CN102635347B - 一种定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种电阻率测井仪数据处理方法。一种定量将电阻率各向同性薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，对于一组电阻率各向同性的薄互地层，在仪器垂直于薄互地层时，选择一组发射频率和源距，计算仪器在垂直于薄互地层时的水平电阻率；在仪器倾斜于薄互地层时，选择与计算仪器垂直于薄互地层时相同的一组工作频率和源距，计算薄互地层垂直电阻率；根据获得的水平电阻率的值，通过反演方法获得垂直电阻率的值；将薄互地层等效成电阻率均匀各向异性地层，选取电阻率均匀各向异性地层作为反演地层模型，计算薄互地层等效的水平电阻率和垂直电阻率；以电阻率均匀各向异性介质中仪器的响应作为正演函数进行反演，得出薄互地层等效的垂直电阻率。

Description

一种定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法

技术领域

本发明涉及一种随钻电磁波电阻率测井仪数据处理方法，特别是涉及一种定量将电阻率各向同性薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法。

背景技术

随着陆上水平井和大斜度井钻井工作量增加以及海上钻井的需求，常规电缆测井已经不能满足测井技术的需要，因此随钻测井技术得到了非常迅速的发展。随钻电磁波电阻率测井仪器是随钻测井中最常用的仪器之一，它通过测量两个接收线圈上感应电动势的相位差和幅度比来获得地层的电阻率信息。地层中的电阻率并不全是均匀的，因为常有一些电阻率各向同性薄互层存在，这些薄互层呈现出宏观的电阻率各向异性(即水平电阻率和垂直电阻率不相等)，而随钻电磁波电阻率类仪器在大斜度井中的响应受电阻率各向异性的影响很大，使得相位差和幅度比曲线出现分离的现象，但曲线的分离并不仅受电阻率各向异性的影响，泥浆的侵入及仪器在井眼中偏心也能引起曲线的分离，为了分析这种曲线分离现象产生的原因，需要弄清电阻率各向异性对随钻电磁波电阻率测井仪响应的影响规律，而电阻率各向异性通常以薄互层的形式存在，所以有必要对电阻率各向同性薄互层等效成宏观各向异性进行定量的转换。

发明内容

本发明针对现有技术不足，基于随钻电磁波电阻率类仪器在电阻率各向同性薄互地层中的响应，提出一种定量将电阻率各向同性薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法。

本发明所采用的技术方案：

一种定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，对于一组电阻率各向同性的薄互地层，采用随钻电磁波电阻率测井仪，分仪器垂直于薄互地层和倾斜于薄互地层两种情况计算该仪器在薄互地层中的响应，

1)、在仪器垂直于薄互地层时，选择一组发射频率和源距，采用纵向成层并矢格林函数法，计算出仪器通过薄互地层时的相位差视电阻曲线和幅度比视电阻率曲线，确定仪器在垂直于薄互地层时的水平电阻率；

2)、在仪器倾斜于薄互地层时，选择倾斜角度大于60°，将仪器以大于60°的倾斜角度通过薄互地层，选择与计算仪器垂直于薄互地层时相同的一组工作频率和源距，计算出仪器此时的相位差视电阻率和幅度比视电阻率响应，获得薄互地层垂直电阻率；

3)、根据获得的水平电阻率的值，将仪器倾斜于薄互地层时的两个响应值或两个响应值中质量较好的一个数据作为反演数据，通过反演方法获得垂直电阻率的值；

4)、考虑到薄互地层的总厚度足够大，使得随钻电磁波电阻率仪器在薄互地层中的响应不受围岩的影响，将薄互地层等效成电阻率均匀各向异性地层；根据薄互地层与电阻率均匀各向异性地层的等效关系，选取电阻率均匀各向异性地层作为反演地层模型，计算薄互地层等效的水平电阻率和垂直电阻率；

5)、反演时将仪器倾斜于薄互地层时计算出的相位差和幅度比视电阻率值作为已知响应，将仪器垂直于薄互地层时计算得出的视电阻率值作为已知的水平电阻率值，以电阻率均匀各向异性介质中该仪器的响应作为正演函数进行反演，得出薄互地层等效的垂直电阻率。

所述的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，在步骤2)中，采用层状介质中的格林函数法计算随钻电磁波电阻率类仪器在薄互层下的响应：设层状单轴各向异性介质共有n+1层，各层编号为l＝0，1，...，n，源在第j层，各层参数分别为μ_l、ε_vl、ε_hl，则 $k_{\mathrm{hl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}},$ ${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{hl}}^2},$ $k_{\mathrm{vl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}},$ ${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{vl}}^2},$ $K_l=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vl}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}}}},$ 层厚h_l＝z_l-z_l-1(l＝1，…，n-1)

层状单轴各向异性介质中的并矢格林函数G^HM可表示为背景项和散射项之和，即G^HM＝^PG^HM+^SG^HM，对于非含源层(l≠j)，则只有散射项。对于^PG^HM，可以根据均匀单轴各向异性介质中单位磁偶极子产生的Hertz势较容易地写出其解析式。对于任意l层内^SG^HM的各分量，由麦克斯韦方程组经计算可表示为如下形式，式中下脚标表示某方向的磁偶极子在某方向上产生的磁场，如表示z方向的磁偶极子在y方向上产生的散射场项。

$G_{\mathrm{xx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1a\right)$

$G_{\mathrm{yx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=G_{\mathrm{xy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}[-\frac{2}{\tilde{r}}R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+R_2^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1b\right)$

$G_{\mathrm{zx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1c\right)$

$G_{\mathrm{yy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1d\right)$

$G_{\mathrm{zy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1e\right)$

$G_{\mathrm{xz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=-\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1f\right)$

$G_{\mathrm{yz}\left(l\right)}^{\mathrm{EJ}}{}_S=-\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1g\right)$

$G_{\mathrm{zz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}R_6^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1h\right)$

式中的6个积分分别为：

$R_1^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{F}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]$

$-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_2^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{F}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]$

$-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_3^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_4^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_5^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_6^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^3}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}}\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

所述的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，利用仪器响应值进行反演时采用均匀各向异性介质中磁偶极子源电磁场公式：在正演模拟中将发射源看做磁偶极子，并设其随时间的变化关系为exp(iωt)，其中ω为角频率，θ为井眼相对倾角，M_T和M_R为发射和接收天线磁矩，M_Tx、M_Tz和M_Rx、M_Rz分别为发射天线水平和垂直分量磁矩及接收天线水平和垂直分量磁矩，σ_hb为水平电导率，σ_vb为垂直电导率，

设源点位置坐标r′＝(x′，y′，z′)、场点位置坐标r＝(x，y，z)，令 $S=\sqrt{{\tilde{r}}^2+K^2{(z-z^{\′})}^2},$ 其中 $K=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}}}},$ $\tilde{r}=\sqrt{{(x-x^{\′})}^2+{(y-y^{\′})}^2},$ 并令 $R=\sqrt{{\tilde{r}}^2+{(z-z^{\′})}^2}.$ K的表达式内σ_hb和σ_vb分别为向异性介质的水平和垂直复电导率，ω_hb和ω_vb分别为各向异性介质的水平和垂直复介电系数，它们的关系为σ_hb＝iωε_hb，σ_vb＝iωε_vb，各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(3\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{4\mathrm{\πR}}{\hat{e}}_z---\left(2\right)$

式中： $k_h^2=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}},$ μ_b为均匀介质磁导率，

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(1\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_x+\frac{(x-x^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{S}-\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{R}){\hat{e}}_z---\left(3\right)$

式中： $k_v^2=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}},$

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(2\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_y+\frac{(y-y^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{S}-\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{R}){\hat{e}}_z---\left(4\right)$

由 $E=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\widehat{\mathrm{\σ}}}_b}\▿\×F$ 及 $H=-\frac{1}{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b}\▿\×E,$ 其中 ${\widehat{\mathrm{\σ}}}_b=\mathrm{diag}({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}})$ 为电导率张量，可以得到均匀各向异性介质中沿不同方向单位磁偶极子产生的电场和磁场各分量的解析表达式，

在xz平面内磁矩为M_T(M_T＝I_TN_TA_T，I_T、N_T、A_T分别为发射天线的电流强度、匝数和面积)的发射天线可视为磁矩为M_Tx的水平方向磁偶极子与磁矩为M_Tz的垂直方向磁偶极子的叠加。则发射天线在接收天线处产生的磁场的x分量和z分量为：

$H_x=M_T(H_x^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_x^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}),---\left(5a\right)$

$H_z=M_T(H_z^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_z^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}).---\left(5b\right)$

其中，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在x方向产生的磁场，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在z方向产生的磁场，

接收天线处的磁场强度为：

H_R＝H_xsinθ+H_zcosθ.(6)

由此得到接收天线的感应电动势为：

V＝-iωμ_bH_RN_RA_R，(7)

式中N_R和A_R分别为接收天线的匝数和面积，对单发双收三线圈系统，设近接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₁|和Φ₁，远接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₂|和Φ₂，则有：

$V_1=\left|V_1\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_1\mathrm{\π}/180},$ $V_2=\left|V_2\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_2\mathrm{\π}/180}.---\left(8\right)$

由式(8)，两个接收天线之间的幅度比A和相位差ΔΦ定义为：

$A=20{\log }_{10}\left(\frac{\left|V_1\right|}{\left|V_2\right|}\right),---\left(9a\right)$

$\mathrm{\Δ\Φ}={\mathrm{\Φ}}_1-{\mathrm{\Φ}}_2=\frac{180}{\mathrm{\π}}\mathrm{Imag}\left[\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\right],---\left(9b\right)$

所述的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，反演计算采用高斯牛顿梯度下降方法，均匀各向异性介质中的正演问题可以写成下面的非线性方程

$\tilde{F}=F\left(\tilde{x}\right)---\left(10\right)$

其中表示未知的地层参数，表示不同的函数值，若已知实测的函数值则求解未知量的反演问题可归结为最小化与的方差问题，可写成如下形式

$\min \left|\right|\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)\left|\right|---\left(11\right)$

其中在给定初始值的情况下得到下面的线性最小方差问题

$\min \left|\right|\tilde{b}-\tilde{J}\mathrm{\δ}\tilde{x}\left|\right|---\left(12\right)$

其中为函数值的差，为雅可比矩阵，每个元素为

$j_{\mathrm{ij}}=\∂F_i/\∂x_j,$ i＝1，2，…，M；j＝1，2，…，N    (13)

根据给定的初始值求解(12)式后得到值，则经过一次计算后，之后计算值，如大于给定的误差限则将此作为初始值重新计算(12)式，直至计算出的值满足给定的误差限时，将此作为方程(11)解，迭代结束。

一般情况下，只有当值较小时可以用(12)式来近似(11)式，而在实际中由于雅可比矩阵可能存在奇异性，使(12)式的解变的较大，因此为了使迭代过程稳定，在解(12)式时需要限定约束条件其中Δ为给定的边界最大值，在此范围内可以认为(12)式是(11)式的线性近似。因此反演过程就转化为求解带约束条件的线性最小方程问题

$\min \left\{\right||\hat{b}-\hat{J}\mathrm{\δ}\hat{x}||:|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\right||\≤\mathrm{\Δ}\}---\left(14\right)$

完成(14)式的求解需要先进行正演计算得出进而得出然后利用正演通过微分得到雅可比矩阵之后便可求解出满足的校正量

利用上面介绍的正演计算方法，则雅可比矩阵可以通过(15)式计算得出

$j_{\mathrm{ij}}=\∂F_i/\∂x_j=\frac{F_i(x_1,x_2,...,x_j+\mathrm{\Δ}{x}_j,x_{j+1},...,x_n)-F_i(x_1,x_2,...,x_j,...,x_n)}{\mathrm{\Δ}{x}_j}---\left(15\right)$

这样我们就得出了计算(14)式所需的基础条件。

对(14)式求解首先要对雅可比矩阵进行奇异值分解，如下式

$\tilde{J}=\tilde{U}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{V}---\left(16\right)$

其中和分别为M×N和N×N阶矩阵，且满足 为N×N阶的对角矩阵，包含奇异值

λ₁≥λ₂≥…≥λ_j≥…≥λ_p＞0    (17)

和

λ_p+1＝λ_p+2＝…＝λ_N＝0

其中p为雅可比矩阵的秩。若不考虑约束条件(14)式的一般形式为

$\mathrm{\δ}\tilde{x}=\tilde{V}{\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^{+}\tilde{g}---\left(18\right)$

其中， 是对角矩阵，其元素

实际用迭代法解方程(18)时，由于非零奇异值有可能会很小，容易出现上溢，因此为了使迭代过程稳定，引进阻尼因子μ＞0，将1/λ_j修正为根据方程(16)-(19)，则方程(14)的解可以写成下式

$\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)=\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+\mathrm{\μ}\tilde{I})}^{-1}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{g}---\left(20\right)$

当时，方程(14)的解为否则存在一个唯一的μ使

$\mathrm{\φ}\left(\mathrm{\μ}\right)=\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)\left|\right|-\mathrm{\Δ}=0---\left(21\right)$

则相应的即为方程(14)的解。实际上并不需要非常精确的求解(21)式，只需令满足即可。这样通过迭代的方法很容易得到

${\mathrm{\μ}}^{k+1}={\mathrm{\μ}}^k-\left(\right|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right||/\mathrm{\Δ})\mathrm{\φ}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)/{\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)---\left(\text{22}\right)$

其中

${\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)=\left[\mathrm{\δ}\tilde{x}{\left({\mathrm{\μ}}^k\right)}^T\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+{\mathrm{\μ}}^k\tilde{I})}^{-1}{\tilde{V}}^T\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right]/\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\left|\right|.---\left(23\right)$

本发明的有益效果：

1、本发明能对大斜度中出现的曲线分离现象进行解释，早先经常把曲线分离现象归结为泥浆侵入、仪器偏心以及围岩的影响，很少考虑到地层电阻率各向异性的影响，即薄互层的影响。现在利用我们的发明可以让技术人员了解薄互层与电阻率各向异性的定量转化关系，对曲线分析现象有了更深层次的认识，避免对曲线分离现象产生的原因做出错误的判断。提高了测井数据解释的质量。

2、在水平井中，随钻电磁波电阻率测井仪具有指导钻头在油层中钻进的地质导向功能，当油层为砂泥岩薄互层时，会呈现出宏观电阻率各向异性，仪器的响应会受各向异性的影响，利用本发明我们可以明确薄互层与电阻率各向异性间的定量转换关系，能够帮助我们更好的指导钻头最大限度地在油层中钻进，避免由于对薄互层与电阻率各向异性的定量关系不清楚而引起钻头钻出油层这类事件的发生，提高地质导向的质量，进而提高油井的油气产出效率，大大提高油气产量。

3、对于油层是砂泥岩薄互层的情况，在水平井中利用本发明能对该油层进行更准确的岩性和含油饱和度评价，更准确的计算出油层的储量和产出效率。另外利用邻井资料能根据仪器的响应结果对油层进行各向异性电阻率值的定量计算，实现更加准确的油层评价。

4、随钻电磁波电阻率仪器是最常用的随钻测井仪器之一，该仪器在大斜度井中的测量结果能反映出地层的各向异性，而各向异性是评价地层的一个非常重要的性质，且大多数的各向异性都是由于薄互层产生的，利用我们的发明可以更大的发挥这只仪器在储层评价中的作用，尤其是在薄互层中的作用，提高了该仪器的应用价值。

附图说明

图1：2MHz20in组合下随钻测井仪在薄互层中不同井斜下的响应；

图2：层状单轴各向异性介质地层模型；

图3：仪器和各向异性层状地层模型简图。

具体实施方式

实施例一：参见图1，本发明定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，对于一组电阻率各向同性的薄互地层，采用随钻电磁波电阻率测井仪，分仪器垂直于薄互地层和倾斜于薄互地层两种情况计算该仪器在薄互地层中的响应，其步骤包括：

1)、在仪器垂直于薄互地层时，选择一组发射频率和源距，采用纵向成层并矢格林函数法，计算出仪器通过薄互地层时的相位差视电阻曲线和幅度比视电阻率曲线，确定仪器在垂直于薄互地层时的水平电阻率；

2)、在仪器倾斜于薄互地层时，将仪器以大于60°的倾斜角度通过薄互地层，选择与仪器垂直于薄互地层时相同的一组发射频率和源距，计算出仪器此时的相位差视电阻率和幅度比视电阻率响应，获得薄互地层垂直电阻率；

3)、根据获得的水平电阻率的值，将仪器倾斜于薄互地层时的两个响应值或两个响应值中质量较好的一个数据作为反演数据，通过反演方法获得垂直电阻率的值；

4)、将薄互地层等效成电阻率均匀各向异性地层，根据薄互地层与电阻率均匀各向异性地层的等效关系，选取电阻率均匀各向异性地层作为反演地层模型，计算薄互地层等效的水平电阻率和垂直电阻率；

5)、反演时将仪器倾斜于薄互地层时计算出的相位差和幅度比视电阻率值作为已知响应，将仪器垂直于薄互地层时计算得出的视电阻率值作为已知的水平电阻率值，以电阻率均匀各向异性介质中该仪器的响应作为正演函数进行反演，得出薄互地层等效的垂直电阻率。

实施例二：本实施例与实施例一不同的是，在步骤2)中，采用层状介质中的格林函数法计算随钻电磁波电阻率类仪器在薄互层下的响应：

设层状单轴各向异性介质共有n+1层，各层编号为l＝0，1，…，n，源在第j层，各层参数分别为μ_l、ε_vl、ε_hl，则 $k_{\mathrm{hl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}},$ ${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{hl}}^2},$ $k_{\mathrm{vl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}},$ ${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{vl}}^2},$ $K_l=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vl}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}}}},$ 层厚h_l＝z_l-z_l-1(l＝1，…，n-1)

层状单轴各向异性介质中的并矢格林函数G^HM可表示为背景项和散射项之和，即G^HM＝^PG^HM+^SG^HM，对于非含源层(l≠j)，则只有散射项；

对于任意l层内^SG^HM的各分量，由麦克斯韦方程组经计算可表示为如下形式，式中下脚标表示某方向的磁偶极子在某方向上产生的磁场，表示z方向的磁偶极子在y方向上产生的散射场项；

$G_{\mathrm{xx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1a\right)$

$G_{\mathrm{yx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=G_{\mathrm{xy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}[-\frac{2}{\tilde{r}}R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+R_2^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1b\right)$

$G_{\mathrm{zx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1c\right)$

$G_{\mathrm{yy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1d\right)$

$G_{\mathrm{zy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1e\right)$

$G_{\mathrm{xz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=-\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1f\right)$

$G_{\mathrm{yz}\left(l\right)}^{\mathrm{EJ}}{}_S=-\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1g\right)$

$G_{\mathrm{zz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}R_6^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1h\right)$

式中的6个积分分别为：

$R_1^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{F}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]$

$-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_2^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{F}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]$

$-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_3^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_4^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_5^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_6^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^3}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}}\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}.$

实施例三：本实施例的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，与实施例二不同的是：利用仪器响应值进行反演时采用均匀各向异性介质中磁偶极子源电磁场公式：在正演模拟中将发射源看做磁偶极子，并设其随时间的变化关系为exp(iωt)，其中ω为角频率，θ为井眼相对倾角，M_T和M_R为发射和接收天线磁矩，M_Tx、M_Tz和M_Rx、M_Rz分别为发射天线水平和垂直分量磁矩及接收天线水平和垂直分量磁矩，σ_hb为水平电导率，σ_vb为垂直电导率，设源点位置坐标r′＝(x′，y′，z′)、场点位置坐标r＝(x，y，z)，

令 $S=\sqrt{{\tilde{r}}^2+K^2{(z-z^{\′})}^2},$ 其中 $K=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{h\; b}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{v\; b}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_h}{{\mathrm{\ϵ}}_v}},$ $\tilde{r}=\sqrt{{(x-x^{\′})}^2+{(y-y^{\′})}^2},$ 并令 $R=\sqrt{{\tilde{r}}^2+{(z-z^{\′})}^2},$ K的表达式内σ_hb和σ_vb分别为向异性介质的水平和垂直复电导率，ε_hb和ε_vb分别为各向异性介质的水平和垂直复介电系数，它们的关系为σ_hb＝iωε_hb，σ_vb＝iωε_vb，各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(3\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{4\mathrm{\πR}}{\hat{e}}_z---\left(2\right)$

式中： $k_h^2=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}},$ μ_b为均匀介质磁导率，

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(1\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_x+\frac{(x-x^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{S}-\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{R}){\hat{e}}_z---\left(3\right)$

式中： $k_v^2=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}},$

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(2\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_y+\frac{(y-y^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{S}-\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{R}){\hat{e}}_z---\left(4\right)$

由 $E=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\widehat{\mathrm{\σ}}}_b}\▿\×F$ 及 $H=-\frac{1}{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b}\▿\×E,$ 其中 ${\widehat{\mathrm{\σ}}}_b=\mathrm{diag}({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}})$ 为电导率张量，可以得到均匀各向异性介质中沿不同方向单位磁偶极子产生的电场和磁场各分量的解析表达式，在xz平面内磁矩为M_T(M_T＝I_TN_TA_T)的发射天线可视为磁矩为M_Tx的水平方向磁偶极子与磁矩为M_Tz的垂直方向磁偶极子的叠加，其中I_T、N_T、A_T分别为发射天线的电流强度、匝数和面积，

则发射天线在接收天线处产生的磁场的x分量和z分量为：

$H_x=M_T(H_x^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_x^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}),---\left(5a\right)$

$H_z=M_T(H_z^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_z^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}).---\left(5b\right)$

其中，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在x方向产生的磁场，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在z方向产生的磁场，

接收天线处的磁场强度为：

H_R＝H_xsinθ+H_zcosθ.(6)

由此得到接收天线的感应电动势为：

V＝-iωμ_bH_RN_RA_R，(7)

式中N_R和A_R分别为接收天线的匝数和面积，对单发双收三线圈系统，设近接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₁|和Φ₁，远接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₂|和Φ₂，则有：

$V_1=\left|V_1\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_1\mathrm{\π}/180},$ $V_2=\left|V_2\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_2\mathrm{\π}/180}.---\left(8\right)$

由式(8)，两个接收天线之间的幅度比A和相位差ΔΦ定义为：

$A=20{\log }_{10}\left(\frac{\left|V_1\right|}{\left|V_2\right|}\right),---\left(9a\right)$

$\mathrm{\Δ\Φ}={\mathrm{\Φ}}_1-{\mathrm{\Φ}}_2=\frac{180}{\mathrm{\π}}\mathrm{Imag}\left[\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\right].---\left(9b\right)$

实施例四：本实施例的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，与前述各实施例不同的是：

反演计算采用高斯牛顿梯度下降方法，均匀各向异性介质中的正演问题可以写成下面的非线性方程

$\tilde{F}=F\left(\tilde{x}\right)---\left(10\right)$

其中表示未知的地层参数，表示不同的函数值，若已知实测的函数值则求解未知量的反演问题可归结为最小化与的方差问题，可写成如下形式

$\min \left|\right|\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)\left|\right|---\left(11\right)$

其中在给定初始值的情况下得到下面的线性最小方差问题

$\min \left|\right|\tilde{b}-\tilde{J}\mathrm{\δ}\tilde{x}\left|\right|---\left(12\right)$

其中为函数值的差，为雅可比矩阵，每个元素为

$j_{\mathrm{ij}}=\∂F_i/\∂x_j,i=\mathrm{1,2},...,M;j=\mathrm{1,2},...,N---\left(13\right)$

根据给定的初始值求解(12)式后得到值，则经过一次计算后，之后计算值，如大于给定的误差限则将此作为初始值重新计算(12)式，直至计算出的值满足给定的误差限时，将此作为方程(11)解，迭代结束；

一般情况下，只有当值较小时可以用(12)式来近似(11)式，而在实际中由于雅可比矩阵可能存在奇异性，使(12)式的解变的较大，因此为了使迭代过程稳定，在解(12)式时需要限定约束条件其中Δ为给定的边界最大值，在此范围内可以认为(12)式是(11)式的线性近似，因此反演过程就转化为求解带约束条件的线性最小方程问题

$\min \left\{\right||\hat{b}-\hat{J}\mathrm{\δ}\hat{x}||:|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\right||\≤\mathrm{\Δ}\}---\left(14\right)$

完成(14)式的求解需要先进行正演计算得出进而得出然后利用正演通过微分得到雅可比矩阵之后便可求解出满足的校正量

利用上面介绍的正演计算方法，则雅可比矩阵可以通过(15)式计算得出

$j_{\mathrm{ij}}=\∂F_i/\∂x_j=\frac{F_i(x_1,x_2,...,x_j+\mathrm{\Δ}{x}_j,x_{j+1},...,x_n)-F_i(x_1,x_2,...,x_j,...,x_n)}{\mathrm{\Δ}{x}_j}---\left(15\right)$

这样我们就得出了计算(14)式所需的基础条件；

对(14)式求解首先要对雅可比矩阵进行奇异值分解，如下式

$\tilde{J}=\tilde{U}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{V}---\left(16\right)$

其中和分别为M×N和N×N阶矩阵，且满足 为N×N阶的对角矩阵，包含奇异值

λ₁≥λ₂≥…≥λ_j≥…≥λ_p＞0    (17)

和

λ_p+1＝λ_p+2＝…＝λ_N＝0

其中p为雅可比矩阵的秩，若不考虑约束条件(14)式的一般形式为

$\mathrm{\δ}\tilde{x}=\tilde{V}{\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^{+}\tilde{g}---\left(18\right)$

其中， 是对角矩阵，其元素

实际用迭代法解方程(18)时，由于非零奇异值有可能会很小，容易出现上溢，因此为了使迭代过程稳定，引进阻尼因子μ＞0，将1/λ_j修正为根据方程(16)-(19)，则方程(14)的解可以写成下式

$\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)=\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+\mathrm{\μ}\tilde{I})}^{-1}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{g}---\left(20\right)$

当时，方程(14)的解为否则存在一个唯一的μ使

$\mathrm{\φ}\left(\mathrm{\μ}\right)=\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)\left|\right|-\mathrm{\Δ}=0---\left(21\right)$

则相应的即为方程(14)的解，令满足通过迭代的方法得到

${\mathrm{\μ}}^{k+1}={\mathrm{\μ}}^k-\left(\right|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right||/\mathrm{\Δ})\mathrm{\φ}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)/{\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)---\left(\text{22}\right)$

其中

${\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)=\left[\mathrm{\δ}\tilde{x}{\left({\mathrm{\μ}}^k\right)}^T\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+{\mathrm{\μ}}^k\tilde{I})}^{-1}{\tilde{V}}^T\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right]/\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\left|\right|.---\left(23\right)$

实施例五；本实施例结合图1～图3，具体说明了本发明的一个实施方式。

选取模型的围岩电阻率为20Ohmm，目的层为层厚为2in的薄互层，薄互层电阻率分别为0.5Ohmm和10Ohmm，目的层厚5m，选择频率为2MHz，源距为20in的工作模式进行计算得出此地层下的响应曲线如图1，当倾角从0°增加到80°时，相位差和幅度比视电阻率都增大，且曲线开始出现分离，相位差视电阻率高于幅度比视电阻率，这些规律完全符合各向异性地层对曲线的影响规律，验证了薄互层地层成各向异性的特性。

从图1中得出直井中的电阻率为0.95Ohmm，将其作为水平电阻率值。井斜80°时的相位差视电阻率为3.66Ohmm，幅度比视电阻率为2.00Ohmm，将这两个值作为已知响应，利用高斯牛顿梯度下降反演方法对垂直电阻率进行反演，得出的垂直电阻率为4.71Ohmm。则利用本发明得出该薄互地层模型等效成宏观的水平电阻率为0.95Ohmm，垂直电阻率为4.71Ohmm。

计算随钻电磁波电阻率类仪器在薄互层下的响应采用纵向介质格林函数法，详述如下：

设层状单轴各向异性介质共有n+1层，见图2，各层编号为l＝0，1，…，n，源在第j层，各层参数分别为μ_l、ε_vl、ε_hl，则 $k_{\mathrm{hl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}},$ ${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{hl}}^2},$ $k_{\mathrm{vl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}},$ ${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{vl}}^2},$ $K_l=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vl}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}}}},$ 层厚h_l＝z_l-z_l-1(l＝1，…，n-1)。只要给出层状单轴各向异性介质中沿不同方向单位磁偶极子产生的电场和磁场z分量的表达式，其切向量分量可由麦克斯韦方程组得到。

一、层状单轴各向异性介质中方向单位磁偶极子的轴向场

方向单位磁偶极子只产生TE波，其轴向场可表示为

$E_{\mathrm{lz}}^{\left(3\right)}=0,l=\mathrm{0,1},...,n---\left(1\right)$

$H_{\mathrm{lz}}^{\left(3\right)}=\frac{1}{4\mathrm{\π}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^3}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}}\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lj}}\frac{1}{4\mathrm{\π}}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^3}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z-z^{\′}\left|\right)J_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}---\left(2\right)$

(2)式最后一项为源项，对无源层，则没有该项。式中A_l(λ)和B_l(λ)为待定系数，由层界面处电场和磁场的连续性条件确定，若l＝0，只有A₀(λ)，若l＝n，只有B_n(λ)(下同)。在层界面处，电场和磁场的切向量连续，即μH_z和连续，由此可得到确定所有待定系数A_l(λ)(l＝0，1，…，n-1)和B_l(λ)(l＝1，…，n)的线性方程组。经整理该方程组可表示为如下矩阵形式

A^VX^V＝S^V，(3)

式中：A^V∈C^2n×2n，X^V，S^V∈C²ⁿ。A^V的各非零元素为，

$A_{11}^V=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{{\mathrm{\Λ}}_{h0}},A_{12}^V=-\frac{{\mathrm{\μ}}_1}{{\mathrm{\Λ}}_{h1}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{h1}{h}_1),A_{13}^V=-\frac{{\mathrm{\μ}}_1}{{\mathrm{\Λ}}_{h1}};$

$A_{21}^V=1,A_{22}^V=-\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{h1}{h}_1),A_{23}^V=1;$

$A_{2n-\mathrm{1,2}n-2}^V=\frac{{\mathrm{\μ}}_{n-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}},A_{2n-\mathrm{1,2}n-1}^V=\frac{{\mathrm{\μ}}_{n-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}{h}_{n-1}),A_{2n-1,2n}^V=-\frac{{\mathrm{\μ}}_n}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}}};$

$A_{2n,2n-2}^V=1,A_{2n,2n-1}^V=-\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}{h}_{n-1}),A_{2n,2n}^V=1;$

$A_{2i-\mathrm{1,2}i-2}^V=\frac{{\mathrm{\μ}}_{i-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}},A_{2i-\mathrm{1,2}i-1}^V=\frac{{\mathrm{\μ}}_{i-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}{h}_{i-1}),A_{2i-\mathrm{1,2}i}^V=-\frac{{\mathrm{\μ}}_i}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}{h}_i),A_{2i-\mathrm{1,2}i+1}^V=-\frac{{\mathrm{\μ}}_i}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}};$

$A_{2i,2i-2}^V=1,A_{2i,2i-1}^V=-\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}{h}_{i-1}),A_{2i,2i}^V=-\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}{h}_i),A_{2i,2i+1}^V=1.$

i＝2，…，n-1，其余元素为0。

X^V的各元素为：

$X_1^V=A_0,X_{2n}^V=B_n,X_{2i}^V=A_i,X_{2i+1}^V=B_i.i=1,...,n-1$

S^V的各非零元素为：

$S_{2j-1}^V=\frac{{\mathrm{\μ}}_j}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_{j-1}-z^{\′}\left|\right),S_{2j}^V=\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_{j-1}-z^{\′}\left|\right),$

$S_{2j+1}^V=-\frac{{\mathrm{\μ}}_j}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_j-z^{\′}\left|\right),S_{2j+2}^V=\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_j-z^{\′}\left|\right).$

若j＝0，则只有和若j＝n，则只有和其余元素为0

二、层状单轴各向异性介质中方向单位磁偶极子TM波的轴向场

方向单位磁偶极子既产生TM波又产生TE波。在层状单轴各向异性介质中TM波的轴向场可表示为：

$H_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TM}\left(1\right)}=0,l=\mathrm{0,1},...,n---\left(4\right)$

$E_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TM}\left(1\right)}=\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l{K}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{\∂}{\∂y}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\left\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lj}}\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_j{K}_j}{4\mathrm{\π}}\frac{\∂}{\∂y}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}{K}_j|z-z^{\′}\left|\right)J_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}.---\left(5\right)$

在层界面处根据和ε_vE_z连续可得到确定所有待定系数C_l(λ)(l＝0，1，…，n-1)和D_l(λ)(l＝1，…，n)的线性方程组，经整理可表示为如下矩阵形式

A^TMX^TM＝S^TM.(6)

A^TM的各非零元素为：

$A_{11}^{\mathrm{TM}}=\frac{k_{v0}^2{K}_0}{{\mathrm{\Λ}}_{v0}},A_{12}^{\mathrm{TM}}=-\frac{k_{v1}^2{K}_1}{{\mathrm{\Λ}}_{v1}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{v1}{K}_1{h}_1),A_{13}^{\mathrm{TM}}=-\frac{k_{v1}^2{K}_1}{{\mathrm{\Λ}}_{v1}};$

$A_{21}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_0,A_{22}^{\mathrm{TM}}=-{\mathrm{\μ}}_1\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{v1}{K}_1{h}_1),A_{23}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_1;$

$A_{2n-\mathrm{1,2}n-2}^{\mathrm{TM}}=\frac{k_{\mathrm{vn}-1}^2{K}_{n-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vn}-1}},A_{2n-\mathrm{1,2}n-1}^{\mathrm{TM}}=\frac{k_{\mathrm{vn}-1}^2{K}_{n-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vn}-1}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vn}-1}{K}_{n-1}{h}_{n-1}),A_{2n-\mathrm{1,2}n}^{\mathrm{TM}}=-\frac{k_{\mathrm{vn}}^2{K}_n}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vn}}};$

$A_{2n,2n-2}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_{n-1},A_{2n,2n-1}^{\mathrm{TM}}=-{\mathrm{\μ}}_{n-1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vn}-1}{K}_{n-1}{h}_{n-1}),A_{2n,2n}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_n;$

$A_{2i-\mathrm{1,2}i-2}^{\mathrm{TM}}=\frac{k_{\mathrm{vi}-1}^2{K}_{i-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}-1}},A_{2i-\mathrm{1,2}i-1}^{\mathrm{TM}}=\frac{k_{\mathrm{vi}-1}^2{K}_{i-1}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}-1}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}-1}{K}_{i-1}{h}_{i-1}),$

$A_{2i-\mathrm{1,2}i}^{\mathrm{TM}}=-\frac{k_{\mathrm{vi}}^2{K}_i}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}}{K}_i{h}_i),A_{2i-1m2i+1}^{\mathrm{TM}}=-\frac{k_{\mathrm{vi}}^2{K}_i}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}}};$

$A_{2i,2i-2}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_{i-1},A_{2i,2i-1}^{\mathrm{TM}}=-{\mathrm{\μ}}_{i-1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}-1}{K}_{i-1}{h}_{i-1}),A_{2i,2i}^{\mathrm{TM}}=-{\mathrm{\μ}}_i\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vi}}{K}_i{h}_i),A_{2i,2i+1}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_i.$

X^TM的各元素为：

$X_1^{\mathrm{TM}}=C_0,X_{2n}^{\mathrm{TM}}=D_n,X_{2i}^{\mathrm{TM}}=C_i,X_{2i+1}^{\mathrm{TM}}=D_i.i=1,...,n-1$

S^TM的各非零元素为：

$S_{2j-1}^{\mathrm{TM}}=\frac{k_{\mathrm{vj}}^2{K}_j}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}{K}_j|z_{j-1}-z^{\′}\left|\right),S_{2j}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_j\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}{K}_j|z_{j-1}-z^{\′}\left|\right),$

$S_{2j+1}^{\mathrm{TM}}=-\frac{k_{\mathrm{vj}}^2{K}_j}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}{K}_j|z_j-z^{\′}\left|\right),S_{2j+2}^{\mathrm{TM}}={\mathrm{\μ}}_j\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}{K}_j|z_j-z^{\′}\left|\right).$

三、层状单轴各向异性介质中方向单位磁偶极子TE波的轴向场在层状单轴各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的TE波的轴向场可表示为：

$E_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TE}\left(1\right)}=0,l=\mathrm{0,1},...,n---\left(7\right)$

$H_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TE}\left(1\right)}=-\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{\∂}{\∂x}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lj}}\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{z-z^{\′}}{|z-z^{\′}|}\frac{\∂}{\∂x}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λexp}(-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z-z^{\′}\left|\right)J_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}.---\left(8\right)$

根据层界面处电场和磁场的切向量连续性条件即和μH_z连续，可得到确定所有待定系数E_l(λ)(l＝0，1，…，n-1)和F_l(λ)(l＝1，…，n)的线性方程组，经整理可表示为如下矩阵形式

A^TEX^TE＝S^TE.(9)

A^TE的各非零元素为：

$A_{11}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\μ}}_0,A_{12}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_1\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{h1}{h}_1),A_{13}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_1;$

$A_{21}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{h0},A_{22}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\Λ}}_{h1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{h1}{h}_1),A_{23}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{h1};$

$A_{2n-\mathrm{1,2}n-2}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\μ}}_{n-1},A_{2n-\mathrm{1,2}n-1}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\μ}}_{n-1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}{h}_{n-1}),A_{2n-\mathrm{1,2}n}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_n;$

$A_{2n,2n-2}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1},A_{2n,2n-1}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}-1}{h}_{n-1}),A_{2n,2n}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hn}};$

$A_{2i-\mathrm{1,2}i-2}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\μ}}_{i-1},A_{2i-\mathrm{1,2}i-1}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\μ}}_{i-1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}{h}_{i-1}),A_{2i-\mathrm{1,2}i}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_i\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}{h}_i),A_{2i-\mathrm{1,2}i+1}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_i;$

$A_{2i,2i-2}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1},A_{2i,2i-1}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}-1}{h}_{i-1}),A_{2i,2i}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}{h}_i),A_{2i,2i+1}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hi}}.$

X^TE的各元素为：

$X_1^{\mathrm{TE}}=E_0,X_{2n}^{\mathrm{TE}}=F_n,X_{2i}^{\mathrm{TE}}=E_i,X_{2i+1}^{\mathrm{TE}}=F_i.i=1,...,n-1$

S^TE的各非零元素为：

$S_{2j-1}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_j\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_{j-1}-z^{\′}\left|\right),S_{2j}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_{j-1}-z^{\′}\left|\right),$

$S_{2j+1}^{\mathrm{TE}}=-{\mathrm{\μ}}_j\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_j-z^{\′}\left|\right),S_{2j+2}^{\mathrm{TE}}={\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z_j-z^{\′}).$

四、层状单轴各向异性介质中方向单位磁偶极子TM波和TE波的轴向场层状单轴各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的TM波的轴向场可表示为：

$H_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TM}\left(2\right)}=0,l=\mathrm{0,1},...,n---\left(10\right)$

$E_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TM}\left(2\right)}=-\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l{K}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{\∂}{\∂x}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\left\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lj}}\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_j{K}_j}{4\mathrm{\π}}\frac{\∂}{\∂x}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}}\exp (-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vj}}{K}_j|z-z^{\′}\left|\right)J_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}.---\left(11\right)$

方向单位磁偶极子产生的TE波的轴向场可表示为：

$E_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TE}\left(2\right)}=0,l=\mathrm{0,1},...,n---\left(12\right)$

$H_{\mathrm{lz}}^{\mathrm{TE}\left(2\right)}=-\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{\∂}{\∂y}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$-{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{lj}}\frac{1}{4\mathrm{\π}}\frac{z-z^{\′}}{|z-z^{\′}|}\frac{\∂}{\∂y}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λexp}(-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hj}}|z-z^{\′}\left|\right)J_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}.---\left(13\right)$

由上述各方向单位磁偶极子产生的电场和磁场的轴向分量，利用麦克斯韦方程组可计算得到电场和磁场的所有切向分量。

五、层状单轴各向异性介质中的并矢格林函数G^EM和G^HM

根据前面推导得到的电场和磁场的各分量，可写出层状单轴各向异性介质中的并矢格林函数G^EMG^HM。将G^EM和G^HM表示为背景项和散射项之和，即G^EM＝^PG^EM+^SG^EM，G^HM＝^PG^HM+^SG^HM，对于非含源层(l≠j)，则只有散射项。对于^PG^EM和^PG^HM，可以根据均匀单轴各向异性介质中单位磁偶极子产生的矢势较容易地写出其解析式。对于任意l层内^SG^HM的各分量，经计算可表示为如下形式，

$G_{\mathrm{xx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S],---\left(14a\right)$

$G_{\mathrm{yx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=G_{\mathrm{xy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}[-\frac{2}{\tilde{r}}R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+R_2^{\mathrm{HM}}{}_S],---\left(14b\right)$

$G_{\mathrm{zx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S,---\left(14c\right)$

$G_{\mathrm{yy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S],---\left(14d\right)$

$G_{\mathrm{zy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S,---\left(14e\right)$

$G_{\mathrm{xz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=-\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S,---\left(14f\right)$

$G_{\mathrm{yz}\left(l\right)}^{\mathrm{EJ}}{}_S=-\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S,---\left(14g\right)$

$G_{\mathrm{zz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}R_6^{\mathrm{HM}}{}_S.---\left(14h\right)$

式中的6个积分分别为：

$R_1^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{F}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]$

$-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_2^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{F}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]$

$-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_3^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_4^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_5^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_6^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^3}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}}\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

对于任意l层^SG^EM的各分量，可表示为如下形式

$G_{\mathrm{xx}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=-G_{\mathrm{yy}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=-\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{(x-x^{\′})(y-y^{\′})}{{\tilde{r}}^2}[-\frac{2}{\tilde{r}}R_1^{\mathrm{EM}}{}_S+R_2^{\mathrm{EM}}{}_S],---\left(15a\right)$

$G_{\mathrm{yx}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=-\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{EM}}{}_S+\frac{{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{EM}}{}_S-R_3^{\mathrm{EM}}{}_S],---\left(15b\right)$

$G_{\mathrm{zx}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=-\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l{K}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{(y-y^{\′})}{\tilde{r}}R_4^{\mathrm{EM}}{}_S,---\left(15c\right)$

$G_{\mathrm{xy}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{EM}}{}_S+\frac{{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{EM}}{}_S-R_3^{\mathrm{EM}}{}_S],---\left(15d\right)$

$G_{\mathrm{zy}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l{K}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{(x-x^{\′})}{\tilde{r}}R_4^{\mathrm{EM}}{}_S,---\left(15e\right)$

$G_{\mathrm{xz}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{(y-y^{\′})}{\tilde{r}}R_5^{\mathrm{EM}}{}_S,---\left(15f\right)$

$G_{\mathrm{yz}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=-\frac{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_l}{4\mathrm{\π}}\frac{(x-x^{\′})}{\tilde{r}}R_5^{\mathrm{EM}}{}_S,---\left(15g\right)$

$G_{\mathrm{zz}\left(l\right)}^{\mathrm{EM}}{}_S=0.---\left(15h\right)$

式中的5个积分分别为：

$R_1^{\mathrm{EM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\left\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]-D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]$

${+E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)\right]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_2^{\mathrm{EM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]-D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]$

$+E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)\right]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_3^{\mathrm{EM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_4^{\mathrm{EM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^2}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_5^{\mathrm{EM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^2}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}}\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

该计算方法不仅适用于计算仪器在薄互地层下的响应，还适用于计算每层电参数呈各向异性时仪器的响应。

在利用仪器响应值进行反演时采用的正演方法详述如下：

在正演模拟中将发射源看做磁偶极子，并设其随时间的变化关系为exp(iωt)，其中ω为角频率。模型如图3所示，图中θ为井眼相对倾角。M_T和M_R为发射和接收天线磁矩，M_Tx、M_Tz和M_Rx、M_Rz分别为发射天线水平和垂直分量磁矩及接收天线水平和垂直分量磁矩。σ_hb为水平电导率，σ_vb为垂直电导率。

设源点位置坐标r′＝(x′，y′，z′)、场点位置坐标r＝(x，y，z)，令 $S=\sqrt{{\tilde{r}}^2+K^2{(z-z^{\′})}^2},$ 其中 $K=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}}}},$ $\tilde{r}=\sqrt{{(x-x^{\′})}^2+{(y-y^{\′})}^2},$ 并令 $R=\sqrt{{\tilde{r}}^2+{(z-z^{\′})}^2}.$ K的表达式内σ_hb和σ_vb分别为向异性介质的水平和垂直复电导率，ε_hb和ε_vb分别为各向异性介质的水平和垂直复介电系数，它们的关系为σ_hb＝iωε_hb，σ_vb＝iωε_vb。各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(3\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{4\mathrm{\πR}}{\hat{e}}_z---\left(16\right)$

式中： $k_h^2=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}},$ μ_b为均匀介质磁导率。

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(1\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_x+\frac{(x-x^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{S}-\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{R}){\hat{e}}_z---\left(17\right)$

式中： $k_v^2=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}}.$

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(2\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_y+\frac{(y-y^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp (-i{k}_{v}S)}{S}-\frac{\exp (-i{k}_{h}R)}{R}){\hat{e}}_z---\left(18\right)$

由 $E=-\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\widehat{\mathrm{\σ}}}_b}\▿\×F$ 及 $H=-\frac{1}{\mathrm{i\ω}{\mathrm{\μ}}_b}\▿\×E,$ 其中 ${\widehat{\mathrm{\σ}}}_b=\mathrm{diag}({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}})$ 为电导率张量，可以得到均匀各向异性介质中沿不同方向单位磁偶极子产生的电场和磁场各分量的解析表达式。

由图3，在xz平面内磁矩为M_T(M_T＝I_TN_TA_T，I_T、N_T、A_T分别为发射天线的电流强度、匝数和面积)的发射天线可视为磁矩为M_Tx的水平方向磁偶极子与磁矩为M_Tz的垂直方向磁偶极子的叠加。则发射天线在接收天线处产生的磁场的x分量和z分量为：

$H_x=M_T(H_x^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_x^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}),---\left(19a\right)$

$H_z=M_T(H_z^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_z^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}).---\left(19b\right)$

其中，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在x方向产生的磁场，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在z方向产生的磁场。

接收天线处的磁场强度为：

H_R＝H_xsinθ+H_zcosθ.(20)

由此得到接收天线的感应电动势为：

V＝-iωμ_bH_RN_RA_R，(21)

式中N_R和A_R分别为接收天线的匝数和面积。对单发双收三线圈系统，设近接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₁|和Φ₁，远接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₂|和Φ₂，则有：

$V_1=\left|V_1\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_1\mathrm{\π}/180},$ $V_2=\left|V_2\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_2\mathrm{\π}/180}.---\left(22\right)$

由式(22)，两个接收天线之间的幅度比A和相位差ΔΦ定义为：

$A=20{\log }_{10}\left(\frac{\left|V_1\right|}{\left|V_2\right|}\right),---\left(23a\right)$

$\mathrm{\Δ\Φ}={\mathrm{\Φ}}_1-{\mathrm{\Φ}}_2=\frac{180}{\mathrm{\π}}\mathrm{Imag}\left[\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\right].---\left(23b\right)$

此方法不仅适用于随钻电磁波电阻率类仪器，还适用于分析感应类及其他能将发射源和接收源看成磁偶极子的仪器。

高斯牛顿梯度下降反演方法

均匀各向异性介质中的正演问题可以写成下面的非线性方程

$\tilde{F}=F\left(\tilde{x}\right)---\left(24\right)$

其牛表示未知的地层参数，表示不同的函数值，若已知实测的函数值则求解未知量的反演问题可归结为最小化与的方差问题，可写成如下形式

$\min \left|\right|\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)\left|\right|---\left(25\right)$

其中在给定初始值的情况下得到下面的线性最小方差问题

$\min \left|\right|\tilde{b}-\tilde{J}\mathrm{\δ}\tilde{x}\left|\right|---\left(26\right)$

其中为函数值的差，为雅可比矩阵，每个元素为

$j_{\mathrm{ij}}=\∂F_i/\∂x_j,i=\mathrm{1,2},...,M;j=\mathrm{1,2},...,N---\left(27\right)$

根据给定的初始值求解(26)式后得到值，则经过一次计算后，之后计算值，如大于给定的误差限则将此作为初始值重新计算(26)式，直至计算出的值满足给定的误差限时，将此作为方程(25)解，迭代结束。

一般情况下，只有当值较小时可以用(26)式来近似(25)式，而在实际中由于雅可比矩阵可能存在奇异性，使(26)式的解变的较大，因此为了使迭代过程稳定，在解(26)式时需要限定约束条件其中Δ为给定的边界最大值，在此范围内可以认为(26)式是(25)式的线性近似。因此反演过程就转化为求解带约束条件的线性最小方程问题

$\min \left\{\right||\hat{b}-\hat{J}\mathrm{\δ}\hat{x}||:|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\right||\≤\mathrm{\Δ}\}---\left(28\right)$

完成(28)式的求解需要先进行正演计算得出进而得出然后利用正演通过微分得到雅可比矩阵之后便可求解出满足的校正量

利用上面介绍的正演计算方法，则雅可比矩阵可以通过(29)式计算得出

$j_{\mathrm{ij}}=\∂F_i/\∂x_j=\frac{F_i(x_1,x_2,...,x_j+\mathrm{\Δ}{x}_j,x_{j+1},...,x_n)-F_i(x_1,x_2,...,x_j,...,x_n)}{\mathrm{\Δ}{x}_j}---\left(29\right)$

这样我们就得出了计算(28)式所需的基础条件。

对(28)式求解首先要对雅可比矩阵进行奇异值分解，如下式

$\tilde{J}=\tilde{U}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{V}---\left(30\right)$

其中和分别为M×N和N×N阶矩阵，且满足 为N×N阶的对角矩阵，包含奇异值

λ₁≥λ₂≥…≥λ_j≥…≥λ_p＞0    (31)

和

λ_p+1＝λ_p+2＝…＝λ_N＝0

其中p为雅可比矩阵的秩。若不考虑约束条件(13)式的一般形式为

$\mathrm{\δ}\tilde{x}=\tilde{V}{\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^{+}\tilde{g}---\left(32\right)$

其中， 是对角矩阵，其元素

实际用迭代法解方程(32)时，由于非零奇异值有可能会很小，容易出现上溢，因此为了使迭代过程稳定，引进阻尼因子μ＞0，将1/λ_j修正为根据方程(30)-(33)，则方程(28)的解可以写成下式

$\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)=\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+\mathrm{\μ}\tilde{I})}^{-1}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{g}---\left(34\right)$

当时，方程(13)的解为否则存在一个唯一的μ使

$\mathrm{\φ}\left(\mathrm{\μ}\right)=\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)\left|\right|-\mathrm{\Δ}=0---\left(35\right)$

则相应的即为方程(28)的解。实际上并不需要非常精确的求解(35)式，只需令满足即可。这样通过迭代的方法很容易得到

${\mathrm{\μ}}^{k+1}={\mathrm{\μ}}^k-\left(\right|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right||/\mathrm{\Δ})\mathrm{\φ}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)/{\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)---\left(\text{36}\right)$

其中

${\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)=\left[\mathrm{\δ}\tilde{x}{\left({\mathrm{\μ}}^k\right)}^T\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+{\mathrm{\μ}}^k\tilde{I})}^{-1}{\tilde{V}}^T\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right]/\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\left|\right|---\left(37\right)$

上面的反演方法就是高斯牛顿梯度下降方法，此方法具有收敛速度快迭代稳定的优点。

Claims (4)

1.一种定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，对于一组电阻率各向同性的薄互地层，采用随钻电磁波电阻率测井仪，分仪器垂直于薄互地层和倾斜于薄互地层两种情况计算该仪器在薄互地层中的响应，其特征是：

1)、在仪器垂直于薄互地层时，选择一组发射频率和源距，采用纵向成层并矢格林函数法，计算出仪器通过薄互地层时的相位差视电阻曲线和幅度比视电阻率曲线，确定仪器在垂直于薄互地层时的水平电阻率；

2)、在仪器倾斜于薄互地层时，将仪器以大于60°的倾斜角度通过薄互地层，选择与仪器垂直于薄互地层时相同的一组工作频率和源距，获得仪器此时的相位差视电阻率和幅度比视电阻率响应；

3)、根据获得的水平电阻率的值，将仪器倾斜于薄互地层时的两个视电阻率响应值或两个视电阻率响应值中质量较好的一个数据作为反演数据，通过反演方法获得垂直电阻率的值；

4)、将薄互地层等效成电阻率均匀各向异性地层，根据薄互地层与电阻率均匀各向异性地层的等效关系，选取电阻率均匀各向异性地层作为反演地层模型，计算薄互地层等效的水平电阻率和垂直电阻率；

5)、反演时将仪器倾斜于薄互地层时计算出的相位差和幅度比视电阻率值作为已知响应，将仪器垂直于薄互地层时计算得出的视电阻率值作为已知的水平电阻率值，以电阻率均匀各向异性介质中该仪器的响应作为正演函数进行反演，得出薄互地层等效的垂直电阻率。

2.根据权利要求1所述的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，其特征是：在步骤2)中，采用层状介质中的格林函数法计算随钻电磁波电阻率类仪器在薄互层下的响应：设层状单轴各向异性介质共有n+1层，各层编号为l＝0,1,…,n，源在第j层，各层参数分别为μ_l、ε_vl、ε_hl，则 $k_{\mathrm{hl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}},{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{hl}}^2},k_{\mathrm{vl}}^2={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_l{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}},{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}=\sqrt{{\mathrm{\λ}}^2-k_{\mathrm{vl}}^2},$ $K_l=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vl}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hl}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vl}}}},$ 层厚h_l＝z_l-z_l-1(l＝1,…,n-1)

层状单轴各向异性介质中的并矢格林函数G^HM可表示为背景项和散射项之和，即G^HM＝^PG^HM+^SG^HM，对于非含源层(l≠j)，则只有散射项；

对于任意l层内^SG^HM的各分量，由麦克斯韦方程组经计算可表示为如下形式，式中下脚标表示某方向的磁偶极子在某方向上产生的磁场，表示z方向的磁偶极子在y方向上产生的散射场项；

$G_{\mathrm{xx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(x-x^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1a\right)$

$G_{\mathrm{yx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=G_{\mathrm{xy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}[-\frac{2}{\tilde{r}}R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+R_2^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1b\right)$

$G_{\mathrm{zx}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1c\right)$

$G_{\mathrm{yy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}[(\frac{1}{\tilde{r}}-\frac{2{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^3})R_1^{\mathrm{HM}}{}_S+\frac{{(y-y^{\′})}^2}{{\tilde{r}}^2}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S+R_3^{\mathrm{HM}}{}_S]---\left(1d\right)$

$G_{\mathrm{zy}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_4^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1e\right)$

$G_{\mathrm{xz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{(x-x^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1f\right)$

$G_{\mathrm{yz}\left(l\right)}^{\mathrm{EJ}}{}_S=\frac{(y-y^{\′})}{4\mathrm{\π}\tilde{r}}R_5^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1g\right)$

$G_{\mathrm{zz}\left(l\right)}^{\mathrm{HM}}{}_S=\frac{1}{4\mathrm{\π}}R_6^{\mathrm{HM}}{}_S---\left(1h\right)$

式中的6个积分分别为：

$\begin{array}{c}R_1^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]\\ -\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}\end{array}$

$\begin{array}{c}R_2^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\left\{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \right[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}{E}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})]\\ -\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{C}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp \left[{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)\right]-\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}{D}_l\left(\mathrm{\λ}\right)\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})]\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}\end{array}$

$R_3^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\mathrm{\λ}\frac{{\mathrm{\κ}}_{\mathrm{vl}}^2{K}_l}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}}\{C_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_l)]+D_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{vl}}{K}_l(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_4^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{E_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+F_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_5^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^2\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]-B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_1\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}$

$R_6^{\mathrm{HM}}{}_S=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{{\mathrm{\λ}}^3}{{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}}\{A_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_l)]+B_l\left(\mathrm{\λ}\right)\·\exp [-{\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{hl}}(z-z_{l-1})\left]\right\}{J}_0\left(\mathrm{\λ}\tilde{r}\right)\mathrm{d\λ}.$

3.根据权利要求1或2所述的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，其特征是：利用仪器响应值进行反演时采用均匀各向异性介质中磁偶极子源电磁场公式：在正演模拟中将发射源看做磁偶极子，并设其随时间的变化关系为exp(iωt)，其中ω为角频率，θ为井眼相对倾角，M_T和M_R为发射和接收天线磁矩，M_Tx、M_Tz和M_Rx、M_Rz分别为发射天线水平和垂直分量磁矩及接收天线水平和垂直分量磁矩，σ_hb为水平电导率，σ_vb为垂直电导率，

设源点位置坐标r′＝(x′,y′,z′)、场点位置坐标r＝(x,y,z)，

令 $S=\sqrt{{\tilde{r}}^2+K^2{(z-z^{\′})}^2},$ 其中 $K=\sqrt{\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}}}},$ $\tilde{r}=\sqrt{{(x-x^{\′})}^2+{(y-y^{\′})}^2},$ 并令 $R=\sqrt{{\tilde{r}}^2+{(z-z^{\′})}^2},$ K的表达式内σ_hb和σ_vb分别为各向异性介质的水平和垂直复电导率，ε_hb和ε_vb分别为各向异性介质的水平和垂直复介电系数，它们的关系为σ_hb＝iωε_hb，σ_vb＝iωε_vb，各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(3\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{h}R\right)}{4\mathrm{\πR}}{\hat{e}}_z---\left(2\right)$

式中： $k_h^2={-\mathrm{i\ω\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{hb}},$ μ_b为均匀介质磁导率，

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(1\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{v}S\right)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_x+\frac{(x-x^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{v}S\right)}{S}-\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{h}R\right)}{R}){\hat{e}}_z---\left(3\right)$

式中： $k_v^2={-\mathrm{i\ω\μ}}_b{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}}={\mathrm{\ω}}^2{\mathrm{\μ}}_b{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{vb}},$

各向异性介质中方向单位磁偶极子产生的矢势为：

$F^{\left(2\right)}(r,r^{\′})=\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{v}S\right)}{4\mathrm{\πKS}}{\hat{e}}_y+\frac{(y-y^{\′})(z-z^{\′})}{4\mathrm{\π}{\tilde{r}}^2}(K\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{v}S\right)}{S}-\frac{\exp \left({-\mathrm{ik}}_{h}R\right)}{R}){\hat{e}}_z---\left(4\right)$

由 $E={-\mathrm{i\ω\μ}}_b\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}}}{{\widehat{\mathrm{\σ}}}_b}\▿\×F$ 及 $H=-\frac{1}{{\mathrm{i\ω\μ}}_b}\▿\×E,$ 其中 ${\widehat{\mathrm{\σ}}}_b=\mathrm{diag}({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{hb}},{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{vb}})$ 为电导率张量，可以得到均匀各向异性介质中沿不同方向单位磁偶极子产生的电场和磁场各分量的解析表达式，在xz平面内磁矩为M_T(M_T＝I_TN_TA_T)的发射天线可视为磁矩为M_Tx的水平方向磁偶极子与磁矩为M_Tz的垂直方向磁偶极子的叠加，其中I_T、N_T、A_T分别为发射天线的电流强度、匝数和面积，

则发射天线在接收天线处产生的磁场的x分量和z分量为：

$H_x=M_T(H_x^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_x^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ}),---\left(5a\right)$

$H_z=M_T(H_z^{\left(1\right)}\sin \mathrm{\θ}+H_z^{\left(3\right)}\cos \mathrm{\θ})---\left(5b\right)$

其中，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在x方向产生的磁场，分别为x方向和z方向单位磁偶极子在z方向产生的磁场，

接收天线处的磁场强度为：

H_R＝H_xsinθ+H_zcosθ   (6)

由此得到接收天线的感应电动势为：

V＝-iωμ_bH_RN_RA_R,   (7)

式中N_R和A_R分别为接收天线的匝数和面积，对单发双收三线圈系统，设近接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₁|和Φ₁，远接收天线感应电动势的幅度和相位分别为|V₂|和Φ₂，则有：

$V_1=\left|V_1\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_1\mathrm{\π}/180},V_2=\left|V_2\right|e^{i{\mathrm{\Φ}}_2\mathrm{\π}/180}---\left(8\right)$

由式(8)，两个接收天线之间的幅度比A和相位差ΔΦ定义为：

$A={20\log }_{10}\left(\frac{\left|V_1\right|}{\left|V_2\right|}\right),---\left(9a\right)$

$\mathrm{\Δ\Φ}={\mathrm{\Φ}}_1-{\mathrm{\Φ}}_2=\frac{180}{\mathrm{\π}}\mathrm{Imag}\left[\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)\right]---\left(9b\right).$

4.根据权利要求3所述的定量将薄互地层等效成水平和垂直电阻率的方法，其特征是：反演计算采用高斯牛顿梯度下降方法，均匀各向异性介质中的正演问题写成下面的非线性方程

$\tilde{F}=F\left(\tilde{x}\right)---\left(10\right)$

其中 $\tilde{x}={(x_1,x_2,\·\·\·,x_N)}^T$ 表示未知的地层参数， $\tilde{F}=(F_1,F_2,\·\·\·,F_M)$ 表示不同的函数值，若已知实测的函数值则求解未知量的反演问题可归结为最小化与的方差问题，可写成如下形式

$\min \left|\right|\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)\left|\right|---\left(11\right)$

其中 $\left|\right|\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)\left|\right|={[\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)]}^T[\tilde{f}-F\left(\tilde{x}\right)],$ 在给定初始值的情况下得到下面的线性最小方差问题

$\min \left|\right|\tilde{b}-\tilde{J}\mathrm{\δ}\tilde{x}\left|\right|---\left(12\right)$

其中为函数值的差，为雅可比矩阵，每个元素为

$j_{\mathrm{ij}}={\∂F}_i/{\∂x}_j,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,M;j=\mathrm{1,2},\·\·\·,N---\left(13\right)$

根据给定的初始值求解(12)式后得到值，则经过一次计算后，之后计算值，如大于给定的误差限则将此作为初始值重新计算(12)式，直至计算出的值满足给定的误差限时，将此作为方程(11)解，迭代结束；

为了使迭代过程稳定，在解(12)式时限定约束条件其中Δ为给定的边界最大值，在此范围内将(12)式看作(11)式的线性近似，因此反演过程就转化为求解带约束条件的线性最小方程问题

$\min \left\{\right||\tilde{b}-\tilde{J}\mathrm{\δ}\tilde{x}||:|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\right||\≤\mathrm{\Δ}\}---\left(14\right)$

完成(14)式的求解需要先进行正演计算得出进而得出然后利用正演通过微分得到雅可比矩阵之后便可求解出满足的校正量

利用上面介绍的正演计算方法，则雅可比矩阵通过(15)式计算得出

$j_{\mathrm{ij}}={\∂F}_i/{\∂x}_i=\frac{F_i(x_1,x_2,\·\·\·,x_j+{\mathrm{\Δx}}_j,x_{j+1},\·\·\·,x_n)-F_i(x_1,x_2,\·\·\·,x_j,\·\·\·,x_n)}{{\mathrm{\Δx}}_j}---\left(15\right)$

这样我们就得出了计算(14)式所需的基础条件；

对(14)式求解首先要对雅可比矩阵进行奇异值分解，如下式

$\tilde{J}=\tilde{U}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{V}---\left(16\right)$

其中和分别为M×N和N×N阶矩阵，且满足 ${\tilde{U}}^T\tilde{U}={\tilde{V}}^T\tilde{V}=\tilde{V}{\tilde{V}}^T={\tilde{I}}_{N\×N},$ 为N×N阶的对角矩阵，包含奇异值

λ₁≥λ₂≥…≥λ_j≥…≥λ_p＞0   (17)

和

λ_p+1＝λ_p+2＝…＝λ_N＝0

其中p为雅可比矩阵的秩，若不考虑约束条件(14)式的一般形式为

$\mathrm{\δ}\tilde{x}=\tilde{V}{\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^{+}\tilde{g}---\left(18\right)$

其中， 是对角矩阵，其元素

实际用迭代法解方程(18)时，由于非零奇异值有可能会很小，容易出现上溢，因此为了使迭代过程稳定，引进阻尼因子μ＞0，将1/λ_j修正为根据方程(16)－(19)，将方程(14)的解写成下式

$\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)=\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+\mathrm{\μ}\tilde{I})}^{-1}\widetilde{\mathrm{\Λ}}\tilde{g}---\left(20\right)$

当时，方程(14)的解为否则存在一个唯一的μ使

$\mathrm{\φ}\left(\mathrm{\μ}\right)=\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left(\mathrm{\μ}\right)\left|\right|-\mathrm{\Δ}=0---\left(21\right)$

则相应的即为方程(14)的解，令满足通过迭代的方法得到

${\text{\μ}}^{k+1}={\mathrm{\μ}}^k-\left(\right|\left|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right||/\mathrm{\Δ})\mathrm{\φ}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)/{\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)---\left(22\right)$

其中

${\mathrm{\φ}}^{\′}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)=\left[\mathrm{\δ}\tilde{x}{\left({\mathrm{\μ}}^k\right)}^T\tilde{V}{({\widetilde{\mathrm{\Λ}}}^2+{\mathrm{\μ}}^k\tilde{I})}^{-1}{\tilde{V}}^T\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\right]/\left|\right|\mathrm{\δ}\tilde{x}\left({\mathrm{\μ}}^k\right)\left|\right|---\left(23\right).$