CN102708327A - 一种基于谱优化的网络社区发现方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于谱优化的网络社区发现方法，首先，将复杂网络存储于图数据结构中，对整个复杂网络进行二分处理，得到两个非连通子网络；复杂网络图G的拉普拉斯矩阵的第二小特征值λ₂被定义为代数连通性，通过Gossip算法近似计算代数连通性函数，有效降低时间复杂度：通过模型从复杂网络边集E中选择k条对代数连通性影响最大的边E_cut，计算复杂网络中节点的中心性测度；根据中心性测度选出m_c个候选删除边，通过删边学习器模型删除k条边；选择k条对网络代数连通性影响最大的边，对前面处理进一步优化；以及，执行谱优化社区发现算法。与现有技术相比，本发明在保证结果准确度的基础上有效降低复杂网络社区发现算法的时间复杂度。

Description

一种基于谱优化的网络社区发现方法

技术领域

本发明涉及软件安全工程技术领域；特别是涉及软件安全需求分析方法。

背景技术

随着近些年复杂网络的发展，尤其是社交网络的发展，在网络中进行社区发现的需求越来越受到人们的关注。现在，复杂网络的体积不断扩大，混合度不断上升，网络中的社区个数不易确定，社区不平衡性问题也显现出来。以前人们提出了一些模型，可有效识别复杂网络中的社区，但算法的复杂度依然很高。例如，经典社区发现算法Girvan-Newman迭代一次的时间复杂度为O(n²m)，其中n为节点数量，m为边数量。所以有必要在保证结果准确度的基础上，有效降低复杂网络社区发现算法的时间复杂度。本模型研究对象是对无向无权图提出一个有效的分割算法，叫谱优化社区发现算法，该算法也可以用于有权图中。

发明内容

基于上述现有技术存在的问题，本发明提出了一种基于谱优化的网络社区发现方法，采取启发式策略对边中心性进行测量，选择中心性高的边作为候选边，然后进行网络连通性优化，从候选边集中选择出k条对网络连通性影响最大的边作为删除边。这样可有效降低算法的时间复杂度，同时保持很高的准确性。为了避免过度分割，利用社区模块系数（Modularity）作为算法终止条件。其有效降低算法复杂度并保持与GirvanNewman相同的分割效果。

本发明提供一种基于谱优化的网络社区发现方法，该方法包括以下步骤：

首先，将复杂网络存储于图数据结构中，表示为复杂网络图G=(V，E)，其中V表示复杂网络节点集，E表示复杂网络边集；并且，将复杂网络图G表示为拉普拉斯矩阵L，利用拉普拉斯矩阵的第二小特征值对整个复杂网络进行二分处理，得到G1=(V，E1)和G2=(V，E2)两个子网络；

然后，利用矩阵L的第二特征向量最小化RatioCut近似求得λ₂(L(x)),公式如下：

${\mathrm{\λ}}_2\left(L\right)=\underset{v\∈1^{\⊥}}{\min }\left\{\frac{v^T\mathrm{Lv}}{v^{T}v}\right\}$

复杂网络图G的拉普拉斯矩阵的第二小特征值λ₂被定义为代数连通性，

通过Gossip算法近似计算代数连通性函数，有效降低时间复杂度：通过模型从复杂网络边集E中选择k条对代数连通性影响最大的边E_cut，假设E_cut∈E。被定义为：

minimizeλ₂(L(E-E_cut))

subject to |E_cut|≤k，

$E_{\mathrm{cut}}\⊆E,$

计算复杂网络中节点的中心性测度；根据中心性测度选出m_c个候选删除边，通过删边学习器模型删除k条边；选择k条对网络代数连通性影响最大的边，将上述优化处理更新为

${\mathrm{\λ}}_2\left(L^{*(k+1)}\right)={\mathrm{\λ}}_2\left(L^{*\left(k\right)}\right)+{\mathrm{\α}}^k{g}_{\mathrm{ij}}^k$

其中α^k是第k步迭代次梯度方法的系数，

是次梯度；

执行谱优化社区发现算法，具体包括以下步骤：

步骤一、计算复杂网络G中每条边的edge_betweenness值，选择m_c个为候选删除边；

步骤二、运行割边学习模型，删除k条边后，计算更新后的复杂网络G^new的第二小特征值λ₂(L(G^new))，如果其值等于0则运行步骤三，反之则返回运行步骤一；

步骤三、计算分割后全局模块系数测度，如果其值上升则在该非连通子图递归运行下去，否则终止该分支算法。

该方法在复杂网络被分割为两个非连通子图之前，还包括以下步骤：

先采用谱优化社区发现模型每次迭代通过割边学习模型删除k条边，再计算出第二小特征值λ₂对应的Fielder向量，该计算进行m₁次迭代后终止，其中m₁<100；然后用m个元素的最小堆选出m_c个最大的元素。

当复杂社会网络被分割为两个非连通子图时，算法递归在每个非连通子图中执行。

与现有技术相比，本发明在保证结果准确度的基础上，有效降低复杂网络社区发现算法的时间复杂度。本模型研究对象是无向无权图提出一个有效的分割算法，叫谱优化社区发现算法，其可以用于有权图中，该方法能有效降低算法复杂度并保持与GirvanNewman相同的分割效果。

附图说明

图1为将复杂网络转换的图数据结构示意图；

图2为复杂网络拉普拉斯矩阵的费德勒向量分布示意图；

图3为200节点虚拟网络中分别实施NG算法与谱优化社区发现模型Jaccard系数与互信息结果比较图；

图4为500节点虚拟网络分别实施NG算法与谱优化社区发现模型Jaccard系数与互信息结果比较图。

具体实施方式邻接矩阵形式

以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提供的具体实施方式、结构、特征及其功效，详细说明如下。

本发明采取启发式策略对边中心性进行测量，选择中心性高的边作为候选边，然后进行网络连通性优化，从候选边集中选择出k条对网络连通性影响最大的边作为删除边。这样可有效降低算法的时间复杂度，同时保持很高的准确性。为了避免过度分割，利用社区模块系数(Modularity)作为算法终止条件。

1、拉普拉斯特征值的性质及谱优化割边学习器

如图1所示，首先，将复杂网络存储于图数据结构中，G＝(V，E)表示复杂网络，其中V表示复杂网络节点集，E表示复杂网络边集。节点个数为n，边个数为m。连接节点i与j的边用l表示，l(i，j)。a_l∈Rⁿ向量表示边l，其中

其余元素为0。复杂网络图G的关联矩阵A^n×m的每维列向量由a_l组成。G的拉普拉斯矩阵公式化，如公式1所示：

$L={\mathrm{AA}}^T=\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_l{a}_l^T---\left(1\right)$

在谱图理论中拉普拉斯矩阵可以用于计算图的特征，拉普拉斯矩阵具有以下性质：(T表示矩阵的转置，m是网络的边数)

性质1拉普拉斯矩阵L是半正定矩阵，L≥0。

性质2拉普拉斯矩阵的最小特征值是0，其对应的特征向量，每维元素值为1。

性质3拉普拉斯矩阵具有n个非负特征值，0＝λ₁≤λ₂≤…≤λ_n。

性质4拉普拉斯矩阵的0特征值的个数等于非联通子图的个数。

因为拉普拉斯的特征值与特征向量的性质，在经典的图分割算法中，拉普拉斯矩阵的第二小特征值所对应的特征向量又叫做费德勒向量(Fiedler Vector)被用于对整个网络的二分。

费德勒向量的元素值分布情况如图2所示。可以看出费德勒向量中元素值大于O的属于一个社区，小于0的属于另一社区，但是当复杂网络存在奇数个社区时，很容易将一个社区分割到两个独立的子社区中。本模型将代数连通性函数作为模型目标函数，设计一个割边选择模型用于复杂网络社区发现算法中。为阐述方便先做如下定义：

定义1拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix)对于一个有n个节点的图G，其拉普拉斯矩阵L=(l_ij)_n×n表示形式如下，其中deg(v_i)是节点v_i的度：

定义2代数连通性函数（Algebraic Connectivity Function）是拉普拉斯矩阵的第二小特征值，用于测量一个图的连通程度。

定义3f是一个凸函数，Rⁿ →R。向量g是函数f在x点处的次梯度，对于曲线上的其他点y，存在不等式：

f(y)≥f(x)+g^T(y-x)    (3)

g^T方向为函数下降最快的方向。（g^T为向量g的转置，T表示转置运算）

图的拉普拉斯矩阵的第二小特征值λ₂被定义为代数连通性。如果网络图是全连通的则代数连通性大于零，代数连通性反应了网络中节点间连接的紧密程度，可以用于计算网络的健壮性和系统的可靠性。与传统的连通性测量函数不同，代数连通性函数依赖于网络中连通节点的数量。在随机网络中，代数连通性函数值与节点的个数负相关，与平均的度负相关。

复杂网络代数连通性函数λ₂(L(x))是单调凸函数，如果G1=(V，E1)和G2=(V，E2)中

则λ₂(L₁)≤λ₂(L₂)。在一个复杂网络中如果边越少，则代数连通性越差。可以通过利用L的第二特征向量最小化RatioCut近似求得λ₂(L(x)),公式如下：

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)=\underset{v\&Element;1^{\&perp;}}{\min }\left\{\frac{v^T\mathrm{Lv}}{v^{T}v}\right\}---\left(4\right)$

但其时间复杂度较高，可以通过Gossip算法近似计算代数连通性函数，有效降低时间复杂度。由于第二特征值与复杂网络的结构有直接关系，如果网络相对稀疏则第二特征值较小，网络连通性较差，相反则第二特征值较大，网络连通性较好。模型将λ₂定义为网络连通性函数λ₂(L(x))。将通过优化模型选择使网络连通性下降最快的边集。所以最优化问题定义如下：

minimize_xλ₂(L(x))    (5)

对于复杂网络社区发现问题，主要算法细节如下。给出网络的原始图G=(V，E)和一个常数k，我们将通过模型从E集合中选择k条对代数连通性影响最大的边E_cut，假设E_cut∈E。公式5被定义为：

minimizeλ₂(L(E-E_cut))

subject to|E_cut|≤k，    (6)

$E_{\mathrm{cut}}\&SubsetEqual;E,$

这个模型可以被构造为一个布尔函数。图G的每条边可以用一个布尔变量x∈{0,1}^m表示。如果边l∈E_cut，则相应的Xl＝1，否则为0。使L为G对应的拉普拉斯矩阵。公式6被重新定义，变量为x向量：

$\min \mathrm{imize}{\mathrm{\&lambda;}}_2(L-{\mathrm{\&Sigma;}}_{l=1}^m{x}_l{a}_l{a}_l^T)$

subject to 1^Tx≤k，    (7)

x∈{0,1}^m,

模型8将约束条件x∈{0,1}^m修改为0≤x_l≤1，变量有更大的连续搜索空间。模型8给出了模型7的上确界。如果模型8的最优解是布尔向量，则其结果也是模型7的最优解。否则模型8选择x向量中最大的k个值为模型最优解。优化模型描述如下：

$\min \mathrm{imize}{\mathrm{\&lambda;}}_2(L-{\mathrm{\&Sigma;}}_{l=1}^m{x}_l{a}_l{a}_l^T)$

subject to 1^Tx≤k，    (8)

x∈[0,1]^m,

由性质4可知，当复杂网络被分割为两个非连通子图时，是模型本次迭代的结束标志，但复杂网络中节点的度符合幂律分布，大量节点的度数量小于k，所以删除该节点的边可将该节点剥离出来，形成两个极不对称的非连通子图，从而影响模型社区发现的结果。所以模型根据每条边增加权重w_l，0≤w_l≤1，该权重使连接不同社区间的边权重较大，连接同社区内部的边权重较小。在模型优化过程中保持复杂网络的连通特性。权重定义如下所示：

$w_l=\frac{1}{e^{\frac{\left|f_i\right|,+f_j|}{2}}}---\left(9\right)$

其中l(i，j)，f_i与f_j为费德勒向量第i和j个分量，权重选择论证如下：

拉普拉斯矩阵L的第二小特征值为λ₂(L)，其对应的特征向量为F₂=(f₁,f₂,…,f_n)^T，节点i在费德勒向量中对应的值为f_i。f_i可以表示为：

$f_i=\frac{{-f}_e-...-f_j-...-f_k}{({\mathrm{\&lambda;}}_2-d_n)}---\left(10\right)$

公式10推导如下所示：

LF₂=λ₂F₂    (11)

将等式11右侧项移向左侧：

(λ₂E-L)F₂=0    (12)

将公式12展开：

将等式13展开为等式方程形式：

$\left\{\begin{array}{c}({\mathrm{\&lambda;}}_2-d_1)\&times;f_1+...+f_i+...=0\\ .\\ .\\ .\\ f_e+...+({\mathrm{\&lambda;}}_2-d_i)\&times;f_i+...=0\\ .\\ .\\ .\\ f_i+...+({\mathrm{\&lambda;}}_2-d_n)\&times;f_n=0\end{array}\right.---\left(14\right)$

由等式14可推出等式10。

由公式10可知，两个社区之间的节点的邻接节点往往均匀分布于两个不同社区内部，其对应费德勒向量的值相对较小，所以模型对边l取权重w_l与该边连接的两个节点对应费德勒向量的值（f_i和f_j）成反比，当边l连接两个不同社区内的节点时，则该值权重较小，相反权重较大。模型为：

$\min \mathrm{imize}{\mathrm{\&lambda;}}_2(L-{\mathrm{\&Sigma;}}_{l=1}^m{x}_l{w}_l{a}_l{a}_l^T)$

subject to 1^Tx≤k，    (15)

x∈[0,1]^m,

半正定规划（SDP）可以解决模型15寻求最优解，但其时间复杂度较高，下节将介绍一种贪婪策略来解决大规模的复杂网络分割问题。

2、贪婪谱优化割边学习器和模块系数（Modularity）

这节介绍贪婪策略对模型进行优化，从而给出逼近全局最优解的局部最优解。模型首先根据Newman给出的边中心性测度（edge_betweenness）计算每条连接边的中心性，然后根据边中心性值选出前m_c个作为候选删除边，其中k、m_c、m。利用模型15在m_c中选择k条对网络代数连通性影响最大的边。在解模型15时，可以采取梯度下降法求得最优解。模型15的目标函数的梯度为w_l(v_i-v_j)²，证明如下所示：

设矩阵

更新后的拉普拉斯矩阵为

由公式3-4可以得到

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(\tilde{L}\right)\&le;\frac{v^T\left(\tilde{L}\right)v}{{\mathrm{vv}}^T}\&DoubleRightArrow;{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(\tilde{L}\right){\mathrm{vv}}^T\&le;v^T\left(\tilde{L}\right)v---\left(16\right)$

公式16的右边可以写为：

$v^T\left(\tilde{L}\right)v=v^T(L-y)v$

$=v^T\mathrm{Lv}-v^T\mathrm{Yv}$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)+v^T(\tilde{L}-L)v$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)+<{\mathrm{vv}}^T,(\tilde{L}-L)>---\left(17\right)$

由公式16和17，可以得到：

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(\tilde{L}\right)\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)+<{\mathrm{vv}}^T,(\tilde{L}-L)>---\left(18\right)$

不等式18右边可以表示为：

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)+<{\mathrm{vv}}^T,(\tilde{L}-L)>$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)+<{\mathrm{vv}}^T,-{\mathrm{\&Sigma;}}_{l=1}^m{w}_l{x}_l{a}_l{a}_l^T>$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)-{\mathrm{\&Sigma;}}_{l=1}^m{w}_l{x}_l{\mathrm{va}}_l{a}_l^T{v}^T$

$={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)-{\mathrm{\&Sigma;}}_{l=1}^m{w}_l{x}_l{(v_{l_i}-v_{l_j})}^2---\left(19\right)$

根据不等式18，优化算法每一步更新步骤如下：

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L^{*(k+1)}\right)={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L^{*\left(k\right)}\right)+{\mathrm{\&alpha;}}^k{g}_{\mathrm{ij}}^k---\left(20\right)$

其中α^k是第k步迭代次梯度方法的系数，

是次梯度。由于

所以每次迭代更新使λ₂(L^*(k+1))≤λ₂(L^*(k))。根据以上推导可以得到：

$\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&lambda;}}_2(L-w_l{x}_l{a}_l{a}_l^T)}{{\&PartialD;x}_l}=w_l{v}^T{a}_l{a}_l^{T}v---\left(21\right)$

代数连通性函数λ₂(L(x_l))对x_l的偏导数为w_l(v_i-v_j)²，其中l(i，j)。

贪婪策略的启发性步骤如下：

计算复杂网络中节点的中心性测度；

根据中心性测度选出m_c个候选删除边，通过删边学习器模型删除k条边；

Newman-Girvan modularity最初是GN算法的终止条件。Modularity Q也是至今为止最好的社区化评价函数用来区分分割的优劣，是一个分割质量评价函数。晚近的Max-Min modularity也是在Newman基础上对其评价模型进行改进。在很多算法中，针对不同问题（有向图，无向图，有权图，无权图）定义不同的Modularity函数。Modularity函数表示为：

Q(s)=∑_c∈Sf(c)    (22)

其中S是分割结果的集合，c是属于S集合的一个元素，也就是一个连通子图，f(c)是子图评价函数。子图评价函数忽略了除子图外的其他子图，经典的子图评价方法包括：完全相关性，可达性，节点度测度，内部外部节点密度比较。公式22表示为所有子图评价函数的和。本模型的模块系数基于Newman-Girvan modularity函数，如公式2所示，其主要思想是随机连接的网络往往不具有社区性，利用子图的网络密度与随机网络中该子图的期望密度进行比较。如果Q值越高则分割效果越好。

3、基于代数连通性的谱优化复杂网络社区发现算法

谱优化社区发现算法是一个递归的分割算法，每一步都将一个网络分割为两个非连通子网，当分割结果使全局Modularity测度值升高时，则在每个子社区递归执行。直到此次分割使Modularity值停止升高为止，即终止该分支分割算法。

给定一个复杂网络G=(V，E)，其中V为节点集合，E为边集合。割边学习模型在每一次算法执行过程中从候选边中删除k条边。谱优化社区发现算法步骤如下：

1）计算复杂网络G中每条边的edge_betweenness值，然后选择m_c个为候选删除边。

2）运行割边学习模型，删除k条边后，计算更新后的复杂网络G^new的第二小特征值λ₂(L(G^new))，如果其值等于0则运行第三步，反之则返回运行第一步。

3）计算分割后全局模块系数测度，如果其值上升则在该非连通子图递归运行下去，否则终止该分支算法。

利用算法计算每条边的边中心性来初始候选边，这样可以发挥割边学习模型的优势，也解决了Newman算法每次迭代删一条边的瓶颈。在实验部分，本文将在模拟复杂网络和真实网络中对谱优化社区发现模型进行评价。

Jaccard系数（具体含义见注1）和标准互信息（具体含义见注2）都是衡量社区分割好坏的指标，p^out值（p^out是网络中连接社区之间节点边的比例，相对的Pⁱⁿ是网络中连接社区内部节点边的比例）是衡量复杂网络复杂程度的指标。

（注1：Jaccard系数定义

Jaccard系数定义Jaccard系数是衡量社区分割正确性的指标，它反应社区内部正确节点对(vetex pair)的数量.计算公式如下：

$J(S_1,S_2)=\frac{|S_1\&cap;S_2|}{|S_1\&cup;S_2|}---\left(23\right)$

其中S₁为正确结果中节点对的集合，S₂为分割的社区中节点对的集合，J(S₁,S₂)∈[0,1]，J(S₁,S₂)=1时说明结果最精确。J(S₁,S₂)<1说明算法效果与标准结果不同。

注2：标准互信息的定义

互信息(Mutual Information)是信息论中的概念，在这里用来衡量分割结果与正确结果之间的相似度。如果两种分割相似，在给定其中一种分割的情况下，用很少的信息就可以推测出另外一种分割结果。

令x=(X₁,X₂,……,X_nx)和y＝(Y₁,Y₂,……,Y_ny)为图G的两种分割，n_x和n_y为对应两种分割的社区数，n为图的节点数，

和

分别指的是社区X_i和Y_j的节点数，n_ij为社区X_i和Y_j共享的节点数：n_ij＝|X_i∩Y_j|。令x，y为随机变量X，Y的值，联合概率P(x，y)=P(X＝x，Y=y)＝n_xy/n，相应随机变量的概率为

和 $P\left(y\right)=P(Y=y^{`})=n_y^Y/n.$ 互信息定义为：

I(X，Y)=H(X)-H(X|Y)    (24)

其中H(X)=-∑xP(x)logP(x)，H(X|Y)=-∑_x，yP(x，y)logP(x|y)，在这里，我们用标准互信息(Normalized Mutual Information)[39]作为社区分割好坏评价指标：

$I_{\mathrm{norm}}(x,y)=\frac{2I(X,Y)}{H\left(X\right)+H\left(Y\right)}---\left(25\right)$

其中0≤I_norm≤1，在实验中我们将正确的分割结果作为一种分割，算法生成的结果作为另外一种分割，如果I_norm=1说明算法结果与标准结果一致，相反I_norm=0说明算法效果与标准结果不相关。

）

下面分别对应200个节点和500个节点的网络为应用本模型，并与传统的NG模型进行比较，比较结果用图形进行表示。

从图3中可以看出，以200节点虚拟网络为例，NG算法与谱优化社区发现模型Jaccard系数与互信息结果比较。当p_out值小于0.325时，NG算法与谱优化社区发现模型社区发现结果与正确结果完全一致，当p_out值大于0.325后，NG算法与谱优化社区发现模型准确度相继下降。

从图4中可以看出，以500节点虚拟网络为例，NG算法与谱优化社区发现模型Jaccard系数与互信息结果比较。当p_out值小于0.4时，NG算法与谱优化社区发现模型社区发现结果与正确结果完全一致。

与传统的NG算法相较，本发明中复杂网络被分割为两个非连通子图前，谱优化社区发现模型每次迭代通过割边学习模型删除k条边，Lanczos算法可以被用于计算出第二小特征值λ₂对应的Fielder向量，这是一个迭代算法，每次迭代计算时间复杂度为O(n)，n为矩阵维数。算法进行m₁次迭代后终止，其中m₁<100。然后用m个元素的最小堆选出m_c个最大的元素（c是英文单词candidate的首字母，意思是候选，m_c作为整体代表候选边的数量，这是根据网络边的数量动态给出的一个常数，可取总边数的开平方），计算时间复杂度为O(log(m_c)×m)。利用Gossip算法计算代数连通性函数λ₂(L(x))的时间复杂度为O(log(n)，使用梯度下降法解优化模型，平均迭代次数为m₂。所以在初始化边中心性测度后割边学习模型执行一次操作的时间为O((m₁+log(m_c))×m+log(n)×m₂)→O(m)。当复杂网络被分割为两个非连通子图时，算法递归在每个非连通子图中执行，如果并行地在每个子图中执行割边学习模型，算法执行效率显著提升。

Claims (3)

1.一种基于谱优化的网络社区发现方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

首先，将复杂网络存储于图数据结构中，表示为复杂网络图G=(V，E)，其中V表示复杂网络节点集，E表示复杂网络边集；并且，将复杂网络图G表示为拉普拉斯矩阵L，利用拉普拉斯矩阵的第二小特征值对整个复杂网络进行二分处理，得到G1=(V，E1)和G2=(V，E2)两个非连通子网络；

然后，利用矩阵L的第二特征向量最小化RatioCut近似求得λ₂(L(x))，公式如下：

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L\right)=\underset{v\&Element;1^{\&perp;}}{\min }\left\{\frac{v^T\mathrm{Lv}}{v^{T}v}\right\}$

复杂网络图G的拉普拉斯矩阵的第二小特征值λ₂被定义为代数连通性，

通过Gossip算法近似计算代数连通性函数，有效降低时间复杂度：通过模型从复杂网络边集E中选择k条对代数连通性影响最大的边E_cut，假设E_cut∈E。被定义为：

minimizeλ₂(L(E-E_cut))

subject to |E_cut|≤k，

$E_{\mathrm{cut}}\&SubsetEqual;E,$

计算复杂网络中节点的中心性测度；根据中心性测度选出m_c个候选删除边，通过删边学习器模型删除k条边；选择k条对网络代数连通性影响最大的边，将上述优化处理更新为

${\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L^{*(k+1)}\right)={\mathrm{\&lambda;}}_2\left(L^{*\left(k\right)}\right)+{\mathrm{\&alpha;}}^k{g}_{\mathrm{ij}}^k$

其中α^k是第k步迭代次梯度方法的系数，

是次梯度；

执行谱优化社区发现算法，具体包括以下步骤：

步骤一、计算复杂网络G中每条边的edge_betweenness值，选择m_c个为候选删除边；

步骤二、运行割边学习模型，删除k条边后，计算更新后的复杂网络G^new的第二小特征值λ₂(L(G^new))，如果其值等于0则运行步骤三，反之则返回运行步骤一；

步骤三、计算分割后全局模块系数测度，如果其值上升则在该非连通子图递归运行下去，否则终止该分支算法。

2.如权利要求1所述的基于谱优化的网络社区发现方法，其特征在于，该方法在复杂社会网络被分割为两个非连通子图之前，还包括以下步骤：

先采用谱优化社区发现模型每次迭代通过割边学习模型删除k条边，再计算出第二小特征值λ₂对应的Fielder向量，该计算进行m₁次迭代后终止，其中m₁<100；然后用m个元素的最小堆选出m_c个最大的元素。

3.如权利要求1所述的基于谱优化的网络社区发现方法，其特征在于，该方法当复杂社会网络被分割为两个非连通子图时，算法递归在每个非连通子图中执行。

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