CN102709909A - 风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种考虑风机接入的有源配电网可靠性评估方法，属于电力系统可靠性评估的技术领域。首先基于历史的风速数据，建立服从双参数威布尔分布的风速概率密度函数，采用拉丁超立方抽样对风速进行大量抽样，采用后向场景削减技术，建立风速的多场景模型，利用风速和风电场功率之间的拟合关系建立风电功率的多场景模型。在配电网中，按照计划形成孤岛，并计算孤岛形成的概率，当孤岛内的发电不能满足负荷的需求时，根据负荷的重要程度和容量制定切除负荷策略，计算各负荷点被切除的概率以及负荷点的可靠性指标。本发明方法能够有效和定量的评估风机接入对配电网可靠性的影响。

Description

风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及一种风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，属于配电网可靠性评估的技术领域。

背景技术

面临能源短缺和环境保护压力，大量的分布式可再生能源发电如风能、太阳能发电开始大量接入配电网。风能是一种环境友好、储量丰富的可再生能源，风力发电是分布式发电的重要形式，它的广泛接入将对配电网可靠性产生重大影响。研究考虑风机接入的配电网的可靠性评估，需要解决两个技术问题：风机的可靠性模型和考虑风机接入的配电网可靠性评估算法。

对于第一个问题，由于风速具有随机性的特点，故风机出力也具有不确定性。现有的文献中，对常规的发电机组如燃气轮机等的可靠性模型研究较多，而对于风机的可靠性模型研究较少。已有的研究多基于马尔科夫过程，建立风机出力的多状态模型。实际上，这种方法不能很好的反映计算效率和计算速度之间的协调，需要建立一种新的风机可靠性评估模型。

对于第二个问题，风机接入之后，配电网从一个辐射状的网络变成了一个多电源的网络，传统配电网可靠性评估的方法已经不再适用。

因此，随着大量出力随机波动的分布式电源接入配电网，传统配电网可靠性评估的方法已经不再适用。需要对出力随机波动的分布式电源如风机的出力建立可靠性模型，并基于此模型，建立一种系统化的评估方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，基于风机的多场景模型，提出一种系统化的有源配电网可靠性评估方法，建立多场景的风力发电机输出模型，以有效的评估风机接入对配电网可靠性的影响，并定量的评估风力发电机接入对配电网可靠性的影响。

本发明提出的风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，包括以下步骤：

首先建立风力发电机出力的多场景模型，包括以下步骤：

（1）用双参数威布尔函数表示风电场风速的概率分布为：

F(v)=1-exp[-(v/c)^k]

其中，c为威布尔分布的尺度参数，k为威布尔分布的形状参数，v为风电场风速；

（2）采用拉丁超立方抽样方法，对风电场风速进行抽样，具体步骤如下：

（2-1）将上述风电场风速的概率分布分为N个等概率区间，；

（2-2）从上述N个等概率区间的任意一个概率区间

中，随机抽取一个数p_i，p_i表示为：

$p_i=\frac{r}{N}+\frac{i-1}{N}$

其中，r是位于[0，1]区间内服从均匀分布的随机变量，1≤i≤N；

（2-3）对上述风电场风速的概率分布进行逆变换，得到与第i个概率区间相对应的风速样本v_i为：

v_i=F^-1(p_i)，

重复（2-2）和（2-3），得到N个风速样本；

（3）设N个风速样本即为N个风速场景，利用场景削减方法，将风速场景个数从N个削减至n个，步骤如下：

（3-1）设初始化时得到任意一个风速场景的概率均等，即

$p_i^{\′}=\frac{1}{N}$

p′_i表示第i个风速场景的概率；

（3-2）从削减过程中的共n^*个风速场景中任意选取序号分别为a、b的两个风速场景，计算风速场景v_a和风速场景v_b之间的场景距离KD，KD(v_a,v_b)=|v_a-v_b|，其中1≤a≤n^*，1≤b≤n^*并且a≠b；

（3-3）对于削减过程中的n^*个风速场景中任何一个序号为d的风速场景，寻找一个与风速场景d的场景距离最近的风速场景，设该风速场景的序号为e，计算风速场景v_a和风速场景v_b之间的场景距离KD，KD(v_d,v_e)=|v_d-v_e|，并计算乘积KD(v_d,v_e)×p′_d，其中1≤d≤n^*，1≤e≤n^*；

（3-4）重复步骤（3-3），遍历n^*个风速场景，得到n^*个乘积，将n^*个乘积中的最小值记为KD(v_s1,v_s2)×p′_s1，使场景概率p′_s2=p′_s2+p′_s1，并削减序号为s1的风速场景v_s1，其中s1和s2为满足最小乘积值的两个风速场景的序号；

（3-5）使场景个数n^*=n^*-n_i，其中n_i为最小乘积值的个数，重复步骤（1-3-2）～（1-3-5），得到目标场景个数n^*＝n；

（4）对于n个风速场景中的任何一个风速场景f，根据风速和风电功率的关系，计算与第f个风速场景对应的风电功率值为：

$P_f=\left\{\begin{array}{cc}0& v_f<v_{\mathrm{in}}\\ P_N\frac{v_f-v_{\mathrm{in}}}{v_N-v_{\mathrm{in}}}& v_{\mathrm{in}}\&le;v_f<v_N\\ P_N& v_N\&le;v_f<v_{\mathrm{out}}\\ 0& v_f\&GreaterEqual;v_{\mathrm{out}}\end{array}\right.$

式中：P_f为与第f个风速场景对应的风电功率值，P_N为风力发电机的额定出力，v_f为序号为f的风速场景，v_N为风机的额定风速，v_in为风机的切入风速，v_out为风机的切出风速，重复本步骤，得到n个风电功率值；

然后对主动配电网的可靠性进行评估，包括以下步骤：

（5）在包含多台风力发电机和多个配电网负荷的区域中，当配电网发生故障时该区域独立供电，将该区域定义为孤岛；

（6）利用故障模式与后果分析法对配电网的可靠性进行评估，得到配电网孤岛中任意第j个负荷点的可靠性指标，记为

其中，1≤j≤n_ld，n_ld为孤岛内负荷点的个数，负荷点的可靠性指标用于表征配电网中负荷点的故障率、年停电时间或平均故障停电时间；

（7）从历史记录中获取孤岛与配电网主电源之间连线上每一个元件的故障率和平均故障修复时间，并分别计算连线上每个元件的故障率和平均故障修复时间的乘积，将所有乘积相加后，除以8760，得到孤岛形成的概率p_island；

（8）对孤岛内功率的充裕程度进行判断，包括以下步骤：

（8-1）将孤岛内配电网的负荷分别与n个风速场景中的n个风电功率值P_f进行比较，若孤岛内配电网的负荷小于风电功率值P_f，则判断孤岛在与该风电功率值P_f相对应的风电场景下独立供电，若孤岛内配电网的负荷等于或大于风电功率值P_f，则求解以下优化模型，

$\max \underset{j=1}{\overset{n_{\mathrm{ld}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_j^f{\mathrm{\&omega;}}_j{P}_{{\mathrm{ld}}_j}$

s.t. $P_f\&GreaterEqual;\underset{j=1}{\overset{n_{\mathrm{ld}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_j^f{P}_{{\mathrm{ld}}_j}(1+\mathrm{\&alpha;})$

其中，

表示孤岛中第j个负荷点在第f个风电功率下优化自变量，当

的取值为0时，代表第j个负荷点被切除，当的取值为1时，代表第j个负荷点持续供电，ω_j为第j个负荷点的权重系数，取值范围为0～1，

为孤岛内第j个负荷点的功率峰值，α为网损率，取值为10％，求解得到

即得到孤岛上在相应风电功率值P_f下的供电负荷点；

（8-2）重复步骤（8-1），并将与第j个负荷点被切除时所对应的场景概率累加，得到孤岛运行时任意第j个负荷点最终被切除的概率

$p_{{\mathrm{cut}}_j}=\left\{\underset{f=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_f\right|x_j^f=0\}$

（9）根据第j个负荷点最终被切除的概率

计算孤岛运行时负荷点的可靠性指标，包括以下步骤：

（9-1）当第j个负荷点被切除时，第j个负荷点的可靠性指标为配电网主电源与孤岛连线上每个元件的可靠性指标的累加和，记为

（9-2）当第j个负荷点持续供电时，利用故障模式与后果分析法对孤岛内的负荷点进行可靠性评估，得到第j个负荷点的可靠性指标为

（9-3）根据全概率公式，得到孤岛运行时第j个负荷点的可靠性指标：

$M_{{\mathrm{island}}_j}=p_{{\mathrm{cut}}_j}{M}_j^1+(1-p_{{\mathrm{cut}}_j})M_j^2$

（10）根据全概率公式，得到孤岛中第j个负荷点最终的可靠性指标为：

$M_j=(1-p_{\mathrm{island}})M_{{\mathrm{connect}}_j}+p_{\mathrm{island}}{M}_{{\mathrm{island}}_j}.$

本发明提出的风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，其优点是：

1、本发明的风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，采用多场景技术进行风力发电机输出功率的建模，提高了可靠性评估的计算效率和评估结果的准确性。并且这种方法能够扩展到其他形式的分布式电源，如光伏发电等。

2、本发明的风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，对主动配电网的可靠性进行系统化评估，能够有效的评估风力发电机等分布式电源接入时对配电网可靠性的影响，计算简单有效。

附图说明

图1是使用本发明方法进行可靠性评估的含有风力发电机的主动配电网的结构示意图。

图1中，ld1-ld23代表负荷支路，负荷支路与配电网的连接点称为负荷点，1-25代表配电网中的元件。配电网中的元件主要有配电线路、断路器和分段开关等。图1中，1、13、18和21代表断路器，9代表分段开关，其他数字代表配电线路，F4代表配电网的主电源，由F4向配电网的负荷点供电，W代表风力发电机，虚线框中的部分配电网代表一个孤岛。

具体实施方式

本发明提出的风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，其中主动配电网的结构示意图如图1所示，评估方法包括以下步骤：

首先建立风力发电机出力的多场景模型，包括以下步骤：

（1）用双参数威布尔函数表示风电场风速的概率分布为：

F(v)=1-exp[-(v/c)^k]

其中，c为威布尔分布的尺度参数，k为威布尔分布的形状参数，v为风电场风速；matlab软件中的语句Mle(data,’distribution″，weibull’)返回双参数威布尔分布的尺度参数和形状参数。其中，data为风速的时间序列。

（2）采用拉丁超立方抽样方法，对风电场风速进行抽样，具体步骤如下：

（2-1）将上述风电场风速的概率分布分为N个等概率区间，；

（2-2）从上述N个等概率区间的任意一个概率区间

中，随机抽取一个数p_i，p_i表示为：

$p_i=\frac{r}{N}+\frac{i-1}{N}$

其中，r是位于[0，1]区间内服从均匀分布的随机变量，1≤i≤N；

（2-3）对上述风电场风速的概率分布进行逆变换，得到与第i个概率区间

相对应的风速样本v_i为：

v_i=F^-1(p_i)，

重复（2-2）和（2-3），得到N个风速样本；

（3）设N个风速样本即为N个风速场景，利用场景削减方法，将风速场景个数从N个削减至n个，步骤如下：

（3-1）设初始化时得到任意一个风速场景的概率均等，即

$p_i^{\&prime;}=\frac{1}{N}$

p′_i表示第i个风速场景的概率；

（3-2）从削减过程中的共n^*个风速场景中任意选取序号分别为a、b的两个风速场景，计算风速场景v_a和风速场景v_b之间的场景距离KD，KD(v_a,v_b)＝|v_a-v_b|，其中1≤a≤n^*，1≤b≤n^*并且a≠b；

（3-3）对于削减过程中的n^*个风速场景中任何一个序号为d的风速场景，寻找一个与风速场景d的场景距离最近的风速场景，设该风速场景的序号为e，计算风速场景v_a和风速场景v_b之间的场景距离KD，KD(v_d,v_e)=|v_d-v_e|，并计算乘积KD(v_d,v_e)×p′_d，其中1≤d≤n^*，1≤e≤n^*；

（3-4）重复步骤（3-3），遍历n^*个风速场景，得到n^*个乘积，将n^*个乘积中的最小值记为KD(v_s1,v_s2)×p′_s1，使场景概率p′_s2=p′_s2+p′_s1，并削减序号为s1的风速场景v_s1，其中s1和s2为满足最小乘积值的两个风速场景的序号；

（3-5）使场景个数n^*＝n^*-n_i，其中n_i为最小乘积值的个数，重复步骤（1-3-2）～（1-3-5），得到目标场景个数n^*＝n；

（4）对于n个风速场景中的任何一个风速场景f，根据风速和风电功率的关系，计算与第f个风速场景对应的风电功率值为：

$P_f=\left\{\begin{array}{cc}0& v_f<v_{\mathrm{in}}\\ P_N\frac{v_f-v_{\mathrm{in}}}{v_N-v_{\mathrm{in}}}& v_{\mathrm{in}}\&le;v_f<v_N\\ P_N& v_N\&le;v_f<v_{\mathrm{out}}\\ 0& v_f\&GreaterEqual;v_{\mathrm{out}}\end{array}\right.$

式中：P_f为与第f个风速场景对应的风电功率值，P_N为风力发电机的额定出力，v_f为序号为f的风速场景，v_N为风机的额定风速，v_in为风机的切入风速，v_out为风机的切出风速，重复本步骤，得到n个风电功率值；

然后对主动配电网的可靠性进行评估，包括以下步骤：

（5）在包含多台风力发电机和多个配电网负荷的区域中，当配电网发生故障时该区域独立供电，将该区域定义为孤岛，如图1所示，断路器18，配电线路19、20，负荷支路ld11-ld13以及风力发电机组成了一个孤岛；

（6）利用故障模式与后果分析法对配电网的可靠性进行评估，得到配电网孤岛中任意第j个负荷点的可靠性指标，记为

其中，1≤j≤n_ld，n_ld为孤岛内负荷点的个数，在图1中，孤岛内负荷点的个数为3个。故障模式与后果分析法是进行配电网可靠性评估的基本方法，其基本思路是：逐个评估配电网中的每一个元件的故障对每一个负荷点可靠性的影响，最终计算得到每一个负荷点的可靠性指标。负荷点的可靠性指标用于表征配电网中负荷点的故障率、年停电时间或平均故障停电时间；

（7）从历史记录中获取孤岛与配电网主电源之间连线上每一个元件的故障率和平均故障修复时间，并分别计算连线上每个元件的故障率和平均故障修复时间的乘积，将所有乘积相加后，除以8760，得到孤岛形成的概率p_island。8760是一年的小时数，图1中，断路器1，配电线路2-8,10-12以及分段开关9是孤岛和配电网主电源之间的元件；

（8）对孤岛内功率的充裕程度进行判断，包括以下步骤：

（8-1）将孤岛内配电网的负荷分别与n个风速场景中的n个风电功率值P_f进行比较，若孤岛内配电网的负荷小于风电功率值P_f，则判断孤岛在与该风电功率值P_f相对应的风电场景下独立供电，若孤岛内配电网的负荷等于或大于风电功率值P_f，则求解以下优化模型，

$\max \underset{j=1}{\overset{n_{\mathrm{ld}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_j^f{\mathrm{\&omega;}}_j{P}_{{\mathrm{ld}}_j}$

$s.t.P_f\&GreaterEqual;\underset{j=1}{\overset{n_{\mathrm{ld}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_j^f{P}_{{\mathrm{ld}}_j}(1+\mathrm{\&alpha;})$

其中，

表示孤岛中第j个负荷点在第f个风电功率下优化自变量，当的取值为0时，代表第j个负荷点被切除，当

的取值为1时，代表第j个负荷点持续供电，ω_j为第j个负荷点的权重系数，取值范围为0～1，

为孤岛内第j个负荷点的功率峰值，α为网损率，取值为10％，求解得到

即得到孤岛上在相应风电功率值P_f下的供电负荷点；

（8-2）重复步骤（8-1），并将与第j个负荷点被切除时所对应的场景概率累加，得到孤岛运行时任意第j个负荷点最终被切除的概率

$p_{{\mathrm{cut}}_j}=\left\{\underset{f=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_f\right|x_j^f=0\}$

（9）根据第j个负荷点最终被切除的概率计算孤岛运行时负荷点的可靠性指标，包括以下步骤：

（9-1）当第j个负荷点被切除时，第j个负荷点的可靠性指标为配电网主电源与孤岛连线上每个元件的可靠性指标的累加和，记为具体来说，元件的可靠性指标主要有故障率和平均故障修复时间，第j个负荷点的故障率为配电网主电源与孤岛连线上每个元件的故障率的累加和，第j个负荷点的年停电时间为配电网主电源与孤岛连线上每个元件的故障率与平均故障修复时间乘积的累加和；

（9-2）当第j个负荷点持续供电时，利用故障模式与后果分析法对孤岛内的负荷点进行可靠性评估，得到第j个负荷点的可靠性指标为

（9-3）根据全概率公式，得到孤岛运行时第j个负荷点的可靠性指标：

$M_{{\mathrm{island}}_j}=p_{{\mathrm{cut}}_j}{M}_j^1+(1-p_{{\mathrm{cut}}_j})M_j^2$

（10）根据全概率公式，得到孤岛中第j个负荷点最终的可靠性指标为：

$M_j=(1-p_{\mathrm{island}})M_{{\mathrm{connect}}_j}+p_{\mathrm{island}}{M}_{{\mathrm{island}}_j}.$

Claims (1)

1.一种风力发电接入时的主动配电网可靠性评估方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

首先建立风力发电机出力的多场景模型，包括以下步骤：

（1）用双参数威布尔函数表示风电场风速的概率分布为：

F(v)=1-exp[-(v/c)^k]

其中，c为威布尔分布的尺度参数，k为威布尔分布的形状参数，v为风电场风速；

（2）采用拉丁超立方抽样方法，对风电场风速进行抽样，具体步骤如下：

（2-1）将上述风电场风速的概率分布分为N个等概率区间，；

（2-2）从上述N个等概率区间的任意一个概率区间

中，随机抽取一个数p_i，p_i表示为：

$p_i=\frac{r}{N}+\frac{i-1}{N}$

其中，r是位于[0，1]区间内服从均匀分布的随机变量，1≤i≤N；

（2-3）对上述风电场风速的概率分布进行逆变换，得到与第i个概率区间

相对应的风速样本v_i为：

v_i=F^-1(p_i)，

重复（2-2）和（2-3），得到N个风速样本；

（3）设N个风速样本即为N个风速场景，利用场景削减方法，将风速场景个数从N个削减至n个，步骤如下：

（3-1）设初始化时得到任意一个风速场景的概率均等，即

$p_i^{\&prime;}=\frac{1}{N}$

p′_i表示第i个风速场景的概率；

（3-2）从削减过程中的共n^*个风速场景中任意选取序号分别为a、b的两个风速场景，计算风速场景v_a和风速场景v_b之间的场景距离KD，KD(v_a,v_b)＝|v_a-v_b|，其中1≤a≤n^*，1≤b≤n^*并且a≠b；

（3-3）对于削减过程中的n^*个风速场景中任何一个序号为d的风速场景，寻找一个与风速场景d的场景距离最近的风速场景，设该风速场景的序号为e，计算风速场景v_a和风速场景v_b之间的场景距离KD，KD(v_d,v_e)=|v_d-v_e|，并计算乘积KD(v_d,v_e)×p′_d，其中1≤d≤n^*，1≤e≤n^*；

（3-4）重复步骤（3-3），遍历n^*个风速场景，得到n^*个乘积，将n^*个乘积中的最小值记为KD(v_s1,v_s2)×p′_s1，使场景概率p′_s2=p′_s2+p′_s1，并削减序号为s1的风速场景v_s1，其中s1和s2为满足最小乘积值的两个风速场景的序号；

（3-5）使场景个数n^*=n^*-n_i，其中n_i为最小乘积值的个数，重复步骤（1-3-2）～（1-3-5），得到目标场景个数n^*＝n；

（4）对于n个风速场景中的任何一个风速场景f，根据风速和风电功率的关系，计算与第f个风速场景对应的风电功率值为：

$P_f=\left\{\begin{array}{cc}0& v_f<v_{\mathrm{in}}\\ P_N\frac{v_f-v_{\mathrm{in}}}{v_N-v_{\mathrm{in}}}& v_{\mathrm{in}}\&le;v_f<v_N\\ P_N& v_N\&le;v_f<v_{\mathrm{out}}\\ 0& v_f\&GreaterEqual;v_{\mathrm{out}}\end{array}\right.$

式中：P_f为与第f个风速场景对应的风电功率值，P_N为风力发电机的额定出力，v_f为序号为f的风速场景，v_N为风机的额定风速，v_in为风机的切入风速，v_out为风机的切出风速，重复本步骤，得到n个风电功率值；

然后对主动配电网的可靠性进行评估，包括以下步骤：

（5）在包含多台风力发电机和多个配电网负荷的区域中，当配电网发生故障时该区域独立供电，将该区域定义为孤岛；

（6）利用故障模式与后果分析法对配电网的可靠性进行评估，得到配电网孤岛中任意第j个负荷点的可靠性指标，记为

其中，1≤j≤n_ld，n_ld为孤岛内负荷点的个数，负荷点的可靠性指标用于表征配电网中负荷点的故障率、年停电时间或平均故障停电时间；

（7）从历史记录中获取孤岛与配电网主电源之间连线上每一个元件的故障率和平均故障修复时间，并分别计算连线上每个元件的故障率和平均故障修复时间的乘积，将所有乘积相加后，除以8760，得到孤岛形成的概率p_island；

（8）对孤岛内功率的充裕程度进行判断，包括以下步骤：

（8-1）将孤岛内配电网的负荷分别与n个风速场景中的n个风电功率值P_f进行比较，若孤岛内配电网的负荷小于风电功率值P_f，则判断孤岛在与该风电功率值P_f相对应的风电场景下独立供电，若孤岛内配电网的负荷等于或大于风电功率值P_f，则求解以下优化模型，

$\max \underset{j=1}{\overset{n_{\mathrm{ld}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_j^f{\mathrm{\&omega;}}_j{P}_{{\mathrm{ld}}_j}$

$s.t.P_f\&GreaterEqual;\underset{j=1}{\overset{n_{\mathrm{ld}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{x}_j^f{P}_{{\mathrm{ld}}_j}(1+\mathrm{\&alpha;})$

其中，

表示孤岛中第j个负荷点在第f个风电功率下优化自变量，当的取值为0时，代表第j个负荷点被切除，当

的取值为1时，代表第j个负荷点持续供电，ω_j为第j个负荷点的权重系数，取值范围为0～1，

为孤岛内第j个负荷点的功率峰值，α为网损率，取值为10％，求解得到

即得到孤岛上在相应风电功率值P_f下的供电负荷点；

（8-2）重复步骤（8-1），并将与第j个负荷点被切除时所对应的场景概率累加，得到孤岛运行时任意第j个负荷点最终被切除的概率

$p_{{\mathrm{cut}}_j}=\left\{\underset{f=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{p}_f\right|x_j^f=0\}$

（9）根据第j个负荷点最终被切除的概率

计算孤岛运行时负荷点的可靠性指标，包括以下步骤：

（9-1）当第j个负荷点被切除时，第j个负荷点的可靠性指标为配电网主电源与孤岛连线上每个元件的可靠性指标的累加和，记为

（9-2）当第j个负荷点持续供电时，利用故障模式与后果分析法对孤岛内的负荷点进行可靠性评估，得到第j个负荷点的可靠性指标为

（9-3）根据全概率公式，得到孤岛运行时第j个负荷点的可靠性指标：

$M_{{\mathrm{island}}_j}=p_{{\mathrm{cut}}_j}{M}_j^1+(1-p_{{\mathrm{cut}}_j})M_j^2$

（10）根据全概率公式，得到孤岛中第j个负荷点最终的可靠性指标为：

$M_j=(1-p_{\mathrm{island}})M_{{\mathrm{connect}}_j}+p_{\mathrm{island}}{M}_{{\mathrm{island}}_j}.$

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