CN102801456A - 单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法，包括以下步骤：基于最小均方误差(MMSE)准则建立数学模型，然后将问题进行分解，变为两个关于部分变量的子问题，通过求解子问题，并结合迭代的方法，最后求出最优预编码方案。本发明适用于使用了多天线中继站的小区，考虑了利用从基站到用户间直达信号，并且考虑了在基站和中继站功率受限的情况下，通过基站和中继的联合预编码提高系统下行中继传输性能；本方案在提高基站覆盖范围，改善小区边缘用户体验，降低发射功率方面都取得了令人满意的效果；其中的算法具有易于操作，复杂度低的特点。

Description

单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法

技术领域

本发明涉及一种用于单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法，属于移动通信领域。

背景技术

中继技术可以显著提高无线通信链路的性能和可靠性，扩大网络覆盖范围和质量，降低基站发射功率。中继信号转发方案主要分为解码转发和放大转发两种。解码转发型中继收到基站传输的信号后，先进行解码，然后重新编码，最后发送给用户。而放大转发型中继只对接收信号进行放大，然后发给用户。

因为MIMO技术可以极大提高无线频谱的利用率，所以在源节点、中继节点以及信宿节点采用多天线发送与接收，可以极大提升中继链路的频谱效率。

目前已有的MIMO中继传输方案中，有些只考虑在中继站进行预编码，在基站不采用预编码。如：

A.S.Behbahani,R.Merched，and A.M.Eltawil，“Optimization of a MIMOrelay network，”IEEE Trans.Signal Process.,vol.56，no.10,PP.5062-5073,Oct.2008.

有些方案虽然考虑基站和中继的联合预编码，但由于联合预编码的优化目标函数只是链路容量或其它性能指标的上下界，而且都忽略了基站到用户的直达信号。例如：

Y.Zhang and J.Li，“On precoder design for amplify-and-forward MIMO relaysystems,”Vehicular Technology Conference，PP.1-6，5-8 Sept.2011为了克服现有MIMO中继移动通信蜂窝系统的下行预编码方案存在的以上不足，本发明提出了一种新的预编码方案，该方案有以下特点：1）将基站和中继预编码联合进行；2）还考虑基站到用户的直达信号；3）直接对MMSE函数进行优化，获得联合编码矩阵，而不是对性能指标的上下界优化。

由于本发明具有上述三个特点，使得联合预编码的效果优于前人所提出的预编码方案。

发明内容

本发明的目的在于提供了一种用于单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法，解决MIMO中继移动通信蜂窝系统中基站节点与中继节点的联合预编码问题，使得采用MMSE即最小均方误差检测作为前端检测的移动台的检测信号与发送信号具有最小均方误差。

为了实现以上目的，本发明的技术方案如下：单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法，包括以下步骤：

1）、基站采集基站到中继站之间的信道信息，基站到移动台之间的的信道信息，以及中继站到移动台之间的信道信息；

2）、基于最小均方误差准则建立数学模型，将问题进行分解，变为两个关于部分变量的子问题，求解子问题答案；然后利用子问题的答案进行反复迭代，当迭代收敛到预设精度要求时，即得联合优化预编码矩阵；

3）、基站将中继站的预编码矩阵信息发给中继站。

所述步骤2）的具体实现步骤如下：

2.1）、用户最终获得的信号向量为2L×1向量，

可以表示为以下形式：

$y\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\left[\begin{array}{c}{y}_2\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{FH}}_1\\ H_0\end{array}\right]\mathrm{Gx}+\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{Fn}}_1+n_2\\ n_0\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，

为M×1零均值循环对称复高斯数据序列，满足

为基站与用户间的L×M MIMO信道信息矩阵；

为基站与中继间的N×M MIMO信道信息矩阵；

为中继与用户间的L×N MIMO信道信息矩阵；均为具有零均值，单位方差的独立同分布加性高斯白噪声，即

为M×M预编码矩阵；

为N×N预编码矩阵；

2.2）、用户端采用线性接收机

对接收信号进行检测，所得的估计信号

为：

其中，公式（2）的目的是使估计信号

和发送信号

尽可能的接近；

2.3）、引入最小均方误差准则，其目标是使均方误差矩阵

的迹尽可能小，数学公式表达如下：

$\begin{array}{cc}\underset{G,F,W}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}---\left(3\right)$

其中，

即均方误差矩阵，误差矩阵

是黑体，表示矩阵，步骤2.1）中天线数M，表示标量；使公式(3)最小的就是维纳滤波器，其形式如公式(4)所示：

$W={(\tilde{H}{\tilde{H}}^H+R)}^{-1}\tilde{H}---\left(4\right)$

其中， $\tilde{H}=\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{FH}}_1\\ H_0\end{array}\right]G,$ $R=\left[\begin{array}{cc}{H}_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H+I& 0\\ 0& I\end{array}\right];$

2.4）将最佳检测器公式（4）代入到公式(3)，可得：

$M={(I+M_1+M_2)}^{-1}---\left(5\right)$

其中， $M_1=G^H{H}_0^H{H}_{0}G,$ $M_2=G^H{H}_1^H{F}^H{H}_2^H{(I+H_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H)}^{-1}{H}_2{\mathrm{FH}}_{1}G;$

此时，

只是和

的函数，合理选择

和使

尽可能小；同时考虑到基站和中继的发送功率约束，最终建立了以下的优化问题模型即基于MMSE准则的优化模型：

$\begin{array}{cc}\underset{G,F}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{{\mathrm{GG}}^H\right\}\≤P_B---\left(6\right)\end{array}$

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}\≤P_R$

其中，

为基站信号发射功率；

为中继站信号发射功率；P_B、P_R分别为基站和中继站的最大发射功率；

2.5）、合理选择和

使尽可能小的具体步骤如下：

2.5.1）、假设基站预编码矩阵

给定，原公式(6)问题就变成了以下子问题，此时

仅为

的函数：

$\begin{array}{cc}\underset{F}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$ $\left(7\right)$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}\≤P_R\end{array}$

公式（7）的解法如下：首先对

和

分别进行奇异值分解，即

$H_{1}G=\stackrel{\‾}{U}\stackrel{\‾}{\mathrm{\Σ}}{\stackrel{\‾}{V}}^H---\left(8\right)$

$H_2=U_2{\mathrm{\Σ}}_2{V}_2^H---\left(9\right)$

其中，和

为由奇异值分解得到的酉矩阵。

和∑₂为由奇异值分解得到的奇异值矩阵；

由公式（8）与公式（9），则公式(7)的解有以下结构

$F=V_2{\mathrm{\Σ}}_R{\stackrel{\‾}{U}}^H---\left(10\right)$

其中，

和

为已知是由(8)和(9)获得，∑_R为对角阵，其对角线元素为：

$r_i=\sqrt{{\left[\frac{{\mathrm{\μ}}_F{r}_{1,i}{r}_{2,i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^i+1)}\right]}^{+}}---\left(11\right)$

其中：

-r_1，i为对角阵

的第i个对角线元素；

–r_2，i为对角阵∑₂的第i个对角线元素；

$-{\left[\frac{{\mathrm{\μ}}_F{r}_{1,i}{r}_{2,i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^2+1)}\right]}^{+}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\max \{0,\frac{{\mathrm{\μ}}_F{r}_{1,i}{r}_{2.i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^2+1)}\};$

–μ_F为满足中继功率限制的待定参数；

以上，除了μ_F未知以外，其余均为已知，根据公式(10)可知

现在仅为μ_F的函数；根据公式(7)中的功率约束条件，得到以下以μ_F为变量的等式：

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}=P_R---\left(12\right)$

使用两分法求解公式（12），两分法步骤如下：

a)初始化μ_L＝0，μ_U＝10⁵，设定迭代精度ε＝10^-3；

b)令代入公式(10)，得到

再将

代入下式

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}-P_R---\left(13\right);$

c)若以上公式（13）结果<0，则

否则 ${\mathrm{\&mu;}}_U=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_L+{\mathrm{\&mu;}}_U}{2};$

d)反复步骤b）、步骤c），直到|μ_U-μ_L|≤ε

e)返回μ_F=(μ_L+μ_U)/2。

将最终得到的μ_F代入公式(11)得到∑_R，再将∑_R代入公式(10)，最后得到公式（7）的解；

2.5.2）假设中继预编码矩阵

给定，原公式(6)问题就变成了以下子问题，此时

仅为

的函数：

$\begin{array}{cc}\underset{G}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{{\mathrm{GG}}^H\right\}\&le;P_B---\left(14\right)\end{array}$

$\mathrm{tr}\left\{{\mathrm{FH}}_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H{F}^H\right\}\&le;P_R-\mathrm{tr}\left\{{\mathrm{FF}}^H\right\}$

公式（14）的解可以由以下算法获得：

设 $L_1=H_0^H{H}_0+H_1^H{F}^H{H}_2^H{(I+H_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H)}^{-1}{H}_2{\mathrm{FH}}_1---\left(15\right)$

$L_2=H_1^H{F}^H{\mathrm{FH}}_1---\left(16\right)$

对

进行Cholesky分解，得到

$I+L_2={\mathrm{CC}}^H---\left(17\right)$

接着，对

进行特征值分解，得到

$C^{-1}{L}_1{C}^{-H}={\mathrm{U\&Sigma;U}}^H---\left(18\right)$

最后

$G=C^{-H}U{({\mathrm{\&Sigma;}}^{-\frac{1}{2}}-{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1})}^{\frac{1}{2}}---\left(19\right)$

公式（19）就是公式(14)的解；

2.5.3）先给定一个基站预编码矩阵

的初始值，然后通过公式(7)的解计算新中继站预编码矩阵

得到

后再利用公式(14)的解计算新的反复迭代，直到收敛为止，具体步骤如下：

A)、选择N_MAX即最大迭代次数，T_Th即判别迭代是否收敛的门限；

B)、初始化

选择通过以上步骤2.5.1）计算得到

C)、设n=0；

D)、使用以上步骤2.5.2）由

计算

E）、使用以上步骤2.5.1）计算

F）、令 $X_{n+1}=(G_{n+1},F_{n+1});$

G）、如果

则

中的和

即为所求的两个预编码矩阵，不再进行步骤H）；

H)、当n≤N_MAX-1时，n=n+1，继续从步骤C）开始，当超过最大迭代次数N_MAX时，

即为所求的两个预编码矩阵。

有益效果：与已有的方案相比，本方案通过在基站、中继站、用户都安装多天线大大提高了系统的频谱效率；通过同时在基站和中继站进行联合预编码，充分发挥了预编码在提高MIMO系统性能方面的巨大作用；本方案不仅考虑了中继协作，也考虑了如何充分利用固有基站到用户的直达信号，在提高基站覆盖范围，改善小区边缘用户体验，降低发射功率方面都取得了令人满意的效果；其中的算法具有易于操作，复杂度低的特点。

附图说明

图1为本发明针对问题场景所建立的数学模型。

其中，s=Gx；s是一个中间变量。

图2为本发明应用场景示意图。

图3为本发明系统框图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的描述。

1.方案实施典型场景举例：

本发明可用于单小区MIMO中继移动通信蜂窝系统中的基站与中继的联合预编码，其中基站、中继、移动台均配置多天线，此外要求基站可以知道系统中各个信道信息。

应用场景示意图如图2所示。如图所示，在一个具有一个基站和多个中继的小区中，处于小区边缘的用户由于距离基站距离较远，信号的传输质量不能达到要求。此时，可以通过选择一个中继，产生另外一条中继协作链路的方法改善用户体验。通过基站和中继联合预编码，针对处于小区边缘的用户的信号传输质量得到大大改善。当移动台所接收的基站信号强度低于一定门限时，即通过离它最近的一个中继站来接收转发信号。此时，移动台可以接收到基站发来的直达信号与中继转发信号。

2.本技术方案所应用设备

本发明所提出的方案，可以用于该系统的基站发送机模块中。本发明系统框图如图3所示。

3.实施步骤：

a)基站设备的电路设计：对基站设备进行电路设计，提供专用芯片的运行环境。

b)专用芯片中的算法电路设计：在这一步中，将本发明所对应的算法与基站的其它算法一起，用该专用芯片所对应的硬件描述语言（如VHDL语言）描述。

c)将硬件描述语言所描述的专用芯片的结构固化到专用芯片之上。

d)将芯片安装到相应的基站设备电路板上，即可运行。

本发明的单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法，包括以下步骤：

1）、基站采集基站到中继站之间的信道信息，基站到移动台之间的的信道信息，以及中继站到移动台之间的信道信息；

2）、基于最小均方误差准则建立数学模型，将问题进行分解，变为两个关于部分变量的子问题，求解子问题答案；然后利用子问题的答案进行反复迭代，当迭代收敛到预设精度要求时，即得联合优化预编码矩阵；

3）、基站将中继站的预编码矩阵信息发给中继站。

所述步骤2）的具体实现步骤如下：

2.1）、用户最终获得的信号向量为2L×1向量，可以表示为以下形式：

$y\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{y}_2\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{FH}}_1\\ H_0\end{array}\right]\mathrm{Gx}+\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{Fn}}_1+n_2\\ n_0\end{array}\right]---\left(20\right)$

其中，

为M×1零均值循环对称复高斯数据序列，满足

为基站与用户间的L×M MIMO信道信息矩阵；

为基站与中继间的N×M MIMO信道信息矩阵；

为中继与用户间的L×N MIMO信道信息矩阵；均为具有零均值，单位方差的独立同分布加性高斯白噪声，即

为M×M预编码矩阵；

为N×N预编码矩阵；

2.2）、用户端采用线性接收机

对接收信号进行检测，所得的估计信号

为：

其中，公式（2）的目的是使估计信号

和发送信号尽可能的接近；

2.3）、引入最小均方误差准则，其目标是使均方误差矩阵的迹尽可能小，数学公式表达如下：

$\begin{array}{cc}\underset{G,F,W}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}---\left(22\right)\end{array}$

其中，

即均方误差矩阵，误差矩阵

是黑体，表示矩阵，步骤2.1）中天线数M，表示标量；使公式(3)最小的

就是维纳滤波器，其形式如公式(4)所示：

$W={(\tilde{H}{\tilde{H}}^H+R)}^{-1}\tilde{H}---\left(23\right)$

其中， $\tilde{H}=\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{FH}}_1\\ H_0\end{array}\right]G,$ $R=\left[\begin{array}{cc}{H}_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H+I& 0\\ 0& I\end{array}\right];$

2.4）将最佳检测器公式（4）代入到公式(3)，可得：

$M={(I+M_1+M_2)}^{-1}---\left(24\right)$

其中， $M_1=G^H{H}_0^H{H}_{0}G,$ $M_2=G^H{H}_1^H{F}^H{H}_2^H{(I+H_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H)}^{-1}{H}_2{\mathrm{FH}}_{1}G;$

此时，只是

和

的函数，合理选择

和

使

尽可能小；同时考虑到基站和中继的发送功率约束，最终建立了以下的优化问题模型即基于MMSE准则的优化模型：

$\begin{array}{cc}\underset{G,F}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{{\mathrm{GG}}^H\right\}\&le;P_B---\left(25\right)\end{array}$

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}\&le;P_R$

其中，为基站信号发射功率；

为中继站信号发射功率；P_B、P_R分别为基站和中继站的最大发射功率；

2.5）、合理选择和

使

尽可能小的具体步骤如下：

2.5.1）、假设基站预编码矩阵

给定，原公式(6)问题就变成了以下子问题，此时

仅为

的函数：

$\begin{array}{cc}\underset{F}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$ $\left(26\right)$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}\&le;P_R\end{array}$

公式（7）的解法如下：首先对

和

分别进行奇异值分解，即

$H_{1}G=\stackrel{\&OverBar;}{U}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{V}}^H---\left(27\right)$

$H_2=U_2{\mathrm{\&Sigma;}}_2{V}_2^H---\left(28\right)$

其中，

和

为由奇异值分解得到的酉矩阵。和∑₂为由奇异值分解得到的奇异值矩阵；

由公式（8）与公式（9），则公式(7)的解有以下结构

$F=V_2{\mathrm{\&Sigma;}}_R{\stackrel{\&OverBar;}{U}}^H---\left(29\right)$

其中，

和

为已知是由(8)和(9)获得，∑_R为对角阵，其对角线元素为：

$r_i=\sqrt{{\left[\frac{{\mathrm{\&mu;}}_F{r}_{1,i}{r}_{2,i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^i+1)}\right]}^{+}}---\left(30\right)$

其中：

-r_1，i为对角阵

的第i个对角线元素；

–r_2，i为对角阵∑₂的第i个对角线元素；

$-{\left[\frac{{\mathrm{\&mu;}}_F{r}_{1,i}{r}_{2,i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^2+1)}\right]}^{+}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\max \{0,\frac{{\mathrm{\&mu;}}_F{r}_{1,i}{r}_{2.i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^2+1)}\};$

–μ_F为满足中继功率限制的待定参数；

以上，除了μ_F未知以外，其余均为已知，根据公式(10)可知

现在仅为μ_F的函数；根据公式(7)中的功率约束条件，得到以下以μ_F为变量的等式：

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}=P_R---\left(31\right)$

使用两分法求解公式（12），两分法步骤如下：

f)初始化μ_L＝0，μ_U＝10⁵，设定迭代精度ε＝10^-3；

g)令

代入公式(10)，得到

再将

代入下式

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}-P_R---\left(32\right);$

h)若以上公式（13）结果<0，则

否则 ${\mathrm{\&mu;}}_U=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_L+{\mathrm{\&mu;}}_U}{2};$

i)反复步骤b）、步骤c），直到|μ_U-μ_L|≤ε

j)返回μ_F=(μ_L+μ_U)/2。

将最终得到的μ_F代入公式(11)得到∑_R，再将∑_R代入公式(10)，最后得到公式（7）的解；

2.5.2）假设中继预编码矩阵

给定，原公式(6)问题就变成了以下子问题，此时

仅为

的函数：

$\begin{array}{cc}\underset{G}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$

$\left[\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{{\mathrm{GG}}^H\right\}\&le;P_B---\left(33\right)\end{array}\right]$

$\mathrm{tr}\left\{{\mathrm{FH}}_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H{F}^H\right\}\&le;P_R-\mathrm{tr}\left\{{\mathrm{FF}}^H\right\}$

公式（14）的解可以由以下算法获得：

设 $L_1=H_0^H{H}_0+H_1^H{F}^H{H}_2^H{(I+H_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H)}^{-1}{H}_2{\mathrm{FH}}_1---\left(34\right)$

$L_2=H_1^H{F}^H{\mathrm{FH}}_1---\left(35\right)$

对

进行Cholesky分解，得到

$I+L_2={\mathrm{CC}}^H---\left(36\right)$

接着，对

进行特征值分解，得到

$C^{-1}{L}_1{C}^{-H}={\mathrm{U\&Sigma;U}}^H---\left(37\right)$

最后

$G=C^{-H}U{({\mathrm{\&Sigma;}}^{-\frac{1}{2}}-{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1})}^{\frac{1}{2}}---\left(38\right)$

公式（19）就是公式(14)的解；

2.5.3）先给定一个基站预编码矩阵

的初始值，然后通过公式(7)的解计算新中继站预编码矩阵得到

后再利用公式(14)的解计算新的反复迭代，直到

收敛为止，具体步骤如下：

A)、选择N_MAX即最大迭代次数，T_Th即判别迭代是否收敛的门限；

B)、初始化选择通过以上步骤2.5.1）计算得到

C)、设n=0；

D)、使用以上步骤2.5.2）由

计算

E）、使用以上步骤2.5.1）计算

F）、令 $X_{n+1}=(G_{n+1},F_{n+1});$

G）、如果

则

中的和

即为所求的两个预编码矩阵，不再进行步骤H）；

H)、当n≤N_MAX-1时，n=n+1，继续从步骤C）开始，当超过最大迭代次数N_MAX时，

即为所求的两个预编码矩阵。

Claims (2)

1.单小区中继移动通信蜂窝系统的联合下行预编码方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）、基站采集基站到中继站之间的信道信息，基站到移动台之间的的信道信息，以及中继站到移动台之间的信道信息；

2）、基于最小均方误差准则建立数学模型，将问题进行分解，变为两个关于部分变量的子问题，求解子问题答案；然后利用子问题的答案进行反复迭代，当迭代收敛到预设精度要求时，即得联合优化预编码矩阵；

3）、基站将中继站的预编码矩阵信息发给中继站。

2.根据权利要求1所述的联合下行预编码方法，其特征在于，所述步骤2）的具体实现步骤如下：

2.1）、用户最终获得的信号向量为2L×1向量，可以表示为以下形式：

$y\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\left[\begin{array}{c}{y}_2\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{FH}}_1\\ H_0\end{array}\right]\mathrm{Gx}+\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{Fn}}_1+n_2\\ n_0\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，为M×1零均值循环对称复高斯数据序列，满足

为基站与用户间的L×M MIMO信道信息矩阵；为基站与中继间的N×M MIMO信道信息矩阵；

为中继与用户间的L×N MIMO信道信息矩阵；

均为具有零均值，单位方差的独立同分布加性高斯白噪声，即

为M×M预编码矩阵；为N×N预编码矩阵；

2.2）、用户端采用线性接收机

对接收信号进行检测，所得的估计信号

为：

其中，公式（2）的目的是使估计信号

和发送信号尽可能的接近；

2.3）、引入最小均方误差准则，其目标是使均方误差矩阵

的迹尽可能小，数学公式表达如下：

$\begin{array}{cc}\underset{G,F,W}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}---\left(3\right)$

其中，

即均方误差矩阵，误差矩阵

是黑体，表示矩阵，步骤2.1）中天线数M，表示标量；使公式(3)最小的

就是维纳滤波器，其形式如公式(4)所示：

$W={(\tilde{H}{\tilde{H}}^H+R)}^{-1}\tilde{H}---\left(4\right)$

其中， $\tilde{H}=\left[\begin{array}{c}{H}_2{\mathrm{FH}}_1\\ H_0\end{array}\right]G,$ $R=\left[\begin{array}{cc}{H}_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H+I& 0\\ 0& I\end{array}\right];$

2.4）将最佳检测器公式（4）代入到公式(3)，可得：

$M={(I+M_1+M_2)}^{-1}---\left(5\right)$

其中， $M_1=G^H{H}_0^H{H}_{0}G,$ $M_2=G^H{H}_1^H{F}^H{H}_2^H{(I+H_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H)}^{-1}{H}_2{\mathrm{FH}}_{1}G;$

此时，只是

和

的函数，合理选择

和

使

尽可能小；同时考虑到基站和中继的发送功率约束，最终建立了以下的优化问题模型即基于MMSE准则的优化模型：

$\begin{array}{cc}\underset{G,F}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{{\mathrm{GG}}^H\right\}\&le;P_B---\left(6\right)\end{array}$

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}\&le;P_R$

其中，

为基站信号发射功率；

为中继站信号发射功率；P_B、P_R分别为基站和中继站的最大发射功率；

2.5）、合理选择

和使尽可能小的具体步骤如下：

2.5.1）、假设基站预编码矩阵

给定，原公式(6)问题就变成了以下子问题，此时

仅为

的函数：

$\begin{array}{cc}\underset{F}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$ $\left(7\right)$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}\&le;P_R\end{array}$

公式（7）的解法如下：首先对和分别进行奇异值分解，即

$H_{1}G=\stackrel{\&OverBar;}{U}\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Sigma;}}{\stackrel{\&OverBar;}{V}}^H---\left(8\right)$

$H_2=U_2{\mathrm{\&Sigma;}}_2{V}_2^H---\left(9\right)$

其中，和

为由奇异值分解得到的酉矩阵。

和∑₂为由奇异值分解得到的奇异值矩阵；

由公式（8）与公式（9），则公式(7)的解有以下结构

$F=V_2{\mathrm{\&Sigma;}}_R{\stackrel{\&OverBar;}{U}}^H---\left(10\right)$

其中，

和

为已知是由(8)和(9)获得，∑_R为对角阵，其对角线元素为：

$r_i=\sqrt{{\left[\frac{{\mathrm{\&mu;}}_F{r}_{1,i}{r}_{2,i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^i+1)}\right]}^{+}}---\left(11\right)$

其中：

-r_1，i为对角阵

的第i个对角线元素；

-r_2，i为对角阵∑₂的第i个对角线元素；

$-{\left[\frac{{\mathrm{\&mu;}}_F{r}_{1,i}{r}_{2,i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^2+1)}\right]}^{+}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\max \{0,\frac{{\mathrm{\&mu;}}_F{r}_{1,i}{r}_{2.i}{(r_{1,i}^2+1)}^{-\frac{1}{2}}-1}{r_{2,i}^2(r_{1,i}^2+1)}\};$

-μ_F为满足中继功率限制的待定参数；

以上，除了μ_F未知以外，其余均为已知，根据公式(10)可知

现在仅为μ_F的函数；根据公式(7)中的功率约束条件，得到以下以μ_F为变量的等式：

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}=P_R---\left(12\right)$

使用两分法求解公式（12），两分法步骤如下：

a)初始化μ_L＝0，μ_U＝10⁵，设定迭代精度ε＝10^-3；

b)令

代入公式(10)，得到

再将

代入下式

$\mathrm{tr}\left\{F(I+H_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H)F^H\right\}-P_R---\left(13\right);$

c)若以上公式（13）结果<0，则

否则 ${\mathrm{\&mu;}}_U=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_L+{\mathrm{\&mu;}}_U}{2};$

d)反复步骤b）、步骤c），直到|μ_U-μ_L|≤ε

e)返回μ_F=(μ_L+μ_U)/2。

将最终得到的μ_F代入公式(11)得到∑_R，再将∑_R代入公式(10)，最后得到公式（7）的解；

2.5.2）假设中继预编码矩阵

给定，原公式(6)问题就变成了以下子问题，此时

仅为

的函数：

$\begin{array}{cc}\underset{G}{\min }& \mathrm{tr}\left\{M\right\}\end{array}$

$\begin{array}{cc}s.t.& \mathrm{tr}\left\{{\mathrm{GG}}^H\right\}\&le;P_B---\left(14\right)\end{array}$

$\mathrm{tr}\left\{{\mathrm{FH}}_1{\mathrm{GG}}^H{H}_1^H{F}^H\right\}\&le;P_R-\mathrm{tr}\left\{{\mathrm{FF}}^H\right\}$

公式（14）的解可以由以下算法获得：

设 $L_1=H_0^H{H}_0+H_1^H{F}^H{H}_2^H{(I+H_2{\mathrm{FF}}^H{H}_2^H)}^{-1}{H}_2{\mathrm{FH}}_1---\left(15\right)$

$L_2=H_1^H{F}^H{\mathrm{FH}}_1---\left(16\right)$

对

进行Cholesky分解，得到

$I+L_2={\mathrm{CC}}^H---\left(17\right)$

接着，对进行特征值分解，得到

$C^{-1}{L}_1{C}^{-H}={\mathrm{U\&Sigma;U}}^H---\left(18\right)$

最后

$G=C^{-H}U{({\mathrm{\&Sigma;}}^{-\frac{1}{2}}-{\mathrm{\&Sigma;}}^{-1})}^{\frac{1}{2}}---\left(19\right)$

公式（19）就是公式(14)的解；

2.5.3）先给定一个基站预编码矩阵

的初始值，然后通过公式(7)的解计算新中继站预编码矩阵

得到

后再利用公式(14)的解计算新的

反复迭代，直到

收敛为止，具体步骤如下：

A)、选择N_MAX即最大迭代次数，T_Th即判别迭代是否收敛的门限；

B)、初始化

选择

通过以上步骤2.5.1）计算得到

C)、设n=0；

D)、使用以上步骤2.5.2）由计算

E）、使用以上步骤2.5.1）计算

F）、令 $X_{n+1}=(G_{n+1},F_{n+1});$

G）、如果

则

中的

和

即为所求的两个预编码矩阵，不再进行步骤H）；

H)、当n≤N_MAX-1时，n=n+1，继续从步骤C）开始，当超过最大迭代次数N_MAX时，

即为所求的两个预编码矩阵。

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