CN102608167A - 一种确定固定结合面法向接触刚度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明的目的是针对固定结合面接触电阻比法向接触刚度容易测量的现状，结合理论计算与实验测试，提出一种间接获得结合面法向接触刚度的新方法。本发明根据测量并后处理接触表面微观形貌，建立结合面接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot之间的关系。首先建立结合面接触电阻R_C的表达式；然后建立结合面接触电阻K_tot的表达式；最后建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系。本发明结克服了法向接触刚度不易测量且测量成本高的缺点；该方法考虑了两个粗糙表面的弹塑性接触，考虑了更全面、准确的实际表面形貌信息。

Description

一种确定固定结合面法向接触刚度的方法

技术领域

本发明涉及一种确定固定结合面法向接触刚度的方法，具体是一种基于结合面两个接触表面的微观形貌，采用测试接触电阻的方法来反推接触刚度的方法。

背景技术

结合面的特性与机械结构的静特性、动特性及振动与振动控制都存在着密切的关系，从20世纪60年代开始，各国学者就已经对结合面的问题从宏观到微观、从现象到本质展开了大量的研究。由于影响结合面特性参数的因素众多，其作用机理复杂，且具有强烈的非线性特性，结合面作用机理的本质至今仍未被完全了解和揭示。由于结合面的两个接触表面在微观尺度下是粗糙不平的，结合面的接触实际上是两个粗糙表面上离散微凸体的接触，因此从微观角度对结合面的接触情况展开研究将有助于进一步揭示结合面作用机理的本质。

由于结合面的微观接触，产生了一系列相关的特性参数，如接触电阻、接触热阻、接触刚度等。由于结合面特性参数都与微凸体的接触有关，因此它们之间存在着密切的关系，如果能够得到这种参数之间的关系，那么完全可以在已知某种参数的情况下推出结合面的其他特性参数。

结合面的接触刚度作为重要的结合面特性参数之一，对复杂机械系统的整机变形、振动都有显著影响，因此对结合面接触刚度展开研究将有利于完善结合特性参数模型。目前无论是理论还是实验对结合面接触刚度都有大量的研究，但这些研究仍存在以下问题：首先，在理论研究方面，将结合面两个粗糙表面的接触简化为刚性平面和等效粗糙面的接触，同时，在计算结合面特性参数时，均假设表面峰高或者接触点数服从某种函数分布，通过对此函数的积分来计算接触参数，没有考虑微观表面实际三维粗糙峰的空间分布；其次，在实验测量方面，结合面接触刚度与结合面的接触载荷及接触变形有关，而结合面的接触变形由于是微米级，不容易实现测量，因此对变形测量传感器的要求高，导致结合面接触刚度测量实验台的成本高且测量步骤复杂。

发明内容

本发明的目的是针对固定结合面接触电阻比法向接触刚度容易测量的现状，结合理论计算与实验测试，提出一种间接获得结合面法向接触刚度的新方法。

本发明通过以下技术方案实现，主要步骤包括：

(一)测量并后处理接触表面微观形貌

利用三维形貌测量仪器分别获得结合面处两个接触表面的微观形貌数据，用旋转抛物体拟合接触表面的微凸体，并提取各个拟合微凸体的形状参数及其顶点在接触表面上的空间位置坐标即x、y、z坐标。

(二)建立结合面接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot之间的关系

(1)建立结合面接触电阻R_C的表达式

对单对微凸体侧接触进行接触受力分析，如图1所示，根据接触力学可得到接触区域的接触面积A与接触表面之间的距离d之间的关系：A＝A(d)，则接触面积A在接触表面上的投影A_n的表达式为：A_n＝Acosθ，其中，θ为接触角。单对微凸体接触时若接触区域为圆，则接触电阻R的表达式为

$R=\frac{1.05}{4\mathrm{Ca}}$

式中，a为接触区域的半径，其表达式为

C为接触电导率，与两个接触表面的电导率C₁、C₂之间的关系为

在各个微凸体接触对之间的接触是相互独立的前提下，结合面接触电阻可以看作是由各个微凸体接触对接触电阻并联产生的，因此，结合面接触电阻R_c的计算公式为：

$\frac{1}{R_c}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{sp}}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{R_i}$

式中，R_i为第i个接触对的接触电阻，N_sp为结合面上所有接触对的个数。

(2)建立结合面接触电阻K_tot的表达式

对单对微凸体接触进行接触受力分析，如图1所示，F为接触区域法向方向的接触载荷，F_n、F_t分别为F在结合面法线方向及切向方向的分量。对于没有切向滑移的固定结合面，根据弹塑性接触力学可得接触载荷F与接触表面之间的距离d之间的关系：F＝F(d)。因此，单对微凸体接触的结合面法向接触载荷F_n的表达式为：F_n＝Fcosθ。根据接触刚度的定义，可得单对微凸体接触的法向接触刚度K_n的表达式为： $K_n=-\frac{d\left(F_n\right)}{d\left(d\right)}.$

在各个微凸体接触对之间的接触是相互独立的前提下，结合面法向接触刚度可以看作是由各个微凸体接触对法向接触刚度的并联产生的，因此，结合面法向接触刚度K_tot计算公式为：

$K_{\mathrm{tot}}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{sp}}}{\mathrm{\Σ}}}{K}_{n_i}$

式中，

为第i个接触对的法向接触刚度，N_sp为结合面上所有接触对的个数。

(3)建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系

对于相同的结合面，在施加的外界法向载荷相同的情况下，结合面处微凸体对的接触情况是完全一致的，因此会产生唯一的一个接触电阻值及法向接触刚度值。根据步骤(1)、(2)，可以分别得到结合面的接触电阻R_c与接触表面的距离d、法向接触刚度K_tot与接触表面的距离d之间的关系。因此，通过接触表面之间的距离d可以建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系。

(三)实验测量结合面接触电阻R并计算法向接触刚度

采用四点法测试接触电阻，四点法测试接触电阻的原理图如图2所示：其中的恒流源用来为接触区域提供恒定电流I_C，放大电路与电压表用来测量P+和P-之间的电压U_C。将恒定电流I_C通过接触区域，测出P+和P-之间的电压降U_C，则结合面之间的接触电阻R＝U_c/I_c。

根据步骤(一)、(二)可以得到接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系，将实验测量得到的接触电阻代入到上述关系中即可得到结合面的法向接触刚度。

本发明结合理论计算与实验测试确定结合面的法向接触刚度，具有如下优势：1、提出了一种确定结合面法向接触刚度的新方法，该方法利用接触电阻易测量的优点，根据接触电阻反推出法向接触刚度，克服了法向接触刚度不易测量且测量成本高的缺点；2、提出了一种获得微观表面拟合微凸体空间位置分布的方法，该方法是通过提取每个拟合微凸体峰点的位置坐标实现的，客观程度高；3、提出了一种理论计算结合面接触电阻的方法，该方法考虑了两个粗糙表面的弹塑性接触，考虑了更全面、准确的实际表面形貌信息；4、本发明结合理论计算与实验测试，比纯粹的理论计算更切合实际，又比用实验装置直接测试方便快捷、精度高。

附图说明

图1为微凸体接触受力分析

图2为实验测量接触电阻的原理

图3为本发明实施例中测量得到的结合面两个粗糙表面的微观表面形貌

图4为本发明实施例中粗糙表面1的拟合微凸体统计信息

图5为本发明实施例中粗糙表面2的拟合微凸体统计信息

图6为本发明实施例中理论计算得到的结合面接触电阻R和法向接触刚度K的关系

表1为本发明实施例中实验测量得到的结合面接触电阻R及通过反推得到的结合面法向接触刚度K

具体实施方式

图1为本发明研究的微凸体接触受力分析图。图中，S₁、S₂分别表示两个接触表面；d为两个接触表面之间的距离；z₁，z₂分别为接触微凸体的高度；β₁，β₂分别为接触微凸体峰顶曲率半径；r为两个微凸体对称轴线之间的距离；θ为接触角；δ为接触区域的法向变形。

图2为四点法测量接触电阻的原理。该方法是通过为结合面提供恒定的电流，测得结合面的接触电压，从而得到结合面的接触电阻。

图3为本发明实施例中测量得到的结合面两个粗糙表面的微观表面形貌，两个粗糙表面的加工方式均为研磨。

图4、图5分别为两个粗糙表面的拟合微凸体统计信息，包括拟合微凸体的峰高分布、与高斯分布的比较及峰顶曲率半径分布。

图6为本发明实施例中理论计算得到的结合面接触电阻R和法向接触刚度K的关系。由图中可以看出两者之间是单调递减的关系。

表1为本发明实施例中实验测量得到的结合面接触电阻R及通过反推得到的结合面法向接触刚度K。根据理论计算得到的两者之间的关系，代入实验测得的R值即可得到K值。

下面结合附图对本发明的实施方式做详细说明。

(一)测量并后处理接触表面微观形貌

利用三维形貌测量仪器如白光干涉仪、激光共聚焦显微镜等测量表面微观形貌，并导出微观形貌的三维数据即每个采样点的x、y、z坐标。在数值处理软件如matlab中对获得的形貌数据进行后处理，步骤如下：首先，利用分水岭方法将粗糙表面划分为若干个子区域，每个子区域至少包含一个粗糙峰；其次，对每个子区域内的粗糙峰用旋转抛物体进行拟合，并记录每个拟合微凸体的大小及空间位置。

分别获得结合面处两个接触表面的微观形貌数据，通过形貌后处理用旋转抛物体拟合接触表面的微凸体，并提取各个拟合微凸体的形状参数及其顶点在接触表面上的空间位置坐标即x、y、z坐标。

(二)建立结合面接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot之间的关系

如图1所示，为了能够更方便地描述接触状态，定义如下几个参数：峰顶等效曲率半径β、峰顶曲率半径之和β_s、接触角θ、峰顶临界弹性变形δ_c、峰顶临界弹性接触面积A_c，峰顶临界弹性接触载荷F_c，各参数的具体表达式如下：

$\cos \mathrm{\θ}={(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\β}}_s}^2})}^{-\frac{1}{2}},$ $\mathrm{\β}=\frac{{\mathrm{\β}}_1{\mathrm{\β}}_2}{{\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\β}}_2},$ β_s＝β₁+β₂

${\mathrm{\δ}}_c=\mathrm{\β}{\left(\frac{\mathrm{\πkH}}{2E^{\′}}\right)}^2,$ A_c＝πβδ_c， $F_c=\frac{4}{3}{E}^{\′}{\mathrm{\β}}^{\frac{1}{2}}{{\mathrm{\δ}}_c}^{\frac{3}{2}}$

式中，E′为综合弹性模量，表达式为：E₁、E₂、v₁、v₂分别为两个接触表面材料的弹性模量及泊松比；H为较软材料的硬度；K为硬度系数，其表达式为K＝0.454+0.41v，v为较软材料的泊松比。

(1)建立结合面接触电阻R_C的表达式

对单对微凸体侧接触进行接触受力分析，如图1所示，根据接触力学可得到接触区域的接触面积A与接触表面之间的距离d之间的关系：A＝A(d)，具体表达式为：

$A=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right)\mathrm{\&delta;},& \mathrm{\&delta;}<{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 0.93A_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.136},& {\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\&le;\mathrm{\&delta;}\&le;6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 0.94A_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.146},& 6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)<\mathrm{\&delta;}\&le;110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 2\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right)\mathrm{\&delta;},& \mathrm{\&delta;}>110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\end{array}\right.$

式中，δ为接触点处的变形，其表达式为： $\mathrm{\&delta;}=(z_1+z_2-d-\frac{r^2}{2{\mathrm{\&beta;}}_s}){(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^{-\frac{1}{2}};\mathrm{\&beta;}\left(r\right)$ 为微凸体侧接触时在接触点处的等效曲率半径，其表达式为：δ_c(r)为接触点处的临界弹性变形，其表达式为： ${\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)=\mathrm{\&beta;}\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&pi;kH}}{2E^{\&prime;}}\right)}^2={\mathrm{\&delta;}}_c{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^{\frac{3}{2}};$ A_c(r)为接触点处的临界弹性接触面积，其表达式为： $A_c\left(r\right)=\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right){\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)=A_c{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^3.$

接触面积A在接触表面上的投影A_n的表达式为：A_n＝Acosθ，将A及cosθ的表达式分别代入上式即可得到A_n。单对微凸体接触时若接触区域为圆，则接触电阻R的表达式为

$R=\frac{1.05}{4\mathrm{Ca}}$

式中，a为接触区域的半径，其表达式为

C为接触电导率，与两个接触表面的电导率C₁、C₂之间的关系为

将A_n的表达式代入上式即可得到接触电阻R的表达式。

假设各个微凸体在接触时，其变形相互独立，则结合面接触电阻可以看作是由各个微凸体接触对接触电阻R_i并联产生的，因此，结合面接触电阻R_c的计算公式为：

$\frac{1}{R_c}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{sp}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{R_i}$

式中，R_i为第i个接触对的接触电阻，N_sp为结合面上所有接触对的个数。

若想根据上述公式计算结合面接触电阻，仅仅知道微凸体接触电阻的计算方法是不够的，还需要知道结合面上是哪些微凸体发生了接触。判断两个微凸体发生接触的条件为：

根据步骤(一)得到接触表面上每个微凸体的形状参数和顶点位置坐标，依据上述接触判断条件，判断每个微凸体是否发生了接触，如果发生接触，按照步骤(1)计算结合面接触电阻。

(2)建立结合面接触电阻K_tot的表达式

对单对微凸体接触进行接触受力分析，如图1所示，F为接触区域法向方向的接触载荷，F_n、F_t分别为F在结合面法线方向及切向方向的分量。对于没有切向滑移的固定结合面，根据弹塑性接触力学可得接触载荷F与接触表面之间的距离d之间的关系：F＝F(d)，具体表达式为：

$F=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4}{3}{E}^{\&prime;}\mathrm{\&beta;}{\left(r\right)}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\&delta;}}^{\frac{3}{2}},& \mathrm{\&delta;}<{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 1.03F_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.425},& {\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\&le;\mathrm{\&delta;}\&le;6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 1.40F_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.263},& 6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)<\mathrm{\&delta;}\&le;110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 2\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right)\mathrm{H\&delta;},& \mathrm{\&delta;}>110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\end{array}\right.$

式中，F_c(r)为接触点处的临界弹性接触载荷，其表达式为： $F_c\left(r\right)=\frac{4}{3}{E}^{\&prime;}\mathrm{\&beta;}{\left(r\right)}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\&delta;}}_c{\left(r\right)}^{\frac{3}{2}}=F_c{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^3.$

单对微凸体接触的结合面法向接触载荷F_n的表达式为：F_n＝Fcosθ。根据接触刚度的定义，可得单对微凸体接触的法向接触刚度K_n的表达式为：

在各个微凸体之间的接触是相互独立的前提下，结合面法向接触刚度可以看作是由各个微凸体接触对法向接触刚度的并联产生的，因此，结合面法向接触刚度K_tot计算公式为：

$K_{\mathrm{tot}}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{sp}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{K}_{n_i}$

式中，

为第i个接触对的法向接触刚度，N_sp为结合面上所有接触对的个数。

与步骤(1)类似，若想得到结合面的法向接触刚度，同样需要知道结合面上是哪些微凸体发生了接触。判微凸体接触的条件与步骤(1)中的判断条件相同，对所有发生接触的微凸体，按照步骤(2)计算结合面的法向接触刚度。

(3)建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系

对于相同的结合面，按照步骤(1)(2)，根据确定的接触表面之间的距离d可以确定唯一的一个结合面接触电阻值及法向接触刚度值，因此，通过接触表面之间的距离d可以建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系。

(三)实验测量结合面接触电阻R并计算法向接触刚度

由于接触电阻非常小，所以不能用一般的电阻测试方法来测试接触电阻。目前，国际上通用四点法测试接触电阻，四点法测试接触电阻采用恒流源，故测量接触电阻的实质是测量接触电压。四点法测试接触电阻的原理图如图2所示：其中的恒流源用来为接触区域提供恒定电流I_C，放大电路与电压表用来测量P+和P-之间的电压U_C。将恒定电流I_C通过接触区域，测出P+和P-之间的电压降U_C，则结合面之间的接触电阻R＝U_c/I_c。

测试步骤：实验前，为了清除掉试件接触表面的油污和沉积物，应用酒精清理试件的接触表面。然后按图2所示将试件固定在实验台上，施加恒定电流。逐渐增加作用于试件的载荷，记录每个载荷下相应的电压降U_C，逐渐减小载荷继续进行测试。循环测试15～20次以保证实验结果的重复性和较小的测量误差。

以两个不同的粗糙表面为例，其表面形貌分别如图3所示。接触表面的材料参数为：弹性模量E₁＝E₂＝200GPa，泊松比v₁＝v₂＝0.29，硬度H₁＝H₂＝1960MPa，电导率C₁＝C₂＝5×10⁶S/m。

根据步骤(一)所示的方法，用旋转抛物体拟合粗糙表面的微凸体，若拟合微凸体的峰顶曲率半径为β_p，其峰顶坐标为(x_p，y_p，z_p)，则拟合微凸体的形状方程为：

$\frac{{(x-x_p)}^2}{2{\mathrm{\&beta;}}_p}+\frac{{(y-y_p)}^2}{2{\mathrm{\&beta;}}_p}=z_p-z$

由上述方程可以看出，(x_p，y_p，z_p，β_p)四个参数可以唯一确定一个微凸体，因此在进行表面形貌处理时，只需要提取拟合微凸体的上述四个参数。两个粗糙表面拟合微凸体的峰高分布及峰顶曲率半径分布如图4、图5所示。

针对上述两个粗糙表面形成的结合面，根据步骤(二)所示的方法，计算得到结合面接触电阻与法向接触刚度的关系，其结果如图6所示。

根据步骤(三)所示的实验方法，依据实验测量的结合面接触电阻R的数值，反推得到的结合面法向接触刚度的数值K如表1所示。

表1实验测得的结合面接触电阻R及对应的法向接触刚度K

R(mΩ)	3.71	3.33	2.72	1.57	1.09	0.84	0.7	0.54
									K(MPa/μm)	50.73	55.92	67.42	115.09	166.74	218.41	264.35	347.67

Claims (4)

1.一种确定固定结合面法向接触刚度的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(一)测量并后处理接触表面微观形貌：

利用三维形貌测量仪器分别获得结合面处两个接触表面的微观形貌数据，用旋转抛物体拟合接触表面的微凸体，并提取各个拟合微凸体的形状参数及其顶点在接触表面上的空间位置坐标即x、y、z坐标；

(二)建立结合面接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot之间的关系

(1)建立结合面接触电阻R_C的表达式

对单对微凸体侧接触进行接触受力分析，根据接触力学得到接触区域的接触面积A与接触表面之间的距离d之间的关系：A＝A(d)，则接触面积A在接触表面上的投影A_n的表达式为：A_n＝Acosθ，其中，θ为接触角；

单对微凸体接触时若接触区域为圆，则接触电阻R的表达式为

$R=\frac{1.05}{4\mathrm{Ca}}$

式中，a为接触区域的半径，其表达式为

C为接触电导率，与两个接触表面的电导率C₁、C₂之间的关系为

在各个微凸体接触对之间的接触是相互独立的前提下，结合面接触电阻可以看作是由各个微凸体接触对接触电阻并联产生的，因此，结合面接触电阻R_c的计算公式为：

$\frac{1}{R_c}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{sp}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{R_i}$

式中，R_i为第i个接触对的接触电阻，N_sp为结合面上所有接触对的个数；

(2)建立结合面接触电阻K_tot的表达式

对单对微凸体接触进行接触受力分析，F为接触区域法向方向的接触载荷，F_n、F_t分别为F在结合面法线方向及切向方向的分量；对于没有切向滑移的固定结合面，根据弹塑性接触力学可得接触载荷F与接触表面之间的距离d之间的关系：F＝F(d)；因此，单对微凸体接触的结合面法向接触载荷F_n的表达式为：F_n＝Fcosθ；根据接触刚度的定义，可得单对微凸体接触的法向接触刚度K_n的表达式为：

在各个微凸体接触对之间的接触是相互独立的前提下，结合面法向接触刚度可以看作是由各个微凸体接触对法向接触刚度的并联产生的，因此，结合面法向接触刚度K_tot计算公式为：

$K_{\mathrm{tot}}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{sp}}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{K}_{n_i}$

式中，

为第i个接触对的法向接触刚度，N_sp为结合面上所有接触对的个数。

(3)建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系

根据步骤(1)、(2)，可以分别得到结合面的接触电阻R_c与接触表面的距离d、法向接触刚度K_tot与接触表面的距离d之间的关系；因此，通过接触表面之间的距离d可以建立接触电阻R_C与法向接触刚度K_tot的关系。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于：A＝A(d)，具体表达式为：

$A=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right)\mathrm{\&delta;},& \mathrm{\&delta;}<{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 0.93A_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.136},& {\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\&le;\mathrm{\&delta;}\&le;6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 0.94A_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.146},& 6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)<\mathrm{\&delta;}\&le;110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 2\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right)\mathrm{\&delta;},& \mathrm{\&delta;}>110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\end{array}\right.$

式中，δ为接触点处的法向变形，其表达式为：

z₁、z₂分别为接触微凸体的高度；r为两个微凸体对称轴线之间的距离；β_s为峰顶曲率半径之和；β_s＝β₁+β₂；β₁，β₂分别为接触微凸体峰顶曲率半径；

β(r)为微凸体侧接触时在接触点处的等效曲率半径，其表达式为：

$\mathrm{\&beta;}\left(r\right)=\mathrm{\&beta;}{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^{\frac{3}{2}};$

δ_c(r)为接触点处的临界弹性变形，其表达式为： ${\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)=\mathrm{\&beta;}\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&pi;kH}}{2E^{\&prime;}}\right)}^2={\mathrm{\&delta;}}_c{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^{\frac{3}{2}};$ E′为综合弹性模量，表达式为：

E₁、E₂、v₁、v₂分别为两个接触表面材料的弹性模量及泊松比；H为较软材料的硬度；K为硬度系数，其表达式为K＝0.454+0.41v，v为较软材料的泊松比；

A_c(r)为接触点处的临界弹性接触面积，其表达式为：

$A_c\left(r\right)=\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right){\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)=A_c{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^3;$ A_c为峰顶临界弹性接触面积。

3.根据权利要求1或2所述的方法，其特征在于：

β_s＝β₁+β₂；β₁，β₂分别为接触微凸体峰顶曲率半径；

A_c＝πβδ_c， $F_c=\frac{4}{3}{E}^{\&prime;}{\mathrm{\&beta;}}^{\frac{1}{2}}{{\mathrm{\&delta;}}_c}^{\frac{3}{2}}.$

4.根据权利要求1或2所述的方法，其特征在于：

$F=\left\{\begin{array}{cc}\frac{4}{3}{E}^{\&prime;}\mathrm{\&beta;}{\left(r\right)}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\&delta;}}^{\frac{3}{2}},& \mathrm{\&delta;}<{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 1.03F_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.425},& {\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\&le;\mathrm{\&delta;}\&le;6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 1.40F_c\left(r\right){\left(\frac{\mathrm{\&delta;}}{{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)}\right)}^{1.263},& 6{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)<\mathrm{\&delta;}\&le;110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\\ 2\mathrm{\&pi;\&beta;}\left(r\right)\mathrm{H\&delta;},& \mathrm{\&delta;}>110{\mathrm{\&delta;}}_c\left(r\right)\end{array}\right.$

式中，F_c(r)为接触点处的临界弹性接触载荷，其表达式为： $F_c\left(r\right)=\frac{4}{3}{E}^{\&prime;}\mathrm{\&beta;}{\left(r\right)}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\&delta;}}_c{\left(r\right)}^{\frac{3}{2}}=F_c{(1+\frac{r^2}{{{\mathrm{\&beta;}}_s}^2})}^3;$ F_c为峰顶临界弹性接触载荷， $F_c=\frac{4}{3}{E}^{\&prime;}{\mathrm{\&beta;}}^{\frac{1}{2}}{{\mathrm{\&delta;}}_c}^{\frac{3}{2}}.$

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