CN102590553B - 一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法 - Google Patents

Abstract

一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法，它有三大步骤：步骤一：设计实验方案，对加速度计进行定点高低温测试实验，利用采集软件进行数据采集。步骤二：对步骤一所采集的数据进行预处理，剔除异常值，并进行消噪处理。步骤三：经过上述分析，利用小波消噪后的数据对加速度计温度模型结构进行辨识并对辨识后模型参数进行解算。本发明通过大量实验所得到的数据，经过小波消噪处理；并在此基础上进行模型结构和参数辨识，建立加速度计静态温度模型。该方法建立的模型完全符合工程上的实时补偿要求。它在航空、航天导航技术领域里具有较好的实用价值和广阔地应用前景。

Description

一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法

(一)技术领域

本发明涉及一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法，它详细阐述了小波消噪的方法，这种方法应用于加速度计输出和温度关系的辨识中，可以有效地辨识出这种关系，提高补偿模型的精度。该技术属于航空、航天导航技术领域。

(二)背景技术

捷联惯性导航系统是一种完全自主的导航方式，它具有不依赖外界信息，隐蔽性强，机动灵活等优点，已被广泛应用到各种军民产品中。而加速度计是惯性导航系统中必不可少的惯性器件，其精度直接影响惯性系统的精度，但由于系统工作热环境的变化带来的器件热漂移进而会造成导航误差。在诸多的环境影响中，温度的影响是不容忽视的，温度对惯性器件精度的影响主要表现在两个方面：(1)惯性器件本身对温度的敏感性；(2)惯性器件周围温度场的影响，也即温度梯度的影响。惯性器件内部工作温度的波动和壳体周围的温度梯度都会引起误差，材料的热胀冷缩会使加速度计的结构零件发生变形，对加速度计形成干扰力矩。温度变化也会使器件内部的各种材料的物理参数发生变化，力矩器磁性能的改变，也将直接影响惯性器件的输出。因此研究温度对加速度计输出影响的规律，建立加速度计静态温度模型并对环境温度引起的误差进行补偿，是提高其精度的一个重要方法。

小波分析属于时频分析的一种方法。传统的信号分析是建立在傅里叶(Fourier)变换的基础之上的，由于傅里叶分析使用的是一种全局变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等。小波变换是一种信号的时间-尺度(时间-频率)分析方法，它具有在时频两域都表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但是形状可以改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，利用小波分析进行消噪处理具有良好的效果。

本发明采用小波技术对加速度计输出数据进行消噪处理，克服了传统滤波方法的缺陷。传统消噪方法通常是通过设置前置低通、高通、带通或带阻滤波器来提出噪声，当信噪谱重叠比较严重时，往往达不到所要求的去噪效果，而现代滤波理论如维纳滤波和kalman滤波，通常需要知道信噪的先验统计知识，这在实际中往往很难或者无法得到。然而小波技术由于其自身特性，使其能对信号进行多分辨率分析，通过大小可变的时频窗口观察信号内部结构，能过很好的辨识出加速度计和温度的关系，进而建立更精确的模型，提高温度补偿的有效性。现有的技术方案

为了克服环境温度对加速度计的影响，现有技术大部分都基于结构改进设计或硬件补偿的思想。其主要从以下几个方面进行硬件设计补偿：

(1)改进加速度计的热设计。由于加速度计结构的特殊性和组成器件、原件、材料的复杂性，加上高精度加速度计对温度异常敏感。因此对温度变化、温度分布要求极严，所以在设计加速度计是应注意其内外温度的变化条件、温度分布状态，妥善处理这些热干扰，使之对加速度计性能的影响尽可能小。

(2)进行加速度计温度补偿结构的设计。加速度计摆质心到枢轴距离的温度系数、永磁体的磁温系数和线圈的线涨系数是影响加速度计力矩器标度因数的主要因素″通过在硬件中增加负温度系数的材料或元件，以抵消由温度变化引起的材料物理参数的变化，补偿温度对加速度计精度的影响，也有人在研究能自我检测自我补偿的加速度计系统，该方法是通过检测质量块的静电力偏差来实现的。

(3)增加改善加速度计测试环境和工作环境温度的硬件措施。影响加速度计性能的另一个热干扰来自于外部热量，而这种热量往往是不能控制的，采用屏蔽方法使惯性器件内部保持在某一稳定温度，如建立高级的空调实验室，采用热屏蔽罩和均热罩或者是对加速度计采用必要的温控措施等。日本专家研究出在高温中应用的三轴加速度计中，利用在同一芯片集成的温度传感器、压电电阻和放置于横梁处的微加热器构成一个温度控制系统，来补偿外界温度的变化。

(4)仪表体积大必然使导热通道和导电通道加长。导热通道长会导致大的温度梯度，导电通道长会增加对杂散电容和电磁辐射的灵敏度，从而影响加速度计的精度和稳定度。

减小加速度计结构尺寸的关键不在机械和电气设计方面，而主要受使用材料和加工工艺的限制。目前研究的一些新的加速度计的制造工艺，如单晶硅和多晶硅微加工加速度计，是解决这一矛盾的有效途径，它是用现有的集成电路工艺对单晶硅片加工而成，

并且将来完全可以把电子线路也做到同一芯片上，成为真正的单片式固态加速度计。

目前也有专家在处理过程中，在设备结构(如固定片、回转轴和回转轴梳子)上嵌入多晶硅电阻，由独立的电路控制这些电阻来控制温度，并利用隧道效应做加速度计，可来减小温度效应，提高线性度。

现有技术的缺点

以上都是基于硬件补偿的思想，即通过改变结构、材料、工艺和工作环境等方法来提高惯性器件的精度，但它们有如下不足之处：

1、产品价格高，经济耗资大；

2、研发周期长；

3、受限于现有工艺技术水平。

本发明提出了通过大量实验所得到的数据，经过小波消噪处理；并在此基础上进行模型结构和参数辨识，建立加速度计静态温度模型。该方法建立的模型完全符合工程上的实时补偿要求。

(三)发明内容

本发明提供了一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法，通过小波技术消除噪声，使得加速度计输出和温度的关系不被噪声淹没，并通过多项式拟合方法建立模型，对加速度计进行温度补偿。

本发明一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：设计实验方案，对加速度计进行定点高低温测试实验，利用采集软件进行数据采集。由于不同的加速度计其工作温度不尽相同，因此在设计温度实验是要根据加速度计工作温度进行合理的设计，也即实验温度要在工作范围之内。然后根据温度试验范围确定不同的温度点。该实验需要温度可变的温箱，以及可以采集加速度计输出数据和加速度计温度的软件。

步骤二：对步骤一所采集的数据进行预处理，剔除异常值，并进行消噪处理。通过分析数据的特性，选择合适的小波基波对数据进行分解、重构，并分析温度对加速度计精度影响，主要和环境温度、温度梯度、温度变化率中哪些相关；

a、选择合适的小波基波。

设函数ψ(ω)∈L²(R)∩L¹(R)，并且其傅里叶变换Ψ(ω)满足允许条件：

$C_{\mathrm{\&psi;}}={\&Integral;}_R\frac{{\left|\mathrm{\&psi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}\mathrm{d\&omega;}<\&infin;---(5-1)$

则称ψ(t)为一个基本小波或母小波函数(Mother wavelet)。对母小波函数进行伸缩或平移生成的函数系{ψ_a，b(t)}称为小波。

${\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)a,b\&Element;R;a\&NotEqual;0---(5-2)$

参数a对应着频率位置，b对应着时间位置。当a较大时，扩展后的小波是一个低频函数，可用来分析信号中的低频部分；当a较大时，缩小后的小波为一个高频函数，可用来分析信号中的高频部分。

因此，根据小波的以上性质，决定了不管信号的频率范围如何，小波都要试图去除所有噪声，保留所有信号。而小波的多分辨率性质，能够根据信号和噪声在小波域中不同的特征表现，可以有效地将信号和噪声区别开来。

选择合适的小波以后，确定小波分解的层次N，然后对加速度计数据进行N层小波分解，也即对加速度计信号进行多层小波变换，将加速度计信号分解为概貌信号和细节信号。具体见图1及图2。

b、利用小波阈值滤波算法进行消噪处理。

通过上述分解，可对细节信号进行阈值处理。其中阈值取：

$T=\mathrm{\&sigma;}\sqrt{2\log N}---(5-3)$

上式中σ为噪声标准差，可由

来估计。Median表示取中位数，W_1t表示最小尺度的小波变换系数(因为最小尺度的系数大部分由噪声引起)。

确定阈值后，对小波分解高频系数的阀值进行量化，也即对第一层到第N层的每一层高频系数，选择一个阀值进行阀值量化处理。阈值量化处理一般分为硬阈值和软阈值两种滤波算法。1)硬阈值滤波算法，即当某位置小波变换系数大于阈值时原样保留，否则置零；2)软阈值算法，即当某位置小波变换系数大于阈值时取

否则置零。

c、小波信号的重构，根据小波分解的第N层低频信号系数和经过量化处理后的第一层到第N层的高频系数，进行信号的小波重构。

步骤三：经过上述分析，利用小波消噪后的数据对加速度计温度模型结构进行辨识并对辨识后模型参数进行解算。在模型结构辨识中，可能存在“过匹配”问题，即当模型阶次超过最佳阶次时，误差准则函数将会随着阶次增加而增加。因此，本发明主要通过统计检验方法及最小二乘法进行模型结构和参数辨识；

本发明采用多项式拟合加速度计零偏和温度的关系，模型如下：

y＝a₀+a₁T+a₂T²+a₃T³+...+a_mT^m    (5-4)

上式中，y为加速度计零偏，单位为°/h；T为加速度计温度，单位为℃。

a、统计检验方法原理如下：

设总的观测值个数为N，则观测值y_i(i＝1，...，N)与其算术平均值

的差值平方和称为离差平方和，记作 $S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2=l_{\mathrm{yy}}---(5-5)$

根据上式可得： $S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[(y_i-{\hat{y}}_i)+({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})]}^2$

$=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2+2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}[(y_i-{\hat{y}}_i)({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})---(5-6)$

可以证明交叉项

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}[(y_i-{\hat{y}}_i)({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})=0---(5-7)$

因此总的离差平方和可以分解为两部分，即

$S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2---(5-8)$

或者

S＝U+Q    (5-9)

其中，

称为回归平方和。

在此引入方差比F和复相关系数R，即

$F=\frac{U/m}{Q/N-m-1}---(5-10)$

$R^2=\frac{U}{S}=1-\frac{Q}{S}---(5-11)$

如果在拟合曲线中去掉式(5-4)中第m次项，而仅用m-1次多项式拟合，则这时对应Q′将增大，那么T^m的偏回归平方和为U-U′＝Q′-Q；若偏回归平方和越大，则说明第m次项重要；反之，则不重要。本发明通过显著性检验确定。由式(5-11)，可得

$F_m=\frac{Q^{\&prime;}-Q/m}{Q/N-m-1}---(5-12)$

而F_m是符合自由度为1和Q/N-m-1的F分布。对于给定的α，由统计表查出F分布的理论临界值F_α(1，N-m-1)，当F_m＞F_α(1，N-m-1)时，则说明m次项重要，须引入拟合曲线中；反之，则不引入。当引入m次项后，还需要考查m+1次项是否显著，那么，把m+1视为m，m视为m-1，重复上述步骤。直到F_m不大于F_α(1，N-m-1)为止。

b、为了解算式(5-4)模型中的参数，本发明采用最小二乘方法求解。

式(5-4)的测量方程为：

$\left.\begin{array}{c}{Y}_1=a_0+a_1{T}_1+a_2{T_1}^2+a_3{T_1}^3+...+a_m{T_1}^m\\ Y_2=a_0+a_1{T}_2+a_2{T_2}^2+a_3{T_2}^3+...+a_m{T_2}^m\\ ...\\ Y_N=a_0+a_1{T}_N+a_2{T_N}^2+a_3{T_N}^3+...+a_m{T_N}^m\end{array}\right\}---(5-13)$

相应的估计量，如下：

$\left.\begin{array}{c}{y}_1=a_0+a_1{t}_1+a_2{t_1}^2+a_3{t_1}^3+...+a_m{t_1}^m\\ y_2=a_0+a_1{t}_2+a_2{t_2}^2+a_3{t_2}^3+...+a_m{t_2}^m\\ ...\\ y_N=a_0+a_1{t}_N+a_2{t_N}^2+a_3{t_N}^3+...+a_m{t_N}^m\end{array}\right\}---(5-14)$

其误差方程为：

V＝L-Y，Y＝TA    (5-15)

其中：L为实际测量值，y＝[y₁ y₂...y_N]^T，A＝[a₀ a₁...a₂]^T，

$T=\left[\begin{array}{cccccc}1& t_1& .& .& .& {t_1}^m\\ 1& t_2& .& .& .& {t_2}^m\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ 1& t_N& .& .& .& {t_N}^m\end{array}\right]$

根据最小二乘法理论可知，V^TV＝最小时，可求解出模型系数A，也即A＝(T^TT)^-1T^Ty。但是在实际工程中，利用最小二乘法时会出现信息矩阵的病态问题，即(T^TT)^-1不存在。为了进一步提高模型参数辨识的精度，本发明采用平衡法进行解决。

所谓平衡法就是：计算 $s_i=\underset{1\&le;j\&le;n}{\max }\left|T_{\mathrm{ij}}\right|(i=\mathrm{1,2},...,n),$ 令 $D=\mathrm{diag}(\frac{1}{s_1},\frac{1}{s_2},...,\frac{1}{s_n}),$ 则可得到与原方程同解的方程组DY＝DTA，然后根据上述最小二乘法进行计算即可。

c、具体算法如下：

1)模型为m＝1阶，并给定置信度(1-α)；

2)利用小波消噪后数据，通过最小二乘法解算出m阶模型系数；

3)通过统计方法检查模型最高阶次的显著性；

4)若F_m＞F_α(1，N-m-1)，则m阶次项须引入模型。并将m+1阶引入模型，且把m+1视为m，m视为m-1，返回2)步骤；

5)若F_m＜F_α(1，N-m-1)，则可得所求模型及参数。

本发明的优点在于：

1、方法适用于所有的惯导系统的加速度计温度补偿，具有通用性；

2、小波阈值消噪方法，不仅可以滤除高频噪声，对于与有用信号频带相重叠的噪声也有明显的滤除作用

3、通过小波消噪处理，使得加速度计和温度的关系辨识变得容易，而且通过建立温度误差模型进行温度补偿，其结构简单，成本低，易于实现，而且该补偿方式实时性好，能过满足高精度实时测量要求。

(四)附图说明

图1小波分解信号原理图

图2为小波多层分解图；

图3为本发明补偿方法流程图；

图中符号说明如下：图3中，F_m表示回归平方和与残余平方和的方差比，是符合自由度为m和N-m-1的F分布；F_α表示置信度为α，自由度为1和N-m-1的F分布。

(五)具体实施方式

下面对本发明做进一步详细说明。

见图3，本发明一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法，该方法具体实施步骤如下：步骤一：设计实验方案，对加速度计进行定点温度实验，采集数据。温度实验采用静态测试(其中，X，Y，Z轴加速度计分别指向东、北、天)。为了研究温度对加速度计零偏的影响，分别在-30℃、-20℃、-10℃、0℃、10℃、20℃、30℃、40℃、50℃、60℃环境温度下(或根据工作温度确定所选温度点)，对加速度计进行高低温测试。在每一个温度点保温两小时后测量一小时，并通过采集软件记录加速度计自身的温度和相应加速度计零偏值。

步骤二：对数据进行小波消噪预处理。对步骤一所采集的数据进行预处理，剔除异常值，并进行消噪处理。

d、选择合适的小波基波。

设函数ψ(ω)∈L²(R)∩L¹(R)，并且其傅里叶变换Ψ(ω)满足允许条件：

$C_{\mathrm{\&psi;}}={\&Integral;}_R\frac{{\left|\mathrm{\&psi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}\mathrm{d\&omega;}<\&infin;---(5-1)$

则称ψ(t)为一个基本小波或母小波函数(Mother wavelet)。对母小波函数进行伸缩或平移生成的函数系{ψ_a，b(t)}称为小波。

${\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)a,b\&Element;R;a\&NotEqual;0---(5-2)$

参数a对应着频率位置，b对应着时间位置。当a较大时，扩展后的小波是一个低频函数，可用来分析信号中的低频部分；当a较大时，缩小后的小波为一个高频函数，可用来分析信号中的高频部分。

因此，根据小波的以上性质，决定了不管信号的频率范围如何，小波都要试图去除所有噪声，保留所有信号。而小波的多分辨率性质，能够根据信号和噪声在小波域中不同的特征表现，可以有效地将信号和噪声区别开来。

选择合适的小波以后，确定小波分解的层次N，然后对加速度计数据进行N层小波分解，也即对加速度计信号进行多层小波变换，将加速度计信号分解为概貌信号和细节信号。具体见图1及图2。

e、利用小波阈值滤波算法进行消噪处理。

通过上述分解，可对细节信号进行阈值处理。其中阈值取：

$T=\mathrm{\&sigma;}\sqrt{2\log N}---(5-3)$

上式中σ为噪声标准差，可由来估计。Median表示取中位数，W_1t表示最小尺度的小波变换系数(因为最小尺度的系数大部分由噪声引起)。

确定阈值后，对小波分解高频系数的阀值进行量化，也即对第一层到第N层的每一层高频系数，选择一个阀值进行阀值量化处理。阈值量化处理一般分为硬阈值和软阈值两种滤波算法。1)硬阈值滤波算法，即当某位置小波变换系数大于阈值时原样保留，否则置零；2)软阈值算法，即当某位置小波变换系数大于阈值时取

否则置零。

f、小波信号的重构，根据小波分解的第N层低频信号系数和经过量化处理后的第一层到第N层的高频系数，进行信号的小波重构。

步骤三：加速度计温度模型结构辨识及参数辨识。为了通过实验数据得到加速度计温度误差最准确的模型结构或阶次，本发明采用统计检验的方法进行定阶。为了计算模型参数，本发明采用最小二乘方法。

本发明采用多项式拟合加速度计零偏和温度的关系，模型如下：

y＝a₀+a₁T+a₂T²+a₃T³+...+a_mT^m            (5-4)

上式中，y为加速度计零偏，单位为°/h；T为加速度计温度，单位为℃。

a、统计检验方法原理如下：

设总的观测值个数为N，则观测值y_i(i＝1，...，N)与其算术平均值

的差值平方和称为离差平方和，记作 $S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2=l_{\mathrm{yy}}---(5-5)$

根据上式可得： $S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[(y_i-{\hat{y}}_i)+({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})]}^2$

$=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2+2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}[(y_i-{\hat{y}}_i)({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})---(5-6)$

可以证明交叉项

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}[(y_i-{\hat{y}}_i)({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})=0---(5-7)$

因此总的离差平方和可以分解为两部分，即

$S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2---(5-8)$

或者

S＝U+Q    (5-9)

其中，

称为回归平方和。

在此引入方差比F和复相关系数R，即

$F=\frac{U/m}{Q/N-m-1}---(5-10)$

$R^2=\frac{U}{S}=1-\frac{Q}{S}---(5-11)$

如果在拟合曲线中去掉式(5-4)中第m次项，而仅用m-1次多项式拟合，则这时对应Q′将增大，那么T^m的偏回归平方和为U-U′＝Q′-Q；若偏回归平方和越大，则说明第m次项重要；反之，则不重要。本发明通过显著性检验确定。由式(5-11)，可得

$F_m=\frac{Q^{\&prime;}-Q/m}{Q/N-m-1}---(5-12)$

而F_m是符合自由度为1和Q/N-m-1的F分布。对于给定的α，由统计表查出F分布的理论临界值F_α(1，N-m-1)，当F_m＞F_α(1，N-m-1)时，则说明m次项重要，须引入拟合曲线中；反之，则不引入。当引入m次项后，还需要考查m+1次项是否显著，那么，把m+1视为m，m视为m-1，重复上述步骤。直到F_m不大于F_α(1，N-m-1)为止。

b、为了解算式(5-4)模型中的参数，本发明采用最小二乘方法求解。

式(5-4)的测量方程为：

$\left.\begin{array}{c}{Y}_1=a_0+a_1{T}_1+a_2{T_1}^2+a_3{T_1}^3+...+a_m{T_1}^m\\ Y_2=a_0+a_1{T}_2+a_2{T_2}^2+a_3{T_2}^3+...+a_m{T_2}^m\\ ...\\ Y_N=a_0+a_1{T}_N+a_2{T_N}^2+a_3{T_N}^3+...+a_m{T_N}^m\end{array}\right\}---(5-13)$

相应的估计量，如下：

$\left.\begin{array}{c}{y}_1=a_0+a_1{t}_1+a_2{t_1}^2+a_3{t_1}^3+...+a_m{t_1}^m\\ y_2=a_0+a_1{t}_2+a_2{t_2}^2+a_3{t_2}^3+...+a_m{t_2}^m\\ ...\\ y_N=a_0+a_1{t}_N+a_2{t_N}^2+a_3{t_N}^3+...+a_m{t_N}^m\end{array}\right\}---(5-14)$

其误差方程为：

V＝L-Y，Y＝TA    (5-15)

其中：L为实际测量值，y＝[y₁ y₂...y_N]^T，A＝[a₀ a₁...a₂]^T，

$T=\left[\begin{array}{cccccc}1& t_1& .& .& .& {t_1}^m\\ 1& t_2& .& .& .& {t_2}^m\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ 1& t_N& .& .& .& {t_N}^m\end{array}\right]$

根据最小二乘法理论可知，V^TV＝最小时，可求解出模型系数A，也即A＝(T^TT)^-1T^Ty。

但是在实际工程中，利用最小二乘法时会出现信息矩阵的病态问题，即(T^TT)^-1不存在。为了进一步提高模型参数辨识的精度，本发明采用平衡法进行解决。

所谓平衡法就是：计算 $s_i=\underset{1\&le;j\&le;n}{\max }\left|T_{\mathrm{ij}}\right|(i=\mathrm{1,2},...,n),$ 令 $D=\mathrm{diag}(\frac{1}{s_1},\frac{1}{s_2},...,\frac{1}{s_n}),$ 则可得到与原方程同解的方程组DY＝DTA，然后根据上述最小二乘法进行计算即可。

c、具体算法如下：

6)模型为m＝1阶，并给定置信度(1-α)；

7)利用小波消噪后数据，通过最小二乘法解算出m阶模型系数；

8)通过统计方法检查模型最高阶次的显著性；

9)若F_m＞F_α(1，N-m-1)，则m阶次项须引入模型。并将m+1阶引入模型，且把m+1视为m，m视为m-1，返回2)步骤；

10)若F_m＜F_α(1，N-m-1)，则可得所求模型及参数。

Claims (1)

1.一种基于小波消噪的加速度计温度补偿方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：设计实验方案，对加速度计进行定点高低温测试实验，利用采集软件进行数据采集；根据温度试验范围确定不同的温度点，该实验需要温度可变的温箱，以及能采集加速度计输出数据和加速度计温度的软件；

步骤二：对步骤一所采集的数据进行预处理，剔除异常值，并进行消噪处理；通过分析数据的特性，选择小波基波对数据进行分解、重构，并分析温度对加速度计精度影响和环境温度、温度梯度、温度变化率中哪些相关；

a、选择小波基波；

设函数ψ(ω)∈L²(R)∩L¹(R)，并且其傅里叶变换Ψ(ω)满足允许条件：

$C_{\mathrm{\&psi;}}={\&Integral;}_R\frac{{\left|\mathrm{\&psi;}\left(\mathrm{\&omega;}\right)\right|}^2}{\left|\mathrm{\&omega;}\right|}\mathrm{d\&omega;}<\&infin;---(5-1)$

则称ψ(t)为一个基本小波或母小波函数即Mother wavelet；对母小波函数进行伸缩或平移生成的函数系{ψ_a，b(t)}称为小波；

${\mathrm{\&psi;}}_{a,b}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\&psi;}\left(\frac{t-b}{a}\right)a,b\&Element;R;a\&NotEqual;0---(5-2)$

参数a对应着频率位置，b对应着时间位置；当a较大时，扩展后的小波是一个低频函数，用来分析信号中的低频部分；当a较大时，缩小后的小波为一个高频函数，用来分析信号中的高频部分；

因此，根据小波的以上性质，决定了不管信号的频率范围如何，小波都要试图去除所有噪声，保留所有信号；而小波的多分辨率性质，能够根据信号和噪声在小波域中不同的特征表现，能有效地将信号和噪声区别开来；

选择合适的小波以后，确定小波分解的层次N，然后对加速度计数据进行N层小波分解，也即对加速度计信号进行多层小波变换，将加速度计信号分解为概貌信号和细节信号；

利用小波阈值滤波算法进行消噪处理；

通过上述分解，对细节信号进行阈值处理，其中阈值取：

$T=\mathrm{\&sigma;}\sqrt{2\log N}---(5-3)$

上式中σ为噪声标准差，由

来估计；Median表示取中位数，W_1t表示最小尺度的小波变换系数；

确定阈值后，对小波分解高频系数的阀值进行量化，也即对第一层到第N层的每一层高频系数，选择一个阀值进行阀值量化处理；阈值量化处理分为硬阈值和软阈值两种滤波算法，

1)硬阈值滤波算法，即当某位置小波变换系数大于阈值时原样保留，否则置零；2)软阈值算法，即当某位置小波变换系数大于阈值时取

否则置零；

b、小波信号的重构，根据小波分解的第N层低频信号系数和经过量化处理后的第一层到第N层的高频系数，进行信号的小波重构；

步骤三：经过上述分析，利用小波消噪后的数据对加速度计温度模型结构进行辨识并对辨识后模型参数进行解算；在模型结构辨识中，可能存在“过匹配”问题，即当模型阶次超过最佳阶次时，误差准则函数将会随着阶次增加而增加，因此，通过统计检验方法及最小二乘法进行模型结构和参数辨识；

采用多项式拟合加速度计零偏和温度的关系，模型如下：

y＝a₀+a₁T+a₂T²+a₃T³+...+a_mT^m    (5-4)

上式中，y为加速度计零偏，单位为°/h；T为加速度计温度，单位为℃；

a、统计检验方法如下：

设总的观测值个数为N，则观测值y_i(i＝1，...，N)与其算术平均值

的差值平方和称为离差平方和，记作 $S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2=l_{\mathrm{yy}}---(5-5)$

根据上式得： $S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[(y_i-{\hat{y}}_i)+({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})]}^2$

$=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2+2\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}[(y_i-{\hat{y}}_i)({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})---(5-6)$

证明交叉项

$\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}[(y_i-{\hat{y}}_i)({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})=0---(5-7)$

因此总的离差平方和可以分解为两部分，即

$S=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{({\hat{y}}_i-\stackrel{\&OverBar;}{y})}^2+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2---(5-8)$

或者

S＝U+Q    (5-9)

其中，

称为回归平方和；

在此引入方差比F和复相关系数R，即

$F=\frac{U/m}{Q/N-m-1}---(5-10)$

$R^2=\frac{U}{S}=1-\frac{Q}{S}---(5-11)$

如果在拟合曲线中去掉式(5-4)中第m次项，而仅用m-1次多项式拟合，则这时对应Q′将增大，那么T^m的偏回归平方和为U-U′＝Q′-Q；若偏回归平方和越大，则说明第m次项重要；反之，则不重要；通过显著性检验确定，由式(5-11)，得

$F_m=\frac{Q^{\&prime;}-Q/m}{Q/N-m-1}---(5-12)$

而F_m是符合自由度为1和Q/N-m-1的F分布，对于给定的α，由统计表查出F分布的理论临界值F_α(1，N-m-1)，当F_m＞F_α(1，N-m-1)时，则说明m次项重要，须引入拟合曲线中；反之，则不引入；当引入m次项后，还需要考查m+1次项是否显著，那么，把m+1视为m，m视为m-1，重复上述步骤，直到F_m不大于F_α(1，N-m-1)为止；

b、为了解算式(5-4)模型中的参数，采用最小二乘方法求解；

式(5-4)的测量方程为：

$\left.\begin{array}{c}{Y}_1=a_0+a_1{T}_1+a_2{T_1}^2+a_3{T_1}^3+...+a_m{T_1}^m\\ Y_2=a_0+a_1{T}_2+a_2{T_2}^2+a_3{T_2}^3+...+a_m{T_2}^m\\ ...\\ Y_N=a_0+a_1{T}_N+a_2{T_N}^2+a_3{T_N}^3+...+a_m{T_N}^m\end{array}\right\}---(5-13)$

相应的估计量，如下：

$\left.\begin{array}{c}{y}_1=a_0+a_1{t}_1+a_2{t_1}^2+a_3{t_1}^3+...+a_m{t_1}^m\\ y_2=a_0+a_1{t}_2+a_2{t_2}^2+a_3{t_2}^3+...+a_m{t_2}^m\\ ...\\ y_N=a_0+a_1{t}_N+a_2{t_N}^2+a_3{t_N}^3+...+a_m{t_N}^m\end{array}\right\}---(5-14)$

其误差方程为：

V＝L-Y，Y＝TA        (5-15)

其中：L为实际测量值，y＝[y₁ y₂...y_N]^T，A＝[a₀ a₁...a₂]^T，

$T=\left[\begin{array}{cccccc}1& t_1& .& .& .& {t_1}^m\\ 1& t_2& .& .& .& {t_2}^m\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ .& .& & .& & .\\ 1& t_N& .& .& .& {t_N}^m\end{array}\right]$

根据最小二乘法理论，V^TV＝最小时，求解出模型系数A，也即A＝(T^TT)^-1T^Ty；但是在实际工程中，利用最小二乘法时会出现信息矩阵的病态问题，即(T^TT)^-1不存在，为了进一步提高模型参数辨识的精度，采用平衡法进行解决，

所谓平衡法就是：计算 $s_i=\underset{1\&le;j\&le;n}{\max }\left|T_{\mathrm{ij}}\right|(i=\mathrm{1,2},...,n),$ 令 $D=\mathrm{diag}(\frac{1}{s_1},\frac{1}{s_2},...,\frac{1}{s_n}),$ 则得到与原方程同解的方程组DY＝DTA，然后根据上述最小二乘法进行计算；

c、具体算法如下：

1)模型为m＝1阶，并给定置信度(1-α)；

2)利用小波消噪后数据，通过最小二乘法解算出m阶模型系数；

3)通过统计方法检查模型最高阶次的显著性；

4)若F_m＞F_α(1，N-m-1)，则m阶次项须引入模型，并将m+1阶引入模型，且把m+1视为m，m视为m-1，返回2)步骤；

5)若F_m＜F_α(1，N-m-1)，则可得所求模型及参数。

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