CN102880803B - 一种复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于响应耦合技术的转动自由度频率响应函数估计方法，主要适用于复杂机械结构中转动自由度频率响应函数的估计。本发明利用响应耦合（Receptance coupling）技术，首先根据需要估计的转动自由度频率响应函数，将复杂机械结构分解为子结构A和子结构B，并在子结构A上便于测量的位置选择第一测点，在子结构A和B的结合面处选择第二测点；然后利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数，求解子结构A和子结构B结合面处的频率响应函数矩阵；最后可计算得到两个测点处与转动自由度有关的所有频率响应函数。该发明基于响应耦合技术，实施方便、计算结果准确，为转动自由度频率响应函数的估计提供了又一有效的技术。

Description

一种复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法

技术领域

本发明属于复杂机械结构的分析技术领域，涉及一种复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法。

背景技术

广泛应用的有限元技术，分析简单机械结构时可以达到很高的精度，然而用其对复杂机械结构进行建模和动力学分析时，很难得到令人满意的结果。原因之一就是人们对复杂结构中各子系统间的耦合关系认识不清，在建模时常常对其进行不合理的简化，导致建立的模型精度不高，难以匹配实验结果。因此对于复杂机械结构的有限元模型，需要进行修正以提高精度。

高质量的频率响应函数是对机械结构的有限元模型进行成功修正的基础。工程中通常利用试验模态测试法测量结构的频率响应函数，由于实验条件限制，一般只能测量机械结构平动自由度的频率响应函数。对于转动自由度，由于角位移难以测量而且代价高昂，其频率响应函数难以利用试验直接获得。因此，迫切需要一种能准确估计转动自由度频率响应函数的方法。

目前估计转动自由度频率响应函数的方法主要有Yoshimura（YoshimuraT,Hosoya N.FRF estimation on rotational degrees of freedom of structures[J].Proceedings of the International Modal Analysis Conference-IMAC,2000,2:1667-1671.Yoshimura T,Hosoya N.结构转动自由度频率响应函数的估计[J].国际模态分析会议论文集，2000，2:1667-1671.）提出的T型块法（T-blockapproach）。该方法对T型块的安装要求很高，实施不便，计算过程复杂，精度较低。

响应耦合（Receptance Coupling）技术是对复杂系统或结构的动态特性进行求解的一种方法(Ren Y,Beards CF.On Substructure Synthesis with FRFData[J].Journal of Sound and Vibration,1995,185(5):845-866.Ren Y,BeardsCF.利用FRF数据进行子结构综合.声振学报，1995,185(5):845-866)。该理论中，将复杂的系统分解为若干个简单子结构，分别用解析法或实验法得到各个子系统的频率响应函数，再根据子系统之间的耦合关系，即共同边界上的平衡条件（Equilibrium condition）及相容条件（Compatibility condition）对子系统进行合成，最终求得总系统的动态响应。

发明内容

本发明解决的问题在于提供一种复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，该方法是基于响应耦合技术，实施方便、计算结果准确，为复杂机械结构提供准确可靠的转动自由度频率响应函数估计方法。

本发明是通过以下技术方案来实现：

一种复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，包括以下步骤：

1）根据被测量转动自由度频率响应函数的激励点和响应点，将待分析的复杂机械结构分解为子结构A和子结构B，子结构A能够用有限元方法准确建模，在子结构A上选择出第一测点，在子结构A和子结构B的结合面处选择出第二测点；

2）利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数：

第一测点处平动自由度的原点频率响应函数g_11,ff，第二测点处平动自由度的原点频率响应函数g_22,ff，第一测点与第二测点之间平动自由度的频率响应函数g_12,ff；

其中，g_11,ff为激励点为第一测点，响应点为第一测点时测得的平动自由度频率响应函数；g_12,ff为激励点为第二测点，响应点为第一测点时测得的平动自由度频率响应函数；g_22,ff为激励点为第二测点，响应点为第二测点时测得的平动自由度频率响应函数；

3）子结构A在自由状态下的所有频率响应函数利用有限元模型得到数值解，然后利用响应耦合技术求解子结构A和子结构B结合面处的耦合频率响应函数矩阵H₂；

4）由结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂计算得到第一测点处与转动自由度有关的频率响应函数，第二测点处与转动自由度有关的频率响应函数，第一测点与第二测点之间与转动自由度有关的频率响应函数。

所述的转动自由度频率响应函数为待分析的复杂机械结构上任意两个激励点和响应点之间与转动自由度有关的频率响应函数；根据激励点和响应点，选定第一测点和第二测点。

所述的子结构A和子结构B通过阻尼、转动刚度和平动刚度结合。

若转动自由度频率响应函数的激励点和响应点为不同测点，则在子结构A上选择出第一测点，在子结构A和子结构B的结合面处选择出第二测点；如果子结构A上选的第一测点是激励点，则子结构A和子结构B的结合面处选择的第二测点为响应点；如果子结构A上选的第一测点是响应点，则子结构A和子结构B的结合面处选择的第二测点为激励点；

若转动自由度频率响应函数的激励点和响应点为同一测点，则该测点即为子结构A上的第一测点，仍在子结构A和子结构B的结合面处选择出第二测点。

所述步骤2）利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数时，激励点采用激振力锤来进行锤击，响应点利用加速度传感器来检测加速度振动响应信号，由信号采集系统计算分析。

所述求解子结构A和子结构B结合面处的频率响应函数矩阵H₂为：

假设测点在一个平面内的运动由平动和转动自由度组成，输入力F是由力f和力矩M组成的向量，输出响应X由平动位移x和转动位移θ组成，输入力与输出响应的关系为

$\left\{\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{\mathrm{ij},\mathrm{ff}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{fM}}\\ h_{\mathrm{ij},\mathrm{Mf}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}f\\ M\end{array}\right\}\→X=H_{\mathrm{ij}}\·F---\left(2\right)$

（1）式中， $H_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{\mathrm{ij},\mathrm{ff}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{fM}}\\ h_{\mathrm{ij},\mathrm{Mf}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ 其中h_ij,ff为测点j的平动自由度与测点i的平动自由度之间的频率响应函数，h_ij,fM为测点j的转动自由度与测点i的平动自由度之间的频率响应函数，h_ij,Mf为测点j的平动自由度与测点i的转动自由度之间的频率响应函数，h_ij,MM为测点j的转动自由度与测点i的转动自由度之间的频率响应函数；

在复杂机械结构中第一测点处施加外力F₁，只考虑第一测点和第二测点处的响应X₁和X₂，得到复杂机械结构的频率响应函数矩阵G₁₁和G₂₁如下：

$\begin{array}{c}{G}_{11}=\frac{X_1}{F_1}=H_{A,11}-H_{A,12}{H}_2^{-1}{H}_{A,21}\\ G_{21}=\frac{X_2}{F_1}=H_{A,21}-H_{A,22}{H}_2^{-1}{H}_{A,21}\end{array}---\left(2\right)$

（2）式中，H_A,11为子结构A中第一测点的原点频率响应函数矩阵，H_A,12为子结构A中第一测点和第二测点之间的频率响应函数矩阵，H_A,21为子结构A中第二测点和第一测点之间的频率响应函数矩阵，H_A,22为子结构A中第二测点的原点频率响应函数矩阵，H₂为结合面处耦合频率响应函数矩阵；

H_A,11，H_A,12，H_A,21，H_A,22和H₂的矩阵形式表达式为：

$H_{A,11}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A11,\mathrm{ff}}& h_{A11,\mathrm{fM}}\\ h_{A11,\mathrm{Mf}}& h_{A11,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $H_{A,12}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$

$H_{A,21}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $H_{A,22}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$

$H_2=\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

G₁₁和G₂₁的矩阵表达式为：

$G_{11}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11,\mathrm{ff}}& g_{11,\mathrm{fM}}\\ g_{11,\mathrm{Mf}}& g_{11,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $G_{21}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{21,\mathrm{ff}}& g_{21,\mathrm{fM}}\\ g_{21,\mathrm{Mf}}& g_{21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

仅在第二测点处施加外力F₂，可得频率响应函数矩阵G₁₂和G₂₂：

$\begin{array}{c}{G}_{12}=\frac{X_1}{F_2}=H_{A,12}-H_{A,12}{H}_2^{-1}{H}_{A,22}\\ G_{22}=\frac{X_2}{F_2}=H_{A,22}-H_{A,22}{H}_2^{-1}{H}_{A,22}\end{array}---\left(3\right)$

上式中，G₁₂和G₂₂的矩阵表达式为：

$G_{12}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{12,\mathrm{ff}}& g_{12,\mathrm{fM}}\\ g_{12,\mathrm{Mf}}& g_{12,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $G_{22}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{22,\mathrm{ff}}& g_{22,\mathrm{fM}}\\ g_{22,\mathrm{Mf}}& g_{22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

将G₁₁，G₂₁，G₁₂和G₂₂用频率响应函数矩阵形式表示如（4）式：

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11,\mathrm{ff}}& g_{11,\mathrm{fM}}\\ g_{11,\mathrm{Mf}}& g_{11,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A11,\mathrm{ff}}& h_{A11,\mathrm{fM}}\\ h_{A11,\mathrm{Mf}}& h_{A11,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{21,\mathrm{ff}}& g_{21,\mathrm{fM}}\\ g_{21,\mathrm{Mf}}& g_{21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{12,\mathrm{ff}}& g_{12,\mathrm{fM}}\\ g_{12,\mathrm{Mf}}& g_{12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{22,\mathrm{ff}}& g_{22,\mathrm{fM}}\\ g_{22,\mathrm{Mf}}& g_{22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

分别取频率响应函数矩阵G₁₁，G₁₂和G₂₂中的第一个元素，得方程组式（5）:

$\left\{\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{ff}}=h_{A11,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{12,\mathrm{ff}}=h_{A12,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{22,\mathrm{ff}}=h_{A22,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ h_{2,\mathrm{fM}}=h_{2,\mathrm{Mf}}\end{array}\right.$

式（5）为一个含有4个未知数h_2,ff，h_2,fM，h_2,Mf和h_2,MM的方程组，子结构A在自由状态下的所有频率响应函数H_A,11，H_A,12，H_A,21和H_A,22利用有限元模型得到数值解；g_11,ff，g_12,ff和g_22,ff为复杂机械结构上平动自由度的频率响应函数，由步骤2）得到；利用式（5）解出结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂。

所述将结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂代入式（4）中，计算得到第一测点处与转动自由度有关的频率响应函数g_11,fM、g_11,Mf和g_11,MM，其中：g_11,fM为第一测点处转动自由度与平动自由度之间的频率响应函数，g_11,Mf为第一测点处平动自由度与转动自由度之间的频率响应函数，g_11,MM为第一测点处转动自由度的原点频率响应函数；

第二测点处与转动自由度有关的频率响应函数g_22,fM、g_22,Mf和g_22,MM，其中：g_22,fM为第二测点处转动自由度与平动自由度之间的频率响应函数，g_22,Mf为第二测点处平动自由度与转动自由度之间的频率响应函数，g_22,MM为第二测点处转动自由度的原点频率响应函数；

第一测点和第二测点之间与转动自由度有关的频率响应函数g_21,fM、g_21,Mf、g_21,MM、g_12,fM、g_12,Mf和g_12,MM，其中：g_21,fM为第一测点处转动自由度与第二测点处平动自由度之间的频率响应函数，g_21,Mf为第一测点处平动自由度与第二测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_21,MM为第一测点处转动自由度与第二测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_12,fM为第二测点处转动自由度与第一测点处平动自由度之间的频率响应函数，g_12,Mf为第二测点处平动自由度与第一测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_12,MM为第二测点处转动自由度与第一测点处转动自由度之间的频率响应函数。

所述的第一测点处转动自由度的原点频率响应函数g_11,MM、第二测点处转动自由度的原点频率响应函数g_22,MM，第一测点与第二测点之间转动自由度频率响应函数g_21,MM，分别表示如下：

$\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{MM}}=h_{A11,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{fM}}(h_{A12,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{MM}}(h_{A12,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_{22,\mathrm{MM}}=h_{A22,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{fM}}(h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{MM}}(h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_{21,\mathrm{MM}}=h_{A21,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{fM}}(h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{MM}}(h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})].\end{array}.$

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明提供的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，将给定机械结构分解为两个子结构，即子结构A和子结构B，从而利用子结构A的限元方法准确建模，以及子结构A和子结构B的响应耦合技术进行复杂机械结构的转动自由度频率响应函数的计算。

本发明提供的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其实施方便，代价低廉：该方法只需利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数，即第一测点处平动自由度的原点频率响应函数g_11,ff，第二测点处平动自由度的原点频率响应函数g_22,ff，第一测点与第二测点之间平动自由度的频率响应函数g_12,ff，就可以对这两个测点间与转动自由度有关的所有频率响应函数进行计算，避免了对角位移的测量，因此实施方便，代价低廉。

本发明提供的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，由于采用了先进的响应耦合（Receptance Coupling）技术，计算结果准确。

本发明提供的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，可以应用于复杂机械结构动态特性辨识、动力学建模与仿真、有限元模型修正等方向。

附图说明

图1是复杂机械结构分解为子结构A和子结构B的示意图；

图2是悬臂梁结构拆分示意图；

图3是悬臂梁平动自由度频率响应函数测试示意图；

其中1为第一测量点，2为第二测量点；

图4-1是测量得到的平动自由度频率响应函数g_11,ff，图4-2是测量得到的平动自由度频率响应函数g_12,ff，图4-3是测量得到的平动自由度频率响应函数g_22,ff；

图5是子结构A的有限元模型；

图6-1是估计得到的转动自由度频率响应函数g_11,MM，图6-2是是估计得到的转动自由度频率响应函数g_21,MM，图6-3是估计得到的转动自由度频率响应函数g_22,MM。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

参见图1，将待分析的复杂机械结构分解为子结构A和子结构B，子结构A能够用有限元方法准确建模，在子结构A上选择出第一测点，在子结构A和B的结合面处选择出第二测点；

进一步的，所述的子结构A和子结构B之间的通过阻尼、转动刚度和平动刚度结合。

谈到频率响应函数，一定要指出该频率响应函数对应的激励点和响应点。可以根据激励点和响应点，去选定第一测点和第二测点。若转动自由度频率响应函数不同，选择的测点也不同。这样一来，第一测点、第二测点与转动自由度有关的频率响应函数代表复杂机械结构的转动自由度频率响应函数了。

所述的转动自由度频率响应函数为待分析的复杂机械结构上任意两个激励点和响应点之间与转动自由度有关的频率响应函数；根据激励点和响应点，选定第一测点和第二测点。

具体的若转动自由度频率响应函数的激励点和响应点为不同测点，则在子结构A上选择出第一测点（可为激励点或响应点），在子结构A和B的结合面处选择出第二测点（可为激励点或响应点）；如果子结构A上选的第一测点是激励点，则子结构A和子结构B的结合面处选择的第二测点为响应点；如果子结构A上选的第一测点是响应点，则子结构A和子结构B的结合面处选择的第二测点为激励点；

若转动自由度频率响应函数的激励点和响应点为同一测点，则该测点即为子结构A上的第一测点，仍在子结构A和B的结合面处选择出第二测点。

具体对悬臂梁结构的转动自由度频率响应函数进行估计，包括以下步骤：

1）根据被测量转动自由度频率响应函数的激励点和响应点，将待分析的复杂机械结构分解为子结构A和子结构B，子结构A能够用有限元方法准确建模，在子结构A上选择出第一测点，在子结构A和B的结合面处选择出第二测点；

参见图2悬臂梁结构示意图，将其分为如图所示的子结构A和子结构B，并选择第一测点1和第二测点2；在结合点处，将总结构分解为子结构A和子结构B；在子结构A的端部，选择第一测点，在结合面处选择第二测点；

2）利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数：

第一测点处转动自由度的原点频率响应函数g_11,MM，第二测点处转动自由度的原点频率响应函数g_22,MM，第一测点与第二测点之间转动自由度的频率响应函数g_21,MM；

参见图3，利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数，具体步骤如下：

第一测点处平动自由度的原点频率响应函数g_11,ff，利用力锤敲击第一测点，施加脉冲激励力，在第一测点处利用振动传感器拾取振动响应信号；

第二测点处平动自由度的原点频率响应函数g_22,ff，利用力锤敲击第二测点，施加脉冲激励力，在第二测点处利用振动传感器拾取振动响应信号；

第一测点与第二测点之间平动自由度频率响应函数g_12,ff，利用力锤敲击第二测点，施加脉冲激励力，在第一测点处利用振动传感器拾取振动响应信号

测量过程所使用的仪器型号为：激振力锤是美国PCB公司生产的086C03型ICP激振力锤，振动传感器是美国PCB公司生产的333B32型ICP加速度传感器，信号采集系统软件杭州亿恒公司生产的AVANT数据采集系统。

根据采集的激励力信号和振动响应信号，利用AVANT数据采集系统的模态测试模块，计算频率响应函数。

参照图4-1～4-3所示，试验得到第一测点处平动自由度的原点频率响应函数g_11,ff，第二测点处平动自由度的原点频率响应函数g_22,ff，第一测点与第二测点之间平动自由度频率响应函数g_12,ff

3）求解子结构A和子结构B结合面处的耦合频率响应函数矩阵H₂。

假设测点在一个平面内的运动由平动和转动自由度组成，输入力F是由力f和力矩M组成的向量，输出响应X由平动位移x和转动位移θ组成，输入力与输出响应的关系为

$\left\{\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{\mathrm{ij},\mathrm{ff}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{fM}}\\ h_{\mathrm{ij},\mathrm{Mf}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}f\\ M\end{array}\right\}\→X=H_{\mathrm{ij}}\·F---\left(1\right)$

式中， $H_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{\mathrm{ij},\mathrm{ff}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{fM}}\\ h_{\mathrm{ij},\mathrm{Mf}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ 其中h_ij,ff为测点j的平动自由度与测点i的平动自由度之间的频率响应函数，h_ij,fM为测点j的转动自由度与测点i的平动自由度之间的频率响应函数，h_ij,Mf为测点j的平动自由度与测点i的转动自由度之间的频率响应函数，h_ij,MM为测点j的转动自由度与测点i的转动自由度之间的频率响应函数；

在复杂机械结构中第一测点处施加外力F₁，只考虑第一测点和第二测点处的响应X₁和X₂，得到复杂机械结构的频率响应函数矩阵G₁₁和G₂₁如下：

$\begin{array}{c}{G}_{11}=\frac{X_1}{F_1}=H_{A,11}-H_{A,12}{H}_2^{-1}{H}_{A,21}\\ G_{21}=\frac{X_2}{F_1}=H_{A,21}-H_{A,22}{H}_2^{-1}{H}_{A,21}\end{array}---\left(2\right)$

式中，H_A,11为子结构A中第一测点的原点频率响应函数矩阵，H_A,12为子结构A中第一测点和第二测点之间的频率响应函数矩阵，H_A,21为子结构A中第二测点和第一测点之间的频率响应函数矩阵，H_A,22为子结构A中第二测点的原点频率响应函数矩阵，H₂为结合面处耦合频率响应函数矩阵；

H_A,11，H_A,12，H_A,21，H_A,22和H₂的矩阵形式表达式为：

$H_{A,11}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A11,\mathrm{ff}}& h_{A11,\mathrm{fM}}\\ h_{A11,\mathrm{Mf}}& h_{A11,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $H_{A,12}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$

$H_{A,21}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $H_{A,22}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$

$H_2=\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

G₁₁和G₂₁的矩阵表达式为：

$G_{11}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11,\mathrm{ff}}& g_{11,\mathrm{fM}}\\ g_{11,\mathrm{Mf}}& g_{11,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $G_{21}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{21,\mathrm{ff}}& g_{21,\mathrm{fM}}\\ g_{21,\mathrm{Mf}}& g_{21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

仅在第二测点处施加外力F₂，可得频率响应函数G₁₂和G₂₂：

$\begin{array}{c}{G}_{12}=\frac{X_1}{F_2}=H_{A,12}-H_{A,12}{H}_2^{-1}{H}_{A,22}\\ G_{22}=\frac{X_2}{F_2}=H_{A,22}-H_{A,22}{H}_2^{-1}{H}_{A,22}\end{array}---\left(3\right)$

上式中，G₁₂和G₂₂的矩阵表达式为：

$G_{12}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{12,\mathrm{ff}}& g_{12,\mathrm{fM}}\\ g_{12,\mathrm{Mf}}& g_{12,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $G_{22}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{22,\mathrm{ff}}& g_{22,\mathrm{fM}}\\ g_{22,\mathrm{Mf}}& g_{22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

将G₁₁，G₂₁，G₁₂和G₂₂用频率响应函数矩阵形式表示如（4）式：

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11,\mathrm{ff}}& g_{11,\mathrm{fM}}\\ g_{11,\mathrm{Mf}}& g_{11,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A11,\mathrm{ff}}& h_{A11,\mathrm{fM}}\\ h_{A11,\mathrm{Mf}}& h_{A11,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{21,\mathrm{ff}}& g_{21,\mathrm{fM}}\\ g_{21,\mathrm{Mf}}& g_{21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{12,\mathrm{ff}}& g_{12,\mathrm{fM}}\\ g_{12,\mathrm{Mf}}& g_{12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{22,\mathrm{ff}}& g_{22,\mathrm{fM}}\\ g_{22,\mathrm{Mf}}& g_{22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

分别取频率响应函数矩阵G₁₁，G₁₂和G₂₂中的第一个元素，得方程组（5）:

$\left\{\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{ff}}=h_{A11,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{12,\mathrm{ff}}=h_{A12,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{22,\mathrm{ff}}=h_{A22,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}\right.$

$h_{2,\mathrm{fM}}=h_{2,\mathrm{Mf}}$

式（5）为一个含有4个未知数h_2,ff，h_2,fM，h_2,Mf和h_2,MM的方程组，子结构A在自由状态下的所有频率响应函数H_A,11，H_A,12，H_A,21和H_A,22利用有限元模型得到数值解；g_11,ff，g_12,ff和g_22,ff为复杂机械结构上平动自由度的频率响应函数，由步骤2）得到；利用式（5）解出结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂。

将结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂代入式（4）中，计算得到第一测点处与转动自由度有关的频率响应函数g_11,fM、g_11,Mf和g_11,MM，其中：g_11,fM为第一测点处转动自由度与平动自由度之间的频率响应函数，g_11,Mf为第一测点处平动自由度与转动自由度之间的频率响应函数，g_11,MM为第一测点处转动自由度的原点频率响应函数。

第二测点处和转动自由度有关的频率响应函数g_22,fM、g_22,Mf和g_22,MM，其中：g_22,fM为第二测点处转动自由度与平动自由度之间的频率响应函数，g_22,Mf为第二测点处平动自由度与转动自由度之间的频率响应函数，g_22,MM为第二测点处转动自由度的原点频率响应函数。

第一测点与第二测点之间与转动自由度有关的频率响应函数g_21,fM、g_21,Mf、g_21,MM、g_12,fM、g_12,Mf和g_12,MM，其中：g_21,fM为第一测点处转动自由度与第二测点处平动自由度之间的频率响应函数，g_21,Mf为第一测点处平动自由度与第二测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_21,MM为第一测点处转动自由度与第二测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_12,fM为第二测点处转动自由度与第一测点处平动自由度之间的频率响应函数，g_12,Mf为第二测点处平动自由度与第一测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_12,MM为第二测点处转动自由度与第一测点处转动自由度之间的频率响应函数。

具体的，参考图5所示，对于子结构A，可以用Timoshenko梁单元进行有限元建模，将其划分为10个单元，每个节点分别包含6个自由度，即3个平动（δ_x,δ_y,δ_z）和3个转动（γ_x,γ_y,γ_z）自由度。子结构A的边界条件为自由状态。

利用子结构A的有限元模型，仿真频率响应函数h_A11,ff，h_A21,ff，h_A21,Mf，h_A22,ff，h_A22,Mf，h_A22,fM，h_A12,ff，h_A12,fM，h_A12,fM；然后将上述频率响应函数代入下面方程组中，

$\left\{\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{ff}}=h_{A11,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{12,\mathrm{ff}}=h_{A12,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{22,\mathrm{ff}}=h_{A22,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ h_{2,\mathrm{fM}}=h_{2,\mathrm{Mf}}\end{array}\right.$

求解得到h_2,ff，h_2,fM，h_2,Mf和h_2,MM，即可得到频率响应函数矩阵H₂。

将h_2,ff，h_2,fM，h_2,Mf和h_2,MM代入下面方程中，

$\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{MM}}=h_{A11,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{fM}}(h_{A12,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{MM}}(h_{A12,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_{22,\mathrm{MM}}=h_{A22,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{fM}}(h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{MM}}(h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_{21,\mathrm{MM}}=h_{A21,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{fM}}(h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{MM}}(h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}.$

参照图6-1～6-3所示，计算得到第一测点处转动自由度的原点频率响应函数g_11,MM、第二测点处转动自由度的原点频率响应函数g_22,MM，第一测点与第二测点之间转动自由度频率响应函数g_21,MM。

Claims (7)

1.一种复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）根据被测量转动自由度频率响应函数的激励点和响应点，将待分析的复杂机械结构分解为子结构A和子结构B，子结构A能够用有限元方法准确建模，在子结构A上选择出第一测点，在子结构A和子结构B的结合面处选择出第二测点；

2）利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数：

第一测点处平动自由度的原点频率响应函数g_11,ff，第二测点处平动自由度的原点频率响应函数g_22,ff，第一测点与第二测点之间平动自由度的频率响应函数g_12,ff；

其中，g_11,ff为激励点为第一测点，响应点为第一测点时测得的平动自由度频率响应函数；g_12,ff为激励点为第二测点，响应点为第一测点时测得的平动自由度频率响应函数；g_22,ff为激励点为第二测点，响应点为第二测点时测得的平动自由度频率响应函数；

3）子结构A在自由状态下的所有频率响应函数利用有限元模型得到数值解，然后利用响应耦合技术求解子结构A和子结构B结合面处的耦合频率响应函数矩阵H₂；

4）由结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂计算得到第一测点处与转动自由度有关的频率响应函数，第二测点处与转动自由度有关的频率响应函数，第一测点与第二测点之间与转动自由度有关的频率响应函数；

所述求解频率响应函数矩阵H₂为：

假设测点在一个平面内的运动由平动和转动自由度组成，输入力F是由力f和力矩M组成的向量，输出响应X由平动位移x和转动位移θ组成，输入力与输出响应的关系为

$\left\{\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{\mathrm{ij},\mathrm{ff}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{fM}}\\ h_{\mathrm{ij},\mathrm{Mf}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}f\\ M\end{array}\right\}\→X=H_{\mathrm{ij}}\·F---\left(1\right)$

（1）式中， $H_{\mathrm{ij}}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{\mathrm{ij},\mathrm{ff}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{fM}}\\ h_{\mathrm{ij},\mathrm{Mf}}& h_{\mathrm{ij},\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ 其中h_ij,ff为测点j的平动自由度与测点i的平动自由度之间的频率响应函数，h_ij,fM为测点j的转动自由度与测点i的平动自由度之间的频率响应函数，h_ij,Mf为测点j的平动自由度与测点i的转动自由度之间的频率响应函数，h_ij,MM为测点j的转动自由度与测点i的转动自由度之间的频率响应函数；

在复杂机械结构中第一测点处施加外力F₁，只考虑第一测点和第二测点处的响应X₁和X₂，得到复杂机械结构的频率响应函数矩阵G₁₁和G₂₁如下：

$\begin{array}{c}{G}_{11}=\frac{X_1}{F_1}=H_{A,11}-H_{A,12}{H}_2^{-1}{H}_{A,21}\\ G_{21}=\frac{X_2}{F_1}=H_{A,21}-H_{A,22}{H}_2^{-1}{H}_{A,21}\end{array}---\left(2\right)$

（2）式中，H_A,11为子结构A中第一测点的原点频率响应函数矩阵，H_A,12为子结构A中第一测点和第二测点之间的频率响应函数矩阵，H_A,21为子结构A中第二测点和第一测点之间的频率响应函数矩阵，H_A,22为子结构A中第二测点的原点频率响应函数矩阵，H₂为结合面处耦合频率响应函数矩阵；

H_A,11，H_A,12，H_A,21，H_A,22和H₂的矩阵形式表达式为：

$H_{A,11}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A11,\mathrm{ff}}& h_{A11,\mathrm{fM}}\\ h_{A11,\mathrm{Mf}}& h_{A11,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $H_{A,12}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$

$H_{A,21}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $H_{A,22}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$

$H_2=\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

G₁₁和G₂₁的矩阵表达式为：

$G_{11}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11,\mathrm{ff}}& g_{11,\mathrm{fM}}\\ g_{11,\mathrm{Mf}}& g_{11,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $G_{21}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{21,\mathrm{ff}}& g_{21,\mathrm{fM}}\\ g_{21,\mathrm{Mf}}& g_{21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

仅在第二测点处施加外力F₂，可得频率响应函数矩阵G₁₂和G₂₂：

$\begin{array}{c}{G}_{12}=\frac{X_1}{F_2}=H_{A,12}-H_{A,12}{H}_2^{-1}{H}_{A,22}\\ G_{22}=\frac{X_2}{F_2}=H_{A,22}-H_{A,22}{H}_2^{-1}{H}_{A,22}\end{array}---\left(3\right)$

上式中，G₁₂和G₂₂的矩阵表达式为：

$G_{12}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{12,\mathrm{ff}}& g_{12,\mathrm{fM}}\\ g_{12,\mathrm{Mf}}& g_{12,\mathrm{MM}}\end{array}\right],$ $G_{22}=\left[\begin{array}{cc}{g}_{22,\mathrm{ff}}& g_{22,\mathrm{fM}}\\ g_{22,\mathrm{Mf}}& g_{22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

将G₁₁，G₂₁，G₁₂和G₂₂用频率响应函数矩阵形式表示如（4）式：

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11,\mathrm{ff}}& g_{11,\mathrm{fM}}\\ g_{11,\mathrm{Mf}}& g_{11,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A11,\mathrm{ff}}& h_{A11,\mathrm{fM}}\\ h_{A11,\mathrm{Mf}}& h_{A11,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{21,\mathrm{ff}}& g_{21,\mathrm{fM}}\\ g_{21,\mathrm{Mf}}& g_{21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A21,\mathrm{ff}}& h_{A21,\mathrm{fM}}\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}& h_{A21,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{12,\mathrm{ff}}& g_{12,\mathrm{fM}}\\ g_{12,\mathrm{Mf}}& g_{12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A12,\mathrm{ff}}& h_{A12,\mathrm{fM}}\\ h_{A12,\mathrm{Mf}}& h_{A12,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{22,\mathrm{ff}}& g_{22,\mathrm{fM}}\\ g_{22,\mathrm{Mf}}& g_{22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{h}_{2,\mathrm{ff}}& h_{2,\mathrm{fM}}\\ h_{2,\mathrm{Mf}}& h_{2,\mathrm{MM}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}{h}_{A22,\mathrm{ff}}& h_{A22,\mathrm{fM}}\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}& h_{A22,\mathrm{MM}}\end{array}\right]$

分别取频率响应函数矩阵G₁₁，G₁₂和G₂₂中的第一个元素，得方程组式（5）:

$\left\{\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{ff}}=h_{A11,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{12,\mathrm{ff}}=h_{A12,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A12,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ g_{22,\mathrm{ff}}=h_{A22,\mathrm{ff}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{ff}}(h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{Mf}}(h_{A22,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\\ h_{2,\mathrm{fM}}=h_{2,\mathrm{Mf}}\end{array}\right.$

式（5）为一个含有4个未知数h_2,ff，h_2,fM，h_2,Mf和h_2,MM的方程组，子结构A在自由状态下的所有频率响应函数H_A,11，H_A,12，H_A,21和H_A,22利用有限元模型得到数值解；g_11,ff，g_12,ff和g_22,ff为复杂机械结构上平动自由度的频率响应函数，由步骤2）得到；利用式（5）解出结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂。

2.如权利要求1所述的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，所述的转动自由度频率响应函数为待分析的复杂机械结构上任意两个激励点和响应点之间与转动自由度有关的频率响应函数；根据激励点和响应点，选定第一测点和第二测点。

3.如权利要求1所述的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，所述的子结构A和子结构B通过阻尼、转动刚度和平动刚度结合。

4.如权利要求1所述的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，若转动自由度频率响应函数的激励点和响应点为不同测点，则在子结构A上选择出第一测点，在子结构A和子结构B的结合面处选择出第二测点；如果子结构A上选的第一测点是激励点，则子结构A和子结构B的结合面处选择的第二测点为响应点；如果子结构A上选的第一测点是响应点，则子结构A和子结构B的结合面处选择的第二测点为激励点；

若转动自由度频率响应函数的激励点和响应点为同一测点，则该测点即为子结构A上的第一测点，仍在子结构A和子结构B的结合面处选择出第二测点。

5.如权利要求1所述的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，步骤2）利用锤击激励法测量三个平动自由度的频率响应函数时，激励点采用激振力锤来进行锤击，响应点利用加速度传感器来检测加速度振动响应信号，由信号采集系统计算分析。

6.如权利要求1所述的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，将结合面处耦合频率响应函数矩阵H₂代入式（4）中，计算得到第一测点处与转动自由度有关的频率响应函数g_11,fM、g_11,Mf和g_11,MM，其中：g_11,fM为第一测点处转动自由度与平动自由度之间的频率响应函数，g_11,Mf为第一测点处平动自由度与转动自由度之间的频率响应函数，g_11,MM为第一测点处转动自由度的原点频率响应函数；

第二测点处与转动自由度有关的频率响应函数g_22,fM、g_22,Mf和g_22,MM，其中：g_22,fM为第二测点处转动自由度与平动自由度之间的频率响应函数，g_22,Mf为第二测点处平动自由度与转动自由度之间的频率响应函数，g_22,MM为第二测点处转动自由度的原点频率响应函数；

第一测点和第二测点之间与转动自由度有关的频率响应函数g_21,fM、g_21,Mf、g_21,MM、g_12,fM、g_12,Mf和g_12,MM，其中：g_21,fM为第一测点处转动自由度与第二测点处平动自由度之间的频率响应函数，g_21,Mf为第一测点处平动自由度与第二测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_21,MM为第一测点处转动自由度与第二测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_12,fM为第二测点处转动自由度与第一测点处平动自由度之间的频率响应函数，g_12,Mf为第二测点处平动自由度与第一测点处转动自由度之间的频率响应函数，g_12,MM为第二测点处转动自由度与第一测点处转动自由度之间的频率响应函数。

7.如权利要求1所述的复杂机械结构的转动自由度频率响应函数计算方法，其特征在于，所述的第一测点处转动自由度的原点频率响应函数g_11,MM、第二测点处转动自由度的原点频率响应函数g_22,MM，第一测点与第二测点之间转动自由度频率响应函数g_21,MM，分别表示如下：

$\begin{array}{c}{g}_{11,\mathrm{MM}}=h_{A11,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{fM}}(h_{A12,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A12,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{MM}}(h_{A12,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A12,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_{22,\mathrm{MM}}=h_{A22,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A22,\mathrm{fM}}(h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A22,\mathrm{MM}}(h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})]\end{array}$

$\begin{array}{c}{g}_{21,\mathrm{MM}}=h_{A21,\mathrm{MM}}+\frac{1}{(h_{2,\mathrm{fM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}}-h_{2,\mathrm{ff}}\·h_{2,\mathrm{MM}})}[h_{A21,\mathrm{fM}}(h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{MM}}-h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{Mf}})+\\ h_{A21,\mathrm{MM}}(h_{A22,\mathrm{MM}}\·h_{2,\mathrm{ff}}-h_{A22,\mathrm{Mf}}\·h_{2,\mathrm{fM}})].\end{array}.$

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