CN101509774A - 一种基于光纤陀螺的arma时间序列的寻北方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法。本发明在数据处理的过程前，针对多个不同型号的光纤陀螺在寻北系统中的输出序列进行分析，确定对于原始数列随机平稳性处理后的数列进行ARMA(2，1)模型进行拟合为最佳。并且据此提出了利用ARMA进行寻北测试光纤陀螺输出模型的建立，给出了参数求解和模型建立的完整方案。首先此方案降低了寻北模型拟合的误差，从而使拟合后的模型更接近原始数列的特性，此模型具有更高的精度，并在寻北技术中具有一定的普适性，为后续的kalman滤波等需要比较精确的寻北模型的滤波方法的应用提供了基础。另外在模型参数的求解上提出了固定的求解步骤以及原始数列模型的建立方法，提高了寻北测试中数据处理的速度和效率。

Description

一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法

技术领域

本发明涉及一种寻北方法，尤其是涉及一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法。

背景技术

光纤陀螺基于惯性传感效应，无运动部件、牢固稳定、耐冲击抗加速运动等方面较其它类型陀螺具有明显的优势，作为敏感元件在寻北技术、定位定向中具有广泛应用前景。在对寻北输出的时间数列的分析中，时间序列分析法无疑是一种比较好、理论较为完善的统计预测分析方法，也是能够对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的一种系统方法。其中对ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。

光纤陀螺在寻北应用中敏感地球转速分量，其输入速率处于中低速率范围内，寻北测试中温度、振动、阵风和电磁干扰等都比较容易影响光纤陀螺的输出，各种噪声的引入势必会降低了最终的寻北精度。为降低陀螺输出噪声，提高寻北精度，目前多采用滤波的方法，但有效滤波的前提是要求首先能够精确地建立光纤陀螺的输出模型，尤其是卡尔曼滤波，光纤陀螺输出模型的精确建立直接关系着滤波效果的好坏。目前，在针对寻北测试的光纤陀螺输出信号的模型建立，在使用时间序列分析时，多采用固定的模型，如ARMA(2，1)、AR(2)或者MA模型方式，而忽略了对寻北测试光纤陀螺输出序列的模型进行统计分析；并且在数据分析的过程中，忽视了寻北输出数列的非平稳和非随机等特性，没有对数列进行独立、平稳、正态、零均值等处理，而直接采用ARMA模型进行分析，从基础上不符合时间序列适用平稳随机序列这一特性，所以拟合出的模型，误差比较大。所以为了精确建立寻北输出模型，通过统计分析多个不同型号的光纤陀螺在寻北系统中的输出序列，并在对其自相关函数和偏自相关函数的统计分析过程中，发现在进行一阶差分和零均值等随机平稳性处理后，自相关函数和偏自相关函数的“截尾”阶数大致相同，即自相关函数呈现一阶“截尾”，而偏自相关函数呈现二阶“截尾”，所以对于原始数列随机平稳性处理后的数列进行ARMA(2，1)模型进行拟合最佳。据此本设计提出了利用ARMA进行寻北测试光纤陀螺输出模型的建立，并且给出了参数求解和模型建立的完整方案。

发明内容

本发明的目的是克服在建立寻北测试光纤陀螺输出精确模型的方法选取上的不足，提供一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法。

一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法包括如下步骤：(1)根据寻北测试中光纤陀螺的输出数列{y_t}进行保存，得到数列{y_t}的均值y，根据ε_t＝y_t-y，得到去均值处理后的数列{ε_t}，其中下标t代表的采集数据的时刻；

(2)根据步骤(1)得到的去均值处理后的数列{ε_t}进行一阶差分处理，根据 $w_t=\▿{\mathrm{\ϵ}}_t={\mathrm{\ϵ}}_t-{\mathrm{\ϵ}}_{t-1},$ 得到处理后的数列{w_t}；

(3)把步骤(2)中得到的数列{w_t}进行去均值w处理，即 $w_t^{\′}=w_t-\stackrel{\‾}{w},$ 得到新数列

经验证数列属于随机平稳数列，对其进行ARMA(2，1)的模型建立，而此模型的待估参数如模型方程 $w_t^{\′}={\mathrm{\α}}_1{w}_{t-1}^{\′}+{\mathrm{\α}}_2{w}_{t-2}^{\′}+\stackrel{\‾}{w}+z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1}$ 所示，有4个分别为α₁、α₂、β₁以及噪声估计方差σ_ε；

(4)根据步骤(3)中的得到的数列

估计α₁和α₂，首先计算样本数列

的自相关函数ρ_k，对于估计ARMA(p，q)模型，参数α₁、α₂、...、α_p的计算与ρ_k的关系有如下关系式：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_1\\ {\mathrm{\α}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\α}}_p\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\ρ}}_q& {\mathrm{\ρ}}_{q-1}& \·\·\·& {\mathrm{\ρ}}_{q-p+1}\\ {\mathrm{\ρ}}_{q+1}& {\mathrm{\ρ}}_q& \·\·\·& {\mathrm{\ρ}}_{q-p}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ {\mathrm{\ρ}}_{q+p-1}& {\mathrm{\ρ}}_{q+p-2}& \·\·\·& {\mathrm{\ρ}}_q\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_{q+1}\\ {\mathrm{\ρ}}_{q+2}\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\ρ}}_{q+p}\end{array}\right]$

所以，此时待估的ARMA(2，1)模型中p＝2、q＝1，取样本数列的

自相关函数ρ_k(k≤3)代入此关系式得到 $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_1\\ {\mathrm{\α}}_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\ρ}}_1& {\mathrm{\ρ}}_0\\ {\mathrm{\ρ}}_2& {\mathrm{\ρ}}_1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_2\\ {\mathrm{\ρ}}_3\end{array}\right],$ 求得参数α₁、α₂；

(5)然后根据步骤(3)中的数列

以及步骤4)求得的参数α₁、α₂，首先针对模型方程 $w_t^{\′}={\mathrm{\α}}_1{w}_{t-1}^{\′}+{\mathrm{\α}}_2{w}_{t-2}^{\′}{+z}_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1},$ 通过式 $w_t^{\′}-{\mathrm{\α}}_1{w}_{t-1}^{\′}-{\mathrm{\α}}_2{w}_{t-2}^{\′}{=z}_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1}$ 把ARMA(2，1)模型转换MA(1)模型，并且令 ${\tilde{w}}_t=w_t^{\′}-{\mathrm{\α}}_1{w}_{t-1}^{\′}-{\mathrm{\α}}_2{w}_{t-2}^{\′},$ 求得新数列

其次对新数列

进行零均值检验，如果发现新数列的均值

显著非零，则令 ${\tilde{w}}_t^{\′}={\tilde{w}}_t-\stackrel{\‾}{\tilde{w}},$ 得零均值序列此时的模型方程为MA(1)，即 ${\tilde{w}}_t^{\′}=z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1};$

(6)根据步骤(5)中得到的数列

得到数列的自协方差系数{γ_k}和自相关函数根据MA(q)模型采用矩估计的方式进行参数的求解关系式：

对MA(1)模型方程，代入q＝1，得到 $\left\{\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\γ}}}_0={{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}}^2(1+{{\mathrm{\β}}_1}^2)\\ {\widetilde{\mathrm{\γ}}}_1=-{{\text{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}}^2{\mathrm{\β}}_1\end{array}\right.,$ 又 ${\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_1=\frac{{\widetilde{\mathrm{\γ}}}_1}{{\widetilde{\mathrm{\γ}}}_0},$ 所以有 $\left\{\begin{array}{c}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}}^2=\frac{{\widetilde{\mathrm{\γ}}}_0}{2}(1\±\sqrt{1-4{{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_1}^2})\\ {\mathrm{\β}}_1=-2{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_1/(1\±\sqrt{1-4{{\widetilde{\mathrm{\ρ}}}_1}^2})\end{array}\right.,$ 进行参数β₁以及噪声估计方差σ_ε的求解；

(7)根据步骤(6)所求得参数β₁代入步骤5)中的模型方程MA(1)中，反推得到此时的模型方程 ${\tilde{w}}_t-\stackrel{\‾}{\tilde{w}}=z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1},$ 然后代入根据步骤4)所求得参数α₁、α₂，进一步转换到数列

的方程表示式中，可以得到此时的模型方程 $w_t^{\′}-{\mathrm{\α}}_1{w}_{t-1}^{\′}-{\mathrm{\α}}_2{w}_{t-2}^{\′}-\stackrel{\stackrel{\‾}{~}}{w}=z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1};$

(8)根据步骤(3)中 $w_t^{\′}=w_t-\stackrel{\‾}{w}$ 代入步骤7)中的模型方程，得到针对数列{w_t}的模型方程 $(w_t-\stackrel{\‾}{w})-{\mathrm{\α}}_1(w_{t-1}-\stackrel{\‾}{w})-{\mathrm{\α}}_2(w_{t-2}-\stackrel{\‾}{w})-\stackrel{\stackrel{\‾}{~}}{w}=z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1},$ 合并得到数列{w_t}的模型方程 $w_t={\mathrm{\α}}_1{w}_{t-1}+{\mathrm{\α}}_2{w}_{t-2}+(\stackrel{\‾}{w}-{\mathrm{\α}}_1\stackrel{\‾}{w}-{\mathrm{\α}}_2\stackrel{\‾}{w})+\stackrel{\stackrel{\‾}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1};$

(9)根据步骤(2)中w_t＝ε_t-ε_t-1代入步骤8)中的模型方程，得到针对数列{ε_t}的模型方程 ${\mathrm{\ϵ}}_t-{\mathrm{\ϵ}}_{t-1}={\mathrm{\α}}_1({\mathrm{\ϵ}}_{t-1}-{\mathrm{\ϵ}}_{t-2})+{\mathrm{\α}}_2({\mathrm{\ϵ}}_{t-2}-{\mathrm{\ϵ}}_{t-3})+(\stackrel{\‾}{w}-{\text{\α}}_1\stackrel{\‾}{w}-{\mathrm{\α}}_2\stackrel{\‾}{w})+\stackrel{\stackrel{\‾}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1},$ 合并得到{ε_t}的模型方程 ${\mathrm{\ϵ}}_t=(1+{\mathrm{\α}}_1){\mathrm{\ϵ}}_{t-1}+({\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_1){\mathrm{\ϵ}}_{t-2}+(-{\mathrm{\α}}_2){\mathrm{\ϵ}}_{t-3}+(\stackrel{\‾}{w}-{\text{\α}}_1\stackrel{\‾}{w}-{\mathrm{\α}}_2\stackrel{\‾}{w})+\stackrel{\stackrel{\‾}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1};$

(10)根据步骤(1)中ε_t＝y_t-y代入步骤9)中的模型方程，合并得到针对原始数列{y_t}的模型方程：

$y_t=(1+{\mathrm{\α}}_1)y_{t-1}+({\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_1)y_{t-2}+(-{\mathrm{\α}}_2)y_{t-3}+(\stackrel{\‾}{w}-{\text{\α}}_1\stackrel{\‾}{w}-{\mathrm{\α}}_2\stackrel{\‾}{w})+\stackrel{\stackrel{\‾}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\β}}_1{z}_{t-1}.$

进一步地，所述的步骤(1)中的输出数列{y_t}是在寻北测试中光纤陀螺处于静止状态下采集的输出数列。步骤(1)中的去均值处理、步骤(2)中的差分处理以及步骤(3)中的再次进行去均值处理，把输出数列{y_t}转化为后继用于ARMA建模处理的平稳随机数列。步骤(3)以及步骤(5)中在进行零均值处理是为了对数列进行进一步的平稳随机性处理，以便拟合模型更加精确，进行零均值处理过程中要同时保存均值w和

用于针对原始数列{y_t}的模型的建立。步骤(6)中，参数β₁以及噪声估计方差σ_ε的求解的限制条件|β₁|<1。

本发明和现有技术相比，其有益效果是：本发明在数据处理的过程前，针对多个不同型号的光纤陀螺在寻北系统中的输出序列进行分析，确定对于原始数列随机平稳性处理后的数列进行ARMA(2，1)模型进行拟合为最佳。并且据此本设计提出了利用ARMA进行寻北测试光纤陀螺输出模型的建立，并且给出了参数求解和模型建立的完整方案。首先此方案降低了寻北模型拟合的误差，从而使拟合后的模型更接近原始数列的特性，此模型具有更高的精度，并在寻北技术中具有一定的普适性，为后续的kalman滤波等需要比较精确的寻北模型的滤波方法的应用提供了基础。另外在模型参数的求解上提出了固定的求解步骤以及原始数列模型的建立方法，提高了寻北测试中数据处理的速度和效率。

附图说明

图1为实施本发明方法的实施例的步骤示意图。

具体实施方式

下面结合附图及优选实施例对本发明进行进一步详述。

光纤陀螺在寻北定向过程中的输出数列是在有用测试信号上混合了线路噪声和多种不确定的环境因素噪声。本方法基于光纤陀螺在寻北应用中的数字输出，利用ARMA时序分析的方法，分析和建立寻北输出数列的模型，通过ARMA模型矩估计的方法进行模型参数的求解。寻北精确模型的建立有利于后续滤波方法的实施，从而在寻北过程中降低噪声，提高寻北精度。

一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，如图1所示，包括以下步骤：

1、对原始数列{y_t}进行去均值处理，得到数列{ε_t}。

原始数列{y_t}是在静态寻北测试中，在固定位置采集的光纤陀螺感应地球自转速率而输出的离散数列，其中t＝1，2…n，其长度为n，一般采集时间在1分钟之内。其中y为数列{y_t}的均值，去均值处理所采用的公式为：

ε_t＝y_t-y。

2、对步骤1获得的数列{ε_t}进行一阶差分处理，得到数列{w_t}。

数列进行一阶差分时所采用的具体公式为：

$w_t=\&dtri;{\mathrm{\&epsiv;}}_t={\mathrm{\&epsiv;}}_t-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}.$

3、对数列{w_t}进行去均值处理，形成新数列

并对数列

进行ARMA(2，1)模型拟合。

去均值处理所采用的具体公式为：

$w_t^{\&prime;}=w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w};$

其中w表示数列{w_t}的均值，经验证数列

属于随机平稳数列，同时保留参数w，通过分析，而此拟合模型如式(1)所示：

$w_t^{\&prime;}={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}+\stackrel{\&OverBar;}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}---\left(1\right)$

待估参数有4个，分别为α₁、α₂、β₁以及噪声估计方差σ_ε。

4、根据数列

计算样本数列

的自相关函数ρ_k，并估计二阶回归系数α₁和α₂。

对于估计ARMA_(p，q)模型，参数α₁、α₂、...、α_p的计算与ρ_k的关系有如下关系式(2)：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&alpha;}}_p\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&rho;}}_q& {\mathrm{\&rho;}}_{q-1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&rho;}}_{q-p+1}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+1}& {\mathrm{\&rho;}}_q& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&rho;}}_{q-p}\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+p-1}& {\mathrm{\&rho;}}_{q+p-2}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&rho;}}_q\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_{q+1}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+2}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+p}\end{array}\right]---\left(2\right)$

所以，依据关系式(2)，此时待估的ARMA(2，1)模型中的α₁、α₂，由于p＝2、q＝1由如下关系式(3)进行估算：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_1& {\mathrm{\&rho;}}_0\\ {\mathrm{\&rho;}}_2& {\mathrm{\&rho;}}_1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_2\\ {\mathrm{\&rho;}}_3\end{array}\right]---\left(3\right)$

所以在求取样本数列

的自相关函数ρ_k时，只需求取前k≤3的自相关函数即可，代入关系式求取参数α₁、α₂。

5、根据数列{w_t′}通常把ARMA模型转换MA模型，在估计的过程中要保证数列的零均值特性，然后通过矩估计的方法进行参数的求解。

首先把ARMA(2，1)模型转换MA(1)模型，转换关系式如下：

将模型： $w_t^{\&prime;}={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}{+z}_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}$ 转换为如式(4)所示：

$w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}{=z}_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}---\left(4\right)$

令 ${\tilde{w}}_t=w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;},$ 求得数列

对

进行零均值检验，如果发现其所以在求取样本数列

的自相关函数ρ_k时，只需求取前k≤3的自相关函数即可，代入关系式求取参数α₁、α₂。

5、根据数列{w_t′}通常把ARMA模型转换MA模型，在估计的过程中要保证数列的零均值特性，然后通过矩估计的方法进行参数的求解。

首先把ARMA(2，1)模型转换MA(1)模型，转换关系式如下：

将模型： $w_t^{\&prime;}={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}{+z}_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}$ 转换为如式(4)所示：

$w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}{=z}_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}---\left(4\right)$

令 ${\tilde{w}}_t=w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;},$ 求得数列

，对

进行零均值检验，如果发现其均值显著非零，则令 ${\tilde{w}}_t^{\&prime;}={\tilde{w}}_t-\stackrel{\&OverBar;}{\tilde{w}},$ 同时记录均值

求得零均值序列

有模型(5)成立。

${\tilde{w}}_t^{\&prime;}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.---\left(5\right)$

6、估计一阶平滑系数β₁以及噪声估计方差σ_ε。

对MA(q)模型采用矩估计的方式进行参数的求解，其过程如式(6)所示，其中γ_k表示样本数列的自协方差系数。

所以MA(1)，计算数列{

}的自协方差系数

和自相关函数

根据矩估计参数求解的方程式如式(7)所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_0={{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}^2(1+{{\mathrm{\&beta;}}_1}^2)\\ {\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_1=-{{\text{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}^2{\mathrm{\&beta;}}_1\end{array}\right.$ 又 ${\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1=\frac{{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_1}{{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_0},$ $\&DoubleRightArrow;\left\{\begin{array}{c}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}^2=\frac{{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_0}{2}(1\&PlusMinus;\sqrt{1-4{{\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1}^2})\\ {\mathrm{\&beta;}}_1=-2{\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1/(1\&PlusMinus;\sqrt{1-4{{\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1}^2})\end{array}\right.---\left(7\right)$

求解方程式(7)。在|β₁|<1的限制条件下，可以得到β₁和σ_ε的估计值。

7、根据参数求解过程推倒原始数列{y_t}模型的建立，其步骤如下：根据所求得参数β₁，推导数列的模型方程。

把参数β₁以及α₁、α₂代入公式(4)，反推得到此时数列

的模型方程：

$w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}-\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.---\left(8\right)$

(2)根据数列

和数列之间的关系， $w_t^{\&prime;}=w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w},$ 通过数列

模型方程推导数列{w_t}的模型方程。

把 $w_t^{\&prime;}=w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w}$ 代入模型方程式(4)，得到针对数列{w_t}的模型方程 $(w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w})-{\mathrm{\&alpha;}}_1(w_{t-1}-\stackrel{\&OverBar;}{w})-{\mathrm{\&alpha;}}_2(w_{t-2}-\stackrel{\&OverBar;}{w})-\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 合并得到数列{w_t}模型方程，如式(9)所示：

$w_t={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.---\left(9\right)$

(3)根据数列{w_t}和数列{ε_t}之间的关系，w_t＝ε_t-ε_t-1，通过数列{w_t}模型方程推导数列{ε_t}的模型方程。

把w_t＝ε_t-ε_t-1代入模型方程(9)，得到针对数列{ε_t}的模型方程 ${\mathrm{\&epsiv;}}_t-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}={\mathrm{\&alpha;}}_1({\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2})+{\mathrm{\&alpha;}}_2({\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-3})+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 合并得到{ε_t}的模型方程，如式(10)所示：

${\mathrm{\&epsiv;}}_t=(1+{\mathrm{\&alpha;}}_1){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}+({\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_1){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2}+(-{\mathrm{\&alpha;}}_2){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-3}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.---\left(10\right)$

(4)根据数列{ε_t}和原始数列{y_t}之间的关系，ε_t＝y_t-y，通过数列{ε_t}模型方程推导原始数列{y_t}的模型方程。

把ε_t＝y_t-y代入模型方程式(10)，合并得到针对原始数列{y_t}的模型方程，如式(11)所示。

$y_t=(1+{\mathrm{\&alpha;}}_1)y_{t-1}+({\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_1)y_{t-2}+(-{\mathrm{\&alpha;}}_2)y_{t-3}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}---\left(11\right)$

此时所求的模型方程，如式(11)所示，即为最终寻北系统光纤陀螺输出数列的模型方程。

通过时间序列分析的方法对其输出序列的性质进行分析，提出了一种有效的模型和模型参数的求解的方法。实验证明，该模型在寻北定向技术中具有一定的普适性，为后续的所需精确寻北模型的滤波方法的实施提供了基础。

Claims (5)

1.一种基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)对原始数列{y_t}进行去均值处理，得到数列{ε_t}：根据光纤陀螺的输出数列{y_t}得到数列{y_t}的均值y，再根据ε_t＝y_t-y得到去均值处理后的数列{ε_t}，其中，下标t代表的采集数据的时刻。

(2)对去均值处理后的数列{ε_t}进行一阶差分处理，根据 $w_t=\&dtri;{\mathrm{\&epsiv;}}_t={\mathrm{\&epsiv;}}_t-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1},$ 得到处理后的数列{w_t}。

(3)对数列{w_t}进行去均值w处理，即 $w_t^{\&prime;}=w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w},$ 得到新数列

对其进行模型拟合，拟合模型ARMA(2，1)为： $w_t^{\&prime;}={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}+\stackrel{\&OverBar;}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 待估参数有4个，分别为α₁、α₂、β₁以及噪声估计方差σ_ε。

(4)根据数列

估计α₁和α₂，计算样本数列

的自相关函数ρ_k，对于估计ARMA(p，q)模型，参数α₁、α₂、…、α_p的计算与ρ_k的关系有如下关系式：

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&alpha;}}_p\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&rho;}}_q& {\mathrm{\&rho;}}_{q-1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&rho;}}_{q-p+1}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+1}& {\mathrm{\&rho;}}_q& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&rho;}}_{q-p}\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+p-1}& {\mathrm{\&rho;}}_{q+p-2}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&rho;}}_q\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_{q+1}\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+2}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&rho;}}_{q+p}\end{array}\right];$

此时待估的ARMA(2，1)模型中p＝2、q＝1，取样本数列

的自相关函数ρ_k，其中，k≤3，代入此关系式得到 $\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1\\ {\mathrm{\&alpha;}}_2\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&rho;}}_1& {\mathrm{\&rho;}}_0\\ {\mathrm{\&rho;}}_2& {\mathrm{\&rho;}}_1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;}}_2\\ {\mathrm{\&rho;}}_3\end{array}\right],$ 求得参数α₁、α₂。

(5)根据数列和参数α₁、α₂，通过式 $w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}$ 把ARMA(2，1)模型转换MA(1)模型，令 ${\tilde{w}}_t=w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;},$ 求得新数列对数列

进行零均值检验，如果发现新数列的均值

显著非零，则令 ${\tilde{w}}_t^{\&prime;}={\tilde{w}}_t-\stackrel{\&OverBar;}{\tilde{w}},$ 求得零均值序列

此时的模型方程为MA(1)，即 ${\tilde{w}}_t^{\&prime;}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.$

(6)根据数列得到数列的自协方差系数{γ_k}和自相关函数

根据MA(q)模型采用矩估计的方式进行参数的求解关系式：

对MA(1)模型方程，代入q＝1，得到 $\left\{\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_0={{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}^2(1+{{\mathrm{\&beta;}}_1}^2)\\ {\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_1=-{{\text{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}^2{\mathrm{\&beta;}}_1\end{array}\right.,$ 又 ${\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1=\frac{{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_1}{{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_0},$ 所以有 $\left\{\begin{array}{c}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}^2=\frac{{\widetilde{\mathrm{\&gamma;}}}_0}{2}(1+\&PlusMinus;\sqrt{1-4{{\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1}^2})\\ {\mathrm{\&beta;}}_1=-2{\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1/(1\&PlusMinus;\sqrt{1-4{{\widetilde{\mathrm{\&rho;}}}_1}^2})\end{array}\right.,$ 得到参数β₁以及噪声估计方差σ_ε。

(7)将参数β₁代入模型方程MA(1)中，反推得到此时的模型方程：

${\tilde{w}}_t-\stackrel{\&OverBar;}{\tilde{w}}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 然后代入参数α₁、α₂，进一步转换到数列

的方程表示式中，可以得到此时的模型方程 $w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}-\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.$

(8)把 $w_t^{\&prime;}=w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w}$ 代入模型方程 $w_t^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}^{\&prime;}-{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}^{\&prime;}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 得到针对数列{w_t}的模型方程 $(w_t-\stackrel{\&OverBar;}{w})-{\mathrm{\&alpha;}}_1(w_{t-1}-\stackrel{\&OverBar;}{w})-{\mathrm{\&alpha;}}_2(w_{t-2}-\stackrel{\&OverBar;}{w})-\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}=z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 合并得到数列{w_t}的模型方程 $w_t={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.$

(9)将w_t＝ε_t-ε_t-1代入数列{w_t}的模型方程：

$w_t={\mathrm{\&alpha;}}_1{w}_{t-1}+{\mathrm{\&alpha;}}_2{w}_{t-2}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 得到针对数列{ε_t}的模型方程： ${\mathrm{\&epsiv;}}_t-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}={\mathrm{\&alpha;}}_1({\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2})+{\mathrm{\&alpha;}}_2({\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{t-3})+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 合并得到{ε_t}的模型方程： ${\mathrm{\&epsiv;}}_t=(1+{\mathrm{\&alpha;}}_1){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}+({\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_1){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2}+(-{\mathrm{\&alpha;}}_2){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-3}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.$

(10)将ε_t＝y_t-y代入模型方程：

${\mathrm{\&epsiv;}}_t=(1+{\mathrm{\&alpha;}}_1){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-1}+({\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_1){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-2}+(-{\mathrm{\&alpha;}}_2){\mathrm{\&epsiv;}}_{t-3}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1},$ 得到寻北系统光纤陀螺输出数列的模型方程：

$y_t=(1+{\mathrm{\&alpha;}}_1)y_{t-1}+({\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_1)y_{t-2}+(-{\mathrm{\&alpha;}}_2)y_{t-3}+(\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\text{\&alpha;}}_1\stackrel{\&OverBar;}{w}-{\mathrm{\&alpha;}}_2\stackrel{\&OverBar;}{w})+\stackrel{\stackrel{\&OverBar;}{~}}{w}+z_t+{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_{t-1}.$

2.如权利要求1所述的基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，其特征在于，所述的步骤(1)中的输出数列{y_t}是在寻北测试中光纤陀螺处于静止状态下采集的输出数列。

3.如权利要求1所述的基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，其特征在于，所述的步骤(1)中的去均值处理、步骤(2)中的差分处理以及步骤(3)中的再次进行去均值处理，把输出数列{y_t}转化为后继用于ARMA建模处理的平稳随机数列。

4.如权利要求1所述的基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，其特征在于，所述的步骤(3)以及步骤(5)中在进行零均值处理是为了对数列进行进一步的平稳随机性处理，以便拟合模型更加精确，进行零均值处理过程中要同时保存均值w和

，用于针对原始数列{y_t}的模型的建立。

5.如权利要求1所述的基于光纤陀螺的ARMA时间序列的寻北方法，其特征在于，所述的步骤(6)中，参数β₁以及噪声估计方差σ_ε的求解的限制条件为|β₁|<1。

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