CN102830623A - 基于h∞控制的结构dtmd优化控制设计方法 - Google Patents

Abstract

本文公开发明了一种基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法。步骤为：一，选取结构模型参数，建立动力方程。二，研究H_∞控制器对该模型结构参数进行一步控制优化。三，分别用频域分析法和跃阶响应来了解结构的稳定性和性能表现。四，对结构安装DTMD装置，并对结构-DTMD系统进行性能分析。五、用H_∞控制算法对DTMD进行二次优化设计，研究结构-DTMD-H_∞系统下的三种系统振动控制性能。本发明通过基本的频域分析以及时域动态分析了解二次优化控制器性能，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性以及性能鲁棒性。创新之处为将鲁棒控制装置和鲁棒控制算法相结合，优越之处在于能运用H_∞控制算法对DTMD进行优化设计，以进一步提高控制器的性能。

Description

基于H∞控制的结构DTMD优化控制设计方法

技术领域

本发明涉及一种建筑工程结构振动控制优化方法，具体的说是一种基于鲁棒控制设计双重调谐质量阻尼器结构系统(结构-DTMD-H_∞，即结构-Double Tuned Mass Dampers-H_∞)控制性能的优化方法

背景技术

随着科学技术的发展，土木工程结构振动控制的研究与应用被认为是结构抗风和抗震研究的重大突破。它突破了传统的结构设计方法，即从仅依靠改变结构自身性能(例如增加结构的刚度、阻尼、改变质量分布等)来抵抗环境荷载(例如强风与强震)的方法发展为由结构-抗风抗震振动控制系统主动地控制结构的动力反应。与此同时，适用于土木工程结构振动控制的装置也有了相当的发展，一些主动和被动控制装置已在世界一些国家的土木工程中安装实施。因此，如何进一步优化控制装置以使其性能保持稳定仍为目前结构振动控制器设计的主要发展目标之一。

目前鲁棒控制理论的基本算法主要包括H_∞、线性二次高斯法、H₂等。H_∞控制是通过考虑最坏的外干扰情况来对控制器进行最优设计，以达到满意的控制性能。当前，采用鲁棒控制算法对控制装置进行优化已经成为结构控制的一种趋势。然而，现有的研究主要集中于对一些较简单的控制装置进行鲁棒控制算法的优化上，而对于一些相对复杂的装置，如DTMD的研究就较少了。另一方面，作为鲁棒控制装置，由于其本身构造的特殊性，能够在较大频率范围内发挥控制作用，但是，鲁棒控制装置设计中也有问题需要进一步解决-如何确定设计参数。因此，本文将鲁棒控制装置和鲁棒控制算法相结合，使用H_∞控制算法对DTMD进行优化设计，以进一步提高控制器的性能，以达到对结构进行更加优化。

发明内容

本发明的目的在于针对已有技术存在的缺陷，提供一种基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法。对原结构安装DTMD装置，对结构安装DTMD装置后的性能表现进行了研究，得到初步优化装置的DTMD系统的特点。接着，将最大动力放大系数优化与鲁棒H_∞优化相结合，分别考虑了结构参数摄动、小质量块参数摄动以及两质量块参数同时摄动时二次优化装置的性能表现。在完成系统优化后，通过基本的频域分析以及时域动态分析了解二次优化控制器性能，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性以及性能鲁棒性。

为达到上述目的，本发明的构思是：首先进行选取结构的相关参数，将其简化成为一个二阶、质量-阻尼-弹簧系统。采用伯德图、奇异值曲线等频域分析法了原结构的稳定性，通过跃阶响应了解结构性能表现。对于原结构模型，采用采用H_∞鲁棒算法优化，进一步了解二次优化控制器性能和系统的鲁棒稳定性以及性能鲁棒性。接着分析对结构模型安装DTMD装置，得出DTMD系统的特点。将最大动力放大系数优化与鲁棒H_∞优化相结合，分别考虑了结构参数摄动、小质量块参数摄动以及两质量块参数同时摄动时二次优化装置的性能表现。在完成系统优化后，通过基本的频域分析以及时域动态分析了解二次优化控制器性能，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性以及性能鲁棒性。根据上述发明构思，本发明采用下述技术方案：

一种基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法，其特征在于操作步骤如下：

1)选取结构模型参数，建立动力方程；

2)研究H_∞控制器对该原模型结构参数进行一步控制优化；

3)采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性和性能鲁棒性；分别用频域分析法和跃阶响应来了解结构的稳定性和性能表现；

4)对结构安装DTMD装置，并对结构-DTMD系统进行性能分析；

5)用H_∞控制算法对DTMD进行二次优化设计，研究结构-DTMD-H_∞系统的振动控制性能；

6)分别研究主结构参数摄动时、小质量块参数摄动时、两质量块参数摄动时控制器的控制性能

上述选取结构模型参数，建立动力方程表示方式如下：

$m\stackrel{\·\·}{X}+c\stackrel{\·}{X}+\mathrm{kX}=F\left(t\right)---\left(1\right)$

式中：

X表示系统的加速度、速度和位移，m，c，k表示结构的质量、阻尼和刚度，F(t)表示作用在结构上的外激励

上述中研究H_∞控制器对该原模型结构参数进行一步控制优化可表示为：

考虑两个物理参数c和k的不确定性，即：

$c=\stackrel{\‾}{c}(1+{\mathrm{\δ}}_c{p}_c),p_c=0.2,{\mathrm{\δ}}_c\∈[-\mathrm{1,1}]---\left(2\right)$

$k=\stackrel{\‾}{k}(1+{\mathrm{\δ}}_k{p}_k),p_k=0.3,{\mathrm{\δ}}_k\∈[-\mathrm{1,1}]---\left(3\right)$

式中：

为c，k的名义值，p_c，p_k，δ_c，δ_k代表参数的相对摄动。

采用上线性分式变换，可以得到关于c和k的如下表达式。

c＝F_U(M_c，δ_c)    k＝F_U(M_k，δ_k)                (4)

式中： $M_c=\left[\begin{array}{cc}0& \stackrel{\‾}{c}\\ p_c& \stackrel{\‾}{c}\end{array}\right],$ $M_k=\left[\begin{array}{cc}0& \stackrel{\‾}{k}\\ p_k& \stackrel{\‾}{k}\end{array}\right].$

使用y_c，y_k和u_c，u_k来表示参数摄动δ_c，δ_k的输入输出变量时，结构的运动方程可表示为：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

$x_2=\frac{1}{m}(u-v_c-v_k)$

$y_c=\stackrel{\‾}{c}{x}_2$

$y_k=\stackrel{\‾}{k}{x}_1$

$v_c=p_c\stackrel{\‾}{c}{u}_c+\stackrel{\‾}{c}{x}_2---\left(5\right)$

$v_k=p_k\stackrel{\‾}{k}{u}_k+\stackrel{\‾}{k}{x}_1$

y＝x₁

u_c＝δ_cy_c

u_k＝δ_ky_k

将式(5)进行综合：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\\ y_c\\ y_k\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{\stackrel{\‾}{k}}{m}& -\frac{\stackrel{\‾}{c}}{m}& -\frac{p_c\stackrel{\‾}{c}}{m}& -\frac{p_k\stackrel{\‾}{k}}{m}& -\frac{1}{m}\\ 0& \stackrel{\‾}{c}& 0& 0& 0\\ \stackrel{\‾}{k}& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ & & & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ u_c\\ u_k\\ u\end{array}\right]---\left(6\right)$

$\left[\begin{array}{c}{u}_c\\ u_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\δ}}_c& 0\\ 0& {\mathrm{\δ}}_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_c\\ y_k\end{array}\right]---\left(7\right)$

式(7)中不确定矩阵Δ＝diag(δc，δk)代表结构的不确定性，一般此类矩阵有其固有的形式，即为对角阵。用线性傅立叶变换可以表示出该不确定结构，如附图3所示。

在对系统进行优化研究前，需确定主结构的参数如下：结构的质量m＝17500kg，结构的阻尼比ξ＝0.02，结构的频率f＝3Hz，以此可以求出主结构的刚度比以及阻尼比。

上述中通过求解一个线性输出控制器u(s)＝K(s)y(s)以确保闭环系统的名义性能和稳定性、鲁棒稳定性和鲁棒性能。

对结构设计控制器，以使闭环系统内稳定；名义设备模型G_mds也应达到闭环系统的期望性能。本设计中，采用混和灵敏度作为闭环系统的性能准则，即：

$\left|\right|\left[\begin{array}{c}{W}_{p}S\left(G_{\mathrm{mds}}\right)\\ W_u\mathrm{KS}\left(G_{\mathrm{mds}}\right)\end{array}\right]\left|\right|<1---\left(8\right)$

式中，S(G_mds)＝(1+G_mdsK)^-1为名义系统的输出敏感函数，W_p，W_u为加权函数用来表示外部(输出)干扰d的频率特征以及性能要求水平。若系统能满足上述不等式，那就表示闭环系统能够成功地将干扰影响减小到一个令人满意的水平，并达到了要求的性能。此外，需要指出的是，敏感函数S代表基准误差跟踪的传递函数。

如果对于任何设备模型G＝F_u(G_mds，Δ)，闭环系统均能保证内稳定，那么闭环系统就能达到鲁棒稳定。结合本次具体设计，鲁棒稳定可以归纳为对于任何-0.3≤ΔK≤0.3，-0.2≤ΔC≤0.2，结构仍能保持稳定状态。

除了结构需要满足鲁棒稳定性以外，对于所有G＝F_u(G_mds，Δ)的闭环系统必须满足以下性能准则。

$\left|\right|{\left[\begin{array}{c}{W}_p{(1+\mathrm{GK})}^{-1}\\ W_{u}K{(1+\mathrm{GK})}^{-1}\end{array}\right]\left|\right|}_{\&infin;}<1---\left(9\right)$

上述中结构安装DTMD结构-DTMD系统的分析模型的动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+c_s{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+k_s{X}_s+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_1(X_s-x_1)=-m_s{F}_a\left(t\right)---\left(10\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+k_1(x_1-X_s)+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+k_2(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)---\left(11\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_2(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(12\right)$

式中：

X_s表示结构的加速度、速度和位移，m_s，c_s，k_s表示结构的质量、阻尼和刚度；x₁表示大质量块的加速度、速度和位移，m₁，c₁，k₁表示大质量块的质量、阻尼和刚度；x₂表示小质量块的加速度、速度和位移，m₂，c₂，k₂表示小质量块的质量、阻尼和刚度；F_a(t)表示作用在结构上的外激励，本例中外激励为地震加速度。

上述中在结构安装了DTMD之后，现基于H_∞控制对DTMD进行进一步的设计。

1、当主结构的参数(c_s，k_s)发生摄动时，其动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_s(1+P_c{\mathrm{\&delta;}}_c){\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_s(1+P_k{\mathrm{\&delta;}}_k)X_s+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_1(X_s-x_1)={-m}_s{F}_a\left(t\right)---\left(13\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+k_1(x_1-X_s)+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+k_2(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)---\left(14\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_2(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(15\right)$

式中：p_c，p_k，δ_c，δ_k代表参数的相对摄动。

式(11-(13)可化简得到如下形式

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_2\\ Y_k\\ Y_c\\ Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_s+K_1}{M_s}& \frac{K_1}{M_s}& 0& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_s+C_1}{M_s}& \frac{C_1}{M_s}& 0& \frac{P_k\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_s}{M_s}& \frac{P_s\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_s}{M_s}& 1\\ \frac{K_1}{M_1}& -\frac{K_1+K_2}{M_1}& \frac{K_2}{M_1}& \frac{C_1}{M}& -\frac{C_1+C_2}{M_1}& \frac{C_2}{M_1}& 0& 0& 1\\ 0& \frac{K_2}{M_2}& -\frac{K_2}{M_2}& 0& \frac{C_2}{M_2}& -\frac{C_2}{M_2}& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ X_1\\ X_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ U_k\\ U_c\\ u\end{array}\right]---\left(16\right)$

$\left[\begin{array}{c}{U}_k\\ U_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_k& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Y}_k\\ Y_c\end{array}\right]---\left(17\right)$

2、当小质量块的参数(c₂，k₂)发生摄动时，其动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+c_s{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+k_s{X}_s+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_1(X_s-x_1)=-m_s{F}_a\left(t\right)---\left(18\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+k_1(x_1-X_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_c{\mathrm{\&delta;}}_c)({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_k{\mathrm{\&delta;}}_k)(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)---\left(19\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_c{\mathrm{\&delta;}}_c)({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_k{\mathrm{\&delta;}}_k)(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(20\right)$

式中：p_c，p_k，δ_c，δ_k代表参数的相对摄动。

式(16)-(18)可化简得到如下形式：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_2\\ Y_k\\ Y_c\\ Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{K_s+K_1}{M_s}& \frac{K_1}{M_s}& 0& -\frac{C_s+C_1}{M_s}& \frac{C_1}{M_s}& 0& 0& 0& 1\\ \frac{K_1}{M_1}& -\frac{K_1+K_2}{M_1}& \frac{K_2}{M_1}& \frac{C_1}{M}& -\frac{C_1+C_2}{M_1}& \frac{C_2}{M_1}& \frac{P_k\&times;K_s}{M_1}& \frac{P_c\&times;C_2}{M_1}& 1\\ 0& \frac{K_2}{M_2}& -\frac{K_2}{M_2}& 0& \frac{C_2}{M_2}& -\frac{C_2}{M_2}& -\frac{P_k\&times;K_2}{M_2}& -\frac{P_c\&times;C_2}{M_2}& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ X_1\\ X_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ U_k\\ U_c\\ u\end{array}\right]---\left(21\right)$

$\left[\begin{array}{c}{U}_k\\ U_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_k& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Y}_k\\ Y_c\end{array}\right]---\left(22\right)$

3、当两质量块参数的(c₁，k₁，c₂，k₂)发生摄动时，其动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+c_s{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+k_s{X}_s+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_1(1+P_{c1}{\mathrm{\&delta;}}_{c1})({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1(1+P_{k1}{\mathrm{\&delta;}}_{k1})(X_s-x_1)=-m_s{F}_a\left(t\right)---\left(23\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_1(1+P_{c1}{\mathrm{\&delta;}}_{c1})({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1(1+P_{k1}{\mathrm{\&delta;}}_{k1})(x_1-X_s)$

$\left(24\right)$

$+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_{c2}{\mathrm{\&delta;}}_{c2})({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_{k2}{\mathrm{\&delta;}}_{k2})(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_{c2}{\mathrm{\&delta;}}_{c2})({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_{k2}{\mathrm{\&delta;}}_{k2})(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(25\right)$

式中：p_c1，p_k1，δ_c1，δ_k1，p_c2，p_k2，δ_c2，δ_k2代表参数的相对摄动。式(21)-(23)可化简得到如下形式：

$\left[\begin{array}{c}{U}_{k1}\\ U_{k2}\\ U_{c1}\\ U_{c2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&delta;}}_{k1}& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_{k2}& 0& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\&delta;}}_{c1}& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&delta;}}_{c2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Y}_{k1}\\ Y_{k2}\\ Y_{c1}\\ Y_{c2}\end{array}\right]---\left(26\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_2\\ Y_{k1}\\ Y_{k2}\\ Y_{c1}\\ Y_{c2}\\ Z\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{K_s+{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_s}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_s}& 0& -\frac{C_s+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_s}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_s}& 0& -\frac{P_{k1}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_s}& 0& -\frac{P_{c1}\&times;C_1}{M_s}& 0& 1\\ \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_1}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_1}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_1}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_1}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1+C_2}{M_1}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_1}& \frac{P_{k1}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_1}& \frac{-P_{k2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_1}& \frac{P_{c1}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_1}& \frac{-P_{c2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_1}& 1\\ 0& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_2}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_2}& 0& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_2}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_2}& 0& \frac{-P_{k2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_2}& 0& \frac{-P_{c2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_2}& 1\\ 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ X_1\\ X_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ U_{k1}\\ U_{k2}\\ U_{c1}\\ U_{c2}\\ u\\ \end{array}\right]---\left(27\right)$

本发明为一种基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法优点如下：首先进行选取结构的相关参数，将其简化成为一个二阶、质量-阻尼-弹簧系统。对于原结构模型，采用采用H_∞鲁棒算法优化，进一步了解二次优化控制器性能和系统的鲁棒稳定性以及性能鲁棒性。接着分析对结构模型安装DTMD装置，得出DTMD系统的特点。将最大动力放大系数优化与鲁棒H_∞优化相结合，分别考虑了结构参数摄动、小质量块参数摄动以及两质量块参数同时摄动时三种系统的二次优化装置的性能表现。在完成系统优化后，通过基本的频域分析以及时域动态分析了解二次优化控制器性能，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性以及性能鲁棒性。通过比较分析了基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法，作为基于DTMD控制器的二次优化算法，得出H_∞控制算法在结构控制上表现的性能。

附图说明

图1是结构-DTMD-H_∞系统控制性能的优化方法分析过程图；

图2是用线性傅立叶变换可以表示出该不确定结构；

图3是结构-H_∞系统的鲁棒稳定性分析，结构-H_∞系统的名义和鲁棒性能，结构-H_∞系统结构的BODE图、奇异值曲线、跃阶响应；

图4是结构-DTMD系统结构的BODE图、奇异值曲线、跃阶响应；

图5是结构-DTMD-H_∞系统1的鲁棒稳定性分析，结构-DTMD-H_∞系统1的名义和鲁棒性能，结构-DTMD-H_∞系统1的BODE图、奇异值曲线、跃阶响应；

图6是结构-DTMD-H_∞系统2的鲁棒稳定性分析，结构-DTMD-H_∞系统1的名义和鲁棒性能，结构-DTMD-H_∞系统1的BODE图、奇异值曲线、跃阶响应；

图7是结构-DTMD-H_∞系统3的鲁棒稳定性分析，结构-DTMD-H_∞系统1的名义和鲁棒性能，结构-DTMD-H_∞系统1的BODE图、奇异值曲线、跃阶响应；

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例作详细说明。

实施例一：

一种基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法，其特征在于操作步骤如下：

1)选取结构模型参数，建立动力方程；

2)研究H_∞控制器对该原模型结构参数进行一步控制优化；

3)采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性和性能鲁棒性；分别用频域分析法和跃阶响应来了解结构的稳定性和性能表现；

4)对结构安装DTMD装置，并对结构-DTMD系统进行性能分析；

5)用H_∞控制算法对安装了DTMD装置的结构进行二次优化设计，研究结构-DTMD-H_∞系统的振动控制性能；

6)分别研究主结构参数摄动时、小质量块参数摄动时、两质量块参数摄动时控制器的控制性能。

实施例二：

1、选取结构模型参数，建立动力方程，研究H_∞控制器对该原模型结构参数进行一步控制优化。

2、确定主结构的参数如下：结构的质量m＝17500kg，结构的阻尼比ξ＝0.02，结构的频率f＝3Hz

3、对结构-H∞系统分别用频域分析法和跃阶响应来了解原结构的稳定性和性能表现，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性和性能鲁棒性。

实施例三：

采用实施例二原结构的参数，对结构安装装DTMD装置，并对结构-DTMD系统进行性能分析。分别用频域分析法和跃阶响应来了解结构-DTMD系统的稳定性和性能表现。

实施例四：

应用原结构参数。用H_∞控制算法对安装了DTMD装置的结构进行二次优化设计，研究结构-DTMD-H_∞系统的振动控制性能。分别进行以下三个系统分析：

1、在主结构参数摄动时，通过分析对结构-DTMD-H_∞系统分别用频域分析法和跃阶响应来了解原结构的稳定性和性能表现，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性和性能鲁棒性。

2、小质量块参数摄动时，通过分析对结构-DTMD-H_∞系统分别用频域分析法和跃阶响应来了解原结构的稳定性和性能表现，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性和性能鲁棒性。

3、两质量块参数摄动时，通过分析对结构-DTMD-H_∞系统分别用频域分析法和跃阶响应来了解原结构的稳定性和性能表现，采用奇异值μ分析来进一步了解系统的鲁棒稳定性和性能鲁棒性。

图3-(1)为闭环系统的鲁棒稳定性仿真结果，图中长虚线表示算法上界，实线表示算法下界，两者越接近表示系统的设计越可靠，图中长虚线的最大值为0.55388，即结构上界奇异值的峰值为0.55388，由于该值小于1，说明所设计的控制器对于摄动模型集合内的每一个被控对象，都可以使其保持稳定；同时对于小于1/0.55388对角混和不确定，闭环系统都可以保持鲁棒稳定性。图中的最上方的短虚线代表结果奇异值的频域响应，从图中看出在[15.2，21.54]rad/s范围内结构的奇异值大于1，表明在此范围内，若存在非结构化摄动，那么鲁棒稳定性无法得到保证。从图中可以看出，在高频范围，系统的稳定裕量变小，主要原因是闭环系统在高频段控制输入端建模误差较大，未建模动态不确定对系统影响较大，因而系统的稳定裕量变小。

从图3-(2)中，长虚线表示鲁棒性能曲线，实线代表系统的名义性能，短虚线为系统的性能曲线。显然在大多数频率范围内系统性能均达到了名义性能以及鲁棒性能。闭环系统鲁棒性能曲线的峰值为(长虚线峰值)0.60002，说明在[0.1，100]rad/s内所设计的控制器对每一个被控对象都可以满足一定的性能指标；同时，对于小于1/0.60002的对角混和不确定，闭环系统都能维持一定的性能，由结构奇异值分析可以看出，当存在以上不确定性时，基于名义模型设计的控制器显示出一定程度的鲁棒稳定性，并满足鲁棒性能指标，这在一定程度上说明了H_∞控制方法本身所具有鲁棒性较强的特点。

从图3-(3)中，可以看出系统的幅值裕量为2.1590e+006dB，相位裕量为无穷大(即Inf)，说明系统的稳定性好。而且，闭环系统的奇异值曲线平缓于开环系统，说明系统的稳定性得到了提高。

图3-(5)给出了结构的跃阶响应。从图3.20可以看出，系统的稳态值为1，系统峰值响应时间近似于0.22s，低于开环系统的峰值响应时间，表明结构的响应速度得到了提高。

将图4分析的结果与原结构的性能相比，发现结构-DTMD系统的响应得到了抑止，结构-DTMD系统的跃阶响应收敛；与结构-TMD系统的性能相比，发现结构-TMD系统的振荡程度较低，但是振荡现象仍然存在，说明结构-DTMD系统的稳定性需要进一步提高。此外，该结构-DTMD系统的跃阶响应中峰值响应时间为0.17s，低于结构-H_∞系统。此外，结构-DTMD系统的的BODE图和奇异值曲线起伏较大，虽然结构-DTMD系统达稳定(在幅频特性20log |G(jω)H(jω)|＞0dB的频段内，相频特性G(jω)H(jω)与-π线不存在任何穿越)，其相位裕度为16.6327°＜45°，这表明结构-DTMD系统的稳定性不佳。

图5-(1)为闭环系统的鲁棒稳定性仿真结果，图中长虚线表示算法上界，实线表示算法下界，两者越接近表示系统的设计越可靠。图中长虚线的最大值为0.32026，即结构上界奇异值的峰值为0.32026，由于该值小于1，说明所设计的控制器对于摄动模型集合内的每一个被控对象，都可以使其保持稳定；同时对于小于1/0.32026对角混和不确定，闭环系统都可以保持鲁棒稳定性。图中的最上方的短虚线代表结果奇异值的频域响应，从图中看出在[14.17，23.1]rad/s范围内结构的奇异值大于1，表明在此范围内，若存在非结构化摄动，那么鲁棒稳定性无法得到保证。从图中可以看出，在高频范围，系统的稳定裕量变小，主要原因是闭环系统在高频段控制输入端建模误差较大，未建模动态不确定对系统影响较大，因而系统的稳定裕量变小。

图5-(2)中，长虚线表示鲁棒性能曲线，实线代表系统的名义性能，短虚线为系统的性能曲线。显然在大多数频率范围内系统性能均达到了名义性能和鲁棒性能。闭环系统鲁棒性能曲线的峰值为0.60043(长虚线峰值)，说明对于小于1/0.60043的对角混和不确定，闭环系统都可以维持一定的性能，由结构-DTMD-H_∞系统的奇异值分析可以看出，当存在以上不确定性时，基于名义模型设计的控制器显示出一定程度的鲁棒稳定性，并满足鲁棒性能指标，这在一定程度上说明了H_∞控制方法本身所具有鲁棒性较强的特点。

从图5-(3)可以看出系统的幅值裕量为7.9994e+004dB，相位裕量为Inf，说明系统稳定性好。图5-(4)在稳定性方面，通过比较结构-DTMD系统与结构-DTMD-H_∞系统的奇异值曲线也可以看出，说明后者更为稳定。

图5-(5)给出了结构的跃阶响应，从图可以看出，系统的稳态值为1，系统峰值响应时间为0.24s。通过比较结构-DTMD系统的跃阶响应图可以看出，时域振荡已经大大地减小，表明结构-DTMD-H_∞系统的稳定性增强。

图6-(1)为闭环系统的鲁棒稳定性仿真结果，图中长虚线表示算法上界，实线表示算法下界，两者越接近表示系统的设计越可靠，图中长虚线的最大值为0.012566，即结构上界奇异值的峰值为0.012566，由于该值小于1，说明所设计的控制器对于摄动模型集合内的每一个被控对象，都可以使其保持稳定；同时对于小于1/0.012566对角混和不确定，闭环系统都可以保持鲁棒稳定性。图中的最上方的短虚线代表结果奇异值的频域响应，从图中看出在所有范围内结构的奇异值均小于1，表明在所有范围内，结构鲁棒稳定性均能得到保证。从图中可以看出，在高频范围，系统的稳定裕量变小，主要原因是闭环系统在高频段控制输入端建模误差较大，未建模动态不确定对系统影响较大，因而系统的稳定裕量变小。

图6-(2)中，长虚线表示鲁棒性能曲线，实线代表系统的名义性能，短虚线为系统的性能曲线。显然在大多数频率范围内系统性能均达到了名义性能和鲁棒性能。闭环系统鲁棒性能曲线的峰值为0.60002(长虚线峰值)，说明对于小于1/0.60002的对角混和不确定，闭环系统都可以维持一定的性能，由结构奇异值分析可以看出，当存在以上不确定性时，基于名义模型设计的控制器显示出一定程度的鲁棒稳定性，并满足鲁棒性能指标，这在一定程度上说明了H_∞控制方法本身所具有鲁棒性较强的特点。

从图6-(3)可以看出系统的幅值裕量为9.1174e+004dB，相位裕量为Inf，说明系统有较佳的稳定性。图6-(5)给出了结构的跃阶响应，从图5.16可以看出，系统的稳态值为1，系统峰值响应时间为0.21s。通过比较结构-DTMD系统的跃阶响应图可以看出，结构-DTMD-H_∞系统2的稳定性较强，响应时间短。

图7-(1)为闭环系统的鲁棒稳定性仿真结果，图中长虚线表示算法上界，实线表示算法下界，两者越接近表示系统的设计越可靠，图中长虚线的最大值为0.25016，即结构上界奇异值的峰值为0.25016，由于该值小于1，说明所设计的控制器对于摄动模型集合内的每一个被控对象，都可以使其保持稳定；同时对于小于1/0.25016对角混和不确定，闭环系统都可以保持鲁棒稳定性。图中的最上方的短虚线代表结果奇异值的频域响应，从图中看出在[14.17，17.48]以及[20.1，23.1]rad/s范围内结构的奇异值大于1，表明在此范围内，若存在非结构化摄动，那么鲁棒稳定性无法得到保证。从图中可以看出，在高频范围，系统的稳定裕量变小，主要原因是闭环系统在高频段控制输入端建模误差较大，未建模动态不确定对系统影响较大，因而系统的稳定裕量变小。

图7-(2)中，长虚线表示鲁棒性能曲线，实线代表系统的名义性能，短虚线为系统的性能曲线。显然在大多数频率范围内系统性能均达到了名义性能和鲁棒性能。闭环系统鲁棒性能曲线的峰值为0.90025(长虚线峰值)，说明对于小于1/0.90025的对角混和不确定，闭环系统都可以维持一定的性能，由结构奇异值分析可以看出，当存在以上不确定性时，基于名义模型设计的控制器显示出一定程度的鲁棒稳定性，并满足鲁棒性能指标，这在一定程度上说明了H_∞控制方法本身所具有鲁棒性较强的特点。

从图7-(3)和7-(4)可以看出系统的幅值裕量为8.9673e+004dB，相位裕量为Inf，说明系统有较佳的稳定性。较之于DTMD结构，结构-DTMD-H_∞系统3的稳定性也被提高，但是稳定性不如结构-DTMD-H_∞系统2。

图7-(5)给出了DTMD-H_∞系统3的的跃阶响应，从图可以看出，DTMD-H_∞系统3的的跃阶响应亦很短，峰值响应时间为0.22s。

对结构进行结构-DTMD-H_∞控制，从数值模拟可以看出，结构-DTMD系统的响应速度较快，但是跃阶响应存在一定振荡，说明DTMD能够提高结构的性能，在一定程度上能提高结构的稳定性。通过与之前控制器的比较可以发现，结构-DTMD系统的响应速度是慢于结构-H_∞系统；在稳定性表现方面，结构-DTMD系统优于结构-H_∞系统。采用H_∞控制器对DTMD进行优化，根据不同的摄动条件，得出三个结构-DTMD-H_∞系统，从它们的性能曲线可以看出，三个系统的奇异值曲线均较平缓，三个系统的响应时间接近，响应速度与结构-H_∞系统相近，慢于结构-TMD-H_∞系统。在鲁棒稳定性方面，结构-DTMD-H_∞系统2远高于其它系统，在鲁棒性能上三个系统表现比较近似。

Claims (4)

1.本发明是一种基于H_∞控制的结构DTMD优化控制设计方法，该分析方法的主要创新点如下：

1)选取结构模型参数，建立动力方程；研究H_∞控制器对该原模型结构参数进行一步控制优化；

2)对结构安装DTMD装置，并对结构-DTMD系统进行性能分析；

3)用H_∞控制算法对DTMD进行二次优化设计，研究结构-DTMD-H_∞系统的振动控制性能；分别研究主结构参数摄动时、小质量块参数摄动时、两质量块参数摄动时控制器的控制性能

2.根据权利要求1所述选取结构模型参数，建立动力方程表示方式如下：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}+c\stackrel{\&CenterDot;}{X}+\mathrm{kX}=F\left(t\right)---\left(1\right)$

式中：X表示系统的加速度、速度和位移，m，c，k表示结构的质量、阻尼和刚度，F(t)表示作用在结构上的外激励

上述中研究H_∞控制器对该原模型结构参数进行一步控制优化可表示为：

考虑两个物理参数c和k的不确定性，即：

$c=\stackrel{\&OverBar;}{c}(1+{\mathrm{\&delta;}}_c{p}_c),p_c=0.2,{\mathrm{\&delta;}}_c\&Element;[-\mathrm{1,1}]---\left(2\right)$

$k=\stackrel{\&OverBar;}{k}(1+{\mathrm{\&delta;}}_k{p}_k),p_k=0.3,{\mathrm{\&delta;}}_k\&Element;[-\mathrm{1,1}]---\left(3\right)$

式中：

为c，k的名义值，p_c，p_k，δ_c，δ_k代表参数的相对摄动。

采用上线性分式变换，可以得到关于c和k的如下表达式。

c=F_U(M_c，δ_c)    k＝F_U(M_k，δ_k)            (4)

式中： $M_c=\left[\begin{array}{cc}0& \stackrel{\&OverBar;}{c}\\ p_c& \stackrel{\&OverBar;}{c}\end{array}\right],$ $M_k=\left[\begin{array}{cc}0& \stackrel{\&OverBar;}{k}\\ p_k& \stackrel{\&OverBar;}{k}\end{array}\right].$

使用y_c，y_k和u_c，u_k来表示参数摄动δ_c，δ_k的输入输出变量时，结构的运动方程可表示为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

$x_2=\frac{1}{m}(u-v_c-v_k)$

$y_c=\stackrel{\&OverBar;}{c}{x}_2$

$y_k=\stackrel{\&OverBar;}{k}{x}_1$

$v_c=p_c\stackrel{\&OverBar;}{c}{u}_c+\stackrel{\&OverBar;}{c}{x}_2---\left(5\right)$

$v_k=p_k\stackrel{\&OverBar;}{k}{u}_k+\stackrel{\&OverBar;}{k}{x}_1$

y＝x₁

u_c＝δ_cy_c

u_k＝δ_ky_k

将式(5)进行综合：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\\ y_c\\ y_k\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{\stackrel{\&OverBar;}{k}}{m}& -\frac{\stackrel{\&OverBar;}{c}}{m}& -\frac{p_c\stackrel{\&OverBar;}{c}}{m}& -\frac{p_k\stackrel{\&OverBar;}{k}}{m}& -\frac{1}{m}\\ 0& \stackrel{\&OverBar;}{c}& 0& 0& 0\\ \stackrel{\&OverBar;}{k}& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ & & & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ u_c\\ u_k\\ u\end{array}\right]---\left(6\right)$

$\left[\begin{array}{c}{u}_c\\ u_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_c& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_c\\ y_k\end{array}\right]---\left(7\right)$

式(7)中不确定矩阵Δ＝diag(δc，δk)代表结构的不确定性，一般此类矩阵有其固有的形式，即为对角阵。

通过求解一个线性输出控制器u(s)＝K(s)y(s)以确保闭环系统的名义性能和稳定性、鲁棒稳定性和鲁棒性能。

对结构设计控制器，以使闭环系统内稳定；名义设备模型G_mds也应达到闭环系统的期望性能。本设计中，采用混和灵敏度作为闭环系统的性能准则，即：

$\left|\right|\left[\begin{array}{c}{W}_{p}S\left(G_{\mathrm{mds}}\right)\\ W_u\mathrm{KS}\left(G_{\mathrm{mds}}\right)\end{array}\right]\left|\right|<1---\left(8\right)$

式中，S(G_mds)＝(1+G_mdsK)^-1为名义系统的输出敏感函数，W_p，W_u为加权函数用来表示外部(输出)干扰d的频率特征以及性能要求水平。若系统能满足上述不等式，那就表示闭环系统能够成功地将干扰影响减小到一个令人满意的水平，并达到了要求的性能。此外，需要指出的是，敏感函数S代表基准误差跟踪的传递函数。

如果对于任何设备模型G＝F_U(G_mds，Δ)，闭环系统均能保证内稳定，那么闭环系统就能达到鲁棒稳定。结合本次具体设计，鲁棒稳定可以归纳为对于任何-0.3≤ΔK≤0.3，-0.2≤ΔC ≤0.2，结构仍能保持稳定状态。

除了结构需要满足鲁棒稳定性以外，对于所有G＝F_U(G_mds，Δ)的闭环系统必须满足以下性能准则。

$\left|\right|{\left[\begin{array}{c}{W}_p{(1+\mathrm{GK})}^{-1}\\ W_{u}K{(1+\mathrm{GK})}^{-1}\end{array}\right]\left|\right|}_{\&infin;}<1---\left(9\right)$

在对系统进行优化研究前，需确定主结构的参数如下：结构的质量m＝17500kg，结构的阻尼比ξ＝0.02，结构的频率f＝3Hz，以此可以求出主结构的刚度比以及阻尼比。

3.根据权利要求2所述结构安装DTMD的结构-DTMD系统的分析模型的动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+c_s{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+k_s{X}_s+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_1(X_s-x_1)=-m_s{F}_a\left(t\right)---\left(9\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+k_1(x_1-X_s)+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+k_2(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)---\left(10\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_2(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(11\right)$

式中：

X_s表示结构的加速度、速度和位移，m_s，c_s，k_s表示结构的质量、阻尼和刚度；

x₁表示大质量块的加速度、速度和位移，m₁，c₁，k₁表示大质量块的质量、阻尼和刚度；

x₂表示小质量块的加速度、速度和位移，m₂，c₂，k₂表示小质量块的质量、阻尼和刚度；F_a(t)表示作用在结构上的外激励，本例中外激励为地震加速度。

4.根据权利要求3所述上述中在结构安装了DTMD之后，现基于H_∞控制对DTMD进行进一步的设计。

4.1、当主结构的参数(c_s，k_s)发生摄动时，其动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_s(1+P_c{\mathrm{\&delta;}}_c){\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_s(1+P_k{\mathrm{\&delta;}}_k)X_s+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_1(X_s-x_1)={-m}_s{F}_a\left(t\right)---\left(12\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+k_1(x_1-X_s)+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+k_2(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)---\left(13\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+c_2({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_2(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(14\right)$

式中：p_c，p_k，δ_c，δ_k代表参数的相对摄动。

式(11-(13)可化简得到如下形式

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_2\\ Y_k\\ Y_c\\ Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_s+K_1}{M_s}& \frac{K_1}{M_s}& 0& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_s+C_1}{M_s}& \frac{C_1}{M_s}& 0& \frac{P_k\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_s}{M_s}& \frac{P_s\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_s}{M_s}& 1\\ \frac{K_1}{M_1}& -\frac{K_1+K_2}{M_1}& \frac{K_2}{M_1}& \frac{C_1}{M}& -\frac{C_1+C_2}{M_1}& \frac{C_2}{M_1}& 0& 0& 1\\ 0& \frac{K_2}{M_2}& -\frac{K_2}{M_2}& 0& \frac{C_2}{M_2}& -\frac{C_2}{M_2}& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ X_1\\ X_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ U_k\\ U_c\\ u\end{array}\right]---\left(15\right)$

$\left[\begin{array}{c}{U}_k\\ U_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_k& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Y}_k\\ Y_c\end{array}\right]---\left(16\right)$

4.2、当小质量块的参数(c₂，k₂)发生摄动时，其动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+c_s{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+k_s{X}_s+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+k_1(X_s-x_1)=-m_s{F}_a\left(t\right)---\left(17\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+k_1(x_1-X_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_c{\mathrm{\&delta;}}_c)({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_k{\mathrm{\&delta;}}_k)(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)---\left(18\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_c{\mathrm{\&delta;}}_c)({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_k{\mathrm{\&delta;}}_k)(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(19\right)$

式中：p_c，p_k，δ_c，δ_k代表参数的相对摄动。

式(16)-(18)可化简得到如下形式：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_2\\ Y_k\\ Y_c\\ Z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -\frac{K_s+K_1}{M_s}& \frac{K_1}{M_s}& 0& -\frac{C_s+C_1}{M_s}& \frac{C_1}{M_s}& 0& 0& 0& 1\\ \frac{K_1}{M_1}& -\frac{K_1+K_2}{M_1}& \frac{K_2}{M_1}& \frac{C_1}{M}& -\frac{C_1+C_2}{M_1}& \frac{C_2}{M_1}& \frac{P_k\&times;K_s}{M_1}& \frac{P_c\&times;C_2}{M_1}& 1\\ 0& \frac{K_2}{M_2}& -\frac{K_2}{M_2}& 0& \frac{C_2}{M_2}& -\frac{C_2}{M_2}& -\frac{P_k\&times;K_2}{M_2}& -\frac{P_c\&times;C_2}{M_2}& 1\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ X_1\\ X_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ U_k\\ U_c\\ u\end{array}\right]---\left(20\right)$

$\left[\begin{array}{c}{U}_k\\ U_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&delta;}}_k& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Y}_k\\ Y_c\end{array}\right]---\left(21\right)$

4.3、当两质量块参数的(c₁，k₁，c₂，k₂)发生摄动时，其动力方程可表示为：

$m_s{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s+c_s{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s+k_s{X}_s+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_1(1+P_{c1}{\mathrm{\&delta;}}_{c1})({\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1(1+P_{k1}{\mathrm{\&delta;}}_{k1})(X_s-x_1)=-m_s{F}_a\left(t\right)---\left(22\right)$

$m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_1(1+P_{c1}{\mathrm{\&delta;}}_{c1})({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1(1+P_{k1}{\mathrm{\&delta;}}_{k1})(x_1-X_s)$

$\left(23\right)$

$+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_{c2}{\mathrm{\&delta;}}_{c2})({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_{k2}{\mathrm{\&delta;}}_{k2})(x_1-x_2)=-m_1{F}_a\left(t\right)$

$m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{c}}_2(1+P_{c2}{\mathrm{\&delta;}}_{c2})({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1)+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_2(1+P_{k2}{\mathrm{\&delta;}}_{k2})(x_2-x_1)=-m_2{F}_a\left(t\right)---\left(24\right)$

式中：p_c1，p_k1，δ_c1，δ_k1，p_c2，p_k2，δ_c2，δ_k2代表参数的相对摄动。式(21)-(23)可化简得到如下形式：

$\left[\begin{array}{c}{U}_{k1}\\ U_{k2}\\ U_{c1}\\ U_{c2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&delta;}}_{k1}& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\&delta;}}_{k2}& 0& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\&delta;}}_{c1}& 0\\ 0& 0& 0& {\mathrm{\&delta;}}_{c2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{Y}_{k1}\\ Y_{k2}\\ Y_{c1}\\ Y_{c2}\end{array}\right]---\left(25\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{X}}_2\\ Y_{k1}\\ Y_{k2}\\ Y_{c1}\\ Y_{c2}\\ Z\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{K_s+{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_s}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_s}& 0& -\frac{C_s+{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_s}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_s}& 0& -\frac{P_{k1}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_s}& 0& -\frac{P_{c1}\&times;C_1}{M_s}& 0& 1\\ \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_1}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_1}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_1}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_1}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1+C_2}{M_1}& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_1}& \frac{P_{k1}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_1}{M_1}& \frac{-P_{k2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_1}& \frac{P_{c1}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_1}{M_1}& \frac{-P_{c2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_1}& 1\\ 0& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_2}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_2}& 0& \frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_2}& -\frac{{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_2}& 0& \frac{-P_{k2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_2}{M_2}& 0& \frac{-P_{c2}\&times;{\stackrel{\&OverBar;}{C}}_2}{M_2}& 1\\ 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}{X}_s\\ X_1\\ X_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_s\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_2\\ U_{k1}\\ U_{k2}\\ U_{c1}\\ U_{c2}\\ u\\ \end{array}\right]---\left(26\right)$

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