CN102609763B - 基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法。其中将待判别结构所具有的独立自应力模态的组合系数虚拟化为经典旅行商问题中各个待访问的城市，并将各系数离散化后的具体数值映射到通往每个城市的虚拟路径上。算法考虑了结构预定义单元类型等约束条件，并将考虑单元类型的约束条件以罚函数的形式引入判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型中。方法的主要步骤为：首先，建立判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型，并初始化蚁群算法各参数。每只蚂蚁由起点出发，并采用伪随机法选择一条虚拟路径，依次对各城市进行访问，随后，对已完成路径上的信息素进行局部更新。当所有蚂蚁已完成对各个城市的访问后，构造各系数值，并选择出全局最优解，然后对各路径上的信息素进行全局更新。

Description

基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法

技术领域

本发明涉及张拉整体结构的初步设计与形态分析等领域，主要涉及一种基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法。

背景技术

张拉整体结构具有新颖的几何形态，引起了数学家、建筑师、和结构工程师等的广泛关注。与常规静不定杆系结构不同，张拉整体结构同时具有自应力模态及机构位移模态，且存在可行的预应力，使结构本身保持稳定。结构的几何稳定性分析是判定常规杆系结构能否传递预应力，使结构获得线性刚度，从而成为张拉整体结构的一个关键因素。探究杆系结构的几何稳定性有利于张拉整体结构的初步设计与分析。本文所述张拉整体结构为广义的张拉整体结构，包括常规张拉整体结构，张力结构以及预应力杆系结构等。

能量法和力密度法是常见的两种探究杆系结构几何稳定性的方法。Calladine和Pellegrino提出一种基于力平衡矩阵的线性算法，以判定杆系是否几何稳定；Vassart等基于能量法，并以杆单元的长度为变量，引入了一种判定结构的机构位移阶次的解析方法，用于区分一阶无穷小机构位移和有限机构位移；Sultan等运用虚功原理推导出张拉整体结构的平衡方程，并得到了结构的几何稳定性判定公式。现有的研究方法大多将结构的几何稳定性问题转化为某(些)特定变量的解析表达式，应用于节点数、单元数较庞大的复杂结构时，计算效率显著降低，甚至无法获得有效的解。

为了解决这一问题，已有学者采用诸如遗传算法、模拟退火算法等启发式算法，将结构的几何稳定性判定条件转化成离散的多参数优化模型，对常规张拉整体结构的形态分析、预应力优化进行了研究。但这些算法只针对一些简单的张拉整体结构进行了验证分析。

随着张拉整体结构的快速发展，结构的规模越来越大，且设计师对非常规的张拉整体结构的需求也逐渐增加。为了解决以上所述的非常规张拉整体结构的形态分析问题，本专利公开了一种基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构的几何稳定性判别方法。蚁群算法是一种由Dorigo提出的启发式仿生进化算法，模仿自然界中蚁群的觅食行为，并已成功解决经典旅行商问题、资源二次分配等组合优化问题。基于蚁群算法的杆系结构几何稳定性判别方法的主要优势在于它能充分利用算法的反馈机制，在大规模的解空间中高效、稳定地求得全局最优解。

发明内容

技术问题：

本发明的目的是提出一种基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法。

技术方案：

针对以上问题，本发明建立判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型，将连续优化问题转化成改进的旅行商问题，并基于蚁群算法寻找可行解。其中，待判定结构所具有的独立自应力模态的组合系数被视作经典旅行商问题中待访问的不同城市，将各系数的连续解空间离散化为一系列的具体数值，并将这些值映射到各城市之间的虚拟路径上。此外，为考虑结构中预定义的单元类型等约束条件，在优化模型的目标函数中引入罚函数，通过信息素的浓度以及启发式信息，逐步引导蚂蚁朝着全局最优解的方向搜索。

算法的具体步骤包括：

步骤1建立判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型，

最小化： $N\left(\mathrm{\α}\right)=[f\left(\mathrm{\α}\right)+C]\×{[\stackrel{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)+1]}^{\mathrm{\χ}}$

其中：α＝[α₁，α₂，...，α_s]^T，且α_i∈[-1，1]i＝1，2，...，s

式中N(α)为优化模型的目标函数值，正常数C＝1，

f(α)为矩阵Q中非正特征值个数，且

$Q=\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{P}_i^{T}D\right)$

其中s为多自应力模态杆系结构的自应力模态的个数，α_i为多自应力模态杆系结构的第i阶自应力模态组合系数，P_i为多自应力模态杆系结构的第i阶自应力模态所产生的乘积力矩阵，表示矩阵P_i的转置，D为多自应力模态杆系结构的机构位移模态矩阵，

为考虑单元类型的约束参数，且参数χ＝0.5用于控制约束参数的权重，

并初始化算法参数，包括信息素浓度初始值τ₀＝0.4，蚂蚁个数M＝max(10，2s)，

步骤2将待判别杆系结构所具有的s个自应力模态的组合系数α_i虚拟化为经典旅行商问题中待访问的不同城市，其中i为正整数且i＝1，2，...，s，把组合系数α_i离散化为个属于[-1，1]区间且等差排列的离散数值，其中符号表示向上取整，ξ为算法的精度并取为0.001，并相应地将各离散值映射到各城市之间的虚拟路径上，

另外，定义每条虚拟路径上的初始信息素浓度均为τ₀，

步骤3所有蚂蚁位于起点，准备访问城市1，i＝1，

步骤4所有蚂蚁基于可选择路径的信息素及启发式信息，并根据以下伪随机公式，确定通往待访问城市i的路径：

式中j为虚拟路径的编号，(i，j)表示前往城市i的第j条路径，为蚂蚁k∈[1，M]可选择路径的集合，τ_ij为路径(i，j)上的信息素浓度，η_ij为路径(i，j)上的启发式信息，参数γ₁∈(0，1]、γ₂∈(0，1]且分别用于调节信息素浓度τ和启发式信息η的影响强度，表示蚂蚁k选择路径(i，j)的概率，q为[0，1]内随机产生的数，q₀为设定参数且q₀∈(0，1]，当q≤q₀时，蚂蚁将选择最大值所属的路径；当q₀＜q≤1时，随机选择路径，其中各路径被蚂蚁k选中的概率为：

式中l为集合中虚拟路径(i，h)的总个数，τ_ih表示路径(i，h)上信息素的浓度，η_ih为路径(i，h)上的启发式信息，

步骤5对已选择路径的信息素按下式方法进行局部更新：

τ_ij←(1-ρ₁)τ_ij+ρ₁τ₀

式中参数ρ₁∈(0，1)反映了路径上残留信息素的减弱速度，τ₀为信息素浓度的初始值，

当i＜s时，蚂蚁将对下一城市进行访问，此时i＝i+1，回到步骤4；否则，进入步骤6，

步骤6构造出M组系数值α_i(i＝1，2，...，s)，分别将这些系数值代回步骤1的判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型中，产生M个目标值N(α)，并进行全局比较，以M个目标值N(α)中的最小值作为全局最优解L(α)，随后对相应的路径上的信息素按下式进行全局更新：

τ_ij←(1-ρ₂)τ_ij+ρ₂Δτ_ij

式中参数ρ₂∈(0，1)，1-ρ₂表示信息素随时间的蒸发速度，Δτ_ij为获得全局最优解L(α)的蚂蚁在经过路径(i，j)时留下的信息素，按下式计算：

其中，全局更新信息素时，只更新全局最优蚂蚁所经过路径上的信息素浓度τ_ij，

步骤7当满足算法的终止条件时，则结束整个算法程序，完成对多自应力模态杆系结构几何稳定性的判别并输出全局最优解；否则，回到步骤3，其中算法的终止条件为：持续得到相同的全局最优解的次数达到10，或者，当前迭代次数达到100。

有益效果：

本发明的方法具有以下优点：(1)将待判别杆系结构具有的s个自应力模态的组合系数离散化为一系列的具体数值，并构建相应的虚拟路径，让算法根据各条路径上信息素的浓度对各系数进行赋值；(2)考虑了结构预定义单元类型等约束条件，通过对优化模型引入罚函数，在一系列迭代过程后，获得满足约束条件的优化解；(3)充分利用了蚁群算法的反馈机制，运用目标函数对已完成路径进行评价分析，引导蚂蚁朝着最优解的方向搜索，使算法具有较高的求解效率和很好的稳定性。

此外，与常规的解析方法不同，蚁群算法是一种模仿蚁群觅食行为的启发性优化算法，在优化求解过程中，对多种自应力模态的组合进行尝试选择，最终得到使多自应力模态杆系结构几何稳定的最优解。该方法可用于分析平面、三维杆系结构的几何稳定性，为张拉整体结构的设计提供了一种新的思路。

附图说明

图1为蚂蚁构造各系数值α_i的过程示意图。

图2为基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法的整体流程图。

图3为一个平面杆系结构的示意图。

具体实施方式

本发明公开了一种基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法。以下结合附图，对所公开的方法作进一步地描述。

1.建立结构几何稳定性问题的优化模型：

在d维空间坐标系中(d＝2或d＝3)的一个多自应力模态杆系结构，由n个节点和b根杆件组成，并受到g个独立的位移约束，并假定：(a)所有杆件为直线单元且各单元应力-应变关系为线性；(b)无任何外荷载作用；(c)结构具有m个独立的机构位移模态和s个独立的自应力模态。当下式所示的几何稳定性判定条件成立时，结构处于几何稳定状态：

${\mathrm{\β}}^T\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{P}_i^{T}D\right)\mathrm{\β}>0---\left(1\right)$

其中β为任意的m维非零向量，α_i为多自应力模态杆系结构的第i阶自应力模态的组合系数，P_i为多自应力模态杆系结构第i阶自应力模态所产生的乘积力矩阵，为(nd-g)×m阶矩阵。(nd-g)×m阶矩阵D表示多自应力模态杆系结构具有m阶独立机构位移模态，当结构不受任何位移约束时，即g＝0时，机构位移模态矩阵D中不包括刚体运动位移模态。当m×m阶方阵Q正定时，上述不等式(1)恒成立，其中矩阵Q为：

$Q=\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{P}_i^{T}D\right)---\left(2\right)$

由于多自应力模态杆系结构具有不止一个独立的自应力模态，上式中各系数α_i的取值不同，将产生不同的矩阵Q。常规数值解法很难求得一组合适的系数值α_i，使得矩阵Q正定，本发明提出一个有效的优化算法，为多自应力模态杆系结构的几何稳定性问题寻找可行解。

由于正定矩阵的所有特征值均为正数，可根据矩阵Q的非正特征值个数来判定矩阵Q是否正定。即与自应力模态的组合系数值α_i存在隐式的关系，记作：

$\stackrel{\‾}{q}=f\left(\mathrm{\α}\right)---\left(3\right)$

式中系数矩阵α＝[α₁，α₂，...，α_s]^T，由于多自应力模态杆系结构的各阶自应力模态的组合为无量纲值，各系数α_i属于区间[-1，1]中。上式中函数f(α)用于求解非正特征值的个数：时，矩阵Q为非正定矩阵；时，矩阵Q为正定矩阵。如果得到了的可行解，则根据多自应力模态杆系结构的自应力模态矩阵与系数矩阵α的乘积，得到结构的预应力模态t，表示为：

t＝[t₁，t₂，...，t_b]^T    (4)

该预应力模态t可将所判定的多自应力模态杆系结构转化为几何稳定的张拉整体结构。此外，由于张拉整体结构中存在某些杆件单元只用于承受拉力或压力，在优化过程中宜考虑这些单元的类型，即各单元预应力的正负情况，为此定义一个b×b阶对角矩阵T来描述各单元预定义的类型，记作：

式中T_ee＝-1表示单元e＝1，2，...，b预定义为压杆，只用于承受压力，_Tee＝1表示单元e预定义为拉索，只用于承受拉力，T_ee＝0表示单元e既有可能受拉亦可能受压。定义参数u(α)为不满足预定义单元类型的总个数，且u(α)等于矩阵T·t中负数值的个数，t为结构的预应力模态。按照下式调整参数u(α)：

$\stackrel{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)=\frac{u\left(\mathrm{\α}\right)}{u\left(\mathrm{\α}\right)+1}---\left(6\right)$

以确保考虑单元类型的约束参数

并将结构单元类型的约束条件以罚函数的形式引入到判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型中，即：

最小化： $N\left(\mathrm{\α}\right)=[f\left(\mathrm{\α}\right)+C]\×{[\stackrel{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)+1]}^{\mathrm{\χ}}$

其中：α＝[α₁，α₂，...，α_s]^T，且α_i∈[-1，1]i＝1，2，...，s    (7)

式中N(α)为优化模型的目标函数值，为考虑单元类型的约束参数，正常数C＝1，以确保f(α)＝0时目标函数值N(α)仍大于0，常数χ＝0.5用于控制罚函数的权重。

以下部分详细地描述了用于判别多自应力模态杆系结构几何稳定性问题的蚁群算法：

2.算法参数的定义

蚁群算法中，蚂蚁个数、启发式信息和信息素是几个重要的参数。定义蚂蚁个数为M＝max(10，2s)，启发式信息为η，信息素为τ，并对映射到各条虚拟路径上的初始信息素浓度τ₀进行赋值，τ₀＝0.4。

3.系数取值的离散化

多自应力模态杆系结构中自应力模态的组合系数α_i(i＝1，2，...，s)可视作s个独立的待访问城市，结合算法要求的精度ξ(取为0.001)，将各系数α_i的连续解空间α_i∈[-1，1]离散化为个等差排列的具体数值，其中符号表示向上取整，并将α_i的各离散值映射到各城市之间的虚拟路径上，如图1所示。其中，每条路径被赋予了信息素浓度τ，用于引导蚂蚁在旅程中选择该条虚拟路径。

4.解的构造

(1)蚂蚁访问城市的顺序

由于蚂蚁访问各城市的顺序不会影响系数α_i的取值，亦不会改变最终的目标函数值N(α)，因此定义所有蚂蚁由起点按顺序依次访问各城市。根据蚂蚁抵达各城市前经历过的虚拟路径，可相应地构建出各系数值α_i，其中i＝1，2，...，s。

(2)各系数值的构造

定义前往第i城市的第j条虚拟路径为(i，j)，其中j为路径的编号，且为蚂蚁k前往城市i中，可选择虚拟路径的集合。如图1所示，当蚂蚁k对城市i进行访问时，将基于各条可选择路径的信息素浓度，按如下伪随机公式，确定通往待访问城市i的路径：

式中τ_ij表示虚拟路径(i，j)上的信息素浓度，η_ij为路径(i，j)上的启发式信息，参数γ₁∈(0，1]、参数γ₂∈(0，1]分别用于调节信息素浓度τ和启发式信息η的影响强度，表示蚂蚁k选择路径(i，j)的概率。q为[0，1]内随机产生的数，q₀为设定参数且q₀∈(0，1]，q与q₀之间的比较决定了蚂蚁探索新路径的倾向：当q≤q₀时，蚂蚁将选择最大值所属的路径；当q₀＜q≤1时，将随机选择路径，其中各路径被选择的概率为：

式中l为集合中虚拟路径(i，h)的总个数，τ_ih表示路径(i，h)上信息素的浓度，η_ih为路径(i，h)上的启发式信息。

在每一次的迭代过程中，M只蚂蚁均需要循环使用s次这种虚拟路径的选择方法(参照上式(8-9))，从而完成对s个城市的访问，并构造出各系数值α_i，i＝1，2，...，s。

5.信息素的更新

(1)局部更新信息素

在旅途过程中，蚂蚁要不断地在已完成的路径j上减弱残留的信息素τ_ij，从而减小其它蚂蚁选择相同路径的概率。根据信息素的局部更新规则进行减弱：

τ_ij←(1-ρ₁)τ_ij+ρ₁τ₀    (10)

式中参数ρ₁∈(0，1)，表示路径上残留信息素的减弱速度，τ₀为信息素浓度的初始值。

(2)全局更新信息素

由于各蚂蚁每完成一个城市i的访问，便构造出一个具体的α_i数值。因此，当M只蚂蚁均完成各自的旅程后，算法会将此次循环过程中蚁群构造的M个系数矩阵α分别回代入式(7)中，产生M个目标值N(α)，并进行全局比较，以M个目标值N(α)中的最小值作为当前迭代步的全局最优解L(α)。随后，对所有虚拟路径上的信息素浓度进行全局更新：

τ_ij←(1-ρ₂)τ_ij+ρ₂Δτ_ij    (11)

式中参数ρ₂∈(0，1)，且参数值1-ρ₂表示信息素随时间的蒸发速度；Δτ_ij表示获得全局最优解L(α)的蚂蚁在经过路径(i，j)时留下的信息素，表示为：

上式表明，算法进行全局更新时，只有全局最优蚂蚁所经过路径上的信息素浓度τ_ij得到更新。

基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法的整体流程图如图2所示，当满足算法的终止条件时，则结束整个算法程序，完成多自应力模态杆系结构几何稳定性的判别并输出全局最优解；否则，所有蚂蚁回到起点并进行新一轮的迭代求解。其中算法的终止条件为：持续得到相同的全局最优解的次数达到10，或者，当前迭代次数达到100。

将本发明所公开的方法用于判别一个经典平面杆系结构的稳定性。如图3所示，待判别结构由八个节点和七根单元组成，其中结构的四个边界节点受铰接约束，该结构具有三个独立的机构位移模态和两个自应力模态，即m＝3，s＝2。运用本发明所公开的判别方法得到，所判别结构为几何稳定的，且全局最优解为L(α)＝1，与Calladine和Pellegrino所得解析结果完全一致，这证明了发明的方法是有效的。

Claims (1)

1.一种基于蚁群算法的多自应力模态杆系结构稳定性的判别方法，其特征在于，

步骤1建立判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型，

最小化： $N\left(\mathrm{\α}\right)=[f\left(\mathrm{\α}\right)+C]\×{[\stackrel{\‾}{u}\left(\mathrm{\α}\right)+1]}^{\mathrm{\χ}}$

其中：α＝[α₁，α₂，...，α_s]^T，且α_i∈[-1，1]i＝1，2，...，s

式中N(α)为优化模型的目标函数值，正常数C＝1，

f(α)为矩阵Q中非正特征值个数，且

$Q=\underset{i=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\α}}_i{P}_i^{T}D\right)$

其中s为多自应力模态杆系结构的自应力模态的个数，α_i为多自应力模态杆系结构的第i阶自应力模态组合系数，P_i为多自应力模态杆系结构的第i阶自应力模态所产生的乘积力矩阵，表示矩阵P_i的转置，D为多自应力模态杆系结构的机构位移模态矩阵，为考虑单元类型的约束参数，且参数χ＝0.5用于控制约束参数的权重，

并初始化算法参数，包括信息素浓度初始值τ₀＝0.4，蚂蚁个数M＝max(10，2s)，

步骤2将待判别杆系结构所具有的s个自应力模态的组合系数α_i虚拟化为经典旅行商问题中待访问的不同城市，其中i为正整数且i＝1，2，...，s，把组合系数α_i离散化为个属于[-1，1]区间且等差排列的离散数值，其中符号表示向上取整，ξ为算法的精度并取为0.001，并相应地将各离散值映射到各城市之间的虚拟路径上，

另外，定义每条虚拟路径上的初始信息素浓度均为τ₀，

步骤3所有蚂蚁位于起点，准备访问城市1，i＝1，

步骤4所有蚂蚁基于可选择路径的信息素及启发式信息，并根据以下伪随机公式，确定通往待访问城市i的路径：

式中j为虚拟路径的编号，(i，j)表示前往城市i的第j条路径，为蚂蚁k∈[1，M]可选择路径的集合，τ_ij为路径(i，j)上的信息素浓度，η_ij为路径(i，j)上的启发式信息，参数γ₁∈(0，1]、γ₂∈(0，1]且分别用于调节信息素浓度τ和启发式信息η的影响强度，表示蚂蚁k选择路径(i，j)的概率，q为[0，1]内随机产生的数，q₀为设定参数且q₀∈(0，1]，当q≤q₀时，蚂蚁将选择最大值所属的路径；当q₀＜q≤1时，随机选择路径，其中各路径被蚂蚁k选中的概率为：

式中l为集合中虚拟路径(i，h)的总个数，τ_ih表示路径(i，h)上信息素的浓度，η_ih为路径(i，h)上的启发式信息，

步骤5对已选择路径的信息素按下式方法进行局部更新：

τ_ij←(1-ρ₁)τ_ij+ρ₁τ₀

式中参数ρ₁∈(0，1)反映了路径上残留信息素的减弱速度，τ₀为信息素浓度的初始值，

当i＜s时，蚂蚁将对下一城市进行访问，此时i＝i+1，回到步骤4；否则，进入步骤6，

步骤6构造出M组系数值α_i(i＝1，2，...，s)，分别将这些系数值代回步骤1的判别多自应力模态杆系结构几何稳定性的优化模型中，产生M个目标值N(α)，并进行全局比较，以M个目标值N(α)中的最小值作为全局最优解L(α)，随后对相应的路径上的信息素按下式进行全局更新：

τ_ij←(1-ρ₂)τ_ij+ρ₂Δτ_ij

式中参数ρ₂∈(0，1)，1-ρ₂表示信息素随时间的蒸发速度，Δτ_ij为获得全局最优解L(α)的蚂蚁在经过路径(i，j)时留下的信息素，按下式计算：

其中，全局更新信息素时，只更新全局最优蚂蚁所经过路径上的信息素浓度τ_ij，

步骤7当满足算法的终止条件时，则结束整个算法程序，完成对多自应力模态杆系结构几何稳定性的判别并输出全局最优解；否则，回到步骤3，其中算法的终止条件为：持续得到相同的全局最优解的次数达到10，或者，当前迭代次数达到100。