CN102736554B - 一种基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法。方法的步骤为：1)建立重载三坐标数控定位器的运动特征矩阵；2)采用有限元法计算重载三坐标数控定位器各部件的刚度并建立其误差模型；3)建立重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型，并根据误差模型匹配各部件的刚度并优化其结构。本发明的优点在于：1）根据重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型可以获取其空间定位误差数据；2）通过对重载三坐标数控定位器的结构优化，可以适度控制三坐标数控定位器的外形尺寸，降低其制造成本；3）能够提高飞机的调姿精度。

Description

一种基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法。

背景技术

在飞机总装配过程中，要求飞机的大部件具有正确的位置和姿态。传统的飞机装配是通过刚性型架来保证飞机各大部件的空间位置和姿态，这种装配方法效率低，装配质量不稳定。为了克服刚性型架的缺点，世界航空发达国家研发了先进的飞机数字化装配系统，飞机的大部件由多个三坐标数控定位器支撑，部件的姿态调整是通过多个三坐标数控定位器的协同运动来实现。当飞机部件实现自适应入位后，飞机部件的质量载荷完全由三坐标数控定位器承担，因此三坐标数控定位器不可避免的会产生变形。

重载三坐标数控定位器的调姿对象为大型飞机，飞机部件的外形尺寸大，质量也较大，为了保证调姿工装的支撑稳定性与开敞性，重载三坐标数控定位器的结构一般为悬臂支撑方式。单从提高飞机装配质量的角度看，应尽量提高三坐标数控定位器的刚度。重载三坐标数控定位器各部件均为整体铸造件，要提高重载三坐标数控定位器各部件的刚度，也就等于增加铸件壁厚或使用强度更好的材料。这种依靠改变重载三坐标数控定位器部件材料和结构参数并不能无限的提高其刚度，而且，在增加刚度的同时也使重载三坐标数控定位器的加工制造成本大幅度增加。

实际上，重载三坐标数控定位器各部件的变形对其空间定位精度具有不同程度的影响。根据“适度”刚度设计原则，即在满足空间定位精度的条件下，定位器的结构越简单、自重越轻越好，因此，需要根据空间定位精度模型优化重载三坐标数控定位器结构，合理匹配各部件的刚度。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法。

基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法的步骤如下：

1)重载三坐标数控定位器能够沿X、Y、Z三个方向进给，通过多个重载三坐标数控定位器的协同运动能够实现飞机或部件的位姿调整，重载三坐标定位器划分为如下四个部件：（1）底座部件：包括底座7、Y向传动系统9、Y轴拖板6；（2）立柱部件：包括立柱5、Z向传动系统4；（3）Z轴滑台部件：包括Z轴滑台3和X向传动系统8；（4）X轴滑台部件：包括X轴滑台2和入位夹紧机构1，球托10；

2）根据重载三坐标定位器的结构与运动方式建立坐标系系统，坐标系系统包括底座坐标系{base}，立柱坐标系{Oy}，Z轴滑台坐标系{Oz},X轴滑台坐标系{Ox},装配坐标系{Oa},并建立重载三坐标数控定位器的运动特征矩阵；

底座部件到立柱部件之间的运动特征矩阵为： $T_y^{\mathrm{base}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_y^{\mathrm{base}}\\ 0& 1& 0& y_y^{\mathrm{base}}+p_y\\ 0& 0& 1& z_y^{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

立柱部件到Z轴滑台部件之间的运动特征矩阵为： $T_z^y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_z^y\\ 0& 1& 0& y_z^y\\ 0& 0& 1& z_z^y+p_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Z轴滑台部件到X轴滑台部件之间的运动特征矩阵为： $T_x^z=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_x^z+p_x\\ 0& 1& 0& y_x^z\\ 0& 0& 1& z_x^z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

为重载三坐标定位器在调姿之前坐标系{n}的原点在坐标系{m}中的坐标值，p_i为重载三坐标数控定位器各轴的进给量；

球托球心在X轴滑台坐标系{Ox}中的坐标为

在装配坐标系{Oa}中的坐标为

底座坐标系{base}的原点在装配坐标系{Oa}中的坐标为则得到球托球心在装配坐标系下的理论位置：

$\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^a\\ 1\end{array}\right]=T_x^z{T}_z^y{T}_y^{\mathrm{base}}\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^x\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{base}}^a\\ 1\end{array}\right]$

3)根据重载三坐标定位器的承载情况建立各部件误差模型；

（1）底座部件的误差模型：

$\mathrm{\Δ}{T}_y^{\mathrm{base}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \mathrm{\Δ}{y}_{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 1& \mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，Δz_base为底座部件在Z轴方向上产生的变形，Δy_base为Y向传动系统中丝杆产生的轴向变形，底座沿Z轴方向的变形为：

$\mathrm{\Δ}{z}_{\mathrm{base}}=\frac{F_z^{\mathrm{base}}}{k_z^{\mathrm{base}}}$

其中，

为底座部件所受的Z向载荷，

为底座部件的Z向刚度，Y向传动系统中丝杆变形为：

$\mathrm{\Δ}{y}_y^{\mathrm{base}}=\frac{\mathrm{\μ}\·F_z^{\mathrm{base}}+F_y^{\mathrm{base}}}{k_y^{\mathrm{base}}}$

其中，μ为Y向传动系统中导轨、滑块之间的摩擦系数，为底座部件所受的Y向载荷，丝杆的轴向刚度为：

$k_y^{\mathrm{base}}=\frac{A\·E_S\·L}{a\·b}$

其中，A为丝杆轴断面面积，E_S为丝杆弹性模量，L为丝杆安装间距，a和b为丝杆螺母距丝杆两端支撑位置距离；

（2）立柱部件误差模型：

$\mathrm{\Δ}{T}_z^y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\Δ\β}& 0\\ 0& 1& -\mathrm{\Δ\α}& 0\\ -\mathrm{\Δ\β}& \mathrm{\Δ\α}& 1& \mathrm{\Δ}{z}_y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δα为Z向传动系统中导轨绕立柱坐标系{Oy}下X轴的转角，Δβ为Z向传动系统中导轨绕立柱坐标系{Oy}下Y轴的转角，Δz_y为立柱的Z向变形与Z向传动系统中丝杆的轴向变形之和，导轨的偏转角度为：

$\mathrm{\Δ\θ}=\frac{F_i^y}{w_{i.j}^y}$

其中Δθ为偏转角，

为立柱所受的沿i向的载荷，

为立柱的在i向载荷作用下沿j轴偏转的抗弯刚度，Z向传动系统的丝杆刚度计算公式与Y向传动系统相同；

（3）Z轴滑台部件误差模型：

$\mathrm{\Δ}{T}_x^z=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\Δ}{x}_z\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{\Δ}{z}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δz_z为Z轴滑台沿Z轴的压缩变形，Δx_z为Z轴滑台沿X轴的压缩变形与X向传动系统中的丝杆轴向变形之和，X向传动系统的丝杆刚度计算公式与Y向传动系统相同；

（4）X轴滑台部件误差模型：

$\mathrm{\Δ}{T}_x^x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\Δ}{x}_x\\ 0& 1& 0& \mathrm{\Δ}{y}_x\\ 0& 0& 1& \mathrm{\Δ}{z}_x\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δi_x轴滑台组件沿i轴的压缩变形，

4）.建立重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型，当考虑重载三坐标定位器的变形情况时，重载三坐标定位器的运动特征矩阵变为：

底座部件到立柱部件之间的运动特征矩阵

立柱部件到Z轴滑台之间的运动特征矩阵

Z轴滑台到X轴滑台之间的运动特征矩阵

则得到球窝球心在装配坐标系中的实际位置方程：

$\left[\begin{array}{c}P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\\ 1\end{array}\right]=T_x^z{}_{R}T_z^y{}_{R}T_y^{\mathrm{base}}{}_R\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^x\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{base}}^a\\ 1\end{array}\right]$

重载三坐标定位器的空间位置误差模型为：

$\left[P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\right]-\left[P_{\mathrm{joint}}^a\right]$

重载三坐标定位器各部件为整体铸造件，各部件的制造成本f(k)随部件刚度k增加而增加，

为重载三坐标定位器的空间定位精度要求，重载三坐标数控定位器的设计优化模型为：

$\min \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{f}_i(k_1,k_2,...k_m)\right)$

$s.t\left[\mathrm{\&delta;}{P}_{\mathrm{joint}}^a\right]<\left[P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\right]-\left[P_{\mathrm{joint}}^a\right].$

本发明的优点在于：1）根据重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型可以获取其空间定位误差数据；2）通过对重载三坐标数控定位器的结构优化，可以降低其制造成本；3）保证定位器的适当刚度，能够提高飞机的调姿精度。

附图说明

图1是重载三坐标数控定位器主视图；

图2是重载三坐标数控定位器俯视图；

图3是入位夹紧机构示意图；

图4是重载三坐标数控定位器坐标系设置示意图；

图5是底座部件有限元分析边界条件示意图；

图6是立柱部件有限元分析边界条件示意图；

图7是Z轴滑台部件有限元分析边界条件示意图；

图8是X轴滑台部件有限元分析边界条件示意图；

图9是Z轴滑台位置与立柱刚度关系示意图；

图中，入位夹紧机构1、X轴滑台2、Z轴滑台3、Z向传动系统4、立柱5、Y轴托板6、底座7、X向传动系统8、Y向传动系统9、球托10。

具体实施方式

基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法的步骤如下：

1)重载三坐标数控定位器能够沿X、Y、Z三个方向进给，通过多个重载三坐标数控定位器的协同运动能够实现飞机或部件的位姿调整，重载三坐标定位器划分为如下四个部件：（1）底座部件：包括底座7、Y向传动系统9、Y轴拖板6；（2）立柱部件：包括立柱5、Z向传动系统4；（3）Z轴滑台部件：包括Z轴滑台3和X向传动系统8；（4）X轴滑台部件：包括X轴滑台2和入位夹紧机构1，球托10；

2）根据重载三坐标定位器的结构与运动方式建立坐标系系统，坐标系系统包括底座坐标系{base}，立柱坐标系{Oy}，Z轴滑台坐标系{Oz},X轴滑台坐标系{Ox},装配坐标系{Oa},底座坐标系{base}的原点建立在底座底面的对称中心处，Y轴方向与底座导轨方向一致，立柱坐标系{Oy}的原点建立在立柱导轨安装面底部中点处，Z轴方向与立柱导轨方向一致，坐标系随立柱一起运动，Z轴滑台坐标系{Oz}的原点建立在Z轴滑台滑块安装面的对称中心处，Z轴方向与立柱导轨方向一致，坐标系随Z轴滑台一起运动，X轴滑台坐标系{Ox}的原点建立在X轴滑台滑块安装面的对称中心处，Z轴方向与立柱导轨方向一致，坐标系随X轴滑台一起运动，各坐标系对应坐标轴相互平行，见图4，在理想状态下，立柱、Z轴滑台、X轴滑台能够沿装配坐标系下的Y轴、Z轴X轴方向进给，则得到重载三坐标数控定位器的运动特征矩阵：

底座部件到立柱部件之间的运动特征矩阵为： $T_y^{\mathrm{base}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_y^{\mathrm{base}}\\ 0& 1& 0& y_y^{\mathrm{base}}+p_y\\ 0& 0& 1& z_y^{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

立柱部件到Z轴滑台部件之间的运动特征矩阵为： $T_z^y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_z^y\\ 0& 1& 0& y_z^y\\ 0& 0& 1& z_z^y+p_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Z轴滑台部件到X轴滑台部件之间的运动特征矩阵为： $T_x^z=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_x^z+p_x\\ 0& 1& 0& y_x^z\\ 0& 0& 1& z_x^z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

为重载三坐标定位器在调姿之前坐标系{n}的原点在坐标系{m}中的坐标值，p_i为重载三坐标数控定位器各轴的进给量；

球托球心在X轴滑台坐标系{Ox}中的坐标为

在装配坐标系{Oa}中的坐标为底座坐标系{base}的原点在装配坐标系{Oa}中的坐标为

则得到球托球心在装配坐标系下的理论位置：

$\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^a\\ 1\end{array}\right]=T_x^z{T}_z^y{T}_y^{\mathrm{base}}\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^x\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{base}}^a\\ 1\end{array}\right]$

3)根据重载三坐标定位器的承载情况建立各部件误差模型；

（1）底座部件的误差模型：

$\mathrm{\&Delta;}{T}_y^{\mathrm{base}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 1& \mathrm{\&Delta;}{z}_{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，Δz_base为底座部件在Z轴方向上产生的变形，Δy_base为Y向传动系统中丝杆产生的轴向变形，底座沿Z轴方向的变形为：

$\mathrm{\&Delta;}{z}_{\mathrm{base}}=\frac{F_z^{\mathrm{base}}}{k_z^{\mathrm{base}}}$

其中，

为底座部件所受的Z向载荷，

为底座部件的Z向刚度，采用有限元法计算底座部件的Z向刚度据部件实际结构建立有限元模型，在底座与地基连接部位施加固定约束，Y轴托板的立柱安装面施加均布载荷，见图5。

Y向传动系统中丝杆变形为：

$\mathrm{\&Delta;}{y}_y^{\mathrm{base}}=\frac{\mathrm{\&mu;}\&CenterDot;F_z^{\mathrm{base}}+F_y^{\mathrm{base}}}{k_y^{\mathrm{base}}}$

其中，μ为Y向传动系统中导轨、滑块之间的摩擦系数，

为底座部件所受的Y向载荷，丝杆的轴向刚度为：

$k_y^{\mathrm{base}}=\frac{A\&CenterDot;E_S\&CenterDot;L}{a\&CenterDot;b}$

其中，A为丝杆轴断面面积，E_S为丝杆弹性模量，L为丝杆安装间距，a和b为丝杆螺母距丝杆两端支撑位置距离；

（2）立柱部件误差模型：

$\mathrm{\&Delta;}{T}_z^y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\&Delta;\&beta;}& 0\\ 0& 1& -\mathrm{\&Delta;\&alpha;}& 0\\ -\mathrm{\&Delta;\&beta;}& \mathrm{\&Delta;\&alpha;}& 1& \mathrm{\&Delta;}{z}_y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δα为Z向传动系统中导轨绕立柱坐标系{Oy}下X轴的转角，Δβ为Z向传动系统中导轨绕立柱坐标系{Oy}下Y轴的转角，Δz_y为立柱的Z向变形与Z向传动系统中丝杆的轴向变形之和，导轨的偏转角度为：

$\mathrm{\&Delta;\&theta;}=\frac{F_i^y}{w_{i.j}^y}$

其中Δθ为偏转角，

为立柱所受的沿i向的载荷，

为立柱的在i向载荷作用下沿j轴偏转的抗弯刚度，采用有限元法计算立柱的抗弯刚度

根据立柱部件的实际结构建立有限元模型。立柱所受载荷均是通过Z向传动系统中的导轨或丝杆传递。其中，使立柱产生偏转变形的载荷是通过导轨传递，而使Z向产生压缩变形的载荷经由丝杆传递。因此，在计算抗弯刚度的模型中建立如下边界条件：在立柱与Y轴托板连接面施加固定约束，在球窝球心处建立参考点并与Z轴滑台建立耦合约束，载荷加载在参考点上，见图6。在计算立柱Z向刚度的模型中，将加载位置改为丝杆螺母，其他参数不变。Z向传动系统的丝杆刚度计算公式与Y向传动系统相同；

（3）Z轴滑台部件误差模型：

$\mathrm{\&Delta;}{T}_x^z=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\&Delta;}{x}_z\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& \mathrm{\&Delta;}{z}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δz_z为Z轴滑台沿Z轴的压缩变形，Δx_z为Z轴滑台沿X轴的压缩变形与X向传动系统中的丝杆轴向变形之和，Z轴滑台部件的变形Δz_z与Δx_z均与载荷为线性关系，采用有限元法计算Z轴滑台部件的刚度参数。根据Z轴滑台的实际结构建立三维模型，边界条件为在Z向传动系统中的导轨底面施加固定约束，加载位置分为两种情况：计算X向刚度的模型中，加载位置为丝杆螺母；计算其他刚度参数的模型中，加载位置为球窝球心，见图7，X向传动系统的丝杆刚度计算公式与Y向传动系统相同；

（4）X轴滑台部件误差模型：

$\mathrm{\&Delta;}{T}_x^x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\&Delta;}{x}_x\\ 0& 1& 0& \mathrm{\&Delta;}{y}_x\\ 0& 0& 1& \mathrm{\&Delta;}{z}_x\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δi_x轴滑台组件沿i轴的压缩变形，采用有限元法计算X轴滑台部件的刚度参数，根据X轴滑台部件的实际结构建立三维模型，边界条件为在X向传动系统中的导轨底面施加固定约束，在球窝球心处施加集中载荷，见图8。

4）.建立重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型，当考虑重载三坐标定位器的变形情况时，重载三坐标定位器的运动特征矩阵变为：

底座部件到立柱部件之间的运动特征矩阵

立柱部件到Z轴滑台之间的运动特征矩阵

Z轴滑台到X轴滑台之间的运动特征矩阵

则得到球窝球心在装配坐标系中的实际位置方程：

$\left[\begin{array}{c}P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\\ 1\end{array}\right]=T_x^z{}_{R}T_z^y{}_{R}T_y^{\mathrm{base}}{}_R\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^x\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{base}}^a\\ 1\end{array}\right]$

重载三坐标定位器的空间位置误差模型为：

$\left[P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\right]-\left[P_{\mathrm{joint}}^a\right]$

重载三坐标定位器各部件为整体铸造件，各部件的制造成本f(k)随部件刚度k增加而增加，

为重载三坐标定位器的空间定位精度要求，重载三坐标数控定位器的设计优化模型为：

$\min \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_i(k_1,k_2,...k_m)\right)$

$s.t\left[\mathrm{\&delta;}{P}_{\mathrm{joint}}^a\right]<\left[P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\right]-\left[P_{\mathrm{joint}}^a\right].$

根据重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型可观察到，立柱部件的变形对重载三坐标数控定位器的空间定位精度影响较为显著。而由于重载三坐定位器的Z向行程较大，且当Z轴滑台处于不同位置时，立柱部件的弯曲刚度也随之改变，见图9。

Claims (1)

1.一种基于刚度匹配的重载三坐标数控定位器设计方法，其特征在于它的步骤如下：

1)重载三坐标数控定位器能够沿X、Y、Z三个方向进给，通过多个重载三坐标数控定位器的协同运动能够实现飞机部件的位姿调整，重载三坐标定位器划分为如下四个部件：底座部件：包括底座(7)、Y向传动系统(9)、Y轴拖板(6)；立柱部件：包括立柱(5)、Z向传动系统(4)；Z轴滑台部件：包括Z轴滑台(3)和X向传动系统(8)；X轴滑台部件：包括X轴滑台(2)和入位夹紧机构(1)，球托(10)；

2）根据重载三坐标定位器的结构与运动方式建立坐标系系统，坐标系系统包括底座坐标系{base}，立柱坐标系{Oy}，Z轴滑台坐标系{Oz},X轴滑台坐标系{Ox},装配坐标系{Oa},并建立重载三坐标数控定位器的运动特征矩阵；

底座部件到立柱部件之间的运动特征矩阵为： $T_y^{\mathrm{base}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_y^{\mathrm{base}}\\ 0& 1& 0& y_y^{\mathrm{base}}+p_y\\ 0& 0& 1& z_y^{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

立柱部件到Z轴滑台部件之间的运动特征矩阵为： $T_z^y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_z^y\\ 0& 1& 0& y_z^y\\ 0& 0& 1& z_z^y+p_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Z轴滑台部件到X轴滑台部件之间的运动特征矩阵为： $T_x^z=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x_x^z+p_x\\ 0& 1& 0& y_x^z\\ 0& 0& 1& z_x^z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

为重载三坐标定位器在调姿之前坐标系{n}的原点在坐标系{m}中的坐标值，p_i为重载三坐标数控定位器各轴的进给量；

球托球心在X轴滑台坐标系{Ox}中的坐标为

在装配坐标系{Oa}中的坐标为

底座坐标系{base}的原点在装配坐标系{Oa}中的坐标为则得到球托球心在装配坐标系下的理论位置：

$\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^a\\ 1\end{array}\right]=T_x^z{T}_z^y{T}_y^{\mathrm{base}}\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^x\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{base}}^a\\ 1\end{array}\right]$

3)根据重载三坐标定位器的承载情况建立各部件误差模型；

（1）底座部件的误差模型： ${\mathrm{\&Delta;T}}_y^{\mathrm{base}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& {\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 1& {\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{base}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中，Δz_base为底座部件在Z轴方向上产生的变形，Δy_base为Y向传动系统中丝杆产生的轴向变形，底座沿Z轴方向的变形为：

$\mathrm{\&Delta;}{z}_{\mathrm{base}}=\frac{F_z^{\mathrm{base}}}{k_z^{\mathrm{base}}}$

其中，

为底座部件所受的Z向载荷，

为底座部件的Z向刚度，Y向传动系统中丝杆变形为：

${\mathrm{\&Delta;y}}_y^{\mathrm{base}}=\frac{{\mathrm{\&mu;}\&CenterDot;F}_z^{\mathrm{base}}+F_y^{\mathrm{base}}}{k_y^{\mathrm{base}}}$

其中，μ为Y向传动系统中导轨、滑块之间的摩擦系数，为底座部件所受的Y向载荷，丝杆的轴向刚度为：

$k_y^{\mathrm{base}}=\frac{A{\&CenterDot;E}_S\&CenterDot;L}{a\&CenterDot;b}$

其中，A为丝杆轴断面面积，E_S为丝杆弹性模量，L为丝杆安装间距，a和b为丝杆螺母距丝杆两端支撑位置距离；

（2）立柱部件误差模型：

${\mathrm{\&Delta;T}}_z^y=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{\&Delta;\&beta;}& 0\\ 0& 1& -\mathrm{\&Delta;\&alpha;}& 0\\ -\mathrm{\&Delta;\&beta;}& \mathrm{\&Delta;\&alpha;}& 1& {\mathrm{\&Delta;z}}_y\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δα为Z向传动系统中导轨绕立柱坐标系{Oy}下X轴的转角，Δβ为Z向传动系统中导轨绕立柱坐标系{Oy}下Y轴的转角，Δz_y为立柱的Z向变形与Z向传动系统中丝杆的轴向变形之和，导轨的偏转角度为：

$\mathrm{\&Delta;\&theta;}=\frac{F_i^y}{w_{i.j}^y}$

其中Δθ为偏转角Δα或Δβ，F_i ^y为立柱所受的沿X或Y向的载荷，

为立柱的在X或Y向载荷作用下沿Y或X轴偏转的抗弯刚度，Z向传动系统的丝杆刚度计算公式与Y向传动系统相同；

（3）Z轴滑台部件误差模型：

${\mathrm{\&Delta;T}}_x^z=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& {\mathrm{\&Delta;x}}_z\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& {\mathrm{\&Delta;z}}_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δz_z为Z轴滑台沿Z轴的压缩变形，Δx_z为Z轴滑台沿X轴的压缩变形与X向传动系统中的丝杆轴向变形之和，X向传动系统的丝杆刚度计算公式与Y向传动系统相同；

（4）X轴滑台部件误差模型：

${\mathrm{\&Delta;T}}_x^x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \mathrm{\&Delta;}{x}_x\\ 0& 1& 0& \mathrm{\&Delta;}{y}_x\\ 0& 0& 1& \mathrm{\&Delta;}{z}_x\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

其中Δi_x轴滑台组件沿i轴的压缩变形，

4）.建立重载三坐标数控定位器的空间定位误差模型，当考虑重载三坐标定位器的变形情况时，重载三坐标定位器的运动特征矩阵变为：

底座部件到立柱部件之间的运动特征矩阵

立柱部件到Z轴滑台之间的运动特征矩阵

Z轴滑台到X轴滑台之间的运动特征矩阵

则得到球窝球心在装配坐标系中的实际位置方程：

$\left[\begin{array}{c}P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\\ 1\end{array}\right]=T_x^z{}_{R}T_z^y{}_{R}T_y^{\mathrm{base}}{}_R\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{joint}}^x\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{base}}^a\\ 1\end{array}\right]$

重载三坐标定位器的空间位置误差模型为：

$\left[P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\right]-\left[P_{\mathrm{joint}}^a\right]$

重载三坐标定位器各部件为整体铸造件，各部件的制造成本f(k)随部件刚度k增加而增加，

为重载三坐标定位器的空间定位精度要求，重载三坐标数控定位器的设计优化模型为：

$\min \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_i(k_1,k_2,...k_m)\right)$

$s.t.\left[{\mathrm{\&delta;P}}_{\mathrm{joint}}^a\right]<\left[P_{\mathrm{joint}}^a{}_R\right]-\left[P_{\mathrm{joint}}^a\right].$

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