CN103106328A - 基于整体矢量拟合法的频率相关网络等值的生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及基于整体矢量拟合法的频率相关网络等值的生成方法，属于电力系统调度自动化与电网仿真技术领域；该方法包括：基于简化模型法求取网络频率特性的采样值，根据频率特性采样值基于矢量拟合法求取FDNE中任意一个元素，采用整体矢量拟合法生成FDNE。该方法具有高效、准确、实用的特点；方便在时域中实现，直接应用于电磁暂态仿真；工程实践效果满意。

Description

基于整体矢量拟合法的频率相关网络等值的生成方法

技术领域

本发明属于电力系统调度自动化与电网仿真技术领域，特别涉及一种基于简化元件模型法和整体矢量拟合法的频率相关网络等值的生成方法。

背景技术

电力系统仿真是研究电力系统暂态特性的重要方法之一。根据考察的的动态过程不同，电力系统仿真可以分为电磁暂态仿真、机电暂态仿真和中长期动态仿真。其中电磁暂态仿真精度最高，主要用于研究电力系统网络元件微秒级的暂态过程，如雷电过程、波过程和直流换相失败过程等。但是高精度是以大计算量为代价的，由于计算量太大，电磁暂态仿真不适合直接用于大规模电力系统的仿真。通常对于整个大系统，保留关心部分(指的是希望详细了解暂态过程的部分)的网络元件，其他部分网络元件用网络等值来表示，再进行电磁仿真，达到减少计算量的目的。

传统的网络等值采用诺顿等值模型表示，如图1所示。右侧方框为关心部分网络；左侧方框为采用诺顿等值模型的网络等值，即用一个诺顿等值电流I_abc和一个诺顿等值节点导纳矩阵Y_abc来表示其他部分网络元件的网络等值。

诺顿等值电路中的节点导纳矩阵是在基频下形成的，因此只能表示网络元件基频特性。为了较精确地表示网络元件在各个频率下的频率特性，引入频率相关网络等值FDNE（Frequency Dependent Network Equivalent）来表示其他部分网络元件的网络等值。

FDNE的实质是一个以频率为函数的节点导纳矩阵。N×N维FDNE的数学表达式为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{y}_{11}\left(s\right)& y_{12}\left(s\right)& L& y_{1N}\left(s\right)\\ y_{21}\left(s\right)& y_{21}\left(s\right)& L& y_{2N}\left(s\right)\\ M& M& O& M\\ y_{N1}\left(s\right)& y_{N2}\left(s\right)& L& y_{\mathrm{NN}}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中，s＝j2πf，f是频率，下同；

FDNE中的任意一个元素可以表示为一个频域函数：

$y\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i}{s-a_i}+d+\mathrm{sh}---\left(4\right)$

其中，极点a_i和留数c_i或是实数，或分别以复数共轭对出现，d和h为实数，而n为极点个数。不同元素的a_i，c_i，d和h是不相同的。

基于FDNE的网络等值方法，如图2所示。右侧方框为关心部分网络；左侧方框为基于FDNE的网络等值，即用一个诺顿等值电流I_abc和一个FDNE来作为其他部分的网络等值。

基于FDNE的网络等值方法由于保留了原始网络在各个频率下的频率特性，使得电磁暂态仿真更加精确。但是相比与节点导纳矩阵，FDNE的生成方法就复杂很多。目前还没有明确提出一种有工程应用价值的方法，故提出一种准确、高效、有工程应用价值的FDNE生成方法非常重要。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于整体矢量拟合法的FDNE的生成方法；该方法具有高效、准确、实用的特点；方便在时域中实现，直接应用于电磁暂态仿真；工程实践效果满意。

本发明提出来的一种基于整体矢量拟合法的频率相关网络等值的生成方法，其特征在于，该方法首先采用简化元件法求取网络在不同频率下的节点导纳矩阵，再采用整体矢量拟合法生成一个以频率为函数的节点导纳矩阵形式的FDNE，N×N维FDNE的数学表达式为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{y}_{11}\left(s\right)& y_{12}\left(s\right)& L& y_{1N}\left(s\right)\\ y_{21}\left(s\right)& y_{21}\left(s\right)& L& y_{2N}\left(s\right)\\ M& M& O& M\\ y_{N1}\left(s\right)& y_{N2}\left(s\right)& L& y_{\mathrm{NN}}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中，s＝j2πf，f是频率；

FDNE中的任意一个元素表示为一个频域函数：

$y\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i}{s-a_i}+d+\mathrm{sh}---\left(6\right)$

该方法及具体包括以下步骤：

1）基于简化模型法求取网络频率特性的采样值：

选取频率范围为1~2000Hz，即采样频率上下限分别为f₁(f₁＝1Hz)和f_∞(f_∞＝2000Hz)；设采样点个数为N₀，N₀取值范围为100~1000，将频段[f₁,f_∞]划分成N₀-1段；根据式（3）所示规则选取采样频率：

log₁₀(f_q+1)-log₁₀(f_q)＝log₁₀(f_q)-log₁₀(f_q-1)             （3）

其中，q为整数，其取值范围为2≤q≤N₀-1；

基于简化模型法在任意一个采样频率f下，求取各个元件频率特性；具体包括以下步骤：

1-1）采用由电压源和次暂态阻抗R_g+jX_g组成的串联电路表示简化发电机，考虑频率特性的发电机导纳为：

y(f)＝1/(R_g+jX_g·f/f₀)           （4）

其中f₀表示基频频率，下同；

1-2）采用由并联的恒阻抗、恒电流和恒功率构成的ZIP负荷表示简化负荷模型，恒阻抗、恒电流和恒功率分别表示为：R_p+jX_q、I_p+jI_q和P_L+jQ_L；其基频等值阻抗R_d+jX_d表示为：

R_d+jX_d＝R_p+jX_q+u/(I_p+jI_q)+(P_L+jQ_L)/u²            （5）

其中，u为基态潮流下的节点电压；因此，考虑频率特性的负荷等值导纳为：

y(f)＝1/(R_d+jX_d·f/f₀)           （6）

1-3）采用由基频下的线路阻抗R_l+jX_l和充电电纳jb_c组成的π模型表示简化线路模型，；考虑频率特性的线路导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=\left[\begin{array}{cc}{y}_l+y_c& -y_l\\ -y_l& y_l+y_c\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，y_l＝1/(R_l+jX_l·f/f₀),y_c＝jb_c·f/f₀；

1-4）由串联的理想变压器（t：1）和变压器的漏阻抗R_t+jX_t组成简化变压器模型，考虑频率特性的变压器导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=y_t\left[\begin{array}{cc}1/t^2& -\exp (-\mathrm{j\θ})/t\\ -\exp \left(\mathrm{j\θ}\right)/t& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，y_t＝1/(R_t+jX_t·f/f₀)；θ是变压器i端与j端的相位差；

根据步骤1-1)-1-4)，计算出电网频率特性在各个频率下的采样值

L

组成的电网节点导纳矩阵；（下标f₁,f₂...f_N表示采样频率）

2）基于矢量拟合法求取FDNE中任意一个元素：根据频率特性采样值，利用矢量拟合法求取式（2）中单个元素y(s)的未知参数a_i，c_i，d和h，具体步骤如下：

2-1）引入辅助函数σ(s)：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\stackrel{\‾}{c}}_i}{s-{\stackrel{\‾}{a}}_i}+1---\left(9\right)$

其中，极点

和留数

为待求

假设乘积σ(s)·y(s)用极点同为

的有理函数逼近：

其中，

和

为待求，n为极点个数；

2-2）选定公式（10）中的极点个数n为偶数，n取值范围为20~50；再根据式（11）、（12）所示原则选择一组数做为极点

的初始值：

${\stackrel{\‾}{a}}_i=-{\mathrm{\α}}_p+j{\mathrm{\β}}_p,$ ${\stackrel{\‾}{a}}_{i+1}=-{\mathrm{\α}}_p-j{\mathrm{\β}}_p---\left(11\right)$

其中，α_p＝β_p/100，α_p,β_p是有理数，极点是成共轭对出现的，p为整数，p取值范围为[1，n/2]；采样频率上下限分别为f₁(f₁＝1Hz)和f_∞(f_∞＝2000Hz)；选取β₁＝2πf₁,β_n/2＝2πf_∞，并将频段[f1_,f_∞]划分成n/2-1段，使其选取值满足：

log₁₀(β_r+1)-log₁₀(β_r)＝log₁₀(β_r)-log₁₀(β_r-1)           （12）

其中，r为整数，取值范围为2≤r≤n/2-1；

2-3）根据y(s)的N₀个频率采样值将公式（10）展开为一个线性方程组：

AX=B        （13）

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_1& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_2& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ M& O& L& L& L& L& O& L\\ \frac{1}{a_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_{N_0}& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}\end{array}\right]---\left(14\right)$

$B=\left[\begin{array}{cccc}y\left(s_1\right)& y\left(s_2\right)& L& y\left(s_{N_0}\right)\end{array}\right]---\left(16\right)$

设N₀大于h和

的总数和，以保证公式（13）的超正定；

根据最小二乘法，解出系数

h和

进而确定有理函数σ(s)·y(s)与σ(s)，σ(s)·y(s)与σ(s)表示为如式（17）、（18）的零极点形式：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)\·y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(17\right)$

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(18\right)$

用公式（17）除以公式（18）得到公式（19），

$y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})---\left(19\right)$

由公式（19）可知，y(s)的极点就是σ(s)的零点。σ(s)的参数

和已知，因此求得σ(s)的零点，也即可求得y(s)的极点

也即公式（2）中的a_i；

2-4）根据已知的

和

下求取σ(s)的零点：

将σ(s)用状态方程的形式表示为：

调换其输入输出，可得：

则此状态方程的极点就是变换之前状态方程的零点，即

{a_i}＝eig(A_σ-B_σE^-1Cv)           （22）

其中，E为单位矩阵；

2-5）将求出的极点a_i重新作为σ(s)极点

的初始值（如果计算得的极点a_i中出现在右半复平面，将这些极点a_i依虚轴翻转到左半复平面后重新作为极点

的初始值），重复步骤2-3）、2-4）3~4次求得高精度的极点，解得精度更高的系数c_i，d，h，

进而确定y(s)；

3）采用整体矢量拟合法生成FDNE

采用整体矢量拟合法生成FDNE（FDNE的生成需要按照上述思路求取矩阵的每个元素，共N²。但如果独立的对FDNE每个元素进行矢量拟合，会使得每个元素的极点的值与数目都不相同，将这样的N²个元素逐个应用到时域仿真时，会使计算量急剧增加。采用整体矢量拟合法，能够保证各个元素的极点及个数相同），具体步骤如下：

3-1）令FDNE每个元素中的h为0（因为对实际电网而言，在无限大的频率下，实际电网的节点导纳不可能为无穷大）；

3-2）为待生成的FDNE矩阵的所有元素（共N²）求取一组相同的初始公共极点:

根据步骤1）得到的N₀个N×N维的采样值矩阵，（N₀为采样点数），将各个采样值矩阵中N²个元素值依次相加，则得到一个N₀×1的采样值向量；对该采样值向量进行矢量拟合，得到一个如公式（2）所示的有理函数，；将该有理函数的极点为FDNE的初始公共极点；

3-3）基于步骤3-2）中的初始公共极点，对该FDNE中的各个元素逐个进行矢量拟合，每个元素求得的极点作为下个元素的初值极点，依次进行，直至每个元素都计算完之后，得到一组极点；

3-4）将步骤3-3）得到的极点重新作为步骤3-3）的初始公共极点，重复步骤3-3）3~4次，使得求得的极点不再改变；将这组极点作为最终生成的FDNE的每个元素的公共极点，从而解得每个元素的c_i和d；

至此，生成极点相同、留数项c_i和常数项d不相同的N×N维FDNE，数学表达示为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{11}}{s-a_i}& d_{12}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{12}}{s-a_i}& L& d_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{1N}}{s-a_i}\\ d_{21}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{21}}{s-a_i}& d_{22}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{22}}{s-a_i}& L& d_{2N}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{2N}}{s-a_i}\\ M& M& O& M\\ d_{N1}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N1}}{s-a_i}& d_{N2}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N2}}{s-a_i}& L& d_{\mathrm{NN}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{\mathrm{NN}}}{s-a_i}\end{array}\right]---\left(23\right)$

本发明的特点及有益效果：

本发明首先提出简化元件模型法求取网络元件在不同频率下的频率特性，既而可以求取网络在不同频率下的节点导纳矩阵。进一步，为了能够连续地、平滑地表示网络的频率特性，采用改进的矢量拟合法即整体矢量拟合法将节点导纳矩阵拟合成与频率相关的有理式函数矩阵，实现FDNE的生成。

本方法具有高效、准确的特点；生成的FDNE每个元素具有相同的极点，方便在时域中实现，应用于电磁暂态仿真；在实际工程中得到应用，效果满意。

附图说明

图1为采用诺顿等值模型的网络等值方法示意图。

图2为基于FDNE的网络等值方法示意图。

图3为本发明提出方法的总体流程框图。

图4为简化元件方法中的简化发电机模型图。

图5为简化元件方法中的简化负荷模型图。

图6为简化元件方法中的简化线路模型图。

图7为简化元件方法中的简化变压器模型图。

具体实施方式

本发明提出的一种基于整体矢量拟合法的FDNE的生成方法结合附图及实施例详细说明如下：

本发明提出的方法总体流程如图3所示，其特征在于，该方法首先采用简化元件法求取网络在不同频率下的节点导纳矩阵，再采用整体矢量拟合法（改良的矢量拟合法）生成FDNE。即生成一个以频率为函数的节点导纳矩阵，N×N维FDNE的数学表达式为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{y}_{11}\left(s\right)& y_{12}\left(s\right)& L& y_{1N}\left(s\right)\\ y_{21}\left(s\right)& y_{21}\left(s\right)& L& y_{2N}\left(s\right)\\ M& M& O& M\\ y_{N1}\left(s\right)& y_{N2}\left(s\right)& L& y_{\mathrm{NN}}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，s＝j2πf，f是频率；

FDNE中的任意一个元素表示为一个频域函数：

$y\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i}{s-a_i}+d+\mathrm{sh}---\left(8\right)$

该方法及具体包括以下步骤：

1）基于简化模型法求取网络频率特性的采样值：

选取频率范围为1~2000Hz，即采样频率上下限分别为f₁(f₁＝1Hz)和f_∞(f_∞＝2000Hz)；设采样点个数为N₀，N₀取值范围为100~1000，将频段[f₁,f_∞]划分成N₀-1段；根据式（3）所示规则选取采样频率：

log₁₀(f_q+1)-log₁₀(f_q)＝log₁₀(f_q)-log₁₀(f_q-1)            （3）

其中，q为整数，其取值范围为2≤q≤N₀-1；

基于简化模型法在任意一个采样频率f下，求取各个元件频率特性；具体包括以下步骤：

1-1）采用由电压源和次暂态阻抗R_g+jX_g组成的串联电路表示简化发电机，考虑频率特性的发电机导纳为：

y(f)＝1/(R_g+jX_g·f/f₀)                 （4）

其中f₀表示基频频率，下同；

1-2）采用由并联的恒阻抗、恒电流和恒功率构成的ZIP负荷表示简化负荷模型，恒阻抗、恒电流和恒功率分别表示为：R_p+jX_q、I_p+jI_q和P_L+jQ_L；其基频等值阻抗R_d+jX_d表示为：

R_d+jX_d＝R_p+jX_q+u/(I_p+jI_q)+(P_L+jQ_L)/u²  （5）

其中，u为基态潮流下的节点电压；因此，考虑频率特性的负荷等值导纳为：

y(f)＝1/(R_d+jX_d·f/f₀)                 （6）

1-3）采用由基频下的线路阻抗R_l+jX_l和充电电纳jb_c组成的π模型表示简化线路模型，；考虑频率特性的线路导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=\left[\begin{array}{cc}{y}_l+y_c& -y_l\\ -y_l& y_l+y_c\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，y_l＝1/(R_l+jX_l·f/f₀),y_c＝jb_c·f/f₀；

1-4）由串联的理想变压器（t：1）和变压器的漏阻抗R_t+jX_t组成简化变压器模型，考虑频率特性的变压器导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=y_t\left[\begin{array}{cc}1/t^2& -\exp (-\mathrm{j\θ})/t\\ -\exp \left(\mathrm{j\θ}\right)/t& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，y_t＝1/(R_t+jX_t·f/f₀)；θ是变压器i端与j端的相位差；

根据步骤1-1)-1-4)，计算出电网频率特性在各个频率下的采样值

L

组成的电网节点导纳矩阵；（下标f₁,f₂...f_N表示采样频率）

2）基于矢量拟合法求取FDNE中任意一个元素：根据频率特性采样值，利用矢量拟合法求取式（2）中单个元素y(s)的未知参数a_i，c_i，d和h，具体步骤如下：

2-1）引入辅助函数σ(s)：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\stackrel{\‾}{c}}_i}{s-{\stackrel{\‾}{a}}_i}+1---\left(9\right)$

其中，极点

和留数

为待求

假设乘积σ(s)·y(s)用极点同为

的有理函数逼近：

其中，

和

为待求，n为极点个数；

2-2）选定公式（10）中的极点个数n为偶数，n取值范围为20~50；再根据式（11）、（12）所示原则选择一组数做为极点

的初始值：

${\stackrel{\‾}{a}}_i=-{\mathrm{\α}}_p+j{\mathrm{\β}}_p,$ ${\stackrel{\‾}{a}}_{i+1}=-{\mathrm{\α}}_p-j{\mathrm{\β}}_p---\left(11\right)$

其中，α_p＝β_p/100，α_p,β_p是有理数，极点是成共轭对出现的，p为整数，p取值范围为[1，n/2]；采样频率上下限分别为f₁(f₁＝1Hz)和f_∞(f_∞＝2000Hz)；选取β₁＝2πf₁,β_n/2＝2πf_∞，并将频段[f₁,f_∞]划分成n/2-1段，使其选取值满足：

log₁₀(β_r+1)-log₁₀(β_r)＝log₁₀(β_r)-log₁₀(β_r-1)               （12）

其中，r为整数，取值范围为2≤r≤n/2-1；

2-3）根据y(s)的N₀个频率采样值将公式（10）展开为一个线性方程组：

AX=B          （13）

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_1& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_2& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ M& O& L& L& L& L& O& L\\ \frac{1}{a_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_{N_0}& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}\end{array}\right]---\left(14\right)$

$B=\left[\begin{array}{cccc}y\left(s_1\right)& y\left(s_2\right)& L& y\left(s_{N_0}\right)\end{array}\right]---\left(16\right)$

设N₀大于

h和

的总数和，以保证公式（13）的超正定；

根据最小二乘法，解出系数

h和

进而确定有理函数σ(s)·y(s)与σ(s)，σ(s)·y(s)与σ(s)表示为如式（17）、（18）的零极点形式：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)\·y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(17\right)$

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(18\right)$

用公式（17）除以公式（18）得到公式（19），

$y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})---\left(19\right)$

由公式（19）可知，y(s)的极点就是σ(s)的零点。σ(s)的参数

和

已知，因此求得σ(s)的零点，也即可求得y(s)的极点也即公式（2）中的a_i；

2-4）根据已知的

和

下求取σ(s)的零点：

将σ(s)用状态方程的形式表示为：

调换其输入输出，可得：

则此状态方程的极点就是变换之前状态方程的零点，即

{a_i}＝eig(A_σ-B_σE^-1Cv)                （22）

其中，E为单位矩阵；

2-5）将求出的极点a_i重新作为σ(s)极点

的初始值（如果计算得的极点a_i中出现在右半复平面，将这些极点a_i依虚轴翻转到左半复平面后重新作为极点

的初始值），重复步骤2-3）、2-4）3~4次求得高精度的极点，解得精度更高的系数c_i，d，h，

进而确定y(s)；

3）采用整体矢量拟合法生成FDNE

采用整体矢量拟合法生成FDNE（FDNE的生成需要按照上述思路求取矩阵的每个元素，共N²。但如果独立的对FDNE每个元素进行矢量拟合，会使得每个元素的极点的值与数目都不相同，将这样的N²个元素逐个应用到时域仿真时，会使计算量急剧增加。采用整体矢量拟合法，能够保证各个元素的极点及个数相同），具体步骤如下：

3-1）令FDNE每个元素中的h为0（因为对实际电网而言，在无限大的频率下，实际电网的节点导纳不可能为无穷大）；

3-2）为待生成的FDNE矩阵的所有元素（共N²）求取一组相同的初始公共极点:

根据步骤1）得到的N₀个N×N维的采样值矩阵，（N₀为采样点数），将各个采样值矩阵中N²个元素值依次相加，则得到一个N₀×1的采样值向量；对该采样值向量进行矢量拟合，得到一个如公式（2）所示的有理函数，；将该有理函数的极点为FDNE的初始公共极点；

3-3）基于步骤3-2）中的初始公共极点，对该FDNE中的各个元素逐个进行矢量拟合，每个元素求得的极点作为下个元素的初值极点，依次进行，直至每个元素都计算完之后，得到一组极点；

3-4）将步骤3-3）得到的极点重新作为步骤3-3）的初始公共极点，重复步骤3-3）3~4次，使得求得的极点不再改变；将这组极点作为最终生成的FDNE的每个元素的公共极点，从而解得每个元素的c_i和d；

至此，生成极点相同、留数项c_i和常数项d不相同的N×N维FDNE，数学表达示为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{11}}{s-a_i}& d_{12}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{12}}{s-a_i}& L& d_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{1N}}{s-a_i}\\ d_{21}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{21}}{s-a_i}& d_{22}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{22}}{s-a_i}& L& d_{2N}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{2N}}{s-a_i}\\ M& M& O& M\\ d_{N1}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N1}}{s-a_i}& d_{N2}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N2}}{s-a_i}& L& d_{\mathrm{NN}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{\mathrm{NN}}}{s-a_i}\end{array}\right]---\left(23\right)$

本发明生成FDNE的方法具体实施例包括以下步骤：

1）基于简化模型法求取网络频率特性的采样值：

选取频率范围为1~2000Hz，即采样频率上下限分别为f₁(f₁＝1Hz)和f_∞(f_∞＝2000Hz)；设采样点个数为N₀，N₀取值范围可为100~1000（本实施例中选取N₀＝500），将频段[f₁,f_∞]划分成N₀-1段；根据式（3）所示规则选取采样频率：

log₁₀(f_q+1)-log₁₀(f_q)＝log₁₀(f_q)-log₁₀(f_q-1)           （3）

其中，q为整数，其取值范围为2≤q≤N₀-1；

基于简化模型法在任意一个采样频率f下，求取各个元件频率特性；具体包括以下步骤：

1-1）采用由电压源和次暂态阻抗R_g+jX_g组成的串联电路表示简化发电机，如图4所示；考虑频率特性的发电机导纳为：

y(f)＝1/(R_g+jX_g·f/f₀)             （4）

其中f₀表示基频频率，下同；

1-2）采用由并联的恒阻抗、恒电流和恒功率构成的ZIP负荷表示简化负荷模型，恒阻抗、恒电流和恒功率分别表示为：R_p+jX_q、I_p+jI_q和P_L+jQ_L，如图5所示；其基频等值阻抗R_d+jX_d可以表示为：

R_d+jX_d＝R_p+jX_q+u/(I_p+jI_q)+(P_L+jQ_L)/u²          （5）

其中，u为基态潮流下的节点电压；因此，考虑频率特性的负荷等值导纳为：

y(f)＝1/(R_d+jX_d·f/f₀)               （6）

1-3）采用由基频下的线路阻抗R_l+jX_l和充电电纳jb_c组成的π模型表示简化线路模型，如图6所示；考虑频率特性的线路导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=\left[\begin{array}{cc}{y}_l+y_c& -y_l\\ -y_l& y_l+y_c\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，y_l＝1/(R_l+jX_l·f/f₀),y_c＝jb_c·f/f₀；

1-4）由串联的理想变压器（t：1）和变压器的漏阻抗R_t+jX_t组成简化变压器模型，如图7所示。考虑频率特性的变压器导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=y_t\left[\begin{array}{cc}1/t^2& -\exp (-\mathrm{j\θ})/t\\ -\exp \left(\mathrm{j\θ}\right)/t& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，y_t＝1/(R_t+jX_t·f/f₀)；θ是变压器i端与j端的相位差（一般为0°，30°和-30°，具体由变压器绕组接法和正负序决定）；

根据步骤1-1)-1-4)，计算出各个频率下的电网节点导纳矩阵，即电网频率特性在各个频率下的采样值

L

（下标f₁,f₂...f_N表示采样频率）

2）基于矢量拟合法求取FDNE中任意一个元素：根据频率特性采样值，利用矢量拟合法求取FDNE中单个元素y(s)（即求取式（2）中的未知参数a_i，c_i，d和h），具体步骤如下：

2-1）引入辅助函数σ(s)：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\stackrel{\‾}{c}}_i}{s-{\stackrel{\‾}{a}}_i}+1---\left(9\right)$

其中，极点

和留数

为待求

假设乘积σ(s)·y(s)用极点同为

的有理函数逼近：

其中，

和为待求，n为极点个数；

2-2）选定公式（10）中的极点个数n为偶数，n取值范围为20~50（本实施例中取n＝30）；再根据式（11）、（12）所示原则选择一组数做为极点

的初始值：

${\stackrel{\‾}{a}}_i=-{\mathrm{\α}}_p+j{\mathrm{\β}}_p,$ ${\stackrel{\‾}{a}}_{i+1}=-{\mathrm{\α}}_p-j{\mathrm{\β}}_p---\left(11\right)$

其中，α_p＝β_p/100，α_p,β_p是有理数，极点是成共轭对出现的，p为整数，p取值范围为[1，n/2]；采样频率上下限分别为f₁(f₁＝1Hz)和f_∞(f_∞＝2000Hz)；选取β₁＝2πf₁,β_n/2＝2πf_∞，并将频段[f₁,f_∞]划分成n/2-1段，使其选取值满足：

log₁₀(β_r+1)-log₁₀(β_r)＝log₁₀(β_r)-log₁₀(β_r-1)         （12）

其中，r为整数，取值范围为2≤r≤n/2-1；

2-3）根据y(s)的N₀个频率采样值将公式（10）展开为一个线性方程组：

AX=B           （13）

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_1& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_2& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ M& O& L& L& L& L& O& L\\ \frac{1}{a_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_{N_0}& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}\end{array}\right]---\left(14\right)$

$B=\left[\begin{array}{cccc}y\left(s_1\right)& y\left(s_2\right)& L& y\left(s_{N_0}\right)\end{array}\right]---\left(16\right)$

设N₀大于

h和的总数和，以保证公式（13）的超正定；

根据最小二乘法，解出系数

h和进而确定有理函数σ(s)·y(s)与σ(s)，σ(s)·y(s)与σ(s)表示为如式（17）、（18）的零极点形式：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)\·y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(17\right)$

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(18\right)$

用公式（17）除以公式（18）得到公式（19），

$y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})---\left(19\right)$

由公式（19）可知，y(s)的极点就是σ(s)的零点。σ(s)的参数

和

已知，因此求得σ(s)的零点，也即可求得y(s)的极点

也即公式（2）中的a_i；

2-4）根据已知的

和下求取σ(s)的零点：

将σ(s)用状态方程的形式表示为：

调换其输入输出，可得：

则此状态方程的极点就是变换之前状态方程的零点，即

{a_i}＝eig(A_σ-B_σE^-1Cv)          （22）

其中，E为单位矩阵；

2-5）将求出的极点a_i重新作为σ(s)极点的初始值（如果计算得的极点a_i中出现在右半复平面，将这些极点a_i依虚轴翻转到左半复平面后重新作为极点

的初始值），重复步骤2-3）、2-4）3~4次求得高精度的极点，解得精度更高的系数c_i，d，h，

进而确定y(s)；

3）整体矢量拟合法生成FDNE

采用整体矢量拟合法生成FDNE（FDNE的生成需要按照上述思路求取矩阵的每个元素，共N²。但如果独立的对FDNE每个元素进行矢量拟合，会使得每个元素的极点的值与数目都不相同，将这样的N²个元素逐个应用到时域仿真时，会使计算量急剧增加。采用整体矢量拟合法，能够保证各个元素的极点及个数相同），具体步骤如下：

3-1）令FDNE每个元素中的h为0（因为对实际电网而言，在无限大的频率下，实际电网的节点导纳不可能为无穷大）；

3-2）为待生成的FDNE矩阵的所有元素（共N²）求取一组相同的初始公共极点:

根据步骤1）得到的N₀个N×N维的采样值矩阵，（N₀为采样点数），将各个采样值矩阵中N²个元素值依次相加，则得到一个N₀×1的采样值向量；对该采样值向量进行矢量拟合，得到一个如公式（2）所示的有理函数，；将该有理函数的极点为FDNE的初始公共极点；

3-3）基于步骤3-2）中的初始公共极点，对该FDNE中的各个元素逐个进行矢量拟合，每个元素求得的极点作为下个元素的初值极点，依次进行，直至每个元素都计算完之后，得到一组极点；

3-4）将步骤3-3）得到的极点重新作为步骤3-3）的初始公共极点，重复步骤3-3）3~4次，使得求得的极点不再改变；将这组极点作为最终生成的FDNE的每个元素的公共极点，从而解得每个元素的c_i和d；

至此，生成极点相同、留数项c_i和常数项d不相同的N×N维FDNE，数学表达示为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{11}}{s-a_i}& d_{12}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{12}}{s-a_i}& L& d_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{1N}}{s-a_i}\\ d_{21}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{21}}{s-a_i}& d_{22}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{22}}{s-a_i}& L& d_{2N}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{2N}}{s-a_i}\\ M& M& O& M\\ d_{N1}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N1}}{s-a_i}& d_{N2}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N2}}{s-a_i}& L& d_{\mathrm{NN}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{\mathrm{NN}}}{s-a_i}\end{array}\right]---\left(23\right)$

Claims (1)

1.一种基于整体矢量拟合法的频率相关网络等值的生成方法，其特征在于，该方法首先采用简化元件法求取网络在不同频率下的节点导纳矩阵，再采用整体矢量拟合法生成一个以频率为函数的节点导纳矩阵形式的FDNE，N×N维FDNE的数学表达式为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{y}_{11}\left(s\right)& y_{12}\left(s\right)& L& y_{1N}\left(s\right)\\ y_{21}\left(s\right)& y_{21}\left(s\right)& L& y_{2N}\left(s\right)\\ M& M& O& M\\ y_{N1}\left(s\right)& y_{N2}\left(s\right)& L& y_{\mathrm{NN}}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，s＝j2πf，f是频率；

FDNE中的任意一个元素表示为一个频域函数：

$y\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i}{s-a_i}+d+\mathrm{sh}---\left(2\right)$

该方法及具体包括以下步骤：

1）基于简化模型法求取网络频率特性的采样值：

选取频率范围为1~2000Hz，即采样频率上下限分别f₁＝1Hz和f_∞＝2000Hz；设采样点个数为N₀，N₀取值范围为100~1000，将频段[f₁,f_∞]划分成N₀-1段；根据式（3）所示规则选取采样频率：

log₁₀(f_q+1)-log₁₀(f_q)＝log₁₀(f_q)-log₁₀(f_q-1)            （3）

其中，q为整数，其取值范围为2≤q≤N₀-1；

基于简化模型法在任意一个采样频率f下，求取各个元件频率特性；具体包括以下步骤：

1-1）采用由电压源和次暂态阻抗R_g+jX_g组成的串联电路表示简化发电机，考虑频率特性的发电机导纳为：

y(f)＝1/(R_g+jX_g·f/f₀)                （4）

其中f₀表示基频频率，下同；

1-2）采用由并联的恒阻抗、恒电流和恒功率构成的ZIP负荷表示简化负荷模型，恒阻抗、恒电流和恒功率分别表示为：R_p+jX_q、I_p+jI_q和P_L+jQ_L；其基频等值阻抗R_d+jX_d表示为：

R_d+jX_d＝R_p+jX_q+u/(I_p+jI_q)+(P_L+jQ_L)/u²    （5）

其中，u为基态潮流下的节点电压；因此，考虑频率特性的负荷等值导纳为：

y(f)＝1/(R_d+jX_d·f/f₀)       （6）

1-3）采用由基频下的线路阻抗R_l+jX_l和充电电纳jb_c组成的π模型表示简化线路模型，；考虑频率特性的线路导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=\left[\begin{array}{cc}{y}_l+y_c& -y_l\\ -y_l& y_l+y_c\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中，y_l＝1/(R_l+jX_l·f/f₀),y_c＝jb_c·f/f₀；

1-4）由串联的理想变压器（t：1）和变压器的漏阻抗R_t+jX_t组成简化变压器模型，考虑频率特性的变压器导纳矩阵为：

$y\left(f\right)=y_t\left[\begin{array}{cc}1/t^2& -\exp (-\mathrm{j\θ})/t\\ -\exp \left(\mathrm{j\θ}\right)/t& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

其中，y_t＝1/(R_t+jX_t·f/f₀)；θ是变压器i端与j端的相位差；

根据步骤1-1)-1-4)，计算出电网频率特性在各个频率下的采样值

L

组成的电网节点导纳矩阵；（下标f₁,f₂...f_N表示采样频率）

2）基于矢量拟合法求取FDNE中任意一个元素：根据频率特性采样值，利用矢量拟合法求取式（2）中单个元素y(s)的未知参数a_i，c_i，d和h，具体步骤如下：

2-1）引入辅助函数σ(s)：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\stackrel{\‾}{c}}_i}{s-{\stackrel{\‾}{a}}_i}+1---\left(9\right)$

其中，极点和留数

为待求

假设乘积σ(s)·y(s)用极点同为

的有理函数逼近：

其中，

和

为待求，n为极点个数；

2-2）选定公式（10）中的极点个数n为偶数，n取值范围为20~50；再根据式（11）、（12）所示原则选择一组数做为极点

的初始值：

${\stackrel{\‾}{a}}_i=-{\mathrm{\α}}_p+j{\mathrm{\β}}_p,$ ${\stackrel{\‾}{a}}_{i+1}=-{\mathrm{\α}}_p-j{\mathrm{\β}}_p---\left(11\right)$

其中，α_p＝β_p/100，α_p,β_p是有理数，极点是成共轭对出现的，p为整数，p取值范围为[1，n/2]；采样频率上下限分别为f₁＝1Hz和f_∞＝2000Hz；选取β₁＝2πf₁,β_n/2＝2πf_∞，并将频段[f₁,f_∞]划分成n/2-1段，使其选取值满足：

log₁₀(β_r+1)-log₁₀(β_r)＝log₁₀(β_r)-log₁₀(β_r-1)        （12）

其中，r为整数，取值范围为2≤r≤n/2-1；

2-3）根据y(s)的N₀个频率采样值将公式（10）展开为一个线性方程组：

AX=B    （13）

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_1-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_1& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_1\right)}{s-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_2& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_2\right)}{s_2-\stackrel{\‾}{a_n}}\\ M& O& L& L& L& L& O& L\\ \frac{1}{a_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& \frac{1}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}& 1& s_{N_0}& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_1}}& L& -\frac{y\left(s_{N_0}\right)}{s_{N_0}-\stackrel{\‾}{a_n}}\end{array}\right]---\left(14\right)$

$B=\left[\begin{array}{cccc}y\left(s_1\right)& y\left(s_2\right)& L& y\left(s_{N_0}\right)\end{array}\right]---\left(16\right)$

N₀大于

h和

的总数和，以保证公式（13）的超正定；

根据最小二乘法，解出系数

h和

进而确定有理函数σ(s)·y(s)与σ(s)，σ(s)·y(s)与σ(s)表示为如式（17）、（18）的零极点形式：

$\mathrm{\σ}\left(s\right)\·y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(17\right)$

$\mathrm{\σ}\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-{\stackrel{\‾}{a}}_i)---\left(18\right)$

用公式（17）除以公式（18）得到公式（19）， $y\left(s\right)=h\underset{i=1}{\overset{n+1}{\mathrm{\Π}}}(s-z_i)/\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(s-\stackrel{\‾}{z_i})---\left(19\right)$

由公式（19）可知，y(s)的极点就是σ(s)的零点；σ(s)的参数

和

已知，因此求得σ(s)的零点，也即可求得y(s)的极点

也即公式（2）中的α_i；

2-4）根据已知的

和

下求取σ(s)的零点：

将σ(s)用状态方程的形式表示为：

调换其输入输出，可得：

则此状态方程的极点就是变换之前状态方程的零点，即

{α_i}＝eig(A_σ-B_σE^-1Cv)            （22）

其中，E为单位矩阵；

2-5）将求出的极点α_i重新作为σ(s)极点的初始值，重复步骤2-3）、2-4）3~4次求得高精度的极点，解得精度更高的系数c_i，d，h，

进而确定y(s)；

3）采用整体矢量拟合法生成FDNE

采用整体矢量拟合法生成FDNE，具体步骤如下：

3-1）令FDNE每个元素中的h为0；

3-2）为待生成的FDNE矩阵的所有共N²个元素求取一组相同的初始公共极点:

根据步骤1）得到的N₀个N×N维的采样值矩阵，将各个采样值矩阵中N²个元素值依次相加，则得到一个N₀×1的采样值向量；对该采样值向量进行矢量拟合，得到一个如公式（2）所示的有理函数，；将该有理函数的极点为FDNE的初始公共极点；

3-3）基于步骤3-2）中的初始公共极点，对该FDNE中的各个元素逐个进行矢量拟合，每个元素求得的极点作为下个元素的初值极点，依次进行，直至每个元素都计算完之后，得到一组极点；

3-4）将步骤3-3）得到的极点重新作为步骤3-3）的初始公共极点，重复步骤3-3）3~4次，使得求得的极点不再改变；将这组极点作为最终生成的FDNE的每个元素的公共极点，从而解得每个元素的c_i和d；

至此，生成极点相同、留数项c_i和常数项d不相同的N×N维FDNE，数学表达示为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{11}}{s-a_i}& d_{12}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{12}}{s-a_i}& L& d_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{1N}}{s-a_i}\\ d_{21}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{21}}{s-a_i}& d_{22}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{22}}{s-a_i}& L& d_{2N}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{2N}}{s-a_i}\\ M& M& O& M\\ d_{N1}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N1}}{s-a_i}& d_{N2}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N2}}{s-a_i}& L& d_{\mathrm{NN}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{\mathrm{NN}}}{s-a_i}\end{array}\right]---\left(23\right)$

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