CN102968804A - 对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，主要是利用三元组表对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储，并记录邻接矩阵中每一行第一个有效数据在三元组表中的位置，进而实现部分有关图的应用算法。本发明对图的邻接矩阵的压缩存储只存储邻接矩阵中每一个有效元素的行号、列号及元素值，在某些算法中，还需要少量的空间来存储邻接矩阵中每一行有效元素个数及每一行第一个有效元素在三元组表中的下标。本发明一方面保持了图的邻接矩阵表示法的优点，另一方面又解决了用邻接矩阵表示稀疏图时的空间浪费问题，同时在某些算法中还简化了操作，降低了基于邻接矩阵的算法的时间复杂度，有效地改善了软件的性能。
Description
技术领域
本发明属于软件设计技术领域，具体涉及一种对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法。
背景技术
图作为一种非线性的数据结构，被广泛应用于诸如系统工程、控制学、遗传学、网络技术、人工智能、编译系统、软件工程等多个技术领域。图常用的存储方法有邻接矩阵表示法、邻接表表示法、邻接多重表表示法以及十字链表表示法，每一种存储方法都各有利弊，在实际应用中需要根据具体问题来选择合适的存储方法。
邻接矩阵表示法是图的顺序存储方式，采用两个数组来表示图，一个一维数组用于存储图中的顶点信息，一个二维数组用于存储图中的顶点之间的关系，该二维数组被称为邻接矩阵。使用邻接矩阵来表示图，易于求出图中各个顶点的度和顶点的邻接点。但是邻接矩阵表示法需要的存储空间比较大，有向图需要n2个存储空间，而无向图采用压缩存储，只存储下三角阵，也需要
个存储空间。存储稀疏图时，存在很大的空间浪费。
发明内容
本发明的目的是提供一种对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，解决了稀疏有向图的邻接矩阵存储表示法中浪费存储空间的问题。
本发明所采用的技术方案是，对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，主要是利用三元组表对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储，并记录邻接矩阵中每一行第一个有效数据在三元组表中的位置，进而实现部分有关图的应用算法；
该方法的具体步骤如下：
步骤1，生成稀疏有向图的邻接矩阵；
步骤2，利用三元组表对该邻接矩阵进行压缩存储；
步骤3，按照实际应用进行有关图的应用算法。
本发明的特点还在于，
其中，步骤2中的三元组表只存储邻接矩阵中的有效数据及其在邻接矩阵中的行号和列号等信息；邻接矩阵中的有效数据（即图中的弧信息）用三元组元素的成员arc表示，其行号用三元组元素的成员row表示，列号用三元组元素的成员col表示。
其中，采用三元组表压缩存储邻接矩阵的具体步骤如下：
（1）输入图的顶点数及弧的数目；
（2）输入图中各顶点的信息，存放于一维数组中；
（3）按以下步骤将每一条弧的信息存储于三元组表中：
a．输入一条弧的两个顶点和权值；
b．在存放顶点信息的一维数组中分别查找两个顶点的序号；
c．将弧的相关信息存放于三元组表中，其中三元组元素的成员row为弧尾顶点的序号，成员col为弧头顶点的序号，成员arc为有向图的弧信息，包括arj和info，其中arj为弧的权值，info为弧的其他信息；
具体算法如下：
其中，步骤3中应用算法包括计算顶点的入度、计算顶点的出度、拓扑排序算法和最短路径算法。
其中，计算顶点的入度的具体步骤如下：
（1）将各顶点的入度初始化为0；
（2）在三元组表中，按每个元素的成员col来统计计算各顶点的入度；
具体算法如下：
for(i=0;i<G.vexnum;i++)indegree[i]＝0;
for(i=0;i<G.arcnum;i++)indegree[G.arcs[i].col]++。
其中，计算顶点的出度的具体步骤如下：
（1）将各顶点的出度初始化为0；
（2）在三元组表中，按每个元素的成员row来统计计算各顶点的出度；
具体算法如下：
for(i=0;i<G.vexnum;i++)outdegree[i]＝0;
for(i=0;i<G.arcnum;i++)outdegree[G.arcs[i].row]++。
其中，拓扑排序算法的基本思想是（1）先从有向图中选择一个入度为0的顶点输出，并将此顶点及以它为弧尾的所有弧删除，相对应的弧头入度减1；（2）重复执行步骤（1），直到不存在入度为0的顶点；为了避免重复检测，可以设置一个辅助栈用于存储入度为0的顶点；
具体步骤如下：
（1）计算position[]，求各顶点的入度，并初始化辅助栈，计数器设初值0；
（2）将入度为0的顶点序号入栈；
（3）若栈空，转向（5）；否则，栈顶元素出栈并输出，计数器加1；
（4）将以该顶点为弧尾的所有弧删除，相对应的弧头入度减1；若弧头入度为0，则入栈，转向（3）；
（5）若计数器值小于顶点数，说明图中有回路，非正常结束；否则正常结束；
具体算法如下：
其中最短路径算法是基于有向图的邻接矩阵的压缩存储方法，对Dijkstra算法进行实现，该算法用于计算某顶点到其它顶点的最短路径，s表示已求出的最短路径的终点集合，按最短路径长度递增的顺序逐个将其余顶点添加到s中，具体步骤如下：
（1）将v0到顶点i(i取值从0到n-1，n为顶点数)的路径path[i]初始化为空，将其路径长度dist[i]初始化为∞；
（2）计算邻接矩阵中每一行第一个有效元素（非∞）在三元组表中的下标，存储于数组position[]中；
（3）求v0到邻接自v0的顶点i的初始路径；
（4）将v0加入到s中；
（5）求v0到其它n-1个顶点的最短路径：
a.设置循环控制变量t=1；
b.如果t>n-1，转向g；
c.求出v0到不属于s的其他顶点的最短路径的dist[k]，且
d.将顶点k加入到集合s中；
e.若顶点k到不属于s的其他顶点j之间存在一条弧，则修正dist[j]及path[j]，其中
f.t++，转向b；
g.结束；
具体算法如下：
本发明的有益效果是，本发明对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，与传统的邻接矩阵表示法相比较，只需要存储邻接矩阵中有效数据在矩阵中的行号、列号及元素值，在某些算法中，还需要少量的空间用来存储矩阵中每一行有效元素的个数以及每一行第一个有效元素在三元组表中的位置，由于在稀疏有向图的邻接矩阵中存在着大量“无用”的数据信息，因此采用三元组表对邻接矩阵进行压缩存贮，更加节约存储空间，同时在某些情况下还能简化操作，降低基于邻接矩阵的算法的时间复杂度，有效地改善了软件的性能。
附图说明
图1是本发明实施例的有向图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。
一种对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，主要是利用三元组表对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储，并记录邻接矩阵中每一行第一个有效数据在三元组表中的位置，进而实现部分有关图的应用算法。
该方法的具体实施步骤如下：
步骤1，生成稀疏有向图的邻接矩阵；
图的邻接矩阵通过如下方式生成，设G=（V，{E}）是一个具有n个顶点，e条弧的有向图，
当图G是一个具有n个顶点的无权图，其邻接矩阵是具有如下性质的n×n矩阵：
当图G是一个具有n个顶点的网，则其邻接矩阵是具有如下性质的n×n矩阵：
图1是一个有向图，生成的邻接矩阵如下：
步骤2，利用三元组表对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储；三元组表只存储邻接矩阵中的有效数据及其在邻接矩阵中的行号和列号等信息。邻接矩阵中的有效数据（即图中的弧信息）用三元组元素的成员arc表示，其行号用三元组元素的成员row表示，列号用三元组元素的成员col表示。
图1生成的邻接矩阵以行为主顺序存储于三元组表中，如表1所示。
表1压缩存储邻接矩阵的三元组表
| 下标 | row | col | arc |
| 0 | 0 | 1 | 7 |
| 1 | 0 | 2 | 9 |
| 2 | 1 | 5 | 5 |
| 3 | 2 | 5 | 1 |
| 4 | 2 | 6 | 3 |
| 5 | 3 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 4 | 4 |
| 7 | 4 | 7 | 8 |
| 8 | 7 | 6 | 2 |
在这种压缩存储的方式下，图的类型描述如下：
采用三元组表压缩存储邻接矩阵的具体步骤如下：
（1）输入图的顶点数及弧的数目；
（2）输入图中各顶点的信息，存放于一维数组中；
（3）按以下步骤将每一条弧的信息存储于三元组表中：
a．输入一条弧的两个顶点和权值；
b．在存放顶点信息的一维数组中分别查找两个顶点的序号；
c．将弧的相关信息存放于三元组表中，其中三元组元素的成员row为弧尾顶点的序号，成员col为弧头顶点的序号，成员arc为有向图的弧信息，包括arj和info，其中arj为弧的权值，info为弧的其他信息。
具体算法如下：
在某些应用算法中，为了简化操作，降低算法的时间复杂度，可设置辅助数组num[]和position[]，分别用于记录邻接矩阵中每一行有效数据的个数和每一行第一个有效数据在三元组表中的存储位置，如由表1生成的辅助数组num[]和position[]如表2所示。
表2由表1生成的辅助数组num[]和position[]
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| num[i] | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| position[i] | 0 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 | 8 | 8 |
步骤3，按照实际应用的要求进行各种操作。对于有向图，可通过对三元组表中每个元素的成员row进行统计来计算每一个顶点的出度，通过对成员col进行统计来计算每一个顶点的入度。比如由表1，可以计算出序号为2顶点出度为2、入度为2。利用压缩存储后的邻接矩阵，也可以很方便地求出每一个顶点的第一个邻接点及所有邻接点，如由表1，可看出序号为2的顶点第一个邻接点是序号为5的顶点，下一个邻接点是序号为6的顶点。
所述应用算法包括计算顶点的入度、计算顶点的出度、拓扑排序算法和最短路径算法。
1.计算顶点的入度
计算顶点的入度的具体步骤如下：
（1）将各顶点的入度初始化为0；
（2）在三元组表中，按每个元素的成员col来统计计算各顶点的入度；
具体算法如下：
for(i=0;i<G.vexnum;i++)indegree[i]＝0;
for(i=0;i<G.arcnum;i++)indegree[G.arcs[i].col]++;
时间复杂度分析：
利用传统的邻接矩阵求所有顶点的入度，其时间复杂度为O（n+n2），而该算法的时间复杂度为O（n+e），由于是稀疏图，e远远小于n2。
2.计算顶点的出度
计算顶点的出度的具体步骤如下：
（1）将各顶点的出度初始化为0；
（2）在三元组表中，按每个元素的成员row来统计计算各顶点的出度；
具体算法如下：
for(i=0;i<G.vexnum;i++)outdegree[i]＝0;
for(i=0;i<G.arcnum;i++)outdegree[G.arcs[i].row]++;
时间复杂度分析同上。
3.拓扑排序算法
拓扑排序算法的基本思想是（1）先从有向图中选择一个入度为0的顶点输出，并将此顶点及以它为弧尾的所有弧删除，相对应的弧头入度减1；（2）重复执行步骤（1），直到不存在入度为0的顶点。为了避免重复检测，可以设置一个辅助栈用于存储入度为0的顶点；
具体步骤如下：
（1）计算position[]，求各顶点的入度，并初始化辅助栈，计数器设初值0；
（2）将入度为0的顶点序号入栈；
（3）若栈空，转向（5）；否则，栈顶元素出栈并输出，计数器加1；
（4）将以该顶点为弧尾的所有弧删除，相对应的弧头入度减1；若弧头入度为0，则入栈，转向（3）；
（5）若计数器值小于顶点数，说明图中有回路，非正常结束；否则正常结束；
具体算法如下：
时间复杂度分析：
基于传统的邻接矩阵的拓扑排序算法时间复杂度为O（n2）。由于稀疏图的弧很少（e<nlogn），故该算法的时间复杂度为O（nlogn），显然该算法所用的时间更少一些。
4.最短路径算法
最短路径算法是基于有向图的邻接矩阵的压缩存储方法，对Dijkstra算法进行实现。该算法用于计算某顶点到其它顶点的最短路径，s表示已求出的最短路径的终点集合，按最短路径长度递增的顺序逐个将其余顶点添加到s中，具体步骤如下：
（1）将v0到顶点i(i取值从0到n-1，n为顶点数)的路径path[i]初始化为空，将其路径长度dist[i]初始化为∞；
（2）计算邻接矩阵中每一行第一个有效元素（非∞）在三元组表中的下标，存储于数组position[]中；
（3）求v0到邻接自v0的顶点i的初始路径；
（4）将v0加入到s中；
（5）求v0到其它n-1个顶点的最短路径：
a.设置循环控制变量t=1；
b.如果t>n-1，转向g；
c.求出v0到不属于s的其他顶点的最短路径的dist[k]，且
d.将顶点k加入到集合s中；
e.若顶点k到不属于s的其他顶点j之间存在一条弧，则修正dist[j]及path[j]，其中
f.t++，转向b；
g.结束；
具体算法如下：
时间复杂度分析：
该算法与基于传统的邻接矩阵求最短路径的算法的时间复杂度属于同一个数量级，均为O(n2)。由于稀疏有向图的弧很少，事实上该算法所用的时间更少一些。
本发明对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，与传统的邻接矩阵表示法相比较，只需要存储邻接矩阵中有效数据在矩阵中的行号、列号及元素值，在某些算法中，还需要少量的空间用来存储矩阵中每一行有效元素的个数以及每一行第一个有效元素在三元组表中的位置，由于在稀疏有向图的邻接矩阵中存在着大量“无用”的数据信息，因此采用三元组表对邻接矩阵进行压缩存贮，更加节约存储空间，同时在某些情况下还能简化操作，降低基于邻接矩阵的算法的时间复杂度，有效地改善了软件的性能。
Claims (8)
1.对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：利用三元组表对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储，并记录邻接矩阵中每一行第一个有效数据在三元组表中的位置，进而实现部分有关图的应用算法；
该方法的具体步骤如下：
步骤1，生成稀疏有向图的邻接矩阵；
步骤2，利用三元组表对该邻接矩阵进行压缩存储；
步骤3，按照实际应用进行有关图的应用算法。
2.根据权利要求1所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：所述三元组表只存储邻接矩阵中的有效数据及其在邻接矩阵中的行号和列号等信息。邻接矩阵中的有效数据（即图中的弧信息）用三元组元素的成员arc表示，其行号用三元组元素的成员row表示，列号用三元组元素的成员col表示。
3.根据权利要求2所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：采用三元组表压缩存储邻接矩阵的具体步骤如下：
（1）输入图的顶点数及弧的数目；
（2）输入图中各顶点的信息，存放于一维数组中；
（3）按以下步骤将每一条弧的信息存储于三元组表中：
a．输入一条弧的两个顶点和权值；
b．在存放顶点信息的一维数组中分别查找两个顶点的序号；
c．将弧的相关信息存放于三元组表中，其中三元组元素的成员row为弧尾顶点的序号，成员col为弧头顶点的序号，成员arc为有向图的弧信息，包括arj和info，其中arj为弧的权值，info为弧的其他信息；
具体算法如下：
4.根据权利要求1或2所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：所述步骤3中应用算法包括计算顶点的入度、计算顶点的出度、拓扑排序算法和最短路径算法。
5.根据权利要求4所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：所述计算顶点的入度的具体步骤如下：
（1）将各顶点的入度初始化为0；
（2）在三元组表中，按每个元素的成员col来统计计算各顶点的入度；
具体算法如下：
for(i=0;i<G.vexnum;i++)indegree[i]＝0;
for(i=0;i<G.arcnum;i++)indegree[G.arcs[i].col]++。
6.根据权利要求4所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：所述计算顶点的出度的具体步骤如下：
（1）将各顶点的出度初始化为0；
（2）在三元组表中，按每个元素的成员row来统计计算各顶点的出度；
具体算法如下：
for(i=0;i<G.vexnum;i++)outdegree[i]＝0;
for(i=0;i<G.arcnum;i++)outdegree[G.arcs[i].row]++。
7.根据权利要求4所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：所述拓扑排序算法的基本思想是（1）先从有向图中选择一个入度为0的顶点输出，并将此顶点及以它为弧尾的所有弧删除，相对应的弧头入度减1；（2）重复执行步骤（1），直到不存在入度为0的顶点；为了避免重复检测，可以设置一个辅助栈用于存储入度为0的顶点；
具体步骤如下：
（1）计算position[]，求各顶点的入度，并初始化辅助栈，计数器设初值0；
（2）将入度为0的顶点序号入栈；
（3）若栈空，转向（5）；否则，栈顶元素出栈并输出，计数器加1；
（4）将以该顶点为弧尾的所有弧删除，相对应的弧头入度减1；若弧头入度为0，则入栈，转向（3）；
（5）若计数器值小于顶点数，说明图中有回路，非正常结束；否则正常结束；
具体算法如下：
8.根据权利要求4所述的对稀疏有向图的邻接矩阵进行压缩存储的方法，其特征在于：所述最短路径算法是基于有向图的邻接矩阵的压缩存储方法，对Dijkstra算法进行实现，该算法用于计算某顶点到其它顶点的最短路径，s表示已求出的最短路径的终点集合，按最短路径长度递增的顺序逐个将其余顶点添加到s中，具体步骤如下：
（1）将v0到顶点i(i取值从0到n-1，n为顶点数)的路径path[i]初始化为空，将其路径长度dist[i]初始化为∞；
（2）计算邻接矩阵中每一行第一个有效元素（非∞）在三元组表中的下标，存储于数组position[]中；
（3）求v0到邻接自v0的顶点i的初始路径；
（4）将v0加入到s中；
（5）求v0到其它n-1个顶点的最短路径：
a.设置循环控制变量t=1；
b.如果t>n-1，转向g；
c.求出v0到不属于s的其他顶点的最短路径的dist[k]，且
d.将顶点k加入到集合s中；
e.若顶点k到不属于s的其他顶点j之间存在一条弧，则修正dist[j]及path[j]，其中
f.t++，转向b；
g.结束；
具体算法如下：
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