CN102706363B - 一种高精度星敏感器的精度测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种高精度星敏感器的精度测量方法，包括：将存储有星图的星敏感器固定在地球上且使星敏感器的滚转轴指向天顶；根据导航星在星敏感器坐标系下的方向矢量和在J2000.0直角坐标系下的方向矢量得到星敏感器的第一最优姿态矩阵q_i及对应星图的实际拍摄时刻；根据q_i得到第二最优姿态矩阵；根据星敏感器的实际拍摄时刻和地球的岁差、章动和自转获得与星敏感器相关的精度测量转换矩阵；利用第二最优姿态矩阵和精度测量转换矩阵得到精度测量矩阵；根据精度测量矩阵确定星敏感器的三轴指向矢量；根据三轴指向矢量得到实际拍摄时刻的星敏感器三个最优指向矢量与星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量的夹角；根据夹角得到星敏感器的滚转精度和指向精度。

Description

一种高精度星敏感器的精度测量方法

技术领域

本发明属于姿态传感器技术领域，尤其涉及一种高精度星敏感器的精度测量方法。

背景技术

星敏感器以精度高、功耗低、体积小等优点成为目前航天器最具竞争力的姿态敏感器件。目前，星敏感器的定姿精度已经可以达到10″，某些型号的星敏感器精度甚至可以达到1″水平，高精度是星敏感器得以迅速发展和广泛应用的关键因素。随着星敏感器精度越来越高，对精度表述与测量方法也提出了更高的要求。传统的测试方法主要基于星模拟器及精密转台，需要转台的位置精度比星敏感器的测量精度再高一个数量级，即达到亚角秒的量级水平，这种设备价格昂贵，操作过程复杂。同时，实验室通过转台标定时，以星模拟器作为测量基准，但实现光谱范围、星等和位置精度皆满足要求的全天球星模拟器难度很大，星模拟器与真实星空的导航星还有较大差距，还不能完全模拟真实星空情况，使实验室测试的真实性和准确性难以得到人们的信服。

因此，找到一个易实现的、能满足精度要求的高精度星敏感器的精度测量方法就显得十分重要和迫切。

发明内容

本发明旨在至少解决上述技术问题之一。

为此，本发明提供一种高精度星敏感器的精度测量方法，所述高精度星敏感器的精度测量方法能够很容易地实现对星敏感器的滚转精度和指向精度的测量并解决传统的测试方法操作复杂、需要价格昂贵的精密转台和星模拟器的问题，同时所述高精度星敏感器的精度测量方法的测量结果较转台式测量方法更具有准确性和真实性，且测试精度能满足星敏感器的要求。

根据本发明的实施例，提供了一种高精度星敏感器的精度测量方法，包括如下步骤：

1)将星敏感器固定在地球上，且使得所述星敏感器的滚转轴指向天顶，所述星敏感器中存储有星图；

2)根据所述导航星在所述星敏感器坐标系下的方向矢量和在J2000.0直角坐标系下的方向矢量(v_CRFJ2000)得到并输出所述星敏感器的第一最优姿态矩阵q_i＝[q₁ q₂ q₃ q₄]及对应星图的实际拍摄时刻(T+Δt_i)；

3)根据所述第一最优姿态矩阵q_i得到第二最优姿态矩阵A_q(T+Δt_i)：

$A_q(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=\left[\begin{array}{ccc}{q}_1^2-q_2^2-q_3^2+q_4^2& 2(q_1{q}_2+q_3{q}_4)& 2(q_1{q}_3-q_2{q}_4)\\ 2(q_1{q}_2-q_3{q}_4)& -q_1^2+q_2^2-q_3^2+q_4^2& 2(q_2{q}_3+q_1{q}_4)\\ 2(q_1{q}_3+q_2{q}_4)& 2(q_2{q}_3-q_1{q}_4)& -q_1^2-q_2^2+q_3^2+q_4^2\end{array}\right];$

4)根据所述星敏感器的实际拍摄时刻(T+Δt_i)和地球的岁差、章动和自转，获得与星敏感器相关联的精度测量转换矩阵

5)利用所述第二最优姿态矩阵A_q(T+Δt_i)和所述精度测量转换矩阵得到精度测量矩阵 $A_{\mathrm{test}}(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=A_q(T+{\mathrm{\Δt}}_i)\·R_{T+{\mathrm{\Δt}}_i};$

6)根据所述精度测量矩阵(A_test(T+Δt_i))确定所述星敏感器的三轴指向矢量p(T+Δt_i)：

$p(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=A_{\mathrm{test}}{(T+{\mathrm{\Δt}}_i)}^T\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$

7)根据所述星敏感器三轴指向矢量p(T+Δt_i)得到实际拍摄时刻(T+Δt_i)的所述星敏感器三个最优指向矢量与所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量各自的夹角(α_i，β_i，ε_i)；

8)将α_i，β_i，ε_i统一用η_i表示，将α_i，β_i，ε_i分别代入下式中η_i可得σ_X，σ_Y，σ_Z，获得所述星敏感器的滚转精度为3σ_X或3σ_Y，指向精度为3σ_Z，其中

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\underset{0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_i^2}{n-1}},$

n表示所述星敏感器的总采样次数。

在本发明中，可以用3σ来表示该三轴精度，即滚转精度为3σ_X(或3σ_Y)，指向精度为3σ_Z。

根据本发明实施例的高精度星敏感器的精度测量方法，能够很容易地实现对星敏感器的滚转精度和指向精度的测量并解决传统的测试方法操作复杂、需要价格昂贵的精密转台和星模拟器的困扰，同时测量结果较转台式测量方法更具有准确性和真实性，且测试精度能满足星敏感器的要求。

另外，根据本发明上述实施例的高精度星敏感器的精度测量方法，还可以具有如下附加的技术特征：

根据本发明的一个实施例，所述步骤4)进一步包括：

(41)得到J2000.0直角坐标系转换为历元黄道坐标系的转换矩阵R_ERF(-θ₁)；

(42)得到历元黄道坐标系转换为当前时刻(T)下的天球坐标系的转换矩阵R_CRFT(-θ₂)；

(43)得到当前时刻(T)天球坐标系转换为实际拍摄时刻(T+Δt_i)的地固坐标系的转换矩阵R_TRF(-θ₃)；

(44)得到所述星敏感器精度测量转换矩阵

$R_{T+{\mathrm{\Δt}}_i}=R_{\mathrm{ERF}}(-{\mathrm{\θ}}_1)\·R_{\mathrm{CRFT}}(-{\mathrm{\θ}}_2)\·R_{\mathrm{TRF}}(-{\mathrm{\θ}}_3)$

$=R_{\mathrm{ERF}}{\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}^{-1}\·R_{\mathrm{CRFT}}{\left({\mathrm{\θ}}_2\right)}^{-1}\·R_{\mathrm{TRF}}{\left({\mathrm{\θ}}_3\right)}^{-1}$

$={(R_{\mathrm{TRF}}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\·R_{\mathrm{CRFT}}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\·R_{\mathrm{ERF}}\left({\mathrm{\θ}}_1\right))}^{-1}.$

根据本发明的一个实施例，所述步骤(41)中，历元黄道坐标系(X_ERF，Y_ERF，Z_ERF)基于所述J2000.0直角坐标系(X_CRFJ2000，Y_CRFJ2000，Z_CRFJ2000)且将所述J2000.0直角坐标系绕着所述J2000.0直角坐标系的X轴逆时针方向转动23°26′21″的变换之后获得：

(X_ERF，Y_ERF，Z_FRF)＝(X_CRFJ2000，Y_CRFJ2000，Z_CRFJ2000)·R_X(-23°26′21″)，

所以，R_ERF(-θ₁)＝R_X(-23°26′21″)，其中Rx为坐标变换基。

根据本发明的一个实施例，所述步骤(42)中，历元黄道坐标系(X_ERF，Y_ERF，Z_ERF)转变成当前时刻(T)下的天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)通过下述步骤获得：

将历元黄道坐标系(X_ERF，Y_ERF，Z_FRF)绕其Z轴顺时针方向转动50.29″×T；

接着绕第一次转动后的坐标系的X轴顺时针方向转动23°26′21″；

接着绕第二次旋转后的坐标系的X轴逆时针方向旋转ε_A；

接着绕第三次旋转后的坐标系的Z轴顺时针方向旋转以及

接着绕第四次旋转后的坐标系的X轴顺时针方向旋转ε_A+Δε，以获得含有章动项的当前时刻(T)的天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)，其中Δε分别表示黄经章动和斜章动。

根据本发明的一个实施例，所述天球坐标系架构(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)通过下述公式获得：

其中，R_X、R_Z为坐标变换基，所以

根据本发明的一个实施例，根据IAU2000B章动模型，ε_A与黄经章动和斜章动(Δε)分别为：

ε_A＝ε₀-46.840 24″t-0.000 59″t²+0.001 813″t³，

$\mathrm{\Δ\ϵ}={\mathrm{\Δ\ϵ}}_P+\underset{i=1}{\overset{77}{\mathrm{\Σ}}}[(Q_{i4}+Q_{i5}t)\sin {\mathrm{\γ}}_i+Q_{i6}\cos {\mathrm{\γ}}_i]{,}_{}$

其中，Δε_p＝0.000 388″，ε₀＝84 381.448″，t为从J2000.0开始的儒略世纪数并基于当前时刻(T)获得；

幅角γ_i为幅角的线性组合：

${\mathrm{\γ}}_i=\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{\mathrm{ik}}{F}_k=$

$n_{i1}l+n_{i2}{l}^{\′}+n_{i3}F+n_{i4}D+n_{i5}\mathrm{\Ω}$

式中，n_ik为整数，F_k为与太阳月亮位置有关的Delaunay幅角。

根据本发明的一个实施例，所述步骤(43)中，当前时刻(T)天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)转到实际拍摄时刻(T+Δt_i)的地固坐标系(X_TRF，Y_TRF，Z_TRF)的转换通过将所述天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)绕天球坐标系的Z轴以Ω＝7.292115×10^-5rad/s逆时针旋转获得：

(X_TRF，Y_TRF，Z_TRF)＝(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)·R_Z(-ΩΔt)

所以，R_TRF(-θ₃)＝R_Z(-ΩΔt)。

根据本发明的一个实施例，所述步骤7)进一步包括：

(71)将获得的所述星敏感器三轴指向矢量p(T+Δt_i)用行向量表示为：

p(T+Δt_i)＝[px(T+Δt_i)，py(T+Δt_i)，pz(T+Δt_i)]

并对每一个行向量进行归一化；

(72)根据所述星敏感器三轴指向矢量的行向量获得所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴的最优矢量p_opt(T+Δt_i)，使p_opt(T+Δt_i)的三个行向量[px_opt(T+Δt_i)，py_opt(T+Δt_i)，pz_opt(T+Δt_i)]分别与不同实际拍摄时刻(T+Δt_i)的[px(T+Δt_i)，py(T+Δt_i)，pz(T+Δt_i)]向量夹角的平方和最小，并对三个行向量进行归一化；

(73)根据所述星敏感器三轴最优指向矢量p_opt(T+Δt_i)和不同实际拍摄时刻(T+Δt_i)的三轴指向矢量p(T+Δt_i)，得到余弦矩阵C：

$C=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{33}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]=p_{\mathrm{opt}}{(T+{\mathrm{\Δt}}_i)}^T\·p(T+{\mathrm{\Δt}}_i);$

(74)根据余弦矩阵C，进一步获得实际拍摄时刻(T+Δt_i)的所述星敏感器三个最优指向矢量与所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量各自的夹角(α_i，β_i，ε_i)：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\ϵ}}_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\arccos \left(\right|c_{11}\left|\right)\\ \arccos \left(\right|c_{22}\left|\right)\\ \arccos \left(\right|c_{33}\left|\right)\end{array}\right]$

其中(α_i，β_i，ε_i)均在的范围内。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1是恒星在天球球面坐标系和直角坐标系中的坐标矢量示意图；

图2是根据本发明实施例的星敏感器的成像原理图；

图3为地球在天球系统中运动的主要坐标系参数的示意图；

图4显示了根据本发明实施例的高精度星敏感器的精度测量方法的天球赤道坐标系、历元天球黄道坐标系、地固坐标系和星敏感器坐标系的示意图；

图5是本发明实施例的星敏感器的工作原理图；

图6显示了根据本发明实施例的高精度星敏感器的精度测量方法的流程图；

图7显示了本发明实施例中的星敏感器的滚转精度和指向精度的示意图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

需要说明的是，此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个该特征。进一步地，在本发明的描述中，除非另有说明，“多个”的含义是两个或两个以上。

为了详细地阐述本发明的高精度星敏感器的精度测量方法，下面将首先介绍根据本发明的一个实施例的星敏感器的工作原理。

星敏感器测量原理

星敏感器姿态通常指的是相对某一指定坐标系的指向，最常用的是采用相对于天球惯性坐标系的指向。星敏感器依靠测量航天器坐标系中导航星的指向来确定星敏感器所在的航天器相对于惯性空间的姿态。在工作状态下，首先测量到导航星在星敏感器坐标系中的矢量，然后通过已经获得的星图来进行识别得到该导航星在惯性坐标系下相对应的矢量。通过比较两个坐标系统中相应导航星的矢量关系，就可以得到从惯性坐标系到航天器坐标系的变换矩阵，即航天器在惯性坐标系中的姿态。

恒星是星敏感器进行工作的参考基准。经过多年大量的天文观测，每颗恒星都在天球1′中具有各自相对固定的位置。图1为恒星在天球球面坐标系和直角坐标系中的坐标矢量示意图。如图1中所示，以天球球面坐标的赤经和赤纬来表示，该恒星的在天球球面坐标系中的坐标可以记作(α，δ)。根据直角坐标与球面坐标的关系，可以得到每颗恒星在天球直角坐标系下的方向矢量为：

$v=\left[\begin{array}{c}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\δ}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\δ}\\ \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right].$

从星库中选出满足星敏感器成像条件的恒星组成导航星，并由此构成导航星表。根据本发明的一个实施例，该导航星表可以在制造的过程中一次性地固化到星敏感器的存储器中。

当星敏感器1处于天球坐标系中的某一姿态矩阵为A时，利用星敏感器的小孔成像原理，可以通过星敏感器1的镜头2测量得到导航星s_i(其对应天球坐标系下的方向矢量为v_i)在星敏感器坐标系内的方向矢量为w_i，如图2中所示。

如图2中所示，星敏感器1的滚转轴中心在探测器上的位置(x₀，y₀)，导航星s_i在星敏感器1的探测器3上的位置坐标为(x_i，y_i)，星敏感器的焦距为f，则可以得到w_i矢量的表达式如下：

$w_i=\frac{1}{\sqrt{{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+f^2}}\left[\begin{array}{c}-(x_i-x_0)\\ -(y_i-y_0)\\ f\end{array}\right]$

在理想情况下具有如下关系：

w_i＝Av_i

其中：A为星敏感器姿态矩阵。

当观测量多于两颗星时，可以直接通过例如QUEST的方法对星敏感器的姿态矩阵A进行求解，即使得下面的目标函数J(A_q)达到最小值来求出最优姿态矩阵A_q：

$J\left(A_q\right)=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i{\left|\right|w_i-A_q{v}_i\left|\right|}^2$

其中，λ_i表示加权系数，满足∑λ_i＝1。

这样，可以计算获得星敏感器在惯性空间中的最优姿态矩阵A_q。

由此可以看出，在真实的星敏感器测量系统中需要高精度的导航星，同时为了保证星敏感器视场的覆盖性，需要转动系统来实现导航星出现在视场的不同位置上，为此传统的标定和测试方法通过单星模拟器以及高精度的转台来实现星点在不同视场下的成像，进而实现系统的标定和测试。为了更加真实和全面的覆盖整个系统，根据本发明的一个实施例，发明人利用了星敏感器真实星空测量结果和地球自转的模式相结合，从而使得用于星敏感器的精度测量更加真实和准确。

下面将详细描述地球的运动，以用于根据本发明的星敏感器的高精度测量和分析。

地球的运动规律

本发明的测量方法是将地球的精密运动作为星敏感器的精度测量基准，对于地球在惯性空间的运动需要严格的分析和计算。图3为地球在天球坐标系统中运动的主要坐标系参数。

如图3所示，以地球为中心作任意半径的一假想大球面称“天球”，地球赤道平面与天球相交的圆称为“天赤道”，地球绕日公转的轨道平面与天球相交的圆称为“黄道”。天赤道与黄道相交于两点，太阳视行从天赤道以南进入天赤道以北与天赤道的交点叫春分点。太阳视行从天赤道以北进入天赤道以南与天赤道的交点叫秋分点。太阳从春分点出发，沿黄道运行一周回到春分点称为一个“回归年”。

如果地轴不改变方向，二分点不动，回归年与恒星年相等。但地轴绕黄极缓慢进动，赤道面与黄道面的交线也以同一周期在黄道面上旋转，如图3所示，天北极以23°26′21″为半径按顺时针方向绕黄北极转动。由于地球的公转方向与地轴的进动方向相反，使春分点每年产生一个微小的西移，天文学上称之为岁差。现代天文学的测量和计算结果表明，地球每年的岁差为50.29″，这样大约25765年北天极绕黄北极旋转一周。

与陀螺的运动模型相似，地球自转轴在进行进动的同时，也在进行着章动，其形成原因较为复杂，笼统的认为是地球附近的其他行星和月亮等对于地球的引力造成的，现代天文学测量结果显示，章动的周期为18.6年(6798天)，在黄道上的黄经章动分量是17.24″，垂直于黄道的斜章动是9.21″。因而使得天体的坐标如赤经、赤纬等都发生变化。

地球的自转轴还存在着极移等现象，但是其周期性的变化都在0.1″以下，因此相对于星敏感器的精度测试可以忽略不计。

地球在惯性空间的运动包括本身围绕地轴的自转外，还主要包括地轴围绕黄北极的进动，地轴的章动和极移。地球围绕太阳的公转不产生地轴在惯性空间的变化，对星敏感器的测试不会产生影响。

系统坐标系的建立

下面将对本发明中所使用的天球赤道坐标系、历元天球黄道坐标系、地固坐标系和星敏感器坐标系这四个坐标系系统进行详细说明。

1)天球赤道坐标系：使用CRF(Celestial Reference Frame)表示，考虑到岁差和章动的影响，天球赤道坐标系是与时间相关的。为系统分析方便，国际上建立了J2000.0天球赤道坐标系，简称J2000.0直角坐标系，使用符号CRFJ2000表示，如图4中的CRFJ2000坐标系所示。J2000.0直角坐标系是在公元2000年1月1日地球力学时12时建立的天球赤道坐标系，Z轴指向地球的北极，X轴指向建立时刻的春分点，Y轴与X轴、Z轴满足右手定则。星敏感器有关导航星的信息都是基于此而建立。在星敏感器中的导航星位置都用此坐标系表示。由于岁差和章动等影响，不同时刻的天球坐标系会发生相应的旋转。某一时刻的天球坐标系需要在J2000.0的基础上消除岁差和章动的影响才可获得，使用符号CRFT表示。

2)历元天球黄道坐标系：用ERF(Ecliptic Reference Frame)来表示，如图4中的X_ERF、Y_ERF和Z_FRF所标示。定义建立在公元2000年1月1日地球力学时12时，并保持固定不变。地球绕太阳的公转轨道被称之为黄道，以地心为中心，以指向建立时刻的春分点为X轴，以垂直于黄道平面为Z轴，Y轴与X轴、Z轴满足右手定则，J2000坐标系的X轴与黄道坐标系的X轴一致，历元天球黄道坐标系的Z轴与J2000坐标系的Z轴夹角为23°26′21″，天球赤道坐标系绕着历元天球黄道坐标系的Z轴以每年50.29″的速度旋转，称之为岁差。

3)地固坐标系：地固坐标系的坐标轴定义和天球坐标系一致，但区别是，随着地球运动，地固坐标系围绕着地球的Z轴(即天球坐标系的Z轴)作近似匀速转动，角速度为Ω＝7.292115×10^-5rad/s。地固坐标系使用如图4中所示的TRF(Terrestrial Reference Frame)来表示。

4)星敏感器坐标系：星敏感器坐标系固连于星敏感器上，并与之一同运动。其中心为星敏感器的探测器中心。X轴和Y轴分别平行于探测器的行和列，Z轴与另外两轴满足右手定则，用SCF表示(Star tracker Coordinate Frame)，如图4中的X_SCF、Y_SCF和Z_SCF所示。在使用时，将星敏感器与地球固定在一起，随着地固坐标系一起运动。

星敏感器所测量的导航星都是恒星，距离非常遥远，因此上述的4个坐标系统的坐标原点都可以认为是在同一点，坐标系之间的变换就只有旋转变换了。旋转变换的基本方法如下：

设(X，Y，Z)为原坐标系，(X′，Y′，Z′)为发生旋转后的坐标系，则

(X′，Y′，Z′)＝(X，Y，Z)·R(-θ)

其中坐标系分别绕X轴、Y轴、Z轴旋转的坐标变换基为：

$R_X\left(\mathrm{\θ}\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}\\ 0& -\sin & \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right],$

$R_Y\left(\mathrm{\θ}\right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& 0& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& 1& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& 0& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right],$

$R_Z\left(\mathrm{\θ}\right)=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

下面将参照附图来详细描述本发明的星敏感器、高精度星敏感器的精度测量方法。

根据本发明的星敏感器1，该星敏感器1可以具有姿态四元数和对应星图曝光时间参数输出功能，如图5所示，以方便在使用星敏感器1的过程中利用本发明的方法和系统来对所述星敏感器1的精度进行测量。

根据本发明的星敏感器1，该星敏感器1可以包括：存储器(未示出)，所述存储器中存储有由导航星所构成的导航星表。为方便实施本发明，所述导航星表可以基于J2000.0直角坐标系及测试开始时间相对于J2000.0时刻的当前时刻(T)所形成，考虑与导航星相关联的导航星视运动参数后，导航星在J2000.0直角坐标系下的方向矢量(v_CRFJ2000)为：

$v_{\mathrm{CRFJ}2000}=\left[\begin{array}{c}\cos (\mathrm{\α}+{\mathrm{\α}}^{\′}T)\cos (\mathrm{\δ}+{\mathrm{\δ}}^{\′}T)\\ \sin (\mathrm{\α}+{\mathrm{\α}}^{\′}T)\cos (\mathrm{\δ}+{\mathrm{\δ}}^{\′}T)\\ \sin (\mathrm{\δ}+{\mathrm{\δ}}^{\′}T)\end{array}\right].$

根据本发明的一个实施例，在制造的过程中，出于后续方便的考虑，所述基于J2000.0直角坐标系并考虑导航星视运动参数后的导航星表可以一次固化在所述存储器中。

下面将参照图6来说明高精度星敏感器的精度测量方法。如图6中所示，该星敏感器精度测量方法可以包括如下步骤：

1)将星敏感器固定在地球上，且使得所述星敏感器的滚转轴指向天顶，所述星敏感器中存储有星图；

2)根据所述导航星在所述星敏感器坐标系下的方向矢量和在J2000.0直角坐标系下的方向矢量(v_CRFJ2000)得到并输出所述星敏感器的第一最优姿态矩阵q_i＝[q₁ q₂ q₃ q₄]及对应星图的实际拍摄时刻(T+Δt_i)；

3)根据所述第一最优姿态矩阵q_i得到第二最优姿态矩阵A_q(T+Δt_i)：

$A_q(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=\left[\begin{array}{ccc}{q}_1^2-q_2^2-q_3^2+q_4^2& 2(q_1{q}_2+q_3{q}_4)& 2(q_1{q}_3-q_2{q}_4)\\ 2(q_1{q}_2-q_3{q}_4)& -q_1^2+q_2^2-q_3^2+q_4^2& 2(q_2{q}_3+q_1{q}_4)\\ 2(q_1{q}_3+q_2{q}_4)& 2(q_2{q}_3-q_1{q}_4)& -q_1^2-q_2^2+q_3^2+q_4^2\end{array}\right];$

4)根据所述星敏感器的实际拍摄时刻(T+Δt_i)和地球的岁差、章动和自转，获得与星敏感器相关联的精度测量转换矩阵

5)利用所述第二最优姿态矩阵A_q(T+Δt_i)和所述精度测量转换矩阵得到精度测量矩阵 $A_{\mathrm{test}}(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=A_q(T+{\mathrm{\Δt}}_i)\·R_{T+{\mathrm{\Δt}}_i};$

6)根据所述精度测量矩阵(A_test(T+Δt_i))确定所述星敏感器的三轴指向矢量p(T+Δt_i)：

$p(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=A_{\mathrm{test}}{(T+{\mathrm{\Δt}}_i)}^T\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$

7)根据所述星敏感器三轴指向矢量p(T+Δt_i)得到实际拍摄时刻(T+Δt_i)的所述星敏感器三个最优指向矢量与所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量各自的夹角(α_i，β_i，ε_i)；

8)将α_i，β_i，ε_i统一用η_i表示，将α_i，β_i，ε_i分别代入下式中η_i可得σ_X，σ_Y，σ_Z，获得所述星敏感器的滚转精度为3σ_X或3σ_Y，指向精度为3σ_Z，其中

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\underset{0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_i^2}{n-1}},$

n表示所述星敏感器的总采样次数。

根据本发明实施例的高精度星敏感器的精度测量方法，能够很容易地实现对星敏感器的滚转精度和指向精度的测量并解决传统的测试方法操作复杂、需要价格昂贵的精密转台和星模拟器的困扰，同时测量结果较转台式测量方法更具有准确性和真实性，且测试精度能满足星敏感器的要求。

在本发明中，可以用3σ来表示该三轴精度，即滚转精度为3σ_X或3σ_Y，指向精度为3σ_Z。并且，在步骤(S1)中，通过将星敏感器固定在地球上，为尽量减小大气等影响，将星敏感器正对天顶，这样星敏感器就可以随着地球的运动输出相应的姿态和对应星图的曝光时间。星敏感器的精度测试问题就转换为星敏感器的测量结果与地球的转动进行精确比对的问题。

下面将详细描述上述星敏感器的精度测量方法中的各步骤。

根据本发明的一个实施例，所述步骤4)进一步包括：

(41)得到J2000.0直角坐标系转换为历元黄道坐标系的转换矩阵R_ERF(-θ₁)；

(42)得到历元黄道坐标系转换为当前时刻(T)下的天球坐标系的转换矩阵R_CRFT(-θ₂)；

(43)得到当前时刻(T)天球坐标系转换为实际拍摄时刻(T+Δt_i)的地固坐标系的转换矩阵R_TRF(-θ₃)；

(44)得到所述星敏感器精度测量转换矩阵

$R_{T+{\mathrm{\Δt}}_i}=R_{\mathrm{ERF}}(-{\mathrm{\θ}}_1)\·R_{\mathrm{CRFT}}(-{\mathrm{\θ}}_2)\·R_{\mathrm{TRF}}(-{\mathrm{\θ}}_3)$

$=R_{\mathrm{ERF}}{\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}^{-1}\·R_{\mathrm{CRFT}}{\left({\mathrm{\θ}}_2\right)}^{-1}\·R_{\mathrm{TRF}}{\left({\mathrm{\θ}}_3\right)}^{-1}$

$={(R_{\mathrm{TRF}}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\·R_{\mathrm{CRFT}}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\·R_{\mathrm{ERF}}\left({\mathrm{\θ}}_1\right))}^{-1}.$

根据本发明的一个实施例，所述步骤(41)中，历元黄道坐标系(X_ERF，Y_ERF，Z_FRF)基于所述J2000.0直角坐标系(X_CRFJ2000，Y_CRFJ2000，Z_CRFJ2000)且将所述J2000.0直角坐标系绕着所述J2000.0直角坐标系的X轴逆时针方向转动23°26′21″的变换之后获得：

(X_ERF，Y_ERF，Z_FRF)＝(X_CRFJ2000，Y_CRFJ2000，Z_CRFJ2000)·R_X(-23°26′21″)，

所以，R_ERF(-θ₁)＝R_X(-23°26′21″)，其中Rx为坐标变换基。

根据本发明的一个实施例，所述步骤(42)中，历元黄道坐标系(X_ERF，Y_ERF，Z_FRF)转变成当前时刻(T)下的天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)通过下述步骤获得：

将历元黄道坐标系(X_ERF，Y_ERF，Z_ERF)绕其Z轴顺时针方向转动50.29″×T；

接着绕第一次转动后的坐标系的X轴顺时针方向转动23°26′21″；

接着绕第二次旋转后的坐标系的X轴逆时针方向旋转ε_A；

接着绕第三次旋转后的坐标系的Z轴顺时针方向旋转以及

接着绕第四次旋转后的坐标系的X轴顺时针方向旋转ε_A+Δε，以获得含有章动项的当前时刻(T)的天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)，其中Δε分别表示黄经章动和斜章动。

根据本发明的一个实施例，所述天球坐标系架构(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)通过下述公式获得：

其中，R_X、R_Z为坐标变换基，所以

根据本发明的一个实施例，根据IAU2000B章动模型，ε_A与黄经章动和斜章动(Δε)分别为：

ε_A＝ε₀-46.840 24″t-0.000 59″t²+0.001 813″t³，

$\mathrm{\Δ\ϵ}={\mathrm{\Δ\ϵ}}_P+\underset{i=1}{\overset{77}{\mathrm{\Σ}}}[(Q_{i4}+Q_{i5}t)\sin {\mathrm{\γ}}_i+Q_{i6}\cos {\mathrm{\γ}}_i]{,}_{}$

其中，Δε_p＝0.000 388″，ε₀＝84 381.448″，t为从J2000.0开始的儒略世纪数并基于当前时刻(T)获得；

幅角γ_i为幅角的线性组合：

${\mathrm{\γ}}_i=\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{\mathrm{ik}}{F}_k=$

$n_{i1}l+n_{i2}{l}^{\′}+n_{i3}F+n_{i4}D+n_{i5}\mathrm{\Ω}$

式中，n_ik为整数，F_k为与太阳月亮位置有关的Delaunay幅角。F_k具体式为：

F₁＝l＝134.963 402 51°+1 717 915 923.217 8″t，

F₂＝l′＝357.529 109 18°+129 596 581.048 1″t，

F₃＝F＝93.272 090 62°+1 739 527 262.847 8″t，

F₄＝D＝297.850 195 47°+1 602 961 601.209 0″t，

F₅＝Ω＝125.044 555 01°-6 962 890.543 1″t。

进一步地，章动表达式中的n_ik及Q_i1-Q_i6的前10项分别在下述的表1和表2中列出。其余的参数取值可以在国际地球自转和参考系服务(International Earth Rotation andReference Systems Service)的网站：http://www.iers.org中查到。

章动表达式中的系数可以从《天球参考系变换及其应用》中查到(出版社：科学出版社；作者：李广宇；ISBN：9787030285102；出版年月：2010.08)。最终得到的系数的前10项如下表1和表2所示。

表1：章动量级数前10项幅角的系数

表2：章动量级数前10项的系数

根据本发明的一个实施例，所述步骤(43)中，当前时刻(T)天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)转到实际拍摄时刻(T+Δt_i)的地固坐标系(X_TRF，Y_TRF，Z_TRF)的转换通过将所述天球坐标系(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)绕天球坐标系的Z轴以Ω＝7.292115×10^-5rad/s逆时针旋转获得：

(X_TRF，Y_TRF，Z_TRF)＝(X_CRFT，Y_CRFT，Z_CRFT)·R_Z(-ΩΔt)

所以，R_TRF(-θ₃)＝R_Z(-ΩΔt)。

根据本发明的一个实施例，所述步骤7)进一步包括：

(71)将获得的所述星敏感器三轴指向矢量p(T+Δt_i)用行向量表示为：

p(T+Δt_i)＝[px(T+Δt_i)，py(T+Δt_i)，pz(T+Δt_i)]

并对每一个行向量进行归一化；

(72)根据所述星敏感器三轴指向矢量的行向量获得所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴的最优矢量p_opt(T+Δt_i)，使p_opt(T+Δt_i)的三个行向量[px_opt(T+Δt_i)，py_opt(T+Δt_i)，pz_opt(T+Δt_i)]分别与不同实际拍摄时刻(T+Δt_i)的[px(T+Δt_i)，py(T+Δt_i)，pz(T+Δt_i)]向量夹角的平方和最小，并对三个行向量进行归一化；

(73)根据所述星敏感器三轴最优指向矢量p_opt(T+Δt_i)和不同实际拍摄时刻(T+Δt_i)的三轴指向矢量p(T+Δt_i)，得到余弦矩阵C：

$C=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{33}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]=p_{\mathrm{opt}}{(T+{\mathrm{\Δt}}_i)}^T\·p(T+{\mathrm{\Δt}}_i);$

(74)根据余弦矩阵C，进一步获得实际拍摄时刻(T+Δt_i)的所述星敏感器三个最优指向矢量与所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量各自的夹角(α_i，β_i，ε_i)：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\ϵ}}_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\arccos \left(\right|c_{11}\left|\right)\\ \arccos \left(\right|c_{22}\left|\right)\\ \arccos \left(\right|c_{33}\left|\right)\end{array}\right]$

其中(α_i，β_i，ε_i)均在的范围内。

根据本发明的一个实施例，在所述步骤8)中，星敏感器滚转精度表示为3σ_X(或3σ_Y)，指向精度表示为3σ_Z。图7显示了滚转精度和指向精度的示意图，在图7中，星敏感器的滚转轴13发生在星敏感器1随着地球4的自转而测量星空的过程中会发生角度的变化，并且这个角度变化之间的夹角(即星敏感器1的滚转轴指向矢量之间的夹角)可以用作表示该星敏感器的指向精度。而星敏感器1的11轴或12轴所发生的角度变化可以用作表示该星敏感器1的滚转精度。

在本发明的高精度星敏感器的精度测量方法中，通过利用地球本身自转的精密性，将星敏感器固连于地球，使星敏感器的滚转轴正对天顶进行观测。根据坐标系变化和实时检测的结果，得到星敏感器三轴的指向矢量变化，利用统计学原理得到星敏感器的滚转精度和指向精度，解决了传统的测试方法中操作复杂、需要价格昂贵的精密转台和星模拟器的困扰，同时测量结果较转台式测量方法更具有准确性，且能够同时获得星敏感器的滚转精度和指向精度，更具有真实性，测试精度满足要求、过程简便、易于实现。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (8)

1.一种高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)将星敏感器固定在地球上，且使得所述星敏感器的滚转轴指向天顶，所述星敏感器中存储有星图；

2)根据导航星在所述星敏感器坐标系下的方向矢量和在J2000.0直角坐标系下的方向矢量(v_CRFJ2000)得到并输出所述星敏感器的第一最优姿态矩阵q_i＝[q₁ q₂ q₃ q₄]及对应星图的实际拍摄时刻(T+Δt_i)；

3)根据所述第一最优姿态矩阵q_i得到第二最优姿态矩阵A_q(T+Δt_i)：

$A_q(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=\left[\begin{array}{ccc}{q}_1^2-q_2^3-q_3^3+q_4^3& 2(q_1{q}_2+q_3{q}_4)& 2(q_1{q}_3-q_2{q}_4)\\ 2(q_1{q}_2-q_3{q}_4)& -q_1^2+q_2^2-q_3^2+q_4^2& 2(q_2{q}_3+q_1{q}_4)\\ 2(q_1{q}_3+q_2{q}_4)& 2(q_2{q}_3-q_1{q}_4)& -q_1^2-q_2^2+q_3^2+q_4^2\end{array}\right];$

4)根据所述星敏感器的实际拍摄时刻(T+Δt_i)和地球的岁差、章动和自转，获得与星敏感器相关联的精度测量转换矩阵

5)利用所述第二最优姿态矩阵A_q(T+Δt_i)和所述精度测量转换矩阵得到精度测量矩阵 $A_{\mathrm{test}}(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=A_q(T+{\mathrm{\Δt}}_i)\·R_{T+{\mathrm{\Δt}}_i};$

6)根据所述精度测量矩阵(A_test(T+Δt_i))确定所述星敏感器的三轴指向矢量p(T+Δt_i)：

$p(T+{\mathrm{\Δt}}_i)=A_{\mathrm{test}}{(T+{\mathrm{\Δt}}_i)}^T\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right];$

7)根据所述星敏感器三轴指向矢量p(T+Δt_i)得到实际拍摄时刻(T+Δt_i)的所述星敏感器三个最优指向矢量与所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量各自的夹角(α_i，β_i，ε_i)；

8)将α_i,β_i,ε_i统一用η_i表示，将α_i,β_i,ε_i分别代入下式中η_i可得σ_X,σ_Y,σ_Z，获得所述星敏感器的滚转精度为3σ_X或3σ_Y，指向精度为3σ_Z，其中

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\frac{\underset{0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_i^2}{n-1}},$

n表示所述星敏感器的总采样次数。

2.根据权利要求1所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，所述步骤4)进一步包括：

(41)得到J2000.0直角坐标系转换为历元黄道坐标系的转换矩阵R_ERF(-θ₁)；

(42)得到历元黄道坐标系转换为当前时刻(T)下的天球坐标系的转换矩阵R_CRFT(-θ₂)；

(43)得到当前时刻(T)天球坐标系转换为实际拍摄时刻(T+Δt_i)的地固坐标系的转换矩阵R_TRF(-θ₃)；

(44)得到所述星敏感器精度测量转换矩阵

$\begin{array}{c}{R}_{T+{\mathrm{\Δt}}_i}=R_{\mathrm{ERF}}(-{\mathrm{\θ}}_1)\·R_{\mathrm{CRFT}}(-{\mathrm{\θ}}_2)\·R_{\mathrm{TRF}}(-{\mathrm{\θ}}_3)\\ =R_{\mathrm{ERF}}{\left({\mathrm{\θ}}_1\right)}^{-1}\·R_{\mathrm{CRFT}}{\left({\mathrm{\θ}}_2\right)}^{-1}\·R_{\mathrm{TRF}}{\left({\mathrm{\θ}}_3\right)}^{-1}\\ ={(R_{\mathrm{TRF}}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\·R_{\mathrm{CRFT}}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\·R_{\mathrm{ERF}}\left({\mathrm{\θ}}_1\right))}^{-1}\end{array}$

3.根据权利要求2所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，所述步骤(41)中,历元黄道坐标系(X_ERF,Y_ERF,Z_ERF)基于所述J2000.0直角坐标系(X_CRFJ2000,Y_CRFJ2000,Z_CRFJ2000)且将所述J2000.0直角坐标系绕着所述J2000.0直角坐标系的X轴逆时针方向转动23°26′21″的变换之后获得：

(X_ERF,Y_ERF,Z_ERF)＝(X_CRFJ2000,Y_CRFJ2000,Z_CRFJ2000)·R_X(-23°26'21″)，

所以，R_ERF(-θ₁)＝R_X(-23°26'21″)，其中Rx为坐标变换基。

4.根据权利要求2所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，所述步骤(42)中,历元黄道坐标系(X_ERF,Y_ERF,Z_ERF)转变成当前时刻(T)下的天球坐标系(X_CRFT,Y_CRFT,Z_CRFT)通过下述步骤获得：

将历元黄道坐标系(X_ERF,Y_ERF,Z_ERF)绕其Z轴顺时针方向转动50.29″×T；

接着绕第一次转动后的坐标系的X轴顺时针方向转动23°26′21″；

接着绕第二次旋转后的坐标系的X轴逆时针方向旋转ε_A；

接着绕第三次旋转后的坐标系的Z轴顺时针方向旋转以及

接着绕第四次旋转后的坐标系的X轴顺时针方向旋转ε_A+Δε，以获得含有章动项的当前时刻(T)的天球坐标系(X_CRFT,Y_CRFT,Z_CRFT)，其中Δε分别表示黄经章动和斜章动。

5.根据权利要求4所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，所述天球坐标系架构(X_CRFT,Y_CRFT,Z_CRFT)通过下述公式获得：

其中，R_X、R_Z为坐标变换基，所以

6.根据权利要求5所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，根据IAU2000B章动模型，ε_A与黄经章动和斜章动(Δε)分别为：

ε_A＝ε₀-46.84024″t-0.00059″t²+0.001813″t³,

$\mathrm{\Δ\ϵ}={\mathrm{\Δ\ϵ}}_P+\underset{i=1}{\overset{77}{\mathrm{\Σ}}}[(Q_{i4}+Q_{i5}t)\sin {\mathrm{\γ}}_i+Q_{i6}\cos {\mathrm{\γ}}_i],$

其中，Δε_p＝0.000388″，ε₀＝84381.448"，t为从J2000.0开始的儒略世纪数并基于当前时刻(T)获得；Q_i1-Q_i6为章动量级数前6项的系数，其中i为项数；

幅角γ_i为幅角的线性组合：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_i=\underset{k=1}{\overset{5}{\mathrm{\Σ}}}{n}_{\mathrm{ik}}{F}_k=\\ n_{i1}l+n_{i2}{l}^{\′}+n_{i3}F+n_{i4}D+n_{i5}\mathrm{\Ω}\end{array}$

式中，n_ik为整数，F_k为与太阳月亮位置有关的Delaunay幅角，F_k具体式为：

F₁＝l＝134.96340251°+1717915923.2178″t,

F₂＝l'＝357.52910918°+129596581.0481″t,

F₃＝F＝93.27209062°+1739527262.8478″t,

F₄＝D＝297.85019547°+1602961601.2090″t,

F₅＝Ω＝125.04455501°-6962890.5431″t。

7.根据权利要求2所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，所述步骤(43)中,当前时刻(T)天球坐标系(X_CRFT,Y_CRFT,Z_CRFT)转到实际拍摄时刻(T+Δt_i)的地固坐标系(X_TRF,Y_TRF,Z_TRF)的转换通过将所述天球坐标系(X_CRFT,Y_CRFT,Z_CRFT)绕天球坐标系的Z轴以Ω＝7.292115×10^-5rad/s逆时针旋转获得：

(X_TRF,Y_TRF,Z_TRF)＝(X_CRFT,Y_CRFT,Z_CRFT)·R_Z(-ΩΔt)

所以，R_TRF(-θ₃)＝R_Z(-ΩΔt)。

8.根据权利要求1所述的高精度星敏感器的精度测量方法，其特征在于，所述步骤7)进一步包括：

(71)将获得的所述星敏感器三轴指向矢量p(T+Δt_i)用行向量表示为:

p(T+Δt_i)＝[px(T+Δt_i)，py(T+Δt_i)，pz(T+Δt_i)]

并对每一个行向量进行归一化；

(72)根据所述星敏感器三轴指向矢量的行向量获得所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴的最优矢量p_opt(T+Δt_i)，使p_opt(T+Δt_i)的三个行向量[px_opt(T+Δt_i)，py_opt(T+Δt_i)，pz_opt(T+Δt_i)]分别与不同实际拍摄时刻(T+Δt_i)的[px(T+Δt_i)，py(T+Δt_i)，pz(T+Δt_i)]向量夹角的平方和最小，并对三个行向量进行归一化；

(73)根据所述星敏感器三轴最优指向矢量p_opt(T+Δt_i)和不同实际拍摄时刻(T+Δt_i)的三轴指向矢量p(T+Δt_i)，得到余弦矩阵C：

$C=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{33}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]=p_{\mathrm{opt}}{(T+{\mathrm{\Δt}}_i)}^T\·p(T+{\mathrm{\Δt}}_i);$

(74)根据余弦矩阵C，进一步获得实际拍摄时刻(T+Δt_i)的所述星敏感器三个最优指向矢量与所述星敏感器X轴、Y轴和Z轴矢量各自的夹角(α_i，β_i，ε_i)：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_i\\ {\mathrm{\β}}_i\\ {\mathrm{\ϵ}}_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\arccos \left(\right|c_{11}\left|\right)\\ \arccos \left(\right|c_{22}\left|\right)\\ \arccos \left(\right|c_{33}\left|\right)\end{array}\right]$

其中(α_i，β_i，ε_i)均在的范围内。