CN102680954B - 一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法 - Google Patents

Abstract

一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法，涉及雷达系统仿真领域。它是为了解决现有检验方法精确度低，以及无法实现定量检验的问题。其方法是：给定理论自相关函数和实际接收到的色噪声序列；估计实际自相关函数；实际自相关函数与理论自相关函数做差并归一化得到一个自相关系数序列；给出统计假设，计算检验统计量的值；给定显著性水平，计算上限临界值；比较检验统计量和上限临界值的大小，得出结论。本发明引入求差法对色噪声的相关特性进行检验，计算简单，结论明确，对于实际序列的相关性与理论相关性的差异程度给出了客观定量检验算法，可广泛应用于各种概率密度分布的色噪声的相关特性检验。

Description

一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法

技术领域

本发明涉及雷达系统仿真领域，具体涉及一种色噪声相关特性的定量检验方法。

背景技术

雷达系统设计、仿真和信号处理算法性能评估不仅需要产生杂波，更需要所模拟的杂波具有指定的统计特性。因此，需要对模拟的杂波进行概率密度函数(PDF：ProbabilityDensity Spectrum)和功率谱密度(PSD：Power Spectrum Density)的估计与检验，以评估各种杂波模拟算法的性能，这也是各种杂波模拟算法能否得到实际应用的前提条件。

目前杂波PDF的检验方法较为成熟，通常采用卡方检验、K-S检验等。从功率谱角度看，如果一个随机过程的功率谱密度是常数，无论是什么分布，都称它为白噪声；而若其功率谱密度中各种频率分量的大小不同，就称它为色噪声。现有的不相关性检验方法，如正态性检验、χ²检验、部分序列值的相关性检验和T统计量检验等，仅适用于白噪声，而对于色噪声的相关特性检验通常采用直观图示对比。在经济学领域已有一些算法，如对一阶自回归模型采用杜宾-瓦森(DW：Durbin-Watson)检验、对高阶序列相关模型采用拉格朗日乘数检验(LM：Lagrange Mutiplicator)检验等。DW检验是目前检验序列相关特性最为常用的方法，但它只适用于检验小样本序列的相关特性。高阶自相关的BG检验方法，也被称为拉格朗日乘数检验。它克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。

但是这些已有检验方法仅能判断随机误差项序列是否具有相关性，当直接应用于色噪声序列时可以判断能否用假设的模型估计该色噪声的功率谱密度，而缺乏对色噪声相关性与理论相关性差异程度的客观定量检验方法。

发明内容

本发明是为了解决现有检验方法精确度低，以及无法实现定量检验的问题，从而提供一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法。

一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法，它由以下步骤实现：

步骤一、给定雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)；

步骤二、接收雷达信号中的色噪声序列

并估计所述色噪声的序列

的自相关函数

步骤三、将步骤二获得的色噪声的序列的自相关函数

与步骤一给定的雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)做差，并将结果归一化，获得自相关系数序列 $\widehat{\mathrm{\ρ}}\left(m\right);$

步骤四、在给定统计假设为H₀：

的情况下，用χ²检验法检验步骤二获得的色噪声的序列

的自相关函数

与步骤一给定的雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)的差

获得检验统计量Q；

所述检验统计量

服从自由度为L的χ²分布，其中N为色噪声序列的长度，N为正整数；L为正整数；

步骤五、给定显著性水平α，并计算所述显著性水平α对应χ²分布的上限临界值 ${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}^2\left(L\right);$

步骤六、判断步骤四获得的检验统计量Q是否大于步骤五获得的显著性水平α对应χ²分布的上限临界值

如果判断结果为是，则执行步骤六一；如果判断结果为否，则执行步骤六二；

步骤六一、在一次检验中出现了小概率事件

步骤四中给定的统计假设不成立，完成雷达信号中色噪声的相关性定量检验；

步骤六二、在一次检验中出现

的概率很大，认定在显著性水平为α的情况下，实际相关性趋近于理论相关性的差异程度，完成雷达信号中色噪声的相关性定量检验。

步骤一中所述给定雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)是对自相关函数R_x(τ)进行采样获得的；

其中：R_x(τ)＝e^-α|τ|；

式中：α＝0.01。

步骤二中估计所述色噪声的序列

的自相关函数是通过公式：

$R_{\hat{x}}\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)$

获得的。

步骤五中，显著性水平为：α＝5％，该显著性水平对应的χ²分布的上限临界值 ${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}^2\left(L\right)=235.08.$

有益效果：本发明了实现了实际序列的相关性与理论相关性的差异程度定量检验，检验随机序列的相关程度精确度较高。

附图说明

图1是理论自相关函数的波形示意图；图2为滤波器法产生符合实际相关性的色噪声的原理示意图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1和图2说明本具体实施方式，一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法，它由以下步骤实现：

步骤一、给定雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)；

步骤二、接收雷达信号中的色噪声序列

估计所述色噪声的序列

的自相关函数

步骤三、将步骤二获得的色噪声的序列

的自相关函数

与步骤一给定的雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)做差，并将结果归一化，获得自相关系数序列 $\widehat{\mathrm{\ρ}}\left(m\right);$

步骤四、在给定统计假设为H₀：

的情况下，用χ²检验法检验步骤二获得的色噪声的序列

的自相关函数

与步骤一给定的雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)的差

获得检验统计量Q；

所述检验统计量

服从自由度为L的χ²分布，其中N为色噪声序列的长度，N为正整数；L为正整数；

步骤五、给定显著性水平α，并计算所述显著性水平α对应χ²分布的上限临界值 ${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}^2\left(L\right);$

步骤六、判断步骤四获得的检验统计量Q是否大于步骤五获得的显著性水平α对应χ²分布的上限临界值

如果判断结果为是，则执行步骤六一；如果判断结果为否，则执行步骤六二；

步骤六一、在一次检验中出现了小概率事件

步骤四中给定的统计假设不成立，完成雷达信号中色噪声的相关性定量检验；

步骤六二、在一次检验中出现

的概率很大，认定在显著性水平为α的情况下，实际相关性趋近于理论相关性的差异程度，完成雷达信号中色噪声的相关性定量检验。

步骤一中所述给定雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)是对自相关函数R_x(τ)进行采样获得的；

其中：R_x(τ)＝e^-α|τ|

式中：α＝0.01，理论自相关函数的波形如图1所示。

步骤二中估计所述色噪声的序列

的自相关函数

是通过公式：

$R_{\hat{x}}\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)$

获得的。

步骤五中，显著性水平为：α＝5％，该显著性水平对应的χ²分布的上限临界值 ${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}^2\left(L\right)=235.08.$

步骤二中，本发明中实际接收到的色噪声以高斯分布色噪声

和对数正态分布色噪声

为例，说明该方法适用于任何形式概率密度分布的色噪声，并通过计算机仿真模拟

和

可分别用滤波器法和相关传递法实现。

对上述给定的自相关函数进行傅里叶变换，可得理论功率谱密度的形式为：

$S\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{2\mathrm{\α}}{{\mathrm{\α}}^2+{\mathrm{\ω}}^2}$

S(ω)进行频域采样可得S(k)。

用滤波器法产生

的原理框图如图2所示。图中为[0，2π]上均匀分布的白噪声，v(n)为标准正态分布白噪声，这里产生长度为2049的高斯分布色噪声。

用相关传递法产生

该方法的基本思想是概率分布是随机序列值大小的总体描述，与其排列次序无关，而自相关特性不仅与随机序列值大小有关，更取决于序列值的相对位置。故将指定概率密度分布的随机序列按照符合特定自相关特性的序列的大小顺序排序，即可产生概率分布和相关特性均满足要求的色噪声。

首先产生一组均值为0，方差为1的对数正态分布白噪声w(n)。这里用频域法产生严格符合理论相关性的色噪声x(n)，其幅频特性|X(k)|与S(k)的关系为：

$S\left(k\right)=\frac{1}{N}{\left|X\left(k\right)\right|}^2$

x(n)的相频特性θ(k)为[0，2π]上均匀分布的随机数。为使产生的x(n)为实数序列，需使|X(k)|偶对称，θ(k)奇对称，即：

|X(k)|＝|X(k-N)|，θ(k)＝-θ(k-N)

这样产生的x(n)就为实序列。因此：

$X\left(k\right)=\left|X\left(k\right)\right|e^{\mathrm{j\θ}\left(k\right)}=\sqrt{\mathrm{NS}\left(k\right)}{e}^{\mathrm{j\θ}\left(k\right)}$

对其进行反变换，可以得到所需的严格满足特定功率谱密度的色噪声序列x(n)。将w(n)按照x(n)的大小顺序进行排序，即可得到长度为2049的

随机序列自相关函数可用下式估计：

$R_{\hat{x}}\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)$

上式的估计是有偏的，可以证明它是渐进无偏的，且对于固定的序列长度，自相关系数序列的长度越小，偏差程度越小。一种无偏的估计公式为：

$R_{\hat{x}}\left(m\right)=\frac{1}{N-\left|m\right|}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)$

但该式的方差大于有偏估计的方差。故这里采用上述的有偏但渐近无偏估计，可获得实际色噪声序列的长度为201点的实际自相关函数。

步骤三中，随机信号的自回归-滑动平均模型可表示为：

$x\left(n\right)=-\underset{k=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{k}x(n-k)+\underset{k=0}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{b}_{k}u(n-k)$

这里u(n)被称作残差序列，是均值为σ²的白噪声，且与x(n)不相关；a₁，a₂，…，a_p和b₀，b₁，…，b_q为模型参数。令p＝1，q＝0，a₁＝-1，b₀＝1，则上式可写为：

u(n)＝x(n)-x(n-1)

符合实际相关性的序列与符合理论相关性的序列x(n)之间可写成类似于上式的关系，即

代入R_u(m)的估计式有：

$R_u\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}u\left(n\right)u(n+m)$

$=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}[\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)-x\left(n\right)x(n+m)-u\left(n\right)x(n+m)-x\left(n\right)u(n+m)]$

如上所述，若u(n)为白噪声，其与x(n)不相关，则有：

$\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}u\left(n\right)x(n+m)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)u(n+m)=0$

故有：

$R_u\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)-\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)x(n+m)$

$=R_{\hat{x}}\left(m\right)-R_x\left(m\right)=\left\{\begin{array}{cc}>0& m=0\\ 0& m\≠0\end{array}\right.$

即残差序列的自相关函数等于实际自相关函数与理论自相关函数之差。

步骤五中，若自由度取为L＝201，显著性水平为α＝5％，则计算可得χ²检验的上限临界值为 ${\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}^2\left(L\right)=235.08;$

步骤六中，表1给出了高斯分布色噪声10次相关性检验的结果，由表中数据可以看出10次试验所得检验统计量的值均小于235.08，说明对于高斯分布的色噪声，在5％的显著性水平下，实际相关性与理论相关性的差异很小；表2给出了对数正态分布色噪声10次相关性检验的结果，同样10次检验统计量的值均小于235.08，即该方法也适用于非高斯分布的色噪声。

表1

表2

本发明引入求差法对色噪声的相关特性进行检验，计算简单，结论明确，对于实际序列的相关性与理论相关性的差异程度给出了客观定量检验算法，可广泛应用于各种概率密度分布的色噪声的相关特性检验。

Claims (3)

1.一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、给定雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m);

步骤二、接收雷达信号中的色噪声序列

并估计所述色噪声的序列

的自相关函数

步骤三、将步骤二获得的色噪声的序列

的自相关函数

与步骤一给定的雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_X(m)做差，并将结果归一化，获得自相关系数序列

步骤四、在给定统计假设为的情况下，用χ²检验法检验步骤二获得的色噪声的序列

的自相关函数

与步骤一给定的雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)的差获得检验统计量Q;

所述检验统计量

服从自由度为L的χ²分布，其中N为色噪声序列的长度，N为正整数;L为正整数;

步骤五、给定显著性水平α，并计算所述显著性水平α对应χ²分布的上限临界值

(L);

步骤六、判断步骤四获得的检验统计量Q是否大于步骤五获得的显著性水平α对应χ²分布的上限临界值

(L)，如果判断结果为是，则执行步骤六一;如果判断结果为否，则执行步骤六二;

步骤六一、在一次检验中出现了小概率事件

步骤四中给定的统计假设不成立，完成雷达信号中色噪声的相关性定量检验;

步骤六二、在一次检验中出现

的概率很大，认定在显著性水平为α的情况下，实际相关性趋近于理论相关性的差异程度，完成雷达信号中色噪声的相关性定量检验;

步骤二中估计所述色噪声的序列的自相关函数

是通过公式：

$R_{\hat{x}}\left(m\right)=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1-\left|m\right|}{\mathrm{\Σ}}}\hat{x}\left(n\right)\hat{x}(n+m)$

获得的。

2.根据权利要求1所述的一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法，其特征在于步骤一中所述给定雷达信号中色噪声的理论自相关函数R_x(m)是对自相关函数R_x(τ)进行采样获得的;

其中：R_x(τ)＝e^-a|τ|;

式中：α＝0.01。

3.根据权利要求1所述的一种基于自相关函数求差的色噪声相关特性定量检验方法，其特征在于步骤五中，显著性水平为：α＝5%，该显著性水平对应的χ²分布的上限临界值

(L)=235.08。

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