CN102809524B - 基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了材料表面能检测技术领域中的一种基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法。包括：设定液滴体积和预设接触角；利用仿真的方法产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线；利用椭圆拟合法计算所述液滴边缘曲线的接触角，记为第一接触角；获取第一接触角、设定的液滴体积和预设接触角之间的映射关系；获取液滴的真实图像，并根据所述液滴的真实图像，利用椭圆拟合法计算真实图像中的液滴边缘曲线的接触角，记为第二接触角；根据第二接触角、真实图像对应的液滴体积和映射关系，利用插值法计算最终的接触角。本发明可有效减少静态接触角测量的误差。

Description

基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法

技术领域

本发明属于材料表面能检测技术领域，尤其涉及一种基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法。

背景技术

憎水性是材料表面的重要性能，憎水性可以通过接触角来反映。静态接触角是液滴处于静止状态时对应的接触角，它满足Young-Laplace方程。

静态接触角的测量方法有座滴法、悬滴法、吊板法和毛细管法等，但最为常用的还是座滴法。接触角测量中关键部分是接触角的计算。随着电子计算机技术的发展，目前常将液滴图像存储为电子图像后用各种算法计算静态接触角。最早使用的是切线法，该方法做三重线处液滴的切线，通过半角定理计算接触角，实现容易，但误差较大，受使用者主观因素的影响也较大。椭圆拟合法是将图像上液滴的边缘假设为椭圆的一部分，可以用一种直接计算椭圆参数的算法计算接触角，在液滴体积略大、接触角略大时该算法有更高的准确性，但随着液滴体积和接触角的进一步增加该算法的误差也有增大趋势。理论上，无论液滴体积和接触角如何，平面上液滴成像后图像上液滴的边缘都满足Young-Laplace方程，轴对称形状分析法(axisymmetric drop shape analysis-profile，ADSA-P)通过牛顿法等对方程中的参数进行寻优可拟合液滴边缘，该算法具有不错的效果，尤其是当液滴体积大、接触角大时具有明显的优势，但该算法存在迭代可能会不收敛的问题，尤其在初值与准确值差距较大时发生的可能性会增大，同时该算法在求解过程中要涉及3个常微分方程组，无论是计算量还是编程难度均要远大于以上所提其他算法，同时该算法受噪声影响较大，尤其是在接触角较小，同时液滴体积也不大时误差也相对较大。随着液滴体积和接触角的增加，椭圆拟合法误差逐渐增大，必须研究新的方法对其加以改进。

发明内容

为解决上述技术存在的不能在不同憎水性和液滴体积下均能准确计算静态接触角的问题，本发明提供了一种基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法。

为了实现上述目的，本发明提出的技术方案是，一种基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法，其特征是所述方法包括：

步骤1：设定液滴体积和预设接触角；

步骤2：利用仿真的方法产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线；

步骤3：利用椭圆拟合法计算所述液滴边缘曲线的接触角，记为第一接触角；

步骤4：获取第一接触角、设定的液滴体积和预设接触角之间的映射关系；

步骤5：获取液滴的真实图像，并根据所述液滴的真实图像，利用椭圆拟合法计算真实图像中的液滴边缘曲线的接触角，记为第二接触角；

步骤6：根据第二接触角、真实图像对应的液滴体积和步骤4得到的映射关系，利用插值法计算最终的接触角。

所述步骤2具体是采用Young-Laplace方程产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线。

所述插值法为最近邻插值法、线性插值法或三次插值法。

本发明可有效减少静态接触角测量的误差。

附图说明

图1是基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法流程图；

图2是采用线性插值法修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；(a)是接触角为7°且随水珠体积增加时修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；(b)是接触角为97°且随水珠体积增加时修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；(c)是接触角为172°且随水珠体积增加时修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；

图3是采用三次插值法修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；(a)是接触角为7°且随水珠体积增加时修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；(b)是接触角为97°且随水珠体积增加时修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；(c)是接触角为172°且随水珠体积增加时修正前后椭圆拟合法针对仿真水珠图像的计算结果示意图；

图4是超疏水图像基于椭圆拟合法的计算结果示意图；

图5是超疏水图像基于ADSA-P法的计算结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图，对优选实施例作详细说明。应该强调的是，下述说明仅仅是示例性的，而不是为了限制本发明的范围及其应用。

实施例1

图1是基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法流程图。图1中，本发明提供的基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法包括：

步骤1：设定液滴体积和预设接触角。

液滴体积小于1000μL且接触线不大于1cm，静态接触角大于5°且小于179°。

步骤2：利用仿真的方法产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线。

通常，可以采用Young-Laplace方程产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线。

步骤3：利用椭圆拟合法计算所述液滴边缘曲线的接触角，记为第一接触角。椭圆的一般方程可表示为：

F(m,n)=n·m=ax²+bxy+=cy²+dx+ey+f＝0    (1)

上式中x、y分别表示横、纵坐标，m=[a,b,c,d,e，f]^T，n=[x²,xy，y²,x，y,1]。设B=[n₁ ^T,n₂ ^T，...,n_N ^T]^T，F(m,n_i)称之为平面上点(x_i，y_i)到曲线F(m,n)=0的代数距离。当椭圆拟合所有离散数据点代数距离平方和最小时即可求解出相应的二次曲线，这属于非线性最小二乘问题，需要迭代，常规的最小二乘算法如Levenberg-Marquardt算法计算量和编程量都较大。对于N点的观测数据，拟合准则为：

$E_{\min }=\min \left(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}F{(m,n_i)}^2\right)---\left(2\right)$

针对式(2)必须限定b²-4ac<0才能保证拟合的结果为椭圆，否则拟合结果有可能是抛物线或者双曲线而非椭圆。因b²-4ac<0不是一个等式限制条件，在实际求解时由于Kuhn-Tucker条件并不能保证有解，故引入限制条件b²-4ac=-1，以矩阵形式表达为：

m^TCm=1    (3)

式中 $C=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

式(2)等价为

E_min=min(|Bm|²)    (4)

因为B是已知量，式(4)中待求量为m，问题的关键就是对m进行寻优。引入Lagrange算子并求导得：

2B^TBm-2λCm=0    (5)

令S＝B^TB，式(5)改写为：

Sm＝λCm    (6)

对于式(6)，可按广义特征值和广义特征向量的方法求解出6组对应的特征值λ_i和u_i。对于条件限制矩阵C，其特征值为[-2,-1,2,0,0,0]，仅有一个特征值为正。仅有惟一的广义特征值λ∈R⁺和广义特征向量u作为椭圆拟合解。对于任意k∈R⁺而言，应使(λ,ku)满足式(7)，即k²u^TCu=1，则：

k＝[1/(u^TCu)]^1/2＝[1/(u^TSu)]^1/2    (7)

惟一解：

$\hat{m}=\mathrm{ku}---\left(8\right)$

设根据求解的m获得椭圆的长、短半轴分别为L_L和L_S，中心为(X₀,Y₀)，倾斜角度为θ₀，单位为弧度；则椭圆上点(x₁，y₁)表达式如下：

x＝L_Lcosθ；y＝L_Ssinθ；(9)

x₁＝xcosθ₀-ysinθ₀+X₀;

y₁＝xsinθ₀+ycosθ₀+Y₀;

液滴边缘上左、右两侧最低点分别为(X_L,Y_L)和(X_R,Y_R)，考虑到样本上表面可能不完全处于水平状态，接触角计算思路如下，先获得左、右三重线对应点对应的式(9)中的θ，记为θ_L1和θ_R1。则左、右两侧接触角计算公式如下：

X_L1=(X_L-X₀)cosθ₀+(Y_L-Y₀)sinθ₀;

Y_L1=-(X_L-X₀)sinθ₀+(Y_L-Y₀)cosθ₀;

X_R1=(X_R-X₀)cosθ₀+(Y_R-Y₀)sinθ₀;

Y_R1=-(X_R-X₀)sinθ₀+(Y_R-Y₀)cosθ₀;

θ_L1=angle(jY_L1/L_S+X_L1/L_L);

θ_R1=angle(jY_R1/L_S+X_R1/L_L).

式中angle(A)获得复数A的相位。

根据以上两个角度以及椭圆的倾斜角度θ₀可得左、右两侧的接触角分别为θ_L2和θ_R2，单位为°，如式(10)所示。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_{L2}=\frac{180}{\mathrm{\&pi;}}[a\tan \left(\frac{-L_S}{L_L\tan {\mathrm{\&theta;}}_{L1}}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_0],Y_{L1}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&theta;}}_{L2}=\frac{180}{\mathrm{\&pi;}}[\mathrm{\&pi;}+a\tan \left(\frac{-L_S}{L_L\tan {\mathrm{\&theta;}}_{L1}}\right)+{\mathrm{\&theta;}}_0],Y_{L1}<0\\ {\mathrm{\&theta;}}_{R2}=\frac{180}{\mathrm{\&pi;}}[a\tan \left(\frac{L_S}{L_L\tan {\mathrm{\&theta;}}_{R1}}\right)-{\mathrm{\&theta;}}_0],Y_{R1}\&GreaterEqual;0\\ {\mathrm{\&theta;}}_{R2}=\frac{180}{\mathrm{\&pi;}}[\mathrm{\&pi;}+a\tan \left(\frac{L_S}{L_L\tan {\mathrm{\&theta;}}_{R1}}\right)-{\mathrm{\&theta;}}_0],Y_{R1}<0\end{array}\right.---\left(10\right)$

设根据左、右两侧三重线对应点获得固体水平面斜率为k₁，则最终左、右接触角分别为θ_L和θ_R，如式(11)所示，单位为°。

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&theta;}}_L={\mathrm{\&theta;}}_{L2}-180a\tan \left(k_1\right)/\mathrm{\&pi;}\\ {\mathrm{\&theta;}}_R={\mathrm{\&theta;}}_{R2}+180a\tan \left(k_1\right)/\mathrm{\&pi;}\end{array}\right.---\left(11\right)$

液滴的最终接触角

θ=(θ_L+θ_R)/2    (12)

将θ记为第一接触角。

椭圆拟合法都是在实现上都是将左、右两侧接触角的均值作为最终得到的接触角，这样可减少随机和图形偏转等因素导致的误差。

步骤4：获取第一接触角、设定的液滴体积和预设接触角之间的映射关系。该映射就是数据集之间的对应关系。

步骤5：获取液滴的真实图像，并根据所述液滴的真实图像，利用椭圆拟合法计算真实图像中的液滴边缘曲线的接触角，记为第二接触角。

使用数码相机或镜头、工业相机结合图像采集卡在垂直于材料所在平面拍照获得液滴图像，针对该图像，获得液滴边缘后根据椭圆拟合法进行拟合。椭圆拟合法同步骤3。经过计算，将得到的接触角记为第二接触角。

步骤6：根据第二接触角、真实图像对应的液滴体积和步骤4得到的映射关系，利用插值法计算最终的接触角。其中的插值法可以采用最近邻插值法、线性插值法或三次插值法。

实施例2

为了使实验结果更具说服力，静态接触角分别选择没有计算过的7°、97°和172°，液体选择为水，体积也与以上计算过的情况有差别。当采用线性插值时，原始的椭圆拟合法与本发明提出的修正的椭圆拟合法的计算结果如附图2所示。

由附图2可知，采用原始的椭圆拟合法时，随着水珠体积的增加算法误差逐渐增大，满足水珠体积小于1000μL且接触线长度不大于1cm，当实际接触角分别为7°、97°和172°时原始椭圆拟合法的最大误差分别为0.37°、－2.09°和－32.59°。而采用本发明算法修正后，即使体积增加算法计算结果也保持了很好的稳定性，3种情况下计算误差幅值的最大值分别为0.09°、0.26°和0.57°；标准差分别为0.04°、0.12°和0.30°。由此可见，本发明提出的修正的椭圆拟合法在接触角和水珠体积大范围的变动情况下均能准确计算获得静态接触角，大大提高了静态接触角测量的准确性。

实施例3

针对样本与实施例2一致，当采用三次插值时，原始的椭圆拟合法与本发明提出的修正的椭圆拟合法的计算结果如附图3所示。

由附图3可知，采用原始的椭圆拟合法时，随着水珠体积的增加算法误差逐渐增大。满足水珠体积小于1000μL且接触线长度不大于1cm，当实际接触角分别为7°、97°和172°时本发明算法在3种情况下计算误差幅值的最大值分别为0.09°、0.97°和2.24°，远小于原始椭圆拟合法的最大误差0.37°、－2.09°和－32.59°。标准差分别为0.04°、0.23°和0.60°，即使体积增加算法计算结果也保持了很好的稳定性。由此可见，本发明提出的修正的椭圆拟合法在接触角和水珠体积大范围的变动情况下均能准确计算获得静态接触角，大大提高了静态接触角测量的准确性。

实施例4

有一超疏水试样，在其上滴9μL左右的去离子水，所得图像用椭圆拟合法和ADSA-P法的计算，结果分别如附图4和5所示。

由附图4可知，用椭圆拟合法算得静态接触角为152.64°，由后续分析可知它的误差为－13.6°左右。而ADSA-P法则能很好拟合水珠边缘，得到的接触角为166.24°，准确性有保障。但其原理较为复杂，编程难度大，计算时间也较长，比如附图5用椭圆拟合法、修正的椭圆拟合法和ADSA-P法时的计算时间分别为0.83ms、78.4ms和310.1ms，ADSA-P法在对大量图像计算接触角时计算时间上的劣势较为明显。显然，本发明提出的修正的椭圆拟合法计算速度慢于未修正算法，但远快于ADSA-P法。针对该图像用修正的椭圆拟合法计算得到接触角为165.69°，其与ADSA-P法算得的166.24°差距大致为0.55°左右，远小于原始椭圆拟合法的误差，其准确性有保障。以上计算结果表明：在椭圆拟合法容易产生较大误差的超疏水情况下的接触角计算时，修正的椭圆拟合法也能得到较为准确的计算结果。

本发明的有益效果包括：

1)计算准确性高

基于插值方式可以有效减少大的液滴体积和接触角给椭圆拟合法带来的误差。

2)计算速度较快

较之ADSA-P法避免了优化算法的计算复杂性，耗时较短。

3)编程难度较小

本发明的椭圆拟合法和插值方法没有过于复杂的迭代过程，编程难度相对ADSA-P法小很多。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (3)

1.一种基于修正椭圆拟合法的静态接触角计算方法，其特征是所述方法包括：

步骤1：设定液滴体积和预设接触角；

所述液滴体积小于1000μL且接触线不大于1cm，静态接触角大于5°且小于179°；

步骤2：利用仿真的方法产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线；

步骤3：利用椭圆拟合法计算所述液滴边缘曲线的接触角，记为第一接触角；

步骤4：获取第一接触角、设定的液滴体积和预设接触角之间的映射关系；

步骤5：获取液滴的真实图像，并根据所述液滴的真实图像，利用椭圆拟合法计算真实图像中的液滴边缘曲线的接触角，记为第二接触角；

步骤6：根据第二接触角、真实图像对应的液滴体积和步骤4得到的映射关系，利用插值法计算最终的接触角。

2.根据权利要求1所述的计算方法，其特征是所述步骤2具体是采用Young-Laplace方程产生设定液滴体积和预设接触角的液滴边缘曲线。

3.根据权利要求1所述的计算方法，其特征是所述插值法为最近邻插值法、线性插值法或三次插值法。