CN102566422A - 一种非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测方法，其包括：建立服从输入噪声和故障的非线性Lur’e系统的基本模型；以基本模型为节点来构建动态网络模型；确定动态网络的全局鲁棒同步性；及进行全局鲁棒同步性的故障检测。为改善同步的可靠性和鲁棒性，我们将全局鲁棒H_-/H_∞同步方法引入一类存在可能故障和外部干扰的非线性动态网络中。同步的标准由LMI技术发展成熟，使得网络的每个节点系统鲁棒同步化，且根据H_-/H_∞性能对故障灵敏。由于外部干扰和系统故障分别被考虑，这里提出的同步方法可能比之前文献中的更实用。此外，故障灵敏度H_-指标可以通过凸优化算法进行优化。此外，本发明的检测方法也可以应用于随机复杂网络中。

Description

一种非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测方法

技术领域

本发明属于控制系统鲁棒故障检测，具体涉及一种由相同Lur’e系统构成的非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测方法。

背景技术

在日常生活中，许多物理系统都可以表示为不同的网络模型，其节点是网络的元素，边即为节点之间的相互作用[1]。作为典型的大型系统，复杂动态网络在近些年吸引了越来越多的关注[2，3]。复杂动态网络中一个有趣且重要的现象就是所有动态节点的同步现象，它是自然界中一类典型的集合现象和基本运动[4]-[9]。在这其中，有一类由非线性Lur’e系统构成的特殊网络的同步问题，且文献[10]-[12]研究了其全局同步条件。最主要的原因在于，在理论和工程应用的众多领域，一大类非线性系统都可以表示为Lur’e形式，包括Chua’s电路[13]，Goodwin模型[14]和swarm模型[15]。处理这类问题的首要方法是在绝对稳定性理论框架下形成的。

为了改进同步的可靠性和可依赖性，人们提出了增强同步机制质量和可靠性的方法。一方面，由于外部噪声或干扰带来的不稳定性和不良性能，在复杂动态网络的同步过程中考虑到噪声现象是有必要的[17，18]。另一方面，在过去的十年里，故障诊断研究得到了世界范围的重视[19]-[23]。一个和故障检测相关的重要因素是其鲁棒性。为了检验鲁棒故障检测(RFD)问题(参见[22]，[23]及其中的文献)，人们关于线性系统做了大量相关工作。

以主从形式耦合的非线性Lur’e系统鲁棒故障同步问题[24]，类似的，在复杂动态网络中，由于每个节点动态方程都会不可避免的受到故障影响，无法保证一个永久无故障的同步过程。即便如此，仍鲜有关于大型非线性系统RFD问题的研究，且“故障”这个概念几乎没有被引入到非线性动态网络同步的物理领域。

发明内容

为了克服现有技术的缺陷，本发明的目的在于提出一种用以保障网络的全局鲁棒H_-/H_∞同步的由相同Lur’e系统构成的非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测方法。

本发明将关注一类由相同Lur’e系统构成的非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测问题，并构建线性矩阵不等式(LMIs)形式的充分性条件，用以保障网络的全局鲁棒H_-/H_∞同步。在这种同步机制下，误差动态系统是全局渐进稳定的，外界扰动效果得到抑制，与此同时，网络对于可能的故障具有基于混合H_-/H_∞性能的敏感度。此外，故障敏感度H_-指标可以通过一个凸优化算法进行优化。所得分析结果的有效性和实用性通过一个由Chua’s电路构成的网络来进行验证，仿真结果表明同步的质量和鲁棒性得到了增强。

基于上述考虑，本发明考虑一类动态网络中的故障检测和干扰抑制问题。网络模型中的每个节点是由受扰动的Lur’e系统构成的，且受到故障影响。在同步机制的评估过程中，最主要的问题是要将故障和其他扰动区分开，为此引入了H_-/H_∞范式[25]。为了便于描述，同步过程中的鲁棒性目标是以H_∞范数来进行考虑的，而故障敏感度特性是由H_-指标进行度量的。这样，闭环误差系统是全局渐进稳定的，从扰动输入到控制输出的H_∞范数被降低到一个指定水平，于此同时，具有最大化的H_-性能指标。通过将动态网络的同步问题转化成为相应误差系统的绝对稳定性问题并应用控制理论中的Lur’e系统方法，非线性Lur’e网络全局鲁棒H_-/H_∞同步的充分性条件由线性矩阵不等式(LMI)的形式给出[26]。此外，所得到的高维LMI条件可以被简化为三组低维的LMI，便于处理和验证。需要指出的是，同步判据推导的过程中没有用到线性化的方法，有较小的保守性。

本发明使用的符号相当标准。

是n×n阶实矩阵的集合。A^T表示矩阵A的转置。He表示Hermit操作HeA＝A+A^T。如果A是对称负定矩阵，那么表示为A＜0。diag(·)表示对角阵或准对角阵。

表示n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B的Kronecker积，即若未特别指出，矩阵假定有相容的规模，且矩阵中以*代替的部分代表对称位置，不需要另行写出。

在第3节中，。此外，网络性能分析在这一部分中也有所讨论。在第4节和第5节中，我们采用一个由10个Chua’s电路组成的动态网络来作为算例。

一、本发明提出了用于检验的模型，并给出关于待解全局鲁棒H_-/H_∞同步问题的数学方程。

1.1)建立服从输入噪声和故障的非线性Lur’e系统的基本模型；

本发明中，服从输入噪声和可能的故障的非线性Lur’e系统的基本模型由下式表示：

其中，

是状态向量，

表示度量输出向量。

是一个属于L₂[0，+∞)的未知输入向量(包括扰动，不感兴趣的故障以及一些范数有界的非结构性的模型不确定性)，而

表示待检测和分离的过程、传感器或驱动器故障向量。考虑特殊情况下，f₀和d₀可以建模成不同类型的信号。矩阵A、B、C、D、B_d、B_f和H是已知的适当规模的定常矩阵。非线性性

是连续和局部的Lipschitz，第一参数是

和

其中函数

l＝1，2，…，m假定满足不等式

l＝1，2，…，m，

其中

l＝1，2，…，m。令Θ₀＝diag(θ₁，θ₂，…，θ_m)，显然有

若非线性

满足(2)，则称其在区间[0，Θ₀]中。

A)如果平衡点x＝0对于满足(2)的非线性性

是全局渐进稳定的，则称非线性系统(1)关于区间[0，Θ₀]是绝对稳定的。

为描述扰动和故障输入的影响，我们引入了几个定义。

B)考虑系统(1)的传递函数

$K_{\mathrm{zd}0}\left(s\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}H{(\mathrm{sI}-A)}^{-1}{B}_d,$

其H_∞范数定义为 ${\left|\right|K_{\mathrm{zd}0}\left|\right|}_{\∞}={\sup }_{d_0\∈L_2\stackrel{\‾}{\mathrm{\σ}}}\left[K_{\mathrm{zd}0}\left(\mathrm{j\ω}\right)\right]={\sup }_{d_0\∈L_2}\frac{{\left|\right|K_{\mathrm{zd}0}{d}_0\left|\right|}_2}{{\left|\right|d_0\left|\right|}_2}$ 其中

代表最大奇异值。

C)对于系统(1)中从输入f₀到输出z的传递函数是：

$K_{\mathrm{zf}0}\left(s\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}H{(\mathrm{sI}-A)}^{-1}{B}_f+D,$

其H_-指标由

定义，其中σ表示最小奇异值，

表示频带

定义的H_-指标已经在频域故障残差测量中得到广泛应用。如果从扰动到性能变量的传递函数的H_∞范数小，同时从故障到输出变量的传递函数的H_-指标大，则称系统称为有更好级别的RFD[19]。为确定RFD问题，人们已经提出了多种不同的H_-/H_∞性能标准，且性能多数时候作为鲁棒性和灵敏度之间的权衡。本研究中，为简单起见，我们将考虑最大化故障灵敏度||K_rf(s)||_-及扰动衰减||K_rd(s)||_∞是预先给定的常数的情形。

1.2)以基本模型为节点来构建动态网络模型；

考虑一类复杂的动态网络模型，其中每个节点都是一般Lur’e系统(1)，表示如下：

其中

是第i个节点的状态和测量输出。d₀和f₀与系统(1)中定义一致，且应当对于每个节点都一致。内部耦合矩阵Γ＝(τ_ij)_n×n表示两个节点之间的耦合模式。G＝(g_ij)_N×N是外部耦合矩阵，表示网络的耦合结构。如果在节点i和节点j(i≠j)间存在连接，那么g_ij＝g_ji＝1；除此之外，g_ij＝g_ji＝0(i≠j)。矩阵G的行和为0，即

i＝1，2，…N。令

以及

拥有以下性质：

i＝1，2，…N，l＝1，2，…m.(4)

令Θ₁＝diag(θ₁₁，…，θ_1m)，则非线性函数

属于区间[0，Θ₁]。

不可约矩阵

$\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{G}_{0\mathrm{ij}}=-G_{0\mathrm{ii}},$ i＝1，2，…N的奇异值满足下述规则：

(i)0是G₀的特征值，对应的特征向量是(1，1，…，1)^T；

(ii)若对所有1≤i，j≤N，i≠j有G_0ij≥0，那么G₀所有特征值的实部小于等于0，且所有可能特征值的零度是0。事实上，0是其重数为1的特征值。

假设网络(3)没有孤立簇，即网络是连通的。在此条件下，耦合矩阵G是对称和不可约的。因此其满足引理1中给出的所有性质。此外，假设耦合矩阵G有q个相异的特征值λ₁，…λ_q，则存在一个非奇异阵U，U^TU＝I_N，使U^TGU＝Λ其中，Λ为如下形式：

此处，λ₁＝0是重数为1的最大特征值，λ_i是重数为的特征值m_i，i＝1，2，…q，满足m₂+…+m_q＝N-1以及λ₂＞λ₃＞…＞λ_q。

D)当d₀＝f₀＝0时，若

$\underset{t\→\∞}{\lim }{\left|\right|x_i-x_s\left|\right|}_2=0,$ i＝1，2，…N    (6)

其中||·||₂表示欧几里得范数，则称动态网络(3)达到全局(渐进)同步。x_s∈Rⁿ是由下式给出的孤立节点的一个解

其可以为一个平衡点，一个周期轨道甚或一个非周期轨道。

由内部耦合矩阵G的性质，下列条件保持不变

定义误差信号e_i＝x_i-x_s和残差信号r_i＝z_i-z_s，i＝1，2，…N。用(3)减去(8)，即得到同步残差的同态特性：

${\stackrel{\·}{e}}_i=A{e}_i+\mathrm{B\φ}({\mathrm{Ce}}_i;x_s)+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{g}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Γ}{\mathrm{He}}_j+B_d{d}_0+B_f{f}_0+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{g}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\ΓD}{f}_0,---\left(9\right)$

r_i＝He_i+Df₀，i＝1，2，…N.

其中令 $\mathrm{\φ}(\·)={({\mathrm{\φ}}_1^T(\·),...,{\mathrm{\φ}}_m^T(\·))}^T$ 不难从(4)推出对于

非线性函数

l＝1，2，…m满足下列区间限制：

i＝1，2，…N，l＝1，2，…m，

使得

${\mathrm{\φ}}_l(c_l^T{e}_i;x_s)({\mathrm{\φ}}_l(c_l^T{e}_i;x_s)-{\mathrm{\θ}}_{1l}{c}_l^T{e}_i)\≤0,$ i＝1，2，…N，l＝1，2，…m，(10)

同样，φ(Ce_i；x_s)也属于区间[0，Θ₁]。

基于同步的基本知识，为整个工作过程考虑，残差动态特性必须是渐进稳定的。注意到残差信号的动态特性r不仅依赖于f₀，d₀和φ(y)，还依赖于每个孤立节点x_i的状态。因此，本研究的目标不仅是就H_-指标确保残差动态系统对可能的故障灵敏，还要使残差动态特性在H_∞方面对于外部干扰保持鲁棒渐进稳定。在这种情形下，由Lur’e节点构成的动态网络称为随有保证的H_-/H_∞性能达到全局同步。

用Kronecker积重新列写系统(9)的方程

$\stackrel{\·}{e}=(I_N\⊗A+G\⊗\mathrm{\ΓH})e+(I_N\⊗B)\mathrm{\Φ}((I_N\⊗C)e;X_s)+(I_N\⊗B_d)d+(I_N\⊗B_f+G\⊗\mathrm{\ΓD})f$

$\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\stackrel{\‾}{A}e+\stackrel{\‾}{B}\mathrm{\Φ}(\stackrel{\‾}{C}e;X_s)+{\stackrel{\‾}{B}}_{d}d+{\stackrel{\‾}{B}}_{f}f---\left(11\right)$

$r=(I_N\⊗H)e+(I_N\⊗D)f\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\stackrel{\‾}{H}e+\stackrel{\‾}{D}f$

其中

$e=\left(\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\\ .\\ .\\ .\\ e_N\end{array}\right)\∈R^{\mathrm{Nn}},$ $d=\left(\begin{array}{c}{d}_0\\ d_0\\ .\\ .\\ .\\ d_0\end{array}\right)\∈R^{\mathrm{Np}},$ $f=\left(\begin{array}{c}{f}_0\\ f_0\\ .\\ .\\ .\\ f_0\end{array}\right)\∈R^{\mathrm{Nq}},$

$\mathrm{\Φ}(\stackrel{\‾}{C}e;X_s)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\φ}({\mathrm{Ce}}_1;x_s)\\ \mathrm{\φ}({\mathrm{Ce}}_2;x_s)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\φ}({\mathrm{Ce}}_N;x_s)\end{array}\right)\∈R^{\mathrm{Nm}},$ $X_s=\left(\begin{array}{c}{x}_s\\ x_s\\ .\\ .\\ .\\ x_s\end{array}\right)\∈R^{\mathrm{Nn}}.$

和

属于区间[0，Θ]。因此，残差同态系统(11)可以当做一个Nn维的非线性Lur’e系统，且非线性动态网络(3)的H_-/H_∞同步性可转变为对应的残差动态特性(11)的性能分析和稳定性问题。

对于系统(11)，传递函数由 $K_{\mathrm{rd}}\left(s\right)\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\stackrel{\‾}{H}{(\mathrm{sI}-\stackrel{\‾}{A})}^{-1}{\stackrel{\‾}{B}}_d$ 给出，而

表示传递函数

需要特别说明的是，当前研究的主要目标是确定在怎样的条件下，残差动态特性(11)达到渐进稳定，同时满足条件||K_rf(s)||-＞β，||K_rd(s)||_∞＜γ，(12)

其中γ是预先规定的正常数，β是待最优化的常量。对频域表达式(12)应用广为人知的Parseval定理，其中的比率H_∞范数和H_-指标由定义2和定义3分别给出，我们就得到了下面的等价式：

$J_1={\&Integral;}_0^{\&infin;}[r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{d}^T\left(t\right)d\left(t\right)]\mathrm{dt}<0,---\left(13\right)$

$J_2={\&Integral;}_0^{\&infin;}[r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)-{\mathrm{\&beta;}}^2{f}^T\left(t\right)f\left(t\right)]\mathrm{dt}>0.---\left(14\right)$

因此，鲁棒H_-/H_∞同步的定义可以用下面的方式给出。

E)式(3)中由非线性Lur’e节点构成的动态网络称为在频率范围

(其中

既可有限，也可无限)具有带干扰衰减γ和故障灵敏度β的全局鲁棒H_-/H_∞同步性。若具有零干扰和零故障，同步残差信号(11)是渐进稳定的，而具有零初始状态并给定常数γ＞0和β＞0时，条件(13)-(14)保持不变。

二、基于随后提出的采用LMI技术提出的H_-/H_∞同步标准，首次探究了网络的全局鲁棒H_∞同步方法，这一部分的目的是探究复杂动态网络(3)的故障灵敏度和干扰抑制能力。

2.1)非线性Lur’e网络的全局H_∞同步性

通过将之前在两个同样的Lur’e系统间的H_∞同步性结果扩展到非线性Lur’e动态网络中使网络中不存在故障的情形。由此，网络模型可以描述为

对应的误差动态特性用Kronecker积的形式表示为

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_i=\stackrel{\&OverBar;}{A}e+\mathrm{B\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;x_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{d}d,---\left(16\right)$

$r=\stackrel{\&OverBar;}{H}e.$

非线性动态网路的同步性中的干扰抑制问题可以总结在下面的定义中：

F)给定标量γ＞0。如果系统(16)对于零干扰是全局渐进稳定的，同时性能指标(13)满足零初始状态，则称动态网络(15)达到全局鲁棒H_∞同步。

鲁棒H_∞同步性可由接下去的标准确定。

定理1假设γ＞0是预先给定的常数。对于给定的标量α，若存在正定矩阵P＝P^T＞0，对角矩阵Δ₁＝diag(δ₁，…，δ_m)＞0，∏₁＝diag(π₁，…，π_m)＞0，Ω₁＝diag(ω₁，…，ω_m)＞0和矩阵

使下列LMI

${\mathrm{\&Xi;}}_1=\left(\begin{array}{ccccc}-\mathrm{He}\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{A}\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{H}}^T\stackrel{\&OverBar;}{H}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Delta;}-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{B}& \stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Omega;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& -\mathrm{He\&Delta;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& 0& 0\\ & *& \mathrm{He}{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Pi;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& *& *& -\mathrm{He\&Omega;}& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right)<0,---\left(17\right)$

保持不变，其中 $\mathrm{\&Delta;}=I_N\&CircleTimes;{\mathrm{\&Delta;}}_1,$ $\mathrm{\&Pi;}=I_N\&CircleTimes;{\mathrm{\&Pi;}}_1,$ $\mathrm{\&Omega;}=I_N\&CircleTimes;{\mathrm{\&Omega;}}_1,$ 则动态网络(15)达到具有干扰衰减γ的全局鲁棒H_∞同步。

定理1证明：首先，我们将展示d＝0时的残差动态特性(16)的全局渐进稳定性(此处未考虑任何故障)，方程(16)表示为

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\stackrel{\&OverBar;}{A}e+\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;X_s).---\left(32\right)$

在这种条件下，条件(13)中的性能指标J₁被证明得到满足。

选取一个候选的如下形式的李雅普诺夫函数

其中P＞0和

∏₁＝diag(π₁₁，…，π_1m)＞0需要确定。通过沿着残差动态特性(16)的轨迹计算V的时间导数，得到

其中

考虑非线性

和

满足的区间限制，即对任意对角阵Δ₁＝diag(δ₁₁，…，δ_1m)＞0和Ω₁＝diag(ω₁₁，…，ω_1m)＞0，

(35)

其中 在每个子系统都有相同对角阵∏₁，Ω₁和Δ₁，且不影响不等

式(12)的可行性的假设下，得到了以上结果。为简便起见，下面记

此外，由(32)可知，存在适当维数的自由权重矩阵

使得

$e^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1(\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\stackrel{\&OverBar;}{A}e-\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;})={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2(\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\stackrel{\&OverBar;}{A}e-\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;})=0.---\left(36\right)$

合并方程(35)-(36)到(34)中，得到

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;2e^{T}P\stackrel{\&CenterDot;}{e}+2{\mathrm{\&Psi;}}^T\mathrm{\&Pi;}\stackrel{\&OverBar;}{C}\stackrel{\&CenterDot;}{e}-2{\mathrm{\&Phi;}}^T\mathrm{\&Delta;\&Phi;}+2{\mathrm{\&Phi;}}^T\mathrm{\&Delta;\&Theta;}\stackrel{\&OverBar;}{C}e-2{\mathrm{\&Psi;}}^T\mathrm{\&Omega;\&Psi;}+2{\mathrm{\&Psi;}}^T\mathrm{\&Omega;\&Theta;}\stackrel{\&OverBar;}{C}e$

$+2e^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1(\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\stackrel{\&OverBar;}{A}e-\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;})+2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2(\stackrel{\&CenterDot;}{e}-\stackrel{\&OverBar;}{A}e-\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;})---\left(37\right)$

$={\mathrm{\&eta;}}^T\mathrm{\&Xi;\&eta;},$

其中

$\mathrm{\&eta;}=\left(\begin{array}{c}e\\ \mathrm{\&Phi;}\\ \stackrel{.}{e}\\ \mathrm{\&Psi;}\end{array}\right),$ $\mathrm{\&Xi;}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{He}{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{A}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Delta;}-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{B}& P+{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Omega;}\\ *& -\mathrm{He\&Delta;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& 0\\ *& *& \mathrm{He}{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Pi;}\\ & *& *& -\mathrm{He\&Omega;}\end{array}\right),$

于是Ξ＜0由LMI(17)的上三角块保证，因此同步化残差动态特性(16)是全局渐进稳定的。

接下来，我们将展示(13)中给出的性能指标J₁的限制在零初始条件下对所有非零的d∈L₂[0，∞)满足。因此，误差动态特性(16)表示成

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\stackrel{\&OverBar;}{A}e+\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;X_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{d}d,$ $r=\stackrel{\&OverBar;}{H}e.---\left(38\right)$

基于(37)和(38)，容易推出

$r^{T}r-{\mathrm{\&gamma;}}^2{d}^{T}d+\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;{\mathrm{\&eta;}}_1^T{\mathrm{\&Xi;}}_1{\mathrm{\&eta;}}_1.$

其中 ${\mathrm{\&eta;}}_1={\left[\begin{array}{ccccc}{e}^T& {\mathrm{\&Phi;}}^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^T& {\mathrm{\&Psi;}}^T& d^T\end{array}\right]}^T,$ 且由条件(17)，有Ξ₁＜0。这进一步表明，对任意d≠0，

在零初始条件下，(33)中定义的李雅普诺夫函数V满足V(0)＝0且对t＞0有V(t)≥0，因此

$J_1\&le;{\&Integral;}_0^{\&infin;}[r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{d}^T\left(t\right)d\left(t\right)]\mathrm{dt}+V\left(t\right){|}_{t\&RightArrow;\&infin;}-V\left(0\right)$

$={\&Integral;}_0^{\&infin;}[r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{d}^T\left(t\right)d\left(t\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)]<0,$

且(13)得到满足。定理1得证。

定理1通过将松弛矩阵

和

引入LMI(17)给出了非线性Lur’e网络有全局鲁棒H_∞同步性的充分条件。由于这些松弛变量增长的自由度，我们预期定理1比一些已知的结果保守性更小[28]。根据推出的Lur’e网络的H_∞同步性条件，故障检测问题会在下一小节中得到检验。然而，如果节点数量太大，条件(17)会变成一个高维的LMI，验证起来相当冗长。为此，这两条标准将进一步简化为三组低维LMI测试。

2.2)全局H_∞同步性中的故障检测

采用同步性配置的RFD可以当做一个多目标设计任务，就是说，设计目标不仅是对故障尽可能的敏感以使故障早期检测成为可能，另一方面，对可能故障的灵敏度最大化的同时，为避免同步过程被破坏，也要抑制干扰和模型误差对同步性误差以及随后对残差的影响。下一个定理给出了全局鲁棒H_-/H_∞同步性的一个LMI表述。

定理2假设γ＞0，β＞0是预先给定的定常标量。对于给定的常数α，存在正定矩阵P＝P^T＞0，对角矩阵Δ₁＝diag(δ₁₁，…，δ_1m)＞0，∏₁＝diag(π₁，…，π_m)＞0，Ω₁＝diag(ω₁，…，ω_m)＞0和矩阵使得LMI(17)以及

${\mathrm{\&Xi;}}_2=\left(\begin{array}{ccccc}-\mathrm{He}\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{A}\right)-{\stackrel{\&OverBar;}{H}}^T\stackrel{\&OverBar;}{H}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Delta;}-Q_1\stackrel{\&OverBar;}{B}& \stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Omega;}& -\stackrel{\&OverBar;}{H}\stackrel{\&OverBar;}{D}{-\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& -\mathrm{He\&Delta;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& 0& 0\\ & *& \mathrm{He}{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Pi;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_f\\ *& *& *& -\mathrm{He\&Omega;}& 0\\ *& *& *& *& {\mathrm{\&beta;}}^{2}I-{\stackrel{\&OverBar;}{D}}^T\stackrel{\&OverBar;}{D}\end{array}\right)<0,$

保持不变，则(3)中的动态网络达到具有干扰衰减γ和故障灵敏度β的全局鲁棒H_-/H_∞同步。

定理2证明：在定理1的基础上，若LMI(17)有解，则网络对输入干扰达到全局同步和鲁棒。

对于H_∞同步中的故障检测的条件，即同步过程应当对可能的输入故障灵敏，这成为了对于所有非零的

条件(14)在零初始条件下的额外确证。这种情况下，误差动态特性由下式给出

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\stackrel{\&OverBar;}{A}e+\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;X_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f}f,$ $r=\stackrel{\&OverBar;}{H}e+\stackrel{\&OverBar;}{D}f.$

遵循定理1中对J₁＜0的证明同样的路线，我们知道，若

${-J}_2\&le;{\&Integral;}_0^{\&infin;}[{{\mathrm{\&beta;}}^{2}f}^T\left(t\right)f\left(t\right)-{r\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)]\mathrm{dt}+V\left(t\right){|}_{t\&RightArrow;\&infin;}-V\left(0\right)$ (39)

$={\&Integral;}_0^{\&infin;}[{\mathrm{\&beta;}}^2{f}^T\left(t\right)f\left(t\right)-r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)+\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)]<0$

保持不变，那么(33)中定义的V使得约束(14)得到满足，进一步讲，不等式条件(39)由

${\mathrm{\&beta;}}^2{f}^{T}f-r^{T}r+\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;{\mathrm{\&eta;}}_2^T{\mathrm{\&Xi;}}_2{\mathrm{\&eta;}}_2<0$

保证，其中 ${\mathrm{\&eta;}}_2={\left[\begin{array}{ccccc}{e}^T& {\mathrm{\&Phi;}}^T& {\stackrel{\&CenterDot;}{e}}^T& {\mathrm{\&Psi;}}^T& f^T\end{array}\right]}^T,$ Ξ₂＜0在(18)中给出。因此性能指标J₂＞0得到满足。定理2得证。

定理3假设α，β＞0，γ＞0是预先给定的定常标量。若存在矩阵W_i＞0，V_i和对角矩阵Δ₁＞0，∏₁＞0，Ω₁＞0使下面的条件对于i＝1，2和q保持不变：

其中

Υ₁₁＝-He(V_iA+λ_iV_iΓH)，Υ₃₁＝W_i+V_i-αA^TV_i ^T-λ_iαH^TΓ^TV_i ^T，则定理2中给出的条件得以保证。

定理3证明：为使耦合矩阵Γ的设计简单化，分别指定

和

其中α是定常标量。

由(17)可以看到

因此

是非奇异的。

回忆存在一个单位矩阵U使得U^TGU＝Λ，Λ在(5)中定义。使用矩阵 $\stackrel{\&OverBar;}{U}=\mathrm{diag}(U^T\&CircleTimes;I_N,U^T\&CircleTimes;I_m,U^T\&CircleTimes;I_m,U^T\&CircleTimes;I_m)$ 和

左乘和右乘LMI组(17)，得到

$\left(\begin{array}{ccccc}-\mathrm{He}\left(\stackrel{\&OverBar;}{V}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{\mathrm{\&Lambda;}}\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{H}}^T\stackrel{\&OverBar;}{H}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Delta;}-\stackrel{\&OverBar;}{V}\stackrel{\&OverBar;}{B}& \stackrel{\&OverBar;}{W}+\stackrel{\&OverBar;}{V}-\mathrm{\&alpha;}{\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{\mathrm{\&lambda;}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{V}}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Omega;}& -\stackrel{\&OverBar;}{V}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& -\mathrm{He\&Delta;}& -\mathrm{\&alpha;}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{V}}^T& 0& 0\\ & *& \mathrm{He\&alpha;}\stackrel{\&OverBar;}{V}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Pi;}& -\mathrm{\&alpha;}\stackrel{\&OverBar;}{V}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& *& *& -\mathrm{He\&Omega;}& 0\\ *& *& *& *& {-\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right)<0,---\left(40\right)$

其中 $\stackrel{\&OverBar;}{V}=(U^T\&CircleTimes;I_N)\stackrel{\&OverBar;}{S}(U\&CircleTimes;I_N),$ $\stackrel{\&OverBar;}{W}=(U^T\&CircleTimes;I_N)\stackrel{\&OverBar;}{P}(U\&CircleTimes;I_N),$ ${\stackrel{\&OverBar;}{A}}_{\mathrm{\&Lambda;}}=I\&CircleTimes;A+\mathrm{\&Lambda;}\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;H}.$ 这表明由式

(40)，所有在这个LMI中出现的矩阵除了

外都是对角阵。为此，假设存在矩阵V_i和W_i，使得对于i＝1，2，…，N，LMI(19)保持不变，则必存在对角矩阵

为条件(40)的解，且(17)保持不变。由类似的过程可知，LMI(20)的可行性意味着(18)保持不变。

进一步的，由于耦合矩阵G如(5)有q个相异特征值，显然容易发现在(19)-(20)中检验的LMI组的数量可以从N降低到q。另一方面，注意到LMI[26]的凸性质，剩余的q-3组LMI中的每一组，对i＝3，…，q-1，对应于次大的特征值λ₂以及最小特征值λ_q，都可以写成两组LMI的一个线性组合。这种条件下，同步条件仅要求对i＝1，2和q的3组LMI(19)-(20)的可行性。得证。

公式(19)(即LMI(19))对于i＝1，2，q的解：

$W_1=\left(\begin{array}{ccc}14.4037& -10.8380& 0.4396\\ -10.8380& 30.5854& 3.0167\\ 0.4396& 3.0167& 7.0477\end{array}\right),$ $V_1=\left(\begin{array}{ccc}-1.6269& -2.0020& -0.2305\\ -1.0589& -6.5768& -0.7952\\ 0.0584& 0.3076& -0.2281\end{array}\right),$

∏₁＝1.9512，Δ₁＝7.6035，Λ₁＝2.5538，

$W_2=...=W_9=\left(\begin{array}{ccc}11.0778& -5.0711& 1.8522\\ -5.0711& 17.0729& 3.4321\\ 1.8522& 3.4321& 9.6299\end{array}\right),$

$V_2=...=V_9=\left(\begin{array}{ccc}-0.9218& -1.0373& -0.1830\\ -0.3643& -3.0024& -0.4393\\ -0.0293& 0.3875& -0.3124\end{array}\right),$

∏₂＝…＝∏₉＝1.8828，Δ₂＝…＝Δ₉＝5.0301，Λ₂＝…＝Λ₉＝2.9445，

$W_{10}=\left(\begin{array}{ccc}7.1144& -1.1548& 0.5316\\ -1.1548& 5.1002& 1.5201\\ 0.5316& 1.5021& 4.5129\end{array}\right),$ $V_{10}=\left(\begin{array}{ccc}-0.1892& -0.1842& -0.0411\\ -0.0345& -0.7973& -0.1416\\ 0.0078& 0.2423& -0.1422\end{array}\right),$

∏₁₀＝1.0396，Δ₁₀＝1.9588，Λ₁₀＝2.0045.

公式(19)-(20)(即LMI(19)-(20))对于i＝1，2，q的解：

$W_1=\left(\begin{array}{ccc}19.4357& -10.2421& -0.2580\\ -10.2421& 50.9203& 4.7464\\ -0.2580& 4.7464& 0.5780\end{array}\right),$ $V_1=\left(\begin{array}{ccc}-2.5375& -4.4290& -0.4708\\ -2.4266& -15.4850& -1.8584\\ -0.3124& -1.6514& -0.2009\end{array}\right),$

∏₁＝2.1700×10^-6，Δ₁＝12.8948，Λ₁＝1.0216×10^-12，

$W_2=...=W_9=\left(\begin{array}{ccc}31.7702& -9.3411& 0.1724\\ -9.3411& 56.7357& 5.3885\\ 0.1724& 5.3885& 0.6592\end{array}\right),$

$V_2=...=V_9=\left(\begin{array}{ccc}-3.0576& -6.0476& -0.6670\\ -1.8406& -15.4908& -1.8934\\ -0.2677& -1.7028& -0.2106\end{array}\right),$

∏₂＝…＝∏₉＝1.5037×10^-6，Δ₂＝…＝Δ₉＝20.8139，Λ₂＝…＝Λ₉＝2.0313×10^-12，

$W_{10}=\left(\begin{array}{ccc}275.7624& -44.0445& 1.2220\\ -44.0445& 59.4247& 5.0031\\ 1.2220& 5.0031& 0.6368\end{array}\right),$ $V_{10}=\left(\begin{array}{ccc}-7.0320& -9.6985& -1.1098\\ 0.4957& -10.1060& -1.2957\\ -0.0845& -1.1706& -0.1522\end{array}\right),$

∏₁₀＝3.6238×10^-6，Δ₁₀＝114.4167，Λ₁₀＝3.0198×10^-12.

结论1对常数α，令β＞0，γ＞0是预先给定的定常标量。若存在矩阵W_i＞0，V_i，T_i和对角矩阵Δ₁＞0，∏₁＞0，Ω₁＞0使LMI条件(19)-(20)对i＝1，2和q保持不变(分别对应于最大、次大和最小特征值)，则称动态网络(3)达到具有干扰衰减γ和故障灵敏度β的全局鲁棒H_-/H_∞同步。

若节点数量N太大，动态网络的H_-/H_∞同步性标准变成一组相当高维数的LMI。为解决这个问题，nN×nN维网络的同步性通过在结论1中验证三组n维LMI被处理成较低维数的n维空间，这样得出的条件较方便应用。

一个直接结果是，我们由此得到了非线性动态网络(15)的全局鲁棒H_∞同步性的简化条件，总结如下。

结论2对于常数α，令β＞0，γ＞0是预先给定的定常标量。若存在W_i＞0，V_i，T_i和对角矩阵Δ₁＞0，∏₁＞0，Ω₁＞0使得LMI(19)对于i＝1，2和q可行，则称动态网络(3)达到全局鲁棒H_∞同步。

H_-/H_∞性能分析

由结论1可知，动态网络中的H_-/H_∞同步性可以描述成3组维数与每个孤立节点相同的独立系统。也就是说，如果系统

${\stackrel{.}{e}}_{\mathrm{\&lambda;i}}=(A+{\mathrm{\&lambda;}}_i\mathrm{\&Gamma;H})e_{\mathrm{\&lambda;i}}+\mathrm{B\&phi;}\left({\mathrm{Ce}}_{\mathrm{\&lambda;i}}\right)+(B_f+{\mathrm{\&lambda;}}_i\mathrm{\&Gamma;D})f_0+B_d{d}_0,---\left(21\right)$

r_λi＝He_λi+Df₀，

对于i＝1，2和q满足(19)-(20)，那么定义5中给出的条得以满足。假设系统(21)中，对于的i＝1，2，…，N，传递函数和

分别为

和记

K_rdλ＝diag(K_rd1，…K_rdN)，(22)

K_rfλ＝diag(K_rf1，…K_rfN)，(23)

其中K_rdλ，K_rfλ有如下形式：

$K_{\mathrm{rd\&lambda;}}=(I_N\&CircleTimes;H){(sI-I_N\&CircleTimes;A-\mathrm{\&Lambda;}\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;H})}^{-1}(I_N\&CircleTimes;B_d),$

$K_{\mathrm{rf\&lambda;}}=(I_N\&CircleTimes;H){(sI-I_N\&CircleTimes;A-\mathrm{\&Lambda;}\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;H})}^{-1}(I_N\&CircleTimes;B_f-\mathrm{\&Lambda;}\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;D})+(I_N\&CircleTimes;D).$

另一方面，考虑如下系统

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_{\mathrm{\&lambda;i}}=(I_N\&CircleTimes;A+\mathrm{\&Lambda;}\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;H})e_{\mathrm{\&lambda;}}+(I_N\&CircleTimes;B)\mathrm{\&Phi;}((I_N\&CircleTimes;C)e;X_s)+(I_N\&CircleTimes;B_d)d$

$+(I_N\&CircleTimes;B_f+\mathrm{\&Lambda;}\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;D})(B_f+{\mathrm{\&lambda;}}_i\mathrm{\&Gamma;D})f,---\left(24\right)$

$r_{\mathrm{\&lambda;i}}=(I_N\&CircleTimes;H)e_{\mathrm{\&lambda;}}+(I_N\&CircleTimes;D)f,$

其中 $e_{\mathrm{\&lambda;}}={(e_{\mathrm{\&lambda;}1}^T,...,e_{\mathrm{\&lambda;N}}^T)}^T,$ $r_{\mathrm{\&lambda;}}={(r_{\mathrm{\&lambda;}1}^T,...,r_{\mathrm{\&lambda;N}}^T)}^T.$ 可以发现系统(24)的传递函数

及

与在

(22)-(23)定义的一致。另外，通过进行单位化，K_rdλ与K_rd相似，而K_rfλ与K_rf也相似。回忆之前在定义2-定义3中提出的H_∞范数和H_-指标的定义，我们得到了如下关系：

${\left|\right|K_{\mathrm{rd}}\left|\right|}_{\&infin;}={\left|\right|K_{\mathrm{rd\&lambda;}}\left|\right|}_{\&infin;}=\underset{i=\mathrm{1,2},...,N}{\max }{\left|\right|K_{\mathrm{rdi}}\left|\right|}_{\&infin;},---\left(25\right)$

${\left|\right|K_{\mathrm{rf}}\left|\right|}_{-}={\left|\right|K_{\mathrm{rf\&lambda;}}\left|\right|}_{-}=\underset{i=\mathrm{1,2},...,N}{\min }{\left|\right|K_{\mathrm{rfi}}\left|\right|}_{-}.---\left(26\right)$

条件(25)-(26)显示(11)中传递函数

的H_∞范数与N系统(21)中的相等，同时对应的H_-指标是在(21)中的最小值。因此，网络(3)中的RFD设计可以描述成(21)中那样，继而我们得到了下面的结论。

结论3对给定标量γ＞0，若在解耦系统(21)中，对i＝1，2，…，N，有

和

保持不变，动态网络(3)的性能指标满足||K_rd||_∞＜γ，||K_rf||_-＞β。

下面的结论提供了一种方法，使我们可以得到最大的故障灵敏度，同时为网络(3)的全局鲁棒H_-/H_∞同步将外部干扰抑制到规定的程度。

结论4非线性动态网络(3)随有保证的H_∞性能γ以及最大故障检测灵敏度

达到全局同步，其中ρ是下面关于矩阵W_i＞0，V_i，i＝{1，2，q}和对角矩阵Δ₁＞0，∏₁＞0，Ω₁＞0的广义特征值最小化问题的全局最小值。

以及LMI条件(19)保持不变。此处，Υ₁₁，Υ₁₃由定理3中规定的定常标量α和γ＞0描述。

本发明的有益效果是：

为改善同步的可靠性和鲁棒性，我们将全局鲁棒H_-/H_∞同步方法引入一类存在可能故障和外部干扰的非线性动态网络中。同步的标准由LMI技术发展成熟，使得网络的每个节点系统鲁棒同步化，且根据H_-/H_∞性能对故障灵敏。由于外部干扰和系统故障分别被考虑，这里提出的同步方法可能比之前文献中的更实用。此外，故障灵敏度H_-指标可以通过凸优化算法进行优化。为证明得到的结果的有效性和可用性，我们用一个每个节点都是Chua’s电路的低维动态网络作例子。

作为未来的工作，令人感兴趣的是研究有各种不同的干扰源的复杂网络的同步性。此外，本发明的检测方法也可以应用于随机复杂网络中。

附图说明

图1是依据本发明检测方法的通过干扰信号连接两个典型的Chua’s电路图；

图2是依据本发明检测方法的标准动态网络的同步误差时间响应图；

图3是依据本发明检测方法的当d_i(t)＝0.5sin(2t)时的无故障残差响应图；

图4是依据本发明检测方法的当d_i(t)＝0.5sin(2t)时的残差响应图，其中图(a)为f(t)＝f₁(t)，图(b)为f(t)＝f₂(t)。

具体实施方式

下面通过一个由10个Chua’s电路组成的低维动态网络模型作为算例，来对本发明的检测方法做进一步详细的说明。在整个数值仿真过程中，网络每个节点都假设为一个具体的Chua’s电路。这在理论和工程的各种领域中经常能够见到[29]。图1示出了通过干扰信号连接两个典型的Chua’s电路图，其中a＝1，2，…，10，b＝1，2，…，10。

第一步，我们将展示3.1节中推出的结果怎样应用于保证动态网络(3)的全局鲁棒H_∞同步。我们列出一组10个无量纲的Chua’s振荡器状态方程作为例子，其中节点系统S_a如图1所示，a＝1，2，…，10：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_{a1}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{v}}_{a2}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{i}}_{a3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{C_1}(\frac{v_{a2}-v_{a1}}{R}-g\left(v_{a1}\right))+\underset{j=1}{\overset{10}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{G_{\mathrm{aj}}}{R_1{C}_1}{\mathrm{Hv}}_{j1}\\ \frac{1}{C_2}(\frac{v_{a2}-v_{a1}}{R}-i_{a3}+i_{\mathrm{ad}})\\ -\frac{1}{L}(v_{a2}+R_0{i}_{a3})\end{array}\right).---\left(27\right)$

这里，R₀和R是线性电阻。电容C₁和C₂之间的电压用v_a1和v_a2表示，i_a3是流过电感L的电流，i_ad是系统S_a受到的外部干扰电流。非线性特征g(v_a1)表示流过非线性电阻N_R的电流，是一个分段线性函数

$g\left(v_{a1}\right)=M_1{v}_{a1}+\frac{1}{2}(M_0-M_1)\left[\right|v_{a1}+1|-|v_{a1}-1\left|\right],$

且满足min{M₀，M₁}≤g′(v_a1)≤max{M₀，M₁}。

假设(3)得到的动态网络的每个节点都是(27)中形式的电路。图1所示的任意两个Chua’s电路的可能连接表明，存在一个从S_b到S_a的连接，然而没有从S_a到S_b的，其中元素F在这一单向通信中起到重要作用。依赖于控制器增益的不同值，电阻R₁可调。将系统(27)表示为Lur’e形式：

其中

$x=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ i_3\end{array}\right),$ $A=\left(\begin{array}{ccc}-p(M_0+1)& p& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& -q& -s\end{array}\right),$ $B=\left(\begin{array}{c}-p(M_1-M_0)\\ 0\\ 0\end{array}\right),$

C＝(1 0 0)， $B_d=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{C_2}\\ 0\end{array}\right),$ d_i=i_ad       (29)

且非线性函数满足[0，1]上的区间条件。进一步讲，假设输出方程为

z_i＝Hx_i，(30)

参数矩阵H＝(1 0 0)。将系统参数选为R＝C₂＝1， $p=\frac{1}{{\mathrm{RC}}_1}=5.5,$ $q=\frac{1}{L}=7.3,$ $s=\frac{R_0}{L}=4,$ $M_0=-\frac{1}{7},$ $M_1=\frac{2}{7}.$ 接下来，取R₁＝0.3Ω。网络拓扑假定为10节点的星型结构，则G有如下特征值：

λ₁＝0，λ₂＝…＝λ₉＝-1，λ₁₀＝-10.

取α＝3，规定干扰衰减γ＝0.9，我们得到了定理2证明中给出的对LMI组(19)的可行解，根据结论2，这意味着Chua’s电路组成的动态网络达到全局鲁棒H_∞同步。

仿真结果同样确认了设计的有效性。图2描述了没有干扰信号d(t)下的标称动态网络的同步误差时间响应，表明同步误差以指数形式收敛于0。这里，初值是任意的。

为观察带干扰衰减的H_∞性能，假定未知的输入噪声d_i为d_i(t)＝0.5sin(2t)，其中t≥0，i＝1，2，…，10。

Lur’e动态网络对上述干扰信号和零初始状态的输出残差时间响应如图3-4所示，图3为当d_i(t)＝0.5sin(2t)时的无故障残差响应r_i，其中i＝1，2，…，10。图4为当d_i(t)＝0.5sin(2t)时的残差响应r_i(t)，其中i＝1，2，…，10；(a)f(t)＝f₁(t)；(b)f(t)＝f₂(t)。

考虑动态网络(29)在故障信号f下的全局鲁棒H_-/H_∞同步性。为演示考虑，假定过程故障是沿着每个电路左边支路的与i_m3同向的故障电流，可以由两种不同形式进行仿真。这样，

z_i＝Hx_i+Df，i＝1，2，…，10

其中 $B_f=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{C_2}& -\frac{R_0}{L}\end{array}\right),$ D＝1。

保持γ＝0.9，取故障灵敏度β＝0.6，我们得到了定理3证明中介绍的α＝3时LMI(19)-(20)的解。这保证了网络(29)在可能的故障和外部干扰情况下达到了全局鲁棒H_-/H_∞故障。

对于对应的仿真结果来讲，首先令过程故障为一个发生在0s到10s间的单位脉冲。生成的残差信号r_i(t)，i＝1，2，…，10已大大减少，同时仍然足够大的振幅以使同步过程保持对故障灵敏。继而对相同的干扰d_i(t)，采用

重新进行仿真。

通过解对应于结论1中给出的最小化问题的广义特征值问题，我们得以估算故障灵敏度为β_1m＝0.7961，β_2m＝…＝β_9m＝0.8548，β_10m＝0.9524。根据结论1，这保证了Lur’e动态网络达到β＜β_0m的H_-/H_∞性能，其中

${\mathrm{\&beta;}}_{0m}=\underset{i=\mathrm{1,2},...,10}{\min }\left\{{\mathrm{\&beta;}}_{\mathrm{im}}\right\}=0.7961$

参考文献

[1]R.Albert，A.Barabasi，Statistical mechanics of complex networks，Rev.Mod.Phys.，vol.74，2002，pp 47-97.

[2]X.F.Wang，G.Chen，Small-world，scale-free and beyond，IEEE Circuits Syst.Mag.(2003)6-20.

[3]S.Boccaletti，V.Latora，Y.Moreno，M.Chavezf，D.U.Hwanga，Complex networks：structureand dynamics，Phys.Rep.424(2006)175-308.

[4]X.F.Wang，G.Chen，Synchronization in small-world dynamical networks，Int.J.BifurcationChaos 12(2002)187-192.

[5]M.Barahona，L.M.Pecora，Synchronization in small-world systems，Phys.Rev.Lett.89(5)(2002)054101.

[6]S.Strogatz，Sync：The Emerging Science of Spontaneous Order，Hyperion，New York，2003.

[7]J.¨u and G.Chen，A time-varying complex dynamical network model and its controlledsynchronization criteria，IEEE Trans.Autom.Control，50(6)(2005)841-846.

[8]S.Y.Xu and Y.Yang，Global behaviors of a class of phase synchronous dynamical network，Nonlinear Dynamics，59(2010)485-496.

[9]C.W.Wu，Synchronization in Complex Networks of Nonlinear Dynamical Systems，WorldScientific，2006.

[10]X.Liu，J.Z.Wang，and L.Huang，Global synchronization for a class of dynamical complexnetworks，Physica A，386(2007)543-556.

[11]X.Liu，J.Z.Wang，and L.Huang，Stabilization of a class of dynamical complex networks basedon decentralized control，Physica A，383(2007)733-744.

[12]S.Y.Xu and Y.Yang，Synchronization for a class of complex dynamical networks withtime-delay，Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.14(2009)3230-3238.

[13]L.O.Chua，Chuas circuit：an overview ten years later，J.Circuits Syst.Comput.4(1994)117-159.

[14]P.Ruoff，M.Vinsjevik，C.Monnerjahnsjevik，L.Rensing L，The Goodwin model：simulatingthe effect of light pulses on the circadian sporulation rhythm of neurosporacrassa，J.Theor.Biol.209(2001)29-42.

[15]V.Gazi，K.M.Passino，Stability analysis of swarms，IEEE Trans.Autom.Control 48(2003)692-697.

[16]M.Vidyasagar，Nonlinear Systems Analysis，NJ：Prentice-Hall；1993.

[17]B.Shen，Z.Wang and X.Liu，Bounded H-infinity synchronization and state estimation fordiscrete time-varying stochastic complex networks over a finite-horizon，IEEE Transactions onNeural Networks，22(1)(2011)145-157.

[18]Y.Tang，Z.Wang，W.K.Wong，J.Kurths and J.Fang，Multiobj ective synchronization ofcoupled systems，Chaos，21(2)(2011)025114.

[19]J.Chen and R.J.Patton，Robust model-based fault diagnosis for dynamic systems，KluwerAcademic Publishers，Boston，1999.

[20]P.M.Frank，Enhancement of robustness in oberver-based fault detection，Int.J.Contr.，59(4)(1994)955-981.

[21]S.X.Ding，Model-based fault diagnosis techniques，design schemes，algorithms，and tools，Springer-Verlag Berlin Heidelberg，2008.

[22]J.L.Wang，G.H.Yang and J.Liu，An LMI approach to H∞index and mixed H-/H∞faultdetection observer design，Automatica，43(2007)1656-1665.

[23]X.B.Li，K.M.Zhou，A time domain approach to robust fault detection of linear time-varyingsystems，Automatica，45(2009)94-102.

[24]S.Y.Xu，Y.Yang，X.Liu，Y.Tang and H.D.Sun，Robust fault-sensitive synchronization of theChua’s Circuit，Chinese Physics B，20(2)(2011)020509.

[25]M.Hou，R.J.Patton，An LMI approach to H-/H∞fault detection observers，In Proceedings ofUKACC international conference on control，(1996)305-310.

[26]S.Boyd，L.ELGhaoui，E.Feron，V.Balakrishnam，Linear Matrix Inequalities in Systems andControl，SIMA，Philadelphia，1994.

[27]C.W.Wu，Application of kronecker products to the analysis of systems with uniform linearcoupling，IEEE Trans.CAS-I，42(10)(1995)775-778.

[28]M.Wu，Y.He，J.H.She and G.P.Liu，Delay-dependent criteria for robust stability oftime-varying delay systems，Autom atica，40(2004)1435-1439.

[29]R.N.Mandan，Chua’s Circuit：AParadigm for Chaos，World Scientific，Singapore，1993.

[30]Z.Wang，Y.Wang and Y.Liu，Global synchronization for discrete-time stochastic complexnetworks with randomly occurred nonlinearities and mixed time-delays，IEEE Transactions onNeural Networks，21(1)(2010)11-25.

[31]J.Liang，Z.Wang and X.Liu，State estimation for coupled uncertain stochastic networks withmissing measurements and time-varying delays：the discrete-time case，IEEE Transactions onNeural Networks，20(5)(2009)781-793.

[32]Y.Liu，Z.Wang，J.Liang and X.Liu，Synchronization and state estimation for discrete-timecomplex networks with distributed delays，IEEE Transactions on  Systems，Man，andCybernetics-Part B，38(5)(2008)1314-1325.

[33]J.Liang，Z.Wang，Y.Liu and X.Liu，Global synchronization control of general delayeddiscrete-time networks with stochastic coupling and disturbances，IEEE Transactions onSystems，Man，and Cybernetics-Part B，38(4)(2008)1073-1083.

Claims (5)

1.一种由相同Lur’e系统构成的非线性动态网络同步中的鲁棒故障检测方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

建立服从输入噪声和故障的非线性Lur’e系统的基本模型；

以基本模型为节点来构建动态网络模型；

确定动态网络的全局鲁棒同步性；

进行全局鲁棒同步性的故障检测。

2.如权利要求1所述的检测方法，其特征在于，建立Lur’e系统的基本模型包括如下步骤：

建立服从输入噪声和故障的非线性Lur’e系统的基本模型如下式表示：

其中，

是状态向量，

表示度量输出向量；

是一个属于L₂[0，+∞)的未知输入向量，而

表示待检测和分离的过程、传感器或驱动器故障向量；矩阵A、B、C、D、B_d、B_f和H表示定常矩阵。非线性

是连续和局部的Lipschitz，第一参数是

和

其中函数l＝1，2，…，m设定

l＝1，2，…，m，其中

l＝1，2，…，m；

令Θ₀＝diag(θ₁，θ₂，…，θ_m)，显然有

若非线性满足式(2)，则称其在区间[0，Θ₀]中；

如果平衡点x＝0对于满足式(2)的非线性性

是全局渐进稳定的，则称模型如公式(1)的非线性Lur’e系统关于区间[0，Θ₀]是绝对稳定的。

考虑式(1)模型的传递函数

$K_{\mathrm{zd}0}\left(s\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}H{(\mathrm{sI}-A)}^{-1}{B}_d,$

将H_∞范数定义为 ${\left|\right|K_{\mathrm{zd}0}\left|\right|}_{\&infin;}={\sup }_{d_0\&Element;L_2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&sigma;}}}\left[K_{\mathrm{zd}0}\left(\mathrm{j\&omega;}\right)\right]={\sup }_{d_0\&Element;L_2}\frac{{\left|\right|K_{\mathrm{zd}0}{d}_0\left|\right|}_2}{{\left|\right|d_0\left|\right|}_2},$ 其中

代表最大奇异值；

设定式(1)中从输入f₀到输出z的传递函数是：

$K_{\mathrm{zf}0}\left(s\right)\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}H{(\mathrm{sI}-A)}^{-1}{B}_f+D,$

将H_-指标定义为

其中σ表示最小奇异值，

表示频带

3.如权利要求1所述的检测方法，其特征在于，构建动态网络模型包括如下步骤：

每个节点均为式(1)的Lur’e系统的基本模型，所述动态网络模型由各节点组成，具体表示如下：

其中，

是第i个节点的状态和测量输出；

是一个属于L₂[0，+∞)的未知输入向量；

表示待检测和分离的过程、传感器或驱动器故障向量；内部耦合矩阵Γ＝(τ_ij)_n×n表示两个节点之间的耦合模式；G＝(g_ij)_N×N是外部耦合矩阵，表示网络的耦合结构；如果在节点i和节点j(i≠j)间存在连接，则g_ij＝g_ji＝1，否则，g_ij＝g_ji＝0(i≠j)；矩阵G的行和为0，即 $\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{\mathrm{ij}}=-g_{\mathrm{ii}},$ i＝1，2，…N；令

以及

拥有以下性质：

i＝1，2，…N，l＝1，2，…m.(4)

令Θ₁＝diag(θ₁₁，…，θ_1m)，则非线性函数

属于区间[0，Θ₁]；

不可约矩阵

$\underset{j=1,j\&NotEqual;i}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{G}_{0\mathrm{ij}}=-G_{0\mathrm{ii}},$ i＝1，2，…N的奇异值满足以下条件：

(i)0是G₀的特征值，对应的特征向量是(1，1，…，1)^T；

(ii)若对所有1≤i，j≤N，i≠j有G_0ij≥0，那么G₀所有特征值的实部小于等于0，且所有可能特征值的零度是0。事实上，0是其重数为1的特征值；

假设网络(3)没有孤立簇，即网络是连通的，在此条件下，耦合矩阵G是对称和不可约的，因此其满足上述条件i和ii；

假设耦合矩阵G有q个相异的特征值λ₁，…λ_q，则存在一个非奇异阵U，U^TU＝I_N，使U^TGU＝Λ，其中，Λ为如下形式：

式中，λ₁＝0是重数为1的最大特征值，λ_i是重数为的特征值m_i，i＝1，2，…q，满足m₂+…+m_q＝N-1以及λ₂＞λ₃＞…＞λ_q。

当d₀＝f₀＝0时，若

$\underset{t\&RightArrow;\&infin;}{\lim }{\left|\right|x_i-x_s\left|\right|}_2=0,$ i＝1，2，…N    (6)

其中，||·||₂表示欧几里得范数，则称动态网络(3)达到全局(渐进)同步。x_s∈Rⁿ是由下式给出的孤立节点的一个解

式(7)为一个平衡点，一个周期轨道甚或一个非周期轨道。

由内部耦合矩阵G的性质，下列条件保持不变：

设定误差信号e_i＝x_i-x_s和残差信号r_i＝z_i-z_s，i＝1，2，…N，用式(3)减去式(8)，即得到下式中同步残差的同态特性：

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_i=A{e}_i+\mathrm{B\&phi;}({\mathrm{Ce}}_i;x_s)+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\&Gamma;}{\mathrm{He}}_j+B_d{d}_0+B_f{f}_0+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\&Gamma;D}{f}_0,---\left(9\right)$

r_i＝He_i+Df₀，i＝1，2，…N.

其中，令 $\mathrm{\&phi;}(\&CenterDot;)={({\mathrm{\&phi;}}_1^T(\&CenterDot;),...,{\mathrm{\&phi;}}_m^T(\&CenterDot;))}^T$ 从(4)推出对于

非线性函数

l＝1，2，…m满足下列区间限制：

i＝1，2，…N，l＝1，2，…m，

使得

${\mathrm{\&phi;}}_l(c_l^T{e}_i;x_s)({\mathrm{\&phi;}}_l(c_l^T{e}_i;x_s)-{\mathrm{\&theta;}}_{1l}{c}_l^T{e}_i)\&le;0,$ i＝1，2，…N，l＝1，2，…m，(10)

φ(Ce_i；x_s)属于区间[0，Θ₁]；

用Kronecker积重新列写式(9)系统的方程

$\stackrel{\&CenterDot;}{e}=(I_N\&CircleTimes;A+G\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;H})e+(I_N\&CircleTimes;B)\mathrm{\&Phi;}((I_N\&CircleTimes;C)e;X_s)+(I_N\&CircleTimes;B_d)d+(I_N\&CircleTimes;B_f+G\&CircleTimes;\mathrm{\&Gamma;D})f$

$\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\stackrel{\&OverBar;}{A}e+\stackrel{\&OverBar;}{B}\mathrm{\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;X_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{d}d+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{f}f---\left(11\right)$

$r=(I_N\&CircleTimes;H)e+(I_N\&CircleTimes;D)f\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\stackrel{\&OverBar;}{H}e+\stackrel{\&OverBar;}{D}f$

其中，

$e=\left(\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\\ .\\ .\\ .\\ e_N\end{array}\right)\&Element;R^{\mathrm{Nn}},$ $d=\left(\begin{array}{c}{d}_0\\ d_0\\ .\\ .\\ .\\ d_0\end{array}\right)\&Element;R^{\mathrm{Np}},$ $f=\left(\begin{array}{c}{f}_0\\ f_0\\ .\\ .\\ .\\ f_0\end{array}\right)\&Element;R^{\mathrm{Nq}},$

$\mathrm{\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;X_s)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\&phi;}({\mathrm{Ce}}_1;x_s)\\ \mathrm{\&phi;}({\mathrm{Ce}}_2;x_s)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\&phi;}({\mathrm{Ce}}_N;x_s)\end{array}\right)\&Element;R^{\mathrm{Nm}},$ $X_s=\left(\begin{array}{c}{x}_s\\ x_s\\ .\\ .\\ .\\ x_s\end{array}\right)\&Element;R^{\mathrm{Nn}}.$

和

属于区间[0，Θ]，因此，式(11)的残差同态系统即为一个Nn维的非线性Lur’e系统，且非线性动态网络(3)的H_-/H_∞同步性转变为对应的残差动态特性(11)的性能分析和稳定性问题；

对于式(11)的系统，传递函数

由

给出，而表示传递函数

残差动态特性(11)达到渐进稳定，同时满足下述条件

||K_rf(s)||_-＞β，||K_rd(s)||_∞＜γ，(12)

其中，γ是预先规定的正常数，β是待最优化的常量，对频域表达式(12)应用Parseval定理，其中的比率H_∞范数和H_-指标的等价式如下：

$J_1={\&Integral;}_0^{\&infin;}[r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)-{\mathrm{\&gamma;}}^2{d}^T\left(t\right)d\left(t\right)]\mathrm{dt}<0,---\left(13\right)$

$J_2={\&Integral;}_0^{\&infin;}[r{\left(t\right)}^{T}r\left(t\right)-{\mathrm{\&beta;}}^2{f}^T\left(t\right)f\left(t\right)]\mathrm{dt}>0.---\left(14\right)$

式(3)中由非线性Lur’e节点构成的动态网络称为在频率范围具有带干扰衰减γ和故障灵敏度β的全局鲁棒H_-/H_∞同步性；若具有零干扰和零故障，式(11)的同步残差信号是渐进稳定的，而具有零初始状态并给定常数γ＞0和β＞0时，上述等价式(13)、(14)保持不变。

4.如权利要求1所述的检测方法，其特征在于，所述确定动态网络的全局鲁棒同步性包括如下步骤：

假设非线性Lur’e动态网络中不存在故障，则式(3)的网络模型为

对应的误差动态特性用Kronecker积的形式表示为

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_i=\stackrel{\&OverBar;}{A}e+\mathrm{B\&Phi;}(\stackrel{\&OverBar;}{C}e;x_s)+{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_{d}d,---\left(16\right)$

$r=\stackrel{\&OverBar;}{H}e.$

给定标量γ＞0，如果式(16)的系统对于零干扰是全局渐进稳定的，同时式(13)的性能指标满足零初始状态，则式(15)的动态网络达到全局鲁棒H_∞同步；

假设γ＞0是预先给定的常数，对于给定的标量α，若存在正定矩阵P＝P^T＞0，对角矩阵Δ₁＝diag(δ₁，…，δ_m)＞0，∏₁＝diag(π₁，…，π_m)＞0，Ω₁＝diag(ω₁，…，ω_m)＞0和矩阵

使下式的LMI

${\mathrm{\&Xi;}}_1=\left(\begin{array}{ccccc}-\mathrm{He}\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{A}\right)+{\stackrel{\&OverBar;}{H}}^T\stackrel{\&OverBar;}{H}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Delta;}-{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{B}& \stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Omega;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& -\mathrm{He\&Delta;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& 0& 0\\ & *& \mathrm{He}{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Pi;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& *& *& -\mathrm{He\&Omega;}& 0\\ *& *& *& *& -{\mathrm{\&gamma;}}^{2}I\end{array}\right)<0,---\left(17\right)$

保持不变，其中 $\mathrm{\&Delta;}=I_N\&CircleTimes;{\mathrm{\&Delta;}}_1,$ $\mathrm{\&Pi;}=I_N\&CircleTimes;{\mathrm{\&Pi;}}_1,$ $\mathrm{\&Omega;}=I_N\&CircleTimes;{\mathrm{\&Omega;}}_1,$ 则动态网络(15)达到具有干扰衰减γ的全局鲁棒H_∞同步。

5.如权利要求1所述的检测方法，其特征在于，进行全局鲁棒同步性的故障检测包括如下步骤：

假设γ＞0，β＞0是预先给定的定常标量，对于给定的常数α，存在正定矩阵P＝P^T＞0，对角矩阵Δ₁＝diag(δ₁₁，…，δ_1m)＞0，∏₁＝diag(π₁，…，π_m)＞0，Ω₁＝diag(ω₁，…，ω_m)＞0和矩阵

使得式(17)的LMI以及下式

${\mathrm{\&Xi;}}_2=\left(\begin{array}{ccccc}-\mathrm{He}\left({\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1\stackrel{\&OverBar;}{A}\right)-{\stackrel{\&OverBar;}{H}}^T\stackrel{\&OverBar;}{H}& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Delta;}-Q_1\stackrel{\&OverBar;}{B}& \stackrel{\&OverBar;}{P}+{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Theta;\&Omega;}& -\stackrel{\&OverBar;}{H}\stackrel{\&OverBar;}{D}{-\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_d\\ *& -\mathrm{He\&Delta;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^T{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2^T& 0& 0\\ & *& \mathrm{He}{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2& {\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Pi;}& -{\stackrel{\&OverBar;}{Q}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}_f\\ *& *& *& -\mathrm{He\&Omega;}& 0\\ *& *& *& *& {\mathrm{\&beta;}}^{2}I-{\stackrel{\&OverBar;}{D}}^T\stackrel{\&OverBar;}{D}\end{array}\right)<0,$

保持不变，则式(3)中的动态网络达到具有干扰衰减γ和故障灵敏度β的全局鲁棒H_-/H_∞同步。

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