CN102699817A - 一种大口径非球面气囊抛光进动控制方法 - Google Patents

Abstract

一种大口径非球面气囊抛光进动控制方法，涉及一种光学元件气囊加工方法。选择以气囊工具进动抛光大口径轴对称非球面元件。建立气囊抛光大口径轴对称非球面元件进动运动模型：建立气囊抛光进动坐标系；建立初始状态到初始加工点的运动模型；建立大口径轴对称非球面元件上任意两相邻抛光点的进动运动模型。在上述建立的气囊抛光大口径非球面元件进动运动模型中加入最有效率控制算法。

Description

一种大口径非球面气囊抛光进动控制方法

技术领域

本发明涉及一种光学元件气囊加工方法，尤其是涉及一种大口径非球面气囊抛光进动控制方法。

背景技术

气囊式抛光作为近几年国内外新兴的抛光技术，由英国Zeeko公司的D.D.Walker等人提出，它采用具有一定充气压力的球形气囊作为抛光工具，不仅可以保证抛光头与被抛光大口径轴对称非球面元件表面吻合性好，而且可以通过调节气囊内部压力控制抛光效率和被抛光大口径轴对称非球面元件的表面质量，是一种极具发展潜力的大口径轴对称非球面元件抛光方法。气囊式抛光采用进动加工方式，即抛光时气囊自转轴始终与局部法线成一固定角度(称进动角)进行抛光（WALKER D D,BROOKS D,KING A,FREEMAN R,MORTAN R,MCCAVANA G，KIM S-W.The‘Precessions’tooling for polishing and figuring flat,spherical andaspheric surfaces[J].Optical Express,2003,8,11:958-964）。

由于大口径轴对称非球面元件上每个抛光点的局部法线方向都不同，气囊抛光系统通过两个方面实现以相同进动角连续抛光整个大口径轴对称非球面元件表面：第一，通过机床XYZ三个直线轴的进给带动气囊抛光头的球心运动来跟踪局部法线的变化,使气囊球心与大口径轴对称非球面元件局部抛光点的连线为该点的法线；第二，利用气囊工具的进动运动即：气囊工具两个虚拟轴的旋转来控制气囊自转轴在空间的位置变化，使得气囊自转轴在加工过程中与局部法线之间的夹角值（即进动角）始终不变。

由于气囊抛光系统的进给运动简单易于控制，气囊抛光大口径轴对称非球面元件的运动控制主要集中在进动运动的运动控制上。目前文献中涉及气囊抛光系统进动运动控制主要有哈工大的高波等人（高波,姚英学,谢大纲,袁哲俊.气囊抛光进动运动的运动建模及仿真[J].机械工程学报,2006,42(2)）以及浙江工业大学的计时鸣团队的研究成果（张银东.机器人辅助磨具气囊抛光运动控制和轨迹规划研究[D].浙江:浙江工业大学,2009）。

发明内容

本发明的目的是提供一种大口径非球面气囊抛光进动控制方法。

本发明包括以下步骤：

1）选择以气囊工具进动抛光大口径轴对称非球面元件；

2）建立气囊抛光大口径轴对称非球面元件进动运动模型；

（1）建立气囊抛光进动坐标系；

以气囊工具初始状态建立基础坐标系，分析每个抛光点时，都建立对应的待抛光点坐标系进行分析，所述待抛光点坐标系的Y方向与待抛光点的切线方向平行，所述待抛光点坐标系的Z方向为待抛光点的法线方向，所述待抛光点坐标系的X方向与基础坐标系相同；

（2）建立初始状态到初始加工点的运动模型；

根据气囊抛光进动坐标系建立中的分析，建立基础坐标系和初始加工点对应的坐标系后，根据空间坐标变换原理，将初始加工点对应的坐标系中的气囊自转轴位置坐标转换到基础坐标系中，再根据气囊工具两个虚拟轴转动对应的旋转矩阵方程建立初始状态到初始加工的运动模型；

（3）建立大口径轴对称非球面元件上任意两相邻抛光点的进动运动模型；

根据气囊抛光进动坐标系建立中的分析，建立基础坐标系和任意两相邻抛光点对应的坐标系后，根据空间坐标变换原理，将任意两相邻抛光点对应坐标系中的气囊自转轴位置坐标转换到基础坐标系中，而后根据此时气囊工具两个虚拟轴转动对应的旋转矩阵方程建立大口径轴对称非球面元件上任意两个相邻抛光点的进动运动模型；

3）在上述建立的气囊抛光大口径非球面元件进动运动模型中加入最有效率控制算法；

在上述建立的气囊抛光大口径非球面元件进动运动模型中加入最有效率控制算法，该算法核心思想是控制气囊工具两个虚拟轴的转角，使得在保持大口径轴对称非球面元件连续进动抛光进动角不变的情况下，两个虚拟轴转过角度的绝对值和最小，从而减少工艺时间提高抛光效率。

最后，可利用大口径非球面元件表面方程进行运动模型及控制算法的正确性验证，仿真结果表明：气囊自转轴跟随大口径非球面元件上待加工点法线变化的趋势一致，且本发明所建立的进动运动模型及控制算法得到的仿真进动角值与实际进动角的误差均值小于0.01°，证明该运动模型及控制算法的正确性。

本发明选择以气囊工具进动抛光大口径轴对称非球面元件；建立气囊抛光大口径轴对称非球面元件进动运动模型；在上述运动模型中加入最有效率控制算法。

利用本发明，可以实现对大口径轴对称非球面元件的连续进动抛光控制，当然，本发明内容不局限于大口径轴对称非球面元件，可以根据大口径非球面元件表面方程进行扩展。

本发明适用的气囊工具具有两个虚拟轴和一个自转轴，气囊位于气囊自转轴上，两个虚拟轴和气囊自转轴相交于气囊球心，通过控制两个虚拟轴的旋转角度可以控制气囊自转轴在空间的位置，使气囊工具可以完成大口径轴对称非球面元件的连续进动加工。

附图说明

图1为大口径轴对称非球面元件进动抛光原理图。

图2为进动抛光过程中气囊自转轴与抛光点局部法线可能存在的位置关系。

图3为气囊工具模型。

图4为气囊抛光大口径轴对称非球面元件加工控制示意图。

图5为抛光任意点A时气囊进动坐标系的建立及平移处理。

图6为空间坐标变换原理图。

图7初始状态到初始加工点的运动模型。

图8抛光大口径轴对称非球面元件上任意两相邻抛光点时所建立的与抛光点对应的坐标系。

图9为图8中所建立对应的坐标系原点平移至基础坐标系。

图10初始状态到初始加工点的运动控制算法流程。

图11大口径轴对称非球面元件上任意两个抛光点运动控制算法流程。

图12根据运动模型及控制算法得到的法线位置及气囊自转轴OP位置示意图。

以下给出图中主要配件标记：1气囊、2气囊自转轴、3抛光点局部法线、4大口径轴对称非球面元件、5工作台。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步的说明。

1）选择以气囊工具进动抛光大口径轴对称非球面元件。

本发明采用气囊工具以连续进动抛光方式加工大口径轴对称非球面元件4，气囊1连续进动抛光大口径非球面元件4原理图如图1所示，图1、2中ρ表示气囊抛光进动角，在抛光过程中，气囊自转轴2始终与抛光点局部法线3成固定夹角（即进动角），但是由于与抛光点局部法线3成同一角度的气囊自转轴2位置可能为一个圆锥面如图2所示，因此需要建立运动模型并加入限制条件（控制算法）得到合适的气囊自转轴2空间位置；

2）建立气囊抛光大口径轴对称非球面元件进动运动模型。

（1）气囊进动运动坐标系建立方法

图3为气囊工具模型，气囊工具具有两个虚拟轴（Z3、Z4）和一个气囊自转轴2（Z2），气囊1位于气囊自转轴2（Z2）下方，两个虚拟轴Z3、Z4和气囊自转轴2（Z2）相交于气囊1球心，通过控制两个虚拟轴的旋转角度可以控制气囊自转轴2（Z2）在空间的位置，使气囊工具可以完成大口径轴对称非球面元件4的连续进动加工。气囊工具的进动运动包括：气囊工具虚拟轴Z3先旋转θ_A，而后气囊工具虚拟轴Z4再旋转θ_B；由于Z2、Z3、Z4轴线相交于气囊球心，则进动运动不改变气囊球心的位置，因此以初始状态气囊球心位置为原点建立基础坐标系：X-YOZ；由于气囊抛光系统中的进给和进动运动互不干涉影响，因此，建立气囊进动抛光运动模型时，以气囊自转轴2与气囊1的交点P(图3中所示)为对象，不考虑进给运动的效果，即假设气囊球心位置不变，将大口径轴对称非球面元件4上所有抛光点的进动过程平移到以初始状态气囊球心为原点建立的基坐标系来计算抛光大口径轴对称非球面元件4上各个点时两个虚拟轴Z3、Z4需要转动的角度。

本发明的加工对象为大口径轴对称非球面元件4，其表面方程如下所示：

$z=-c\·\frac{x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\·c^2\·x^2}}---\left(1\right)$

式中：

R为非球面基础曲率半径。

图4为气囊1抛光大口径轴对称非球面元件4加工控制示意图。

由于大口径轴对称非球面元件4连续进动抛光中各抛光点上气囊自转轴2与抛光点局部法线3夹角值(即进动角)不变，因此分析每个抛光点时，需要建立一个对应的坐标系，该坐标系的Y方向与该抛光点的切线方向平行，Z方向为该抛光点的抛光点局部法线3方向，X方向与基础坐标系相同，而后将平移至基础坐标系中进行变换，图5所示为抛光任意点A时对应坐标系的建立及平移处理，图中X₁-Y₁O₁Z₁为所建立A点对应的坐标系，ρ为进动角，ζ为气囊自转轴位置矢量O₁P₁在坐标系X₁O₁Y₁平面的投影与X₁正方向的角度，α₁为A点的切线与水平方向的夹角。

图6为空间坐标变换原理图。由图6可得变换公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\′}=x\\ y=\cos a\·y^{\′}-\sin a\·z^{\′}\\ z=\sin a\·y^{\′}+\cos a\·z^{\′}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：x、y、z为点P在坐标系X-YOZ中的坐标，x'、y'、z'为点P在旋转后的坐标系X-Y'OZ'中的坐标，α为坐标系X-YOZ旋转的角度；通过上述对应坐标建立及坐标变换后，即可求得抛光任意点A时，气囊自转轴线2与气囊1交点在基础坐标系中的表示。

由于大口径轴对称非球面元件4的旋转对称性，并且气囊工具所在的机床的工作台5可旋转，气囊工具只需走母线的一半即可实现对大口径轴对称非球面元件4的加工，假设以等步长方式进行加工，则可通过大口径轴对称非球面元件4方程求得各加工点的斜率及抛光点局部法线3的方向矢量，而后建立气囊工具进动运动模型。

根据大口径轴对称非球面元件4的加工工艺，其进动运动模型分为两部分：初始状态到初始加工点的进动运动和大口径轴对称非球面元件上任意两相邻抛光点的进动运动。

（2）初始状态到初始加工点的运动模型建立

假设初始状态下气囊自转轴2与气囊1的交点P位置为P₀，经过进动后运动到以进动角度ρ加工初始点的位置P'，初始加工点切线与水平方向的夹角为α，如图7所示：

令气囊半径R=1，根据图7所示的几何关系有：

OP₀＝[0,0,-1]^T                                (3）

OP'在X-YOZ的位置矢量：

OP′＝[sinρcosτ,cosαsinρsinτ+sinαcosρ，sinαsinρsinτ-cosαcosρ]^T                （4）

$T=E^{k{\mathrm{\θ}}_B}\·E^{z{\mathrm{\θ}}_A}---\left(5\right)$

$E^{k{\mathrm{\θ}}_B}=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\θ}}_B+{\mathrm{\λ}}^2(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)& \mathrm{\λ\μ}(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)-v{\sin \mathrm{\θ}}_B& \mathrm{v\λ}(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)+\mathrm{\μ}\sin {\mathrm{\θ}}_B\\ \mathrm{\λ\μ}(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)+v{\sin \mathrm{\θ}}_B& {\cos \mathrm{\θ}}_B+{\mathrm{\μ}}^2(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)& \mathrm{\μv}(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)-\mathrm{\λ}{\sin \mathrm{\θ}}_B\\ \mathrm{v\λ}(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)-\mathrm{\μ}{\sin \mathrm{\θ}}_B& \mathrm{\μv}(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)+\mathrm{\λ}{\sin \mathrm{\θ}}_B& {\cos \mathrm{\θ}}_B+v^2(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)\end{array}\right]---\left(6\right)$

$k(\mathrm{\λ},\mathrm{\μ},\mathrm{\υ})=(\frac{\sqrt{2}}{2}\·{\sin \mathrm{\θ}}_A,-\frac{\sqrt{2}}{2}\·{\cos \mathrm{\θ}}_A,\frac{\sqrt{2}}{2})---\left(7\right)$

$E^{z{\mathrm{\θ}}_A}=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \mathrm{\θ}}_A& -{\sin \mathrm{\θ}}_A& 0\\ {\sin \mathrm{\θ}}_A& {\cos \mathrm{\θ}}_A& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

OP′＝T·OP₀                            （9）

式中，T为对应的旋转变换矩阵，

分别为绕气囊工具Z3轴和气囊工具Z4轴的旋转变换矩阵，α为初始加工点的切线与水平方向的夹角，ρ为进动角，τ为气囊自转轴位置矢量OP'在对应的坐标系X-Y’OZ’中XOY’平面的投影与X正方向的夹角，θ_A为气囊工具Z3轴转过的角度，θ_B为气囊工具Z4轴转过的角度，由于气囊工具Z3轴旋转后，气囊Z4轴的空间位置改变，k(λ,μ,ν)为改变位置后的气囊工具Z4轴的位置矢量。根据式(3)~(9)得：

$\sin \mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\τ}=-0.5{\sin \mathrm{\θ}}_A(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)+\frac{\sqrt{2}}{2}\·{\cos \mathrm{\θ}}_A\·{\sin \mathrm{\θ}}_B---\left(10\right)$

$\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\ρ}\sin \mathrm{\τ}+\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\ρ}=\frac{1}{2}\·{\cos \mathrm{\θ}}_A(1-{\cos \mathrm{\θ}}_B)+\frac{\sqrt{2}}{2}\·{\sin \mathrm{\θ}}_A\·{\sin \mathrm{\θ}}_B---\left(11\right)$

上述即为气囊抛光初始状态到初始加工点的进动运动控制方程，当初始加工点切线与水平方向的夹角α根据大口径轴对称非球面元件方程确定后，OP'在XOY′的投影τ取值范围为0~360°，利用控制算法确定τ后，即可求出对应不同两轴的转角的θ_A、θ_B。

（3）大口径轴对称非球面元件上任意两相邻抛光点的进动运动模型建立

假设气囊以进动角ρ抛光点B、C时，气囊自转轴与气囊交点位置分别为P₁、P₂如图8所示，图9为图8中所建立对应的坐标系原点平移至基础坐标系。

其中：ζ、ω分别为气囊自转轴位置矢量OP_i（i=1,2）在各自对应的坐标系XOY_i的投影与X正方向的投影，α_i（i=1,2）为该抛光点的切线与水平方向的夹角，Y_wO_wZ_w为工件坐标系。

根据图9结合空间坐标变换公式可得在基坐标系X-YOZ里P₁、P₂坐标为：

P₁₀(sinρcosζ，cosα₁sinρsinζ+sinα₁cosρ，sinα₁sinρsinζ-cosα₁cosρ)^T

P₂₀(sinρcosω，cosα₂sinρsinω+sinα₂cosρ，sinα₂sinρsinω-cosα₂cosρ)^T

则在基坐标系X-YOZ中，OP₁、OP₂位置矢量为：

OP₁＝[sinρcosζ，cosα₁sinρsinζ+sinα₁cosρ，sinα₁sinρsinζ-cosα₁cosρ]^T   （12）

OP₂＝[sinρcosω，cosα₂sinρsinω+sinα₂cosρ，sinα₂sinρsinω-cosα₂cosρ]^T   （13）

根据图中的空间运动关系有：

$E^{k^{\′}{{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)+{\left({\mathrm{\λ}}^{\′}\right)}^2(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))& {\mathrm{\λ}}^{\′}{\mathrm{\μ}}^{\′}(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))-v^{\′}\sin \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)& v^{\′}{\mathrm{\λ}}^{\′}(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))+{\mathrm{\μ}}^{\′}\sin \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)\\ {\mathrm{\λ}}^{\′}{\mathrm{\μ}}^{\′}(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))+v^{\′}\sin \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)& \cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)+{\left({\mathrm{\μ}}^{\′}\right)}^2(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))& {\mathrm{\μ}}^{\′}{v}^{\′}(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))-{\mathrm{\λ}}^{\′}\sin \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)\\ v^{\′}{\mathrm{\λ}}^{\′}(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))-{\mathrm{\μ}}^{\′}\sin \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)& \mathrm{\μv}(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))+\mathrm{\λ}\sin \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)& \cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right)+{\left(v^{\′}\right)}^2(1-\cos \left({{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}\right))\end{array}\right]---\left(14\right)$

$k^{\′}({\mathrm{\λ}}^{\′},{\mathrm{\μ}}^{\′},v^{\′})=(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\θ}}_A^{\′}),-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (\mathrm{\φ}+{\mathrm{\θ}}_A^{\′}),\frac{\sqrt{2}}{2})---\left(15\right)$

$E^{z{{\mathrm{\θ}}_A}^{\′}}=\left[\begin{array}{ccc}{\cos \mathrm{\θ}}_A^{\′}& -{\sin \mathrm{\θ}}_A^{\′}& 0\\ {\sin \mathrm{\θ}}_A^{\′}& {\cos \mathrm{\θ}}_A^{\′}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(16\right)$

OP₂＝T″·OP₁          （17）

$T^{\′\′}=E^{k{{\mathrm{\θ}}_B}^{\′}}\·E^{z{\mathrm{\θ}}_A^{\′}}---\left(18\right)$

式中，T″为对应的旋转变换矩阵，分别为绕气囊工具Z3轴和气囊工具Z4轴的旋转变换矩阵，θ_A′为此次进动过程中气囊工具Z3轴转过的角度，θ_B'为此次进动过程中气囊工具Z4轴转过的角度，k'(λ′,μ',v')为气囊工具Z4轴的位置参数，φ为气囊工具Z3轴未转动前气囊工具Z4轴在XOY平面投影与Y轴负方向的夹角；

式(12)～(18)即为大口径轴对称非球面元件4上任意两相邻抛光点的进动运动控制方程，在实际控制中，除第一加工点外，抛光点在任意抛光点时，OP₁的位置参数ξ和在OP₁时Z4轴的位置参数φ可由前一个的抛光点的推导出来，在进动角可以设定的情况下，只有θ_A′、θ_B′、ω三个未知数，而ω的取值范围是0~360°，当ω取值不同时，对应的θ_A′、θ_B'取值也不同，根据上述进动方程，利用控制算法确定ω后，即可求出抛光各个加工点时两轴对应的转角，进而实现大口径轴对称非球面元件4连续进动抛光控制。

3）运动模型中加入最有效率控制算法及验证。

在上述建立的两个抛光阶段的进动运动模型中加入最有效率控制算法，该算法核心思想是控制气囊工具两个虚拟轴的转角，使得在保持大口径轴对称非球面元件4连续进动抛光进动角不变的情况下，两个虚拟轴转过角度的绝对值和最小，从而减少工艺时间提高抛光效率。

（1）初始状态到初始加工点运动控制算法设计

结合初始状态到初始加工点的运动模型即式(10)和(11)，设计控制算法流程图如图10所示，该算法的核心策略是，将式(10)和(11)中的参数σ从0~360°进行循环迭代后，通过数值解法求两个转角的值，并筛选其中气囊工具两虚拟轴转过的角度|θ_A|+|θ_B|取最小值时，对应的σ的值和两个转角的值。

（2）大口径轴对称非球面元件任意两相邻加工点运动控制算法设计

设计大口径轴对称非球面元件4任意两相邻加工点运动控制算法流程图如图11所示，算法流程包括：先通过大口径轴对称非球面元件4表面方程求得各抛光点的斜率，并求得其切线与水平方向的夹角，而后利用循环嵌套求得各个抛光点中参数σ从0～360°变化时，两轴转过的角度|θ_A′+θ_B′|取最小值时所对应的各参数，(12)～(18)中的非线性方程组通过数值解法求两个转角的值。

（3）大口径非球面气囊抛光进动控制方法验证

为验证本发明的正确性，仍以该大口径轴对称非球面元件4方程进行实验验证，为了使数据及图形清晰，将抛光步长取大，将该大口径轴对称非球面元件4母线均分为五个抛光点，通过上述运动模型及控制算法，绘出各个抛光点上的法线及对应的气囊自转轴2的位置，并计算两条线的夹角与程序中设置的进动角进行比较，仿真及比较结果如图12及表1所示，仿真结果表明：气囊自转轴2的变化跟随抛光点法线的变化趋势相同，表1为进动角的理论值与仿真值的比较，该仿真值为上图中对应编号的抛光点法线与气囊自转轴2的夹角即仿真进动角。

表1

由表1中的结果表明，根据前述运动模型及控制算法得到的仿真进动角值与实际进动角的误差均小于0.01°，证明该运动模型及控制算法的正确性。

Claims (1)

1.一种大口径非球面气囊抛光进动控制方法，其特征在于包括以下步骤：

1）选择以气囊工具进动抛光大口径轴对称非球面元件；

2）建立气囊抛光大口径轴对称非球面元件进动运动模型；

（1）建立气囊抛光进动坐标系；

以气囊工具初始状态建立基础坐标系，分析每个抛光点时，都建立对应的待抛光点坐标系进行分析，所述待抛光点坐标系的Y方向与待抛光点的切线方向平行，所述待抛光点坐标系的Z方向为待抛光点的法线方向，所述待抛光点坐标系的X方向与基础坐标系相同；

（2）建立初始状态到初始加工点的运动模型；

根据气囊抛光进动坐标系建立中的分析，建立基础坐标系和初始加工点对应的坐标系后，根据空间坐标变换原理，将初始加工点对应的坐标系中的气囊自转轴位置坐标转换到基础坐标系中，再根据气囊工具两个虚拟轴转动对应的旋转矩阵方程建立初始状态到初始加工的运动模型；

（3）建立大口径轴对称非球面元件上任意两相邻抛光点的进动运动模型；

根据气囊抛光进动坐标系建立中的分析，建立基础坐标系和任意两相邻抛光点对应的坐标系后，根据空间坐标变换原理，将任意两相邻抛光点对应坐标系中的气囊自转轴位置坐标转换到基础坐标系中，而后根据此时气囊工具两个虚拟轴转动对应的旋转矩阵方程建立大口径轴对称非球面元件上任意两个相邻抛光点的进动运动模型；

3）在上述建立的气囊抛光大口径非球面元件进动运动模型中加入最有效率控制算法；

在上述建立的气囊抛光大口径非球面元件进动运动模型中加入最有效率控制算法，该算法核心思想是控制气囊工具两个虚拟轴的转角，使得在保持大口径轴对称非球面元件连续进动抛光进动角不变的情况下，两个虚拟轴转过角度的绝对值和最小，从而减少工艺时间提高抛光效率。

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