CN102938022A - 一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法，属于电力系统调度自动化与电网仿真技术领域，该方法包括以下步骤：通过奇异测试矩阵检测FDNE矩阵的无源性，得到FDNE无源越界的边界角频率集合；通过摄动Y(s)中矩阵C_m和矩阵D消除检测到的无源越界的频率下的负特征值，采用特征值为摄动变量；将ΔY各个元素线性化，转化为一个二次规划问题，求取摄动后的ΔC_m和ΔD，进而求取摄动后的矩阵C_m和D，至此完成FDNE的无源校正。本方法直接保证FDNE矩阵正定，具有高效、准确的特点；在实际工程中得到应用，效果满意。

Description

一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法

技术领域

本发明属于电力系统调度自动化与电网仿真技术领域，特别涉及一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法。

背景技术

电力系统仿真是研究电力系统暂态特性的重要方法之一。根据考察的的动态过程不同，电力系统仿真可以分为电磁暂态仿真、机电暂态仿真和中长期动态仿真。其中电磁暂态仿真精度最高，主要用于研究电力系统网络元件微秒级的暂态过程，如雷电过程、波过程和直流换相失败过程等。但是高精度是以大计算量为代价的，由于计算量太大，电磁暂态仿真不适合直接用于大规模电力系统的仿真。通常对于整个大系统，保留关心部分(指的是希望详细了解暂态过程的部分)的网络元件，其他部分网络元件用网络等值来表示，再进行电磁仿真，达到减少计算量的目的。

传统的网络等值采用诺顿等值模型表示，如图1所示。右侧方框为关心部分网络；左侧方框为采用诺顿等值模型的网络等值，即用一个诺顿等值电流I_abc和一个诺顿等值节点导纳矩阵Y_abc来表示其他部分网络元件的网络等值。

诺顿等值电路中的节点导纳矩阵是在基频下形成的，因此只能表示网络元件基频特性。为了较精确地表示网络元件在各个频率下的频率特性，引入频率相关网络等值FDNE（Frequency Dependent Network Equivalent）来表示其他部分网络元件的网络等值。

基于FDNE的网络等值方法，如图2所示。右侧方框为关心部分网络；左侧方框为基于FDNE的网络等值，即用一个诺顿等值电流I_abc和一个FDNE来作为其他部分的网络等值。

FDNE的实质是一个以频率为函数的节点导纳矩阵。N×N维FDNE的数学表达式为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{y}_{11}\left(s\right)& y_{12}\left(s\right)& L& y_{1N}\left(s\right)\\ y_{21}\left(s\right)& y_{21}\left(s\right)& L& y_{2N}\left(s\right)\\ M& M& O& M\\ y_{N1}\left(s\right)& y_{N2}\left(s\right)& L& y_{\mathrm{NN}}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，s＝j2πf，f是频率，下同；

FDNE中的任一元素表示为一个频域函数：

$y\left(s\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i}{s-a_i}+d+\mathrm{sh}---\left(2\right)$

其中，极点a_i和留数c_i或均是实数，或分别以复数共轭对出现，d和h为实数，而n为极点个数。不同元素的a_i，c_i，d和h是不相同的。

在工程实现上，一般取h为0（因为对实际电网而言，在无限大的频率下，实际电网的节点导纳不可能为无穷大），并采用整体矢量拟合法生成的FDNE可以保证Y(s)各元素的极点是相同的，只是留数项c_i和常数项d不相同，则N×N维FDNE矩阵Y(s)可表示为：

$Y\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{11}}{s-a_i}& d_{12}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{12}}{s-a_i}& L& d_{11}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{1N}}{s-a_i}\\ d_{21}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{21}}{s-a_i}& d_{22}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{22}}{s-a_i}& L& d_{2N}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{2N}}{s-a_i}\\ d_{N1}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N1}}{s-a_i}& d_{N2}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{N2}}{s-a_i}& L& d_{\mathrm{NN}}+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{c_i^{\mathrm{NN}}}{s-a_i}\end{array}\right]---\left(3\right)$

将公式（3）写成传递函数的形式：

Y(s)＝C(sE-A)^-1B+D            （4）

其中，Ε为单位矩阵，其维数与矩阵A相同，

A＝diag(A₁ L A_k L A_N)         （5）

A_k＝diag(a₁ a₂ L a_n)          （6）

B＝diag(B₁ L B_k L B_N)         （7）

b_k＝[(1 1 L 1)_(1×n)]^T        （8）

$C=\left[\begin{array}{ccccccc}{C}_{11}& L& C_{1k}& L& C_{1m}& L& C_{1N}\\ M& O& M& O& M& O& M\\ C_{k1}& L& C_{\mathrm{kk}}& L& C_{\mathrm{km}}& L& C_{\mathrm{kN}}\\ M& O& M& O& M& O& M\\ C_{m1}& L& C_{\mathrm{mk}}& L& C_{\mathrm{mm}}& L& C_{\mathrm{mN}}\\ M& O& M& O& M& O& M\\ C_{N1}& L& C_{\mathrm{Nk}}& L& C_{\mathrm{Nm}}& L& C_{\mathrm{NN}}\end{array}\right]---\left(9\right)$

$C_{\mathrm{km}}=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1^{\mathrm{km}}& c_2^{\mathrm{km}}& L& c_n^{\mathrm{km}}\end{array}\right]---\left(10\right)$

$D=\left[\begin{array}{ccccccc}{d}_{11}& L& d_{1k}& L& d_{1m}& L& d_{1N}\\ M& O& M& O& M& O& M\\ d_{k1}& L& d_{\mathrm{kk}}& L& d_{\mathrm{km}}& L& d_{\mathrm{kN}}\\ M& O& M& O& M& O& M\\ d_{m1}& L& d_{\mathrm{mk}}& L& d_{\mathrm{mm}}& L& d_{\mathrm{mN}}\\ M& O& M& O& M& O& M\\ d_{N1}& L& d_{\mathrm{Nk}}& L& d_{\mathrm{Nm}}& L& d_{\mathrm{NN}}\end{array}\right]---\left(11\right)$

k,m＝1,2,L,N

由于FDNE代表的实际电力系统是无源的，在各个频率下吸收的能量为：

P(s)＝u·G(s)·u           （12）

其中，u为原始电网中的节点电压，而矩阵G(s)为各个频率下节点导纳矩阵Y(s)的实部。

但是，理论计算得到FDNE矩阵Y(s)在某些频率下是发送能量的，是有源的，即P(s)＜0，称为无源越界。有源的FDNE是不稳定的，会导致时域仿真发散。为了保证原始电网只吸收能量，即要求P(s)＞0，则矩阵G(s)在各个频率下都必须是正定的，即在各个频率下，其所有的特征值必须为正值。

找出FDNE矩阵Y(s)在哪些频率下是发送能量的过程，称为检验FDNE的无源越界；调整FDNE矩阵Y(s)的某些参数使得FDNE在所有频率下都不发送能量的过程，称为消除FDNE中的无源越界，即FDNE的无源校正。只有经过无源校正的FDNE才能够应用到电磁仿真程序中，得到不发散、有工程指导意义的结果。

现在有通过奇异测试矩阵P_as来检验公式（4）对应的FDNE是否无源越界的办法，具体如下：

定义奇异测试矩阵P_as如公式（13）所示：

P_as＝[A-B(D-E)^-1C][A-B(D+E)^-1C]（13）

其中，矩阵A，B，C，D，E与公式（4）~公式（11）中相同。

若奇异测试矩阵P_as出现负特征值λ，则

就是无源越界的临界角频率（与频率f的关系为ω＝2πf）。

若检验发现FDNE无源越界，如何进行FDNE的无源校正就显得很重要。目前还没有明确提出一种有效的、具有工程应用价值的FDNE无源校正方法。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种基于摄动法的频率相关网络等值(FDNE)的无源性校验方法；该方法具有高效、准确、实用的特点；工程实践中应用，效果满意。

本发明提出的一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：

1）检测FDNE的无源越界：

1-1）通过奇异测试矩阵P_as检测得到FDNE无源越界的边界角频率集合ω

ω＝{ω₁,ω₂,Lω_n}             （14）

其中，n为无源越界的边界角频率的个数；上述集合ω中ω₁,ω₂,Lω_n按由小到大排序；

1-2）检测FDNE矩阵Y(s)在以下s取值的无源性，

$s=\left\{j\frac{{\mathrm{\ω}}_i+{\mathrm{\ω}}_{i+1}}{2}\right\},i=\mathrm{1,2},L,n-1---\left(15\right)$

若FDNE在s下无源越界，则将频带[ω_i,ω_i+1]标识为无源越界；

1-3）检测FDNE在

和s＝2jω_n下的无源性；若FDNE在

或s＝2jω_n无源越界，则将频带[0,ω₁]或[ω_n,2ω_n]标识为无源越界；

2）基于摄动法消除FDNE中的无源越界

2-1）通过摄动Y(s)中矩阵C_m（留数项组成的矩阵）和矩阵D（常数项d_km组成的矩阵）以消除FDNE实部矩阵G(s)在第1）步中检测到的无源越界的频率下的负特征值，用数学表达式描述为：

$\mathrm{\ΔY}=\underset{m=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{\mathrm{\Δ}{C}_m}{s-a_m}\right)+\mathrm{\ΔD}\≅0---\left(a\right)$

$s.t.\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{eig}\left(\mathrm{Re}(Y+\mathrm{\ΔY})\right)>0& \left(b\right)\\ \mathrm{eig}\left(\mathrm{Re}(D+\mathrm{\ΔD})\right)>0& \left(c\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，函数eig()用来求取矩阵的特征值；

2-2）采用C_m和D的特征值为摄动变量；线性化C_m和D，则摄动量ΔC_m和ΔD可以对角化为

$\mathrm{\Δ}{C}_m=T_{C_m}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}_{C_m}{T}_{C_m}^T---\left(17\right)$

$\mathrm{\ΔD}=T_D\mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}_D{T}_D^T---\left(18\right)$

其中，

Δλ_D分别为矩阵C_m和D特征值的摄动量，

T_D为线性化之后得到的系数矩阵；

2-3）将ΔY各个元素写成矢量y_fit，对其线性化，并将C_m和D的特征值和Δλ_D做为摄动量Δx，可得

Δy_fit＝MΔx                （19）

其中， $\mathrm{\Δx}=\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}_{C_1}& L& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}_{C_m}& L& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}_{C_n}& \mathrm{\Δ}{\mathrm{\λ}}_D\end{array}\right],$ M是线性化之后得到的系数矩阵；

则公式（16）中的公式（a）可以表示为

MΔx≈0（20）

2-4）记y_fit的实部为g_fit，矩阵G(s)的特征值为λ，将λ线性化可得

Δλ＝QΔg_fit                  （21）

其中，Q是在线性化之后得到的系数矩阵；

根据公式（19）、(21)，Δλ用Δx表示，那么有

Δλ＝QΔg_fit＝QRe{Δy_fit}＝QRe{M}Δx         （22）

记R＝Q Re{M}，则公式（16）中的公式（b）和公式（c）表示为式（23）：

λ+Δλ=λ+RΔx＞0                             （23）

（5）根据公式（20）和（23），公式（16）变为公式（24）描述的一个二次规划表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_m\mathrm{\&Delta;x}-b_m\&RightArrow;0\\ B_m\mathrm{\&Delta;x}-c<0\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中，A_m＝M,B_m＝-R,c＝λ；

通过求解，可以求得摄动项Δx，并进而求取摄动后的ΔC_m和ΔD，进而求取摄动后的矩阵C_m和D，至此完成FDNE的无源校正。

本发明的特点及有益效果：

本发明为了消除FDNE中的无源越界又不过多的影响FDNE原本的特性，其主要特点是采用摄动Y(s)中每个元素的留数项

和常数项d_km以消除FDNE实部矩阵G(s)在某些频率下的负特征值。在具体操作过程中，用矩阵特征根的摄动代替矩阵的摄动，并做相关线性化处理，简化运算，实现FDNE的无源校正。

本方法直接保证FDNE矩阵正定，具有高效、准确的特点；在实际工程中得到应用，效果满意。

附图说明

图1为采用诺顿等值模型的网络等值方法示意图。

图2为基于FDNE的网络等值方法示意图。

图3为本发明的基于摄动法的频率相关网络等值的无源校正方法流程图。

具体实施方式

本发明提出的一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法结合附图及实施例详细说明如下：

本发明提出的方法总体流程如图3所示，具体包括以下步骤：

1）检测FDNE的无源越界：

1-1）通过奇异测试矩阵P_as检测得到FDNE无源越界的边界角频率集合ω

ω＝{ω₁,ω₂,Lω_n}               （14）

其中，n为无源越界的边界角频率的个数；上述集合ω中ω₁,ω₂,Lω_n按由小到大排序；

1-2）检测FDNE矩阵Y(s)在以下s取值的无源性，

$s=\left\{j\frac{{\mathrm{\&omega;}}_i+{\mathrm{\&omega;}}_i+1}{2}\right\},i=\mathrm{1,2},\mathrm{Ln}-1---\left(15\right)$

若FDNE在s下无源越界，则将频带[ω_i,ω_i+1]标识为无源越界；

1-3）检测FDNE在

和s＝2jω_n下的无源性；若FDNE在

或s＝2jω_n无源越界，则将频带[0,ω₁]或[ω_n,2ω_n]标识为无源越界；

2）基于摄动法消除FDNE中的无源越界

2-1）通过摄动Y(s)中矩阵C_m（留数项

组成的矩阵）和矩阵D（常数项d_km组成的矩阵）以消除FDNE实部矩阵G(s)在第1）步中检测到的无源越界的频率下的负特征值，用数学表达式描述为：

$\mathrm{\&Delta;Y}=\underset{m=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{C}_m}{s-a_m}\right)+\mathrm{\&Delta;D}\&cong;0---\left(a\right)$

$s.t.\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{eig}\left(\mathrm{Re}(Y+\mathrm{\&Delta;Y})\right)>0& \left(b\right)\\ \mathrm{eig}\left(\mathrm{Re}(D+\mathrm{\&Delta;D})\right)>0& \left(c\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，函数eig()用来求取矩阵的特征值；

2-2）采用C_m和D的特征值为摄动变量；线性化C_m和D，则摄动量ΔC_m和ΔD可以对角化为

$\mathrm{\&Delta;}{C}_m=T_{C_m}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_m}{T}_{C_m}^T---\left(17\right)$

$\mathrm{\&Delta;D}=T_D\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_D{T}_D^T---\left(18\right)$

其中，

Δλ_D分别为矩阵C_m和D特征值的摄动量，

T_D为线性化之后得到的系数矩阵；

2-3）将ΔY各个元素写成矢量y_fit,对其线性化，并将C_m和D的特征值

和Δλ_D做为摄动量Δx，可得

Δy_fit＝MΔx                   （19）

其中， $\mathrm{\&Delta;x}=\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_1}& L& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_m}& L& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_n}& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_D\end{array}\right],$     M是线性化之后得到的系数矩阵；

则公式（16）中的公式（a）可以表示为

MΔx≈0                        （20）

2-4）记y_fit的实部为g_fit，矩阵G(s)的特征值为λ，将λ线性化可得

Δλ＝QΔg_fit                  （21）

其中，Q是在线性化之后得到的系数矩阵；

根据公式（19）、(21)，Δλ用Δx表示，那么有

Δλ＝QΔg_fit＝QRe{Δg_fit}＝QRe{M}Δx       （22）

记R＝Q Re{M}，则公式（16）中的公式（b）和公式（c）表示为式（23）：

λ+Δλ=λ+RΔx＞0                          （23）

（5）根据公式（20）和（23），公式（16）变为公式（24）描述的一个二次规划表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_m\mathrm{\&Delta;x}-b_m\&RightArrow;0\\ B_m\mathrm{\&Delta;x}-c<0\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中，A_m＝M,B_m＝-R,c＝λ；

通过求解，可以求得摄动项Δx，并进而求取摄动后的ΔC_m和ΔD，进而求取摄动后的矩阵C_m和D，至此完成FDNE的无源校正。

Claims (1)

1.一种基于摄动法的频率相关网络等值的无源性校正方法，其特征在于，该方法具体包括以下步骤：

1）检测FDNE的无源越界：

1-1）通过奇异测试矩阵P_as检测得到FDNE无源越界的边界角频率集合ω

ω＝{ω₁,ω₂,Lω_n}       （14）

其中，n为无源越界的边界角频率的个数；上述集合ω中ω₁,ω₂,Lω_n按由小到大排序；

1-2）检测FDNE矩阵Y(s)在以下s取值的无源性：

$s=\{j+\frac{{\mathrm{\&omega;}}_i+{\mathrm{\&omega;}}_{i+1}}{2}\},i=\mathrm{1,2},\mathrm{Ln}-1---\left(15\right)$

若FDNE在s下无源越界，则将频带[ω₁,ω_i+1]标识为无源越界；

1-3）检测FDNE在

和s＝2jω_n下的无源性：若FDNE在或s＝2jω_n无源越界，则将频带[0,ω₁]或[ω_n,2ω_n]标识为无源越界；

2）基于摄动法消除FDNE中的无源越界

2-1）通过摄动Y(s)中矩阵C_m和矩阵D以消除FDNE实部矩阵G(s)在第1）步中检测到的无源越界的频率下的负特征值，用数学表达式描述为：

$\mathrm{\&Delta;Y}=\underset{m=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}{C}_m}{s-a_m}\right)+\mathrm{\&Delta;D}\&cong;0---\left(a\right)$

$s.t.\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{eig}\left(\mathrm{Re}(Y+\mathrm{\&Delta;Y})\right)>0& \left(b\right)\\ \mathrm{eig}\left(\mathrm{Re}(D+\mathrm{\&Delta;D})\right)>0& \left(c\right)\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中，函数eig()用来求取矩阵的特征值；

2-2）采用C_m和D的特征值为摄动变量；线性化C_m和D，则摄动量ΔC_m和ΔD可以对角化为

$\mathrm{\&Delta;}{C}_m=T_{C_m}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_m}{T}_{C_m}^T---\left(17\right)$

$\mathrm{\&Delta;D}=T_D\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_D{T}_D^T---\left(18\right)$

其中，

Δλ_D分别为矩阵C_m和D特征值的摄动量，

T_D为线性化之后得到的系数矩阵；

2-3）将ΔY各个元素写成矢量y_fit,对其线性化，并将C_m和D的特征值

和Δλ_D做为摄动量Δx，可得

Δy_fit＝MΔx    （19）

其中， $\mathrm{\&Delta;x}=\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_1}& L& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_m}& L& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_{C_n}& \mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&lambda;}}_D\end{array}\right],$ M是线性化之后得到的系数矩阵；

则公式（16）中的公式（a）可以表示为

MΔx≈0                 （20）

2-4）记y_fit的实部为g_fit，矩阵G(s)的特征值为λ，将λ线性化可得

Δλ＝QΔg_fit           （21）

其中，Q是在线性化之后得到的系数矩阵；

根据公式（19）、(21)，Δλ用Δx表示，那么有

Δλ＝QΔg_fit＝QRe{Δy_fit}＝QRe{M}Δx        （22）

记R＝Q Re{M}，则公式（16）中的公式（b）和公式（c）表示为式（23）：

λ+Δλ=λ+RΔx＞0      （23）

（5）根据公式（20）和（23），公式（16）变为公式（24）描述的一个二次规划表达式：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_m\mathrm{\&Delta;x}-b_m\&RightArrow;0\\ B_m\mathrm{\&Delta;x}-c<0\end{array}\right.---\left(24\right)$

其中， $A_m=M,b_m=y\left(s\right)-y_{\mathrm{fit}}^0(x,s),$ B_m＝-R,c＝λ；

通过求解，可以求得摄动项Δx，并进而求取摄动后的ΔC_m和ΔD，进而求取摄动后的矩阵C_m和D，至此完成FDNE的无源校正。

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