CN102733505A - 一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法。具体步骤为：一，应用极坐标表示结构各层的刚度中心的偏心位置；二，选定一个两层结构模型，确定结构的模型参数，建立双向地震作用下一般刚度偏心的结构动力方程；三，基于地震谱强度因子的单位化，在频域内进行一般刚度偏心建筑结构的平移-扭转耦合反应分析。本发明分别分析了一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对结构平移-扭转反应的影响，计算获得结构各层平面中心位移和加速度的算术均方根。创新之处为采用极坐标表示结构非同轴偏心，优越之处在于能灵活地设置结构刚度的偏心位置，并给出一般刚度偏心对结构地震响应的影响。

Description

一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法

技术领域

本发明涉及一种建筑工程结构地振动响应分析的方法，具体的说是一种一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法。

背景技术

随着经济的快速发展，中心城市的人口急剧增加，为了满足生活空间的需要，人类不断的向地下和地上谋求发展空间；随着生活元素的多样化，人们不断的追求视觉和感官上的美，将艺术概念应用到建筑外观设计上；使得建筑物在向空中发展的同时，在世人面前展现出各种形体独特的、结构复杂的建筑物。设计师们为了尽量满足和体现某一城市的经济实力、文化特色，使得各种奇形怪状的建筑物和构筑物得到不断和快速的发展。而往往这种形体独特的、结构复杂的建筑物的质量中心和刚度中心是不重合，在地震作用下，作用于结构质心上的地震荷载将会对刚心产生扭转力矩，使结构产生了平扭耦合地振响应。

目前，质量偏心结构或刚度偏心结构这两种重要的形式，一直被当做是不对称结构的研究对象。在大部分研究中，对于刚度偏心结构都是从单层无阻尼结构体系地震作用下的一般振动方程出发，分析在单向地震作用下，推导得到不同刚度偏心形式的结构地震动扭转振动方程。在单向地震作用下，用直角坐标来分析考虑单向（X向或Y向）刚度的偏心距离对结构的扭转振动效应。另外就是利用振型分解反应谱方法研究了高层建筑结构在双向水平地震作用下扭转与平移振动的耦联反应及其近似计算方法，分析了影响扭转振动效应的动力增大因素。这些都不能灵活和准确的表现出空间任意刚度偏心位置的不同对结构的扭转振动效应的影响。

发明内容

本发明的目的在于针对已有技术存在的缺陷，提供一种一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，以一两层的刚度偏心结构模型，对刚度中心与质量中心和几何中心不重合的结构进行地振响应分析，分析在双向地震作用下，用极坐标来表示能简单、明确的表达每一层平面内任意刚度偏心位置（即任意方向的刚度偏心），建立双向地震作用下一般刚度偏心的结构动力方程，分别分析了同轴刚度偏心位置对结构平移-扭转耦合响应的影响和非同轴刚度偏心位置对结构平移-扭转耦合响应的影响。具体就是对一般的刚度偏心结构进行平扭-耦合地振分析。

为达到上述目的，本发明的构思是：对于结构模型，采用极坐标表示刚度偏心位置，建立一般刚度偏心结构的动力方程；将作用在结构上的地震载看作为均值为零的高斯平稳随机过程，在频域内对一般刚度偏心结构进行平扭-耦合地振响应分析，得出结构位移和加速度的算术均方根值。根据上述发明构思，本发明采用下述技术方案：

一种一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其主要步骤如下：

1)采用极坐标的方式来表示结构各层的刚度偏心位置；

2)选定一个两层结构模型，确定结构的模型参数，建立在双向地震作用下一般刚度偏心建筑结构的动力方程；

3)基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，在频域内进行一般刚度偏心建筑结构的平移-扭转耦合响应分析；

4)对结构设置不同的刚度偏心位置，分别分析一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转的影响，计算获得结构各层平面中心位移和加速度的算术均方根数据。

上述采用极坐标表示结构的刚度偏心位置的表示方式如下：当结构几何中心X方向位移为u_i、Y方向位移为v_i和扭转向位移为θ_i时，刚度中心X方向、Y方向和扭转位移的极坐标表示式为：

u_ie＝u_i-R_iθ_i·sinφ_i        (1)

v_ie＝v_i+R_iθ_i·cosφ_i        (2)

θ_ie＝θ_i                    (3)

式中，R_i为刚度中心的半径坐标，φ_i为刚度中心的角坐标。u_ie、v_ie、θ_ie分别表示各层刚度中心在X方向、Y方向和扭转方向的位移；i＝1，2分别表示第一层和第二层。

上述中两层双向地震作用下的一般刚度偏心建筑结构的动力方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{cccccc}{m}_1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& m_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& m_1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& m_2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& m_1{r}_1^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& m_2{r}_2^2\end{array}\right\}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{u}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{u}}_2\\ {\stackrel{\·\·}{v}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{v}}_2\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2\end{array}\right]$

$+\left[\begin{array}{cccccc}{k}_{1x}+k_{2x}& -k_{2x}& 0& 0& -(k_{1x}+k_{2x})R_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ -k_{2x}& k_{2x}& 0& 0& k_{2x}{R}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ 0& 0& k_{1y}+k_{2y}& -k_{2y}& (k_{1y}+k_{2y})R_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ 0& 0& -k_{2y}& k_{2y}& -k_{2y}{R}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ -(k_{1x}+k_{2x})R_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& k_{2x}{R}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& (k_{1y}+k_{2y})R_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2y}{R}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& {\hat{k}}_{1\mathrm{\θ}}+{\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}& -{\hat{k}}_{12\mathrm{\θ}}\\ k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2& -k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2& -k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& {\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ v_1\\ v_2\\ {\mathrm{\θ}}_1\\ {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}}\\ -m_2{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}}\\ -m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}\\ -m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}\\ 0\\ 0\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中，m₁和m₂分别为结构第一层和第二层的堆积质量，r₁和r₂分别是对于质量中心m₁和m₂所在轴的回转半径；k_1x、k_1y和k_2x、k_2y分别表示结构第一层和第二层的平移刚度；k_1θ和k_2θ分别为结构第一层和第二层的扭转刚度。

式中： ${\hat{k}}_{1\mathrm{\θ}}=k_{1\mathrm{\θ}}+k_{1x}{R}_1^2{\sin }^2{\mathrm{\φ}}_1+k_{1y}{R}_1^2{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_1,$ ${\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}=k_{2\mathrm{\θ}}+k_{2x}{R}_2^2{\sin }^2{\mathrm{\φ}}_2+k_{2y}{R}_2^2{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_2,$

${\hat{k}}_{12\mathrm{\θ}}=k_{2\mathrm{\θ}}+k_{2x}{R}_1{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+k_{2y}{R}_1{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2$

刚性地基假定，采用瑞利阻尼假设，一般刚度偏心建筑结构平扭耦合动力方程可表示为：

$\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{u}\\ \stackrel{\·\·}{v}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& 0& C_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{y\θ}}\\ C_{\mathrm{x\θ}}^T& C_{\mathrm{y\θ}}^T& C_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{u}\\ \stackrel{\·\·}{v}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{xx}}& 0& K_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& K_{\mathrm{yy}}& K_{\mathrm{y\θ}}\\ K_{\mathrm{x\θ}}^T& K_{\mathrm{y\θ}}^T& K_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}u\\ v\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gx}}\\ -{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gv}}\\ 0\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式中， $\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的质量矩阵， $\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& 0& C_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{y\θ}}\\ C_{\mathrm{x\θ}}^T& C_{\mathrm{y\θ}}^T& C_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的阻尼矩阵， $\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{xx}}& 0& K_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& K_{\mathrm{yy}}& K_{\mathrm{y\θ}}\\ K_{\mathrm{x\θ}}^T& K_{\mathrm{y\θ}}^T& K_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的刚度偏心矩阵。 $-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gx}}=-{\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}},$ $-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gy}}=-{\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}$ 分别为X、Y方向的水平地震作用矩阵，0＝[0  0]^T；

分别为X、Y方向的水平地震作用。

上述中在频域内，基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，进行一般刚度偏心结构的平移-扭转耦合响应分析。根据概率统计理论，位移均方值为

而加速度均方值为：

在双向地震作用下，X和Y方向谱强度因子分别取为：S_gx(ω)＝s_0x，S_gy(ω)＝S_0y。在这里为了不考虑谱强度因子的不同对计算响应值得影响变化，将强度因子单位化。于是，得在X和Y方向标准化均方根地震位移和加速度：

${\mathrm{\σ}}_u={\mathrm{\σ}}_x=\sqrt{E\left(x^2\right)/S_{0x}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\stackrel{\·\·}{u}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ax}}=\sqrt{E\left({a_x}^2\right)/S_{0x}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\mathrm{\ω}}^4{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(7\right)$

${\mathrm{\σ}}_v={\mathrm{\σ}}_y=\sqrt{E\left(y^2\right)/S_{0y}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\stackrel{\·\·}{v}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ay}}=\sqrt{E\left({a_y}^2\right)/S_{0y}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\mathrm{\ω}}^4{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(9\right)$

式中：[H(iω)]＝-(-ω²[M]+iω[C]+[K])^-1[M]为传递函数矩阵，[M]、[K]、[C]分别为结构为的质量、刚度、阻尼矩阵；ω为地震频率。

σ_u＝σ_x、

表示在X方向的标准化均方根地震位移和加速度；

σ_v＝σ_y、

表示在Y方向的标准化均方根地震位移和加速度。

E(x²)、E(a_x ²)表示在X方向的位移均方值和加速度均方值；

E(y²)、E(a_y ²)表示在Y方向的位移均方值和加速度均方值。

上述中的对结构设置不同的刚度偏心位置，分别分析一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转的影响。

当结构的底层和顶层的刚度中心轴在同一条轴线时，因此考虑顶层刚度k₂和底层刚度k₁位置即R=R₂=R₁=0、1、2、3、4m；φ₁=φ₂=[0°，360°]的变化为同轴刚度偏心。

考虑底层刚度中心R₁=0、φ₁=0°即处于结构几何中心，顶层刚度k₂位置为R₂=0、1、2、3、4m，转角φ₂=[0°，360°]绕几何中心旋转，即非同轴刚度偏心中的单轴刚度偏心，只考虑顶层刚度的偏心情况。

分析研究非同轴刚度偏心中的非单轴刚度偏心情况，即考虑底层和顶层在任意偏心情况下结构响应变化。顶层和底层刚度中心轴都不在几何中心，而且也不在同一轴上。底层刚度中心位于：其偏心半径R₁=2m的情况下，分别分析φ₁=0°、φ₁=90°、φ₁=180°、φ₁=270°四种情况；而顶层刚度中心R₂=3m，转角φ₂=[0°，360°]绕几何中心旋转。

本发明的一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法优点如下：本方法假定结构发生刚度偏心，而质量不偏心，即质量中心和楼层平面几何中心位于同一轴，而结构楼层刚度中心与楼层平面几何中心位于位于不同轴。采用极坐标表示结构各层刚度中心的偏向位置，并考虑双向地震的作用，建立双向地震作用下一般刚度偏心结构的动力方程；将作用在结构上的双向地震荷载看作均值为零的高斯平稳随机过程，基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，在频域内对结构进行平扭耦合地振响应分析，得出结构位移和加速度的算术均方根值。本发明设置不同刚度偏心位置造成的平扭耦合地振响应对结构的影响，且本分析方法采用极坐标表示结构刚度偏心位置，可灵活设置刚度偏心位置，能系统地、合理地得到刚度偏心(任意)位置对结构地振响应的影响。

附图说明

图1是两层一般刚度偏心结构的三维分析模型；

图2是结构楼层刚度偏心位置平面图；

图3是同轴刚度偏心对结构顶层平面中心X、Y向以及扭转向位移和加速度算术均方根响应的影响；

图4是非同轴的单轴刚度偏心位置对结构顶层平面中心X、Y向以及扭转向位移算术平方根的影响；

图5是非同轴的非单轴刚度偏心位置对结构顶层平面中心X、Y向以及扭转位向移算术均方根的影响。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的优选实施例作详细说明。

本发明的一种一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其主要步骤如下：

1)采用极坐标的方式来表示结构各层的刚度偏心位置；

2)选定一个两层结构模型，确定结构的模型参数，建立在双向地震作用下一般刚度偏心建筑结构的动力方程；

3)基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，在频域内进行一般刚度偏心建筑结构的平移-扭转耦合响应分析；

4)对结构设置不同的刚度偏心位置，分别分析一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转的影响，计算获得结构各层平面中心位移和加速度的算术均方根数据。

上述采用极坐标表示结构的刚度偏心位置的表示方式如下：当结构几何中心X方向位移为u_i、Y方向位移为v_i和扭转向位移为θ_i时，刚度中心X方向、Y方向和扭转位移的极坐标表示式为：

u_ie＝u_i-R_iθ_i·sinφ_i        (1)

v_ie＝v_i+R_iθ_i·cosφ_i        (2)

θ_ie＝θ_i                    (3)

式中，R_i为刚度中心的半径坐标，φ_i为刚度中心的角坐标。u_ie、v_ie、θ_ie分别表示各层刚度中心在X方向、Y方向和扭转方向的位移；i＝1，2分别表示第一层和第二层。

上述中两层双向地震作用下的一般刚度偏心建筑结构的动力方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{cccccc}{m}_1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& m_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& m_1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& m_2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& m_1{r}_1^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& m_2{r}_2^2\end{array}\right\}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{u}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{u}}_2\\ {\stackrel{\·\·}{v}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{v}}_2\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2\end{array}\right]$

$+\left[\begin{array}{cccccc}{k}_{1x}+k_{2x}& -k_{2x}& 0& 0& -(k_{1x}+k_{2x})R_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ -k_{2x}& k_{2x}& 0& 0& k_{2x}{R}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ 0& 0& k_{1y}+k_{2y}& -k_{2y}& (k_{1y}+k_{2y})R_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ 0& 0& -k_{2y}& k_{2y}& -k_{2y}{R}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ -(k_{1x}+k_{2x})R_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& k_{2x}{R}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& (k_{1y}+k_{2y})R_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2y}{R}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& {\hat{k}}_{1\mathrm{\θ}}+{\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}& -{\hat{k}}_{12\mathrm{\θ}}\\ k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2& -k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2& -k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& {\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ v_1\\ v_2\\ {\mathrm{\θ}}_1\\ {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}}\\ -m_2{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}}\\ -m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}\\ -m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}\\ 0\\ 0\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中，m₁和m₂分别为结构第一层和第二层的堆积质量，r₁和r₂分别是对于质量中心m₁和m₂所在轴的回转半径；k_1x、k_1y和k_2x、k_2y分别表示结构第一层和第二层的平移刚度；k_1θ和k_2θ分别为结构第一层和第二层的扭转刚度。

式中： ${\hat{k}}_{1\mathrm{\θ}}=k_{1\mathrm{\θ}}+k_{1x}{R}_1^2{\sin }^2{\mathrm{\φ}}_1+k_{1y}{R}_1^2{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_1,$ ${\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}=k_{2\mathrm{\θ}}+k_{2x}{R}_2^2{\sin }^2{\mathrm{\φ}}_2+k_{2y}{R}_2^2{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_2,$

${\hat{k}}_{12\mathrm{\θ}}=k_{2\mathrm{\θ}}+k_{2x}{R}_1{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+k_{2y}{R}_1{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2$

刚性地基假定，采用瑞利阻尼假设，一般刚度偏心建筑结构平扭耦合动力方程可表示为：

$\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{u}\\ \stackrel{\·\·}{v}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& 0& C_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{y\θ}}\\ C_{\mathrm{x\θ}}^T& C_{\mathrm{y\θ}}^T& C_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{u}\\ \stackrel{\·\·}{v}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{xx}}& 0& K_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& K_{\mathrm{yy}}& K_{\mathrm{y\θ}}\\ K_{\mathrm{x\θ}}^T& K_{\mathrm{y\θ}}^T& K_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}u\\ v\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gx}}\\ -{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gv}}\\ 0\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式中， $\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的质量矩阵， $\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& 0& C_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{y\θ}}\\ C_{\mathrm{x\θ}}^T& C_{\mathrm{y\θ}}^T& C_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的阻尼矩阵， $\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{xx}}& 0& K_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& K_{\mathrm{yy}}& K_{\mathrm{y\θ}}\\ K_{\mathrm{x\θ}}^T& K_{\mathrm{y\θ}}^T& K_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的刚度偏心矩阵。 $-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gx}}=-{\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}},$ $-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gy}}=-{\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}$ 分别为X、Y方向的水平地震作用矩阵，0＝[0  0]^T；

分别为X、Y方向的水平地震作用。

上述中在频域内，基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，进行一般刚度偏心结构的平移-扭转耦合响应分析。根据概率统计理论，位移均方值为

而加速度均方值为：

在双向地震作用下，X和Y方向谱强度因子分别取为：S_gx(ω)＝S_0x，S_gy(ω)＝S_0y。在这里为了不考虑谱强度因子的不同对计算响应值得影响变化，将强度因子单位化。于是，得在X和Y方向标准化均方根地震位移和加速度：

${\mathrm{\σ}}_u={\mathrm{\σ}}_x=\sqrt{E\left(x^2\right)/S_{0x}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\stackrel{\·\·}{u}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ax}}=\sqrt{E\left({a_x}^2\right)/S_{0x}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\mathrm{\ω}}^4{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(7\right)$

${\mathrm{\σ}}_v={\mathrm{\σ}}_y=\sqrt{E\left(y^2\right)/S_{0y}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\stackrel{\·\·}{v}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ay}}=\sqrt{E\left({a_y}^2\right)/S_{0y}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\mathrm{\ω}}^4{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(9\right)$

式中：[H(iω)]＝-(-ω²[M]+iω[C]+[K])^-1[M]为传递函数矩阵，[M]、[K]、[C]分别为结构为的质量、刚度、阻尼矩阵；ω为地震频率。

σ_u＝σ_x、

表示在X方向的标准化均方根地震位移和加速度；

σ_v＝σ_y、

表示在Y方向的标准化均方根地震位移和加速度。

E(x²)、E(a_x ²)表示在X方向的位移均方值和加速度均方值；

E(y²)、E(a_y ²)表示在Y方向的位移均方值和加速度均方值。

上述中的对结构设置不同的刚度偏心位置，分别分析一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转的影响。

当结构的底层和顶层的刚度中心轴在同一条轴线时，因此考虑顶层刚度k₂和底层刚度k₁位置即R=R₂=R₁=0、1、2、3、4m；φ₁=φ₂=[0°，360°]的变化为同轴刚度偏心。

考虑底层刚度中心R₁=0、φ₁=0°即处于结构几何中心，顶层刚度k₂位置为R₂=0、1、2、3、4m，转角φ₂=[0°，360°]绕几何中心旋转，即非同轴刚度偏心中的单轴刚度偏心，只考虑顶层刚度的偏心情况。

分析研究非同轴刚度偏心中的非单轴刚度偏心情况，即考虑底层和顶层在任意偏心情况下结构响应变化。顶层和底层刚度中心轴都不在几何中心，而且也不在同一轴上。底层刚度中心位于：其偏心半径R₁=2m的情况下，分别分析φ₁=0°、φ₁=90°、φ₁=180°、φ₁=270°四种情况；而顶层刚度中心R₂=3m，转角φ₂=[0°，360°]绕几何中心旋转。

参见图1和图2，为本发明一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法步骤1）和2）的具体模型。结合一例进行具体分析如下：

取一两层框架结构作为计算模型，结构参数如下表所示。上部结构长宽皆为18m，其它结构模型参数如下表所示：

基于Matlab平台建立刚度偏心结构平扭耦合地振响应计算程序进行分析。根据本实施例步骤4）通过设置不同的结构刚度中心位置，运行程序计算出结构位移和加速度的算术均方根矩阵，分析数据获得同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转地振的主要影响。分析得到的主要数据结果如图3-5所示。

图3是当两层结构模型的底层和顶层的刚度中心轴在同一条轴线时且不与结构的几何中心重合，即为同轴刚度偏心。顶层质量m₂和底层质量m₁的质量中心与结构的几何中心重合，而其刚度中心轴位置即R=R₂=R₁=0、1、2、3、4m变化，其偏心角度φ₁=φ₂都是0°~360°变化的。分析在双向地震作用下对结构顶层平面中心位移和加速度算术均方根响应的影响。位移（单位：cm和10^-3rad）和加速度（单位：cm/s^-2和rad/s^-2）。由图3可看出：随着R₁、R₂同时增大即结构刚度偏心不断增大，X、Y和扭转方向的位移和加速度算术均方根值随着偏心角在0°~360°变化下，其极值不断地增大。由图3(e~f)看出，随着偏心距离的增大，其结构的扭转响应位移和加速度算术均方根值不断的增大，结构的平-扭耦合效应越来越明显。根据图3同时可以看出，当结构的同轴偏心角度在45°、135°、225°、315°时，其响应位移和加速度算术均方根值达到极值。同轴刚度偏心结构RMS位移和加速度以180°为周期变化。

图4考虑当底层刚度中心R₁=0，即与结构几何中心相互重合，顶层刚度k₂位置分别为R₂=0、1、2、3、4m，转角绕几何中心旋转即偏心角度是0°~360°变化，即非同轴刚度偏心中的单轴刚度偏心，即只考虑顶层的偏心情况；分析在双向地震作用下结构顶层几何中心位移和加速度算术均方根响应的影响。位移（单位：cm和10^-3rad）和加速度（单位：cm/s^-2和rad/s^-2）。通过数值计算：当R₁=0时，随R₂不断的增大，即结构顶层刚度偏心增大，底层不发生刚度偏心，从图4可以看出X、Y、扭转方向的位移和加速度算术均方根不断增大，平-扭转耦合效应越来越明显。与图3同轴刚度偏心相比，其极值相对较小。例如：R₂=4m、偏心角度为45°时，图3-a的数值要比图4-a的数值要大，因为同轴刚度偏心产生的扭转矩比单轴刚度偏心产生的扭转矩要大，所以平-扭转耦合效应越来越明显。结构刚度偏心距增大，均方根响应值越大。从图4(a-f)图中显示结构在45°、135°、225°、315°时，其响应位移和加速度算术均方根值达到极值。结构的均方根位移和加速度以180°为周期变化。

图5是研究非同轴刚度偏心中的非单轴刚度偏心情况，即顶层和底层刚度中心轴都不在几何中心，而且也不在同一轴上；底层刚度中心位于：其偏心半径R₁=2m的情况下，分别分析φ₁=0°、φ₁=90°、φ₁=180°、φ₁=270°四种情况；而顶层刚度中心R₂=3m，转角绕几何中心旋转即偏心角度φ₂是0°~360°变化。由图5可看出：在R₁=2m，当φ₁=0°和φ₁=180°时的计算结构比较；同时在R₁=2m，在φ₁=90°和φ₁=270°时的计算结构比较。可以看出：φ₁=0°（φ₁=90°）时，顶层偏心旋转角在0°~180°时结构顶层的RSM位移和加速度的变化与φ₁=180°（φ₁=270°）时，顶层偏心旋转角在180°~360°时结构顶层的RSM位移和加速度的变化时相同的。则结构结构顶层的RSM位移和加速度以180°周期变化。位移（单位：cm和10^-3rad）和加速度（单位：cm/s^-2和rad/s^-2）。对于非同轴刚度偏心中的非单轴刚度偏心，可以看出偏心位置在第一象限和在第三象限，结构的响应变化是相同的。

综合图3-5，可以看出，本发明在双向地震的作用下，能够灵活地设置刚度偏心的位置，在进行一般刚度偏心建筑结构平扭耦合地振响应的分析时，能够系统、全面地得出刚度偏心轴，即任意位置时对结构地振平移-扭转耦合响应的影响。

Claims (5)

1.一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其特征在于如下操作步骤：

1)采用极坐标的方式来表示结构各层的刚度偏心位置；

2)选定一个两层结构模型，确定结构的模型参数，建立双向地震作用下一般刚度偏心建筑结构的动力方程；

3)基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，在频域内进行一般刚度偏心建筑结构的平移-扭转耦合响应分析；

4)对结构设置不同的刚度偏心位置，分别分析一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转的影响，计算获得结构各层平面中心位移和加速度的算术均方根数据。

2.根据权利要求1所述的一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其特征在于，所述步骤1）中的采用极坐标的形式表示结构各层的刚度偏心的方法是：当结构各层几何中心X方向位移为u_i、Y方向位移为v_i和扭转方向位移为θ_i时，则刚度中心X方向、Y方向和扭转方向位移的极坐标表示式为：

u_ie＝u_i-R_iθ_i·sinφ_i        (1)

v_ie＝v_i+R_iθ_i·cosφ_i        (2)

θ_ie＝θ_i                    (3)

式中，R_i为刚度中心的半径坐标，φ_i为刚度中心的角坐标；u_ie、v_ie、θ_ie分别表示各层刚度中心在X方向、Y方向和扭转方向的位移；i＝1，2分别表示第一层和第二层。

3.根据权利要求1所述的一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其特征在于，所述步骤2）中的建立在双向地震作用下一般刚度偏心建筑结构的动力方程的方法是：采用步骤1）所述极坐标表示结构任意位置的刚度偏心公式(1)、(2)、(3)，建立两层一般刚度偏心结构的动力方程：

$\left\{\begin{array}{cccccc}{m}_1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& m_2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& m_1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& m_2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& m_1{r}_1^2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& m_2{r}_2^2\end{array}\right\}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{u}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{u}}_2\\ {\stackrel{\·\·}{v}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{v}}_2\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_1\\ {\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_2\end{array}\right]$

$+\left[\begin{array}{cccccc}{k}_{1x}+k_{2x}& -k_{2x}& 0& 0& -(k_{1x}+k_{2x})R_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ -k_{2x}& k_{2x}& 0& 0& k_{2x}{R}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ 0& 0& k_{1y}+k_{2y}& -k_{2y}& (k_{1y}+k_{2y})R_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ 0& 0& -k_{2y}& k_{2y}& -k_{2y}{R}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ -(k_{1x}+k_{2x})R_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& k_{2x}{R}_1\sin {\mathrm{\φ}}_1& (k_{1y}+k_{2y})R_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& -k_{2y}{R}_1\cos {\mathrm{\φ}}_1& {\hat{k}}_{1\mathrm{\θ}}+{\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}& -{\hat{k}}_{12\mathrm{\θ}}\\ k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2& -k_{2x}{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_2& -k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& k_{2y}{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_2& {\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ v_1\\ v_2\\ {\mathrm{\θ}}_1\\ {\mathrm{\θ}}_2\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}-m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}}\\ -m_2{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}}\\ -m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}\\ -m_1{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}\\ 0\\ 0\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中，m₁和m₂分别为结构第一层和第二层的堆积质量，r₁和r₂分别是对于质量中心m₁和m₂所在轴的回转半径；k_1x、k_1y和k_2x、k_2y分别表示结构第一层和第二层的平移刚度；k_1θ和k_2θ分别为结构第一层和第二层的扭转刚度；

式中： ${\hat{k}}_{1\mathrm{\θ}}=k_{1\mathrm{\θ}}+k_{1x}{R}_1^2{\sin }^2{\mathrm{\φ}}_1+k_{1y}{R}_1^2{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_1,$ ${\hat{k}}_{2\mathrm{\θ}}=k_{2\mathrm{\θ}}+k_{2x}{R}_2^2{\sin }^2{\mathrm{\φ}}_2+k_{2y}{R}_2^2{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_2,$ ${\hat{k}}_{12\mathrm{\θ}}=k_{2\mathrm{\θ}}+k_{2x}{R}_1{R}_2\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+k_{2y}{R}_1{R}_2\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2$

刚性地基假定，采用瑞利阻尼假设，一般刚度偏心结构平扭耦合动力方程可表示为：

$\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{u}\\ \stackrel{\·\·}{v}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& 0& C_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{y\θ}}\\ C_{\mathrm{x\θ}}^T& C_{\mathrm{y\θ}}^T& C_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{u}\\ \stackrel{\·\·}{v}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{xx}}& 0& K_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& K_{\mathrm{yy}}& K_{\mathrm{y\θ}}\\ K_{\mathrm{x\θ}}^T& K_{\mathrm{y\θ}}^T& K_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}u\\ v\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gx}}\\ -{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gv}}\\ 0\end{array}\right\}---\left(5\right)$

式中， $\left[\begin{array}{ccc}{M}_{\mathrm{xx}}& 0& 0\\ 0& M_{\mathrm{yy}}& 0\\ 0& 0& M_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的质量矩阵， $\left[\begin{array}{ccc}{C}_{\mathrm{xx}}& 0& C_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& C_{\mathrm{yy}}& C_{\mathrm{y\θ}}\\ C_{\mathrm{x\θ}}^T& C_{\mathrm{y\θ}}^T& C_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的阻尼矩阵， $\left[\begin{array}{ccc}{K}_{\mathrm{xx}}& 0& K_{\mathrm{x\θ}}\\ 0& K_{\mathrm{yy}}& K_{\mathrm{y\θ}}\\ K_{\mathrm{x\θ}}^T& K_{\mathrm{y\θ}}^T& K_{\mathrm{\θ\θ}}\end{array}\right]$ 为结构的刚度偏心矩阵， $-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gx}}=-{\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gx}},$ $-{\stackrel{\·\·}{U}}_{\mathrm{gy}}=-{\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T{\stackrel{\·\·}{u}}_{\mathrm{gy}}$ 分别为X、Y方向的水平地震作用矩阵，0＝[0  0]^T；

分别为X、Y方向的水平地震作用。

4.根据权利要求1所述的一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其特征在于，所述步骤3）基于水平地震作用下的功率谱，对谱强度因子单位化，在频域内进行一般刚度偏心结构的平移-扭转耦合响应分析是：根据概率统计理论，位移均方值为

而加速度均方值为：

在双向地震作用下，X和Y方向谱强度因子分别取为：S_gx(ω)＝S_0x，S_gy(ω)＝S_0y；在这里为了不考虑谱强度因子的不同对计算响应值得影响变化，将强度因子单位化；于是，得在X和Y方向标准化均方根地震位移和加速度：

${\mathrm{\σ}}_u={\mathrm{\σ}}_x=\sqrt{E\left(x^2\right)/S_{0x}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\stackrel{\·\·}{u}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ax}}=\sqrt{E\left({a_x}^2\right)/S_{0x}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\mathrm{\ω}}^4{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(7\right)$

${\mathrm{\σ}}_v={\mathrm{\σ}}_y=\sqrt{E\left(y^2\right)/S_{0y}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\stackrel{\·\·}{v}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ay}}=\sqrt{E\left({a_y}^2\right)/S_{0y}}=\sqrt{{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\mathrm{\ω}}^4{\left|H\left(\mathrm{i\ω}\right)\right|}^2\mathrm{d\ω}}---\left(9\right)$

式中：[H(iω)]＝-(-ω²[M]+iω[C]+[K])^-1[M]为传递函数矩阵，[M]、[K]、[C]分别为结构为的质量、刚度、阻尼矩阵；ω为地震频率；

σ_u＝σ_x、

表示在X方向的标准化均方根地震位移和加速度；

σ_v＝σ_y、

表示在Y方向的标准化均方根地震位移和加速度；

E(x²)、E(a_x ²)表示在X方向的位移均方值和加速度均方值；

E(y²)、E(a_y ²)表示在Y方向的位移均方值和加速度均方值。

5.根据权利要求1所述的一般刚度偏心建筑结构的地震反应分析方法，其特征在于，所述步骤4）中的对结构设置不同的刚度偏心位置，分别分析一般刚度偏心情况下的同轴、非同轴刚度偏心对矩形建筑结构平移-扭转的影响；

当结构的底层和顶层的刚度中心轴在同一条轴线时，因此考虑顶层刚度k₂和底层刚度k₁位置，即R=R₂=R₁=0、1、2、3、4m；φ₁=φ₂=[0°，360°]的变化为同轴刚度偏心；

考虑底层刚度中心R₁=0、φ₁=0°即处于结构几何中心，顶层刚度k₂位置为R₂=0、1、2、3、4m，转角φ₂=[0°，360°]绕几何中心旋转，即非同轴刚度偏心中的单轴刚度偏心，只考虑顶层刚度的偏心情况；

分析研究非同轴刚度偏心中的非单轴刚度偏心情况，即考虑底层和顶层在任意偏心情况下结构响应变化；顶层和底层刚度中心轴都不在几何中心，而且也不在同一轴上；底层刚度中心位于：其偏心半径R₁=2m的情况下，分别分析φ₁=0°、φ₁=90°、φ₁=180°、φ₁=270°四种情况；而顶层刚度中心R₂=3m，转角φ₂=[0°，360°]绕几何中心旋转。

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