CN103010268A

CN103010268A - 一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法

Info

Publication number: CN103010268A
Application number: CN2012105642922A
Authority: CN
Inventors: 魏永松; 邬晶; 李少远
Original assignee: Shanghai Jiaotong University
Current assignee: Shanghai Jiaotong University
Priority date: 2012-12-21
Filing date: 2012-12-21
Publication date: 2013-04-03
Anticipated expiration: 2032-12-21
Also published as: CN103010268B

Abstract

本发明提供一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，S1，以动车组的单个车厢为局部子系统，并根据动车组车头车厢、车尾车厢以及车头和车尾之间的车厢所受力的不同，分别建立动车组局部子系统模型；S2，根据动车组局部子系统模型建立动车邻域子系统模型；S3，根据每个车厢所受合力建立动车组运行过程中的约束条件；S4，根据动车邻域子系统模型中车厢间的相互作用力、预测时域以及控制时域，确定优化控制的目标函数；S5，将所述目标函数在所述约束条件下求解，获得动车组运行过程中动力分配的优化调度。本发明可以实现的高速动车组动力分布式预测控制，使每节车厢的控制自由度更大，响应更为迅速，提高动力分配效率。

Description

一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法

技术领域

本发明涉及动车组的分布式优化控制方法技术领域，特别是涉及一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法。

背景技术

近几年来，中国的经济实力和综合国力显著增强，中国的铁路系统也经历了大幅度的升级与扩张。2007年4月18日，我国铁路进行了第六次大提速，在这次提速中，我国首次推出了CRH系列的高速动车组CRH1、CRH2和CRH5。这些动车组的运营速度达到250km/h。根据我国铁路中长期发展规划，到2020年，中国铁路网规模达到12万公里以上，将建成1.6万公里“四纵五横”高速铁路网，未来动车组将是这些高速铁路网上的主力。目前，通过引进消化吸收国外的先进技术，我国已经掌握了世界先进成熟的铁路机车车辆制造技术。在实际动车组的运行中，由于土地、能源、路网容量等资源因素的约束，对动车组运行提出了更高的要求。国内现行动车组是动力分散式列车的牵引电动机分散在各节车厢的车体底架上，因而在对列车的动力分配和调速机制的控制，均是以网络控制的形式出现。目前国际上比较成熟的高铁牵引控制系统，均采用TCN机车网络控制平台。但国内对动车组运行网络控制中的优化的研究进行得相对较晚，因此建立动车组的动力分布优化调度是迫切需要的。

经对现有技术的公开文献检索发现，文献X.Zhuan，X.Xia，Cruise control scheduling ofheavy haul trains[J].IEEE Transactions on control systems technology,14(4),2006,757-766中提出了对列车模型基于全局进行优化的巡航控制，这种方法中每个局部控制器要与其他所有局部控制器交换信息，网络负载相对较大，并且控制器算法相对复杂，不便于工程应用。文献Y.Zhang,S.Li,,Networked model predictive control based on neighbourhood optimization forserially connected large-scale processes[J].Journal of Process Control,January2007,17(1):37-50中提出了基于邻域优化的分布式预测控制，极大的改善了基于全局目标函数的优化的网络高负载、高计算负荷的问题，但是优化方法相对复杂，预测控制效果不佳。

发明内容

鉴于以上所述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，用于解决动车组运行过程中对动力分配进行优化复杂、网络负载大的问题。

为实现上述目的及其他相关目的，本发明提供一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，包括以下步骤：

S1，以动车组的单个车厢为局部子系统，并根据动车组车头车厢、车尾车厢以及车头和车尾之间的车厢所受力的不同，分别建立动车组线性化后的动车组局部子系统模型：

车头车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{1} = A_{11} z_{1} + B_{1} u_{1} + A_{12} z_{2};

车头和车尾之间的车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{i} = A_{ii} z_{i} + B_{i} u_{i} + A_{ii + 1} z_{i + 1} + A_{ii - 1} z_{i - 1} i = 2, . . ., n - 1;

车尾车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{n} = A_{nn} z_{n} + B_{n} u_{n} + A_{nn - 1} z_{n - 1};

其中，

分别为包含第1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导、第i节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导、第n节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导；z₁、z₂、z_i、z_i+1、z_i-1、z_n、z_n-1分别为第1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第2节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i+1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i-1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第n节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第n-1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量；u₁、u_i、u_n分别为第1节车厢、第i节、第n节车厢的有效牵引力输入；A₁₁、A_ii、A_nn分别为第1节车厢、第i节车厢、第n节车厢对自身的状态变量影响系数矩阵；B₁、B_i、B_n分别为第1节车厢、第i节、第n节车厢的有效牵引力输入的系数矩阵；A₁₂、A_ii+1、A_ii-1、A_nn-1分别为第2节车厢对第1节车厢、第i+1节车厢对第i节车厢、第i-1节车厢对第i节车厢、第n-1节车厢对第n节车厢的影响系数矩阵；i为第i节车厢，n为车厢总数；

S2，根据动车组局部子系统模型建立动车邻域子系统模型：

车头车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{n 1} = {\hat{A}}_{11} Z_{n 1} + {\hat{A}}_{12} Z_{n 2} + {\hat{B}}_{1} {\hat{U}}_{1};

车头和车尾之间的车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{ni} = {\hat{A}}_{ii} Z_{ni} + {\hat{A}}_{ii - 1} Z_{ni - 1} + {\hat{A}}_{ii + 1} Z_{ni + 1} + {\hat{B}}_{i} {\hat{U}}_{i}, i = 2, . . ., n - 1;

车尾车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{nn} = {\hat{A}}_{nn} Z_{nn} + {\hat{A}}_{nn - 1} Z_{nn - 1} + {\hat{B}}_{n} {\hat{U}}_{n};

其中，

分别为包含z₁ z₂的第1个邻域子系统、包含z_i-1 z_i z_i+1的第i个邻域子系统、包含z_n-1 z_n的第n个邻域子系统状态变量的一阶导；Z_n1、Z_n2、Z_ni、Z_ni-1、Z_nn、Z_nn-1分别为包含z₁ z₂的第1个邻域子系统状态变量、包含z₁ z₂ z₃的第2个邻域子系统状态变量、包含z_i-1 z_i z_i+1的第i个邻域子系统状态变量、包含z_i-2 z_i-1 z_i的第i-1个邻域子系统状态变量状态变量、包含z_n-1 z_n的第n个邻域子系统状态变量、包含z_n-2 z_n-1 z_n的第n-1个邻域子系统状态变量；

分别为为第1个邻域子系统、第2个邻域子系统、第i个邻域子系统、第i-1个邻域子系统、第i+1个邻域子系统、第n个邻域子系统、第n-1个邻域子系统的状态变量影响系数矩阵；

分别为第1个邻域子系统、第i个邻域子系统、第n个邻域子系统的有效牵引力输入的系数矩阵；

分别为第1个邻域子系统、第i个邻域子系统、第n个邻域子系统的有效牵引力输入；i为第i节车厢，n为车厢总数；

S3，根据每个车厢所受合力建立动车组运行过程中的约束条件：

U_imin-u^e≤U_i≤U_imax-u^e；

其中，U_i为车厢受到的有效牵引力；u^e为在平衡点状态下车厢受到的有效牵引力，e为平衡点状态；U_imin、U_imax分别为车厢的牵引力和制动力的合力的最小值、最大值；

S4，根据动车邻域子系统模型中有效输入、预测时域以及控制时域，确定优化控制的目标函数：J(k)=U_i ^THU_i+2U_i ^Tf；

其中：

H = {\tilde{B}}_{i}^{T} \tilde{Q} {\tilde{B}}_{i} + \tilde{R};

f = - {\tilde{B}}_{i}^{T} \times \tilde{Q} \times (Y_{r} - {\tilde{A}}_{ii} Z_{n} (k) - {\tilde{A}}_{ii + 1} Z_{n} (k + 1)) - {\tilde{A}}_{ii - 1} Z_{n} (k - 1));

其中，k为时间参数；J(k)为在k时刻目标函数的输出；Z_n(k)、Z_n(k+1)、Z_n(k-1)分别为在k、k+1、k-1时刻的状态状态变量；U_i为车厢受到的有效牵引力；f中间变换矩阵；H为中间变换矩阵，P为预测时域，M为控制时域，Q、R均为正定矩阵，

为由正定矩阵Q组成的对角矩阵，

为由正定矩阵R组成的对角矩阵，

分别为状态方程系数预测变换矩阵，

为状态方程系数预测变换矩阵；Y_r为系统的设定值；n为车厢节数；T为矩阵转置；

S5，将所述目标函数在所述约束条件下求解，获得动车组运行过程中动力分配的优化调度。

优选地，在步骤S1中还包括对动车组的纵向运行建立动力系统模型，以对所述动车组状态方程中的变量进行限定，所述动力系统模型包括：

m_{1} {\overset{\cdot}{v}}_{1} = u_{1} - (m_{1} c_{01} + m_{1} c_{11} v_{1} + m_{i} c_{21} v_{1}^{2}) - k_{1} x_{1}

m_{i} {\overset{\cdot}{v}}_{i} = u_{i} - (m_{i} c_{0 i} + m_{i} c_{1 i} v_{i} + m_{i} c_{2 i} v_{i}^{2}) + k_{i - 1} x_{i - 1} - k_{i} x_{i}, i = 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1

m_{n} {\overset{\cdot}{v}}_{n} = u_{n} - (m_{n} c_{0 n} + m_{n} c_{1 n} v_{n} + m_{n} c_{2 n} v_{n}^{2}) + k_{n - 1} x_{n - 1}

{\overset{\cdot}{x}}_{i} = v_{i} - v_{i + 1}, i = 1, . . ., n - 1

其中，m₁为第1节车厢的质量，m_i为第i节车厢的质量，m_n为n节车厢的质量；

为第1节车厢的加速度，

为第i节车厢的加速度，为n节车厢的加速度；u₁为第1节车厢的牵引力和制动力的合力，u_i为第i节车厢的牵引力和制动力的合力，u_n为第n节车厢的牵引力和制动力的合力；c₀₁、c₁₁、c₂₁分别为第1节车厢的基本阻力系数，c_0i、c_1i、c_2i分别为第i节车厢的基本阻力系数，c_0n、c_1n、c_2n为第n节车厢的基本阻力系数；v₁为第1节车厢的速度，v_i为第i节车厢的速度，v_n为第i节车厢的速度，v_i+1为第i+1节车厢的速度；x₁、x_i、x_i-1、x_n-1分别为第1节车厢和第2节车厢之间的相对位移、第i节车厢和第i+1节车厢之间的相对位移、第i-1节车厢和第i节车厢之间的相对位移、第n-1节车厢和第n节车厢之间的相对位移；

为第i节车厢和第i+1节车厢之间的相对位移的一阶导数；k₁、k_i-1、k_i和k_n-1分别为第1节车厢与第2节车厢之间、2节车厢与第3节车厢间、第i-2节车厢与第i-1节车厢间和第n-1节车厢与第n节车厢间的连接体的弹性系数；i为第i节车厢，n为车厢总数。

优选地，在步骤S1中，根据车厢的速度和相邻车厢之间的相对位移表示状态变量：

车头车厢的状态变量：

z_{1} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{v}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (c_{11} + c_{21} v_{r}) & - k_{1} / m_{1} \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ x_{1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{2} \\ x_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 / m_{1} \\ 0 \end{matrix}] u_{1};

车头和车尾之间的车厢的状态变量：

[\begin{matrix} {\overset{\cdot}{v}}_{i} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (c_{1 i} + c_{2 i} v_{r}) & - k_{i} / m_{i} \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{i} \\ x_{i} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{i + 1} \\ x_{i + 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & k_{i} / m_{i} \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{i - 1} \\ x_{i - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 / m_{i} \\ 0 \end{matrix}] u_{i},

i=2,…,n-1；

车尾车厢的状态变量：

z_{n} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{v}}_{n} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (c_{1 n} + c_{2 n} v_{r}) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{n} \\ x_{n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & k_{n - 1} / m_{n - 1} \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{n - 1} \\ x_{n - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 / m_{n} \\ 0 \end{matrix}] u_{n};

其中：m_n-1为n-1节车厢的质量；v₂为第2节车厢的速度；v_i-1、v_n-1分别为第i-1节车厢、第n-1节车厢的速度；x₂为第2节车厢和第3节车厢之间的相对位移；x_i-1为为第i-1节车厢和第i节车厢之间的相对位移；x_i+1为第i+1节车厢和第i+2节车厢之间的相对位移；v_r为动车组运行的参考速度；

x_n为增广变量实际系统中不存在；k_n-1为第n-1节车厢与第n节车厢间的弹性系数。

优选地，在步骤S2中，所述邻域子系统的邻域包括所有邻居的集合：

N_{i} = N_{i}^{in} \cup N_{i}^{out};

其中：

S_j是S_i的输入邻居；

S_j是S_i的输出邻居；

N_i为邻域；

为对所述邻域子系统的输入邻域；N_i ^out为所述邻域子系统的输出邻域；S_i为邻域子系统；S_j为邻域子系统的邻居子系统。

优选地，在步骤S4中，

{\tilde{A}}_{ii} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{2} \\ . \\ . \\ . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P} \end{matrix}];

{\tilde{B}}_{i} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{B}}_{i} & 0 & 0 & 0 \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} {\hat{B}}_{i} & {\hat{C}}_{i} {\hat{B}}_{i} & 0 & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - 1} {\hat{B}}_{i} & \hat{C} {\hat{A}}_{ii}^{P - 2} {\hat{B}}_{i} & . . . & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - M} {\hat{B}}_{i} \end{matrix}];

{\tilde{A}}_{ii + 1} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii + 1} & 0 & 0 & 0 \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} {\hat{A}}_{ii + 1} & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii + 1} & 0 & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - 1} {\hat{A}}_{ii + 1} & {\hat{C}}_{i} \hat{A}_{ii}^{P - 2} {\hat{A}}_{ii + 1} & . . . & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii + 1} \end{matrix}];

{\tilde{A}}_{ii - 1} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii - 1} & 0 & 0 & 0 \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} {\hat{A}}_{ii - 1} & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii - 1} & 0 & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - 1} {\hat{A}}_{ii - 1} & {\hat{C}}_{i} \hat{A}_{ii}^{P - 2} {\hat{A}}_{ii - 1} & . . . & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii - 1} \end{matrix}];

其中，

分别为第i个邻域子系统的输出系数、第i个邻域子系统对自身状态变量的影响系数、第i个邻域子系统输入系数、第i+1个邻域子系统对第i个邻域子系统影响系数、第i-1个邻域子系统对第i个邻域子系统影响系数。

优选地，根据离散化的动车组状态方程、预测时域和控制时域，建立用于确定目标函数的预测模型：

其中，k、l为时间状态参数；i为第i个邻域子系统；j为第i个邻域子系统的输出邻域中的第j个子系统；N_i ^out为邻域子系统的输出邻域；

为第i个邻域子系统的邻域优化目标函数，J_i(k)为在k时刻目标函数的输出；

是在k时刻预测第k+l时刻目标函数的输出；

是第k+l时刻的目标函数的输出参考值；U_j(k+l-1|k)在k时刻预测第k+l-1时刻的车厢的牵引力和制动力的合力输入量；P为预测时域；M为控制时域；Q_j和R_j均是正定矩阵。

优选地，在步骤S5中，将所述目标函数在所述约束条件下求解具体包括：

\{\begin{matrix} \min J (k) = U_{i}^{T} {HU}_{i} + {2 U}_{i}^{T} f \\ U_{i \min} - u^{e} \leq U_{i} {\leq U}_{i \max} - u^{e} \end{matrix},

通过求解获得动车组运行过程中动力分配的优化调度，其中，minJ(k)为目标函数的输出的最小值。

如上所述，本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，具有以下有益效果：

本发明的方法适用于具有动力分布式的动车组及其它高速火车，本发明可以实现的高速动车组动力分布式预测控制，使每节车厢的控制自由度更大，响应更为迅速。所以本发明的方法使得动车组在运行时保持节能经济，提高动力分配效率。

附图说明

图1显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法的流程图。

图2显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中建立的动车组的整车模型。

图3显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中动车组的动力学分析图。

图4显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中分布式MPC控制系统框图。

图5显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中单节车厢的速度跟踪曲线图。

图6显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中单节车厢的有效牵引力显示图。

图7显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中车厢间相对位移变化曲线图。

图8显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中车厢二的有效输入对比图。

图9显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法中车厢三的有效输入对比图。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。

需要说明的是，本实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，遂图式中仅显示与本发明中有关的组件而非按照实际实施时的组件数目、形状及尺寸绘制，其实际实施时各组件的型态、数量及比例可为一种随意的改变，且其组件布局型态也可能更为复杂。

本发明方法适用于具有动力分布式的动车组及其它高速火车。现有技术中，对动车组运行时所受的动态阻力进行了简化处理，即假设动态阻力仅作用于第一节车厢，这种假设和动车车厢的实际受力状况相差胜远，不能反映动车的运行状况，无法体现不同车厢间的动力分配与优化调度之间的内在联系。

有鉴于此，本发明提供一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，用于解决动车组运行过程中动车速度存在变化从而没有对动力分配进行优化的问题。以下将详细阐述本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法的原理及实施方式，使本领域技术人员不需要创造性劳动即可理解本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法。

请参阅图1，显示为本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法的流程图。如图1所示，本发明提供一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法具体包括一下步骤：

S1，以动车组的单个车厢为局部子系统，并根据动车组车头车厢、车尾车厢以及车头和车尾之间的车厢所受力的不同，分别建立动车组线性化后的动车组局部子系统模型。

S2，根据动车组局部子系统模型建立动车邻域子系统模型。

S3，根据每个车厢所受合力建立动车组运行过程中的约束条件。

S4，根据动车邻域子系统模型中车厢间的相互作用力、预测时域以及控制时域，确定优化控制的目标函数。

下面详细对各步骤的建立和实现方法进行说明。

【一】S1，以动车组的单个车厢为局部子系统，并根据动车组车头车厢、车尾车厢以及车头和车尾之间的车厢所受力的不同，分别建立动车组线性化后的动车组局部子系统模型。

建立动车组线性化后的动车组局部子系统模型的过程包括：

根据动车组受力分析，可以得到动车组纵向运行的动力系统模型以对所述动车组状态方程中的变量进行限定，所述动力系统模型包括：

m_{1} {\overset{\cdot}{v}}_{1} = u_{1} - (m_{1} c_{01} + m_{1} c_{11} v_{1} + m_{i} c_{21} v_{1}^{2}) - k_{1} x_{1}

m_{i} {\overset{\cdot}{v}}_{i} = u_{i} - (m_{i} c_{0 i} + m_{i} c_{1 i} v_{i} + m_{i} c_{2 i} v_{i}^{2}) + k_{i - 1} x_{i - 1} - k_{i} x_{i}, i = 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1

m_{n} {\overset{\cdot}{v}}_{n} = u_{n} - (m_{n} c_{0 n} + m_{n} c_{1 n} v_{n} + m_{n} c_{2 n} v_{n}^{2}) + k_{n - 1} x_{n - 1}

{\overset{\cdot}{x}}_{i} = v_{i} - v_{i + 1}, i = 1, . . ., n - 1

为第1节车厢的加速度，

为第i节车厢的加速度，

为n节车厢的加速度；u₁为第1节车厢的牵引力和制动力的合力，u_i为第i节车厢的牵引力和制动力的合力，u_n为第n节车厢的牵引力和制动力的合力；c₀₁、c₁₁、c₂₁分别为第1节车厢的基本阻力系数，c_0i、c_1i、c_2i分别为第i节车厢的基本阻力系数，c_0n、c_1n、c_2n为第n节车厢的基本阻力系数；v₁为第1节车厢的速度，v_i为第i节车厢的速度，v_n为第i节车厢的速度，v_i+1为第i+1节车厢的速度；x₁、x_i、x_i-1x_n-1分别为第1节车厢和第2节车厢之间的相对位移、第i节车厢和第i+1节车厢之间的相对位移、第i-1节车厢和第i节车厢之间的相对位移、第n-1节车厢和第n节车厢之间的相对位移；

为了表征一个子系统局部性能，将一个车厢的速度和相邻车厢之间的相对位移作为一个局部子系统的状态变量即：

z_{i} = [\begin{matrix} v_{i} \\ x_{i} \end{matrix}], i = 1, . . ., n - 1

其中：v_i为第i节车厢的速度；x_i为第i节车厢和第i+1节车厢之间的相对位移。

这样可以将一个整体的动车组的纵向动力学模型改写成由n个局部子系统构成。其具体线性化后形式如下：

车头车厢的状态变量：

z_{1} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{v}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (c_{11} + c_{21} v_{r}) & - k_{1} / m_{1} \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ x_{1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{2} \\ x_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 / m_{1} \\ 0 \end{matrix}] u_{1};

车头和车尾之间的车厢的状态变量：

[\begin{matrix} {\overset{\cdot}{v}}_{i} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (c_{1 i} + c_{2 i} v_{r}) & - k_{i} / m_{i} \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{i} \\ x_{i} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{i + 1} \\ x_{i + 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & k_{i} / m_{i} \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{i - 1} \\ x_{i - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 / m_{i} \\ 0 \end{matrix}] u_{i},

i=2,…,n-1；

车尾车厢的状态变量：

z_{n} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{v}}_{n} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - (c_{1 n} + c_{2 n} v_{r}) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{n} \\ x_{n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & k_{n - 1} / m_{n - 1} \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{n - 1} \\ x_{n - 1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 / m_{n} \\ 0 \end{matrix}] u_{n};

x_n为增广变量实际系统中不存在；k_n-1为第n-1节车厢与第n节车厢间的弹性系数。其它参数与上述动力系统模型中的参数的含义相同。

根据前面所建的局部子系统模型，获得动车组线性化后的动车组局部子系统模型：

车头车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{1} = A_{11} z_{1} + B_{1} u_{1} + A_{12} z_{2};

车头和车尾之间的车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{i} = A_{ii} z_{i} + B_{i} u_{i} + A_{ii + 1} z_{i + 1} + A_{ii - 1} z_{i - 1} i = 2, . . ., n - 1;

车尾车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{n} = A_{nn} z_{n} + B_{n} u_{n} + A_{nn - 1} z_{n - 1};

其中，

分别为包含第1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导、第i节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导、第n节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导；z₁、z₂、z_i、z_i+1、z_i-1、z_n、z_n-1分别为第1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第2节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i+1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i-1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第n节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第n-1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量；u₁、u_i、u_n分别为第1节车厢、第i节、第n节车厢的有效牵引力输入；A₁₁、A_ii、A_nn分别为第1节车厢、第i节车厢、第n节车厢对自身的状态变量影响系数矩阵；B₁、B_i、B_n分别为第1节车厢、第i节、第n节车厢的有效牵引力输入的系数矩阵；A₁₂、A_ii+1、A_ii-1、A_nn-1分别为第2节车厢对第1节车厢、第i+1节车厢对第i节车厢、第i-1节车厢对第i节车厢、第n-1节车厢对第n节车厢的影响系数矩阵；i为第i节车厢，n为车厢总数。

【二】S2，根据动车组局部子系统模型建立动车邻域子系统模型。

在针对每个局部模型进行设计局部控制器时，涉及到各个子系统中关于子系统间相互交换信息部分，对于此有如下假设：

a)各局部子系统的控制器保持更新控制作用同步；

b)在一个采样周期内控制器相互间仅通讯一次。

临近子系统：子系统S_i与子系统S_j相互作用，且子系统S_i的输出和状态受子系统S_j的影响，在这种情况下S_j称为子系统S_i的输入临近子系统，且子系统S_i称为子系统S_j输出临近子系统。S_i和S_j称为临近子系统或邻居。

子系统的邻域:子系统S_i的输入（输出）邻域

是指子系统S_i的所有输入（输出）邻居的集合：

所述邻域子系统的邻域包括所有邻居的集合：

N_{i} = N_{i}^{in} \cup N_{i}^{out};

其中：

S_j是S_i的输入邻居；S_j是S_i的输出邻居；

N_i为邻域；

根据动车组受力分析情况如图2所示，车头车尾是只有一个直接相连的车厢影响，处在中间的车厢有两个相邻的车厢对其有影响。将车头、车尾和中间车厢分开进行考虑设计邻域子系统。车头、车尾是只有两个局部子系统的邻域子系统。其它的车厢把与之有直接联系的车厢(车前和车后的两个车厢)放在一起看作一个邻域子系统。

{\overset{\cdot}{Z}}_{n 1} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{1} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}] Z_{n 1} + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & A_{23} \end{matrix}] Z_{n 2} + [\begin{matrix} B_{1} & 0 \\ 0 & B_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}]

{\overset{\cdot}{Z}}_{ni} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{i - 1} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{i} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{i + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{i - 1 i - 1} & A_{i - 1 i} & 0 \\ A_{ii - 1} & A_{ii} & A_{ii + 1} \\ 0 & A_{i + 1 i} & A_{i + 1 i + 1} \end{matrix}] Z_{ni} + [\begin{matrix} A_{i - 1 i - 2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]0 Z_{ni - 1} + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{i + 1 i + 2} \end{matrix}] Z_{ni + 1} + [\begin{matrix} B_{i - 1 i - 1} & 0 & 0 \\ 0 & B_{ii} & 0 \\ 0 & 0 & B_{i + 1 i + 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{i - 1} \\ u_{i} \\ u_{i - 1} \end{matrix}]

i=2,…,n-1

{\overset{\cdot}{Z}}_{nn} = [\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{n - 1 n - 1} \\ {\overset{\cdot}{z}}_{nn} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{n - 1 n - 1} & A_{nn - 1} \\ A_{nn - 1} & A_{nn} \end{matrix}] Z_{nn} + [\begin{matrix} A_{n - 1 n - 2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] Z_{n - 1 n - 1} + [\begin{matrix} B_{n - 1} & 0 \\ 0 & B_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{n - 1} \\ u_{n} \end{matrix}] .

其中Z_ni是系统第i个邻域子系统。根据上述系统获得动车邻域子系统模型：

车头车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{n 1} = {\hat{A}}_{11} Z_{n 1} + {\hat{A}}_{12} Z_{n 2} + {\hat{B}}_{1} {\hat{U}}_{1};

车头和车尾之间的车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{ni} = {\hat{A}}_{ii} Z_{ni} + {\hat{A}}_{ii - 1} Z_{ni - 1} + {\hat{A}}_{ii + 1} Z_{ni + 1} + {\hat{B}}_{i} {\hat{U}}_{i}, i = 2, . . ., n - 1;

车尾车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{nn} = {\hat{A}}_{nn} Z_{nn} + {\hat{A}}_{nn - 1} Z_{nn - 1} + {\hat{B}}_{n} {\hat{U}}_{n} .

其中，

分别为第1个邻域子系统、第i个邻域子系统、第n个邻域子系统的有效牵引力输入；i为第i节车厢，n为车厢总数。

【三】S3，根据每个车厢所受合力建立动车组运行过程中的约束条件。

U_imin-u^e≤U_i≤U_imax-u^e；

其中，U_i为车厢受到的有效牵引力；u^e为在平衡点状态下车厢受到的有效牵引力，e为平衡点状态；U_imin、U_imax分别为车厢的牵引力和制动力的合力的最小值、最大值。

【四】S4，根据动车邻域子系统模型中车厢间的相互作用力、预测时域以及控制时域，确定优化控制的目标函数。

首先选择P为系统的预测时域，M为系统的控制时域。为了保证动车组运行的速度的准确性和各个车厢的所需牵引力最小以达到节能环保，根据离散化的动车组状态方程、预测时域和控制时域，建立用于确定目标函数的预测模型。

为第i个邻域子系统的邻域优化目标函数，J_i(k)为在k时刻目标函数的输出；是在k时刻预测第k+l时刻目标函数的输出；是第k+l时刻的目标函数的输出参考值；U_j(k+l-1|k)在k时刻预测第k+l-1时刻的车厢的牵引力和制动力的合力输入量；P为预测时域；M为控制时域；Q_j和R_j均是正定矩阵。

通过预测模型转换为目标函数：J(k)=U_i ^THU_i+2U_i ^Tf；

其中：

H = {\tilde{B}}_{i}^{T} \tilde{Q} {\tilde{B}}_{i} + \tilde{R};

f = - {\tilde{B}}_{i}^{T} \times \tilde{Q} \times (Y_{r} - {\tilde{A}}_{ii} Z_{n} (k) - {\tilde{A}}_{ii + 1} Z_{n} (k + 1)) - {\tilde{A}}_{ii - 1} Z_{n} (k - 1));

k为时间参数；J(k)为在k时刻目标函数的输出；Z_n(k)、Z_n(k+1)、Z_n(k-1)分别为在k、k+1、k-1时刻的状态；U_i为车厢受到的有效牵引力；f为车厢间的相互作用力；H为中间变换矩阵，P为预测时域，M为控制时域，Q、R均为正定矩阵，

为由正定矩阵Q组成的对角矩阵，为由正定矩阵R组成的对角矩阵，

分别为状态方程系数变换矩阵，为状态方程系数变换矩阵；Y_r为系统的设定值；n为车厢节数；T为矩阵转置。

{\tilde{A}}_{ii} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{2} \\ . \\ . \\ . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P} \end{matrix}];

{\tilde{B}}_{i} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{B}}_{i} & 0 & 0 & 0 \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} {\hat{B}}_{i} & {\hat{C}}_{i} {\hat{B}}_{i} & 0 & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - 1} {\hat{B}}_{i} & \hat{C} {\hat{A}}_{ii}^{P - 2} {\hat{B}}_{i} & . . . & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - M} {\hat{B}}_{i} \end{matrix}];

{\tilde{A}}_{ii + 1} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii + 1} & 0 & 0 & 0 \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} {\hat{A}}_{ii + 1} & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii + 1} & 0 & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - 1} {\hat{A}}_{ii + 1} & {\hat{C}}_{i} \hat{A}_{ii}^{P - 2} {\hat{A}}_{ii + 1} & . . . & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii + 1} \end{matrix}];

{\tilde{A}}_{ii - 1} = [\begin{matrix} {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii - 1} & 0 & 0 & 0 \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii} {\hat{A}}_{ii - 1} & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii - 1} & 0 & 0 \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii}^{P - 1} {\hat{A}}_{ii - 1} & {\hat{C}}_{i} \hat{A}_{ii}^{P - 2} {\hat{A}}_{ii - 1} & . . . & {\hat{C}}_{i} {\hat{A}}_{ii - 1} \end{matrix}];

其中，分别为第i个邻域子系统的输出系数、第i个邻域子系统对自身状态变量的影响系数、第i个邻域子系统输入系数、第i+1个邻域子系统对第i个邻域子系统影响系数、第i-1个邻域子系统对第i个邻域子系统影响系数。

【四】S5，将所述目标函数在所述约束条件下求解。

具体包括：

\{\begin{matrix} \min J (k) = U_{i}^{T} {HU}_{i} + {2 U}_{i}^{T} f \\ U_{i \min} - u^{e} \leq U_{i} {\leq U}_{i \max} - u^{e} \end{matrix},

结合具体实例进一步说明本发明的实现效果。

在本实施例中，假设第一节车厢m₁为42.8t，第二节车厢m₂为48t，第三节车厢m₃为46.5t，第四节车厢m₄为42t，其中车厢一是有无动力的拖车，车厢二是有动力的动车，车厢三是有动力的动车，车厢四是无动力的拖车。阻力系数C₀是0.8806N/KN/kg,C₁是0.007444N/KNm/skg，C₂是0.0001143N/KNm2/s2kg。优化预测时域P=4，控制时域M=2，采样周期Ts=20s。车厢间弹性系数k_i是10488KN/m。

由前面所述，代入上述参数得到如下4个局部子系统：

A_{11} = [\begin{matrix} - (c_{1} + c_{2} v_{r}) & - k_{1} / m_{1} \\ 1 & 0 \end{matrix}],

A_{12} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}],

B_{1} = [\begin{matrix} 1 / m_{1} \\ 0 \end{matrix}],

C₁=[1 0]

A_{22} = [\begin{matrix} - (c_{1} + c_{2} v_{r}) & - k_{1} / m_{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}],

A_{23} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}],

A_{21} = [\begin{matrix} 0 & k_{1} / m_{2} \\ 0 & 0 \end{matrix}],

B_{2} = [\begin{matrix} 1 / m_{2} \\ 0 \end{matrix}],

C₂=[1 0]

A_{33} = [\begin{matrix} - (c_{1} + c_{2} v_{r}) & - k_{1} / m_{3} \\ 1 & 0 \end{matrix}],

A_{34} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}],

A_{32} = [\begin{matrix} 0 & k_{1} / m_{3} \\ 0 & 0 \end{matrix}],

B_{3} = [\begin{matrix} 1 / m_{3} \\ 0 \end{matrix}],

C₃=[1 0]

A_{44} = [\begin{matrix} - (c_{1} + c_{2} v_{r}) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}],

A_{43} = [\begin{matrix} 0 & k_{1} / m_{4} \\ 0 & 0 \end{matrix}],

B_{4} = [\begin{matrix} 1 / m_{4} \\ 0 \end{matrix}],

C₄=[1 0]

根据邻域子系统的规划，得到邻域子系统的各个参数：

{\hat{A}}_{11} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}],

{\hat{A}}_{12} = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & A_{23} \end{matrix}]

{\hat{A}}_{22} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & 0 \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ 0 & A_{32} & A_{33} \end{matrix}],

{\hat{A}}_{23} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{34} \end{matrix}]

{\hat{A}}_{33} = [\begin{matrix} A_{22} & A_{23} & 0 \\ A_{32} & A_{33} & A_{34} \\ 0 & A_{43} & A_{44} \end{matrix}],

{\hat{A}}_{32} = [\begin{matrix} A_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

{\hat{A}}_{44} = [\begin{matrix} A_{33} & A_{34} \\ A_{43} & A_{44} \end{matrix}],

{\hat{A}}_{43} = [\begin{matrix} A_{32} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

如图2至图4所示，建立动车组（以CRH2型为例）的动力学仿真模型，图2中的V为动车组巡航运行时的速度。对动力学模型进行分析的动力学分析以及本发明的方法中所采用的分布式MPC控制系统框图。其中，图3中的x1是弹簧的相对位移w₀₁是第一节车厢的基本阻力；图4中的每一个MPC（Model predictive controller）对应着每一个车厢。

将上述参数代入以上参数后得到数值仿真如图5至图6所示，显示了单节车厢的速度跟踪曲线以及每节车厢的有效牵引力。

图7中显示各个动车组在合理的牵引力的调配下，车厢间的相对位移量的变化。在目标函数中代入以上参数后得到数值仿真如图7所示的车厢间相对位移变化量效果图。图7中显示的车厢间弹簧伸缩量，间接表示了各个车厢在该方法优化下的合理分配受力情况，从图7中可以看到各个动车组在合理的牵引力的调配下，车厢间的相对位移量的变化。X1、X2、X3分别表示为车厢间的相对位移。

图8和图9分别显示了动力车厢二和动力车厢三分别在原有的全局目标优化，邻域目标优化两种方法下的控制效果，其中带“*”的曲线是在本发明中使用的方法的效果曲线，显示了动车组在此方法下有效输入较小。

综上所述，本发明的一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，具有以下有益效果：

本发明的方法适用于具有动力分布式的动车组及其它高速火车，本发明可以实现的高速动车组动力分布式预测控制，是每节车厢的控制自由度更大，响应更为迅速。所以本发明的方法使得动车组在运行时保持节能经济，提高动力分配效率。

所以，本发明有效克服了现有技术中的种种缺点而具高度产业利用价值。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。

Claims

1.一种动车邻域子系统的动力分布式优化调度方法，其特征在于，包括以下步骤：

车头车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{1} = A_{11} z_{1} + B_{1} u_{1} + A_{12} z_{2};

车头和车尾之间的车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{i} = A_{ii} z_{i} + B_{i} u_{i} + A_{ii + 1} z_{i + 1} + A_{ii - 1} z_{i - 1}; i = 2, . . ., n - 1;

车尾车厢的局部子系统模型：

{\overset{\cdot}{z}}_{n} = A_{nn} z_{n} + B_{n} u_{n} + A_{nn - 1} z_{n - 1};

其中，分别为包含第1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导、第i节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导、第n节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量的一阶导；z₁、z₂、z_i、z_i+1、z_i-1、z_n、z_n-1分别为第1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第2节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i+1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第i-1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第n节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量、第n-1节车厢的速度和相关弹簧形变量的状态变量；u₁、u_i、u_n分别为第1节车厢、第i节、第n节车厢的有效牵引力输入；A₁₁、A_ii、A_nn分别为第1节车厢、第i节车厢、第n节车厢对自身的状态变量影响系数矩阵；B₁、B_i、B_n分别为第1节车厢、第i节、第n节车厢的有效牵引力输入的系数矩阵；A₁₂、A_ii+1、A_ii-1、A_nn-1分别为第2节车厢对第1节车厢、第i+1节车厢对第i节车厢、第i-1节车厢对第i节车厢、第n-1节车厢对第n节车厢的影响系数矩阵；i为第i节车厢，n为车厢总数；

S2，根据动车组局部子系统模型建立动车邻域子系统模型：

车头车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{n 1} = {\hat{A}}_{11} Z_{n 1} + {\hat{A}}_{12} Z_{n 2} + {\hat{B}}_{1} {\hat{U}}_{1};

车头和车尾之间的车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{ni} = {\hat{A}}_{ii} Z_{ni} + {\hat{A}}_{ii - 1} Z_{ni - 1} + {\hat{A}}_{ii + 1} Z_{ni + 1} + {\hat{B}}_{i} {\hat{U}}_{i}, i = 2, . . ., n - 1;

车尾车厢的邻域子系统模型：

{\overset{\cdot}{Z}}_{nn} = {\hat{A}}_{nn} Z_{nn} + {\hat{A}}_{nn - 1} Z_{nn - 1} + {\hat{B}}_{n} {\hat{U}}_{n};

其中，

分别为包含z₁z₂的第1个邻域子系统、包含z_i-1 z_i z_i+1的第i个邻域子系统、包含z_n-1 z_n的第n个邻域子系统状态变量的一阶导；Z_n1、Z_n2、Z_ni、Z_ni-1、Z_nn、Z_nn-1分别为包含z₁ z₂的第1个邻域子系统状态变量、包含z₁ z₂ z₃的第2个邻域子系统状态变量、包含z_i-1 z_i z_i+1的第i个邻域子系统状态变量、包含z_i-2 z_i-1 z_i的第i-1个邻域子系统状态变量状态变量、包含z_n-1 z_n的第n个邻域子系统状态变量、包含z_n-2 z_n-1 z_n的第n-1个邻域子系统状态变量；