CN102820652A - 一种lc耦合盘式线圈滤波器及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，首先根据滤波需要确定电路的策动点阻抗函数并采用Cauer-I型电路实现，再以电网的无功补偿需求计算各滤波电容值，然后考虑各电感之间的互感，并根据自感和互感之间的关系建立去耦等效方程组，通过求解去耦等效方程组得到所需各滤波线圈的匝数、半径，进而完成耦合LC盘式线圈滤波器的设计。运用本方法设计的LC耦合盘式线圈滤波器将多个不同尺寸的盘式线圈同轴布置，并通过一个投切开关控制，极大地减小滤波线圈组的占地面积，减小滤波器的磁场散布范围，减少了投切开关数目，同时保证优良的多谐波滤波性能，具有很好的应用前景。

Description

一种LC耦合盘式线圈滤波器及其设计方法

技术领域

本发明属于电力谐波治理领域，特别涉及一种LC耦合盘式线圈滤波器及其设计方法。 

背景技术

无源电力滤波器是电力系统中广泛使用的谐波治理装置，主要采用多个单调谐LC滤波器与一个高通滤波器并联进行滤波；为了避免各电抗器之间的互感干扰，这种滤波装置需独立安装多个滤波线圈，例如要滤除3个谐波时，每相3个滤波线圈，则共需9个滤波线圈；为了避免谐波放大，在对各单调谐LC滤波器投切时，需要9个开关进行顺序投切；除此之外，这类传统的滤波线圈组还存在占地面积大、磁场散布大的问题，在许多应用场合，由于滤波线圈组的安装空间受限，传统的滤波线圈独立布置方案将无法实施；若将各滤波线圈集成布置，由于传统的滤波电路在设计时并未考虑线圈之间互感的影响而使直接的集成布置方法无法实施。 

发明内容

针对背景技术存在的问题，本发明提供一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，根据该设计方法得到的滤波器具有单开关投切、占地面积小、磁场散布范围小的优点。 

为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案。 

一种LC耦合盘式线圈滤波器，包括盘式线圈组和投切开关，所述的盘式线圈组由两个以上不同尺寸的盘式线圈同轴布置而成，所述 投切开关有一个。 

一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，包括以下步骤， 

步骤1、根据滤波需要确定电路的策动点阻抗函数Z(s)，并采用Cauer-I型电路实现； 

步骤2、根据电网的无功补偿需求计算各滤波电容值； 

步骤3、计算同轴盘式线圈组中各个盘式线圈的匝数、半径，具体步骤包括； 

步骤3.1根据各盘式线圈自感和互感之间的关系建立去耦等效方程组，通过求解去耦等效方程组得到所需各滤波盘式线圈的匝数、半径。步骤3.2以求得的线圈几何参数计算各盘式线圈的自感和互感。 

所述步骤3.1中通过增加约束方程、设定线圈参数、运用Newton法三者结合求解去耦等效方程组。 

设计双调谐LC耦合螺线管滤波器的策动点阻抗函数Z(s)为： 

$Z\left(s\right)=K\frac{(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z2}^2)}{s(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p2}^2)}$

其中，ω_z1，ω_z2表示零点，ω_p1，ω_p2表示极点，K为任意指定常数，其具体数值根据电路具体参数计算。 

设计三调谐LC耦合螺线管滤波器的策动点阻抗函数Z(s)为： 

$Z\left(s\right)=K\frac{(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z2}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z3}^2)}{s(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p2}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p3}^2)}$

其中，ω_z1，ω_z2，ω_z3表示零点，ω_p1，ω_p2，ω_p3表示极点，K为任意指定常数，其具体数值根据电路具体参数计算。 

所述计算盘式线圈自感的公式L_i为： 

$L_i=\frac{2{\mathrm{\μ}}_0{N}_i^2{R}_i}{3}(2G-1)=L\left(N_i\right)$

所述计算盘式线圈互感的公式M_ij为： 

$M_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\π}}^3{N}_i{N}_j}{4}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{f(R_i,k)f(R_j,k)e^{-d_{\mathrm{ij}}k}}{k^2}\mathrm{dk}=M(N_i,N_j,d_{\mathrm{ij}})$

其中，f(r,k)＝J₁(rk)H₀(rk)-J₀(rk)H₁(rk)，i,j为线圈序号，N_i,R_i,分别为线圈i的匝数、半径，μ₀为空气磁导率，μ₀=4π×10^-7，k为积分变量，其范围为[0，∞]，d_ij为线圈i和线圈j的间距，G=0.915965594…为Catalan常数，J_n(x)和H_n(x)分别为n阶第一类Bessel函数和Struve函数。 

当绕制盘式线圈导线的截面积σ确定时，线圈自感L是关于匝数N的函数，线圈间的互感M是关于两线圈匝数和间距的函数。设置特定的电容参数和盘式线圈的几何参数N、d_ij，可使双调谐耦合盘式线圈滤波器在两个所需的高次谐波频率处谐振，从而实现滤波效果。 

与现有技术相比，本发明具有以下优点和有益效果： 

本发明在设计滤波器电路结构时考虑了各电感之间的互感，因此所得的电路结构使各线圈可在近距离同轴布置，这样的结构可充分压缩线圈组所占空间，对于滤波器线圈组的占地面积可大幅缩小，且磁场的散布范围也能得到显著减小，且本滤波器仅需一个开关便可完成投切任务。 

附图说明

图1为本发明的流程图。 

图2双调谐Cauer-I型耦合滤波电路图。 

图3双调谐Cauer-I型耦合滤波器的滤波线圈结构图。 

图4双调谐Cauer-I型滤波电路图。 

图5双调谐Cauer-I型耦合滤波器的阻抗-频率特性曲线。 

图6双调谐Cauer-I型耦合滤波器滤波后母线上的电流波形。 

图7三调谐Cauer-I型耦合滤波电路。 

图8三调谐Cauer-I型耦合滤波器的滤波线圈结构图。 

图9三调谐Cauer-I型滤波电路图。 

图10三调谐Cauer-I型耦合滤波器的阻抗-频率特性曲线。 

图11三调谐Cauer-I型耦合滤波器滤波后母线上的电流波形。 

具体实施方式

实施例1 

下面以双调谐LC耦合盘式线圈滤波器及其设计方法为例，对本发明作进一步说明。 

一种LC耦合盘式线圈滤波器，包括盘式线圈组和投切开关，所述的盘式线圈组由两个以上不同尺寸的盘式线圈同轴布置而成，所述投切开关有一个。 

一种双调谐LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，包括以下步骤，步骤1、根据滤波需要确定电路的策动点阻抗函数Z(s)，并采用Cauer-I型电路实现； 

对于LC单端口网络，其策动点阻抗函数Z(s)为： 

$Z\left(s\right)=K\frac{(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z2}^2)}{s(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p2}^2)}$

ω_z1，ω_z2为单阶零点，ω_p1，ω_p2为单阶极点，K为任意指定常数，可根据电路具体需要求得；双调谐耦合滤波电路如图2所示，其耦合滤波线圈结构如图3所示；此滤波器可同时滤除两个频率的高次谐波；本实施例以同时滤除5次、7次谐波的LC耦合滤波器设计为例对本发明作进一步说明，因此确定该电路策动点阻抗函数Z(s)时，将零点取为ω_z1=5ω₀，ω_z2=7ω₀，极点取为ω_p0=0，ω_p1=6ω₀，其中ω₀=100π，则有： 

$Z\left(s\right)=K\frac{[s^2+{\left(5{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2][s^2+{\left(7{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2]}{s[s^2+{\left(6{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2]}$

采用Cauer-I型电路实现以上策动点阻抗函数，可得一梯形电路，如图4所示。图中各电路元件值为 

$L_a=K,L_b=\frac{1444K}{143},$ $C_1=\frac{1}{38{\mathrm{\ω}}_0^{2}K},$ $C_2=\frac{143}{46550{\mathrm{\ω}}_0^{2}K},$

步骤2、根据电网的无功补偿需求计算各滤波电容值； 

根据无功补偿量确定K值。例如，有一10kV电网，短路容量为200MVA，则可设定滤波电容总容量为6000kVar，则有C₁+C₂=190.986μF，C₁=171.02μF，C₂=19.96μF，K＝0.001559。 

步骤3、计算同轴盘式线圈组中各个盘式线圈的匝数、半径，具体步骤包括； 

步骤3.1根据各盘式线圈自感和互感之间的关系建立去耦等效 方程组，通过增加约束方程、设定线圈参数、运用Newton法三者结合求解去耦等效方程组得到所需各滤波盘式线圈的匝数、半径。对于同轴的盘式线圈，选定线圈导线截面积σ，其自感L_i、互感M_ij计算公式如下： 

各盘式线圈的自感L_i为： 

$L_i=\frac{2{\mathrm{\μ}}_0{N}_i^2{R}_i}{3}(2G-1)=L\left(N_i\right)$

各盘式线圈之间的互感M_ij； 

$M_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\π}}^3{N}_i{N}_j}{4}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{f(R_i,k)f(R_j,k)e^{-d_{\mathrm{ij}}k}}{k^2}\mathrm{dk}=M(N_i,N_j,d_{\mathrm{ij}})$

其中，f(r,k)＝J₁(rk)H₀(rk)-J₀(rk)H₁(rk)，i,j为线圈序号，N_i,R_i,分别为线圈i的匝数、半径，μ₀为空气磁导率，μ₀=4π×10^-7，k为积分变量，其范围为[0，∞]，d_ij为线圈i和线圈j的间距，G=0.915965594…为Catalan常数，J_n(x)和H_n(x)分别为n阶第一类Bessel函数和Struve函数。 

对图2所示的耦合电路去耦后可等效为图4所示的Cauer-Ⅰ型双调谐滤波电路，且去耦等效方程组为： 

$\left\{\begin{array}{c}{L}_1+M_{12}-M_{13}-M_{23}=K\\ L_2+M_{12}+M_{23}+M_{13}=\frac{1444}{143}K\\ L_3-M_{13}+M_{23}-M_{12}=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

滤波电感采用同轴盘式线圈时，则方程组(1)共有5个独立变量，通过增加一个约束方程M₁₂＝M₁₃并给定σ＝15mm²，，可得3方程3未知变量的适定方程组，即 

$\left\{\begin{array}{c}L\left(N_1\right)-M(N_2,N_2,{2d}_2)=K\\ L\left(N_2\right)+2M(N_1,N_2,d_2)+M(N_2,N_2,{2d}_2)=\frac{1444}{143}K\\ L\left(N_2\right)+M(N_2,N_2,{2d}_2)-2M(N_1,N_2,d_2)=0\end{array}\right.---\left(2\right)$

方程组(2)可以Newton法解之，得到各个盘式线圈的匝数、半径和间距：N₁=116,N₂＝N₃=115,d₂=d₃=33.7mm,R₁=508.8mm,R₂＝R₃=502.3mm。 

步骤3.2根据求得的各线圈几何参数，运用前述自感与互感公式求出各线圈的自感及它们之间的互感值，为滤波器设计完成后的电路仿真提供所需的参数值； 

L₁=4.807273mH，L₂＝L₃=4.623458mH，M₁₂=M₁₃=3.93583mH，M₂₃=3.2482mH。通过公式 

$W=\frac{4\mathrm{\ρ}{N}^2}{\mathrm{\δ}}---\left(3\right)$

计算各线圈自身的电阻值，其中W、ρ、δ分别为线圈电阻、铜的电阻率和导线直径，ρ=1.72414×10^-8Ω·m，可得W₁=0.214Ω，W₂=W₃=0.208Ω。 

此滤波器的阻抗-频率特性如图5所示。 

设有一10kV电网，其基准短路容量为200MVA，负载为R=10Ω，其谐波源为电流源，5次、7次谐波电流有效值分别为I₅=100A，I₇=90A，则以双调谐盘式线圈耦合滤波器滤波后母线上的电流波形如图6所示。 

仿真表明，滤波后母线上基波、5次谐波、7次谐波电压有效值 分别为V₁=10305.77V，V₅=31.56V，V₇=48.41V，电压总谐波畸变率为THD_V=0.56%；基波、5次谐波、7次谐波电流有效值分别为I₁=1225.46A，I₅=12.62A，I₇=13.83A，电流总谐波畸变率为THD_I=1.53%，这表明本方案完全满足国家标准：《电能质量公共电网谐波》（GB/T 14549-93）。 

实施例2 

下面以三调谐LC耦合盘式线圈滤波器及其设计方法为例，对本发明作进一步说明： 

一种三调谐LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，包括以下步骤，步骤1、根据滤波需要确定电路的策动点阻抗函数Z(s)，并采用Cauer-I型电路实现； 

对于LC单端口网络，其策动点阻抗函数Z(s)为： 

$Z\left(s\right)=K\frac{(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z2}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z3}^2)}{s(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p2}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p3}^2)}$

其中，ω_z1，ω_z2，ω_z3表示零点，ω_p1，ω_p2，ω_p3表示极点，K为任意指定常数，其具体数值根据电路具体参数计算；三调谐耦合滤波器的电路如图7所示，其线圈结构如图8所示；三调谐滤波器将同时滤除三个频率的高次谐波。本实施例以同时滤除5次、7次、11次谐波的耦合滤波器设计方法为例对本发明作进一步说明，因此在确定该电路策动点阻抗函数Z(s)时，将零点取为ω_z1=5ω₀，ω_z2=7ω₀，ω_z3=11ω₀，将极点取为ω_p1=0，ω_p2=6ω₀，ω_p3=9ω₀，其中ω₀=100π，则： 

$Z\left(s\right)=K\frac{[s^2+{\left(5{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2][s^2+{\left(7{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2][s^2+{\left(11{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2]}{s[s^2+{\left(6{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2][s^2+{\left(9{\mathrm{\ω}}_0\right)}^2]}$

同样采用Cauer-I型电路实现此策动点阻抗函数，可得Cauer-I型三调谐滤波电路结构如图9所示。 

且有 

L_a＝K,L_b＝3.2657K,L_c＝33.2962K,C₁＝1.2990×10^-7/K, 

C₂＝6.1327×10^-8/K,C₃＝8.1012×10^-9/K. 

步骤2、根据电网的无功补偿需求计算各滤波电容值； 

根据无功补偿量可确定K值。例如，有一10kV电网，短路容量为200MVA，则可设定滤波电容总容量为6000kVar，则有C₁+C₂+C₃=190.986μF，C₁=124.46μF，C₂=58.76μF，C₃=7.76μF，K＝0.001044。 

步骤3、计算同轴盘式线圈组中各个盘式线圈的匝数、半径，具体步骤包括； 

步骤3.1根据各盘式线圈自感和互感之间的关系建立去耦等效方程组，通过增加约束方程、设定线圈参数、运用Newton法三者结合求解去耦等效方程组得到所需各滤波盘式线圈的匝数、半径。选定线圈导线截面积σ，则各盘式线圈的自感L_i为： 

$L_i=\frac{2{\mathrm{\μ}}_0{N}_i^2{R}_i}{3}(2G-1)=L\left(N_i\right)$

各盘式线圈之间的互感M_ij为； 

$M_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\π}}^3{N}_i{N}_j}{4}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{f(R_i,k)f(R_j,k)e^{-d_{\mathrm{ij}}k}}{k^2}\mathrm{dk}=M(N_i,N_j,d_{\mathrm{ij}})$

其中，f(r,k)＝J₁(rk)H₀(rk)-J₀(rk)H₁(rk)，i,j为线圈序号，N_i,R_i,分别为线圈i的匝数、半径，μ₀为空气磁导率，μ₀=4π×10^-7H/m，k为积分变量，其范围为[0，∞]，d_ij为线圈i和线圈j的间距，G=0.915965594…为Catalan常数，J_n(x)和H_n(x)分别为n阶第一类Bessel函数和Struve函数。 

将图3中的互感去耦等效为图9，可得约束方程： 

$\left\{\begin{array}{c}{L}_1+L_4-2M_{14}=L_a\\ -L_4+M_{12}+M_{14}-M_{15}-M_{24}+M_{45}=0\\ M_{13}+M_{15}-M_{34}-M_{45}=0\\ L_2+L_4+L_5+2(M_{24}-M_{25}-M_{45})=L_b\\ {-L}_5+M_{23}+M_{25}+M_{34}-M_{35}+M_{45}=0\\ L_3+L_5+2M_{35}=L_c\end{array}\right.---\left(4\right)$

滤波电感采用同轴盘式线圈时，指定导线截面积σ＝8mm²，则(4)共有 

9个独立变量，通过增加两个约束M₂₄＝M₄₅，M₃₅＝M₃₄并令N₁=90，可得8方程8未知变量的适定方程组，即 

$\left\{\begin{array}{c}L\left(N_1\right)+L\left(N_4\right)-2M(N_1,N_4,d_4)=L_a\\ -L\left(N_4\right)+M(N_1,N_2,d_2)+M(N_1,N_4,d_4)\\ -M(N_1,N_5,d_5)=0\\ M(N_1,N_3,d_3)+M(N_1,N_5,d_5)-M(N_3,N_4,|d_3-d_4\left|\right)\\ -M(N_4,N_5,|d_4-d_5\left|\right)=0\\ L\left(N_2\right)+L\left(N_4\right)+L\left(N_5\right)-2M(N_2,N_5,|d_2-d_5\left|\right)=L_b\\ -L\left(N_5\right)+M(N_2,N_3,|d_2-d_3\left|\right)+M(N_2,N_5,|d_2-d_5\left|\right)\\ +M(N_4,N_5,|d_4-d_5\left|\right)=0\\ L\left(N_3\right)+L\left(N_5\right)+2M(N_3,N_5,|d_3-d_5\left|\right)=L_c\\ M(N_2,N_4,|d_2-d_4\left|\right)=M(N_4,N_5,|d_4-d_5\left|\right)\\ M(N_3,N_4,|d_3-d_4\left|\right)=M(N_3,N_5,|d_3-d_5\left|\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

以Newton法解(5)，可得各盘式线圈的匝数、半径和间距为：N₁=90,N₂=74,N₃=235,N₄=83,N₅=89,d₂=54.3mm,d₃=97.3mm,d₄=45.9mm,d₅=190.7mm。R₁=0.2872m，R₂=0.2361m，R₃=0.7513m，R₄=0.2640m，R₅=0.2827m。 

步骤3.2根据求得的各线圈几何参数，运用前述自感与互感公式计算各线圈的自感及它们之间的互感值，为滤波器设计完成后的电路仿真提供所需的参数值； 

L₁=1.621562mH，L₂=0.900138mH，L₃=29.0191mH，L₄=1.25866mH，L₅=1.54566mH，M₁₂=0.679747mH，M₁₃=2.14922mH，M₁₄=0.918276mH，M₁₅=0.339359mH，M₂₃=1.00185mH，M₂₄=0.395747mH，M₂₅=0.148067mH，M₃₄=2.09283mH，M₃₅=2.09283mH，M₄₅=0.395747mH。通过公式(3)计算各线圈自身电阻值为：W₁=0.175Ω，W₂=0.118Ω，W₃=1.198Ω，W₄=0.148Ω，W₅=0.170Ω。此滤波器的阻抗-频率特性如图10所示。 

设有一10kV电网，其基准短路容量为200MVA，负载为R=10Ω，其谐波源为电流源，5次、7次、11次谐波电流值分别为I₅=100A，I₇=90A，I₁₁=50A。则以三调谐盘式线圈耦合滤波器滤波后母线上的电流波形如图11所示。 

滤波后母线上基波、5次谐波、7次、11次谐波电压有效值分别为V₁=10304.64V，V₅=31.65V，V₇=35.95V，V₁₁=29.00V，电压总谐波畸变率为THD_V=0.54%；基波、5次谐波、7次、11次谐波电流有效值分别为I₁=1220.18A，I₅=12.66A，I₇=10.27A，I₁₁=5.27A，电流总谐 波畸变率为THD_I=1.40%，这表明本方案完全满足国家标准（GB/T14549-93）。 

Claims (6)

1.一种LC耦合盘式线圈滤波器，包括盘式线圈组和投切开关，其特征在于：所述的盘式线圈组由两个以上不同尺寸的盘式线圈同轴布置而成，所述投切开关有一个。

2.一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，其特征在于：包括以下步骤，

步骤1、根据滤波需要确定电路的策动点阻抗函数Z(s)，并采用Cauer-I型电路实现；

步骤2、根据电网的无功补偿需求计算各滤波电容值；

步骤3、计算同轴盘式线圈组中各个盘式线圈的匝数、半径，具体步骤包括；

步骤3.1根据各盘式线圈自感和互感之间的关系建立去耦等效方程组，通过求解去耦等效方程组得到所需各滤波盘式线圈的匝数、半径。

步骤3.2根据所得线圈几何参数计算各盘式线圈的自感和互感。

3.根据权利要求2所述的一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，其特征在于：所述步骤3.1中通过增加约束方程、设定线圈参数、运用Newton法三者结合求解去耦等效方程组。

4.根据权利要求2所述的一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，其特征在于：设计双调谐LC耦合螺线管滤波器的策动点阻抗函数Z(s)为：

$Z\left(s\right)=K\frac{(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z2}^2)}{s(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p2}^2)}$

其中，ω_z1，ω_z2表示零点，ω_p1，ω_p2表示极点，K为任意指定常数，其具体数值根据电路具体参数计算。

5.根据权利要求2所述的一种LC耦合螺线管滤波器的设计方法，其特征在于：设计三调谐LC耦合螺线管滤波器的策动点阻抗函数Z(s)为：

$Z\left(s\right)=K\frac{(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z2}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{z3}^2)}{s(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p1}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p2}^2)(s^2+{\mathrm{\ω}}_{p3}^2)}$

其中，ω_z1，ω_z2，ω_z3表示零点，ω_p1，ω_p2，ω_p3表示极点，K为任意指定常数，其具体数值根据电路具体参数计算。

6.根据权利要求1所述的一种LC耦合盘式线圈滤波器的设计方法，

其特征在于：所述计算盘式线圈自感的公式L_i为：

$L_i=\frac{2{\mathrm{\μ}}_0{N}_i^2{R}_i}{3}(2G-1)=L\left(N_i\right)$

所述计算盘式线圈互感的公式M_ij为：

$M_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\π}}^3{N}_i{N}_j}{4}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{f(R_i,k)f(R_j,k)e^{-d_{\mathrm{ij}}k}}{k^2}\mathrm{dk}=M(N_i,N_j,d_{\mathrm{ij}})$

其中，f(r,k)＝J₁(rk)H₀(rk)-J₀(rk)H₁(rk)，i,j为线圈序号，N_i,R_i分别为线圈i的匝数、半径，μ₀为空气磁导率，μ₀=4π×10^-7H/m，k为积分变量，其范围为[0，∞]，d_ij为线圈i和线圈j的间距，G=0.915965594…为Catalan常数，J_n(x)和H_n(x)分别为n阶第一类Bessel函数和Struve函数。

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