CN103036672A - 一种倍增的分数阶混沌系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种倍增的分数阶混沌系统，以及它的数学模型和实现电路。所述数学模型由3个非线性方程函数构建。其中，非线性方程函数由一个线性项的绝对值和一个非线性项之和构成。对应的仿真(实现)电路由三个通道电路和一个函数单元电路组成。其中第一、第二、第三通道电路分别实现所述数学模型的三个非线性方程函数，第四通道电路函数单元电路实现所述非线性绝对值函数。基于数学模型的只含有一中倍增的分数阶混沌系统可以产生各种混沌现象。本发明电路结构简单，便于理解和集成，使混沌系统在保密通信和雷达应用等方面有很大促进作用。

Description

一种倍增的分数阶混沌系统

技术领域：

本发明属于一种分数阶混沌系统，尤其在分数阶混沌系统的倍增方法上。

技术背景：

分数阶混沌现象是非线性动力学系统所特有的一种复杂运动形式，是自然界比混沌更为普遍存在的复杂现象。由于分数阶混沌系统在保密通信等领域中拥有潜在应用前景，在这一领域将会有更大的发展空间。在分数阶混沌研究中，衡量系统的一个重要指标是Lyapunov指数，它表征系统运动特征，即包含一个正的Lyapunov指数和两个负的Lyapunov指数。

发明内容：

本发明的目的在于创造一种能够产生新型的分数阶混沌系统的方法，可以使原先的分数阶混沌系统倍增，倍增方法简单可行，且使系统产生多种多样的动力学现象。仿真电路简单，便于理解和集成。

本发明的具体方案是：对于一个分数阶混沌系统，使其倍增，包括数学模型和仿真电路。混沌系统的数学模型为： $\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{0.9}x}{d^{0.9}t}=\mathrm{ax}-\mathrm{yz}\\ \frac{d^{0.9}y}{d^{0.9}t}=-\mathrm{by}+\mathrm{xz}+\mathrm{cx}\\ \frac{d^{0.9}z}{d^{0.9}t}=-\mathrm{dz}+\mathrm{xy}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中x，y，z是状态变量，a，b，c，d是正的常数。

为了产生更为丰富的复杂的混沌现象，其关键在于，对原混沌系统的数学模型进行如下变化：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{0.9}x}{d^{0.9}t}=\mathrm{ax}-\mathrm{yz}\\ \frac{d^{0.9}y}{d^{0.9}t}=-\mathrm{by}+\mathrm{xz}+c\·f\left(x\right)\\ \frac{d^{0.9}z}{d^{0.9}t}=-\mathrm{dz}+\mathrm{xy}\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中x，y，z是状态变量，a，b，c，d是正的常数，f(x)＝|x|为绝对值运算函数。

仿真电路由第一、第二、第三和函数单元电路组成，其中第一、第二、第三电路分别实现上述数学模型中第一、第二、第三函数，函数单元电路实现绝对值运算。

第一通道电路的输出信号反馈到输入端作为一路输入信号，该输出信号还分别作为第二通道电路的一路输入信号和第三通道电路以及函数单元电路的输入信号；第二通道电路的输出信号反馈到输入端作为一路输入信号，该输出信号分别作为第一通道电路、第三通道电路的另一路输入信号；第三通道电路的输出信号反馈到自身输入端作为另一路输入信号，同时分别作为第一通道电路与第二通道电路的另一路输入信号；函数单元电路的输出信号作为第二通道电路的另一路输入信号；

数学模型中第一、第二、第三函数是非线性函数，函数单元运算f(x)＝|x|是最简单的非线性方程之一，在电路上易于实现，也是所述数学模型和使分数阶混沌产生倍增现象的关键，三个函数构成一个倍增的分数阶混沌系统。

基于数学模型所设计的仿真电路，便于超混沌系统在实际工程中的应用。在该电路中，第一通道电路的输入为x、y和z，输出为x；第二通道电路的输入为x、y、z和f(x)，输出为y；第三通道电路的输入为x，y，z输出为z；函数单元电路的输入为x，输出为f(x)。四组电路实现了数学模型倍增的分数阶混沌系统。仿真电路结构简单，便于理解和集成。

第一通道电路由第二反相器、第四反相积分器、第二乘法器、第二积分电容、第四积分电容、第五积分电容、第一电阻、第二电阻、第三电阻、第四电阻、第十二电阻、第十九电阻、第二十电阻组成。

第二通道电路由第一反相器、第五反相器、第三相积分器、第一乘法器、第一积分电容、第六积分电容、第七积分电容、第五电阻、第六电阻、第七电阻、第八电阻、第十三电阻、第十四电阻、第十五电阻、第二十一电阻、第二十二电阻、第二十三电阻组成。

第三通道电路由第六反相器、第八反相器、第七反相积分器、第三乘法器、第三积分电容、第八积分电容、第九积分电容、第九电阻、第十电阻、第十一电阻、第十六电阻、第十七电阻、第十八电阻、第二十四电阻、第二十五电阻、第二十六电阻组成。

函数单元电路由第九反相器、第一晶体二极管、第二晶体二极管、第二十七电阻、第二十八电阻组成。

当数学模型中正的常数b＝10，c＝0.5，d＝4时，系统表现为混沌现象。

本发明的显著效果是：与现有技术相比，应用了简单的角绝对值函数实现了分数阶混沌系统的倍增，其电路结构简单，是一个分数阶混沌系统，可以产生丰富的动力学行为，并且电路易于实现，在促进雷达研究和保密通信方面有很大的作用和深远的意义。

附图说明：

图1是本发明的仿真电路2的结构示意图；

图2是本发明的x-y相图；

图3是本发明的y-z相图；

图4是本发明的y-z相图；

图5是本发明的x-y-z相图；

具体实施方式：

数学模型中第一、第二、第三函数是非线性函数，其中的f(x)＝|x|是最简单的非线性方程之一，在电路上易于实现，也是所述数学模型和使分数阶混沌产生倍增现象的关键，三个函数构成一个倍增的分数阶混沌系统。

仿真电路2是为了促进数学模型2在实际工程中的应用所设计的。该电路中的全部反相器均为同一型号LM741H芯片，反相积分器也均为同一型号芯片。在仿真电路2中，第一通道电路1的输入为x、y、z，输出为x；第二通道电路2的输入为x、y、z和f(x)，输出为y；第三通道电路3的输入为x、y、z，输出为z；函数单元电路4的输入为x，输出为f(x)。四组电路实现数学模型2构造的倍增的分数阶混沌系统。仿真电路2结构简单，便于理解和集成。

仿真电路2是为了促进数学模型2在实际工程中的应用所设计的。该电路中的全部晶体二极管均为同一型号1N1199C。

仿真电路2是为了促进数学模型2在实际工程中的应用所设计的。该电路的第一通道的电阻分别为：

R1＝100kΩ；R2＝35kΩ；R3＝2kΩ；R4＝30KΩ；R12＝62.84MΩ；R19＝250kΩ；R20＝2.5kΩ。

其积分电容分别为：

C2＝1.232μF；C4＝1.84μF；C5＝1.1μF。

仿真电路2是为了促进数学模型2在实际工程中的应用所设计的。该电路的第二通道的电阻分别为：

R5＝1kΩ；R6＝20kΩ；R7＝10kΩ；R8＝10KΩ；R15＝62.84MΩ；R14＝250kΩ；R13＝100kΩ。

其积分电容分别为：

C1＝1.232μF；C6＝1.84μF；C7＝1.1μF。

仿真电路2是为了促进数学模型2在实际工程中的应用所设计的。该电路的第三通道的电阻分别为：

R9＝1kΩ；R10＝25kΩ；R16＝40kΩ；R17＝10KΩ；R18＝10KΩ；R24＝62.84MΩ；

R25＝250kΩ；R26＝2.5kΩ。

其积分电容分别为：

C3＝1.232μF；C8＝1.84μF；C9＝1.1μF。

仿真电路2是为了促进数学模型2在实际工程中的应用所设计的。该电路的第四通道的电阻分别为：

R27＝100kΩ；R28＝10kΩ。

[0023]该分数阶混沌系统的相关时间响应曲线和相图分别如附图所示。

Claims (7)

1.一种倍增的分数阶混沌系统，包括数学模型(1)数学模型(2)和仿真电路(2)。

数学模型(1)为：

数学模型(2)为

式中，f(x)＝|x|为绝对值运算函数，x，y，z状态变量，a，b，c，d是正的常数。

仿真电路(2)由第一、第二、第三通道电路(1、2、3)和函数单元电路(4)组成，其中第一、第二、第三通道电路(1、2、3)分别实现上述数学模型中第一、第二、第三函数，函数单元电路(4)实现绝对值函数f(x)＝|x|。

第一通道电路(1)的输出信号反馈到输入端作为一路输入信号，该输出信号还分别作为第二通道电路(2)的一路输入信号和第三通道电路(3)以及函数单元电路(4)的输入信号；第二通道电路(2)的输出信号反馈到输入端作为一路输入信号，该输出信号分别作为第一通道电路(1)、第三通道电路(3)的另一路输入信号；第三通道电路(3)的输出信号反馈到自身输入端作为另一路输入信号，同时分别作为第一通道电路(1)与第二通道电路(2)的另一路输入信号；函数单元电路(4)的输出信号作为第二通道电路(2)的另一路输入信号。

2.根据权利要求1的一种倍增的分数阶混沌系统，其特征在于：第一通道电路(1)由第二反相器(U2)、第四反相积分器(U4)、第二乘法器(A2)、第二积分电容(C2)、第四积分电容(C4)、第五积分电容(C5)、第一电阻(R1)、第二电阻(R2)、第三电阻(R3)、第四电阻(R4)、第十二电阻(R12)、第十九电阻(R19)、第二十电阻(R20)组成。

3.根据权利要求1的一种倍增的分数阶混沌系统，其特征在于：第二通道电路(2)由第一反相器(U1)、第五反相器(U5)、第三相积分器(U3)、第一乘法器(A1)、第一积分电容(C1)、第六积分电容(C6)、第七积分电容(C7)、第五电阻(R5)、第六电阻(R6)、 第七电阻(R7)、第八电阻(R8)、第十三电阻(R13)、第十四电阻(R14)、第十五电阻(R15)、第二十一电阻(R21)、第二十二电阻(R22)、第二十三电阻(R23)组成。

4.根据权利要求1的一种倍增的分数阶混沌系统，其特征在于：第三通道电路由第六反相器(U6)、第八反相器(U8)、第七反相积分器(U7)、第三乘法器(A3)、第三积分电容(C3)、第八积分电容(C8)、第九积分电容(C9)、第九电阻(R9)、第十电阻(R10)、第十一电阻(R11)、第十六电阻(R16)、第十七电阻(R17)、第十八电阻(R18)、第二十四电阻(R24)、第二十五电阻(R25)、第二十六电阻(R26)组成。

5.根据权利要求1的一种倍增的分数阶混沌系统，其特征在于：函数单元电路由第九反相器(U9)、第一晶体二极管(D1)、第二晶体二极管(D2)、第二十七电阻(R27)、第二十八电阻(R28)组成。

6.根据权利要求1的一种倍增的分数阶混沌系统，其特征在于：当数学模型(1)以及数学模型(2)中正的常数 

b＝10，c＝0.5，d＝4时，系统表现为混沌现象。

7.根据权利要求1的一种新型双涡旋混沌系统，其特征在于：数学模型(1)以及数学模型(2)有一个正的Lyapunov指数和两个负的Lyapunov指数。 

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