CN110532618B - 一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法 - Google Patents

Abstract

一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法，涉及有限元仿真领域，包含以下信息输入；确定初始迭代参数；设定迭代终止条件；引入初始迭代参数；计算刚体位移雅克比矩阵和定值对角矩阵；计算变形节点的位置残差和约束方程残差；迭代收敛性判定；约束条件判定；迭代终止判定；计算约束条件雅克比矩阵和约束条件乘子系数；计算新的广义刚体位移参数；计算迭代次数，姿态向量单位化以及计算刚体位移量。本发明所述的方法用于有限元仿真结果中的面、体以及节点的刚体位移分析，可以分析结构件在特定工况条件下的刚体位移情况。本发明可实现任意范围内的物体刚体位移参量进行求解计算，具有收敛快速、稳定，求解效率高且稳定的突出优点。

Description

一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法

技术领域

本发明涉及航空、航天光机结构仿真领域，具体涉及一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法，用于完成有限元仿真结果中光机结构件的刚体位移变形参量解析，从而指导光机结构的进一步设计、优化。

背景技术

为了突破运载器对空间遥感器的限制，采用拼接主镜的分体式光学系统应运而生，并引起了世界各国的高度重视，最具代表性的詹姆斯韦伯天文望远镜(JWST)就是采用分体式光学系统的杰出代表。分体式光学系统在带来口径红利的同时，也对光机结构设计提出了巨大挑战，其中，分体主镜的共相调整因技术跨度大、实现难度高以及涵盖学科广被视为分体式光学系统的核心技术，成为决定载荷成败的关键。

拼接主镜共相是通过共相调整机构对分体镜进行大范围、高精度的位姿调整，使所有分体镜组成一个理想的光学反射面，实现等效设计口径的成像能力。这是一项极具挑战的工作，它要求共相装置在毫米级的运动范围内达到纳米级的定位精度。为了实现这一目标，传统的设计理论已经达不到这样的精度，需要采用以有限元分析为指导的迭代优化设计过程。有限元分析结果仅能给出变形云图，无法精度给出分体镜的刚体位移参数，给机构的设计优化带来了极大不便。

针对刚体位移参量解析技术，毕勇，徐广州，张颖和张军强都进行了深入研究，它们基于坐标变换理论，使用小角度近似理论，将三角函数线性化，来求刚体位移。该方法仅适用于微小刚体位移参量的提取，无法应用于共相调整这种大刚体位移工况；再者，其求解精度并不固定，参数解算误差会随着刚体位移量的增加而增大。

发明内容

本发明为解决现有方法无法应用于共相调整这种大刚体位移工况；存在求解精度低，参数解算误差会随着刚体位移量的增加而增大等问题。提供一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法。

一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法，该方法由以下步骤实现：

步骤一、信息输入；

将有限元仿真结果引入大刚体位移参量算法，包括待求解结构件上共n个节点的初始位置矢量

变形位置矢量

所述初始位置矢量

和变形位置矢量

用公式表示为：

其中，i为大于1小于n的整数，xo_i,yo_i,zo_i分别为节点i的x，y和z轴初适位置坐标值，xd_i,yd_i,zd_i分别为节点i的x，y和z轴变形位置坐标值；

步骤二、确定初始迭代参数

所述

即为初始广义刚体位移向量；

式中，uo₁,uo₂,uo₃,uo₄,uo₅,uo₆,uo₇,uo₈,uo₉,uo₁₀,uo₁₁,uo₁₂为12个广义刚体位参量，其中，uo₁,uo₂,uo₃为姿态变换矩阵中x轴单位方向向量的坐标值，uo₄,uo₅,uo₆为姿态变换矩阵中y轴单位方向向量的坐标值，uo₇,uo₈,uo₉为姿态变换矩阵中z轴单位方向向量的坐标值，uo₁₀,uo₁₁,uo₁₂为位置变换向量的坐标值；

迭代次数变量赋初值：cou_n＝0；

步骤三、设定迭代终止条件：设定拟合残差终止条件为ε₁，约束矩阵终止条件为ε₂，最大迭代次数终止条件为max_n；

步骤四、引入初始迭代参数：

n_x＝uo₁；n_y＝uo₂；n_z＝uo₃；o_x＝uo₄；o_y＝uo₅；o_z＝uo₆；

a_x＝uo₇；a_y＝uo₈；a_z＝uo₉；t_x＝uo₁₀；t_y＝uo₁₁；t_z＝uo₁₂

步骤五、计算刚体位移雅克比矩阵F和定值对角矩阵Q；

Q＝(F^TF)^-1

步骤六、计算全部变形节点的位置残差

和约束方程残差

具体过程为：步骤六一、计算节点初始位置残差

Δx_i＝xd_i-n_xxo_i-o_xyo_i-a_xzo_i-t_x

Δy_i＝yd_i-n_yxo_i-o_yyo_i-a_yzo_i-t_y

Δz_i＝zd_i-n_zxo_i-o_zyo_i-a_zzo_i-t_z

其中，Δx_i,Δy_i,Δz_i依次为节点i的x轴、y轴以及z轴坐标的拟合残差；

步骤六二、合成全部节点组成的位置残差向量

步骤六三、计算约束方程残差

其中，

为当次迭代过程中约束方程的拟合残差；

步骤七、迭代收敛性判定；判断迭代次数cou_n是否超过最大迭代次数max_n，如果是，则迭代终止，输出迭代不收敛，如果否，执行步骤八；

步骤八、约束条件判定；判断约束方程残差

是否小于约束残差终止条件ε₁，如果是，则执行步骤九，如果否，则执行步骤十；

步骤九、迭代终止判定；判断所述拟合残差的均方值E是否小于拟合残差终止条件ε₂，如果是，则终止迭代，执行步骤十三；如果否，则执行步骤十；

其中：

步骤十、计算约束条件雅克比矩阵M和约束条件乘子系数λ；

步骤十一、计算新的广义刚体位移参数

具体过程为：

计算迭代误差

Δu^T＝(v^T·F-λ^TM)·Q

其中，

为迭代误差向量，是广义刚体位移向量的迭代误差，Δu₁至Δu₁₂依次对应具体的广义刚体位移值u₁至u₁₂的迭代误差；

计算新的广义刚体位移量；

n_x＝n_x+Δu₁；n_y＝n_y+Δu₂；n_z＝n_z+Δu₃；o_x＝o_x+Δu₄；o_y＝o_y+Δu₅；o_z＝o_z+Δu₆

a_x＝a_x+Δu₇；a_y＝a_y+Δu₈；a_z＝a_z+Δu₉；t_x＝t_x+Δu₁₀；t_y＝t_y+Δu₁₁；t_z＝t_z+Δu₁₂

步骤十二、迭代次数cou_n加1，返回执行步骤六；

步骤十三、姿态向量单位化：

单位化后，

为姿态变换矩阵中x轴单位方向向量，

为姿态变换矩阵中y轴单位方向向量，

为姿态变换矩阵中z轴单位方向向量；

其中，n₁、n₂、n₃、o₁、o₂、o₃以及a₁、a₂、a₃分别为单位化后的x轴、y轴和z轴的矢量坐标；

步骤十四、计算刚体位移量，包括刚体平移矢量

和刚体转角矢量

刚体平移矢量

刚体转角矢量

式中，θ₁,θ₂,θ₃分别为绕x轴、y轴和z轴的刚体位移转角，t_x,t_y,t_z为位置变换向量的坐标值；即为沿x轴、y轴和z轴的刚体平移量；

其中：

θ₁＝atan2(n₂,n₁)

θ₂＝atan2(o₃,a₃)

θ₃＝atan2(-n₃,o₃/sinθ₁)。

本发明的有益效果：采用本发明的方法可以对光机仿真结果中的超大刚体位移参量进行快速，准确的计算，并将其分离，从而可以获得面形畸变图，该图对反射镜的支撑结构设计极为重要。而刚体位移参量对分体镜共相调整装置的设计也极为重要，是进行机构设计、优化的最重要、最有效也最经济的基础依据。

附图说明

图1为本发明所述的一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法的流程图；

图2为有限元仿真分析结果的变形云图；

图3为去除刚体位移后的反射镜面形畸变图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1至图3说明本实施方式，一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法，该方法包括以下步骤：

步骤1，输入所有节点信息：

将有限元仿真结果引入算法，包括待求解结构件上全部节点(共n个)的初始位置矢量

变形位置矢量

其中i表示第i个节点，并且有：

其中，i为大于1小于n的整数，xo_i,yo_i,zo_i分别为节点i的x，y和z轴初值位置坐标值，xd_i,yd_i,zd_i分别为节点i的x，y和z轴变形位置坐标值；

步骤2，确定初始迭代参数

所述

即为初始广义刚体位移向量；

式中，uo₁,uo₂,uo₃,uo₄,uo₅,uo₆,uo₇,uo₈,uo₉,uo₁₀,uo₁₁,uo₁₂为12个广义刚体位移值，其中，uo₁,uo₂,uo₃为姿态变换矩阵中x轴单位方向向量的坐标值，uo₄,uo₅,uo₆为姿态变换矩阵中y轴单位方向向量的坐标值，uo₇,uo₈,uo₉为姿态变换矩阵中z轴单位方向向量的坐标值，uo₁₀,uo₁₁,uo₁₂为位置变换向量的坐标值；

迭代次数变量赋初值：cou_n＝0。

步骤3，设定迭代终止条件：

拟合残差终止条件ε₁，约束矩阵终止条件ε₂，最大迭代次数终止条件max_n；

步骤4，引入初始迭代参数：

步骤5，计算刚体位移雅克比矩阵F，和定值对角矩阵Q：

Q＝(F^TF)^-1 (5)

步骤6，计算变形节点的位置残差

和约束方程残差

1)计算节点初始位置残差

Δz_i＝zd_i-n_zxo_i-o_zyo_i-a_zzo_i-t_z

其中，Δx_i,Δy_i,Δz_i依次为节点i的x轴、y轴以及z轴坐标的拟合残差。

2)合成全部节点组成的位置残差向量

3)计算约束方程残差

其中，

为当次迭代过程中约束方程的拟合残差；

步骤7，迭代收敛性判定：迭代次数cou_n是否超过了最大迭代次数max_n，如果是，则迭代终止，输出迭代不收敛；如果否，则继续执行步骤8。

步骤8，约束条件判定：约束方程残差

是否小于约束残差终止条件ε₁，如果是，则继续第9步，如果否，执行第10步。

步骤9，迭代终止判定：拟合残差的均方值E是否小于拟合残差终止条件ε₂，如果是，则终止迭代，执行第13步；如果否则继续执行第10步。

其中：

步骤10，计算约束条件雅克比矩阵M和约束条件乘子系数λ：

步骤11，计算新的广义刚体位移参数

1)计算迭代误差

Δu^T＝(v^T·F-λ^TM)·Q (12)

2)计算新的广义刚体位移参量：

步骤12，计算迭代次数cou_n，然后转步骤6：

cou_n＝cou_n+1

步骤13，姿态向量单位化：

单位化后，

为姿态变换矩阵中x轴单位方向向量，

为姿态变换矩阵中y轴单位方向向量，

为姿态变换矩阵中z轴单位方向向量。

其中，n₁、n₂、n₃、o₁、o₂、o₃以及a₁、a₂、a₃分别为单位化后的x轴、y轴和z轴的矢量坐标；

步骤14，计算刚体位移量：

刚体平移量

式中：t_x,t_y,t_z为位置变换向量的坐标值；即为沿x轴、y轴和z轴的刚体平移量；

刚体转角量

式中，θ₁,θ₂,θ₃分别为绕x轴、y轴和z轴的刚体位移转角，并且有：

θ₁＝atan2(n₂,n₁) (17)

θ₂＝atan2(o₃,a₃) (18)

θ₃＝atan2(-n₃,o₃/sinθ₁) (19)

本实施方式中，广义刚体位移向量可以独立描述结构件刚体位移情况，且具有更准确和广泛的应用。本实施方式所述的刚体位移量的定义坐标系与变形节点的描述坐标系相同，转角矢量

是采用RPY转角序列描述。

具体实施方式二、结合图1至图3说明本实施方式，一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法的实施例：

本实例为某一反射镜绕x轴旋转30°的有限元仿真结果的参量解析问题，其有限元分析结果的变形云图如图2所示。

首先确定待求解对象，在实际工程应用中，最关心反射镜光学表面的变形状态，因此本实例以反射镜光学表面为主要研究对象。

提取反射镜光学表面上的所有节点的初始坐标矢量

节点变形矢量

将节点变形作为输入条件导入求解程序：

确定初始迭代参数

迭代次数变量赋初值：cou_n＝0。

设定迭代终止条件：

拟合残差终止条件ε₁＝1e-6，约束矩阵终止条件ε₂＝1e-6，最大迭代次数终止条件max_n＝100；

引入初始迭代参数：

计算刚体位移雅克比矩阵F，和定值对角矩阵Q：

Q＝(F^TF)^-1 (5)

计算变形节点的位置残差

和约束方程残差

1)计算节点初始位置残差

2)合成全部节点组成的位置残差向量

3)计算约束方程残差

迭代收敛性判定：

迭代次数cou_n是否超过了最大迭代次数max_n，超过，则迭代终止，输出“迭代不收敛”，不超过则继续。

约束条件判定：

约束方程残差

是否小于约束残差终止条件ε₁，小于则继续第9步，不小于则跳转第10步。

迭代终止判定：

拟合残差的均方值E是否小于拟合残差终止条件ε₂，小于则终止迭代，输出刚体位移结果；不小于则继续下一步。

其中：

计算约束条件雅克比矩阵M和约束条件乘子系数λ：

计算新的广义刚体位移参数

1)计算迭代误差

Δu^T＝(v^T·F-λ^TM)·Q (12)

2)计算新的广义刚体位移参量：

计算迭代次数cou_n，然后转步骤6：

cou_n＝cou_n+1

上述程序经过6次迭代后，满足迭代终止条件，迭代终止，输出刚体位移结果：

姿态向量单位化：

计算刚体位移：

刚体平移矢量

刚体转角矢量

结合图2和图3说明本实施方式，在反射镜设计领域，反射镜支撑结构设计是最核心的技术，而反射镜的支撑变形是指导支撑结构设计的最基本，也是最主要的依据。目前使用有限单元方法的模拟仿真技术是获得该数据的最经济有效的途径。但是，反射镜在外力作用下的刚体位移，会产生远远大于支撑变形的变形，这样由于支撑结构导致的面形畸变就被刚体位移完全掩盖掉，从而无法有效的指导支撑结构设计，这种作用由图2可以很直接的观察到，图2是有限元分析结果，观察其变形状态，支撑知道反射镜存在绕x轴转角位移，根本无法发现面形畸变。使用本发明的算法将刚体位移去除，可以得到图3所示的变形云图，对比图2与图3可知，面形畸变的量级要远小于刚体位移，具体形状属于低阶像散，可以通过调整支点位置来减小或消除该型像散。因此，本文所述方法可以成功的提取超大刚体位移分析结果中隐藏的微小面形畸变，可以指导反射镜支撑结构的设计优化。

上列详细说明是针对本发明可行实施例的具体说明，该实施例并非用以限制本发明的专利范围，凡未脱离本发明所为的等效实施或变更，均应包含于本案的专利范围中。

Claims (2)

1.一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、信息输入；

将有限元仿真结果引入大刚体位移参量算法，包括待求解结构件上共n个节点的初始位置矢量

变形位置矢量

所述初始位置矢量

和变形位置矢量

用公式表示为：

其中，i为大于1小于n的整数，xo_i,yo_i,zo_i分别为节点i的x，y和z轴初始位置坐标值，xd_i,yd_i,zd_i分别为节点i的x，y和z轴变形位置坐标值；

步骤二、确定初始迭代参数

所述

即为初始广义刚体位移向量；

式中，uo₁,uo₂,uo₃,uo₄,uo₅,uo₆,uo₇,uo₈,uo₉,uo₁₀,uo₁₁,uo₁₂为12个广义刚体位移参量，其中，uo₁,uo₂,uo₃为姿态变换矩阵中x轴单位方向向量的坐标值，uo₄,uo₅,uo₆为姿态变换矩阵中y轴单位方向向量的坐标值，uo₇,uo₈,uo₉为姿态变换矩阵中z轴单位方向向量的坐标值，uo₁₀,uo₁₁,uo₁₂为位置变换向量的坐标值；

迭代次数变量赋初值：cou_n＝0；

步骤三、设定迭代终止条件：设定拟合残差终止条件为ε₁，约束矩阵终止条件为ε₂，最大迭代次数终止条件为max_n；

步骤四、引入初始迭代参数：

n_x＝uo₁；n_y＝uo₂；n_z＝uo₃；o_x＝uo₄；o_y＝uo₅；o_z＝uo₆；

a_x＝uo₇；a_y＝uo₈；a_z＝uo₉；t_x＝uo₁₀；t_y＝uo₁₁；t_z＝uo₁₂

步骤五、计算刚体位移雅克比矩阵F和定值对角矩阵Q；

Q＝(F^TF)^-1

步骤六、计算全部变形节点的位置残差向量

和约束方程残差

具体过程为：

步骤六一、计算节点初始位置残差

Δx_i＝xd_i-n_xxo_i-o_xyo_i-a_xzo_i-t_x

Δy_i＝yd_i-n_yxo_i-o_yyo_i-a_yzo_i-t_y

Δz_i＝zd_i-n_zxo_i-o_zyo_i-a_zzo_i-t_z

其中，Δx_i,Δy_i,Δz_i依次为节点i的x轴、y轴以及z轴坐标的拟合残差；

步骤六二、合成全部节点组成的位置残差向量

步骤六三、计算约束方程残差

其中，

为当次迭代过程中约束方程的拟合残差；

步骤七、迭代收敛性判定；判断迭代次数cou_n是否超过最大迭代次数max_n，如果是，则迭代终止，输出迭代不收敛，如果否，执行步骤八；

步骤八、约束条件判定；判断约束方程残差

是否小于约束残差终止条件ε₁，如果是，则执行步骤九，如果否，则执行步骤十；

步骤九、迭代终止判定；判断所述拟合残差的均方值E是否小于拟合残差终止条件ε₂，如果是，则终止迭代，执行步骤十三；如果否，则执行步骤十；

其中：

步骤十、计算约束条件雅克比矩阵M和约束条件乘子系数λ；

步骤十一、计算新的广义刚体位移参数

具体过程为：

计算迭代误差

其中，

为迭代误差向量，是广义刚体位移向量的迭代误差，Δu₁至Δu₁₂依次对应具体的广义刚体位移值u₁至u₁₂的迭代误差；

计算新的广义刚体位移量；

n_x＝n_x+Δu₁；n_y＝n_y+Δu₂；n_z＝n_z+Δu₃；o_x＝o_x+Δu₄；o_y＝o_y+Δu₅；o_z＝o_z+Δu₆

a_x＝a_x+Δu₇；a_y＝a_y+Δu₈；a_z＝a_z+Δu₉；t_x＝t_x+Δu₁₀；t_y＝t_y+Δu₁₁；t_z＝t_z+Δu₁₂

步骤十二、迭代次数cou_n加1，返回执行步骤六；

步骤十三、姿态向量单位化：

单位化后，

为姿态变换矩阵中x轴单位方向向量，

为姿态变换矩阵中y轴单位方向向量，

为姿态变换矩阵中z轴单位方向向量；

步骤十四、计算刚体位移量，包括刚体平移矢量

和刚体转角矢量

刚体平移矢量

刚体转角矢量

式中，θ₁,θ₂,θ₃分别为绕x轴、y轴和z轴的刚体位移转角，t_x,t_y,t_z为位置变换向量的坐标值；即为沿x轴、y轴和z轴的刚体平移量；

其中：

θ₁＝atan2(n₂,n₁)

θ₂＝atan2(o₃,a₃)

θ₃＝atan2(-n₃，o₃/sinθ₁)。

2.根据权利要求1所述一种基于约束最优化方法的大刚体位移参量计算方法，其特征在于，所述刚体位移量的定义坐标系与变形节点的坐标系相同，刚体转角矢量

采用RPY转角序列。

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