CN102928884A - 一种磁传感器定位方法 - Google Patents

Abstract

一种磁传感器定位方法，属于位置测量方法，解决现在磁传感器定位方法难以实现且精度不高的问题。本发明包括：（1）装置安装步骤，（2）数据采集步骤，（3）构建磁场强度函数步骤，（4）设定磁传感器位置原始值步骤，（5）构建三维空间矩形立方体步骤，（6）网格点搜索步骤，（7）优化搜索步骤，（8）参数更新步骤。本发明用于水下磁传感器定位精度可达0.2m，所需设备均为通用设备，不需要声纳、雷达等复杂设备；由于采用整个运动轨迹上的磁场强度信息，对环境磁场噪声的抗干扰能力强，不受地形、地貌、风、浪、流等自然环境因素的影响，可广泛用于水下定位、地下勘测、医学等领域，尤其适用于常规定位方法难以适用的场合。

Description

一种磁传感器定位方法

技术领域

本发明属于位置测量方法，具体涉及一种磁传感器定位方法。

背景技术

为了测量舰船磁场，需要在海底布放一些磁传感器。然而，准确、快速、方便地确定磁传感器在海底的布放位置却是一个难题。目前确定磁传感器在海底的布放位置，一般都是靠浮标标定，即将磁传感器系上浮标，放入海底，浮标露出水面的位置就代表了磁传感器的位置，但在海流的冲击作用下浮标很可能会发生较大偏移，因此这种方式标定出的磁传感器位置偏差会很大。

隗燕琳、肖昌汉在“基于舰船矢量磁场的定位方法”一文中，根据海底磁传感器测量的舰船磁场采用优化算法，可以得出舰船与磁传感器的相对位置，从而根据舰船位置可以确定磁传感器的位置；见《上海交通大学学报》，2009，43(8)：1216-1221；但该方法计算处理过程比较复杂，得出的磁传感器位置也非常粗略。

张朝阳、肖昌汉在“海底布放磁传感器的磁定位方法的模拟实验研究”一文中，提出在磁传感器上安装通电螺线管线圈，在海面采用磁传感器测量线圈磁场，通过一定的优化算法确定通电螺线管位置，从而实现磁传感器的定位；见《上海交通大学学报》，2011，45(6)：826-830；但是这种方法需要在海面进行精确磁场测量，而这在实际工程上是难以实现的。

Jonas Callmer，Martin Skoglund，Fredrik Gustafsson．在“Silent localization ofunderwater sensors using magnetometers”一文中．将舰船磁场等效为单个磁极子产生的磁场，在舰船磁矩和磁传感器离水面的垂直距离已知的基础上，由磁场测量值和深度值来确定传感器与偶极子的相对位置的水平分量，即实现了磁传感器定位；见《Eurasip Journal on Advances in signal processing》，2009:1-8；这种方法需要预知舰船的精确磁矩，然而准确获取舰船磁矩的精确值是非常困难的，因此这种方法的定位效果较差。

杨明明、刘大明、连丽婷、张朝阳在“用海面磁偶极子源定位海底矢量磁传感器”一文中，采用海面的通电线圈作为磁偶极子源来定位海底传感器。该方法将载流线圈用多个磁偶极子来等效，在综合深度测量值和磁感应强度矢量测量值的基础上将位置确定问题转换成以传感器位置为参变量的非线性无约束优化问题，并采用L-M算法求解该问题的加权最小二乘解，实现磁传感器定位；见《探测与控制学报》，2011，33(5)：41-45；但是载流线圈的搭载平台在海上容易受到海洋环境的影响，产生复杂的位移和姿态变化，会导致定位结果存在非常大的误差。

发明内容

本发明提供一种磁传感器定位方法，解决现在磁传感器定位方法难以实现且精度不高的问题，以精确、可靠、方便地实现磁传感器的精确定位，满足舰船磁场测量等领域的需要。

本发明所提供的一种磁传感器定位方法，包括以下步骤：

（1）装置安装步骤：在载体上安装电磁线圈、姿态方位测量装置和恒流电源，电磁线圈和姿态方位测量装置固连，电磁线圈和恒流电源通过电缆连接，将磁传感器和数据采集分析装置电信号连接；

（2）数据采集步骤：

使载体从磁传感器附近通过，同时由恒流电源给电磁线圈通加恒定电流，电磁线圈产生磁矩M；

所述数据采集分析装置和姿态方位测量装置同步，按照相同的时间序列t，由姿态方位测量装置实时记录电磁线圈的运动轨迹c(t)和姿态a(t)，运动轨迹c(t)在直角坐标系中对应的三维坐标分别为X(t)、Y(t)、Z(t)，姿态a(t)包括航向角α(t)、倾角β(t)、横摇角γ(t)；由数据采集分析装置实时采集磁传感器感应的磁场强度测量值Bm(t)；

（3）构建磁场强度函数步骤：

以电磁线圈的磁矩M、运动轨迹c(t)、姿态a(t)为已知量，以磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)为未知量，构建电磁线圈在磁传感器上产生的磁场强度函数：

$\mathrm{Bc}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\×\frac{r^{2}M-3r(r\×M)}{r^5}\×T,$

T=T_Y×T_X×T_Z，

$T_Y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)\end{array}\right],$

$T_X=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)\\ 0& -\sin \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)& \cos \mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right],$

$T_Z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& 0\\ -\sin \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

$r=T\×\left[\begin{array}{c}{X}_s-X\left(t\right)\\ Y_s-Y\left(t\right)\\ Z_s-Z\left(t\right)\end{array}\right],$

r=|r|，

式中：μ₀为空气磁导率；磁矩M为矢量，单位为A·m²；

（4）设定磁传感器位置原始值步骤：

求得数据采集分析装置实时采集磁场强度Bm(t)的最大值Bm(t_max)，其所对应时刻为t_max，将该时刻电磁线圈运动轨迹点c(t_max)的三维坐标值X(t_max)、Y(t_max)、Z(t_max)作为磁传感器位置原始值；

置磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)=P0(X(t_max),Y(t_max),Z(t_max))，置系数变量Q=1；

（5）构建三维空间矩形立方体步骤：

以点P(X_s,Y_s,Z_s)为中心，构建一个三维空间矩形立方体，其X、Y、Z方向的边长分别为Q×I×R、Q×J×R、Q×K×R，1.5≤I、J、K≤3；

R=(200×M／Bm(t_max))^1/3，为电磁线圈在磁传感器上产生磁场最大值时二者之间距离，此时磁场Bm(t_max)的单位为nT；

（6）网格点搜索步骤：

将三维空间矩形立方体划分为I1×J1×K1的立体网格，I1、J1、K1分别取3～20，遍历所述立体网格的各网格点，将各网格点作为磁传感器位置P，计算在磁传感器上产生的磁场强度函数Bc(t)，并将其与对应的磁场强度测量值Bm(t)比较，找到磁场强度函数Bc(t)与磁场强度测量值Bm(t)二者之间差别最小的网格点P1(X₁,Y₁,Z₁)；

（7）优化搜索步骤：以P1(X₁,Y₁,Z₁)为初始值，对磁传感器位置P进行优化搜索，得到优化点P2(X₂,Y₂,Z₂)；

（8）参数更新步骤：

置磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)=P2(X₂,Y₂,Z₂)，置系数变量Q=（0.1～0.95）Q；判断Q×I×R、Q×J×R和Q×K×R是否均小于磁传感器定位精度预定值，是则输出磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)，否则转步骤（5）。

所述的磁传感器定位方法，其特征在于：

所述数据采集步骤中，电磁线圈运动轨迹与磁传感器之间的直线距离小于D=(200×|M|／100nT)^1/3，其中，|M|为M的模，D的单位为m。

所述的磁传感器定位方法，其特征在于，所述优化搜索步骤包括下述子步骤：

（7.1）设待优化参数为x=(X_s,Y_s,Z_s)，待优化问题为无约束三维极值问题minf(x），f(x）=|Bc(t)-Bm(t)|，给定初始点x⁽⁰⁾＝(X₁,Y₁,Z₁)，初始矩阵 $H_0=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ 精度0＜ε＜10^-6；

（7.2）判断是否

是则极小点为x⁽⁰⁾，P2(X₂,Y₂,Z₂)＝x⁽⁰⁾，停止，否则转子步骤（7.3）；

（7.3）取 $p^{\left(0\right)}=-H_0\▿f\left(x^{\left(0\right)}\right),$ 且令k＝0；

（7.4）用一维搜索求q_k，使得 $f(x^{\left(k\right)}+q_k{p}^{\left(k\right)})=\underset{q\≥0}{\min }f(x^{\left(k\right)}+q{p}^{\left(k\right)}),$

令x^(k+1)=x^(k)+q_kp^(k)，进行子步骤（7.5）；

（7.5）判断是否

是则极小点为x^(k+1)，P2(X₂,Y₂,Z₂)＝x^(k+1)，停止，否则转子步骤（7.6）；

（7.6）判断是否k+1＝3，是则令x⁽⁰⁾＝x⁽³⁾，转子步骤（7.3）；否则转子步骤（7.7）；

（7.7）令

$H_{k+1}=H_k+\frac{S^{\left(k\right)}{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T}{{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{y}^{\left(k\right)}}[1+\frac{{\left(y^{\left(k\right)}\right)}^T{H}_k{y}^{\left(k\right)}}{{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{y}^{\left(k\right)}}]-\frac{1}{{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{y}^{\left(k\right)}}[S^{\left(k\right)}{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{H}_k+H_k{y}^{\left(k\right)}{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T],$

其中：S^(k)＝x^(k+1)-x^(k)， $y^{\left(k\right)}=\▿f\left(x^{(k+1)}\right)-\▿f\left(x^{\left(k\right)}\right),$ 取 $p^{\left(k\right)}=-H_{k+1}\▿f\left(x^{(k+1)}\right),$ 置k＝k+1，转子步骤（7.4）。

本发明充分考虑载体上电磁线圈的方位和姿态不停变化，而磁传感器的位置固定不动的特殊形式，在电磁线圈上安装姿态方位测量装置，使电磁线圈从磁传感器附近通过，安装在电磁线圈上的姿态方位测量装置实时测量电磁线圈的运动轨迹和姿态，用磁传感器实时地精确测量电磁线圈产生的磁场强度，以电磁线圈的磁矩、运动轨迹、姿态为已知量，以磁传感器的位置为未知量，构建电磁线圈在磁传感器上产生的磁场强度函数；采用最优化算法对磁传感器的坐标位置进行搜索，使得搜索位置处的磁传感器上的磁场强度函数值与磁场强度测量值二者之间差别最小，实现磁传感器的精确定位。

本发明的定位精度高、实现简单、抗干扰能力强、环境适应性强，用于水下磁传感器定位精度可达0.2m，高于目前流行的水下声学定位法0.5m的定位精度；所需设备都是容易获取的通用设备，不需要声纳、雷达等复杂设备；由于采用整个运动轨迹上的磁场强度信息，对环境磁场噪声的抗干扰能力强，不受地形、地貌、风、浪、流等自然环境因素的影响；可广泛用于水下定位、地下勘测、医学等领域，尤其适用于常规定位方法难以适用的场合。

附图说明

图1为本发明所使用的装置示意图；

图2为电磁线圈运动轨迹示意图；

图3为电磁线圈姿态示意图；

图4为电磁线圈在磁传感器上产生的磁场强度测量值；

图5为磁传感器位置处的电磁线圈的磁场强度函数。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明进一步说明。

实施例1，对设置在海底的磁传感器定位，包括以下步骤：

（1）装置安装步骤：如图1所示，在无磁小艇（载体）上安装电磁线圈1、姿态方位测量装置3和恒流电源2，电磁线圈1和姿态方位测量装置3固连，电磁线圈1和恒流电源2通过电缆连接；将磁传感器4和数据采集分析装置5电信号连接；电磁线圈的匝数为200匝，面积4m²，电流25A，可产生恒定磁矩M=20000A·m²，姿态方位测量装置（XW-ADU7635型姿态方位组合导航系统）定位精度为0.02m、姿态精度为0.1°，恒流电源（PSW80-40.5型）供电精度为1‰，磁传感器（8100LMS型）分辨率为0.1nT，数据采集分析装置为一台SVT13117ECS型笔记本计算机；

（2）数据采集步骤：

使无磁小艇（载体）从磁传感器距离约40m的位置处通过，同时由恒流电源给电磁线圈通加恒定电流，电磁线圈产生恒定磁矩M=20000A·m²；

所述数据采集分析装置和姿态方位测量装置同步，按照相同的时间序列t=1，2，...，100s，由姿态方位测量装置实时记录电磁线圈的运动轨迹c(t)和姿态a(t)，运动轨迹c(t)在直角坐标系中对应的三维坐标分别为X(t)、Y(t)、Z(t)，本实施例中，电磁线圈运动轨迹的Z方向坐标在水平面附近，图2所示为电磁线圈运动轨迹的X、Y方向坐标；姿态a(t)包括航向角α(t)、俯仰角β(t)、横滚角γ(t)，如图3所示；由数据采集分析装置实时采集磁传感器感应的磁场强度测量值Bm(t)，如图4所示，图中，Bm_X、Bm_Y、Bm_Z分别为Bm(t)在X、Y、Z方向的分量；

（3）构建磁场强度函数步骤：

以电磁线圈的磁矩M、运动轨迹c(t)、姿态a(t)为已知量，以磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)为未知量，构建电磁线圈在磁传感器上产生的磁场强度函数：

$\mathrm{Bc}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\×\frac{r^{2}M-3r(r\×M)}{r^5}\×T,$

T=T_Y×T_X×T_Z，

$T_Y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)\end{array}\right],$

$T_X=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)\\ 0& -\sin \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)& \cos \mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right],$

$T_Z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& 0\\ -\sin \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

$r=T\×\left[\begin{array}{c}{X}_s-X\left(t\right)\\ Y_s-Y\left(t\right)\\ Z_s-Z\left(t\right)\end{array}\right],$

r=|r|，

式中：μ₀为空气磁导率；M为磁矩矢量，单位为A·m²；

（4）设定磁传感器位置原始值步骤：

求得数据采集分析装置实时采集磁场强度Bm(t)的最大值Bm(t_max)，其所对应时刻为t_max=34s，将该时刻电磁线圈运动轨迹点c(t_max)的三维坐标值X(t_max)=67.85m、Y(t_max)=40.66m、Z(t_max)=0.2m作为磁传感器位置原始值，置磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)=P0(X(t_max),Y(t_max),Z(t_max))，置系数变量Q=1；

（5）构建三维空间矩形立方体步骤：

以点P(X_s,Y_s,Z_s)为中心，构建一个三维空间矩形立方体，其X、Y、Z方向的边长分别为Q×2×R、Q×2×R、Q×2×R；

R=(200×M／Bm(t_max))^1/3=28.84m，为电磁线圈在磁传感器上产生磁场最大值时二者之间距离，此时磁场Bm(t_max)的单位为nT；

（6）网格点搜索步骤：

将三维空间矩形立方体划分为10×10×10的立体网格，遍历所述立体网格的各网格点，将各网格点作为磁传感器位置P，计算在磁传感器上产生的磁场强度函数Bc(t)，如图5所示，图中，Bc_X、Bc_Y、Bc_Z分别为Bc(t)在X、Y、Z方向的分量；并将Bc(t)与对应的磁场强度测量值Bm(t)比较，找到磁场强度函数Bc(t)与磁场强度测量值Bm(t)二者之间差别最小的网格点P1(X₁,Y₁,Z₁)；

（7）优化搜索步骤：以P1(X₁,Y₁,Z₁)为初始值，对磁传感器位置P进行优化搜索，得到优化点P2(X₂,Y₂,Z₂)；

（8）参数更新步骤：

置磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)=P2(X₂,Y₂,Z₂)，置系数变量Q=0.3Q；判断Q×2×R、Q×2×R和Q×2×R是否均小于磁传感器定位精度预定值0.1m，是则输出磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)，否则转步骤（5）。

最终，P(X_s,Y_s,Z_s)=P(68.75m，70.14m，-20.05m)，定位误差小于0.1m。

实施例2，对设置在海底的磁传感器定位，和实施例1的区别在于装置安装步骤中：电磁线圈的匝数为90匝，面积4m²，电流25A，可产生恒定磁矩M=9000A·m²，恒流电源（SGB-60V/50A型）供电精度为1%，磁传感器（7100-MMS型）分辨率为1nT。

本实施例中，由于恒流电源及磁传感器的精度均较低，最终可以实现的磁传感器定位误差小于0.2m。

Claims (3)

1.一种磁传感器定位方法，包括以下步骤：

（1）装置安装步骤：在载体上安装电磁线圈、姿态方位测量装置和恒流电源，电磁线圈和姿态方位测量装置固连，电磁线圈和恒流电源通过电缆连接；将磁传感器和数据采集分析装置电信号连接；

（2）数据采集步骤：

使载体从磁传感器附近通过，同时由恒流电源给电磁线圈通加恒定电流，电磁线圈产生磁矩M；

所述数据采集分析装置和姿态方位测量装置同步，按照相同的时间序列t，由姿态方位测量装置实时记录电磁线圈的运动轨迹c(t)和姿态a(t)，运动轨迹c(t)在直角坐标系中对应的三维坐标分别为X(t)、Y(t)、Z(t)，姿态a(t)包括航向角α(t)、纵倾角β(t)、横摇角γ(t)；由数据采集分析装置实时采集磁传感器感应的磁场强度测量值Bm(t)；

（3）构建磁场强度函数步骤：

以电磁线圈的磁矩M、运动轨迹c(t)、姿态a(t)为已知量，以磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)为未知量，构建电磁线圈在磁传感器上产生的磁场强度函数：

$\mathrm{Bc}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\×\frac{r^{2}M-3r(r\×M)}{r^5}\×T,$

T=T_Y×T_X×T_Z，

$T_Y=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)& 0& -\sin \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)\\ 0& 1& 0\\ \sin \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)& 0& \cos \left(\mathrm{\γ}\left(t\right)\right)\end{array}\right],$

$T_X=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)\\ 0& -\sin \left(\mathrm{\β}\left(t\right)\right)& \cos \mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right],$

$T_Z=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& 0\\ -\sin \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\α}\left(t\right)\right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

$r=T\×\left[\begin{array}{c}{X}_s-X\left(t\right)\\ Y_s-Y\left(t\right)\\ Z_s-Z\left(t\right)\end{array}\right],$

r=|r|，

式中：μ₀为空气磁导率；磁矩M为矢量，单位为A·m²；

（4）设定磁传感器位置原始值步骤：

求得数据采集分析装置实时采集磁场强度Bm(t)的最大值Bm(t_max)，其所对应时刻为t_max，将该时刻电磁线圈运动轨迹点c(t_max)的三维坐标值X(t_max)、Y(t_max)、Z(t_max)作为磁传感器位置原始值，

置磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)=P0(X(t_max)、Y(t_max)，Z(t_max))；置系数变量Q=1；

（5）构建三维空间矩形立方体步骤：

以点P(X_s,Y_s,Z_s)为中心，构建一个三维空间矩形立方体，其X、Y、Z方向的边长分别为Q×I×R、Q×J×R、Q×K×R，1.5≤I、J、K≤3；

R=(200×M／Bm(t_max))^1/3，为电磁线圈在磁传感器上产生磁场最大值时二者之间距离，此时磁场Bm(t_max)的单位为nT；

（6）网格点搜索步骤：

将三维空间矩形立方体划分为I1×J1×K1的立体网格，I1、J1、K1分别取3～20，遍历所述立体网格的各网格点，将各网格点作为磁传感器位置P，计算在磁传感器上产生的磁场强度函数Bc(t)，并将其与对应的磁场强度测量值Bm(t)比较，找到磁场强度函数Bc(t)与磁场强度测量值Bm(t)二者之间差别最小的网格点P1(X₁,Y₁,Z₁)；

（7）优化搜索步骤：以P1(X₁,Y₁,Z₁)为初始值，对磁传感器位置P进行优化搜索，得到优化点P2(X₂,Y₂,Z₂)；

（8）参数更新步骤：

置磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)=P2(X₂,Y₂,Z₂)，置系数变量Q=(0.1～0.95)Q；判断Q×I×R、Q×J×R和Q×K×R是否均小于磁传感器定位精度预定值，是则输出磁传感器位置P(X_s,Y_s,Z_s)，否则转步骤（5）。

2.如权利要求1所述的磁传感器定位方法，其特征在于：

所述数据采集步骤中，电磁线圈运动轨迹与磁传感器之间的直线距离小于D=(200×|M|／100nT)^1/3，其中，|M|为M的模，D的单位为m。

3.如权利要求1或2所述的磁传感器定位方法，其特征在于，所述优化搜索步骤包括下述子步骤：

（7.1）设待优化参数为x=(X_s,Y_s,Z_s)，待优化问题为无约束三维极值问题minf(x），f(x）=|Bc(t)-Bm(t)|，给定初始点x⁽⁰⁾＝(X₁,Y₁,Z₁)，初始矩阵 $H_0=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ 精度0＜ε＜10^-6；

（7.2）判断是否

是则极小点为x(0)，P2(X₂,Y₂,Z₂)＝x⁽⁰⁾，停止，否则转子步骤（7.3）；

（7.3）取 $p^{\left(0\right)}=-H_0\▿f\left(x^{\left(0\right)}\right),$ 且令k＝0；

（7.4）用一维搜索求q_k，使得 $f(x^{\left(k\right)}+q_k{p}^{\left(k\right)})=\underset{q\≥0}{\min }f(x^{\left(k\right)}+q{p}^{\left(k\right)}),$

令x^(k+1)=x^(k)+q_kp^(k)，进行子步骤（7.5）；

（7.5）判断是否

是则极小点为x^(k+1)，P2(X₂,Y₂,Z₂)＝x^(k+1)，停止，否则转子步骤（7.6）；

（7.6）判断是否k+1＝3，是则令x⁽⁰⁾＝x⁽³⁾，转子步骤（7.3）；否则转子步骤（7.7）；

（7.7）令

$H_{k+1}=H_k+\frac{S^{\left(k\right)}{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T}{{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{y}^{\left(k\right)}}[1+\frac{{\left(y^{\left(k\right)}\right)}^T{H}_k{y}^{\left(k\right)}}{{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{y}^{\left(k\right)}}]-\frac{1}{{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{y}^{\left(k\right)}}[S^{\left(k\right)}{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T{H}_k+H_k{y}^{\left(k\right)}{\left(S^{\left(k\right)}\right)}^T],$

其中：S^(k)＝x^(k+1)-x^(k)， $y^{\left(k\right)}=\▿f\left(x^{(k+1)}\right)-\▿f\left(x^{\left(k\right)}\right),$ 取 $p^{\left(k\right)}=-H_{k+1}\▿f\left(x^{(k+1)}\right),$ 置k＝k+1，转子步骤（7.4）。

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