CN103080725B - 用于确定有效掺杂物分布的方法 - Google Patents

Abstract

提供一种基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的方法(100)。该有效掺杂物浓度分布包括浓度水平和结深度。该方法包括：基于光调制反射(PMOR)测量获得(120)半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线；基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数(130)并基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数(140)；以及从衰变长度参数和波长参数确定(150)有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

Description

用于确定有效掺杂物分布的方法

发明领域

本发明涉及用于确定有效掺杂物分布的光学测量的领域。更具体地，本发明涉及用于确定有效掺杂物分布的峰值浓度和结深度的光学测量方法和系统。

发明背景

CMOS晶体管的源极和漏极延伸区的电气特征在半导体的ITRS路标（roadmap）中突出地成为将来技术节点的主要难题。实践中，存在明显的技术需求，这些技术同时是精确的、非破坏性的、快速的、局部的和高度可再现的。光调制的光学反射(PMOR)技术已表现为解决这种需求的一种非常有前途的候选方案。

光调制的光学反射(PMOR)是快速的、无接触的技术它已经表现出非常有望满足对于超浅结(USJs)的非破坏性载体造型工具的需求。由于调制的泵浦激光器诱发的折射率变化，这种泵浦探针技术基于由反射变化的探针激光器作出的测量。已在金属、均质半导材料和已注入(即破坏)硅样本上对该技术的理论基础作了广泛地研究。已有的理论全部基于简化的光学和传输模型，其中没有任何理由地忽略某一数量的效果。典型地，光学模型基于Drude电折射效应和热折射效应。对于传输模型，它们经常仅考虑扩散和再结合效应。这假定：除了热载流子产生和再结合热之外，在载流子传输方程和热传输方程之间不存在任何关联。

因此，尽管已在均质大体积材料和已注入的(即未退火的)掺杂分布上对PMOR技术作了广泛的研究，然而朝向有效掺杂分布的延伸提供用于确定有效掺杂物分布的进一步改进的方法和系统。

发明概述

本发明的一个目的是提供确定半导体衬底中的有效掺杂物分布的良好方法。根据本发明的实施例的优势是能获得峰值掺杂浓度和/或结深度的准确判断。根据本发明的实施例的优势是提供一种方法和/或系统以从单次测量中独立地提取半导体衬底中的峰值掺杂物浓度和结深度。

该方法和/或系统可尤其适于确定半导体层内的有效掺杂物分布，该半导体层具有非常低掺杂的结构，即具有在表面附近表现出最大值并朝向衬底的体积逐渐减小的掺杂物或载流子浓度分布的结构，例如通过CVD、注入或扩散形成和/或掺杂的半导体层。这种非常低掺杂的结构可视为这样的结构：即具有在表面附近有最大值并朝向衬底减小的载流子分布。

本发明的至少一些实施例的优势在于，为提取结深度的方法和系统对于45nm以下的深度(尤其是大约15nm－30nm范围的深度)提供了亚纳米再现性。

本发明的至少一些实施例的优势在于，提供一种方法或系统来提取掺杂分布图的峰值掺杂浓度。

本发明的某些实施例的优势在于，在基本不破坏样本的情况下，对于具有高掺杂浓度的样本，可测得完全有效的掺杂分布图。

本发明的某些实施例的优势在于，可无损地（即无样本预制地）确定超浅结中的载流子分布。

本发明的某些实施例的优势在于，可在工艺流程中的一些关键点监测掺杂结合，且因此导致提高的产品质量。

本发明的某些实施例的优势在于，可在线地（即，在制造工艺环境中）施加用于确定有效掺杂物分布的方法。

本发明的某些实施例的优势在于，一种用户友好地且易于操作的方法可被应用于在短测量时间内确定半导体衬底的有效掺杂物分布。

本发明的某些实施例的优势在于，可从对掺杂物分布的光学测量中确定或重建完全有效的掺杂物分布。有效掺杂物分布可以是任何随意的掺杂分布。

本发明的各实施例的优势在于，基于有效掺杂物分布的光学测量对于有效掺杂物分布可确定唯一的方案。

本发明的各实施例的优势在于，可以快速且灵活的方式从光学测量中重建未知、任意的掺杂物分布而不需要对于掺杂浓度或结深度做出事前假设。

本发明的实施例的优势在于，通过将半导体衬底中的定域电场的效应考虑在内可获得掺杂浓度和/或结深度的准确判断，所述定域电场例如是在具有不同掺杂浓度的两个半导性区域之间的结处的内建电场。本发明的实施例的优势在于，电场、带隙变窄(BGN)和能带填充对复杂介电常数各自的影响可被考虑在内。本发明的实施例的优势在于，可将热电效应考虑在内。

以上目的由根据本发明的方法和设备来实现。

本发明涉及一种基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的方法，该有效掺杂物浓度分布包括浓度水平和结深度，该方法包括：基于光调制反射(PMOR)测量获得半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线，基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数，并基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数，以及从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

令人惊讶地发现，使用振幅偏移曲线和相位偏移曲线的导数可获得峰值浓度水平和结深度的精确值，例如将预定的掺杂物分布形状考虑在内的话。

振幅偏移曲线可以是归一化振幅的偏移曲线。

获得半导体衬底的PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线可包括：获得具有一有效掺杂物浓度分布的半导体衬底，该有效掺杂物浓度分布由浓度水平和结深度表征；并针对获得的半导体衬底以光学方式测量PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线。

基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数可包括：对于箱形的有效掺杂物分布形状将信号衰变长度L^d _signal（L^d _信号）确定为：

$L_d^{\mathrm{signal}}=-\frac{\left|\mathrm{TP}\right|}{\frac{\∂\left|\mathrm{TP}\right|}{\∂x}}$

L^d _signal是横向距离，即泵浦激光器和探针激光器之间的间距，这是振幅以因数exp(1)下跌（drop）所需要的。这关联于振幅的偏移曲线的一阶导数，例如关联于振幅偏移曲线的斜率。

基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数可包括：对于箱形的有效掺杂物分布形状将横向距离λ_signal（λ_信号）确定为：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{signal}}=-2\mathrm{i\π}\frac{\mathrm{TP}/\left|\mathrm{TP}\right|}{\frac{\∂\mathrm{TP}/\left|\mathrm{TP}\right|}{\∂x}}$

λ_signal是横向距离，即泵浦激光器和探针激光器之间的间距，这是相位旋转360度所需要的。这关联于相位的偏移曲线的一阶导数，例如关联于相位偏移曲线的斜率。

振幅偏移曲线的一阶导数和相位偏移曲线的一阶导数分别表示所获得的PMOR振幅和相位对于用来确定PMOR振幅和相位的泵浦激光束和探针激光束的入射点之间的间距的变化。

如果因此使用PMOR来测量由(未知)结深度Xj和(未知的)峰值浓度N_act表征的(未知)有效掺杂物分布，则根据本发明的实施例来确定PMOR偏移曲线(振幅和相位两者)，这将导致1PMOR振幅偏移曲线和1PMOR相位偏移曲线。通过确定这些曲线中的每一个的斜率，人们能够确定横向衰变长度值和波长值(与一个实验数据点对应)。

从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度可包括：选择一预定的浓度分布形状作为浓度水平和结深度的函数；并基于预定的浓度分布形状和确定的衰变长度参数和波长参数的组合来确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

选择预定的分布形状可包括：选择箱形浓度分布形状或高斯浓度分布形状、Lorentzian形状、补余误差函数或其一部分中的任何一种。

从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度可包括将预定浓度分布形状考虑在内地求解关于信号衰变长度和波长的公式，由此得出具有两个未知量(结深度和峰值浓度水平)的两个方程。

例如，当使用箱形有效掺杂物分布时，可将偏移曲线TP(x)建模为作为泵浦探针光束距离间距x的函数的光学测量信号：

其中G_TP是热探针载流子产生率，n₀是折射率，ΔN_sub是由于衬底内的光注入造成的过量自由电子浓度，N_act是峰值浓度，X_j是结深度，λ_probe（λ_探针）是探针激光器的波长，是载流子扩散长度，是等离子波长的相位，λ_pl是等离子波波长，是热扩散长度，是热波的相位，λ_th是热波波长，而ΔT_surface（ΔT_表面）是表面处的温度变化。

从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度可包括：将确定的衰变长度参数和确定的波长参数关联于对公知的有效掺杂物分布确定的已知横向衰变长度参数值和已的波长参数值；并从所述关联确定浓度水平和结深度。

从中关联和确定浓度水平和结深度可包括：将半导体衬底的衰变长度参数和波长参数与一组同已知结深度和峰值掺杂物浓度水平相对应的已知横向衰变长度参数值和已知波长参数值的查找表或图形表示进行比较。

该方法可包括：针对一组已知有效掺杂物浓度分布产生一组振幅和相位偏移曲线，每个已知有效掺杂物浓度分布由不同的浓度水平和/或结深度表征；使用振幅偏移曲线的一阶导数从这组产生的振幅和相位偏移曲线提取衰变长度曲线；并使用相位偏移曲线的一阶导数来提取波长曲线；并通过对一组提取的衰变长度曲线和波长曲线在未知样本上获得的测得衰变长度和波长进行绘图而确定未知的浓度水平和结深度。

可通过光学地(实验地)测量具有已知结深度和已知峰值掺杂物浓度水平的已知有效掺杂物分布的半导体衬底来获得已知横向衰变长度参数值和已知波长参数值。

可通过仿真具有已知结深度和已知峰值掺杂物浓度水平的已知有效掺杂物分布并使用预定的浓度分布形状的半导体衬底来获得已知横向衰变长度参数值和已知波长参数值。这种仿真可基于模型。它可基于解析公式。

本发明也涉及一种基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的计算设备，该有效掺杂物浓度分布包括浓度水平和结深度，该计算设备包括：输入装置，其配置成基于光调制反射(PMOR)测量获得半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线；处理器，其配置成基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数，并基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数，并从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

计算设备可以是光调制反射光学测量装置的一部分或被配置成执行如前所述的方法。

本发明还涉及一种用于执行光调制反射的系统，该系统包括：PMOR测量系统，该PMOR测量系统包括用于获得光调制反射(PMOR)偏移曲线测量数据的泵浦激光器和探针激光器；以及处理系统，用于接收光调制反射(PMOR)偏移曲线测量数据并基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数，基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数，并从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。该系统可例如包括如前所述的计算设备。

本发明还涉及一种包含可执行机器可读计算机代码的计算机程序产品，当在计算机程序产品上执行时，执行如前所述的方法。

本发明还涉及存储这种计算机程序产品的机器可读数据载体或涉及在局域或广域电信网络上传输表征如前所述的计算机程序产品的信号。

本发明还涉及一数据集，该数据集包括因变于峰值浓度水平和结深度的一组横向衰变长度参数值和波长参数值，每个横向衰变长度参数值和波长参数值分别基于半导体衬底的光调制反射测量的振幅偏移曲线的一阶导数和相位偏移曲线的一阶导数，该半导体衬底具有带相应峰值浓度水平和相应结深度的有效掺杂浓度分布，该数据集被实现为查找表或图形表示。

本发明的特定和优选方面在所附独立和从属权利要求中阐述。从属权利要求中的技术特征可以与独立权利要求的技术特征相结合或适宜地与其他从属权利要求中的技术特征相结合，而不仅仅是其在权利要求中明确阐明的那样。

本发明的这些和其他方面从下文描述的实施例（多个）中将是显而易见的且被说明的。

附图说明

图1示出根据本发明实施例的用于确定峰值有效掺杂物浓度和结深度的方法的示意性总览图。

图2示出根据本发明实施例的能够用于实现确定峰值有效掺杂物浓度和/或结深度的方法的计算设备。

图3示出根据本发明实施例的用于确定峰值有效掺杂物浓度和结深度的系统的示意性表示。

图4a示出根据本发明实施例的Si能带结构的示意性总览图，指示BGN和BF效应的影响，这可能对PMOR产生贡献并可以被考虑在内。

图4b示出根据本发明一个实施例的BGN对能带-能带吸收系数α_BTB的变化的影响，这可能对PMOR产生贡献并可以被考虑在内。

图5示出由于间接带隙中的正或负刚性平移造成的1.85eV下硅的光学功能变化，由此带隙变窄对应于图中的左侧(间接带隙的负变化)，如在本发明的一个实施例中可考虑在内的那样。

图6示出实数折射率和虚数折射率相对于自由载流子浓度计算出的导数，并考虑到在具有10¹⁸cm^-3背景自由载流子浓度的1.85eV光子能量下的Drude贡献[公式(5)和(6)]和BGN贡献之间的比较。

图7示出根据本发明实施例的一种箱形调制的折射率分布，它分别在表面处和界面处表现出两种突然变化，如同在一些实验结果中用到的那样。

图8示出在一维等离子(实线)和热(虚线)波的再结合寿命的变化、在TP泵浦激光器的情形下方程[34]的解。光束下的振幅(a)和相位(b)以及横向扩散长度(c)和横向波长(d)是从公式[37]中表达的解析解中推导出的。也示出对于每条曲线的渐近特性。垂直线对应于ωτ=1，即扩散受限体系(左，长寿命)和再结合受限体系(右，短寿命)之间的限值。

图9示出在三维等离子和热波中掺杂的变化，在TP泵浦激光器的情形下方程[34]的解。光束下的表面振幅(a)和相位(b)以及横向扩散长度(c)和横向波长(d)是从半解析解(虚线)和数值解(实线)中推导出的。可标识出四个区，其对应的简化方程示出在右侧。

图10示出半解析等离子波(实线)和热波(虚线)因变于BGN的振幅(a)、相位(b)、扩散长度(c)和波长(d)的变化。衬底掺杂是10¹⁵cm^-3。ΔE_g ^Schenk是用Schenk的BGN模型获得的BGN值(也由垂直虚线突出显示)。

图11给出典型有效掺杂分布和泵浦产生的过量载流子和过量温度分布的示意图(过量载流子和过量温度分布的相对位置是任意的)。

图12示出对于具有变化的结深度的箱形掺杂分布的实验特性和理论特性的比较。信号的符号是遵照测得的相位赋予的，即符号根据相位是180°还是0°而被定义为正或负(CI惯例)。使用图9中的低掺杂硅获得结果，拟合曲线对CVD2和CVD3采用公式[45]，对CVD5采用公式[42]和[46]。唯一拟合参数N_act的值分别为8×10¹⁶cm^-3(CVD5)、9×10¹⁷cm^-3(CVD2)和1×10¹⁸cm^-3(CVD3)。虚线的余弦线表示对于N_act=5×10¹⁹cm^-3的理论特性。

图13示出如通过公式(47)获得的对于N_act=10²⁰cm^-3BGN对ΔN_l的影响，其考虑层和衬底BGN两者的贡献(实线)、仅考虑层BGN的贡献(虚线)和仅考虑衬底BGN的贡献(点线)。ΔE_g ^Schenk是用Schenk的BGN模型获得的BGN值(也由垂直虚线突出显示)。

图14示出实验功率曲线的特性，即在CVD2(a)和CVD3(b)上当改变泵浦功率时PMOR(CI)信号的变化。对于浅层和高掺杂层来说，衬底等离子组成是占优势的(白色背景)。较深的、中等掺杂层表示竞争的衬底——和层——等离子组成(加阴影的背景)。

图15示出遵循公式[45]的中等掺杂(a)和高掺杂(b)的功率曲线的理论特性。热组成振幅被假定为衬底等离子组成振幅的三分之一，即δΔT=(β/3)(1/m_e+1/m_h)ΔN_sub。实验功率曲线(图14)的品质特性是容易识别的。

图16示出在(顶部)CVD3矩阵(在右侧示出N_act~5×10¹⁹cm^-3和不同的X_j)上和(底部)CVD8矩阵(在右侧示出X_j~40nm和不同的N_act)测得的归一化振幅(左侧)和TP信号的相位(右侧)的实验偏移曲线。

图17示出TP信号的(a)横向衰变长度和(b)波长因变于结深度的特性。这些线示出对ΔN_l=0的理论预测特性[公式(50)、(51)和(52)]而圆是在CVD3阵列上获得的实验值。两个长度或者比在低掺杂衬底上更长(区域1)，更短(区域2)或甚至是负的(区域3)。该插图示出在每个区域内偏移曲线的典型特性。

图18示出对于X_j＝40nm，TP信号的(a)横向衰变长度和(b)波长因变于N_act的特性。.这些线示出对Xj=40nm(顶部x轴)的理论预测特性[公式(50)、(51)和(52)]而圆是在CVD8阵列(底部x轴)上获得的实验值。两个长度或者比在低掺杂衬底上更长(区域1)、更短(区域2)或甚至是负的(区域3)。插图示出每个区域内的偏移曲线的典型特性。(a)中的点线箭头表示渐近线的方向。

附图只是示意性的而非限制性的。在附图中，出于说明目的，某些元件的尺寸可以放大且不按比例地绘出。

权利要求中的任何参考标记不应被认为限制范围。

在不同附图中，相同参考标记涉及相同或相似的元件。

说明性实施例的详细描述

虽然将关于具体实施例并参考特定附图来描述本发明，但是本发明不受限于此而仅由权利要求来限定。所描述的附图只是示意性而非限制性的。在附图中，出于说明目的，某些元件的尺寸可以放大且不按比例地绘出。尺寸和相对尺寸并不对应于为实践本发明的实际缩减。

此外，在说明书和权利要求书中术语第一、第二等被用于在类似元素间加以区别，而没有必要描述或时间或空间上的顺序、或次序、或以其他方式。应该理解如此使用的这些术语在合适环境下可以互换，并且在此描述的本发明的实施例能够以本文描述或图示以外的其它次序来实施。

另外，说明书和权利要求书中的术语“顶部”、“之下”等是出于描述的目的而被使用的，其并不必须用以描述相对位置。应该理解如此使用的这些术语在合适环境下可以互换，并且在此描述的本发明的实施例能够以此处所描述或图示以外的其他取向来实施。

要注意的是在权利要求中所使用的术语“包括”不应该被解释为受限于下文所列的方式，其并不排除其他元件或步骤。因此其应被解释为规定所涉及的所陈述的特征、数字、步骤或组件的存在，但并不排除一个或多个其他特征、数字、步骤或组件或其组合的存在。因此，措词“包含装置A和B的设备”的范围不应当仅限于仅由组件A和B构成的装置。这意味着相对于本发明而言，设备的相关组件是A和B。

整个说明书中对“一个实施例”或“实施例”的引用意味着结合该实施例描述的特定特征、结构或特性被包括在本发明的至少一个实施例中。因此，在整个说明书各处出现的短语“在一个实施例中”和“在实施例中”不一定都指同一个实施例，不过有可能。此外，可以按本公开中对本领域技术人员而言显而易见的任何合适方式组合一个或多个实施例中的特定特征、结构或特性。

类似地，应理解，在本发明的示例性实施例的描述中，出于有效阐明本公开并帮助理解各创新性方面的一个或多个方面的目的，本发明的各种特征有时被集合到单个实施例、附图、或描述中。然而，此公开方法不应被解释为反映这样一种意图：相比各权利要求中明确陈述的，所要求保护的发明需要更多特征。当然，如下面的权利要求所反映的，本发明的方面在于少于上述单个所公开的实施例的所有特征。从而，据此将详细描述之后的权利要求直接地结合进详细描述中，其中每个权利要求独立地代表本发明的一个单独的实施例。

此外，尽管此处描述的一些实施例包括其他实施例中所包括的一些特征但没有其他实施例中包括的其他特征，不同实施例的特征的组合意图落在本发明的范围内，并且形成将按本领域技术人员理解的不同实施例。例如，在下面的权利要求书中，所要求的实施例中的任何一个可以任何组合使用。

在此处提供的描述中，阐明了数量众多的具体细节。然而，可理解的是本发明的实施例没有这些具体细节也可投入实践。在其他实例中，为了不妨碍对于本说明书的理解，没有被详细地示出众所周知的方法、结构、和技术。

在第一方面，本发明涉及基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的方法。这些光学测量一般可以是光调制反射测量(PMOR)。根据本发明实施例的光调制反射测量一般是光学振幅或相位偏移曲线，如可例如使用热探针测量装置获得的那样。半导体衬底的有效掺杂物浓度分布一般包括也称浓度水平的峰值浓度水平和结深度。可使用本发明实施例测得/确定的峰值浓度水平的典型值可以是2.10¹⁸/cm³或更高。可确定的典型结深度可以在15nm至40nm的范围内。借助示例，本发明的实施例不仅限于此，还将参照图1进一步描述一示例性方法，其指出该方法的可选步骤和标准步骤。该示例性方法100包括在第一步骤基于光调制反射(PMOR)测量获得120半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线。该获得120振幅和相位偏移曲线可包括从之前测得的数据获得数据，例如获得曲线作为输入数据。作为替代或添加，获得120振幅和相位偏移曲线可包括：获得110具有由浓度水平和结深度表征的有效掺杂物浓度分布的半导体衬底；并通过光学测量所获得的半导体衬底的PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线来实验地确定。

方法100也包括基于振幅偏移曲线的一阶导数(例如斜率)确定衰变长度参数130并基于相位偏移曲线的一阶导数(例如斜率)来确定波长参数140。衰变长度参数由此可作为信号衰变长度L^d _signal给出，L^d _signal被定义为：

$L_d^{\mathrm{signal}}=-\frac{\left|\mathrm{TP}\right|}{\frac{\∂\left|\mathrm{TP}\right|}{\∂x}}$

L^d _signal也称信号衰变长度，即泵浦激光器和探针激光器之间的间距，这是振幅以因数exp(1)下跌所需要的。

波长参数可通过横向距离λ_signal确定，λ_signal被定义为：

${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{signal}}=-2\mathrm{i\π}\frac{\mathrm{TP}/\left|\mathrm{TP}\right|}{\frac{\∂\mathrm{TP}/\left|\mathrm{TP}\right|}{\∂x}}$

λ_signal也称横向距离，即泵浦激光器和探针激光器之间的间距，这是相位旋转360度所需要的。

示例性方法100还包括：从衰变长度参数和波长参数(例如从信号衰变长度和横向距离)确定150所研究的半导体衬底中的有效掺杂物浓度分布的(峰值)浓度水平和结深度。

确定峰值浓度水平和结深度可以多种方式实现。在一特定实施例中，可基于与选定的有效掺杂物浓度分布结合的波长参数和衰变长度参数确定峰值浓度水平和结深度。

可使用的有效掺杂物浓度分布的一个例子是箱形有效掺杂物浓度分布，它导致如通过下列方程描述的偏移曲线的表达式：

更一般地，普遍的有效掺杂物浓度分布形状的TP偏移曲线的表达式表示为：

$R_{\mathrm{dc}}^{\mathrm{Profile}}=R_0\{1-\frac{4\mathrm{\β}}{{n_0}^2-1}\frac{1}{m_h}\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{doping}}(z=0)+\\ {\∫}_{0+}^{+\∞}\frac{\∂P_{\mathrm{doping}}\left(z\right)}{\∂z}\cos (4\mathrm{\π}{n}_{0}z/{\mathrm{\λ}}_{^\mathrm{probe}})\mathrm{dz}\end{array}\right]\}$

对于p型有效掺杂物分布

$R_{\mathrm{dc}}^{\mathrm{Profile}}=R_0\{1-\frac{4\mathrm{\β}}{{n_0}^2-1}\frac{1}{m_h}\left[\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{doping}}(z=0)+\\ {\∫}_{0+}^{+\∞}\frac{\∂N_{\mathrm{doping}}\left(z\right)}{\∂z}\cos (4\mathrm{\π}{n}_{0}z/{\mathrm{\λ}}_{^\mathrm{probe}})\mathrm{dz}\end{array}\right]\}$

对于n型有效掺杂物分布

${\mathrm{\ΔR}}_{\mathrm{ac}}^{\mathrm{Profile}}\left(r\right)=\frac{{4R}_0}{{n_0}^2-1}{\mathrm{\Γ}}_0\exp (-i{\mathrm{\θ}}_0)$

$\×\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{\β}(\frac{1}{m_e}+\frac{1}{m_h})[\mathrm{\Δ}{N}_{l1}(r,z=0)+{\∫}_{0+}^{+\∞}\frac{\∂\mathrm{\Δ}{N}_{l1}(r,z)}{\∂z}\cos (4\mathrm{\π}{n}_{0}z/{\mathrm{\λ}}_{^\mathrm{prode}})\mathrm{dz}]\\ +\mathrm{\δ\Δ}{T}_1\left(r\right)\end{array}\right\}$

并且

${\mathrm{\ΔN}}_l\left(z\right)=0.5\left[\begin{array}{c}-P_{\mathrm{doping}}\left(z\right)+\\ \sqrt{P_{\mathrm{doping}}^2\left(z\right)+4\frac{{\mathrm{\γ}}_p^l\left(z\right){\mathrm{\γ}}_n^l\left(z\right)}{{\mathrm{\γ}}_p^{\mathrm{sub}}{\mathrm{\γ}}_n^{\mathrm{sub}}}}\exp (-\frac{E_g^l\left(z\right)-E_g^{\mathrm{sub}}}{k_{b}T}){\mathrm{\ΔN}}_{\mathrm{sub}}^2\end{array}\right]$

将TP偏移曲线的方程和波长及衰变长度参数的方程结合起来得到具有两个未知量的两个方程，所述两个未知量即峰值浓度水平和结深度。基于此，峰值浓度水平和结深度可从中导出。

在第二特例中，在测得的波长参数和衰变长度参数，以及对已知有效掺杂浓度分布的波长参数、衰变长度参数之间作出比较。这种对于已知有效掺杂物浓度分布的已知波长参数和衰变长度参数，并因此已知的峰值有效掺杂物浓度和结深度，可作为数据集提供在例如查找表或图形表示中。在提供图形表示的情形下，可在图形表示上绘出波长参数和衰变长度参数，并通过与已知有效掺杂物浓度分布的相应参数比较，可推导出峰值有效掺杂物浓度和结深度。

额外的特征和优势将在本发明的实施例和/或示例中例示。

在一个方面，本发明涉及基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的计算设备。该计算设备包括：输入装置，其配置成基于光调制反射(PMOR)测量获得半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线。它还包括处理器，该处理器配置成基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数，基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数，并从衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。处理器可以是任何适宜的处理器，诸如例如专用处理器或编程为执行前述任务的处理器。它可以是单核或多核处理器。它可以是一个或多个处理器。作为示例，根据本发明实施例可使用的计算设备可如图2所示。图2示出处理系统200，该处理系统200包括耦合到存储器子系统205的至少一个可编程处理器203，该存储器子系统205包括至少一种形式的存储器，例如RAM、ROM等。应当注意，处理器203或多个处理器可以是通用或专用处理器，并且可包含在设备中，例如具有执行其它功能的其它组件的芯片。处理系统可包括具有至少一个磁盘驱动器和/或CD-ROM驱动器和/或DVD驱动器的存储子系统207。在一些实现中，可包括显示系统、键盘和定点设备作为用户接口子系统209的一部分以便向用户提供手动输入信息。也可以包括用于输入和输出数据的端口。可包括更多部件，诸如网络连接、到各个设备的接口等。处理系统的各部件可以多种方式耦合，包括经由总线子系统213，在本例中为简化示出单个总线，但本领域内技术人员将理解其包括至少一个总线的系统。存储器子系统的存储器可在某些时候保持一组指令的一部分或全部，当在处理系统上执行时用以实现本文描述的方法实施例的各个步骤。

在又一方面，本发明也涉及用于实现光调制反射的系统。这一系统包括：泵浦激光器和探针激光器，用于获得光调制反射(PMOR)偏移曲线测量数据；以及处理系统，用于接收光调制反射(PMOR)偏移曲线测量数据以及用于基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数，基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数，并从衰变长度参数和从波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。该处理器可以是如前所述的计算系统。处理器此外可适配成控制拟由光学组件执行的测量。图3示出总系统300，其中PMOR测量系统302连接于计算设备200，用于将数据输入提供给计算设备并可选择地用于从计算设备获得控制命令。PMOR测量系统的的示例可以是(TP)系统，其相应技术在LenaNicolaides等人在Review of Scientific Instruments（科学仪器评论）,2003年1月,第1期,第74卷中的"Non-destructive analysis of ultra shallow junctions usingthermal wave technology(使用热波技术对超浅结的非破坏性分析)"中进行描述。该TP技术是PMOR技术的高调频实现。该系统例如可以是ThermaProbe TP630XP工具（TP）、具有均聚集在0.5μm光束半径上的在高频（1Mhz）下被调制的泵浦激光功率、固定泵浦激光器和探针激光器波长(分别为790nm和670nm)、固定泵浦和探针激光功率（分别为13.5mW和2.5mW）的PMOR的特定实现，但本发明的实施例不限于此。

在又一方面，本发明涉及一计算机程序产品，当在例如根据本发明第三方面的设备的处理装置上执行时，其执行根据本发明第一方面的方法之一。相应的处理系统可以是如第二方面所述的计算设备。换句话说，根据本发明实施例的方法可实现为计算机实现的方法，例如以基于软件的方式实现。因此，本发明实施例的一个或多个方面可实现在数字电子电路中，或计算机硬件、固件、软件中，或它们的组合中。

在又一方面，本发明涉及用于存储实现如前所述的方法的计算机程序产品的数据载体，或涉及其在广域网或局域网上的传输。这一数据载体因此可有形地体现用于实现如前所述方法的计算机程序产品。载体介质因此可载有机器可读代码以供可编程处理器执行。本发明因此涉及载有计算机程序产品的载体介质，当在计算装置上执行时其提供用于执行如前所述的任何方法的指令。术语“载体介质”指参与向处理器提供指令以供执行的任何介质。这样的介质可采取许多形式，包括但不限于非易失性介质和传输介质。非易失性介质包括例如光盘或磁盘，诸如作为海量存储器一部分的存储设备。计算机可读介质的常见形式包括CD-ROM、DVD、柔性盘或软盘、磁带、存储器芯片或卡带、或计算机可从中作读取的任何其他介质形式。在将一个或多个指令的一个或多个序列传运至处理器以供执行时可涉及多种形式的计算机可读介质。计算机程序产品也可经由诸如LAN、WAN或因特网之类的网络中的载波传输。传输介质也可以采用声波或光波的形式，例如那些在无线电波和红外数据通信期间生成的波。传输介质包括同轴电缆、铜导线和光纤，包括含计算机内部总线的各类导线。

作为例示而非由理论限定，可从下列理论考量中理解本发明实施例的特征和优势，本发明的实施例不受此限。

首先，讨论光调制反射的理论考量。如序言中提到的，PMOR是泵浦探针技术。在PMOR测量中，经调制的泵浦激光器通过值来修正局部折射率探针激光器随后借助反射来测量这种修正。这里，考虑籍此泵浦激光器可能影响折射率的不同物理现象。对不同效应的量级作比较以推导出(泵浦诱导的)调制的折射率的定量表达式。

遵循麦克斯韦波方程，在探针激光器的波长λ_probe下的有损耗材料的复数折射率表示为：

其中n和k分别为复数折射率的实部和虚部，它们也分别被称为(实数)折射率和消光系数。是总介电常数，是本征半导体(无自由载流子可供传导)的介电常数，σ是频率依存的电导率，ω_probe（ω_探针）是探针光学角频率而ε₀是真空的介电常数。方程[1]清楚地突出了对折射率存在两种作用，即第一贡献考虑到所有能带-能带(或能带间)效果。随着温度、电场显式地改变，并随着自由载流子浓度(经由载流子诱导的带隙变窄(BGN)和能带填充(BF))隐式地改变。第二贡献包含电导率(或自由载流子)信息，并关联于所有能带内效果。它只随着自由载流子浓度而变化。

前一种考量表明折射率的泵浦诱导变化可以是三类。首先，如果光子能高于样本带隙，则泵浦激光器产生经调制的过量载流子分布ΔN(x,y,z,t)，它(经由和两者)对折射率产生影响。其次，经调制的过量温度分布或热波ΔT(x,y,z,t)也由泵浦诱导出，这(经由)对折射率形成干扰。最后，如果样本在平衡下呈现出电场，则经调制的过量载流子造成电场的调制。这种经调制的电场进而(经由)影响折射率。

在所有共性方面，折射率的经调制变化因此表示为：

在多数研究的情形中，这些效应具有非常小的量级(一般在~10⁶W.cm^-2激光辐射下具有的折射率变化)。根据实验条件(样本材料、样本类型、激光器波长……)，牵涉到的贡献中的一些可更小并因此在这里被忽略。在下文中描述不同的效应并讨论它们对于红和NIR范围内Si的相对量级。

考虑第一电光效应。

由于要么具有自由载流子要么具有电场，电光效应要考虑复数折射率的变化。要报告三种自由载流子电光现象，即(i)Drude效应、(ⅱ)载流子诱导的带隙变窄(BGN)效应和(ⅲ)能带填充(BF)效应。另外，将三种电场效应考虑在内，即(i)Kerr、(ii)Pockels和(iii)Franz-Keldysh效应。这些效应将分别被讨论。

Drude效应考虑到由电导率变化(即的变化)造成的电折射(即n的变化)和电吸收(即k的变化)。下文中表明，在类似红和NIR的高光学频率下，电折射Drude效应是线性的(Δn∝ΔN)，并且电吸收Drude效应是可忽略的。

由电荷q的电荷载流子以及迁移率（mobility）μ和浓度N_q造成的频率依存的Drude电导率为：

$\mathrm{\σ}=\frac{\mathrm{q\μ}{N}_q}{1-i{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{probe}}/{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{scatt}}}---\left[3\right]$

其中ω_scatt＝q/(mμ)（ω_散射＝q/(mμ）是载流子的散射频率，而m是其质量。在硅中，该散射频率比与红和NIR波长(~1PHz)对应的光学频率ω_probe远远更小(~10THz)。换句话说，高频电导率是纯虚数的(没有阻性损耗)。使用公式[2]并采用实数复数折射率则使用一阶泰勒展开式表示为：

$\tilde{n}=\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{lattice}}+\frac{i}{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{probe}}{\mathrm{\ϵ}}_0}\frac{\mathrm{q\μ}{N}_q}{1-i{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{probe}}\frac{\mathrm{\μm}}{q}}}$

$\≈\sqrt{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{lattice}}-\frac{q^2}{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{probe}}^2{\mathrm{\ϵ}}_{0}m}{N}_q}\≈n_0(1-\frac{q^2}{2{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{probe}}^2{\mathrm{\ϵ}}_0{n}_0^{2}m}{N}_q)---\left[4\right]$

其中n₀是平衡时的半导体折射率。如果电子和空穴是以相等密度产生的，则实数和虚数折射率的一阶导数可因此被分别写成：

以及

${\frac{\∂k}{\∂\mathrm{\ΔN}}|}_{\mathrm{Drude}}\≈0---\left[6\right]$

其中β是所谓的Drude系数，并且m_e和m_h分别为电子和空穴有效质量。为完整起见，注意方程[6]仅严格地在可见波长和NIR波长下有效。在红外区越深，Si的消光系数随着自由载流子浓度很强程度地增加。这经常被称为自由载流子吸收(FCA)。要注意，除了在可见波长和NIR波长下的确非常小以外，也一直是正的。换句话说，对实数和虚数折射率的Drude贡献具有相反的符号和不同的数量级。

总地来说，折射率的变化是实数并与所产生的自由载流子浓度成比例。

现在，对载流子诱导的带隙变窄(BGN)效应进行讨论。当将自由载流子注入硅样本时，晶格的能带结构在图4a中被修正。图4a示出Si的能带结构的示意性总览图。BGN和BF效应的影响在括号间示出。Ec是导带的最低能级，而E_v是价带的最高能级，其能带隙为E_g=E_c-E_v。E_f ⁿ和E_f ^p分别为电子和空穴准费密能级，光学能带隙为E_g ^optical=E_f ⁿ-E_f ^p（E_g ^光学=E_f ⁿ-E_f ^p）。在该附图中隐含地示出该半导体是高退化的(E_f ⁿ和E_f ^p位于多个能带内)。注入的自由载流子使能带隙E_g重新归一化，这进而经由修正复数折射率。这种载流子诱导的折射率变化在前面针对PMOR的光学模型中尚未被考虑在内。检查这种效应是否是可忽略的。

物理上说，能带-能带吸收系数α_BTB的变化源于对固定波长的电子空穴对生成的可得状态的增加。在间接吸收边缘E_g之上，能带-能带吸收系数与成比例。变窄的能带隙因此引发增加的吸收系数(见图4b)，即增加的消光系数。至于折射率的变化，其遵循Kramers-Kronig(KK)关系。图4b示出BGN对α_BTB变化与光子能量的影响。E⁰ _g是BGN之前的带隙能量。假设BGN造成间接吸收边缘的刚性平移，实际高达2eV光子能量。

为了对这种效果进行建模，使用下列方程：

${\frac{\∂\tilde{n}}{\∂\mathrm{\ΔN}}|}_{\mathrm{BGN}}=(\frac{\∂n}{{\∂E}_g}+i\frac{\∂k}{\∂E_g})\frac{{\∂E}_g}{\∂\mathrm{\ΔN}}---\left[7\right].$

因此需要对两个项进行量化。第一项是已知的并已被建模。由于掺杂在这里不是密切相关的，因此使用Shaheed的实验BGN拟合。这造成与使用Schenk BGN模型的传输模型的一些不相容问题，但要相信既然是由过量载流子造成的实验BGN的直接拟合，它更为精确。第二项尚未被完全建模。使用如下近似推论来量化它。使用在未掺杂Si上测得的实验k谱，假设过量的自由载流子仅在0-2eV范围内刚性地平移间接吸收边缘。可通过已平移k谱和未平移k谱的比较来直接获得的估算。同样地，可通过分别比较经平移谱和未平移谱的KK变换来获得为完整起见，注意经KK变换的实际上是虚数介电常数。对于带隙中的正变化和负变化两者，在1.85eV光子能量下获得的结果示出于图5。对于带隙变窄(带隙中的负变化)，观察到这有趣地意味着其结果显著不同于Drude作用，其中实部和虚部具有不同的数量级和相反的符号。注意，由于数值KK变换，所获得的n是相当嘈杂的。然而，在第一个100meV，清楚地观察到线性关系(硅中载流子诱导的BGN始终小于将近0.1eV)。

在图6中比较因变于过量载流子浓度的所得到的和假设1×10¹⁸cm^-3背景载流子浓度(这代表探针和泵浦产生的过量载流子的DC分量)。对实数和虚数贡献单独进行分析。一方面，即使Drude和BGN效应的实数贡献是同一数量级的，Drude效应与过量载流子浓度无关地处于优势地位。另一方面，只有BGN效应具有不可忽略的虚数贡献。将BGN加至Drude作用引起具有几乎相等的实部和虚部的复数折射率的变化。然而，从与实验结果的比较来看，当前分析看上去很大程度地高估了BGN效应，BGN对折射率的影响被忽略，就像在PMOR模型中经常做的那样。

也考虑Burstein平移或能带填充(BF)效应。

与BGN效应相似，当过量载流子被注入到硅中时，光学带隙由于BF也遭受修正，如图4a所示那样。实际上，当注入过量载流子时，在导带底部处的状态被填充并因此不再可供价电子吸收。此外，在注入下，在价带顶部的状态被排空，这导致吸收效率的进一步降低。换句话说，注入的载流子使光学带隙变宽，这进而减少了吸收效率。然而，在PMOR实验中不期望看到任何Burstein平移。这种效果实际上只有当载流子密度达到载流子分布是退化的程度时才是有效的。经常假设，这发生在电子(对应于空穴)准费密能级落在高于导带底部(对应于价带顶部)4k_bT的位置时，k_b是玻尔兹曼常数而T是晶格温度。在300K下的Si中，这分别对应于1.7×10²⁰cm^-3的电子浓度和6.4×10¹⁹cm^-3的空穴浓度。在当前实验中，在TP或CI中永远不会达到这些密度。换句话说，与图4a所示不同，电子和空穴准费密能级永远不会落在带内但始终位于带隙内。因此在在理忽略这种效应。然而，重要的是在小的有效质量半导体(例如InSb)的情形下要记得这种效应，在那种场合下这种效应是可观的。

也对Pockels、Kerr和Franz-Keldysh效应进行讨论。

Pockels和Kerr效应分别是归因于电场存在的一阶和二阶电折射效应。Franz-Keldysh效应考虑到归因于电场存在的电吸收(由于能带弯曲在高电场下增强的能带-能带吸收)。这些效应影响到Aspnes已对这些现象作了非常彻底的调查。可利用这些效应以量化两个半导体之间的结处或半导体样本表面处的电场。

在TP和CI的情形下，因为两个原因可忽略这三种效应。首先，它们只有在非常接近(直接或间接)所研究半导体的带隙的波长下才是可观的。其次，对于对电场敏感的反射来说，电场的深入延伸需要是波长的数量级的。当前模型应对在两掺杂的Si区之间的结处的内建电场。在强光照射下，这种电场的延伸仅限于接近结的几纳米内。通过密度N_q的自由载流子给予电场的屏蔽长度的Debye长度实际上是即对于10¹⁸cm^-3左右的过量载流子浓度只有几纳米。换句话说，经调制的电场产生经调制折射率的一个非常局部波峰，这诱导可忽略的反射。因此在这个模型中不考虑Pockels、Kerr和Franz-Keldysh效应。

此外，还考虑热光效应。

复数折射率也由于所产生的过量温度(经由)而变化。这些变化绝大多数地源自热诱导的BGN并且部分地源自热膨胀。这些效应对于物理建模相当复杂。因此决定使用实验数据的拟合。这种拟合也表明热吸收相对于热折射是可忽略的。因此在当前模型中，单纯使用线性热折射效应以使：

$\frac{\∂\tilde{n}}{\∂T}=\mathrm{\δ}---\left[8\right]$

概括地说，对于TP和CI，可通过对公式[5]和[8]进行总计而概括硅中的电光和热光效应。

$\mathrm{\Δ}\tilde{n}=\mathrm{\Δn}=\frac{\∂n}{\∂\mathrm{\ΔN}}\mathrm{\ΔN}+\frac{\∂n}{\∂T}\mathrm{\ΔT}=-\mathrm{\β}(\frac{1}{m_e}+\frac{1}{m_h})\mathrm{\ΔN}+\mathrm{\δ\ΔT}---\left[9\right].$

这种经调制的折射率变化诱发经调制的探针反射，即PMOR信号，这将在下文中进一步描述。公式[9]符合针对PMOR惯常使用的光学模型。然而，必须记住公式[9]假设BGN对复数折射率的影响是可忽略的。这与展示本发明实施例的实验中讨论的实验PMOR数据达成可接受的一致。

现在讨论对经调制的反射率PMOR建模的理论考量。

公式[9]给出通过泵浦激光器产生的最终调制的折射率。该公式中隐含着所有调制的组成对深度的依存性。这里，探针激光器的最终调制的反射是在给定普通入射探针激光器和处在空气中的系统的某一经调制的折射率分布的情况下推导出的。考量三种情形。首先，研究均质样本。在这种情形下，经调制的折射率仅在顶表面处变化。其次，考虑箱形折射率分布的情形，其中经调制的折射率表现出两次突然变化，一个在顶表面而另一个在被称为结深度的深度X_j处。最终，对经调制的折射率的一般分布形状推导出一公式。

首先，讨论由在样本中各处均平坦的经调制折射率造成的经调制反射。在Si中的TP和CI的情形下，这会是均质掺杂的硅样本的情形，只要在过量载流子和过量温度下随深度的变化是可忽略的。可以证明这些变化在探针波长λ_probe的标度下实际上很小(参见章节IV中的典型扩散长度标度)。使用菲涅耳反射方程并忽略Δn或Δk的所有二阶项，反射率为：

其中R₀、n₀和k₀分别是反射系数、(实数)折射率和消光系数，它们均处于平衡状态。给定在Si中的红波长和NIR波长下k₀<<n₀，则均质半导体样本上的最终PMOR信号简单地表示为：

${\frac{\mathrm{\&Delta;R}}{R_0}|}_{\mathrm{homogeneous}}=\frac{R-R_0}{R_0}$

$=\frac{4}{(n_0^2-1)}\mathrm{\&Delta;n}---\left[11\right]$

有趣地注意到，Δk未曾出现在公式[11]中。这不是公式[9]的结果，而是Δk的影响始终与k₀成比例这一事实的结果，在红光域和NIR光域内，k₀在硅中非常小。换句话说，即便其存在，Δk永远不会对红光域和NIR光域内的均质硅样本的经调制反射产生重大的影响。

Seraphin已通过直接对菲涅耳反射公式求微分而推导出同一问题的替代公式。注意，在红光域和NIR光域内诸如Si的弱吸收介质的情形下，Seraphin的α系数占优势地位并等于这易于检查两个公式是等同的。

现在考虑仅具有两个突然瞬变（transition）的经调制折射率分布(箱形分布)的问题，所述两个突然瞬变一个在顶表面而另一个在结深度X_j处。由于下面讨论的实验中的这一分布形状将是在箱形掺杂分布上经调制的折射率分布，因此这是一种诱人的情况。

所研究的情况示出于图7。图7示出箱形调制的折射率分布，该折射率分布示出了分别在表面和界面上的两个突然的变化，由此该界面位于被假设为远小于探针激光器的渗透深度(1/α_probe)的深度Xj上。经调制的折射率在箱体内具有值Δn_l+iΔk_l，并在层下具有值(Δn_sub+iΔk_sub)。处于平衡下的样本的折射率是均一的并等于(n₀+ik₀)。如果人们假设经调制的折射率的量级过小而无法在箱体内造成多重反射，则经调制的反射仅仅是分别在表面和界面处发生的两个反射的相干和。此外假设X_j远小于探针激光器的渗透深度1/α_probe，则总反射率为：

$R={|{\tilde{r}}_l+{\tilde{r}}_{\mathrm{sub}}{{\tilde{t}}_l}^{\&UpArrow;}{{\tilde{t}}_l}^{\&DownArrow;}\exp (4\mathrm{i\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})|}^2$

$=R_0\{1-\frac{4}{{(1-n_0^2+k_0^2)}^2+4n_0^2{k}_0^2}[(1-n_0^2+k_0^2).$

$(\mathrm{\&Delta;}{n}_l-\cos (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;n}}_l-{\mathrm{\&Delta;n}}_{\mathrm{sub}}))+\sin (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;k}}_l-{\mathrm{\&Delta;k}}_{\mathrm{sub}})$

$-2k_0{n}_0({\mathrm{\&Delta;k}}_l-\sin (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;n}}_l-{\mathrm{\&Delta;n}}_{\mathrm{sub}})-\cos (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;k}}_l-{\mathrm{\&Delta;k}}_{\mathrm{sub}}))\left]\right\}$

[12]

其中是分别在表面和界面处的反射系数，和是分别对于射入光和射出光的透过表面的透射系数。折射率变化的所有二阶项被忽略。再次假设k₀<<n₀，经调制的反射率为：

$\frac{\mathrm{\&Delta;R}}{R_0}=\frac{4}{(n_0^2-1)}\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;n}}_l-\cos (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;n}}_l-{\mathrm{\&Delta;n}}_{\mathrm{sub}})+\\ \sin (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;k}}_l-{\mathrm{\&Delta;k}}_{\mathrm{sub}})\end{array}\right)---\left[13\right]$

公式[13]指出对于载流子诱导的BGN效果计算出的消光系数的变化将很强程度地影响PMOR信号的Xj依存性。对于纯余弦依存性，这将叠加大致相等振幅的正弦依存性。仍然，在实验中表明实验数据呈余弦特性。计算出的消光系数的变化因此必须被很强程度地高估，如前面已指出的那样。

换句话说，忽略消光系数的变化，经调制的反射变为：

${\frac{\mathrm{\&Delta;R}}{R}|}_{\mathrm{box}}=\frac{4}{(n_0^2-1)}({\mathrm{\&Delta;n}}_l-\cos (4\mathrm{\&pi;}{n}_0{X}_j/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})({\mathrm{\&Delta;n}}_l-{\mathrm{\&Delta;n}}_{\mathrm{sub}}))---\left[14\right]$

要注意，如果X_j=0，则公式[14]很好地还原至公式[13]。其次，由于表面和界面反射之间的干扰，即便经调制的折射率在任何地方都是正的，箱形分布上的PMOR信号也可以是负的。这非常地不同于均质样本的情形，在那种情形下经调制的反射的符号一直遵循Δn的符号。

最终，同样值得强调的是已假设只有经调制的折射率在界面处表现出变化。平衡折射率事实上被认为是均一的。有迹象表明，平衡自由载流子(即由有效掺杂物引起的)对PMOR信号的影响是可忽略的。

在任意调制的折射率(任意分布)的情形下，经调制的反射是在外形的所有深度z发生的反射的相干和。在与推导出公式[14]所需的那些相同的假设下，有迹象表明PMOR信号表示为：

${\frac{\mathrm{\&Delta;R}}{R}|}_{\mathrm{profile}}=\frac{4}{(n_0^2-1)}[\mathrm{\&Delta;n}(z=0)+\underset{0+}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;n}\left(z\right)}{\&PartialD;z}\cos (4\mathrm{\&pi;}{n}_{0}z/{\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{probe}})\mathrm{dz}]---\left[15\right]$

可以容易地检查出在箱形分布的情形下公式[15]还原为公式[14]。

要提及的是，Aspnes已将Seraphin调制反射理论归纳至空间(深度)依存的经调制折射率。当前公式与Aspnes公式的等同性能通过对公式[15]部分求积分而轻易地证明。如同在Aspnes公式中那样，这导致被积函数与经调制的折射率Δn(z)成比例，而不是与其一阶导数成比例。注意，从实践上说，公式[15]比Aspnes公式更适于数值积分。

下面将讨论在均质硅衬底中和随后在掺杂层中的电热传输理论。

从前面清楚地看出，为了理解硅上PMOR信号的特性，需要推导出由泵浦激光器产生的过量载流子和温度分布。这里，泵浦激光器光束下过量载流子和热的传输理论就是均质掺杂的硅样本的情形。有迹象表明，没有传输发生在浅掺杂层中。载流子和热传输发生在材料的体积中。在体积中传输后，静电现象对具有过量载流子的层充电。另外看来，在PMOR框架中几乎尚未对热电效应进行过讨论。Wagner将这些效应后验地纳入到他的模型中以表明它们应当是可忽略的。Opsal也研究了载流子的热扩散效应(类似于塞贝克效应)。然而，只有恒定的热扩散系数被考虑。这里，这些热电效应被后验地考虑在内并在随后始终表明何时它们是可忽略的。带隙变窄准漂移也被包含在用于载流子传输的广义双极扩散方程中。讨论所获得的方程的一维和三维解。一维解通过解析表达式提供对载流子和温度特性的定性理解。该三维解给出定量但数值的信息。PMOR的光学模型和传输模型两者涉及调制，因此涉及复数表示。首先，由于在探针激光器光学频率下的电磁场调制，光学模型使用复数折射率。其次，传输模型隐含表示泵浦功率的调制。泵浦产生的过量载流子和温度因此也被写成复数。显然，这两种复数表示不应当被混淆或搞混。幸运的是，对Si不存在含糊性。事实上，公式[9]、[11]、[14]和[15]中概括的Si上的PMOS的光学模型是纯实数的。最终模型中的仅有复数表示将因此关联于过量载流子和温度在泵浦功率的调制频率下的时变。

首先讨论过量载流子方程。热动力学模型是包括热电效应的漂移扩散模型的扩展，即温度和载流子之间的相互作用。这里使用由Kells介绍的模型。该模型中的主要假设是电子和空穴应当与晶格热平衡(电子温度T_n、空穴温度T_p和晶格温度T是相等的)。如果调查的时间标度不短于几皮秒(即热载流子的热化时间)，这种假设对硅来说是可接受的。此外，假设没有热载流子产生。这里考虑可通过低过量温度来使假设正当化。另外，假设均质诺曼边界条件。这假定可忽略的表面再结合，它一般不属于这种情况。这种理论因此假设所研究的表面是被钝化的。

模型可以是如下所述的。

Poisson方程以及电子和空穴连续方程可以其一般形式写成：

$\left\{\begin{array}{c}-{\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{lattice}}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\mathrm{\&psi;}=q(P-N+N_d^{+}-N_a^{-})---\left[16a\right]\\ \frac{\&PartialD;N}{\&PartialD;t}=\frac{1}{q}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}.{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_n+G-\mathrm{Rec}---\left[16b\right]\\ \frac{\&PartialD;P}{\&PartialD;t}=-\frac{1}{q}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}.{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_p+G-\mathrm{Rec}---\left[16c\right]\end{array}\right.$

其中ψ是静电势，N=N_DC+ΔN和P=P_DC+ΔP分别是总电子和空穴浓度，ΔN(对应于ΔP)和N_DC(对应于P_DC)分别是经调制的电子(对应于空穴)浓度以及时间依存的电子(对应于空穴)浓度。后者包括以平衡状态出现的载流子、由泵浦激光器的连续组成产生的载流子以及由探针激光器产生的载流子。为简化起见，在这次调查中N_DC和P_DC被假设为已知的平坦分布。具体地，贯穿整个当前理论考量地假设N_DC=|ΔN(0,0,0)|且P_DC=P₀+|ΔN(0,0,0)|，其中P₀是衬底掺杂浓度。位置(0,0,0)是笛卡尔坐标系的原点，在那里泵浦光束的中央射线与空气样本界面相交。这减少了拟给出和求解的方程数，但不改变本理论聚焦之所在的物理特性。然而，严格来说，耦合理论应当对于连续和经调制的过量载流子给出。和分别为离子化施主和受主的浓度。由于人们仅考量过量载流子的光学产生，因此总载流子产生项G=G[α_BTB]表示为：

G＝G[α_BTB]＝α_BTB(1-R₀)P_pumpexp(-α_BTBz)/(hv_pump)， [17]

P_pump（P_泵浦）是泵浦辐射。Rec是再结合率，包括SRH和俄歇（Auger）再结合两者。然而，TP和CI具有高的泵浦辐射，载流子诱导的再结合(俄歇)比直接诱导的再结合(SRH)更高效。这当然在高纯度的硅晶体中是绝大部分有效的。人们假设只有俄歇再结合。换句话说，总再结合率Rec=Rec[C_n,C_p]表示为：

$\mathrm{Rec}=\mathrm{Rec}[C_n,C_p]=C_{n}N(\mathrm{NP}-n_i^2)+C_{p}P(\mathrm{NP}-n_i^2)---\left[18\right]$

其中C_n和C_p是两个常数(在超高载流子浓度下这些常数中可能有的变化在此不予讨论)而n_i是本征载流子密度。注意：电子和空穴再结合率的相等性隐含地假设可忽略的陷获。和分别是电子和空穴电流密度。这些电流分别表示为：

其中μ_n和μ_p分别是电子和空穴迁移率。χ是所考量的半导体的电子亲和性。电子扩散率D_n和空穴扩散率D_p是通过对抛物线能带和费密-狄喇克统计的广义爱因斯坦关系式给出的：

$\left\{\begin{array}{c}{D}_n=\frac{k_{b}T}{q}\frac{F_{1/2}\left(\frac{E_{\mathrm{fn}}-E_c}{\mathrm{kT}}\right)}{F_{-1/2}\left(\frac{E_{\mathrm{fn}}-E_c}{\mathrm{kT}}\right)}{\mathrm{\&mu;}}_n---\left[20a\right]\\ D_p=\frac{k_{b}T}{q}\frac{F_{1/2}\left(\frac{E_v-E_{\mathrm{fp}}}{\mathrm{kT}}\right)}{F_{-1/2}\left(\frac{E_v-E_{\mathrm{fp}}}{\mathrm{kT}}\right)}{\mathrm{\&mu;}}_p---\left[20b\right]\end{array}\right.$

其中k_b是玻尔兹曼常数。E_c和E_v分别是导带和价带边缘。E_fn和E_fp分别是电子和空穴准费密能级。F_1/2和F_-1/2是费密积分。

在公式[19]中提出的电子和空穴电流两者包含四种组成。首先，寻常的漂移贡献考虑到在所施加的电场(在这里未考虑)和内部电场下电荷的移动。这种内部电场的两个例子在这里是重要的。这里研究通过移动具有相反符号的电荷分布产生的Dember电场。在这里也讨论二极管的内建电场。第二电流贡献是扩散组成，它考虑到电荷朝向低浓度区域的位移。第三，热动力学模型加上与温度梯度成比例的电流项以体现塞贝克效应。最后BGN也包括准漂移电流以将亲和性梯度下的电子漂移以及亲和性和带隙两者的梯度下的空穴漂移考虑在内。事实上过去已表明BGN准漂移电流是正确地对PMOR建模所需要的。然而，如已提到的那样，载流子通过泵浦激光器的局部注入将导致能带结构中的局部变化。下文中表明该BGN诱导的漂移充当反扩散项。这些第三和第四电流贡献是载流子传输模型的特异性。

从载流子传输方程[16]开始，结合当前方程[19]，可将问题简化至一个方程，即广义双极扩散方程。为了达到这个目的，需要下面四个步骤。

第一种简化是电荷平衡假设。它假设经调制的电子和空穴分布在任何位置都是相等的(ΔN=ΔP)。这种假设已被用于光学模型中。它当然假设没有陷获。它也设想电子和空穴以同一速度扩散和漂移。

这可通过内部(Dember)电位进行解释，该内部电位是由各自的电子和空穴分布所产生的。该电位倾向于使电子减缓并使空穴加速以保持其密度在任何位置相等。在等温情形下，如果Debye长度远小于载流子扩散长度(在Si中一直如此)，该假设是有效的。在非等温情形下，人们也需要确保电子和空穴的塞贝克电流不会阻止电子和空穴的双极运动。另外，如果有下列情形，这种假设也是有效的：

$\frac{{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{lattice}}{k}_b}{q^2}\frac{{\&dtri;}^{2}T}{\mathrm{\&Delta;N}}<<1$

假设过量温度与特征长度L_th成指数地衰变，则上面的表达式变成：

$\frac{L_{\mathrm{Debye}}^2}{L_{\mathrm{th}}^2}\frac{N}{\mathrm{\&Delta;N}}\frac{\mathrm{\&Delta;T}}{T}<<1$

这在Si的情形下一直如此，尤其是在TP和CI的高载流子注入体系内(即使在高掺杂衬底的最坏情形下<10^-4)。

其次，假设BGN仅归因于所产生的自由载流子。在均质掺杂的半导体样本中，显然也是这种情形。在这种情形下，和 $\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}(\mathrm{\&chi;}+E_g)=\&PartialD;(\mathrm{\&chi;}+E_g)/\&PartialD;\left(\mathrm{\&Delta;N}\right)\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\left(\mathrm{\&Delta;N}\right),$ 且当前方程[19]可重写成：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_n=-q{\mathrm{\&mu;}}_{n}N\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\mathrm{\&psi;}+q{D}_n^{\mathrm{TOT}}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}N+k_b{\mathrm{\&mu;}}_{n}N\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T---\left[21a\right]\\ {\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_p=-q{\mathrm{\&mu;}}_{p}P\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\mathrm{\&psi;}-q{D}_p^{\mathrm{TOT}}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}P-k_b{\mathrm{\&mu;}}_{p}P\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T---\left[21b\right]\end{array}\right.$

具有总扩散率

[22]中的两个导数可使用例如Schenk的BGN模型来表达。BGN准电场因此充当反扩散项。牵涉到的附加项D_n ^BGN和D_p ^BGN事实上永久是负的，由此降低总载流子扩散率。

第三，使用当前公式[21]，公式[16b]和[16c]被相加并分别乘以空穴电导率qμ_pP和电子电导率qμ_nN。这给出广义双极扩散方程：

其中μ^*和D^*分别是双极迁移率和双极扩散率。方程[23]包含理解PMOR测量所需的所有载流子传输信息，不仅对硅如此，对允许电子和空穴的电热双极迁移的任何其它材料也是如此。

第四和最终简化在于忽略公式[23]中的各项中的三个。首先，忽略漂移项。事实上有迹象表明关联于Dember电位的漂移显著地小于扩散效应。另外注意，在高注入率下，给定载流子浓度所涉及的差异，双极迁移变得非常小。其次，公式[23]的最后两个(塞贝克)项被忽略，这两个项分别与过量温度的梯度和拉普拉斯算符成比例。假设电子和空穴具有相等的迁移率μ和相等的扩散率k_bTμ/q。在这种情形下，项变为：

$\frac{k_b}{q}\frac{{\mathrm{\&mu;}}_n{\mathrm{\&mu;}}_p(P+N)}{{\mathrm{\&mu;}}_{n}N+{\mathrm{\&mu;}}_{p}P}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\left(\mathrm{\&Delta;N}\right).\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T=\frac{k_b}{q}\mathrm{\&mu;}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\left(\mathrm{\&Delta;N}\right).\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T\&ap;D\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}\left(\mathrm{\&Delta;N}\right).\frac{\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T}{T}---\left[24\right]$

它小于扩散项，只要泵浦诱导的过量温度远小于室温。下文中表明，在TP和CI的功率范围内对硅衬底一直是这种情形。然而，对于例如Ge之类的其它高吸收性材料，可能预期该项是可观的。最后，对于项，可使用类似的推论以表明它通常是可忽略的。然而，这种结论能以更雅致的方式得到。使用时间依存的热方程，可以得到：

${\&dtri;}^{2}T=-\frac{({\mathrm{hv}}_{\mathrm{pump}}-E_g)}{k_{\mathrm{th}}}G-\frac{E_g}{k_{\mathrm{th}}}\mathrm{Rec}---\left[25\right]$

其中k_th是样本的导热性。假设对于两种类型的载流子具有相等的迁移率和扩散率，则因此可推算出：

换句话说，该项减少了载流子产生并增强了载流子再结合。然而，在硅的情形下，如果总电子或空穴浓度低于大约10²⁰cm^-3，该项小于载流子再结合和产生率的10％。因此可将该项忽略。然而，该项在非常高的掺杂或注入率下应当被考虑。这得出之前获得的结果，该结果确认了塞贝克效应在实验中从未被观察到，并因此相比还扩散项和再结合/产生率来说是可忽略的。

作为最终评语，精确建模的带隙的重要性被高度强调。注意公式[23]，事实上仅保留有三个传输参数要被正确地考虑，即俄歇再结合系数(C_n和C_p)、能带-能带吸收效率(α_BTB)以及双极扩散率(D^*)。首先，假设俄歇系数被精确地建模，即便在超高掺杂的情形下仍然存在争议。其次，已检查Smith模型以为宽范围的可见和IR波长内的未掺杂Si提供精确的能带-能带吸收系数。然而，已知该系数藉由BGN随着掺杂和注入率而变化。这些变化很不幸地已在文献中被核实。最终，双极扩散率也需要被正确地建模。其对于低掺杂p型和n型硅的实验特性可在文献中找到。容易表明，使用Klaassen迁移率和公式[20]，在实验和理论之间获得非常好的一致性。然而，这些实验数据不牵涉到公式[22]的BGN反扩散贡献。用于推导出这些值的实验配置诱导出事实上可忽略的载流子浓度梯度(大的光束尺寸和小的吸收系数)。换句话说，尽管可以检查不具有BGN效应的双极扩散率的模型的精确性，然而对具有BGN效应的模型进行验证是非常复杂的。由于这些效应牵涉到载流子浓度的梯度，这事实上需要监视双极扩散率随尺寸和波长的变化。结论是，在PMOR实验中的载流子传输对带隙中随着掺杂和注入的变化是非常敏感的。不幸的是，已有的BGN模型仍然表现出与实验数据的一些差异。

如已经提到过的那样，关于温度的主要假设是载流子和晶格温度的相等性。该热相等性则表示为：

$\mathrm{\&rho;}{c}_p\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=k_{\mathrm{th}}{\&dtri;}^{2}T+G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{direct}}+G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{recombination}}+G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{Joule}}+G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{Peltier}}+G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{Thomson}}---\left[27\right]$

其中ρ是Si的密度而c_p是其热容量。

第一热产生项是直接生热(热载流子热化)。该作用发生在任何载流子传输之前并表示为：

$G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{direct}}=G({\mathrm{h\&upsi;}}_{\mathrm{pump}}-E_g)---\left[28\right]$

其中假设是空能带。该项不包含在Kells模型中，因为Kells认为载流子是与晶格恒定热平衡的。在光产生的情形下，由于载流子一开始就产生对带隙过量的能量(hυ_pump-E_g)，因此这当然是不可能的。该过量的能量(在几皮秒后)被直接释放至晶格，这解释了该额外项的存在。这个项通常不被包含在市售数值仿真软件包中，这使得在研究PMOR时这些软件包的应用变得不可能。为了这个原因，撰写一自有的数值仿真代码(FSEM)。

此外，第二产生项是重结合热：

$G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{recombination}}=\mathrm{Rec}(E_{\mathrm{fn}}-E_{\mathrm{fp}}+\mathrm{qT}(P_p-P_n))---\left[29\right]$

其中假设玻尔兹曼统计的电子和空穴热电功率分别为P_n=-k_b/q(5/2-ln(N/N_c))和P_p=k_b/q(5/2-ln(P/N_v))。将这些公式带入到[29]得到：

$G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{recombination}}=\mathrm{Rec}(E_g+5\mathrm{kT})---\left[30\right]$

在热电功率的定义中使用玻尔兹曼统计已隐含地修正了过量载流子对能带填充的影响。如对于直接加热所提到的，当开始生热时考虑空能带。由于公式[30]的5kT项关联于能带填充，必须将其忽略。此外，下面观察到为了节能也需将该项忽略。这与寻常建模是一致的。

接下去的三个产生项一般不被考虑，并且全部与电流的功率成比例。容易表明，它们在室温下都是可忽略的。使用所研究出的一维线性模型并假设低频扩散电流(即其中τ是载流子再结合寿命)和相等的空穴和电子迁移率，人们发现：

$\left|G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{Joule}}\right|=|\frac{{\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_n\right|}^2}{q{\mathrm{\&mu;}}_{n}N}+\frac{{\left|{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_p\right|}^2}{q{\mathrm{\&mu;}}_{p}P}|\&le;k_{b}T[\frac{\mathrm{\&Delta;N}}{N}+\frac{\mathrm{\&Delta;N}}{P}]\mathrm{Rec}\&le;\left({2k}_{b}T\right)\mathrm{Rec}---\left[31\right]$

$\left|G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{Peltier}}\right|=|-T[{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_n.\frac{\&PartialD;P_n}{\&PartialD;N}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}N+{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_p.\frac{\&PartialD;P_p}{\&PartialD;P}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}P\left]\right|\&le;k_{b}T[\frac{\mathrm{\&Delta;N}}{N}+\frac{\mathrm{\&Delta;N}}{P}]\mathrm{Rec}\&le;\left({2k}_{b}T\right)\mathrm{Rec}---\left[32\right]$

$\left|G_{\mathrm{th}}^{\mathrm{Thomson}}\right|=|-T[{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_n.\frac{\&PartialD;P_n}{\&PartialD;T}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T+{\stackrel{\&RightArrow;}{J}}_p.\frac{\&PartialD;P_p}{\&PartialD;T}\stackrel{\&RightArrow;}{\&dtri;}T\left]\right|\&le;\left(k_b\mathrm{\&Delta;T}\right|\ln \left(\frac{\mathrm{NP}}{N_c{N}_v}\right)\left|\sqrt{\frac{D}{2D_{\mathrm{th}}}\mathrm{\&omega;\&tau;}}\right)\mathrm{Rec}---\left[33\right]$

其中ω是泵浦角调制频率。在室温下，这三个热产生项因此仅考虑再结合热的几个百分点并因此可被忽略。也有迹象表明，对于高频电流，这些效应相比瞬变效应而言是可忽略的。

确保节省系统的总能量是必要的。在样本体积上整合的直接生热和再结合贡献之和等于输入的光(非反射的)能量。然而，在焦耳、珀耳帖和/或汤姆森效应不可忽略的情形下，确保节能不是微不足道的。

最后，对热传输的最佳建模所要控制的传输参数进行讨论。硅的密度、热容量和导热性是公知的参数并且不依赖于掺杂或注入(通过Si中的光子的热传导)。仅存的参数是能带-能带吸收系数和带隙能量。已讨论过两个参数的模型的精确性。总之，缺乏100％精确的BGN模型不管对载流子还是热传输而言显然都是这个模型的缺陷之一。

拟求解方程的耦合系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;N}}{\&PartialD;t}=D*{\&dtri;}^2\left(\mathrm{\&Delta;N}\right)+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{BTB}}(1-R_0)P_{\mathrm{pump}}(x,y,t)\exp (-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{BTB}}z)/\left(h{v}_{\mathrm{pump}}\right)---\left[34a\right]\\ +G^{\mathrm{probe}}-\mathrm{Rec}[C_n,C_p]\\ \mathrm{\&rho;}{c}_p\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=k_{\mathrm{th}}{\&dtri;}^{2}T\\ +{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{BTB}}(1-R_0)P_{\mathrm{pump}}(x,y,t)\exp (-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{BTB}}z)({\mathrm{hv}}_{\mathrm{pump}}-E_g)/\left({\mathrm{hv}}_{\mathrm{pump}}\right)---\left[34b\right]\\ +\mathrm{Rec}[C_n,C_p]E_g\end{array}\right.$

首先对一维线性解进行讨论。为了理解物理下层方程[34]，对泵浦激光器在一维(横向)硅样本上x＝0处的线性问题进行解答。通过线性问题，这意味着再结合率被假设为随着过量载流子浓度线性地变化，即Rec＝ΔN/τ，其中τ是载流子再结合寿命。线性也暗示双极扩散率被假设为与过量载流子浓度无关。具体地说，考虑D^*＝8cm²s^-1，这是在低掺杂Si样本中10¹⁸cm^-3的载流子注入的典型值。

泵浦辐射为P_pmpexp(iωt)，即吸收的光子通量为J_absorbed=J₀exp(iωt)=(1-R₀)P_pump/(hv_pump)exp(iωt)。泵浦产生两种分布，分别被称为等离子波和热波该问题是线性的，这两种分布具有与泵浦相同的调制频率，即它们分别表示为和ΔN(x)和ΔT(x)是下列方程的解：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{i\&omega;\&Delta;N}=D^{*}\frac{{\&PartialD;}^2\mathrm{\&Delta;N}}{{\&PartialD;x}^2}-\frac{\mathrm{\&Delta;N}}{\mathrm{\&tau;}}---\left[35a\right]\\ {\mathrm{\&rho;c}}_p\mathrm{i\&omega;\&Delta;T}=k_{\mathrm{th}}\frac{{\&PartialD;}^2\mathrm{\&Delta;T}}{{\&PartialD;x}^2}+E_g\frac{\mathrm{\&Delta;N}}{\mathrm{\&tau;}}---\left[35b\right]\end{array}\right.$

在x＝0处分别具有下列诺曼边界条件(在泵浦光束下)：

$\left\{\begin{array}{c}-D^{*}{\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;N}}{\&PartialD;x}|}_{x=0}=J_0---\left[36a\right]\\ -k_{\mathrm{th}}{\frac{\&PartialD;\mathrm{\&Delta;T}}{\&PartialD;x}|}_{x=0}=J_0({\mathrm{hv}}_{\mathrm{pump}}-E_g)---\left[36b\right]\end{array}\right.$

这两种非均质诺曼边界条件各自包含关于泵浦载流子产生和直接热产生的信息。这种问题的最终解表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;N}\left(x\right)=\frac{J_0}{D^{*}{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{pl}}}\exp (-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{pl}}x)---\left[37a\right]\\ \mathrm{\&Delta;T}\left(x\right)=\frac{J_0}{k_{\mathrm{th}}}\left[\begin{array}{c}\frac{({\mathrm{hv}}_{\mathrm{pump}}-E_g)}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{th}}}\exp (-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{th}}x)+\\ \frac{E_g}{L_{\mathrm{pl}}^2({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{th}}^2-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{pl}}^2)}(\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{pl}}}\exp (-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{pl}}x)-\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{th}}}\exp (-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{th}}x))\end{array}\right]---\left[37b\right]\end{array}\right.$

其中D_th=k_th/(ρc_p)是热扩散率，和σ_th=(1+i)/L_th分别是等离子波和热波矢量，和是它们各自的低频扩散长度。

所有有关这些阻尼波或扩散波领域的定性物理量包含在公式[37]中。图8示出这两种阻尼波在用于改变载流子再结合寿命的激光束下的振幅[对应于|ΔN(0)|和|ΔT(0)|]和相位[对应于和]的特性。也示出载流子和热扩散长度(对应于和)和波长(对应于λ_pl和λ_th)的变化。调制频率为1MHz，激光器光子能量和辐射分别为1.57eV和0.76MW.cm^-2。样本是裸Si，由此E_g是1.06eV，ρ=2.3×10^-3kg.cm^-3，c_p=700J.kg^-1K^-1而k_th=1.3W.cm^-1K^-1。在这些图表中可标识出两个不同体系。首先，在短寿命体系中或再结合受限的体系(对应于高掺杂或高注入Si)中，只有热波表现出类波特性。等离子波是指数衰变的(零相位和无限波长)。其次，在长寿命体系中或扩散受限体系中，等离子波和热波具有非常相似的类波特性。短寿命和长寿命下给出的参数的渐近特性也示出于图8。

为完整起见，注意图8中出现的数量级很强程度地关联于该例的一维特征。如下一示例中所示，等离子波和热波两者的振幅在三维几何方面很强程度地减小(大约小三个数量级)。这可归因于扩散的额外的两个自由度。至于相位，它紧密地关联于吸收的类型(是否表面限制的)。因此相位当改变维数时也改变。最终，扩散长度和波长也在三维问题方面减小。然而，这种变化小于一个数量级。

为了就三维轴对称样本对方程(34)求解，人们或者诉诸数值模拟或者诉诸解析解，如Mandelis在格林函数形式下研究出的。在其中可忽略BGN的TP系统的情形下对这些结果的比较将是有利的。对于数值模拟，这依赖于由作者研发的FSEM、有限元包。对于解析解，来自文献的解已被实现。即使文献中的解是线性方程的解，也已后验地在牛顿环中引入非线性。为此，该公式被称为半解析公式。仅存的假设是总双极扩散和再结合率具有有效的均一值。

所获得结果如图9所示，图9绘出在样本表面(z=0)处、在光束下(x=y=0)的振幅和相位以及等离子波和热波的横向扩散长度和波长。半解析公式和数值公式之间的不一致很容易通过推导出半解析解所需的额外假设予以解释。然而，良好的总协定是两个解均为有效的指示，即数值误差仅限于数值方法并且用于解析解的假设是可接受的。图9所示的值是通过将在样本表面处获得的理论结果与典型的一维扩散波域拟合而获得的，即这种类型的分布D(x)：

其中D₀和分别是光束下波的振幅和相位，L和λ分别是其扩散长度和其波长。

如图9中突出显示的那样，示出四种不同的体系。首先，在体系1(低掺杂)中，可观察到扩散受限的体系。这非常有趣，因为这意味着TP在低掺杂Si衬底中对再结合不敏感(或非常弱微的敏感)。因此在这个体系中其与掺杂浓度无关。其次，在体系2、3(中度掺杂)中，再结合开始首先影响等离子波(掺杂>10¹⁷cm^-3)并随后影响热波(掺杂>5×10¹⁸cm^-3)。在这两个体系中，等离子波的非预期特性(在一维解中未观察到的拐点)可由通过掺杂的再结合增长和双极扩散率的同时减少之间的良好平衡来解释。最终，在体系4(高掺杂)中，等离子波进入再结合受限的体系。对于所有四个体系的简化方程也示出于图9中。

分析这些三维非线性等离子波和热波对BGN的敏感性。假设没有BGN的话，事实上获得图9中绘出的结果。然而，公式[34]的一些系数，即α_BTB、D^*当然还有E_g本身，不随着带隙能量而改变。对10¹⁵cm^-3p型掺杂的半解析解进行调查。具体地说，研究包括在0Ev(如上所述)和2.0×ΔE_g ^Schenk之间的BGN范围，即通过Schenk BGN模型获得的BGN值的两倍。必须强调整个模型(包括在公式[22]中出现的衍生模型)按范围在0-2.0的因数来缩放并被插入到非线性环中。这实际上也考虑到Schenk BGN模型中可能的定量误差。这里考虑等离子诱导的BGN。这种效果可通过Schenk模型考虑，但尚未在实验室作出检验，这与掺杂诱导的BGN相反。

结果在图10中示出。最重要地，等离子波振幅的非常强的敏感性在图10a中示出。相比前面的结果，可以看出，对2.0×ΔE_g ^Schenk的BGN值可获得几乎一个数量级的差。很容易表明，主要效果是由双极扩散率的变化造成的。这种强烈的依存性是双极扩散率和过量载流子浓度之间正反馈的结果。首先，过量载流子浓度随着双极扩散率减小而增加[见图8a中的渐近特性]。其次，D_n ^BGN和D_p ^BGN随着载流子浓度而增加[公式[22]]，因此降低双极扩散率。因此，纯非线性效果是等离子波对BGN的强敏感性的解释。总之，即便是BGN值的微小误差对均质掺杂的Si衬底上PMOR的定量建模来说也是不可接受的。

前面的传输模型现在朝向掺杂层延伸，即有效掺杂的硅表面的情形。有迹象表明，过量载流子和温度分布能从体积(在掺杂表面以下)中完成的传输计算中容易地推导出。

为了预测例如图11所描述的掺杂层上的PMOR信号，人们应当在理论上求解方程[16]。与均质情形的主要区别是必须将额外电场考虑在内，即由未经补偿的离子化掺杂物原子造成的内建电场。事实上，有效(即退火的)掺杂分布的内建电场很强程度地修正了结区域和较浅区域内载流子的特性。这显然使双极扩散方程失效。

然而，通过使用四种假设，可推导出具有例如在现代CMOS晶体管中需要的超浅有效掺杂分布(结深度X_j<100nm)的样本上的载流子和热传输方程的简化但完整的解。首先，假设100％有效掺杂的层。无效掺杂物事实上以复杂的方式修正了PMOR特性。第二和第三，假设热和载流子的产生是与掺杂分布无关的。这假定泵浦激光束的渗透深度比X_j长很多，对超浅结(USJ)上的TP和CI就是这种情形。结果，只需要求解衬底中的热传输(公式[34b])，忽略了层的效果。至于衬底(子结)区域内的载流子传输，假设没有掺杂层(公式[34a])，它也只需被求解一次。第四和最后一个假设是电子和空穴准费密能级通过空间电荷区的平坦性。准费密能级通常在高电导率区域内是平坦的，不管自由载流子来自掺杂还是光学注入。为使电流流动[其中i=n或p]，实际上不需要使准费密能级弯曲。换句话说，考虑使半导体在各个位置均具有金属特性。文献中已记载了对这种假设的有效性的一种更全面的研究。

基于这四种假设，可以下列方式理解USJ上光学产生的自由载流子和热的传输。首先，在低掺杂的衬底中产生热量，该热量根据公式[34b]扩散。此外，已知掺杂在室温下对Si的热属性具有可忽略的影响，最终过量温度是与层无关的。其次，同样地，过量载流子在衬底中产生，在衬底中载流子根据公式[34a]向双极扩散并再结合。衬底中的最终过量载流子分布因此是与层无关的。至于层中的过量载流子浓度，可通过对假设平坦的准费密能级的泊松方程求解来进行估算。换句话说，在该层中不存在载流子传输。在载流子在衬底中传输之后，静电现象对具有过量载流子的层充电。

为了确定掺杂层内的过量载流子浓度，人们必须对静电现象求解，即泊松方程。然而，使用p-n积是等效的并且简单得多。在每个深度z，p-n积表示为：

在掺杂层和衬底中均使用公式[39]给出对层中的过量载流子浓度的一种简单表示。为了这个目的，这里假设具有掺杂N_act(z)的p型层。首先，在掺杂层中，多子空穴浓度是P(z)=N_act(z)+ΔN_l(z)，而少子电子浓度为N(z)=ΔN_l(z)。第二，在高注入衬底中，N(z)=P(z)=ΔN_sub。可使用层中或衬底中分别取公式[39]的比例来获得依赖于深度的过量载流子浓度。

$\frac{(N_{\mathrm{act}}+\mathrm{\&Delta;N}\left(z\right))\mathrm{\&Delta;N}\left(z\right)}{\mathrm{\&Delta;}{N}_{\mathrm{sub}}^2}=\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_p^l\left(z\right){\mathrm{\&gamma;}}_n^l\left(z\right)}{{\mathrm{\&gamma;}}_p^{\mathrm{sub}}{\mathrm{\&gamma;}}_n^{\mathrm{sub}}}\exp (-\frac{E_g^l\left(z\right)-E_g^{\mathrm{sub}}}{k_{b}T})---\left[40\right]$

其中(对应于)和(对应于)是如前定义的分别在层中和衬底中的电子(对应于空穴)费密因数，和分别是层和衬底中的带隙能量。

对ΔN(z)求解公式(40)，人们得到：

$\mathrm{\&Delta;N}\left(z\right)=0.5(-N_{\mathrm{act}}\left(z\right)+\sqrt{N_{\mathrm{act}}^2\left(z\right)+4\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_p^l\left(z\right){\mathrm{\&gamma;}}_n^l\left(z\right)}{{\mathrm{\&gamma;}}_p^{\mathrm{sub}}{\mathrm{\&gamma;}}_n^{\mathrm{sub}}}\exp (-\frac{E_g^l\left(z\right)-E_g^{\mathrm{sub}}}{k_{b}T})\mathrm{\&Delta;}{N}_{\mathrm{sub}}^2})---\left[41\right]$

从公式[41]，人们能发现ΔN(z)在多数情况下随着N_act(z)增加而减小。这解释了图11中所示单调增加的过量载流子分布。

在公式[41]的推导中已作出三个额外的隐式假定。首先，已假设Debye长度远小于分布的特征长度(结深度和衰变长度)。所使用的p-n积假定一正在消失的Debye长度，它对于所考虑的高掺杂浓度和高注入是有效的。其次，不管在结处的强电场，过量电子和空穴浓度已被假设为在各个位置是相等的。这也关联于非常短的Debye长度。该电场仅出现在结周围的纳米宽的区域内。在该区域中，电子和空穴具有略微不同的浓度，但这种不同对于例如TP或CI探针激光器的长波长是不可见的。最后，也假设衬底过量载流子浓度在的X_j标度下是平坦的(见图11)。这关联于泵浦的渗透深度并且等离子波扩散长度比X_j长很多。

注意由于掺杂的层中不存在传输，公式[41]在每个横向位置是有效的。这对理解PMOR偏移曲线来说是重要的。其次，假设所产生的载流子的时间依存特性，推导出公式[41]。对时间依存的过量载流子的概括不是无关紧要的并且将在别处予以讨论。这里建议一种简化的解，假设由泵浦激光器的连续和时间依存的组成产生的过量载流子具有相等的振幅。给定介电弛豫时间τ_d=ε/σ在Si中是1皮秒数量级，对于TP和CI两者而言，对具有过量载流子的掺杂层的充电比PMOR(~1/ω)的特征时间快很多地发生。层充电因此被认为与衬底充电同时发生。如果人们进一步假设X_j远小于等离子波长，则层中的过量载流子与衬底中的过量载流子同相。换句话说，经调制的过量载流子浓度的振幅是使用公式[41]计算的，并且其相位被认为等于衬底中经调制的过量载流子的相位。这种见解是理解在有效掺杂分布上PMOR信号的相位特性所必需的。作为最终评语，需要指出在公式[41]中，BGN再次扮演一重要角色。这表示对于BGN的定量模型对最佳地理解PMOR信号是何等关键。

基于前述模型，现在对解释使用TP和CI工具两者测得的PMOR信号的公式进行讨论。理论首先被简化至箱形有效掺杂分布的情形。这种类型的分布的特征在于，均一的有效掺杂N_act下降至某一深度X_j，低于这个深度X_j掺杂消失。有迹象表明，当掺杂和/或结深度改变时，这种理论可解释信号在这些箱形分布上的特性。为了进一步确认模型的有效性，有迹象表明它能解释功率曲线和偏移曲线的特性。

在第一部分，提供理论性考量。对于箱形有效掺杂分布，层ΔN_l中的过量载流子浓度是均一的。将公式(9)和(14)组合，人们得出：

[42]

已假设过量温度在层和衬底中都是一样的。这当然仅对比热扩散长度浅得多的层有效。箱形有效掺杂分布上的PMOR信号因此看上去像三组成信号。第一组成是层等离子组成，它关联于掺杂层中的过量载流子浓度。这种组成在均质样本上永远具有等离子组成的相。第二组成是衬底等离子组成，它关联于衬底中的过量载流子浓度。由于表面和界面调制反射之间的干涉，这种组成的符号可根据结深度而改变。其相位因此要么与均质样本上的相同，要么有180°的相位差。这意味着PMOR信号中的180°相位变化不仅可归因于热-等离子瞬变(就像在均质掺杂的Si上那样)也可归因于衬底-等离子与层-等离子瞬变。这尤其发生在泵浦功率改变时，如CI功率曲线中示出的那样(章节VI.a)。第三和最后一个组成是热组成，它与均质硅衬底上的热组成一样。

层中的过量载流子浓度遵循公式[41]，

$\mathrm{\&Delta;}{N}_l=0.5N_{\mathrm{act}}(-1+\sqrt{1+4\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{\mathrm{sub}}^2}{N_{\mathrm{act}}^2}})---\left[43\right]$

其中假设具有玻尔兹曼统计且没有BGN。在两种情形下，这个公式可被进一步简化：(i)当层掺杂高于衬底注入时，和(ii)当层掺杂低于衬底注入时。

(i)ΔN_sub/N_act＜1。在TP和CI中，这种情形下有效掺杂浓度高于约10¹⁹cm^-3。公式[43]然后可在中扩展至一阶以获得：

$\mathrm{\&Delta;}{N}_l=\frac{\mathrm{\&Delta;}{N_{\mathrm{sub}}}^2}{N_{\mathrm{act}}}\mathrm{if\&Delta;}{N}_{\mathrm{sub}}^2/N_{\mathrm{act}}^2<<1---\left[44\right]$

组合公式[42]和[44]，箱形有效掺杂分布上的最终PMOR信号表示为：

[45]

这是我们最终的模型公式。

为完整起见，等离子波和热波各自的相位已被相加。在这里已假设分别在衬底和层中的过量载流子浓度的相位相等。

(ⅱ)ΔN_sub/N_act>1。这在TP和CI中对应于比将近10¹⁸cm^-3更低的有效掺杂浓度。公式[43]然后可在中扩展至一阶，其给出：

$\mathrm{\&Delta;}{N}_l^{\mathrm{ld}}=\mathrm{\&Delta;}{N}_{\mathrm{sub}}-\frac{N_{\mathrm{act}}}{2}\mathrm{if}{N}_{\mathrm{act}}^2/\mathrm{\&Delta;}{N}_{\mathrm{sub}}^2<<1---\left[46\right]$

公式[42]和[46]的组合解释了低掺杂层上的PMOR的特性。

图12示出在三组样本即CVD2、CVD3和CVD5上实验观察到的PMOR(TP)信号。总地来说，所有这三个组由具有相同掺杂浓度和不同结深度的B掺杂的化学汽相沉积(CVD)生长的箱形掺杂分布构成。有效掺杂浓度分别为~2.5×10¹⁹cm^-3(CVD2)、~5×10¹⁹cm^-3(CVD3)和~7×10¹⁷cm^-3(CVD5)。

图12还示出拟合曲线，该拟合曲线假设衬底等离子组成和热组成是在图9的低掺杂衬底上获得的那些。用于拟合的公式对于CVD2和CVD3是公式[45]而对于CVD5是公式[42]和公式[46]的组合。所获得的N_act值，即仅有的拟合参数，大约比实际有效掺杂浓度小一个数量级。实际上，获得9×10¹⁷cm^-3(CVD2)、1×10¹⁸cm^-3(CVD3)和8×10¹⁶cm^-3(CVD5)。作为参考并突出理论和实验之间的量的不一致，也示出了N_act=5×10¹⁹cm^-3的理论特性(图12中的虚线余弦线)。这些不一致可归因于假设的玻尔兹曼统计以及忽略的BGN。注意，考虑BGN对费密-迪拉克统计的使用提高了一致性但仍然不是令人满意的，因为缺乏BGN的定量模型(见下面的敏感性分析)。

即便实验和理论在量上是不一致的，它们显然在质上是一致的。首先，当结深度变化时，实验和理论曲线两者遵循余弦特性。具体地说，余弦线在X_j=44nm处到达其最小值，这事实上对TP来说是预期中的(λ_probe/(4n₀)=44nm)。这表明，如前面假设的那样，在硅的PMOR测量期间的消光系数变化是非常小的(对复数折射率的可忽略的BGN效果)。其次，对于非常小的X_j，所有曲线朝向在低掺杂衬底上测得的信号收敛，这确认了衬底过量载流子浓度和温度的层无关性。最终，如从公式[45]预期的那样，余弦线的振幅随着有效掺杂浓度而增加。

为了简化也分析N_l对BGN的敏感性——假设玻尔兹曼统计和ΔN_sub/N_act<1。公式[41]则变成：

公式[47]表示BGN对N_l的影响是双重的。第一贡献是衬底贡献，其中BGN藉由N_sub(见图10)间接影响N_l并藉由E_g ^sub直接影响N_l。第二贡献是层贡献，其中BGN藉由层E_g ^l中的带隙影响N_l。对均质Si以如前相同方式调查BGN的效果。在0eV和2.0×ΔE_g ^Schenk之间研究的所包括的BGN范围。图13示出对于10²⁰cm^-3层掺杂浓度的结果。先验地，对N_l而言，对BGN的敏感性比对N_sub而言更强。然而，如通过虚线表示的那样，衬底BGN作用对N_l具有很小的影响。由于公式[47]的指数依存性，N_l可在多个数量级变化，但这是由层BGN贡献造成的。由于这种作用大多数起因于(低注入层的)有效掺杂，即它是掺杂诱导的BGN，因此可假设层BGN上的误差很小。换句话说，如果仅有的错误BGN贡献是衬底NGN贡献，那么这种分析表明在层等离子组成上产生的误差小于在衬底等离子组成产生的误差(因数2相对于因数10)。

公式[45]被用来解释CI功率曲线和TP偏移曲线。当泵浦功率改变并当激光束分离时，公式[45]也能预测PMOR的特性。

基于前面的内容，现在讨论PMOR结果，其示出本发明实施例的特征和优势。CI是一种低频PMOR技术，它具有改变泵浦功率的能力，这导致所谓的功率曲线。假设该相位仅为0°或180°。具体地说，如果相位是180°则CI信号的符号被定义为正，如果相位是0°则被定义为负。换句话说，使用公式[45]，箱形掺杂分布上的CI信号可写成：

[48]

其中G_CI是CI信号的归一化因数。该公式用来定性地解释CVD2和CVD3上的CI信号的特性。测得的功率曲线如图14所示。

首先讨论高掺杂情形(CVD3)。该功率曲线几乎是线性的，这表示衬底等离子组成是占优势地位的。这些功率曲线的斜率直接关联于测得的样本的结深度，并因此可用来确定该结深度。然而，方程(34a)的非线性以及热组成的出现可能对获得的深度值带来一些误差。

在中度掺杂情形(CVD2)下，浅层表现出类似的线性特性(白色背景)。然而，更深的层表现出很强的非线性功率曲线(带阴影的背景)。一些功率曲线甚至改变符号——对应于PMOR信号从180°至0°的相位瞬变。如前面提到的，这不归因于等离子-热瞬变。这种符号改变实际上是由层等离子组成的二次特性造成的。在某一泵浦功率下，这种正组成变得大于衬底等离子组成，衬底等离子组成随着衬底注入线性地增加。只有在衬底等离子组成为负时，这种瞬变才会发生。这只对大约在λ_probe/(8n₀)(~34nm)和3λ_probe/(8n₀)(~102nm)之间的结深度才是可能的。

为了定性地描述图14的实验功率曲线和公式[45]之间的良好一致性，在图15中，因变于衬底注入的PMOR信号的理论预期特性被标绘成在0与3×10¹⁸cm^-3之间的相关范围内的△N_sub。为简化起见并与文献达成可接受的一致，这里假设热组成占衬底信号的三分之一，即δΔT=(β/3)(1/m_e+1/m_h)ΔN_sub。可以看到，公式[45]正确地预测了对于介质(N_act=5×10¹⁸cm^-3)和高掺杂(N_act=1.5×10¹⁹cm^-3)两者的功率曲线的总特性。要注意，所选择的掺杂浓度在这里给出以作为参考并不需要任何理由(由于BGN的敏感性而不是定量的)。

对于文献中表示的低掺杂CVD层(CVD5)上的测得的功率曲线，可以看出公式[42]和[46]的组合非常好地解释了功率曲线的特性，此外还示出，可使用功率曲线的拐点来实现箱形掺杂分布的载流子分布。公式[45]示出该拐点的位置主要关联于ΔN_sub的非线性，并因此关联于双极扩散方程的非线性，即再结合率和双极扩散率随过量载流子浓度的变化。这解释了为什么这种技术已被证实在实践中难以实现。

为了证实公式[45]和观察到的实验数据之间的良好一致性，在激光束分离时(即偏移曲线)的情形下将理论性和实验PMOR信号进行比较。提醒一下，TP带有测量具有4m最大光束间距的偏移曲线的能力。不幸的是，尽管功率曲线的特性是直接由公式[45]给出的，但偏移曲线需要一些进一步的解释。如前面提到的，有效掺杂分布上的PMOR信号包括三个组成。然而，这三个组成不具有相同的横向特性。首先和其次，衬底等离子和热组成是最容易讨论的。由于假设它们不受掺杂层的影响，因此它们不过是在均质硅样本中发现的等离子波和热波。它们的横向特性因此如图9所示。第三，关于层-等离子组成，假设它也具有波长为λ_l而衰变长度为L_l的扩散波形式(方程[38])。该波长在层中和在衬底中应当是相同的，因为静电现象足够快以使层中的过量载流子浓度具有可忽略的时延。关于其衰变长度，给定公式[44]必须在任何横向位置保持有效(在层中没有扩散)，则要求：

$L_l=\frac{L_d^{\mathrm{pl}}}{2}---\left[49\right]$

注意公式[49]暗示L_l是与N_act独立的。这是由于一个事实，即忽略BGN并且假设玻尔兹曼统计。L_l对有效掺杂的实际(复杂)依存性在文献中是针对深度讨论的。

一种有趣的观察是，对于TP，所有三种信号组成的衰变长度具有相同的数量级。事实上，当衬底等离子扩散长度为(图9)，热扩散长度为(图9)，且层等离子衰变长度为L_l~1.5μm。TP信号对掺杂层的横向特性因此应当是这三个分量的衰变的微妙混合。相反，如果CI偏移曲线是可能的，则它们将主要示出两个等离子组成中的衰变，因为热扩散长度由于低调制频率长很多。

因变于泵浦探针光束间距x的最终TP信号表示为：

其中G_TP和θ_TP分别为TP信号的归一化因数和相位。在这里讨论的例子中，使用G_TP=1900和θ_TP=45°。

严格地，给定所有牵涉到的特征长度的有限值，对PMOR信号推导出的所有公式，包括公式[50]，应当在探针激光束的表面上被积分。由于这里研究的是信号的横向特性，因此积分在这里应当更为相关，但有迹象表明实验特性无需这些考量也能很好地由公式[50]再现。

借助解说，本发明的实施例不仅限于此，下面讨论TP偏移曲线的实验结果并将其于TP偏移曲线的理论特性作比较。在这些实验中，TP信号本身作为扩散波[公式(38)]。其横向特性因此被完全地表征为信号衰变长度和信号波长λ_signal。在本例中，通过定义，是通过因数exp(1)对振幅下跌所需的横向距离(即，它关联于振幅的偏移曲线的斜率)而λ_signal是相位旋转360°所需的横向距离(即，它关联于相位的偏移曲线的斜率)。在数学上，遵循公式[38]得到：

$L_d^{\mathrm{signal}}=-\frac{\left|\mathrm{TP}\right|}{\frac{\&PartialD;\left|\mathrm{TP}\right|}{\&PartialD;x}}---\left[51\right]$

以及

${\mathrm{\&lambda;}}_{\mathrm{signal}}=-2\mathrm{i\&pi;}\frac{\mathrm{TP}/\left|\mathrm{TP}\right|}{\frac{\&PartialD;\mathrm{TP}/\left|\mathrm{TP}\right|}{\&PartialD;x}}---\left[52\right]$

要注意，这些定义使信号衰变长度和信号波长两者均为负值。人们当然不会因为这种先验非物理可能性而感到迷惑，这只是这两个参数的数学定义的结果。显然，这三个信号组成的衰变长度和波长始终是正的。但PMOR信号是这三种组成的组合。其次，信号振幅有时可随着激光器间距而增加，即衰变长度可以是负的。类似地，信号相位有时可随着激光器间距而减小，即信号波长可以是负的。下面示出，虽然是非预期的，但这些情形是实验地观察到的并也可用当前模型来解释。

实验数据是通过(TP)系统收集的。前面谈到的其它测量是使用Carrier Illumination^TM(CI)系统作出的。TP和CI是PMOR的两种商业实现。在本例中，TP使用670nm(1.85eV)探针激光器，其具有2.5mW功率。泵浦激光器具有790nm波长(1.57eV)，其具有在1MHz下调制的13.5mW功率。两激光束被聚集在0.5μm光束半径上。所使用的TP配置具有允许两激光束的间距高达4μm的特性。这允许研究PMOR信号的横向特性。分离光束并因变于光束间距记录PMOR信号特性导致所谓的TP偏移曲线。另一方面，CI使用980nm(1.26eV)探针激光器，其具有2.2μm光束半径和8×10⁵W.cm^-2的辐射。CI泵浦激光器具有830nm波长(1.49eV)和2kHz调制频率。其功率聚集在1.5μm光束半径上，并且其辐射可在0和4×10⁵W.cm^-2之间变化。CI系统因此允许研究PMOR信号的注入依存性。所谓CI功率曲线示出PMOR信号因变于泵浦功率的特性。由于两种PMOR实现均使用具有高辐射的红和NIR范围内的激光器，这里形成的理论主要侧重于这种情形。

将x＝0处和的实验值和理论值进行比较。首先讨论这两个参数随结深度的变化，其次讨论其随有效掺杂浓度的变化。对结深度依存性的研究基于运行在CVD3基质的六个B掺杂层上的实验偏移曲线[在图16部分(a)和图16部分(b)中示出]。这些层具有共同的有效掺杂N_act~5×10¹⁹cm^-3和不同的结深度。对有效掺杂浓度依存性的讨论依赖于运行在CVD8基质的六个B掺杂层上的偏移曲线[在图16部分(c)和图16部分(d)中示出]。这些CVD层具有相同的结深度(~40nm)和不同的有效掺杂浓度。

首先考量结深度依存性，即在CVD3基质上测得的偏移曲线[图16部分(a)和图16部分(b)]。由于CVD3层中的高掺杂，这些偏移曲线主要示出衬底等离子组成和热组成之间的竞争。从零光束间距下的相位特性开始[图16部分(b)]，可以观察到它随着结深度而改变。这归因于当X_j=22nm时衬底等离子组成的符号的变化。相位偏移曲线的斜率，并因此信号波长，也随着结深度而改变。这种变化是由衬底等离子组成和热组成的不同波长造成的。在低掺杂衬底上[图16部分(b)中的实线]，可计算信号波长为大约130μm。在4μm距离之后，相位的变化实际上是大约11°。换句话说，130μm距离实际上获得360°的一转。这也是在低掺杂衬底中对等离子波计算出的波长[图12部分(d)]。因此，这一信号显然是等离子占优势地位的。相反，当X_j=24nm时，由于信号表现出作为热波波长[图9部分(d)]的36μm波长，因此信号是热占优势地位的。在22nm[=λ_probe/(8n₀)]左右，等离子组成实际上消失，留下热组成作为唯一的贡献。对于其它结深度，衬底等离子组成和热组成处于密切竞争关系，这对变化的信号波长作出了解释。

在高掺杂情形下，即当缺乏层等离子组成时(ΔN_l≈0)，信号波长对结深度的总体理论依存性如图17部分(b)所示。具体地说，该图绘出λ_signal/λ_signal(X_j=0)的变化，其中λ_signal(X_j=0)是在低掺杂衬底上测得的信号波长。也(用圆圈)标绘出在CVD3基质上获得的实验值。从该图中清楚看出，该模型能相当准确地预测信号波长的总体特性。

图16部分(a)示出的CVD3上的TP信号的振幅的横向变化，即的特性，初看起来也是相当特殊的。由于衬底等离子组成和热组成的竞争特性，TP信号的衰变长度依赖于结深度。衰变长度对X_j而言在衬底上长出高达16nm。在这种情形下，衬底等离子组成和热组成具有相反的符号。占优势地位的等离子波比热波更缓慢地衰变，由此信号衰变长度更大。对于X_j=24nm和更深位置，信号衰变长度比在衬底上更短。对具有相同符号的两个信号组成，热组成的快速衰变暗示着较短的信号衰变长度。

该理论特性概括在图17部分(a)中，其标绘出(X_j=0)的X_j依存性，其中(X_j=0)是针对低掺杂衬底计算出的信号衰变长度。在CVD3基质上测得的实验值也被(以圆圈)标绘出并接近预测值。

有趣的是，图17示出信号衰变长度和波长随着结深度的变化是复数的。可对三个区域作出区别。两个长度要么比在低掺杂衬底上更长(图17的区域1)或更短(图14的区域2)，或者甚至是负的(图14的区域3)。这种特性甚至考虑到渐近线(平偏移曲线)，其对应于公式[51]和[52]中牵涉到的导数的根。这些渐近线的方程是相当复杂的并因此在这里不予示出。

现在讨论在X_j=40nm信号衰变长度和波长对有效掺杂的依存性，即在CVD8基质上测得的偏移曲线[图16部分(c)和图16部分(d)]。首先观察信号的相位和波长的特性[图16部分(d)]，可以看出当达到某一有效掺杂浓度(~5×10¹⁹cm^-3)时两者均饱和。这很容易理解，如果信号被认为在层等离子和衬底等离子组成之间具有竞争。注意这两个组成具有相反的符号[λ_probe/(8n₀)<40nm<3λ_probe/(8n₀)]并且层等离子组成随着有效掺杂(∝1/N_act)的增加而减小。在低掺杂下，层等离子组成因此处于优势地位。相位符号的改变表示层等离子组成减少。当衬底等离子组成相对于层等离子组成完全处于优势时，则达到相位和波长的饱和。

衰变长度的特性[图16部分(c)]也表现出两等离子组成之间的竞争，但以更复杂的方式出现。低掺杂浓度(在该结深度为1.1x10¹⁹cm^-2)，层等离子组成处于优势地位。信号衰变长度因此短于低掺杂的衬底上的(公式[49])。当掺杂增加时，衬底等离子组成开始处于优势地位。非常有趣的是，在N_act≈2.5×10¹⁹cm^-3，观察到负的衰变长度(信号横向增加)。这解释得通，因为层等离子组成的快速横向衰变通过具有相反符号的衬底等离子组成略占优势。注意对于这些较低掺杂的样本来说，随着光束间距增加，相位朝向衬底等离子组成那边收敛，并且层等离子组成的作用相对于衬底等离子组成来说变得越来越可忽略。对于较高的掺杂浓度，衰变长度单调地减小。不像图16部分(d)中的波长，衰变长度即使在最高浓度下(没有观察到饱和)仍然表现出对有效掺杂浓度的一些敏感性。所有这些观察与图18所示的理论预测行为一致。图18将(X_j=0)和(X_j=0)的测得值与通过公式[50]、[51]和[52]求和得到的理论值进行比较。注意，由于缺乏用来解释(由于BGN)对N_act的依存性的完美定量模型，在图18中必须使用两个x轴。底下的x轴指示实验值(圆圈)，而顶部的x轴用于理论曲线。

如这些示例中示出的有效掺杂浓度和结深度对横向衰变长度和波长的依存性示出本发明的实施例如何能利用这些关系来确定半导体样本中的有效掺杂浓度和结深度。

前面示出了某些实施例。然而要理解，不管在上述文本中记载得有多详细，都可以有很多方式实现本发明。

尽管该详细描述已示出、描述和指出应用于各实施例的本发明新颖性特征，但要理解本领域内技术人员可对所示设备或处理的形式和细节作出各种省略、替代和改变而不脱离本发明的精神。

Claims (15)

1.一种基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的方法(100)，所述有效掺杂物浓度分布包括浓度水平和结深度，所述方法包括：

-基于光调制反射(PMOR)测量获得(120)半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线；

-基于所述振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数(130)并基于所述相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数(140)；以及

-从所述衰变长度参数和所述波长参数确定(150)所述有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

2.如权利要求1所述的方法(100)，其特征在于，获得(120)半导体衬底的PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线包括：

-获得(110)具有由浓度水平和结深度表征的有效掺杂物浓度分布的半导体衬底；以及

-光学地测量所获得的半导体衬底的PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线。

3.如前面任何一项权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述振幅偏移曲线的一阶导数和所述相位偏移曲线的一阶导数分别表征所获得的PMOR振幅和相位对于用来确定PMOR振幅和相位的泵浦激光束和探针激光束的入射点之间的间距的变化。

4.如前面任何一项权利要求所述的方法(100)，其特征在于，从所述衰变长度参数和所述波长参数确定(150)所述有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度包括：

-选择预定的浓度分布形状，使其因变于浓度水平和结深度；以及

-基于预定的浓度分布形状以及预定的衰变长度参数和波长参数的结合来确定所述有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

5.如权利要求4所述的方法(100)，其特征在于，选择预定的分布形状的步骤包括：选择箱形浓度分布形状或高斯浓度分布形状、洛伦兹线形、补余误差函数或它们一部分中的任何一种。

6.如前面任何一项权利要求所述的方法(100)，其特征在于，从所述衰变长度参数和所述波长参数确定(150)所述有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度包括：

-将确定的衰变长度参数和确定的波长参数关联于针对公知有效掺杂物分布确定的已知横向衰变长度参数值和已知的波长参数值；以及

-从所述关联确定所述浓度水平和所述结深度。

7.如权利要求6所述的方法(100)，其特征在于，从所述衰变长度参数和所述波长参数确定(150)所述有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度进一步包括：将所述半导体衬底的衰变长度参数和波长参数与一组同已知结深度和峰值掺杂物浓度水平相对应的已知横向衰变长度参数值和已知波长参数值的查找表或图形表示进行比较。

8.如权利要求6或7所述的方法(100)，其特征在于，所述已知横向衰变长度参数值和已知波长参数值是通过光学地测量具有已知有效掺杂物分布的半导体衬底来获得的，所述已知有效掺杂物分布具有已知结深度和已知峰值掺杂物浓度水平。

9.如权利要求6或7所述的方法(100)，其特征在于，所述已知横向衰变长度参数值和已知波长参数值是通过模拟具有已知有效掺杂物分布的半导体衬底并使用预定的浓度分布形状来获得的，所述已知有效掺杂物分布具有已知结深度和已知峰值掺杂物浓度水平。

10.一种基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的计算设备，所述有效掺杂物浓度分布包括浓度水平和结深度，所述计算设备包括：

-输入装置，所述输入装置配置成基于光调制反射(PMOR)测量获得半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线；

-处理器，所述处理器配置成基于振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数，基于相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数，并从所述衰变长度参数和波长参数确定有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度。

11.如权利要求10所述的计算设备，其特征在于，所述计算设备是光调制反射光学测量配置的一部分或被配置成执行如权利要求1-9中任何一项所述的方法。

12.一种推导出半导体衬底的峰值有效掺杂物浓度和结深度的方法，包括：

提供一数据集，所述数据集包括因变于峰值浓度水平和结深度的一组横向衰变长度参数值和波长参数值，每个横向衰变长度参数值和波长参数值分别基于半导体衬底的光调制反射率测量的振幅偏移曲线的一阶导数和相位偏移曲线的一阶导数，所述半导体衬底具有带相应峰值浓度水平和相应结深度的有效掺杂浓度分布，所述数据集被实现为查找表或图形表示；

把测得的波长参数和衰变长度参数与所述数据集中的所述波长参数和所述衰变长度参数作比较；以及

根据所述比较推导出所述半导体衬底的峰值有效掺杂物浓度和结深度。

13.一种基于光学测量确定半导体衬底的有效掺杂物浓度分布的系统，所述有效掺杂物浓度分布包括浓度水平和结深度，所述系统包括：

用于基于光调制反射(PMOR)测量获得(120)半导体衬底的光调制反射(PMOR)振幅偏移曲线和光调制反射(PMOR)相位偏移曲线的装置；

用于基于所述振幅偏移曲线的一阶导数确定衰变长度参数(130)并基于所述相位偏移曲线的一阶导数确定波长参数(140)的装置；以及

用于从所述衰变长度参数和所述波长参数确定(150)所述有效掺杂物浓度分布的浓度水平和结深度的装置。

14.如权利要求13所述的系统，其特征在于，用于获得(120)半导体衬底的PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线的装置包括：

用于获得(110)具有由浓度水平和结深度表征的有效掺杂物浓度分布的半导体衬底的装置；以及

用于光学地测量所获得的半导体衬底的PMOR振幅偏移曲线和PMOR相位偏移曲线的装置。

15.如权利要求13或14所述的系统，其特征在于，所述振幅偏移曲线 的一阶导数和所述相位偏移曲线的一阶导数分别表征所获得的PMOR振幅和相位对于用来确定PMOR振幅和相位的泵浦激光束和探针激光束的入射点之间的间距的变化。