀螺单元拥有较好的系统带宽，而陀螺阵列利用组合的方式，既可以通过4-DOF陀螺单元来提升系统的稳定性，又可以通过组合来提高系统的灵敏度。

一种新的四自由度微机械陀螺结构，由完全的2-DOF驱动模态和完全的2-DOF敏感模态构成，基于该四自由度微机械陀螺结构设计了一种多自由度的微机械陀螺阵列结构。

本发明采用的为基于四自由度微机械陀螺单元的阵列结构，结构简化模型如图2所示，结构框图如图4所示。从图2可以看出，陀螺阵列由n个四自由度陀螺单元并列的组合在一起构成的，其中每个陀螺单元拥有独立的2-DOF驱动模态，由驱动质量块(1)，解耦框架(2)，弹簧(5)、(6)、(7)构成；在敏感模态，每个陀螺单元拥有独立的检测质量块(3)以及弹簧(8)、(9)，而所有的陀螺单元同时共用一个敏感质量块和弹簧(4)，各个陀螺单元的检测质量块(3)通过弹簧(9)与敏感质量块(4)连接在一起，从而使各个陀螺单元以及陀螺阵列的敏感模态构成完全的2-DOF振动结构。完全的2-DOF振动结构可以提高陀螺阵列的系统带宽，同时起到解耦的作用，而陀螺单元的组合可以提高陀螺阵列的灵敏度。

工作方式：首先通过设置在陀螺阵列中陀螺单元上的电容驱动梳齿(11)和(12)对陀螺单元的驱动质量块(1)施加具有相同振幅、频率和相位的正弦驱动力，使各个陀螺单元的驱动模态产生简谐振动，从而使解耦框架(2)和检测质量块(3)在驱动方向(x)做简谐振动；当有z轴的外部角速度Ω_z输入时，由于哥式效应，产生沿敏感方向(y)的哥氏力分别并作用在各个陀螺单元的检测质量块(3)上，使各个陀螺单元的检测质量块(3)沿敏感方向(y)做同步的简谐运动，各个检测质量块(3)的简谐振动通过弹簧(9)产生一个合力作用在敏感质量块(4)上，从而使敏感质量块(4)沿敏感方向(y)做简谐运动，通过设置在敏感质量块(4)上的电容检测梳齿(13)和(14)来检测电容的变化，最终计算出沿z轴输入的外部角速度Ω_z。

理论依据：从四自由度微机械陀螺单元的简化模型(图2)和阵列结构的简化模型(图4)可以看出，陀螺单元和陀螺阵列具有完全相同的驱动模态，所以它们在驱动方向的动态方程是相同的，如下：

$m_1{\stackrel{\·\·}{x}}_1+(c_1+c_2){\stackrel{\·}{x}}_1-c_2{\stackrel{\·}{x}}_2+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=F_d---\left(1.1\right)$

$(m_f+m_2){\stackrel{\·\·}{x}}_2+(c_2+c_3){\stackrel{\·\·}{x}}_2-c_2{\stackrel{\·}{x}}_1+(k_2+k_3)x_2-k_2{x}_1=0---\left(1.2\right)$

其中，x₁、x₂为驱动质量块(1)、解耦框架(2)在驱动方向上的运动(x)，分别为x_i的一阶导数和二阶导数(i＝1,2)。m₁、m_f、m₂分别为驱动质量块(1)、解耦框架(2)、检测质量块(3)的质量，k₁、k₂、k₃分别为驱动模态的弹簧(5)、(6)、(7)的刚度系数，c₁、c₂、c₃为与弹簧(8)、(9)、(10)对应的阻尼系数。F_d为施加在驱动质量块(1)上的简谐力。

从微机械陀螺的简化模型图(图2和图4)可以看出，驱动模态和敏感模态通过解耦框架(2)和检测质量块(3)连接在一起，并且检测质量块(3)在驱动方向的振动引起哥式效应，因此驱动模态只需求解解耦框架(2)和检测质量块(3)的运动x₂。

由于驱动力为简谐力，根据振动力学的知识可以求得解耦框架(2)的运动x₂的表达式如下：

$x_2=\frac{(k_2+{\mathrm{j\ωc}}_2)F_d}{{\mathrm{\Δ}}_d\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(1.3\right)$

其中，ω为驱动频率，j为虚数的单位，

Δ_d(ω)＝(k₁+k₂-m₁ω²+jω(c₁+c₂))(k₂+k₂-(m_f+m₂)ω²+jω(c₂+c₃))-(k₂+jωc₂)²。

在得到驱动模态的设计方程之前，要求得驱动模态的共振频率和中心操作频率的关系。首先求解驱动模态的共振频率。

假设无阻尼时，驱动模态的特征方程为：

${\mathrm{\Δ}}_d\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\ω}}_{d1}^2-{\mathrm{\ω}}^2)({\mathrm{\ω}}_{d2}^2-{\mathrm{\ω}}^2)-\frac{k_2^2}{m_1(m_f+m_2)}=0---\left(1.4\right)$

其中， 从上式可以解得驱动模态的共振频率分别为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{dH},L}=\sqrt{\frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_{d1}^2+{\mathrm{\ω}}_{d2}^2\±\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_{d1}^2-{\mathrm{\ω}}_{d2}^2)}^2+\frac{{4k}_2^2}{m_1(m_f+m_2)}})}---\left(1.5\right)$

其中，ω_dH,L分别为驱动模态的两个共振频率。假设系统阻尼为零时，当驱动质量块(1)的位移为零时，此时所对应的频率为驱动质量块(1)的反共振频率，即为了准确方便地确定稳定区域的范围，令驱动模态ω_d1＝ω_d2＝ω_d0，代入式(1.5)可得

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{dH},L}=\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{d0}^2\±\sqrt{\frac{k_2^2}{m_1(m_f+m_2)}}}---\left(1.6\right)$

从式(1.5)可以看出，驱动质量块(1)的反共振频率处在驱动模态的两个共振频率之间，取Δ_d＝ψ_dH-ω_dL，则可以根据反共振频率ω_d0去确定驱动模态的稳定操作频率区域。将Δ_d代入到(1.6)，解得驱动模态的刚度设计方程：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_2={\mathrm{\Δ}}_d\sqrt{m_1(m_f+m_2)}\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{d0}^2-0.25{\mathrm{\Δ}}_d^2}\\ k_1=m_1{\mathrm{\ω}}_{d0}^2-k_2\\ k_3=(m_f+m_2){\mathrm{\ω}}_{d0}^2-k_2\end{array}\right.---\left(1.7\right)$

而对于敏感模态，陀螺阵列的敏感模态不同于陀螺单元的敏感模态(图2和4)。陀螺阵列中的每个陀螺单元均具有自己单独的检测质量块(3)，并且具有相同的设计，因此检测质量块(3)的运动方程如下：

$m_2{\stackrel{\·\·}{y}}_1+(c_4+c_5){\stackrel{\·}{y}}_1-c_5{\stackrel{\·}{y}}_2+(k_4+k_5)y_1-k_5{y}_2={-2m}_2{\mathrm{\Ω}}_z{\stackrel{\·}{x}}_2---\left(1.8\right)$

其中，y₁、y₂为检测质量块(3)和敏感质量块(4)在敏感方向(y)上的运动，分别为y_i的一阶导数和二阶导数(i＝1,2)。k₄、k₅分别为敏感模态的弹簧(8)、(9)的刚度系数，c₄、c₅为与弹簧(8)、(9)对应的阻尼系数。Ω_z为外部输入的待测角速度。而陀螺阵列中的敏感质量块(4)为所有陀螺单元共有，因此敏感质量块的动态方程如下：

$m_3{\stackrel{\·\·}{y}}_2+(c_6+{\mathrm{nc}}_5){\stackrel{\·}{y}}_2-{\mathrm{nc}}_5{\stackrel{\·}{y}}_1+(k_6+{\mathrm{nk}}_5)y_2-{\mathrm{nk}}_5{y}_1=0---\left(1.9\right)$

其中n为陀螺阵列中的陀螺单元的个数，k₆为敏感模态的弹簧(10)的刚度系数，c₆为与弹簧(10)对应的阻尼系数。

因为检测哥氏运动的电容梳齿(13)和(14)设置在敏感质量块(4)上，所以敏感质量块(4)的运动是求解外部输入角速度所必需的，根据方程(1.8)和(1.9)，可以解得：

$y_2=\frac{{-2m}_2{X}_2{\mathrm{\ω\Ω}}_{z}n(k_5+{\mathrm{j\ωc}}_5)}{{\mathrm{\Δ}}_s\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(1.10\right)$

其中X₂为驱动模态x₂的幅值，

Δ_s(ω)＝(k₄+k₅-m₂ω²+jω(c₄+c₅))(nk₅+k₆-m₃ω²+jω(nc₅+c₆))-n(k₅+jωc₅)²。

在得到敏感模态的设计方程之前，要求得敏感模态的共振频率和中心操作频率的关系。首先求解敏感模态的共振频率。

假设无阻尼时，敏感模态的特征方程为：

${\mathrm{\Δ}}_s\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\ω}}_{s1}^2-{\mathrm{\ω}}^2)({\mathrm{\ω}}_{s2}^2-{\mathrm{\ω}}^2)-\frac{{\mathrm{nk}}_5^2}{m_2{m}_3}=0---\left(1.11\right)$

其中， 从上式可以解得敏感模态的共振频率分别为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sH},L}=\sqrt{\frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_{s1}^2+{\mathrm{\ω}}_{s2}^2\±\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_{s1}^2-{\mathrm{\ω}}_{s2}^2)}^2+\frac{{4\mathrm{nk}}_5^2}{m_2{m}_3}})}---\left(1.12\right)$

其中，ω_sH,L分别为敏感模态的两个共振频率。假设系统阻尼为零时，当检测质量块(3)的位移为零时，此时所对应的频率为检测质量块(3)的反共振频率，即为了准确方便地确定敏感模态稳定区域的范围，令敏感模态ω_s1＝ω_s2＝ω_s0，代入式(1.12)可得

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{sH},L}=\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{s0}^2\±\sqrt{\frac{{\mathrm{nk}}_5^2}{m_2{m}_3}}}---\left(1.13\right)$

从上式可以看出，检测质量块(3)的反共振频率处在敏感模态的两个共振频率之间，取Δ_s＝ω_sH-ω_sL，则可以根据反共振频率ω_s0去确定敏感模态的稳定操作频率区域。将Δ_s代入到(1.13)，解得敏感模态的刚度设计方程：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_5=\frac{1}{\sqrt{n}}{\mathrm{\Δ}}_d\sqrt{m_2{m}_3}\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{s0}^2-0.25{\mathrm{\Δ}}_s^2}\\ k_4=m_2{\mathrm{\ω}}_{s0}^2-k_5\\ k_6=m_3{\mathrm{\ω}}_{s0}^2-{\mathrm{nk}}_5\end{array}\right.---\left(1.14\right)$

式(1.7)和(1.14)是该陀螺阵列的设计方程，刚度系数k₁、k₂、k₃、k₄、k₅、k₆可以根据两个模态的设计方程计算得出。从设计方程可以看出，只要满足条件ω_d0＞0.5Δ_d和ω_s0＞0.5Δ_s，就可以根据实际情况去单独设定ω_d0和Δ_d，极大地提高了设计空间。而在应用设计时，ω_d0远远大于0.5Δ_d，并且ω_s0远远大于0.5Δ_s，因此该设计方程的限制条件很小，有利于实际应用中的实现。

仿真结果：本发明的完全的2-DOF驱动模态的频率响应如图5所示。由于陀螺阵列是在陀螺单元的基础上设计的，并且从陀螺单元和陀螺阵列的简化模型可以看出，它们的驱动模态具有完全相同的结构，因此它们的驱动模态具有相同的幅频特性曲线(图5)。从图5中可以看出，完全的2-DOF驱动模态的3dB带宽是以频率5kHz为中心的190Hz，达到了实际应用中100Hz的需求，提高了微机械陀螺及阵列结构驱动模态的内在稳定性。

在该陀螺阵列结构的设计中，陀螺单元的数目取为6，即n＝6。图6是本发明的陀螺单元和陀螺阵列的敏感模态的幅频特性。从图中可以看出，陀螺单元的的3dB带宽是以5kHz为中心的300Hz，陀螺阵列的3dB带宽是以5kHz为中心的100Hz。虽然陀螺单元的带宽降低为100Hz，但是100Hz的带宽可以满足实际应用所需要的，并且陀螺阵列的增益相比陀螺单元提高了8dB，从而在保证陀螺系统稳定性的同时，提高了陀螺系统的灵敏度。

从图5和图6可以看出，陀螺的驱动模态和敏感模态的稳定区域高度匹配，均以5kHz为中心频率，从而为微机械陀螺提供了100Hz的3dB系统带宽，保证了良好的稳定性。

Claims (1)

1.一种四自由度微机械陀螺阵列，由四自由度微机械陀螺排列组成，四自由度微机械陀螺包括驱动质量块、驱动静梳齿、驱动动梳齿、解耦框架、监测质量块、敏感质量块、敏感静梳齿和敏感动梳齿，驱动静梳齿和驱动动梳齿构成电容梳齿式驱动单元，所述驱动单元设置在驱动质量块上，驱动质量块和四个锚点Ⅰ通过两个工形梁相连，驱动质量块和解耦框架通过四个折叠梁Ⅰ相连，解耦框架和四个锚点Ⅱ通过两个工形梁Ⅱ连接，构成驱动模态；检测质量块和解耦框架通过四个折叠梁Ⅱ相连，检测质量块和敏感质量块通过四个折叠梁Ⅲ相连，敏感质量块和四个锚点Ⅲ通过两个工形梁Ⅲ相连，敏感静梳齿和敏感动梳齿构成电容梳齿式敏感单元，所述敏感单元设置在敏感质量块上，构成敏感模态；通过检测敏感单元的电容变化来计算外部输入的角速度，其特征在于：所述的驱动模态设置在四自由度微机械陀螺的结构内部，敏感模态设置在四自由度微机械陀螺的外围，敏感质量块设置在所有陀螺单元的外部；所述的四自由度微机械陀螺共用一个敏感质量块，各个陀螺单元的驱动单元和检测质量块相互独立；

四自由度微机械陀螺阵列通过设置在陀螺阵列中陀螺单元上的电容驱动梳齿对陀螺单元的驱动质量块施加具有相同振幅、频率和相位的正弦驱动力，使各个陀螺单元的驱动模态产生简谐振动，使解耦框架和检测质量块在驱动方向做简谐振动；当有z轴的外部角速度Ω_z输入，由于哥式效应，产生沿敏感方向的哥氏力分别并作用在各个陀螺单元的检测质量块上，使各个陀螺单元的检测质量块沿敏感方向做同步的简谐运动，各个检测质量块的简谐振动通过弹簧产生一个合力作用在敏感质量块上，从而使敏感质量块沿敏感方向做简谐运动，通过设置在敏感质量块上的电容检测梳齿来检测电容的变化，最终计算出沿z轴输入的外部角速度Ω_z；

陀螺单元和陀螺阵列具有完全相同的驱动模态，在驱动方向的动态方程是相同的：

$m_1{\stackrel{\·\·}{x}}_1+(c_1+c_2){\stackrel{\·}{x}}_1-c_2{\stackrel{\·}{x}}_2+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=F_d;$

$(m_f+m_2){\stackrel{\·\·}{x}}_2+(c_2+c_3){\stackrel{\·}{x}}_2-c_2{\stackrel{\·}{x}}_1+(k_2+k_3)x_2-k_2{x}_1=0;$

其中，x₁、x₂为驱动质量块、解耦框架在驱动方向上的运动，分别为x_i的一阶导数和二阶导数，i＝1,2，m₁、m_f、m₂分别为驱动质量块、解耦框架、检测质量块的质量，k₁、k₂、k₃分别为驱动模态的弹簧的刚度系数，c₁、c₂、c₃为与弹簧对应的阻尼系数；F_d为施加在驱动质量块上的简谐力；

驱动模态和敏感模态通过解耦框架和检测质量块连接在一起，检测质量块在驱动方向的振动引起哥式效应，驱动模态求解解耦框架和检测质量块的运动x₂；

$x_2=\frac{(k_2+{\mathrm{j\ωc}}_2)F_d}{{\mathrm{\Δ}}_d\left(\mathrm{\ω}\right)};$

其中，ω为驱动频率，j为虚数的单位，

Δ_d(ω)＝(k₁+k₂-m₁ω²+jω(c₁+c₂))(k₂+k₂-(m_f+m₂)ω²+jω(c₂+c₃))-(k₂+jωc₂)²；

无阻尼时，驱动模态的特征方程为：

${\mathrm{\Δ}}_d\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\ω}}_{d1}^2-{\mathrm{\ω}}^2)({\mathrm{\ω}}_{d2}^2-{\mathrm{\ω}}^2)-\frac{k_2^2}{m_1(m_f+m_2)}=0;$

其中， ${\mathrm{\ω}}_{d1}^2=\frac{k_1+k_2}{m_1},$ ${\mathrm{\ω}}_{d2}^2=\frac{k_2+k_3}{m_f+m_2},$ 驱动模态的共振频率分别为：

${\mathrm{\ω}}_{dH,L}=\sqrt{\frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_{d1}^2+{\mathrm{\ω}}_{d2}^2+\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_{d1}^2-{\mathrm{\ω}}_{d2}^2)}^2+\frac{4k_2^2}{m_1(m_f+m_2)}})};$

其中，ω_dH,L分别为驱动模态的两个共振频率，系统阻尼为零，当驱动质量块的位移为零，对应的频率为驱动质量块的反共振频率，即驱动模态ω_d1＝ω_d2＝ω_d0

${\mathrm{\ω}}_{dH,L}=\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{d0}^2\±\sqrt{\frac{k_2^2}{m_1(m_f+m_2)}}};$

驱动质量块的反共振频率Δ_d＝ω_dH-ω_dL，驱动模态的刚度为：

$\{\begin{array}{c}{k}_2={\mathrm{\Δ}}_{\→}\sqrt{m_1(m_f+m_2)}\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{d0}^2-{0.25}_{\mathrm{\Δ}d}^2}\\ k_1=m_1{\mathrm{\ω}}_{d0}^2-k_2\\ k_3=(m_f+m_2){\mathrm{\ω}}_{d0}^2-k_2\end{array};$

对于敏感模态，检测质量块的运动方程为：

$m_2{\stackrel{\·\·}{y}}_1+(c_4+c_5){\stackrel{\·}{y}}_1-c_5{\stackrel{\·}{y}}_2+(k_4+k_5)y_1-k_5{y}_2=-2m_2{\mathrm{\Ω}}_z{\stackrel{\·}{x}}_2;$

其中，y₁、y₂为检测质量块和敏感质量块在敏感方向上的运动，分别为y_i的一阶导数和二阶导数i＝1,2；k₄、k₅分别为敏感模态的弹簧的刚度系数，c₄、c₅为与弹簧对应的阻尼系数；Ω_z为外部输入的待测角速度；而陀螺阵列中的敏感质量块为所有陀螺单元共有，敏感质量块的动态方程为：

$m_3{\stackrel{\·\·}{y}}_2+(c_6+{\mathrm{nc}}_5){\stackrel{\·}{y}}_2-{\mathrm{nc}}_5{\stackrel{\·}{y}}_1+(k_6+{\mathrm{nk}}_5)y_2-{\mathrm{nk}}_5{y}_1=0$

其中n为陀螺阵列中的陀螺单元的个数，k₆为敏感模态的弹簧(10)的刚度系数，c₆为与弹簧(10)对应的阻尼系数；

检测哥氏运动的电容梳齿设置在敏感质量块上，敏感质量块的运动是：

$y_2=\frac{-2m_2{X}_2{\mathrm{\ω\Ω}}_{z}n(k_5+{\mathrm{j\ωc}}_5)}{{\mathrm{\Δ}}_s\left(\mathrm{\ω}\right)};$

其中X₂为驱动模态x₂的幅值，

Δ_s(ω)＝(k₄+k₅-m₂ω²+jω(c₄+c₅))(nk₅+k₆-m₃ω²+jω(nc₅+c₆))-n(k₅+jωc₅)²；

敏感模态的特征方程为：

${\mathrm{\Δ}}_S\left(\mathrm{\ω}\right)=({\mathrm{\ω}}_{s1}^2-{\mathrm{\ω}}^2)({\mathrm{\ω}}_{s2}^2-{\mathrm{\ω}}^2)-\frac{{\mathrm{nk}}_5^2}{m_2{m}_3}=0;$

其中， ${\mathrm{\ω}}_{s1}^2=\frac{k_4+k_5}{m_2},$ ${\mathrm{\ω}}_{s2}^2=\frac{k_5+k_6}{m_3},$ 敏感模态的共振频率为：

${\mathrm{\ω}}_{sH,L}=\sqrt{\frac{1}{2}({\mathrm{\ω}}_{s1}^2+{\mathrm{\ω}}_{s2}^2\±\sqrt{{({\mathrm{\ω}}_{s1}^2-{\mathrm{\ω}}_{s2}^2)}^2+\frac{4{\mathrm{nk}}_5^2}{m_2{m}_3}})}$

其中，ω_sH,L分别为敏感模态的两个共振频率；系统阻尼为零，检测质量块的位移为零时，检测质量块(3)的反共振频率，敏感模态ω_s1＝ω_s2＝ω_s0

${\mathrm{\ω}}_{sH,L}=\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{s0}^2\±\sqrt{\frac{{\mathrm{nk}}_5^2}{m_2{m}_3}}};$

Δ_s＝ω_sH-ω_sL，

敏感模态的弹簧的刚度系数为：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_5=\frac{1}{\sqrt{n}}{\mathrm{\Δ}}_d\sqrt{m_2{m}_3}\sqrt{{\mathrm{\ω}}_{s0}^2-0.25{\mathrm{\Δ}}_s^2}\\ k_4=m_2{\mathrm{\ω}}_{s0}^2-k_5\\ k_6=m_3{\mathrm{\ω}}_{s0}^2-n{k}_5\end{array}\right.;$

其中k₄、k₅、k₆分别为敏感模态的弹簧的刚度系数，m₂为检测质量块的质量，m₃为敏感质量块的质量，Δ_s＝ω_sH-ω_sL，ω_sH,L分别为敏感模态的两个共振频率，Δ_d＝ω_dH-ω_dL，ω_dH,L分别为驱动模态的两个共振频率，ω_s0检测质量块的反共振频率，n为陀螺阵列中的陀螺单元的个数。